BAB V APLIKASI PD TINGKAT DUA
Tujuan Instruksional: • • • •
Mampu membuat model PD pada Sistem Gerak Mampu memahami klasifikasi Sistem Gerak Mampu membuat model dan penyelesaian PD pada klasifikasi Sistem Gerak Mampu membuat model dan penyelesaian PD pada rangkaian listrik LC dan LC seri
5.1 Sistem Gerak
Sistem gerak diilustrasikan dengan benda bermassa m yang tergantung pada suatu pegas, ditunjukkan pada Gambar 23. Pemodelan sistem gerak pada
=.
Gambar 23, didasarkan pada Hukum Newton II, yaitu:
dengan:
gaya!gaya yang bekerja pada benda massa benda per"epatan gerak benda
=. =−(+∆) = ∆
Gaya!gaya yang bekerja pada benda yang tergantung pada pegas:
#.
,
adala$ gaya tarik gra%itasi benda,
massa benda dan
gra%itasi. &ra$ gaya ini ke bawa$ karena pengaru$ gra%itasi. Gaya ini sering disebut sebagai berat benda.
2.
,
benda,
adala$ gaya pegas,
konstanta pegas,
posisi
peruba$an panjang pegas. &ra$ gaya pegas ke atas dan ke
bawa$. 'ika pegas ditarik
ditekan
negati(, ara$ gaya ke atas dan jika pegas
positi(, ara$ gaya ke bawa$.
Matematika Teknik I
Hal- 1
3.
=−. ,
gaya redam, ara$ gaya berlawanan dengan gerak benda.
konstanta redaman,
Sistem )eredam *Damped *Damped Systems+, Systems+, jika
=()
teredam *Undamped *Undamped Systems+ Systems+ .
,
> 0 =0
ke"epatan benda. 'ika
sistem disebut
sistem disebut Sistem )ak!
gaya eksternal, ara$ gaya dapat ke atas atau ke bawa$.
Penerapan gaya ini langsung pada benda atau pegas.
Gambar # Sistem Gerak -enda pada Pegas
Gambar 2 &. Sistem Gerak dengan Peredam -. Sistem Gerak dengan Peredam dan Gaya uar /*t+ Matematika Teknik I
Hal- 2
3.
=−. ,
gaya redam, ara$ gaya berlawanan dengan gerak benda.
konstanta redaman,
Sistem )eredam *Damped *Damped Systems+, Systems+, jika
=()
teredam *Undamped *Undamped Systems+ Systems+ .
,
> 0 =0
ke"epatan benda. 'ika
sistem disebut
sistem disebut Sistem )ak!
gaya eksternal, ara$ gaya dapat ke atas atau ke bawa$.
Penerapan gaya ini langsung pada benda atau pegas.
Gambar # Sistem Gerak -enda pada Pegas
Gambar 2 &. Sistem Gerak dengan Peredam -. Sistem Gerak dengan Peredam dan Gaya uar /*t+ Matematika Teknik I
Hal- 2
=.
-erdasarkan Hukum Newton II di atas maka:
= + + + = . . +−(+∆)−. +()=. . = ∆ −−. +()=. . + . +=() ()=0()≠0
adala$ gaya!gaya yang bekerja pada benda,
se$ingga:
adala$ per"epatan benda
atau
untuk sistem dalam kesetimbangan
, se$ingga persamaan menjadi:
atau
0odel
persamaan
terak$ir
meng$asilkan
persamaan
di(erensial
orde!2.
Persamaan di(erensial orde!2 di atas menggambarkan sistem gerak benda pada pegas. 'ika
(unforced), (unforced), jika
*tanpa gaya eksternal+ sistem disebut sistem gerak bebas
= 0 >0
disebut sistem gerak paksa (forced). (forced). 'ika
maka sistem disebut sistem takteredam (undamped) (undamped) dan jika sistem disebut sistem teredam (damped).
maka
(() = 0 , = 0) . +=0 + = 0 + =0, = !!",",+=#$ = 0
5.1.1 Sistem Gerak Bebas Takteredam
0odel sistem gerak $armonik bebas takteredam:
Gerak benda didapatkan dengan menyelesaikan P1 di atas. 'ika persamaan dibagi dengan m, maka P1 menjadi:
persamaan karakteristik P1 di atas: akar!akar persamaan karakteristik:
Matematika Teknik I
Hal- 3
%(&)=' '* & '+ -'-+ *'/-& %(&)= %(&)= '- + '-- 1 '-'+ '-- '* & + '-'+- '-- */ &2 3 = '- +''-'* 4 = '- + '-*/ 4=4 = '-'+- '-%(&)=35 %(&)=35'*'* 4 '* & + */ 4 */ &6 ( ) %( &)= & ) = 3 '* ' * & − 4 34 7 98
se$ingga penyelesaian umum P1 yang menggambarkan g erak benda:
'ika persamaan dikali dan dibagi dengan
maka:
'ika dide(inisikan :
maka persamaan menjadi:
atau
dengan
disebut amplitudo sistem gerak $armonik
disebut sudut (asa
disebut (rekuensi
jika satu siklus gerak $armonik yang terjadi digambarkan dalam unit waktu 2 π, maka (rekuensi dide(inisikan menjadi
: =
π
, maka periode gerak $armonik y(t)
;=<:= = 7 79 8 π
π
R
R cos
T
t
-R
Gambar 3 Ilustrasi Gerak Harmonik
Matematika Teknik I
()=) = ? @A@AB ( − C) Hal- 4
Gambar Ilustrasi Hubungan "#, "2, dan θ onto$ kasus: Sistem gerak $armonik benda yang tergantung pada pegas seperti Gambar 23, jika massa benda m#4 kg dan konstanta pegas k #5 N4m, redaman 6. Pegas saat tertarik benda bertamba$ panjang # m dan mulai bergerak ke atas dengan ke"epatan 7m4det. Sistem tidak diberi gaya luar. a. )entukan model persamaan yang menggambarkan sistem gerak $armonik pada pegas pada "onto$ kasus di atas8 b. )entukan persamaan gerak benda8 ". )entukan amplitudo, sudut (asa, (rekuensi dan periode gerak benda8 Penyelesaian:
. +. +=() ()=
a. 0odel persamaan sistem gerak $armonik pada pegas.
pada "onto$ kasus diketa$ui redaman d6, gaya luar
0 , massa m 9
kg , konstanta pegas k #5 N4m, se$ingga model persamaan gerak $armonik pada pegas menjadi:
dengan kondisi awal: posisi awal benda
ke"epatan awal benda
dan
.
b. Persamaan gerak benda.
