Sistem Persamaan Diferensial " 1
APLIKASI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU
Untuk memenuhi tugas mata kuliah Persamaan Diferensial
Yang dibina oleh
Bapak Dr. Baiduri, M.Si
Oleh
Kelompok VIII
PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG
TAHUN 2016
DAFTAR ISI
Kata Pengantar i
Daftar Isi ii
BAB I Materi PD yang Sesuai
BAB II Aplikasi PD
BAB II Latihan Soal
BAB II Kesimpulan
DAFTAR PUSTAKA
BAB I
MATERI PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pengertian Sistem Persamaan Diferensial dan Jenis-jenisnya
Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem yang memuat n buah persamaan diferensial, dengan n buah fungsi yang tidak diketahui, dimana n merupakan bilangan bulat positif lebih besar sama dengan 2 (Finizio dan Ladas, 1982:132). Antara persamaan diferensial yang satu dengan yang lain saling keterkaitan dan konsisten.
Bentuk umum dari suatu sistem n persamaan orde pertama mempunyai bentuk sebagai berikut :
dy1dx=f1(x,y1,y2,…,yn)
dy2dx=f2(x,y1,y2,…,yn)
.........................................
dyndx=fnx,y1,y2,…,yn ................................. (1.1)
dengan y1,y2,…,yn adalah variabel bebas dan x adalh variabel terikat, sehingga y1=y1x, y2=y2x, …yn=ynx, dimana dyndx merupakan derivatif fungsi yn terhadap x, dan fn adalah fungsi yang tergantung pada variabel y1,y2,…,yn dan x (Claudia,2004:702).
Bentuk lain sistem persamaan diferensial linier orde satu dapat ditulis sebagai berikut. (Ross, 1984: 510)
y1'=a11xy1+a12xy2+…+a1nxyn+g1(x)
y2'=a21xy1+a22xy2+…+a2nxyn+g2(x)
.................................................................................
yn'=an1xy1+an2xy2+…+annxyn+gn(x) ...........(1.2)
untuk aijx, j=1,2,3,…,n adalah fungsi terhadap t. Juga f1(x),f2(x),…,fn(x) merupakan fungsi terhadap t dengan a t b, i,j=1,2,3,..., n merupakan konstanta. Sistem persamaan diferensial pada persamaan (1.2) dapat ditulis dalam bentuk sebuah matriks.
dYdx=AY+f(x)
dengan
Y = [y1,y2,…,yn]
A = a11a21 a12 a22 a1na2n an1an2 …ann
fx =[f1x,f2x,…,fnx]
Contoh 1
SPD Linier
Bentuk martriksnya adalah :
Y=y1y2y3 , A=2-4x2sinxex-1x23x-1 , fx=-2x03
Persamaan (1.2) disebut sistem persamaan diferensial linier homogen jika fix=0, i=1,2,…,n dan disebut linier tak homogen jika ada fn(x) 0. Kemudian disebut sistem persamaan diferensial linier dengan koefisien konstanya jika aijx=aij (kostanta), 1 i, j n.
Contoh 2
SPD Linier Homogen
SPD Linier tak Homogen
SPD Linier Koef. Kostanta
SPD Linier Koef. Variabel
Hubungan PD Orde n dengan Sistem PD
Persamaan diferensial orde n linier, koefisien konstanta dapat ditransformasi menjadi sistem persamaan difensial orde 1 dengan variabel benas n buah.
yn=f(x,y,y',…,y(n-1)
Misalkan variabel beabas baru y1,y2,…,yn sebagai berikut.
y1=y, y2=y', …, yn=y(n-1)
Sehingga persamaan diferensialnya menjadi sistem persamaan difensial orde 1 dengan n variabel.
y1'=y2
y2'=y3
...........
yn'=fnx,y1,y2,…,yn
Contoh 3
Tuliskan persamaaan diferensial y'''=xy''-x2 y'+ysinx+x2 sebagai sistem persamaan diferensial !
Jawab:
y1=y
y1'=y'=y2
y1''=y''=y2'=y3
y1'''=y'''=y3'=y4
Sehingga diperoleh SPDL :
y1'=y2
y2'=y3
y3'=xy3'-x2y2+y1sinx+x2
Solusi Sistem Persamaan Diferensial
SPDL dapat ditulis dalam bentuk :
y1'=a11xy1+a12xy2+…+a1nxyn+g1(x)
y2'=a21xy1+a22xy2+…+a2nxyn+g2(x)
.................................................................................
yn'=an1xy1+an2xy2+…+annxyn+gn(x)
Fungsi-fungsi y1(x), y2(x), ... , yn(x) yang didefinisikan pada interval I dikatakan solusi dari SPDL jika fungsi-fungsi tersebut dan turunannya ada pada I dan memenuhi SPDL.
