UNAD – UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería
ACT 10: TRABAJO COLABORATIVO UNIDAD 2 METODOS NUMERICOS CODIGO 100401 Ingeniería de Sistema
Preparado por Juan David Pedroza Valdés GRUPO: 100401_45
Tutor Carlos Edmundo López Sarasty
OCTUBRE 2014
INTRODUCCIÓN Por medio de la realización de este trabajo se adquirió conocimiento de igual manera se identificaron sus propósitos y temáticas de cada unidad de estudio, Permitiendo que se evidencie el contenido del módulo, orientando a estudiar la aplicación de los conceptos y normatividad de los diferentes tipos de ecuaciones como lo son las lineales, no lineales, y considero que la finalidad de este curso es que se puedan identificar las diferentes herramientas que se usan en los métodos numéricos para fortalecer nuestros conocimientos en este nuevo proceso de formación.
OBJETIVO GENERAL Comprender la estructura del módulo y entenderla, para fundamentar el estudio de los métodos numéricos como son las diferencias entre los sistemas lineales y no lineales. Para dar la solución a problemas reales y adquirir conocimiento sobre las temáticas y los objetivos del curso, para así llevar a buen término la materia y lograr cumplir las metas propuestas durante el semestre.
ACT 10: TRABAJO COLABORATIVO NO. 2 El trabajo se compone de dos partes: Actividades a Resolver: Fase 1 - Identificar los sistemas de ecuaciones lineales de los no lineales. Primera Parte: La construcción de un mapa conceptual por capítulo de la Unidad “Sistema de Ecuaciones Lineales, no Lineales e Interpolación”” con base a la lectura y análisis los estudiantes del curso realicen del contenido de la Unidad 2. METODOS NUMERICOS
UNIDAD 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, NO LINEALES E INTERPOLACIÓN
CAPITULO 3. SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES
CAPITULO 4. INTERPOLACIONES
Tiene
Presenta
LECCIÓN 7. MÉTODOS DE ELIMINACIÓN
LECCIÓN 8. MÉTODOS DE GAUSS- JORDAN
Es aquel en el que se eliminan las incognitas mediante la combinación de las ecuaciones. Se conoce como el método de eliminación
Este método constituye una variación del método de eliminación de Gauss, permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultaneas, con 8 o 10 digitos significativos
Lección 9. METODOS DE GAUSS- SEDIEL Presenta 5 pasos
consiste 1. La primera ecuación se divide entre el coeficiente de x1en esa ecuación para obtener :
Tiene INVERSIÓN DE MATRICES
1. Asignar un valor a cada incognita que aparezca en el conjunto
2. Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la incognita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando para las otras incognitas los valores supuestos 3. pasar a lasegunda ecuación y determinar en ella el valor de la incognita del coeficiente más grande en esa ecuación.
2. La ecuación se multiplica entonces por el coeficiente de x1de la segunda ecuación y la ecuación que resulta se resta de la misma, eliminando asi x1 y asi sucesivamente hasta eliminar x1 de todas las ecuaciones:
4. continuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor calculado de la incognita que tiene el coeficiente más grande
4. Siguiendo los pasos anteriores, la segunda ecuación se convierte en la Ecuación Pivote, y los pasos de la parte 1 se repiten para eliminar x2 de todas las ecuaciones que siguen a esta ecuación pivote.esta reducción nos conduce a:
5. se utiliza la tercera ecuación como pivote, se usa el procedimiento descrito para eliminar x3, de todas las ecuaciones que siguen a la tercera ecuación, se continua hasta que el conjunto original de ecuaciones ha sido reducido a un conjunto triangular 6. este valor se sustituye en la antepenultima ecuación del conjunto triangular para obtener un valor de xn-1 y asi sucesivamente
LECCIÓN 11. POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON
Consiste Es una reformulación del polinomio de Newton que evita los calculos de las diferencias divididas, se puede representar como:
LECCIÓN 12. INTER. POLINOMIAL DE LAS DIFERENCIAS FINITAS DE NEWTON
LECCIÓN 13. AJUSTE DE CURVAS
LECCIÓN 14. TRANSFORMADAS DISCRETAS DE FOURIER
Consiste en encontrar una curva que contengan una serie de puntos y que posiblemente cumpla una serie de restricciones adicionales.
Es una aplicación que hace corresponder a una función f, con valores complejos y definida en la recta, con otra función g definida de la siguiente manera:
Se divide en
INTERPOLACIÓN LINEAL La fórmula más simple de interpolación es la de conectar dos puntos con una linea recta.