persamaan gerak benda didapatkan dengan menyelesaikan model P1 *a+, yaitu: Matematika Teknik I
Hal- 5
penyelesaiannya adala$: •
persamaan karakteristik dari P1 di atas
•
akar!akar persamaan karakteristik
•
solusi umum P1:
dengan memasukkan syarat kondisi awal maka: ′
se$ingga persamaan gerak benda: ". 0enentukan
amplitudo,
membentuk persamaan
sudut
()= −
(asa,
(rekuensi
dan
periode
dengan
dalam satu sinus4"osinus. -entuk umum
()=?@AB( −C) =? @AB(F−C)
persamaan satu sinus4"osinus sistem gerak pada pegas:
dengan:
?=@"@+@ I C=K @" : = L ;=<:= = 7 =P MN$OA ?= F < +(−<) :!QOQIB$ := = D MQ!$AQ ;= D I C=−<(O!I RS) BOO :B C= TD π
π
se$ingga:
π
π
π
π
π
Matematika Teknik I
Hal- 6
()=? @AB(F−C)T =P @AB UF− D V π
Gambar Ilustrasi Sudut /asa pada onto$ ;asus
1.5
1
) t ( 0.5 y a d n e 0 B k a r e -0.5 G -1
-1.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Waktu(t)
Gambar 5 Harmonik -enda pada Pegas,
? = P H:= W H C= XW
π
π
ati$an Soal: )entukan
persamaan
gerak
$armonik
benda
pada
model
persamaan
di(erensial berikut8 )entukan &mpitudo, /rekuensi, Periode dan sudut (asa dari persamaan gerak $armoniknya8
Y(0)=0 <.. YY +=0 (0)=< Y(0)=< +=0 (0)=0 Z. Y +=0 (0)=< Y(0)=< Matematika Teknik I
Hal- 7
Y(0)=< D.\. YY +[=0 (0)=< +D=0 (0)=< Y(0)=−
(](&)= , ^ ≠) . +. +=0
5.1.2 Sistem Gerak Bebas Teredam
0odel sistem gerak benda bebas teredam:
Persamaan gerak benda didapatkan dengan menyelesaikan P1 di atas.
−D
teredam kritis *critically damped +, dan sistem teredam lebi$ *overdamped +, dimana masing!masing ditentukan dari nilai diskriminan
Persamaan karakteristik dari model sistem gerak benda b ebas teredam adala$:
_. `- +^.`+a= `,- = −^#P -_^- −b_a
se$ingga akar!akar persamaan karakteristiknya: *li$at subbab .+
5.1.2.a Sistem Teredam Kurang (underdamped )
, c^- −b_ad0e
Solusi persamaan gerak benda pada sistem teredam kurang * underdamped +
−Dd0 !", = −#$PD− ( D− ( ) ( ) g h & i h & %='(i9) f +'- f H ^f/jk/ =−^-_ , = ) =f ( l'* +m */ ) =?Q(i9)@AB( −C) ?= n +o I C= on
didapatkan
jika
,
dimana
akar!akar
persamaan
karakteristik
adala$:
persamaan solusinya adala$: *li$at pemba$asan pada subbab .+ α
β
α
β
β
α
β
β
bentuk satu sinus4"osinus persamaan di atas adala$:
β
Matematika Teknik I
Hal- 8
1.5
1
) t ( 0.5 y a d n e 0 B k a r e -0.5 G -1
-1.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Waktu(t) Gambar = >silasi pada Gerak -enda -ebas )eredam ;urang Program 0&)&- untuk Gambar 27 sebagai berikut: %gerak benda bebas teredam kurang %R=2^0.5, alfa=-2, beta=8 teta=pi/4 clear all; close all; clc; t=(0:0.01:2); yt=2^0.5*exp(-2*t).*(cos(8*t-pi/4)) plot(t,yt,'k','linewidth',3) hold on amp1=2^0.5*exp(-2*t) plot(t,amp1,'r','linewidth',2) hold on amp2=-2^0.5*exp(-2*t) plot(t,amp2,'r','linewidth',2) xlabel( 'Waktu(t)','fontsize',14) ylabel( 'Gerak Benda y(t)','fontsize',14)
Matematika Teknik I
Hal- 9
/aktor kosinus
'*( & −C) β
menyebabkan osilasi bernilai antara ?# dan !#.
Perioda osilasi jika dili$at pada Gambar 27 bukan perioda asli atau sering disebut
sebagai
perioda
bayangan
*quasi-period +
atau
perioda
p ) = (D− Dp ) ; = pq = (D− : = sr 3f(i9) - =b_ae , ^ c =D !", = − %=(' +'- &) ft9iu&
teredam
*damped-period +, dide(inisikan sebagai:
/rekuensi dinyatakan sebagai (rekuensi bayangan *quasi frequency + atau teredam *damped-frequency +, yaitu
. Sedangkan
disebut
amplitudo teredam *damped-amplitude+.
5.1.2.b Sistem Teredam Kritis (critically damped )
Pada
sistem
teredam
kritis
se$ingga
akar!akar
persamaan
karakteristik sama yaitu: *li$at pemba$asan pada subbab .+
Persamaan solusinya :
5 4.5 4 3.5 ) t ( y a 3 d n e 2.5 B k 2 a r e G1.5 1 0.5 0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
waktu (t) Gambar 7 Gerak -enda pada Sistem Gerak -ebas )eredam ;ritis *"#, "2 positi(+
Program 0&)&- untuk Gambar 2@ adala$ sebagai berikut:
Matematika Teknik I
Hal- 10
%gerak benda teredam kritis y=(c1+c2t)exp((-d)/2m)t) %c1=2; c2=1:5:25; -d/2m=-2 clear all; close all; clc; t=(0:0.01:4); for c2=1:5:25 y1=2*(exp(-2*t)); y2=c2*t.*(exp(-2*t)); yt=y1+y2 plot(t,yt,'b','linewidth',2) hold on end xlabel( ' waktu (t)','fontsize',14) ylabel( 'Gerak Benda y(t)','fontsize',14)
2
1
) t ( 0 y a d n e -1 B k a r e -2 G -3
-4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
waktu (t) Gambar @ Gerak -enda pada Sistem Gerak -ebas )eredam ;ritis *" 2 negati(+ Program 0&)&- untuk Gambar 36 sebagai berikut: %gerak teredam kritis y=(c1+c2t)exp((-d)/2m)t) %c1=2; c2=-20:4:-2; -d/2m=-2 Matematika Teknik I
Hal- 11
clear all; close all; clc; t=(0:0.01:4); for c2=-20:4:-2 y1=2*(exp(-2*t)); y2=c2*t.*(exp(-2*t)); yt=y1+y2 plot(t,yt,'b','linewidth',2) hold on end xlabel( ' waktu (t)','fontsize',14) ylabel( 'Gerak Benda y(t)','fontsize',14)
- >De , ^ c >D `,- = −^#P -_^- −b_a `& +'-f`-& %(&)=' f `,- d0 &Jv %(&)= () % (&)='=f``&c'f``& +'+'-`--`f-`f-(`& -i`)&e c'` +'-`-f(`-i`)&e= &Jv
5.1.2.c Sistem Teredam Lebih (overdamped )
Pada
sistem
teredam
lebi$
se$ingga
akar!akar
persamaan
karakteristik adala$: *li$at pemba$asan pada subbab .+
Solusi umum persamaan gerak pada sistem teredam lebi$ adala$: Pada kenyataannya nilai kita turunkan, yaitu:
se$ingga untuk
maka
. 'ika
′
maka
%Y(&)= %(&)= &>0
$anya jika
'adi se"ara umum gerak benda pada pegas pada sistem teredam lebi$ mempunyai perilaku yang sama dengan sistem teredam kritis, yaitu maka pada
dan $anya memiliki satu titik pun"ak maksimum dan minimum
seperti ditunjukkan pada Gambar 2@ dan Gambar 36.
