Aplikasi PD Orde 1

TUGAS PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Aplikasi P.D Orde-1

JURUSAN MATEMATIKA MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI PADANG 2014

A. Tr Trayektor ayektor !rto"o#a$ Trayektori Trayektori ortogonal adalah dua rumpun kurva yang saling tegak lurus. System I

:

y = f ( ( x x , c )

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.













System II : y = g ( x , c ) Setiap kurva system II memotong tegak lurus setiap kurva system I (garis singgung saling tegak lurus). System II merupakan trayektori orthogonal dari system I atau sebaliknya, sehingga

( ) ( ) =− − = ( ) dy dy . dx I I dx

dy dx

1

II II

1

II II

dy

Langkah untuk menentukan trayektori orthogonal : 1. Sist Sistem em kurv kurvaa dik diket etah ahui ui 2. enentukan enentukan !." !." pada system system I #. engganti 1 dy

( ) dx

4.

dengan−

II II

( ) dy dx

(!." (!." 1)

( P . D 2)

I

Selesaikan !." 1 dan 2

Contoh Soal

Tentukan Tentukan lintasan ortogonal dari setiap keluarga kurva yang diberikan. "alam setiap kasus, sketsalah beberapa anggota keluarga keluarga dan beberapa lintasan ortogonal pada sumbu yang sama . 2

1.

2

x + y =cy $a%ab : "iketahui sistem I adalah 2

x + y x + y =cy dima dimanac nac = y 2

2

2

&kan di'ari !." dari sistem I, maka 2

2

x + y =cy difer diferensi ensialk alkan an , se hingga hingga2 x dx + 2 y dy =c dy 2 x dy = 2 dx













2 xy dy = 2 2 P . D 1 dx x − y

&kan di'ari trayektori orthogonal, maka didapat, −1 dy

( )= dx

II II

( ) dy dx

( ) dy dx

I

2

y − x = 2 xy II II 2

2

2

dy y − x P . D Homo Homoge gen n = 2 xy dx ntuk men'ari solusinya, misalkan :

y = vx dy = v dx + x dv Subsitusikan ke !." omogen, sehingga 2

2

v dx + x dv x v − x = 2 dx 2 x v

2

2

dv v −1 −v x = 2v dx

dv −1− v x = 2v dx

2

(

)

2v dx dv = x −1 −v 2

maka maka , ln | x|=− ln|−1− v

|+ln|c|

2

x (−1− v )= c 2

(

2

)

y x −1 − 2 =c x

− x 2− y 2

2 2 hingga a x + y =−cx =c se hingg













2

2.

y = 4 cx $a%ab : "iketahui sistem I adalah 2

y y = 4 cx dima dimanac nac = 4 x 2

&kan di'ari !." dari sistem I, maka 2

y = 4 cx aka, 2 y dy =4 c dx

dy 2 c = dx y Subsitusikan nilai ', sehingga diperoleh,

dy y = P. D 1 dx 2 x &kan di'ari trayektori orthogonal, maka didapat, −1 dy

( )= dx

II II

( ) dy dx

=

II II

( ) dy dx

I

−2 x y

Sehingga, didapat solusinya,

y dy =−2 x dx 1 2 2 2 2 y + x = catau 2 x + y =C 2

$adi, *eluarga kurva

2 x

2

+ y 2=C

2

adalah trayektori orthogonal dari

y = 4 cx .













garam per gallon dituangkan kedalam tangki tersebut dengan la+u e gal/menit , sementara pada saat yang sama larutan yang sudah teraduk dengan baik meninggalkan tangki dengan la+u  gal-menit. Soal yang ingin diselesaikan adalah menentukan +umlah garam didalam tangki pada setiap %aktu t.

&nggaplah Q melambangkan +umlah (dalam pon) garam dalam tangki pada setiap %aktu t.l+u perubahan Q, dQ/dt , sama dengan la+u masuknya garam kedalam tangki dikurangi dengan dengan la+u keluarny keluarnyaa garam dari tangki. aram memasuki tangki tangki dengan dengan la+u b e lb/menit . ntuk menentukan la+u keluarnya garam dari tangki, pertama/tama kita hitung volume air asin didalam tangki pada setiap %aktu t, dengan volume a%al

V 0

ditambah dengan volume air

asin yang ditambahkan dan dikurangi dengan volume air asin yang dikeluarkan ft . $adi, volume air asin pada setiap %aktu adalah

