TRABAJO COLABORATIVO –FASE 1
METODOS NUMERICOS
Presentado Por: CARLOS ARTURO SEIJAS SARY YANIA VS!UE" LOBOA C#D$ 1%&''(%)%* CRIST+IAN ANDRES FIERRO BARAJAS C,d-.o 11'%/*11(1 +ECTOR FABIO ARCE CASTA0EDA CC 111%&///
T2tor: JOSE ADEL BARRERA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA 3UNAD4 ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLO5IA E IN5ENIERIA FEBRERO '%1
INTRODUCCION
En el presente trabajo se pretende describir y entender el concepto de ERROR y la importancia que este tiene dentro de los métodos numéricos. los métodos numéricos son técnicas mediante las cuelas es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando usando opera operaci cione oness aritm aritmét étic icas as , los los cuale cualess tien tienen en como como ob obje jeti tivo vo encon encontr trar ar soluci solucion ones es aproximadas aproximadas a problemas problemas complejos complejos , en el desarrollo desarrollo de estos cálculos cálculos existe existe un alejamiento alejamiento del valor valor verdade verdadero ro al cual denotam denotamos os como error es importa importante nte entender entender y maneja manejarr este este concepto para mantener estos errores dentro de los limites aceptados y eso eficaz que tan precisos y exactos son los resultados obtenidos.
FASE 1
ERRORES Error a6so72to Ea=|valor real − valor aprox|
Error re7at-8o Er =
error absoluto valor real
Error 9orent2a7 Ep= Er
100 100
DIFERENCIAS EJEMPLOS Este error nos ayuda a Se tiene una mesa que obtener un valor mide metros y viéndola exacto sobre un valor por aproximaci!n se cree real y un valor que tiene " metros aproximado Ea=|4 −3|=1 Este error se diferencia del valor absoluto porque en él se trabaja con un valor real y el resultado de la operaci!n del error absoluto Este error es definido para otor#ar un mejor si#nificado al error relativo, se asemeja al error relativo, en este se incluye el porcentaje.
Es usado cuando conocemos el Error re7at-8o a9ro;-
1
Er = =0.25 4
Ep=
0,25 ∗100 100
ERA =
=25
3,635 −2,5 3,625
¿ 100=31,03 Error 9or tr2na<-ento
En este error se usa una aproximaci!n en lu#ar de un procedimiento matemático exacto Este error permite la
$,"%&'()& $,"%&
*+#ito menor que % Si
Error 9or redondeo
eliminaci!n de cifras si#nificativas de un n-mero a partir de su representaci!n decimal, para obtener un valor aproximado.
el si#uiente decimal es menor que %, el anterior no se modifica. $,&$. Redondeando a $ decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal $,&$/ $,&. *+#ito mayor que % Si el si#uiente decimal es mayor o i#ual que %, el anterior se incrementa en una unidad.
$,&%. Redondeando a $ decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal $,&%/ $,&$.
MAPA CONCEPTUAL TIPOS DE ERRORES
FASE ' METODO PUNTO FIJO
VENTAJAS Se aplica para resolver ecuaciones
de
la
DESVENTAJAS Reducci!n muy lentamente del error.
forma 0/#1x2
BISECCION
3no de los primeros métodos usados 4ntervalo cerrado Se acerca a la ra+z de forma lenta, ya que toma *ebe alcanzar los en cuenta que la ra+z se valores de los encuentre dentro del extremos y lue#o los intervalo valores intermedios. 4ntervalo cerrados
RE5LA FALSA
El resultado va fijo a la ra+z. Se aproxima a la ra+z más rápido que el método de 5isecci!n 7ayor rapidez
NE=TON R+APSON
7ás usado 8o trabajo con intervalos
6ambién se acerca a la ra+z de forma lenta, pero más rápido que el método de 5isecci!n.
9uede no conver#er a la ra+z.
E>e<97o de
2
+ 1,75 x + 2,627
a. usando la formula cuadrática b. usando el método de bisecci!n :asta tres iteraciones para determinar la ra+z mas alta , empléense como valores iniciales ( x )i =2,9 y x u=3,1 . ;alculese el error
So72-,n a. Ra+ces de la ecuaci!n usando la
formula cuadrita
−( 1,75 ) ± √ ( 1,752)− 4 (−0,874 )( 2,627 ) x 1,2= 2 (−0,874 ) −( 1,75 )+ √ (1,752)− 4 (−0,874 )( 2,627 ) x 1,= =−1 2 (−0,874 )
−( 1,75 ) + √ (1,752 )− 4 (−0,874 )( 2,627 ) x 2= =3 2 (−0,874 ) b. usando el metodo de la biseccion
f ( 2,9 ) =¿−0,874 ( 2,9 ) + 1,75 ( 2,9 ) + 2,627 =0,35166 2
f ( 3,1 )=¿−0,874 ( 2,9 ) + 1,75 ( 2,9 ) + 2,627 =−0,34714 2
Signos opuesto por lo tanto existe un cero
;alculamos el punto medio del intervalo <$.(,".= x n=
2,9+ 3,1 2
=3
2
f ( 3 ) =¿− 0,874 ( 3 ) + 1,75 ( 3 )+ 2,627 =0,01100
debido a que f ( 3 ) y f ( 2,9 ) f ( 3,0 ) f ( 3,1)
f ( 3,1 )
tienen si#nos opuesto entonces la raiz se localiza en el intervalo <",".=
f ( 3 ) = 0,01100 f ( 3,1 )=−0,34714
x n=
3 + 3,1 2
=3,05000 2
f ( 3,05000 )=−0,874 (3,05000 ) + 1,75 ( 3,05000 ) +2,627 =−0,16588
f ( 3,0 ) f ( 3,05 ) f ( 3,1)
debido a que f ( 3 ) y
f ( 3,050 )
tienen si#nos opuesto entonces la raiz se localiza en el intervalo <",".'%=
f ( 3 ) = 0,01100 f ( 3,05 ) =−0,16588
x n=
3 + 3,05 2
=3,02500
f ( 3,02500 )=−0,874 (3,02500 ) + 1,75 ( 3,02500 ) +2,627 =−0,07690 2
f ( 3,0 ) f ( 3,05 ) f ( 3,1)
8
xi
xv
xn
x
e
f (¿¿ n )
¿
$,(
",
",'
$
",'
",
",'%'
−0,16588
,&"("
"
",'
",'%
",'
%$−0,07690
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",' ",' ",'
",'$% ",'$% ",''&
%$",'$% ",''&$% ",''"
%$>','"$) >','')? ',''''?"