onto$ kasus Pengaru$ Peredaman: Sebua$ sistem gerak benda pada pegas dengan peredam dimodelkan ole$ persamaan berikut:
Matematika Teknik I
Hal- 12
+. +=0 (0)=< (0)=0 H
′
'ika d#, 2 dan , tentukan persamaan gerak benda8 -agaimana pengaru$ peruba$an nilai konstanta peredaman d pada gerak bendaA Penyelesaian:
! +.!+<=0 −#P ! ", = −D −Dd0 !", =− < #$ P Z =Q(i9)( nP @ABZ +o B$IP Z) =Q(i") w n@AB +o B$I x ( )= =Qti"u w n@AB P Z +o B$I P Z x =n@AB 0 =< J n=< ( )= Y =− < Q(i") w n@AB P Z +o B$I P Z x +Q(i") w−n P Z B$I P Z +o P Z @AB P Z x 0=− < ( n@AB0)+wo P Z @AB 0x
persamaan karakteristik dari model persamaan sistem adala$: akar!akar persamaan karakteristik:
a. 'ika d#,
disebut sistem teredam kurang
&kar!akar persamaan karakteristik adala$:
solusi umum persamaan gerak benda:
β
subsitusi y 6
#, didapatkan:
subsitusi yB 6
6, didapatkan:
Matematika Teknik I
β
Hal- 13
0=− < (<)+wo P Zx J o= P 0 !", = −#P −D =−-#P y ()=@"Qz{ +@Qz =@"Q(igP |) +@Q(iiP |)
maka solusi k$usus gerak benda sistem ter edam kurang adala$:
bentuk satu sinus4"osinus:
b. 'ika d2,
disebut sistem teredam kritis
&kar!akar persamaan karakteristik adala$: solusi umum persamaan gerak benda: subsitusi y 6
subsitusi
#, didapatkan:
,, didapatkan:
maka solusi k$usus gerak benda sistem ter edam kritis adala$:
". 'ika d,
disebut sistem teredam lebi$
&kar!akar persamaan karakteristik adala$:
solusi umum persamaan gerak benda:
( )=
subsitusi y 6
Matematika Teknik I
#, didapatkan:
Hal- 14
<=@"QcigP |e +@QciiP |e <=@" +@ ( )= 0=@"!"Qz{ +@!Qz 0=@"(−+P Z )+@(−+P Z) @" +@ =< }~• @"(−+ P Z )+@(−+ P Z )=0 @" = +P P ZZ @ = −+P ZP Z %= -+-P P yy f(i-gP y)& + −-+-P yP y f(i-iP y)&
subsitusi yB 6
6, didapatkan:
dari dua persamaan konstanta yaitu:
diperole$
maka solusi k$usus gerak benda sistem ter edam lebi$ adala$:
Pengaru$ konstanta redaman d pada sistem gerak benda dijelaskan sebagai berikut: •
d# maka gerak benda
•
d2 maka gerak benda
•
d maka gerak benda
() J0 () J0 () J0
menurut (ungsi menurut (ungsi menurut (ungsi
ffi.i& €& f(i-iP y)& =fi.y&
disimpulkan ba$wa pada d2 *teredam kritis+ gerak benda paling "epat ke posisi setimbang4y*t+6, sedang paling lama pada d *teredam lebi$+. Hal ini juga dapat dili$at pada Gambar .#6
Matematika Teknik I
Hal- 15
1 0.9 0.8 0.7 ) t ( y a 0.6 d n e 0.5 B k 0.4 a r e G0.3 0.2 0.1 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Waktu(t)
Gambar #6 Gerak -enda Pada Cariasi Nilai ;onstanta edaman *d+
ati$an Soal: )entukan komponen amplitudo, (rekuensi dan sudut (asa pada model sistem
<. ()=DQii@AB(−p) p . ()=ZQ @AB tP Z−s Zu i@AB t− |u Z.D. ()=\Q ()=ZQi@AB(\−p)
gerak benda berikut8 Gambarkan dengan 0&)&- persamaan gerak benda!nya8
)entukan apaka$ gerak benda berikut diklasi(ikasikan dalam sistem teredam kurang*underdamped +, teredam kritis *critically damped + atau teredam lebi$
\.E. YY +D=0 Y +=0 − Y +D=0 T.F. YY +D Y +=0 H >0 + Y +=0 H >0 I = [.<0.Y Y+ +Y +=0 H > I d0 *over damped +8
Matematika Teknik I
Hal- 16
5.2 Rangkaian Listrik
Subbab
berikut
akan
menjelaskan
pemodelan
rangkaian
listrik
beserta
penyelesaiannya. Hal penting adala$ dua (enomena (isik berbeda *yaitu: sistem gerak benda pada pegas dan rangkaian listrik+ meng$asilkan model persamaan matematika dan solusi yang sama. 5.2.1 Rangkaian LC seri
angkaian seri dengan sumber baterai D %olt digambarkan pada Gambar 32. 1engan $ukum )egangan ;ir"$o(( didapatkan model persamaan pada Gambar 32, yaitu: C?CD dengan:
C adala$ tegangan pada induktor yaitu
" ‚ ƒ R
C adala$ tegangan pada kapasitor yaitu diketa$ui ba$wa
R= „
dengan E adala$ muatan dalam oulomb. Se$ingga
model persamaan dapat dituliskan:
R + …< †R=‡ URV+ …< † R= (‡) R + …< R= (‡)
untuk meng$ilangkan tanda integral, persamaan dide(erensialkan, maka:
Gambar ## angkaian seri
Matematika Teknik I
Hal- 17
0odel persamaan untuk Gambar 33 dapat juga dinyatakan dalam muatan E*t+, yaitu:
R + …< †R=‡ UˆV+ …< † ˆ =‡ ˆ+ …< ˆ=‡ t (‡)=0u R + …< R=0 R + …< R=0 ! + …< =0 !", =#$ …< =@"Q( g h )‰ +@@" ,Q@(, inh, o)‰=AIBIH =nQ ‰@AB Š!=+oQ #‰ B$$I Š ()=n @AB …< +o B$I …<
Kasus . 'ika sumber baterai D 6
0odel persamaan rangkaian dinyatakan sebagai:
atau
penyelesaian persamaan $omogen orde!2 di atas adala$ persamaan karakteristik dari P1 di atas:
akar!akar persamaan karakteristik:
se$ingga penyelesaian umum P1 *li$at ba$asan subbab .+ α
β
α
β
α
dengan
α
β
α
β
β
maka:
"onto$ kasus #: )entukan kuat arus I*t+ rangkaian seperti Gambar 32 ji ka #6 $enry, 6,66 (arad, D6 %olt 8 Penyelesaian:
Matematika Teknik I
Hal- 18
0odel persamaan rangkaian , dengan #6 $enry, 6,66 (arad, D6:
R +\R=0 ! +\=0 !", =#$\ R()=n @AB \+o B$I \
persamaan karakteristik dari P1:
akar!akar persamaan karakteristik: penyelesaian P1:
ati$an Soal: )entukan kuat arus I*t+ pada rangkaian seperti Gambar 32 jika: #. 6,2 $enry, 6,6 (arad, D 6 %olt 2. 6,2 $enry, 6,# (arad, D 6 %olt 3. 6,2 $enry, 6,6 (arad, D #66 %olt . 6,2 $enry, 6,# (arad, D #66 %olt . #6 $enry, 6,6 (arad, D 6 %olt, I*6+6, E*6+E 5. &pa yang dapat disimpulkan dari jawaban soal #!A
Kasus B. 'ika sumber baterai D konstanta
0enentukan kuat arus I*t+ untuk kasus ini berdasarkan model persamaan di(erensial E*t+, selanjutnya I*t+ didapatkan dari $ubungan
ˆ + …< ˆ=‡ ˆ + …< ˆ= ‡
persamaan rangkaian untuk E *t+ dinyatakan sebagai:
R()= „
. 0odel
atau
persamaan di atas adala$ P1 tak $omogen orde!2, penyelesaiannya disebut pen!e"esaian "engkap terdiri atas penyelesaian $omogen dan penyelesaian
tak$omogen. Penyelesaian Homogen:
Matematika Teknik I
ˆ + …< ˆ=0
Hal- 19
! + …< =0 !", =#$ …< ˆ‹()=n @AB …< +o B$I …< ˆ + …< ˆ= ‡ ()= ‡ JˆŒ()= ()= <… = ‡ =‡… ˆŒ()=‡… ˆ()=ˆ‹()+ˆŒ()=n @AB …< +o B$I …< +‡…
persamaan karakteristik dari P1 di atas:
akar!akar persamaan karakteristik:
penyelesaian $omogen:
Penyelesaian )ak$omogen:
dengan menggunakan metode koe(isien taktentu *subbab .7.#+
substitusi
pada P1, yaitu:
jadi penyelesaian tak $omogen adala$ Penyelesaian lengkap
onto$ kasus 2: 'ika pada "onto$ kasus # di atas diketa$ui, D26 %olt, arus I*6+6 dan muatan E*6+6 tentukan solusi k$usus I*t+ Penyelesaian: model persamaan rangkaian menggunakan (ungsi E*t+, karena jika dipakai model (ungsi I*t+ maka substitusi E*6+ untuk mendapatkan solusi k$usus, yaitu dengan integrasi solusi umum I*t+ akan meng$asilkan konstanta baru, se$ingga solusi k$usus I*t+ tidak dapat ditentukan.
Matematika Teknik I
Hal- 20
ˆ + …< ˆ= ‡ ˆ +\ˆ=\
0odel persamaan rangkaian seri dalam (ungsi E*t+:
Penyelesaian model persamaan di atas disebut solusi lengkap4penyelesaian lengkap yang terdiri atas dua solusi P1, yaitu solusi $omogen dan solusi tak$omogen
ˆ +\ˆ=0 ! +\=0 !", =#$\ ˆ‹()=n @AB \+o B$I \ ?(Š)=\Jˆ Œ()= ( )= ˆ +\ˆ=\ 0+\ =\J =< ˆŒ()=< ˆ()=<+n @AB \+o B$I \ ˆ(0)=<+nˆ @AB 0+o B$I 0=0Jn=−< R= =−\n B$I \+\o@AB \ R(0)=−\n B$I 0+\o@AB 0=0Jo=0 ˆ()=<− @AB \
Solusi Homogen:
persamaan karakteristik dari P1:
akar!akar persamaan karakteristik: penyelesaian P1 $omogen: Solusi tak$omogen: substitusi Ep t
;6 ke model P1 didapatkan:
penyelesaian k$usus tak$omogen
solusi umum lengkap *solusi $omogen?solusi tak $omogen+: substitusi nilai awal
'adi solusi k$usus lengkap: dan &rus I*t+ adala$
Matematika Teknik I
Hal- 21
R()= ˆ =\ B$I \ ˆ + …< ˆ=‡ @AB ˆ + …< ˆ= ‡ @AB
Kasus C. 'ika sumber baterai D D 6 "os Ft
0odel persamaan rangkaian untuk E *t+ di nyatakan sebagai:
atau
Penyelesaian model persamaan di atas adala$ penyelesaian lengkap muatan (ungsi
waktu,
terdiri
atas
penyelesaian
$omogen
dan
penyelesaian
tak$omogen.
ˆ + …< ˆ=0 ! + …< =0 !", =#$ …< ˆ‹()=n @AB …< +o B$I …< ˆ‹()=… @AB Ž …< −C = ‚" ˆ‹()=… @AB(−C) ˆ + …< ˆ= ‡ @AB
Penyelesaian Homogen:
persamaan karakteristik dari P1 di atas:
akar!akar persamaan karakteristik:
penyelesaian $omogen:
atau
jika
, maka
Penyelesaian )ak$omogen:
Matematika Teknik I
Hal- 22
dengan menggunakan metode koe(isien taktentu *subbab .7.#+
‡ @AB JˆŒ() =@AB + ‘B$I ˆŒYY()=−B$ I +‘@AB ˆY Œ ()=− @AB − ‘B$I ’“, ’“ −@AB −‘B$I + …< (@AB + ‘B$I )= ‡ @AB U…< −V@AB +U…‘ −‘VB$I = ‡ @AB <−… ‡ … ) w … x= ‡ J= (<−… ‡ … ) @AB ”…”… ˆŒ()= (<−… = (…<‡− ) @AB = ‚" ‡ ˆŒ()= ( −) @AB ˆ()=ˆ‹()+ˆŒ()=… @AB(−C)+ (‡−) @AB : = KsL substitusi
ke persamaan didapatkan:
dengan menyamakan koe(isiennya maka:
jadi solusi tak$omogen adala$:
jika dide(inisikan
, se$ingga:
Penyelesaian lengkap:
;eluaran ini menggambarkan superposisi dua gelombang "osinus dengan (rekuensi selaras yang disebut sebagai (rekuensi dasar4alamia$ *natural (reuen"y+ besarnya
.