V 0 + e t =−ft

*onsentrsi garam didalam tangki pada setiap %aktu adalah

Q V 0+ e t − f t sehingga dari sini dikatahui garam keluar dari tangki dengan la+u

f

(

)

Q lb /menit V 0 + e t −f t

Jadi,

(

)

d Q =b e − f dt V 0 + e t − f t

!ehingga

(

)

d Q + f =b e dt V 0 + e t − f t













sudah ter'ampur air garam se'ara teratur # liter-menit. "alam %aktu yang sama bak +uga dimasukka dimasukkan n # liter liter air murni. $ika di+aga di+aga agar kondisi kondisi garam dalam bak merata merata setiap saat dengan dilakukan pengadukan, berapa lama agar garam yang ada dalam bak sesuai dengan yang diharapkan, yaitu 200 kg. $a%ab :

" ( t )= Jumlah Jumlahgar garam am yangterda#at yangterda#atdal dalam am bak d" = $a%u #erubahan #erubahan %umlah garam dt

d" %umlah garam yangmasuk −la%u %umlah %umlah garam garam yang keluar keluar = $a%u %umlah dt

¿ ≫ $a%u garam yangmasuk =0 ¿ ≫ $a%u garam yangkeluar = Sehingga,

3 " & 3 $ / mnt = " / mnt 100 $ 100

d" −3 " = 100 dt

Solusi,

d" −3 " d" = = dt sehingga dt 100 −3 " t 100

−100 3 −100

"

3

ln|"|=t + ln |c| −3

maka " ( t )=( c e ) = c e maka t

t 100

atau

−3 t

" ( t )=C e 100 Pada saat t =0 kita kita #unya "=300 sehingga 0

300=C e

=≫ C =300















− 3 t

200=300 e 100

||

−3 t

2 2 =e 100 sehingga ln 3 3

=−

3 t 100

aka,

−0.4055=

−3 t 100

t =13 . , )e#t $adi, air garam dalam bak akan sesuai dengan yang diharapkan dalam %aktu 1-., )e#t.

2. Sebuah Sebuah tangki tangki berisi 20 kg garam garam yang dilarutka dilarutkan n dalam 000 000 L air. Larut Larutan an garam yang mengandung 0.0# kg garam per liter air memasuki tangki dengan la+u 2 L-menit. Larutan tetap teraduk rata dan dialirkan keluar dari tangki dengan la+u yang sama. erapa banyak garam yang terdapat dalam tangki setelah setengah +am3 #. $a%ab: isalkan :

y (t )= Jumlah Jumlah garam setelah setelah t menit dy #erubahan %umlah garam = $a%u #erubahan dt dy = la%umasuk −la%u keluar dt

kg $a%umasuk $a%u masuk =0.03 & 25

$

=0.75

kg













d engan menyelesaikan persamaan dierensialterpisah ini, kita peroleh,

dy 150 − y

=

dt 200

integral integralkankedu kankedua a ruas, sehingg sehingga a dida#at dida#at ,

−ln|150− y|=

t 200

+c

karena y ( 0 )=20, kita #eroleh #eroleh− ln|130|=c , sehin sehingga gga

−ln|150− y|=

t 200

±ln|130|

, +adi

−t

|150− y|= ln|130|e

200

'arena 'arena y ( t ) kontinu kontinu dan y ( 0 )=20 d anru an ruaskan askanan an tidak tidak #erna #ernah h 0 kita sim#ulkan sim#ulkan

bah(a 150 − y ( t ) selalu selalu #ositif #ositif . Jadi Jadi ,|150− y|=150 − y , sehingga y (t )=150 −¿ 130

− t

e

200

Jadi, Jadi , banyakn banyaknya yagar garam am setelah setelah 30 menit adalah













7alaupun 7alaupun demikian, tetap memberikan perkiraan yag baik untuk hukum/hukum isis yang mengatur system sema'am itu. Contoh Soal

1. Suatu kultura kultura bakteri bakteri diketahu diketahuii berkembang berkembang dengan dengan la+u yang proporsi proporsional onal dengan dengan +umlah +umlah yang ada. Setelah satu +am, 1000 untai bakteri teramati dalam kultur tersebut dan setelah 8 +am men+adi #000 untai. 9ariah ekspresi matematika perkiraan +umlah untaian bakteri yang ada dalam kultura tersebut pada setiap saat dan perkirakan +umlah a%al untai bakteri dalam kultur tersebut $a%ab : a. ;kspr ;kspresi esi matemat matematika ika perkira perkiraan an +umlah +umlah untaia untaian n bakter bakterii yang yang ada dalam kultur kulturaa pada pada setiap saat. isalkan :