INTERPOLACIÓN CUADRATICA
Las diferencias finitas se usan para evaluar los coeficientes de la ecuación (1) , los cuales se sustituyen en la ecuación (2) para obtener el polinomio de la interpolación
Si se dispone de 3 puntos lo anterior se puede llevar a cabo con un polinomio de segundo orden (llamado tambien polinomio cuadratico o parábola):
B0 = f (X0) B1 = f [X1, B2 = f [X2, X1, X0] ...
5. continuar iterando hasta que el valor de cada incognita, determinado en una iteración particular, difiera del valor obtenido en la iteración previa en una cantidad menor
3. la ecuación utilizada para eliminar las incgonitas en las ecuaciones que lasiguen se denomina Ecuación Pivote. En la ecuación Pivote, el coeficiente de la incognita que se va a eliminar de las ecuaciones que la siguen se denomina el coeficiente pivote (a11 en los pasos previos)
LECCIÓN 10. POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
bn = f [Xn, Xn-1, ..., X1, X0]
Fase 2. Analizar las técnicas Numéricas para La solución de Problemas de sistemas de ecuaciones Resolver el sistema matricial planteado en el video Interpolación por los métodos:
Sistema matricial aplicando el método de gauss jordan
Encuentra el pivote en la primera columna de la primera fila
Resta la primera fila de la segunda
Resta la primera fila de la tercera
Hace el pivote en la segunda columna dividiendo la segunda fila por 5
Multiplica la fila 2 por 5
Resta la segunda fila de la primera fila y se restaura
Multiplica la fila 2 por 10
Resta la segunda fila de la tercera fila y se restaura
Hace el pivote en la tercera columna dividiendo la tercera fila por 50
Multiplica la tercera fila por -50
Resta la tercera fila de la primera fila y se restaura
Multiplica la tercera fila por 15
Resta la tercera fila de la segunda fila y restaurarla
Para corroborar la solución reemplazamos los valores en la ecuación 1 y se nos debe cumplir la igualdad.
=19
=19
Fase 3 Distinguir las aplicaciones de los sistemas de ecuación Eliminación de gauss Gauss – Jordan Gauss - Seidel
en la Ingeniería
Los métodos numéricos para la solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales se dividen en dos categorías generales: métodos exactos y métodos aproximados. Se usan comúnmente dos métodos; la eliminación gaussiana y el método de Gauss- Jordan. Se recomienda utilizar la estrategia de pivoteo en cualquier implementación que se haga de estos métodos sobre una computadora. Con la ayuda de esta estrategia, los errores de redondeo disminuyen y se evitan los problemas como división entre cero. Aunque en todos los demás sentidos son iguales, la eliminación gausiana es preferible a Gauss-Jordan, ya que la primera es un 50% más rápida. Sin embargo, el método de Gauss-Jordan sigue siendo útil ya que se puede modificar un poco de manera que se pueda obtener la matriz inversa como beneficio adicional en los cálculos. Aunque los métodos de eliminación tienen una gran utilidad, el uso de toda la matriz de coeficientes puede ser un factor muy importante cuando se trata de sistemas muy grandes y dispersos. El método de Gauss-Seidel es diferente a los métodos exactos, en cuanto que éste, emplea un esquema iterativo en la obtención progresiva de aproximaciones más cercanas a la solución. Por lo tanto, el efecto de redondeo es un punto discutible dentro del método, ya que las iteraciones se pueden prolongar tanto como sea posible para obtener la precisión deseada. La desventaja del método de Gauss-Seidel es que no siempre converge a la solución exacta o algunas veces los hace de manera muy lenta. Únicamente es confiable para aquellos sistemas dominantes diagonalmente. Además, de que muchos sistemas algebraicos lineales originados de problemas físicos muestran dominancia diagonal, el método de Gauss-Seidel tiene gran utilidad en la solución de problemas de ingeniería.