&mplitudo maksimum pada persamaan gelombang keluaran adala$:
Matematika Teknik I
Hal- 23
n98 = (KL–LiK) = –L — —= (KL"iK) — , dengan
disebut (aktor resonansi
&mplitudo maksimum ini tergantung pada
=
dan akan terjadi jika jika
*disebut resonansi+.
2 1.5 1
p i s n 0.5 a n o s 0 e r r o -0.5 t k a f
-1
-1.5 -2 0
1
2
3
4
5
6
frekuensi
Gambar #2 /aktor esonansi Program 0&)&- untuk Gambar 33 %faktor resonansi clear all; close all; clc; wo=3 w=(0:0.1:6); p=(wo^2-w.^2).^-1; plot(w,p,'b','linewidth',3) grid on axis equal hold on xlabel( 'frekuensi','fontsize',14) ylabel( 'faktor resonansi p','fontsize',14)
'ika terdapat kondisi awal yaitu E*6+6 dan E*6+6 maka persamaan lengkap menjadi:
Matematika Teknik I
Hal- 24
ˆ()=… @AB(−C)+ (‡−) @AB 0=… @AB(0−C)+ (‡−) @AB 0 … @AB(C)=− (‡−) ˆY()=−… B$I (−C)+ (‡−) B$I 0=−… B$I (0−C)+ (‡−) B$I 0 … B$I (C)=0 … @AB(−C)=…@AB– @ABC+…B$I B$IC … @AB(C)=− (KLLiK) … B$I (C)=0 … @AB(−C)=− (‡−) @AB ˆ()=… @AB(−C)+ (‡−) @AB =− (‡−) @AB + (‡−) @AB = (‡−) (@AB −@AB) @AB n−@AB o= B$I ˜g™ B$I ™i˜ ˆ()= (‡ − ) B$I + B$I −
Se$ingga jika:
dengan substitusi
dan
se$ingga:
jika
*buktikan8+ maka:
Gambar berikut mengilustrasikan osilasi E*t+ jika selisi$ F dengan F 6 ke"il *Gambar 3 !35+:
Matematika Teknik I
Hal- 25
80 60 40
) 20 t ( Q n 0 a t a u M-20 -40 -60 -80
0
10
20
30
40
50
60
70
80
sumbu waktu (t)
Gambar #3 >silasi 80
š(&)= œ(K-›LiK ) B$I KLgK
60 40
) t 20 ( Q n 0 a t a u M-20 -40 -60 -80 0
10
20
30
40
50
60
70
80
š(&)=# œ(K-›LiK ) B$I KLiK sumbu waktu (t)
Gambar # >silasi 80 60 40
) 20 t ( Q n 0 a t a u M-20 -40 -60 -80 0
10
20
30
40
50
60
70
80
sumbu waktu (t)
Gambar # Penyelesaian lengkap E*t+ untuk kasus F!F6 ke"il
Matematika Teknik I
Hal- 26
Program 0&)&- Gambar 35 %Arus pada Rangk LC seri E=Eo sin (wo-w) %wo-w = kecil clear all; close all; clc; E0=10; L=1; W0=1; W=0.84; A=(W0+W)*2^-1; B=(W0-W)*2^-1; t=(0:0.01:80); I=2*E0*L^-1*(W0^2-W^2)^-1*sin(t.*(A)) plot(t,I,'r','linewidth',2) hold on I=2*E0*L^-1*(W0^2-W^2)^-1*sin(t.*(B)); plot(t,I,'b','linewidth',2) hold on I=-2*E0*L^-1*(W0^2-W^2)^-1*sin(t.*(B)); plot(t,I,'b','linewidth',2) hold on I=2*E0*L^-1*(W0^2-W^2)^-1*sin(t.*(A)).*sin(t.*(B)); plot(t,I,'k','linewidth',4) xlabel('sumbu waktu (t)','fontsize',14) ylabel('Muatan Q(t)','fontsize',14)
1ari Gambar 3 menunjukkan osilasi E*t+ lebi$ "epat daripada osilasi E*t+ pada Gambar 3. Gambar 35 adala$ $asilkali persamaan Gambar 3 dan 3 yang merupakan penyelesaian lengkap rangkaian dengan
≠
. /enomena (isik
model persamaan ini dapat dirasakan pada proses penalaan nada sistem akustik dimana akan terdengar gejala naik turun suara pada saat (rekuensi dua sumber suara mendekati sama.
Kasus #. 'ika sumber baterai D D 6 "os Ft dengan
=7 žœ
0odel persamaan rangkaian untuk E *t+ di nyatakan sebagai:
Matematika Teknik I
Hal- 27
ˆ + …< ˆ=‡ @AB ˆ +ˆ= ‡ @AB ˆ +ˆ=0 ! + =0 !", =#$ ˆ‹()=n @AB +o B$I ˆ‹()=… @AB(−C) ˆ +ˆ= ‡ @AB š¡(&Y ) =&(@AB + ‘B$I ) š¡Y (&) =@AB −B$I +‘B$ I +‘@AB atau
Penyelesaian Homogen:
persamaan karakteristik dari P1 di atas: akar!akar persamaan karakteristik: penyelesaian $omogen:
~Ÿ~
Penyelesaian )ak$omogen:
dengan menggunakan metode koe(isien taktentu aturan modi(ikasi maka bentuk solusi partikular *li$at subbab .7.#+
š¡ (&) =−B$−I−B$ I − @AB +‘@AB +‘@AB ‘B$I =−B$I− @AB +‘@AB −‘B$I ’“, ’“Y substitusi
ke persamaan didapatkan:
−B$I−@AB +‘@AB −‘B$I +-&(@AB + ‘B$I )= ›œ '* & (‘)@AB +(−)B$I = ›œ '* & Matematika Teknik I
Hal- 28
‘ = ›œ J‘= œ› −=0J= š¡(&) =&(@AB + ‘B$I ) = -œ› & */ & š(&)=š¢(&)+š¡(&)=š¢(&)=ž '*(&−4)+ -œ› & */ & dengan menyamakan koe(isiennya maka:
jadi solusi tak$omogen adala$:
Penyelesaian lengkap:
40 30 20
) 10 t ( Q n 0 a t a u M-10 -20 -30 -40
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
sumbu waktu (t)
Gambar #5 Solusi Partikular untuk ;asus
Program 0&)&- Gambar 3= sebagai berikut: %Arus pada Rangk LC seri E=10t sin 5t denan clear all;
=7 œ
=7 œ
close all; clc; t=(0:0.01:4); I=10*t.*sin(5*t); plot(t,I,'b','linewidth',2) xlabel( 'sumbu waktu (t)','fontsize',14) ylabel( 'Muatan Q(t)','fontsize',14) Matematika Teknik I
Hal- 29
5.2.2 Rangkaian RLC seri
angkaian seri dengan sumber baterai D %olt digambarkan pada Gambar 37. 0odel persamaan rangkaian didapatkan dengan $ukum )egangan ;ir"$o((, yaitu: C?C?CD dengan:
C adala$ tegangan pada resistor yaitu I C adala$ tegangan pada induktor yaitu C adala$ tegangan pada kapasitor yaitu
diketa$ui ba$wa
R= „
" ‚ ƒ R
dengan E adala$ muatan dalam oulomb.