* ( ( t )= Jumlah Jumlahunta untaii bakteridalam bakteridalam kultura kulturall pada %aktu t d* = $a%u #erubahan %umlahbakteri setia#(aktu setia# (aktu dt Sehingga,

d* d* =k * ( ( t ) =≫ − k * ( ( t )=0 dt dt

t ( 1 )=1000

Solusi,













sehingga sehingga dida#at , 4 k

c e =3000 k

3 k

c e . e =3000 3 k

1000 e

=3000

sehingga ga k =0.366 3 k = ln|3|sehing Subsitusikan nilai k, pada syarat 1000= c e

0.366

didapat

t ( 1 )=1000

sehingga diperoleh,

c =694

aka diperoleh solusi,

* ( ( t )= 694 e

0.366 t

$adi, model matematika untuk +umlah bakteri yang ada pada %aktu t adalah

* ( ( t )= 694 e

0.366 t

b. !erkirakan +umlah a%al a%al untai bakteri dalam kultura kultura 0 t =0 maka * ( ( 0 )=694 e = ≫ * ( ( 0 ) =694 $adi, +umlah a%al untaan bakteri adalah /4 +#taa# 2. !opulasi !opulasi penduduk penduduk di &merik &merikaa diketahui diketahui meningkat meningkat dengan dengan la+u yang porposio porposional nal dengan dengan +umlah penduduk yang yang sekarang hidup. "alam tahun tahun 1<=0 +umlah penduduk penduduk &merika &merika #.=# +uta penduduk kemudian kemudian pada tahun 1>=0 +umlah +umlah penduduknya men+adi men+adi ?2.= +uta +i%a. !erkirakan pertumbuhan penduduk &merika sebagai ungsi dari %aktu













dP (t ) dP ( t ) =k P ( t ) =≫ = k dt dt P ( t ) "iperoleh, ln | P (t )|= ln|c e

P (t )= c e

|

kt

kt

!yarat ,

t ( 0 ) =3.93 maka 3.93 =c e dida#at c =3.93 0

t ( 100 )= 62.95 maka 62.95 =3.93 e

100 k

ln |62.95|=ln |3.93 −e

|

100 k

!ehingga !ehingga , di#eroleh di#eroleh ln |62.95|−ln |3.93|=100 k

k =

4.14 −1.37 maka maka k =0.027737 100

Jadi , #erkir #erkiraan aan #ertumbu #ertumbuhan han #endudu #endudukk +merik +merika a sebagai sebagai fungsidari fungsidari (aktu (aktu adalah adalah

P (t )=3.93 e

0.027737 t















d* ( t ) =la%u #erubaha #erubahan n saldo #ada (aktut dt !ehingg !ehingga a, d* ( t ) =0.05 * (t ) dt Solusi,

d* ( t ) =0.05 * ( t ) dt d* ( t ) = 0.05 dt sehingga ln | * (t )|=0.05 t + ln|c| * (t ) * ( ( t )= c e

0.05 t

$adi, model matematika untuk +umlah saldo pada tiap %aktunya adalah













dalam rekening tersebut setelah < tahun +ika suku bunganya konstan sebesar >.A selama tahun pertama dan konstan sebesar =.2A selama tiga tahun terakhir3 $a%ab :

* ( ( t )= Jumlah Jumlah saldo saldo dalam dalam reken rekening ing #ada #ada (aktu (aktu t d* ( t ) #erubahansaldo ahansaldo tia#(aktu t =la%u #erub dt !ehingg !ehingga a, d* ( (t ) =0.085 * ( t ) dt Solusinya,

d* ( (t ) =0.085 * ( ( t ) dt 0.085 * ( t )

ln | * ( ( t )|=0.085 t se se h ingg ingga a * ( ( t )=c e

dengan 0  t  4

Pada saat , * ( ( 0 )=500 maka 500=c e di#erolehc =500 0













d* ( (t ) =0.0925 * ( ( t ) dengan 4 < t  7 dt d* ( (t ) * ( t )

=0.0925 dt

ln | * ( ( t )|=0.0925 t + ln |c|

* ( ( t )= c e

!ada saat,

0.0925 t

t = 4, * ( ( 4 )= - 7024.74

terankhir sehinggga sehinggga di#eroleh di#eroleh , Subsitusikan nilai * ( ( 4 ) kebentuk terankhir 0.0925 & 4