',( ',$'?('' ',''
0,01100
Se puede observar que en cada iteraci!n se aproxima el valor más ",' y el error tiende a '.
DIA5RAMA DE FLUJO
E>e<97o de
2
+ 1,75 x + 2,627
empleese un valor inicial de x i=3,1 .R ealize los calculos :asta Ea sea menor que Es =0,01 f ( x )= 2∗ (−0,874 ) x + 1,75 '
'
f ( x )=−1,748 x + 1,75
− 0,874 xi2 + 1,75 x i+ 2,627 x i+ 1= x i− −1,748 x i+ 1,75 El error aproximado es
|
| a|= ϵ
xi +1− x i x i+ 1
|
∗100 < ϵ s
empezamos con x 0=3,1 x i
x i+ 1
Ea
", ",''%")'% ",''"?
",''%")'% ",''"? ",''"%)
','?"?@ ,)%$E>'%@A','@
f ( x ) , x u , x i , ∈s
DIA5RAMA DE FLUJO
E>e<97o de
f ( x u)( x i− x u ) f ( xi ) − f ( x u)
|
| a|= ϵ
xi +1− x i x i+1
|
∗100 < ϵ s
*etermine las ra+ces reales de f ( x )=− 0,874 x
•
2
+ 1,75 x + 2,627
empléense como valores iniciales ( x )i =2,9 y x u=3,1 . ;alculese el error
9rimera iteracion
( x )i = 2,9 f ( x )i=− 0,874 ( 2,92 ) + 1,75 ( 2,9 ) + 2,627 =¿ ',"%&& ( x )u = 3,1 f ( x )u =− 0,874 ( 3,12 ) + 1,75 ( 3,1 )+ 2,627 =¿ >',"? f ( x )i f ( x )u =−0,122075252
x r=3,1 −
−0,34714 (2,9− 3,1) =3,00065 0,35166 −(−0,34714 )
f ( x r ) =−0,874 ( 3,00065 ) + 1,75 ( 3,00065 )+ 2,627 =0,008739634 2
f ( 2,9 ) f ( x r ) f ( 3,1 )
debido a que f ( x r ) y
f ( 3,1 )
tienen si#nos opuesto entonces la raiz se localiza en el intervalo < x r , 3,1 =
continuamos iterando
8
xi
xv
xr
x
e
f (¿¿ r )
¿
$ "
$,( ",'''&% ",''"'( ",''"
", ", ", ",
",'''&% ",''"'( ",''" ",''"%
','')?' ','''$'? ,))&E>'& ,%$)E>'?
',')$&"?) ',''($'' $,$?E>'(
DIA5RAMA
DE
FLUJO
CONCLUSIONES •
•
•
• •
Bos métodos numéricos nos permiten resolver problemas matemáticos dif+ciles de resolver por métodos comunes. Ba incertidumbre es el #rado de alejamientos entre s+, a las diversas aproximaciones a un valor real. 6odos los cálculos y procedimientos utilizados en los métodos numéricos implican un error que se debe estimar. Existen diferentes factores que pueden contribuir al error en los cálculos. Bos errores numéricos se #eneran con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Esto incluye errores de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente n-meros exactos.
•
BIBLIO5RAFIA
9rof. Calter 7ora D,Debrero $'", 76O*OS 837R4;OS.4mplementaciones en 5asic 1BibreOffice, Excel2y Fx7axima.Gctualizaci!n parcial, Escuela de 7atemática,4nstituto 6ecnol!#ico de ;osta Rica. ;.;:apra, Steven, Et al, ((%, 76O*OS 837R4;OS 9GRG 48HE84EROS, , 7éxico, Ed 7; HRGC>I4BB 9ublicado por SG84*G* GB47E86GR4G " *E DE5RERO $'')J Grticulo 7E6O*OS 837ER4;OS, 6EOR4G *E ERRORESJ 6omado de la 3RB :ttpKKbioquimica'.blo#spot.comK$'')K'$Kteora>de>errores.:tml H47SL5BOHJ Grticulo G8MB4S4S *E ERRORES 9GRG BOS 76O*OS 837R4;OSJ 6omado de numericosK
la
3RB
:ttpsKK#imc.Fordpress.comKanalisis>de>errores>para>los>metodos>
6E;8OBOH4;O *E 7O86ERRENJ *ocumento 76O*OS 837R4;OS N MBHE5RG B48EGB ;5'')%J 6omado de la 3RB :ttpKKcampus.cva.itesm.mxKnaziraK;b'')%KG96$GproximacionesNErroresRedondeo.pdf