Gambar #= angkaian seri
?R+ R + …< †R=‡ ? R+- URV+ …< † R= (‡) œ ^^&-£ +3 ^£^& + ž £= ^&^ (›) ?R+ R + …< †R=‡ ? ˆ + UˆV+ …< † ˆ =‡
0odel persamaan rangkaian dapat dinyatakan sebagai:
untuk meng$ilangkan tanda integral, persamaan did e(erensialkan, maka:
0odel persamaan untuk Gambar 37 dapat juga dinyatakan dalam muatan E*t+, yaitu:
Matematika Teknik I
Hal- 30
^œ ^&-š- +3 ^š^& + ž š=› t^&^ (›)=u R +? R + …< R=0 ! +?!+ …< =0 −?#? !", = −D… - −bœž>0 !", 3 !", `& +'-f`-& %=' f 3- −bœž=0 !" =! =! ", `& +'-¤ f`& %=' f 3- −bœžd0 !", %='ff(¥& g=h )'*& +'&+- f( * i/h &)& %='f&( g ¥ )& +'-& f( i ¥ )& ¦ ='f ( '* && + */ &)+'-f ( −¦'* Ÿ § */ Ÿ)H −'* Ÿ= '* Ÿ =(' +'¦ -)f ( '* ¦ Ÿ)+(' −'-)f ( */ Ÿ) =lf '* Ÿ +mf */ Ÿ ,l,m ¨ a/*&k/&k ©ª.a_¡ªfa* ^^& (›)=‡ @AB
Kasus . 'ika sumber baterai D D 6
0odel persamaan rangkaian dinyatakan sebagai:
penyelesaian persamaan $omogen orde!2 di atas adala$ persamaan karakteristik dari P1 di atas:
akar!akar persamaan karakteristik:
se$ingga penyelesaian umum P1 *li$at ba$asan subbab .+
)erdapat tiga kemungkinan akar!akar nilai : #.
'ika
, maka
adala$ dua akar eal yang berbeda dengan
∈ maka solusi umumnya:
2.
'ika
, maka
dengan
∈ , maka solusi
umumnya:
3.
'ika
, maka
α ± iβ dengan α,β ∈ maka solusi
umumnya:
α
β
α
dengan rumus Duler, yaitu
β
maka bentuk trigonometri
rumus dapat ditentukan: α
β
α
α
β
α
α
β
β
α
β
α
β
α
β
β
β
β
β
β
Kasus B. 'ika sumber baterai yaitu
Matematika Teknik I
Hal- 31
R +? R + …< R=‡ @AB
0odel persamaan rangkaian dinyatakan sebagai:
Penyelesaian model persamaan di atas terdiri atas penyelesaian $omogen dan penyelesaian tak$omogen.
R +? R + …< R=‡ @AB £¡(&Y ) =@AB + ‘B$I £¡Y(&)=−B$ I +‘@AB £¡ (&)=−Y @AB − ‘B$I « “ , «“ (−@AB − ‘B$I )+?(−B$I +‘@AB ) + ž (@AB + ‘B$I )=›'* & U?‘+Už −VV@AB +U−?+U…< −V‘VB$I =› '* & −?+U?…< −V‘=0¬¬¬. ( $) ‘= t…< −u = t…< ?−u "K‚ −u −=t ‘= −? ?‘+Už −V=› ¬¬¬() ?‘+Už −V= ›
Penyelesaian )akHomogen:
dengan menggunakan metode koe(isien taktentu aturan modi(ikasi maka bentuk solusi partikular *li$at subbab .7.#+
substitusi
ke persamaan didapatkan:
dengan menyamakan koe(isiennya maka:
'ika dide(iniskan reaktansi
maka
'ika kedua ruas dibagi dgn , maka
Matematika Teknik I
Hal- 32
? −?−B= › −w? +x= › G−w? + x= › ®= (3−›- + -) ¯= −3 ®= (3›-+3 -) £¡(&)=°(3−›- +±± -)²'* & +°(3›-+±3 -)²*/ & 'adi penyelesaian tak$omogen adala$:
onto$ #:
)entukanla$ muatan E dan I sebagai (ungsi watku t dalam rangkaian seri jika ! #5 , " 6,62 H, # 2J#6! / dan D #2 volt . &nggapla$ pada saat t 6, arus I 6 dan muatan kapasitor E 6 Penyelesaian: Persamaan yang digunakan untuk menyelesaikan kasus ini:
„ + ? „ + ‚" ˆ=‡() 0,0 ˆ +
1engan substitusi ! #5 , " 6,62 H, # 2J#6! / dan D #2 volt , maka diperole$:
Penyelesaian Persamaan Homogen •
Persamaan karakteristik r2 ? 766 r ? 26.666 6, mempunyai akar! akar:
!", = ´iµ # P ¶W.i"..· ˆ‹ = QiW (…<@AB Z00+ … B$IZ00) !66 K 366 i
•
Se$ingga penyelesaian $omogen:
Penyelesaian )akHomogen •
1engan menggunaan metode koe(isien taktentu *subbab .7.#+, maka:
ˆ8 = n, „¸ = 0, „¸ = 0
Matematika Teknik I
Hal- 33
ˆ8 =n,ˆ „¸ = 0,ˆ „¸ = 0 8 8 + F00 ˆ8 =, D ³<0i| + \0.000 ˆ=E00 i| + QiW (…" @AB Z00+ … B$IZ00) ˆ()= , D ³<0 ( ) „ iW ˆ() (… R()= =+−D00Q @AB Z00+ … B $ I Z00) " iW (−Z00…" B$IZ00+Z00… @AB Z00) Q R()= QiW 5(−D00…" + Z00…) @ABZ00+(−Z00…" − D00…) B$IZ006 0=, D ³<0| + …" J…" = −,DD…³<0" | 0= −D00…" + Z00… J … = Z = −Z,³<0 •
Substitusi
ke dalam persamaan :
0eng$asilkan
;arena itu penyelesaian lengkap adala$, I t diperole$ dengan di(erensiasi
didapatkan:
-ila diberlakukan syarat awal, t 6, I 6, E 6, maka:
'adi penyelesaian lengkap muatan listrik adala$
E*t+ #6!3 L2, M e !66t *2, "os 366t ? 3,2 sin 366t+ onto$ 2: Suatu induktor 2 $enry, resistor #5 o$m dan kapasitor 6,62 (arad di$ubungkan se"ara seri dengan sutu baterai dengan ggl.$ #66 sin 3t . Pada t 6 muatan dalam kapasitor dan arus dalam rangkaian adala$ nol. )entukanla$ * a+ muatan dan *b+ arus pada t O6. Penyelesaian: 0isalkan % dan & menyatakan muatan dan arus sesaat pada waktu t , berdasarkan Hukum ;ir"$$o((, maka diperole$ persamaan:
¹ „, „ „
2 ? #5& ? &tau karena &'d%dt,
?7
#66 sin 3t
? 2% 26 sin 3t
Selesaikan ini ter$adap syarat % 6,d%dt ' 0 pada t 6, kita memperole$ $asil ak$ir: *a+ %
º
*2 sin 3t M 3 "os 3t + ?