Masalah mencari solusi dari SPDL pada selang I R yang memenuhi syarat awal y1(x0) = a1, y2(x0) = a2 , ... , yn(x0) = an , maka disebut masalah nilai awal
xo R, (a1, a2, …, an) Rn, (xo, a1, a2, …, an) I x Rn
Contoh
Selidiki apakah fungsi-fungsi SPDL dan memenuhi y1(0) = 3, y2(0) = 3
Jawab
y1 =e-2x+2ex y2 =2e-2x+ex
y'1=-2e-2x+2ex y'2=-4e-2x+ex
2y1-2y2 =2e-2x+2ex-2(2e-2x+ex)
=2e-2x+4ex-4e-2x-2ex
=-2e-2x+2ex
2y1-3y2 =2e-2x+2ex-3(2e-2x+ex)
=2e-2x+4ex-6e-2x-3ex
=-4e-2x+ex
Sehingga :
y'1=2y1-2y2
-2e-2x+2ex=-2e-2x+2ex
y'2=2y1-3y2
-4e-2x+ex=-4e-2x+ex
y10=e-2.0+2e0=3
y20=2e-2.0+e0=3
Jadi, y1 dan y2 merupakan solusi dari SPD tersebut dan memenuhi syarat awal yang diberikan
Solusi SPDL Homogen Koefisien Konstanta
Diberikan SPDL homogen dengan koefisien konstanta sebagai berikut :
dxdt=ax+by
dydt=cx+dy ...................................................................(1)
Dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan SPDL homogen koefisien konstanta, terdapat beberapa cara penyelesaian. Salah satu cara penyelesaian tersebut adalh dengan metode eliminasi-substitusi
Diambil Operator diferensial dengan Dx=dxdt dan Dy=dydt maka SPDL di atas adapt ditulis menjadi :
Dx=ax+by atau D-ax-by=0……………………(2)
Dy=cx+dy atau D-cx-dy=0……………………(3)
Jika kita mengeliminir x dari (1) dan (2), maka kita kalikan (1) dengan c dan (2) dengan (D – a) sehingga diperoleh
c (D - a)x – bcy = 0
c (D - a)x – (D - a)(D - d)y = 0
(D - a)(D - d) - bc]y = 0
(D2 – (a + d)D + ad – bc)y = 0 .................................(4)
Persamaan (4) merupakan persamaan diferensial linier (PDL) order-2 dalam y. Jika kita mengeliminir y akan di peroleh PDL order-2 dalam x.
Persamaan karekteristik dari (4) adalah :
r2-a+dr+ad-bc=0…………………………….(5)
Karena (5) merupakan persamaan kuadarat dalam r maka kemungkinan nilai-nilai r adalah sebagai berikut:
Real dan berbeda (r1 r2)
Solusi umum dari sistem (1) adalah y=c1er1t+c2er2t
Real dan sama (r1=r2=r)
Solusi umum dari sistem (1) adalah y=c1er1t+c2xer2t
Kompleks (r=a±bi)
Solusi umum dari sistem (1) adalah y=eαx(c1cosbx+c1sinbx)
(Kartono,1994:117-118) dalam (Yunitasari,2007:9)
Setelah didapatkan solusi umum dari y, kita substitusikan nilai y tersebut ke dalam persamaan (2) untuk mendapatkan solusi umum dari x sehingga di dapatkan solusi umum dari (1).
Dengan memasukan syarat awal ke dalam solusi umum, maka konstanta-konstanta yang muncul (C1,C2,C3,…,Cn) dapat diketahui nilainya.
Solusi SPDL Tak Homogen Koef Konstanta
Mencari solusi SPDL tak homogen dapat dialakukan dengan mencari solusi persamaan homogennya terlebih dahulu. Kemudian mencari solusi khususnya dengan beberapa cara, diantaranya yaitu dengan menggunkan metode koefisien taktentu. Metode koefisien tertentu merupakan teknik untuk mencari solusi partikulir (yp).
Jika diberikan persamaan linier tak homogen dengan koefisien konstanta y" + p y' + p y' + qy = b(x) dan akar persamaan karakteristik dari persamaan homogennya diketahui, maka untuk mencari yp dilakukan prosedur berikut:
Jika b(x) = an xn + … + a1 x + a0, maka
yp = An xn + … + A1 x + A0, bila r = 0 bukan akar.
Yp = x k (Anxn + … + A1x + A0), bila r = 0 merupakan akar kelipatan k, k = 1,2.
Jika b(x) = (an xn + … + a1 x + a0) ebx, maka
yp = An xn + … + A1x + A0 )e bx , bila r = b bukan akar.
yp = x k (Anxn + … + A1 x + A0)e bx , bila r = b merupakan akar kelipatan k,
Jika b(x) = (an xn + … + a1x + a0) ebx sin x + (bmxm + … + b1x + b0) e bxcos x, dan N = max (n,m), maka
yp = (ANx N + … + A1x + A0)e bx sin x + (BNxN + … +B1x + B0 )e bx cos x bila r = b + i bukan akar
yp = xk(ANxN + … + A1x + A0)ebx sin x + xk (BNxN + … + B1x + B0)e bxcos x, bila r = b + i akar kelipatan k, k = 1,2.
BAB II
APLIKASI
Banyak masalah dalam ilmu pengetahuan dan teknik menyangkut pengkajian suatu sistem selama periode waktu tertentu. Kebanyakan masalah ini dimodelkan dengan menggunakan suatu sistem persamaan diferensial, dengan berbagai variabel bebas. Bidang kajian persamaan diferensial tidak hanya bukan sebagai salah satu bagian tercantik dari matematika, namun ia juga merupakan alat yang penting di dalam memodelkan benbagai fenomena dan masalah dalam bidang ilmu-ilmu fisika, kimia, biologi, ekonomi, transportasi dan teknik
Berikut ini merupakan pengaplikasian sistem persamaan diferensial dam berbagai bidang, yaitu :
Teknik
Sistem persamaan diferensial linier (SPDL) merupakan kumpulan dari persamaan diferensial linier yang sering digunakan untuk melukiskan suatu persoalan dalam di kehidupan nyata ke dalam model matematika. Pada struktur bangunan bertingkat, banyak yang mempunyai derajat kebebasan banyak (Multi Degree Of Freedom). Apabila diberikan suatu struktur MDOF (Multi Degree Of Freedom) yang lebih dari satu derajat kebebasan dan ingin mencari beberapa simpangan horizontal tiap tingkat, maka model persamaannya terdiri dari beberapa persamaan diferensial yaitu dalam bentuk SPDL.