Teorema Fundamental de Equivalencia:
Puede aceptarse que las siguientes 3 operaciones sobre una matriz ampliada producen otras correspondientes a un sistema equivalente: Intercambiar dos renglones. ( ya que corresponde a reordenar las ecuaciones del sistema). Multiplicar todos los elementos de un renglón por una misma constante. Sumar a los elementos de un renglón los correspondientes elementos de otro multiplicados por una constante. Método de Gauss-Jordan: Este método también utiliza el teorema fundamental de equivalencia para resolver un sistema de ecuaciones lineales. El método consiste en convertir el sistema expresado como matriz ampliada y trabajar para transformarlo en un la matriz identidad quedando en el vector de términos independientes el resultado del sistema. El procedimiento es similar al proceso de la eliminación gaussiana con la diferencia que no solo elimina los términos debajo de la diagonal principal sino también los que están sobre de ella. Es importante mencionar que este método es muy adecuado para obtener la matriz inversa de una matriz. Método de Gauss-Seidel: Este método es iterativo o de aproximación y es similar a las técnicas para obtener raíces vistas en el tema anterior. Aquellos métodos consisten en la determinación de un valor inicial a partir del cual, mediante una técnica sistemática se obtiene una mejor aproximación a la raíz. La razón por la cual los métodos iterativos son útiles en la disminución de los errores de redondeo en sistemas, se debe a que un método de aproximación se puede continuar hasta que converja dentro de alguna tolerancia de error previamente especificada. Las técnicas iterativas se emplean rara vez para resolver problemas de dimensiones pequeñas ya que el tiempo requerido para lograr una precisión suficiente excede al de las técnicas directas. Sin embargo, para sistemas grandes con un gran porcentaje de ceros, ésta técnica es eficiente. Los sistemas de este tipo surgen frecuentemente en la solución numérica de problemas de valores frontera y de ecuaciones diferenciales parciales.
Algoritmo: 1. Se debe despejar da cada ecuación despejar la variable sobre la diagonal principal. 2. Dar un valor inicial a las incógnitas (X generalmente se establecen ceros). 3. Sustituir los valores iniciales en la primera ecuación para obtener un nuevo valor para la primera incógnita. 4. Ese nuevo valor es usado para obtener el valor de la siguiente incógnita. Este procedimiento se repite hasta obtener los nuevos valores de todas las incógnitas despejadas. 5. Se evalúa la aproximación relativa de todas las incógnitas hasta que la solución converja bastante cerca de la solución real, según la tolerancia establecida para el método. Ejemplo del método Gauss Sediel 1. Obtenga las cuatro primeras iteraciones empleando el método de Gauss-Seide para el siguiente sistema lineal. Según los resultados concluya la posible solución del sistema, es decir, concrete cual es la solución
1. Asignamos valores iniciales a las incógnitas:
2. En segundo paso despejamos las variables de las ecuaciones para obtener x 1, x2 y x3:
3. Comenzamos las iteraciones:
Iteración 1:
(
) R1+R
Comprobación: (
)
(
(
)
)
(
Iteración 2:
(
(
Comprobación:
)
)
(
)
)
(
)
(
)
( (
) )
(
(
) )
Iteración 3:
(
(
)
)
Comprobación: (
)
(
)
( ( Iteración 4:
)
) (
(
) )
(
(
)
)
Comprobación: (
)
(
)
( (
)
) (
(
) )
Solución: Podemos concluir que la solución al ejercicio está muy cerca aproximadamente 8 iteraciones más dado que los valores obtenidos se acercan a la igualdad. Los valores obtenidos en 4 iteraciones dan como solución, si redondeamos o truncamiento en el decimal, los siguientes valores:
Si realizamos 8 iteraciones más obtendríamos valores aproximados a (use la hoja de Excel para ver esta posible solución):
Fase 4 Evaluar las diferentes técnicas numéricas para la solución de sistemas de ecuaciones
Teniendo en cuenta los datos de la tabla que se presenta en el video Suponga las condiciones ideales y halle el polinomio de diferencias divididas de newton. Además identifique los coeficientes de x y x^2 y compare su respuesta con la obtenida en el anterior procedimiento.
CONCLUSIÓN Podemos concluir que los estudiantes involucrados en el presente trabajo colaborativo comprendieron los conceptos de la unidad II del curso Método Numérico. Algunos de los conceptos estudiados se relacionan con los métodos de iterativos de eliminación y las interpolaciones de polinomios, por este motivo los estudiantes tienen el conocimiento necesario para utilizarlos en casos reales de la vida profesional.
BIBLIOGRAFIA Carlos Iván Buchelli; Modulo Métodos Numéricos Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Protocolo Académico. Campus virtual Métodos Numéricos UNAD http://campus07.unadvirtual.org/moodle/course/view.php?id=77 http://www.scoop.it/t/metodos-numericos/p/4018804710/2014/04/01/metodos-numericosparte-2-interpolacion