7024.74 =c e

di#er di#erol olee h c = 4852.33













ukum erak *edua 4e%ton : aya netto yang beker+a pada benda sebanding dengan la+u perubahan momentum benda benda tersebut atau untuk untuk massa konstan.

dv  =m dt /ntuk soal yangdihada#iini,adaduagaya yangberaksi #adabenda0( 1 ) gaya grafitasi grafitasi karena karena 1obot benda %, yang sama dengan mgn dan (2)gaya karena hambatan udara Bkv, dimana k

20

adalah adalah suatu konstanta konstanta proporsio proporsionalit nalitas. as. Tanda anda minus minus diperluka diperlukan n karena karena gaya ini

mela%an ke'epatan, artinya gaya ini beker+a kearah atas, atau negative. "engan demikian gaya netto C pada benda adalah C6mg/kv. "engan memasukkan hasil ini ke dalam bentuk terakhir, sehingga

dv mg− kv =m dt atau

dv k + v = g dt m













a.

!ada kondisi a%al

( t =0 danv =0 )

dimana dimana tidak tidak ada hambatan hambatan udara, udara, maka maka

k =0 Sehingga, 0 =g ( 0 ) + c

c =0 "iperoleh,

v =¿ dimanag =32 m / s

2

$adi, ke'epatan benda pada tiap %aktu adalah

v ( t )=32 t

b. *arena ke'epatan adalah la+u la+u perubahan perpindahan perpindahan terhadap %aktu maka, maka,

v=

dx dt

32 t =

dx dt

sehingga sehingga di#eroleh di#eroleh , 2

x =16 t + c















a. ;kspresi matematis untuk ke'epatan benda pada setiap %aktu t. . ;kspresi matematis untuk posisi benda pada setiap %aktu t. $a%ab : a. "iketahui : ( =64 ne(ton

Sehingga, 32 m=64

m=2 kg 'ece#atan limit v 1= 128=

2 & 32

k

mg ,dimanak > 0 sehing sehingga ga , k

maka maka k =

1 2













b. &kan di'ari posisi posisi benda pada setiap %aktu %aktu t

v=

dx dt −1

t dx =−118 e 4 + 128 dt

Integralkan Integralkan,, sehingga sehingga di#eroleh di#eroleh x =472 e

−1 t 4

+ 128 t +c













1. Sebuah Sebuah rangkaian rangkaian memiliki memiliki em  volt, volt, reisitensi reisitensi 0 ohm, induktan induktansi si 1 henry, henry, dan tanpa tanpa arus a%al. 9arilah arus dalam rangkaian ini pada setiap %aktu t. $a%ab : "iketahui : 4=5 5 =50 $=1 Subsitusikan, ke persamaan

dI 5 4 + I = dt $ $ Sehingga men+adi,

dI + 50 I =5 P . D 3rde 3rde −1 dt 50 dt 50 t aktor Integra si : e∫ =e













2. Sebuah Sebuah rangkaian rangkaian listrik listrik dihubun dihubungkan gkan seri seri terdiri terdiri dari sumber sumber tegangan tegangan D volt, volt, tahanan E ohm, dan indu'tor L henry. L, D, dan E konstanta. erapa besar arus i(t) +ika diketahui pada t60, i60. $a%ab : "engan menggunakan hokum khir'o 1 diperoleh :

di $ + 5i =V den denga gan n $ , 5 dan dan V tet teta#. a#. dt meru#ak meru#akan an PD1 PD1 $inear $inear :

di 5 V + i= dt $ $ 5

5t













C, 'arilah %aktu yang diperlukan oleh batang tersebut agar men'apai suhu 2 o C dan tentukan suhu batang tersebut setelah 10 menit $a%ab: *arena temperatur benda konstan, maka Tm60 sehingga diperoleh

d6 + '6 = 0 dt d6 =− '6 dt d6 =− 'dt 6 ln 6 =− 't + lnc















ln

1 =−0,035 t 4

t =39,068













c =−50 Solusi men+adi

−kt

6 =−50 e

Syarat t ( 5 ) =60 ℉ maka

+ 100













d6 =− ' (6 −290 ) dt

∫ 6 −d6 290 =−∫ ' dt













$a%ab: isalkan :

5 ( t ) =1anyak 1anyak :at radioa radioakti ktiff #ada #ada (aktu (aktu t d5 ( t )

$a%u #erubaha #erubahan n %umlah :at radioakif radioakif ta# (aktu













k =−0,053

"engan demikian, diperoleh +umlah massa pada %aktu

t :







































Aplikasi PD Orde 1

Recommend Documents