Derajat kebebasan (degree of freedom) adalah derajat independensi yang diperlukan untuk menyatakan posisi suatu sistem pada saat. Sehingga struktur yang mempunyai n- tingkat akan mempunyai n- derajat kebebasan atau struktur dengan dengan derajat kebebasan banyak.
Persamaan gerak struktur MDOF dapat disusun dengan pernyataan keseimbangan gaya-gaya efektif yang berhubungan dengan masing-masing derajat kebebasannya. Pada umumnya terdapat empat gaya pada setiap koordinat i : beban luar yang dikenakan fit dan gaya-gaya yang diakibatkan oleh gerak, yakni inersia fIi , peredaman fDi dan elastik fSi sehingga berdasarkan pada prinsip d'Alembert untuk masing-masing derajat kebebasan kesetimbangan dinamika dapat dinyatakan sebagai berikut :
fI1+fD1+fS1=F1(t)
fI2+fD2+fS2=F2(t)
fI3+fD2+fS3=F3(t) (3.1)
fIN+fDN+fSN=FN(t)
Atau dapat dinyatakan dalam bentuk
FI+FD+FS=F(t) (3.2)
dengan
FI=m.y
FD=c.y
FS=k.y (3.3)
Masing-masing gaya yang diakibatkan oleh gerak dinyatakan dengan menggunakan koefisien pengaruh yang sesuai. Misalnya, kita tinjau komponen gaya elastic yang terbentuk pada titik l komponen gaya elastic terdiri dari komponen perpindahan yang terjadi pada semua titik struktur :
fS1=k11y1+k12y2+k13y3+ +k1NyN
Sehingga secara umum
fSi=ki1y1+ki2y2+ki3y3+ +kiNyN
Dalam bentuk matriks gaya elastic dapat di tulis sebagai berikut
fS1fS2 fSi=k11k12k13k21k22k32 ki1 ki2 ki3 k1N k2N k3N y1y2 yi
atau
Fs=ky
Dengan k sebagai matriks kekakuan struktur dan y adalah vektor perpindahan yang menyatakan bentuk perpindahan struktur
Pada gaya redaman kita asumsikan bahwa peredaman dipengaruhi oleh kecepatan dan redaman tipe viskos. Susunan gaya redam diberikan sebagai berikut
fD1fD2 fDi=c11c12c13c21c22c32 ci1 ci2 ci3 c1N c2N c3N y1y2 yi
atau
FD=cy
dengan c adalah matriks redam struktur dan y adalah vektor kecepatan.
Gaya inersia dipengaruhi oleh koefisien massa dan percepatan. Gaya inersia dapat dinyatakan sebagai berikut
fI1fI2 fIi=m11m12m13m21m22m32 mi1 mi2 mi3 m1N m2N m3N y1y2 yN
atau
FI=my
dengan m adalah matriks massa dan y adalah vektor percepatan .
Situasi tersebut dapat dilihat pada gambar berikut :
Strukrur bangunan gedung bertingkat n pada gambar di atas mempunyai n derajat kebebasan. Biasanya jumlah derajat kebebasan suatu struktur dihubungkan langsung dengan jumlah tingkatnya. Persamaan diferensial gerakan pada umumnya, disusun berdasarkan pada goyangan struktur mode pertama. Berdasarkan pada keseimbnagan dinamik pada free body diagram dan prinsip d'Alembert yang telah dijelaskan sebelumnya maka diperoleh
m1y1+c1+c2y1-c2y2+k1+k2y1-k1y2=F1(t)
m1y2-c2y1+c1+c3y2-c3y3-k2y1+k2+k3y2-k3y3=F2(t)
.
.
.
mnyn+cnyn-yn-1+cn+1yn+knyn-yn-1+kn+1yn=Fn(t)
Biologi
Ekologi
Dalam bidang biologi khususnya ekologi, sistem persamaan diferensial digunakan untuk memodelkan interaksi dua populasi. Interaksi populasi yang paling terlihat adalah yang melibatkan pemangsaan, dimana seekor pemangsa memakan mangsa.
Model Predator-Prey
Pada model mangsa-pemangsa, kajian matematis dapat menjelaskan munculnya fenomena turun-naiknya jumlah mangsa dan pemangsa dalam suatu periode tertentu
Sekitar tahun 1920 terdapat penurunan dan kenaikan jumlah ikan-ikan di Laut Adriatic yang terjadi secara berkala. Saat terjadi penurunan jumlah ikan nelayan di daerah tersebut sangat dirugikan. Penjelasan akan fenomena tersebut diberikan pertama kali oleh Vito Volterra, di tahun 1926 melalui model predator-prey atau model mangsa-pemangsa. Ikan-ikan di Laut Adriatic merupakan mangsa, sedangkan ikan hiu sebagai pemangsa. Model tersebut juga dikenal sebagai model Lotka-Volterra karena Lotka juga menemukan model yang sama di waktu yang relatif bersamaan.