*
Matematika Teknik I
*
º
e!t *3 "os 3t ? 2 sin 3t + Hal- 34
*b+ & '
„ º
+
*2 "os 3t ? 3 sin 3t + !
*
º
e!t *#= sin 3t ? 5 "os 3t +
Suku pertama adala$ arus stabil (steady-state) dan suku kedua, yang dapat diabaikan untuk waktu yang bertamba$, dinamakan arus transien.
S$L%S$L
#. )entukan arus l*t+ dalam rangkaian seri dimana "#H, # #/ dan D#66 volt 8 &nggapla$ ba$wa pada saat t6, arus l6 dan muatan kapasitor E6. 2. )entukan arus l*t+ dalam rangkaian seri dimana "#H, # 6,2/ dan D36 sin t volt 8 &nggapla$ ba$wa pada saat t6, arus l6 dan muatan kapasitor E6. 3. )entukan arus l*t+ dalam rangkaian seri d imana "#6H, # #4@6/ dan D#6 "os 2t volt 8 &nggapla$ ba$wa pada saat t6, arus l6 dan muatan kapasitor E6. . )entukan arus l*t+ dalam rangkaian seri dimana "#6H, # 6,#/ dan D#6t volt 8 &nggapla$ ba$wa pada saat t6, arus l6 dan muatan kapasitor E6. . )entukan arus l*t+ dalam rangkaian seri dimana "2,H, # #6!3/ dan D#6t2 volt 8 &nggapla$ ba$wa pada saat t6, arus l6 dan muatan kapasitor E6. 5. )entukan arus l*t+ dalam rangkaian seri dimana "#H, # #/ dan D# volt jika 6t# dan D6 jika tO#8 &nggapla$ ba$wa pada saat t6, arus l6 dan muatan kapasitor E6. =. )entukan arus l*t+ dalam rangkaian seri dimana "#H, # #/ dan D#!e!t volt jika 6tQ dan D6 jika tOQ8 &nggapla$ ba$wa pada saat t6, arus l6 dan muatan kapasitor E6. 7. )entukan arus steady state dalam rangkaian seri dimana !' , "#H, #'2R#6! / dan D 226 volt 8 &nggapla$ ba$wa pada saat t6, arus l6, dan muatan kapasitor E6. @. )entukan arus steady state dalam rangkaian seri dimana !26 , "#6H, # #6!3/ dan D#66 "os t volt 8 &nggapla$ ba$wa pada saat t6, arus l6, dan muatan kapasitor E6.
Matematika Teknik I
Hal- 35
#6. )entukan arus transien dalam rangkaian seri dimana !'266 , "#66H, # 6,66/ dan D66 sin t volt 8 &nggapla$ ba$wa pada saat t6, arus l6 dan muatan kapasitor E6. ##. )entukan arus transien dalam rangkaian seri dimana !'26 , "H, # #6!2/ dan D7 sin t volt 8 &nggapla$ ba$wa pada saat t6, arus l6 dan muatan kapasitor E6. #2. )entukan arus lengkap dalam rangkaian seri dimana !76 , "26H, # #6!2 / dan D#66 volt 8 &nggapla$ ba$wa pada saat #6, arus l6 dan muatan kapasitor E6. #3. )entukan arus lengkap dalam rangkaian seri dimana !#56 , "26H, # 2R#6!3 / dan D7# sin #6t volt 8 &nggapla$ ba$wa pada saat #6, arus l6 dan muatan kapasitor E6. #. )entukan arus dalam rangkaian seri dimana !5 , "#H, # 6,6 / dan D2 "os t volt 8 &nggapla$ ba$wa pada saat #6, arus l6 dan muatan kapasitor E6. #. )entukan arus steady state dalam rangkaian seri dimana !6 , "36H, # 6,62 / dan D266 sin t volt 8 &nggapla$ ba$wa pada saat #6, arus l6 dan muatan kapasitor E6. #5. )entukan arus transien dalam rangkaian seri dimana !26 , "H, # 6, / dan D#6 sin #6t volt. &nggapla$ ba$wa pada saat #6, arus l6 dan muatan kapasitor E6. #=. )entukan arus lenap dalam rangkaian seri dimana !7 , "2H, # 6,#2 / dan D#6 sin t volt 8 &nggapla$ ba$wa pada saat #6, arus l6 dan muatan kapasitor E6. #7. )entukan arus transien dalam rangkaian dimana !# , "H, # #,2R#6!2 / dan D# sin t volt 8 &nggapla$ ba$wa pada saat #6, arus l6 dan muatan kapasitor E6. #@. )entukan arus steady state dalam rangkaian seri dimana !7 , "H, # 6,#2 / dan D2 sin 2t volt 8 &nggapla$ ba$wa pada saat #6, arus l6 dan muatan kapasitor E6. 26. )entukan arus lenap dalam rangkaian seri dimana !26 , "#2H, # 6,662 / dan D26 sin 3t volt 8 &nggapla$ ba$wa pada saat #6, arus l6 dan muatan kapasitor E6.