Bayangkan suatu lingkungan yang tertutup dimana terdapat sejumlah rusa (mangsa) dan singa (pemangsa). Andaikan di lingkungan itu terdapat berlimpah rumput, namun bagi singa sumber makanannya hanya rusa. Misalkan x(t) dan y(t) berturut-turut menyatakan jumlah mangsa dan pemangsa di lingkungan tersebut saat t. Jika mangsa dan pemangsa tidak saling berinteraksi maka model pertumbuhannya masing-masing adalah
x'=ax
y'=-by
Jika mangsa dan pemangsa saling berinteraksi, maka jumlah mangsa akan berkurang karena di makan pemangsa. Laju berkurangnya mangsa sebanding dengan jumlah pertemuan mangsa dan pemangsa, dimisalkan sebagai-pxy, dengan p suatu bilangan positif. Sebaliknya jumlah pemangsa akan bertambah dengan laju qxy. Sehingga model mangsa-pemangsa menjadi
x'=ax-pxy
y'=-by+qxy
Perhatikan bahwa model di atas mempunyai dua titik equilibrium (0,0) dan (a/p,b/q).
Contoh
Pelajari perilaku kualitatif solusi SPD berikut:
x'=x(1-0,5y)
y'=y-0,75+0,25x
Pada gambar di atas, dapat kita lihat bahwa model pada contoh mempunyai dua titik equilibrium (0,0) dan (3,2). Tampak dari phase portrait bahwa titik equilibrium (3,2) stabil, sedangkan titik (0,0) tidak stabil. Ini berarti bahwa di alam akan terjadi kesetimbangan antara jumlah mangsa dan pemangsa. Jika diamati lebih detail terdapat trajektori-trajektori tertutup di sekitar (3,2). Hal ini yang menjelaskan munculnya fenomena penurunan dan kenaikan jumlah ikan secara periodik di Laut Adriatic. Perhatikan satu trajektori di sekitar titik (3,2), terdapat masa di mana jumlah mangsa cukup banyak, sedangkan jumlah pemangsa sedikit. Namun jumlah pemangsa segera meningkat karena banyaknya mangsa. Hal ini berlangsung terus hingga jumlahpemangsa terlalu banyak, sedangkan jumlah mangsa berkurang. Hingga pada suatu saat jumlah pemangsa mencapai nilai maksimum. Karena banyaknya pemangsa maka jumlah mangsa berkurang terus hingga mencapai nilai minimum. Selanjutnya dengan bertambahnya waktu jumlah pemangsa berkurang karena persaingan untuk mendapatkan makanan diantara mereka sendiri. Hal ini mengakibatkan jumlah pemangsa berkurang terus hingga mencapai jumlah minimal. Sementara itu jumlah mangsa bertambah karena sedikitnya jumlah pemangsa, hingga jumlah mangsa mencapai nilai maksimum.
Model Interaksi Dua Spesies
Pada model interaksi dua spesies, parameter-parameter sistem persamaan differensial dapat menentukan apakah akan terjadi kesetimbangan diantara dua spesies tersebut, ataukah salah satu dari spesies tersebut akan punah.
Bayangkan di suatu lingkungan yang tertutup terdapat kelinci dan rusa yang sama-sama makan rumput. Misalkan xt dan y(t) berturut-turut menyatakan jumlah kelinci dan rusa di lingkungan tersebut saat t. Jika kelinci tinggal di lingkungan itu tanpa ada rusa, maka kelinci akan bertumbuh secara logistik. Demikian pula dengan rusa, sehingga model pertumbuhan kelinci dan rusa masing-masing adalah
x'=a1x-b1x2
y'=a2y-b2y2
Jika kelinci dan rusa sama-sama tinggal di lingkungan itu, maka makanan mereka terbatas karena kehadiran spesies yang lain. Sehingga model pertumbuhan kelinci dan rusa menjadi
x'=a1x-b1x2-c1xy
y'=a2y-b2y2-c2xy
Perhatikan bahwa model di atas mempunyai empat titik equilibrium (0,0), (0,a2/b2),(a1/b1,0) dan satu titik equilibrium (p,q) dengan p,q keduanya tak nol.
Contoh
Pelajari perilaku kualitatif solusi SPD berikut
x'=x(1-x-y)
y'=y(0,75-y-0,5x)
Model di atas mempunyai empat titik equilibrium (0,0),(0, 0.75),(1,0), dan (0.5, 0.5). tampak dari phase portrait bahwa hanya terdapat satu titik equilibrium (0.5, 0.5) yang stabil. Ini berarti bahwa akan terjadi kesetimbangan antara kedua spesies tersebut.
Polusi Kolam
Perhatikan tiga kolam dihubungkan oleh sungai, seperti pada Gambar berikut. kolam pertama memiliki sumber polusi, kemudian menyebar melalui aliran yang menghubungkan kolam yang satu ke kolam lainnya. Hal ini akan digunakan untuk menentukan jumlah polusi di setiap kolam.
Diasumsikan berikut.
Simbol f (t) adalah laju aliran polusi ke dalam kolam 1 (lb / min).
Simbol f1, f2, f3 menyatakan tingkat aliran polusi dari kolam 1, 2, 3, masing-masing (gal / min). Hal ini diasumsikan bahwa polusi dicampur dengan baik dalam setiap kolam.
Tiga kolam memiliki volume V1, V2, V3 (gal), yang tetap konstan.
Simbol x1 (t), x2 (t), x3 (t) menunjukkan jumlah (lbs) polusi masing-masing di kolam 1, 2, 3,.
Polutan fluks adalah laju aliran konsentrasi polusi, misalnya, kolam 1 dikosongkan dengan fluks f1 kali x1 (t) / V1. Sebuah analisis kompartemen diringkas dalam diagram berikut.
Diagram ditambah kompartemen analisis diberikan oleh persamaan diferensial berikut.
x'1t=f3V3x3t-f1V1x1t+f(t)
x'2(t)=f1V1x1t-f2V2x2t
x'3=f2V2x2t-f3V3x3t
Arus nutrisi dalam Aquarium
Pertimbangkan sebuah kapal dari air yang mengandung isotop radioaktif, yang akan digunakan sebagai pelacak untuk rantai makanan, yang terdiri dari varietas plankton air A dan B.
Plankton adalah organisme air yang melayang dengan arus, biasanya
di lingkungan seperti Chesapeake Bay. Plankton dapat dibagi menjadi
dua kelompok, fitoplankton dan zooplankton. fitoplankton yang
tanaman seperti drifter: diatom dan alga lainnya. Zooplankton yang mirip binatang drifter: copepoda, larva, dan krustasea kecil.
Misal :
x (t) = konsentrasi isotop dalam air,
y (t) = konsentrasi isotop di A
z (t) = konsentrasi isotop di B.
Pestisida di Tanah dan Pohon
Sebuah Washington cherry di kebun disemprot dengan pestisida.
Asumsikan bahwa jumlah pestisida disemprotkan pada tanah tidak diperhatikan. Pestisida yang disemprotkan pada pohon memiliki tingkat pengaliran tertentu untuk tanah, dan sebaliknya, pestisida di dalam tanah memiliki tingkat penyerapan tertentu ke dalam pohon. Pestisida digunakan secara berulang untuk mengontrol serangga, yang berarti tingkat penggunaan pestisida di pohon-pohon bervariasi dengan waktu. Quantize pestisida penyemprotan sebagai berikut.
x (t) = jumlah pestisida di pohon-pohon,
y (t) = jumlah pestisida dalam tanah,
r (t) = jumlah pestisida disemprotkan pada pohon,
t = waktu dalam tahun.
Sebuah model diperoleh dari analisis input-output, mirip dengan
model tangki air garam:
x't=-2xt-yt+rt
y't=-2xt-3yt
Dalam kebun buah-buahan murni, data awal x (0) = 0, y (0) = 0, karena
pohon dan tanah awalnya tidak mengandung pestisida. Solusi dari model jelas tergantung pada r (t). Ketergantungan homogen diperlakukan dengan metode variasi parameter infra. rumus perkiraan adalah
x(t) 0t1.10 e1.6t-u-0.12 e-2.6t-urudu
y(t) 0t0.49 e1.6t-u-0.49 e-2.6t-urudu
Tingkat eksponensial 1,6 dan -2,6 masing-masing mewakili akumulasi pestisida ke dalam tanah dan pembusukan pestisida dari pepohonan. Tingkat aplikasi r (t) adalah langkah fungsi yang sama dengan konstanta positif pada interval kecil dari waktu dan nol di tempat lain, atau jumlah fungsi tersebut, mewakili aplikasi pestisida periodik.
Kimia
Brine Tank Cascade
Pada tank air garam A, B, C masing-masing diisi dengan jumlah volume sebesar m, n, p seperti yang terlihat pada gambat berikut.
Air masuk pada tangki A dengan kecepatan r, kemudian A mengalir ke B dengan kecepatan r, selanjunya B mengalir ke C dengan kecepatan r. Terakhir dari tangki C mengalir keluar dengan kecepatan r. Hal tersebut menyebabkan volume tangki tetap konstan.
Misalkan r=a untuk menggambarkan ide di atas. Kita asumsikan terjadi pengaduakan secara seragam pada masing-masing tangki, yang berarti konsentrasi garam pada tiap tangki adalah sama.
Misal x1t, x2t,x3t menunjukkan jumlah garam pada waktu t di setiap tangki. Tambahkan ke tangki A air yang tidak mengandung garam. Karena itu, garam di semua tank akhirnya hilang dari saluran air. Cascade dimodelkan oleh hukum keseimbangan kimia :
Tingkat Perubahan=Tingkat Masukan-Tingkat Keluaran
Penerapan hukum keseimbangan, dibenarkan dalam analisis kompartemen dibawah ini dengan hasil dalam sistem diferensial segitiga.
x'1=-amx1
x'2=amx1-wnx4
x'3=anx1-apx4
Daur Ulang Brine Tank Cascade
Misal tank air garam A, B, C diberi volume a, b, c, masing-masing, sebagai pada gambar berikut ini.
Misalkan cairan mengalir dari tangki A ke B pada tingkat r, mengalir dari tangki B ke C pada tingkat r, kemudian mengalir dari tangki C ke A pada tingkat r. Tangki volume tetap konstan karena daur ulang cairan konstan. Untuk tujuan ilustrasi, misalkan r = m.