Matematika Teknik I
Hal- 36
#&TR 'STK Kreyszig, Erwin, Matematika Teknik lanjutan. Jakarta: Gramedia, 1988. Stroud, K.A., Matematika untuk Teknik. Jakarta: Penerbit Erlangga, 1987. Farlow, Stanley J., An Introduction to Diffrenential Equations and Their Applications, McGraw-Hill, Singapore, 1994 Howard, P., Solving ODE in MATLAB , Fall, 2007 Thompson, S., Gladwell, I., Shampine, L.F., Solving ODEs with MATLAB, Cambridge University Press, 2003 Rosenberg, J.M., Lipsman, R.L., Hunti, B.R., A Guide to MATLAB for Beginners and Experienced Users , Cambridge University Press, 2006
Matematika Teknik I
Hal- 37
GL$SR* -ebas inear
1ua penyelesaian persamaan di(erensial dikatakan bebas
linear
jika
yang
satu
bukan
kelipatan
konstanta dari yang lain. -ernoulli
Suatu persamaan -ernoullidapat dituliskan dalam bentuk y /()y ' %()y n. 'ika n'6 atau # maka persamaan adala$ linear.
1erajat
1erajat dari suatu persamaan adala$ pangkat dari suku
deri%ati(
tertinggi
yang
mun"ul
dalam
persamaan di(erensial. Dksak
Suatu persamaan eksak dapat dituliskan dalam bentuk 1(,y)d 2(,y)dy ' 0 dengan deri%ati( parsial dari 1 ter$adap y sama dengan deri%ati( parsial dari 2 ter$adap . Selain itu dikatakan tidak eksak.
/aktor Integrasi
Suatu (aktor integrasi adala$ suatu (ungsi yang dipili$ untuk memuda$kan penyelesaian dari suatu persamaan di(erensial.
Homogen
Suatu persamaan di(erensial adala$ $omogeny jika setiap suku tunggal memuat %ariable tak bebas atau deri%ati(nya. Persamaan di(erensial yang tidak memenu$i de(inisi $omogen diper$atikan sebagai tak $omogeny.
Integral ;$usus
Sembarang
(ungsi
di(erensial
tak
yang
memenu$i
$omogen
persamaan
dinamakan
integral
k$usus. ;arakteristik
Suatu persamaan polynomial yang diperole$ dari persamaan
di(erensial
linear
dengan
koe(isien
konstan dinamakan persamaan karakteristik. ;oe(isien )ak )entu
0etode
koe(isien
tak
tentu
adala$
suatu
pendekatan untuk men"ari integral k$usus dari persamaan
di(erensial
linear
tak
$omogen
menggunakan persamaan karakteristik.
Matematika Teknik I
Hal- 38
0asala$ Nilai &wal
Persamaan di(erensial dengan syarat tamba$an pada (ungsi yang tidak diketa$ui dan deri%ati(! deri%ati(nya, semua diberikan pada nilai yang sama untuk %eriabel bebas, dinamakan masala$ nilai awal. Syarat tamba$an tersebut dinamakan syarat awal.
0asala$ Nilai -atas
Persamaan di(erensial dengan syarat tamba$an pada (ungsi yang tidak diketa$ui dan deri%ati(! deri%ati(nya diberikan pada lebi$ dari satu nilai %ariabel bebas dinamakan masala$ nilai batas. Syarat tamba$an tersebut dinamakan syarat batas.
>rde
turunan tertinggi dalam
Penyelesaian
Suatu (ungsi terdi(erensial yang memenu$i persamaan di(erensial dinamakan penyelesaian di(erensial Penyelesaian eksplisit dari suatu persamaan di(erensial adala$ penyelesaian dimana %ariable tak bebas di tuliskan $anya dalam suku M suku dari %ariable bebas. Selain itu, penyelesaiannya dinamakan penyelesaian implisit Penyelesaian k$usus adala$ penyelesaian yang diperole$ dengan menentukan nilai k$usus untuk konstanta sembarang yang mun"ul dalam persamaan umum. Penyelesaian lengkap adala$ jumla$an dari (ungsi komplementer dan integral k$usus Penyelesaian yang diperole$ dari integrasi persamaan di(erensial dinamakan penyelesaian umum. Penyelesaian umum dari suatu persamaan di(erensial biasa tingkat n membuat n konstanta sembarang yang di$asilkan dari integrasi n kali Pada persamaan osilator $armonis teredam! terpaksa, penyelesaian $omogeny yang mendekati nol selama waktu bertamba$ dinamakan penyelesaian perali$an Persamaan menggambarkan $ubungan antara %ariable bebas dan tak bebas. Suatu tanda sama dengan T di$aruskan ada dalam setiap persamaan Persamaan yang melibatkan %ariable!%ariabel tak bebas dan deri%ati%e!deti%ati(nya ter$adap %ariable!%ariabel bebas dinamakan persamaan
Penyelesaian eksplisit
Penyelesaian k$usus
Penyelesaian lengkap Penyelesaian umum
Perali$an
Persamaan
Persamaan di(erensial
Matematika Teknik I
P1
Hal- 39
di(erensial Persamaan di(erensial Persamaan di(erensial yang $anya melibatkan satu biasa %ariable bebas dinamakan persamaan di(erensial biasa Persamaan di(erensial Persamaan di(erensial yang melibatkan dua atau parsial lebi$ %ariable bebas dinamakan persamaan di(erensial parsial eduksi tingkat &dala$ suatu teknik untuk menyelesaikan persamaan di(erensial biasa tingkat dua dengan membawa persamaan ke tingkat satu )eredam 1alam system massa pegas terdapat tiga perilaku, yaitu teredam lebi$ jika persamaan karateristik mempunyai akar!akar real berbeda, teredam kritis jika persamaan karateristik $anya mempunyai satu akar riil, dan teredam kurang jika persamaan karateristik mempunyai akar!akar kompleks )erpisa$kan Suatu persamaan di(erensial adala$ terpisa$kan jika %ariable bebas dan tak bebas dapat dipisa$kan se"ara aljabar pada sisi berlawanan dalam persamaan. )ingkat )ingkat dari suatu persamaan di(erensial adala$ deri%ati%e tertinggi yang mun"ul dalam persamaan di(erensial. )rayektori Suatu sketsa dari penyelesaian k$usus dalam bidang (ase dinamakan trayektori dari penyelesaian )rayektori ortogonal ;eluarga kur%a pada bidang yang memotong tegak lurus dengan suatu keluarga kur%a yang lain dinamakan trayektori ort$ogonal Cariasi parameter 0etode %ariasi parameter adala$ metode umum menyelesaikan persamaan di(erensial linear tak $omogeny. 1alam metode ini, integral k$usus diperole$ dari (ungsi komplemeter dimana setiap suku dikalikan dengan (ungsi tak diketa$ui yang $arus ditentukan kemudian
Matematika Teknik I
Hal- 40