Diasumsikan terjadi pengadukan seragam pada masing-masing tangki, yang berarti konsentrasi garam seragam pada setiap tangki.
Misal x1 (t), x2 (t), x3 (t) menunjukkan jumlah garam pada waktu t di setiap tangki. Tidak ada garam yang hilang dari sistem, karena daur ulang. Menggunakan analisis kompartemen, cascade daur ulang dimodelkan dengan sistem non-segitiga.
x'1=-max1+mcx3
x'2=max1-mbx2
x'3=abx2-acx3
Ekonomi
Peramalan Harga
Sebuah produsen kosmetik memiliki kebijakan pemasaran berdasarkan harga x (t) sampo salon nya.
Strategi pemasaran untuk sampo adalah untuk mengatur harga x (t) secara dinamis untuk menggambarkan permintaan pada produk. Persediaan yang diperlukan rendah akan mengurangi biaya keseluruhan produk.
Produksi P (t) dan penjualan S (t) diberikan dalam hal harga x (t) dan perubahan harga x '(t) dengan persamaan
Pt=4-34xt-8x't (Produksi)
St=15-4xt-2x't (Penjualan)
Persamaan diferensial untuk harga x(t) dan tingkat persediaan I (t) adalah
x't=kIt-I0
I't=Pt-S(t)
Tingkat persediaan I0=50 merupakan tingkat yang diinginkan. persamaan
dapat ditulis dalam hal x (t), I (t) sebagai berikut.
x't=kIt-kI0
I't=134xt-6kIt+6kI0-11
Jika k=1, x0=10 dan I0=7, maka solusinya adalah
xt=4413+8613e-13t/2
It=50+43e-13t/2
Perkiraaan harga xt 3.39 dollar pada tingkat persediaan It 50didasarkan pada dua limit
limt x(t)=4413, limt I(t)=50
Transportasi (pengangkutan barang)
Hutan Nasional di Amerika Serikat tidak memiliki akses login untuk jalan. Pada saat di lakukan penebangan maka menggunakan helikopter untuk memindahkan pohon yang ditebang ke area pemuatan terdekat untuk diangkut menggunakan truk ke pabrik. Pohon yang ditebang dibawa dengan disangkutkan pada tali/kabel yang tersambung pada helikopter. Sekali angkut dapat mengankut dua pohon menggunakan sebuah bandul yang terosilasi (ombang-ambing) selama penerbangan. Sudut osilasi yang terbentuk ialah θ1, θ2 yang terhubung oleh kabel dan diukur dari vektor gaya gravitasi sehingga memenuhi sistem persamaan diferensial sebagai berikut, diamana g adalah tetapan gravitas m1, m2 menunjukkan massa dari dua pohon dan L1, L2 adalah panjang kabel
(m1+m2)L12θ1n+ m2L1L2θ2n + (m1+m2)L1gθ1 = 0
m2L1L2θ2n + m2L22θ2 + m2L2gθ2 = 0
Model ini diturunkan menjadi perpindahan yang lebih kecil θ1, θ2 yaitu sinθ θ untuk kedua sudut, dengan menggunakan diagram berikut.
Panjang L1 dan L2 menyesuaikan pada setiap perjalanan yang ditempuh dan panjang pohon, sehingga pohon tidak bertabrakan satu sama lain saat diangkut helikopter. Terkadang dalam sekali mengangkut apabila pohon kecil maka dapat tiga atau lebih bandul yang digunakan, yang diperhatikan dalam pengangkutan adalah ketebalan pohon karena kabel yang digunakan menyesuaikan dengan tebal pohon.
Vektor- Model Matriks. Sudutnya θ1, θ2 memenuhi order kedua persamaan vektor-matriks
(m1+ m2)L1m2L2L1L2θ1θ2''= -m1g+m2g00gθ1θ2 .
Sistem ini ekuivalen dengan oder kedua sistem
θ1θ2''= -m1g+m2gL1m1m2gL1m1m1g+m2gL2m1-(m1+m2)gL2m1θ1θ2
BAB III
LATIHAN SOAL
Sebuah bangunan bertingkat dua mempunyai massa dengan m1 = m2 = 5000kg, kekakuan kolom k1 = k2 =5000kg/s2 dan redaman c1 = c1 = 5000kg/ s2. Bangunan ini dipengaruhi gaya luar dengan F1= 10.000et dan F2= 5.000et. tentukan besar simpangan pada setiap tingkat?
Penyelesaian:
SPDL dari contoh soal diatas yaitu
y1+2y1-y2 +2y1- y2= 2et ........(3.5)
y2+y1+ y2- y1+ y2= et .....(3.6)
Diubah dalam polinomial operator D, dimana D= ddt
(D2 + 2D +2) y1 + (-D-1) y2 = 2et (3.7)
(D-1) y1 + (D2 + D + 1)y2 = et (3.8)
Eliminasi variabel tak bebas
(D2 + 2D +2) y1 + (-D-1) y2 = 2et " (D-1) "
(D-1) y1 + (D2 + D + 1)y2 = et " (D2 +2D+2) "
(D4+4D3+6D2+4D+1)=4et
Atau
d4y2dt4+4d3y2dt3+6d2y2dt2+4dy2dt+y2= 4et (3.9)
Kemudian menghitung y2 yaitu mencari solusi umum dari PD:
D2+4D3+6D2+4D+1y2=4et
PD linier homogen dari PD ini adalah D2+4D3+6D2+4D+1y2=0
Persamaan karakteristiknya adalah r4+4r3+6r2+4r+1=0
Akar-akar persamaan karakteristiknya adalah r1=r2=r3=r4=-1
Solusi homogennya adalah y2h=c1e-t+c2xe-t+c3x2e-t+c4x3e-t
Untuk mencari solusi khususnya, kita gunakan metode koefisien tak tentu. Solusi khususnya diambil y2p=Aet
Diperoleh y'2p=y''2p=y'''2p=yiv2p=Aet dan disubtitusikan ke (3.10) didapat
Aet+4Aet+6Aet+4Aet+Aet=4et
16Aet=4et
A=4et16et
A=14
Jadi y2p=14et
Jadi solusi umum (3.9)
y2=y2h+y2p=c1e-t+c2xe-t+c3x2e-t+c4x3e-t+14et
Untuk menghitungvariabel tak bebas yang lain yaitu y1, masukkan y2 ke dalam salah satu dari sistem ini:
Dipilih persamaan (3.8):
y1=-D2-D-1D-1y2-et
=D-1c1e-t+c2xe-t+c3x2e-t+c4x3e-t+14et-et
=-c1e-t-c2xe-t-c3x2e-t-c4x3e-t+14et-c1e-t-c2xe-t-c3x2e-t-c4x3e-t-14et-et
=2c1e-t-2c2xe-t-2c3x2e-t-2c4x3e-t-et
Jadi solusi umum sistem PD linier tak homogen ini adalah
y1=2c1e-t-2c2xe-t-2c3x2e-t-2c4x3e-t-et
y2=c1e-t+c2xe-t+c3x2e-t+c4x3e-t+14et
Perhatikan gambar dibawah ini :
x3x2x1x3x2x1
x3
x2
x1
x3
x2
x1
Ketiga kolam di atas memiliki volume yang sama yaitu sebesar 2.000 gal. Pada awalnya, tiga kolam di atas dalam keadaan murni (tanpa polusi). Kemudian kolam-kolam tersebut diisi diberi polusi yang dialirkan dari kolam pertama dengan laju 0,125 lb/min. Polusi tersebut kemudian menyebar dari koalm pertama ke kolam dua kemudian ke kolam tiga dengan tingkat aliran sebesar 2 gal/min. Tentukan jumlah polusi dalam kolam jika dibiarkan selama 48 jam (2880 menit) !
Jawab
Diketahui: f (t) = 0.125 lb/min
fiVi=22000=0.001
Masalah diatas dapat ditulis dalam sistem persamaan diferensial, sebagai berikut :
x'1t=0.001 x3t-0.001 x1t+0,125
x'2t=0.001 x1t-0.001 x2t
x'3t=0.001 x2t-0.001x3t
x10=x20=x30=0
Solusi untuk sistem ini adalah
x1t=e-3t200012539 sin3t2000-1253 cos 3t2000+1253+t24
x2t=-25039e-3t2000 sin3t2000+t24
x3t=e-3t20001253 cos 3t2000+12539 sin3t2000+t24-1253
Setelah 48 jam berlalu, jumlah polusi perkiraan dalam pound adalah
x12880=162.30, x22880=119.61, x32880=78.08.
Catatan : Perlu diketahui bahwa sistem di atas diubah dengan mengganti 0.125 dengan nol, untuk memprediksi keadaan kolam setelah 48 jam. Sesuai dengan sistem homogen yang memiliki solusi ekuilibrium x1t=x2t=x3t=120. solusi konstan ini adalah batas di tak terhingga dari solusi untuk sistem homogen,menggunakan nilai awal x10 162. 30,x20 119,61, x3(0) 78,08.
Pada aquarium di atas diasumsikan mengandung isotop radioktif untuk melacak rantai makanan pada plankton air. Plaktok air pada aquarium di atas termasuk pada kelompok fitoplanton yakni diatom dan alga. Konsentrasi isotop rdiaoaktif pada aquarium digambarkan oleh sistem sebagai berikut :
x't=-3xt+6yt+5z(t)
y't=2xt-12yt
z't=xt+6yt-5z(t)
x0=x0, y0=0,z0=0
Tentukan solusi dari sistem dan juga konsentrasinya !
Jawab :
Solusi dari sistem persaaan diferensial yang menggambarkan kandungan radiokatif di atas adalah
xt=6c1+1+6c2e-10+6t+1-6c3e-10-6t
yt=c1+c2e-10+6t-c3e-10-6t
xt=125c1-2+1.5c2e-10+6t+-2+1.5c3e-10-6t
Konstanta c1,c2,c3 terkait dengan isotop radioaktif awal.
Konsentrasi x0=x0, y0=0,z0=0, dengan sistem 3 × 3 dari persamaan aljabar linier adalah
6c1+1+6c2+1-6c3=x0
c1+c2-c3=0
125c1-2+1.5c2+-2+1.5c3=0
Perhatikan gambar dibawah ini
406020r = 10r = 10ABC406020r = 10r = 10ABC
40
60
20
r = 10
r = 10
A
B
C
40
60
20
r = 10
r = 10
A
B
C
Air masuk pada tangki A dengan kecepatan 10 , kemudian A mengalir ke B dengan kecepatan10 , selanjunya B mengalir ke C dengan kecepatan 10. Terakhir dari tangki C mengalir keluar dengan kecepatan 10. Hal tersebut menyebabkan volume tangki tetap konstan. Kita asumsikan terjadi pengaduakan secara seragam pada masing-masing tangki, yang berarti konsentrasi garam pada tiap tangki adalah sama. Tentukan model matematika cascade dan solusinya !
Jawab :
Cascade dimodelkan oleh hukum keseimbangan kimia :
Tingkat Perubahan=Tingkat Masukan-Tingkat Keluaran
Penerapan hukum keseimbangan, dibenarkan dalam analisis kompartemen dibawah ini dengan hasil dalam sistem diferensial segitiga.
x'1=-12x1
x'2=12x1-14x2
x'3=14x2-16x3
Solusinya diberikan oleh persamaan :
x1t=e-t2
x2t=-2e-t2+2e-t4
x3t=32e-t2-6e-t4+6 e-t6
Perhatikan :
x1t=e-t2
x'1t=-12e-t2
x2t=-2e-t2+2e-t4
x'2t=e-t2-12e-t4
x3t=32e-t2-6e-t4+6 e-t6
x'3t=-34e-t2+34e-t4- e-t6
x'1 =-12x1 -12e-t2=-12e-t2
x'2=12x1-14x2 e-t2-12e-t4 = 12e-t2-14(-2e-t2+2e-t4 )
= 12e-t2+12e-t2+12 e-t4)
= e-t2-12e-t4
x'3=14x2-16x3 -34e-t2+34e-t4- e-t6 = 14(-2e-t2+2e-t4 -16(32e-t2-6e-t4+6 e-t6 )
= -34e-t2+34e-t4- e-t6
Pada tank air garam A, B, C masing-masing diisi dengan jumlah volume seperti yang terlihat pada gambat berikut.
A60B20C60A60B20C60
A
60
B
20
C
60
A
60
B
20
C
60
Kecepatan air masuk pada tangki A, kemudian A mengalir ke B dengan selanjunya B mengalir ke C, terakhir dari tangki C mengalir ke A sebesar 10. Tentukan model matematika untuk masalah di atas dan tentukan solusinya !
Jawab:
Menggunakan analisis kompartemen, cascade daur ulang dimodelkan dengan sistem non-segitiga.
x'1=-16x1+16x3
x'2=16x1-13x2
x'3=13x2-16x3
Solusi diberiakan oleh persamaan
x1t=c1+c2-2c3e-t3cos (t6)+2c2+c3e-t3sin (t6)
x2t=12c1+-2c2-c3e-t3cos (t6)+c2-2c3e-t3sin (t6)
x3t=c1+c2+3c3e-t3cos (t6)+-3c2+c3e-t3sin (t6)
BABA IV
KESIMPULAN
Sistem persamaan differensial merupakan salah satu persamaan yang banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari di berbagai bidang ilmu pengetahuan, misalnya dalam bidang sains dan teknik.
Salah satu contoh penggunaan persamaan diferensial linier dalam bidang teknik adalah untuk menentukan simpangan horizontal tingkat pada sebuah bangunan. Apabila bangunan itu mempunyai struktur MDOF maka model matematika yang terbentuk adalah sistem persamaan diferensial linier (SPDL).
Pada bidang sains, persamaan diferensial dapat digunkana untuk menyelesaiakan permasalahan-permasalahan pada bidang seperti kimia maupun biologi. Pada biologi, sistem persamaan diferensial dapat digunkan untuk mengetahui interksi dalam popolasi, kemudian mengetahui ekosistem hewan maupun tumbuhan, tentang pestisida maupun polusi. Sedangkan pada kimia, dapat digunakan untuk mengetahui konsentari garam dan sebagainya.
Selain dua bidang di atas, sistem persaam diferensial juga berguna dalam bidang seperti ekonomi dan transportasi. Dalam bidang ekonomi, sistem persamaan diferensial dapat digunakan untuk meramalkan harga. Sedangkan pada bidang traspotasi, sistem persaaan diferensial dapat dimanfaatkan dalam proses pengangukatan barang, seperti pengankutan kayu oleh helikopter.
DAFTAR PUSTAKA
Baiduri. 2004. Persamaan Diferensial. Malang : UMM Press
Firia, Vivi A. 2011. Analisis Sistem Persamaan Diferensial Model Predator-Prey dengan Perlambatan. Volume 2 Nomor 1 November 2011. ( )
Hendri, Yon dkk. Teknik Baru Menyelesaikan Sistem Persamaan Diferensial
Linear Orde Satu Nonhomogen. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia
Oktaviani, Rizka dkk. 2014. Penyelesaian Numerik Sistem Persamaan Diferensial Non Linear Dengan Metode Heun Pada Model Lotka-Volterra. Volume 03, No. 1 (2014), hal 29 – 38. ( )
Redjeki, Sri. 2009. DIKTAT KULIAH MA2271 METODA MATEMATIKA Semester II 2009/2010. Prodi Matematika Fakultas MIPA Institut Teknologi Bandung. ( )
Yunitasari, Leni D. 2007. Aplikasi SPDL pada MDOF (Multi Degree Of Freedom). Skripsi. Universitas Muhammadiya Malang. (ta.umm.ac.id diakses pada 10 Juni 2016)
http://www.math.utah.edu/~gustafso/2250systems-de.pdf
