Aplikasi Persamaan Diferensial
BAB I PENDAHULUAN
Persamaan diferensial adalah persamaa persamaan n yang mengandun mengandung g fungsi fungsi dan turunannya. Adapun persamaan diferensial biasa adalah persamaan yang mengandung turunan biasa, yaitu turunan dengan satu peubah bebas dan persamaan diferensial parsial adalah persamaan yang mengandung turunan parsial, yaitu turunan denga dengan n peuba peubah h bebas bebas lebih lebih dari dari satu satu.. Karena salah satu yang akan menjadi titik fokus pada bab pembahasan adalah menentukan solusi dengan metode persamaan diferensial order 1 pada aplikasi permasalahan di bidang teknik, fisika, dan biologi maka untuk persamaan diferensial biasa order 1 yang mempunyai bentuk umum : F(x,y, dy/dx) = 0 , dapat dituliskan dalam bentuk derivatif yaitu
= F(x, F(x, y)
solusi dari setiap masalah yang berkaitan dengan persamaan diferensial. Seperti halnya aplikasi persamaan diferensial pada bidang teknik, persamaan diferensial linear order satu Menyelesaiakan masalah campuran kimia dimana persamaan diferensial suatu cara yang bisa membantu untuk mencari jumlah garam dalam larutan dalam satuan menit dan persamaan diferensial linear order satu juga membantu menghitung arus dalam rangkaian listrik dalam satuan detik. Adapun, penerapan persamaan diferensial dalam bidang fisika membantu menyelesaikan masalah tentang kekekalan momentum, persamaan diferensial membantu menghitung kecepatan dari suatu benda dalam suatu peristiwa setelah ledakan yang mengakibatkan dua komponen terpisah secara berlawanan arah.
atau dalam bentuk
diferensial yaitu M (x,y) + N (x,y) = 0 (Herris Herdiana, 2002). Pada pembahasan pembahasan ini akan akan dijelaskan beberapa beberapa aplikasi aplikasi persamaan persamaan diferensia diferensiall dalam beberapa bidang, yaitu diantaranya: teknik, kedokteran, dan biologi. Aplikasi persamaan diferensial dalam setiap bidangnya bermanfaat untuk mencari
Tujuan penulisan ini adalah untuk lebih memahami dan mengetahui materi persamaan diferensial jika diterapkan dalam bidang teknik, kedokteran, fisika dan biologi.
Desi – Fagil Rachman.D.P – Frisky Rahmawati – Maulana.B.Z Maulana.B.Z
1
Aplikasi Persamaan Diferensial
BAB II PEMBAHASAN
Berikut ini akan dibahas aplikasi persamaan diferensial di beberapa bidang, diantaranya:
u = e∫
A. MATEMATIKA TEKNIK (Model persamaan diferensial linear order satu). Penggunaan persamaan deferensial dalam permodelan, khususnya dibidang ilmu teknik dan rekayasa yang paling sederhana adalah menggunakan persamaan diferensial linear order satu. Persamaan diferensial biasa linear order satu adalah suatu persamaan yang berbentuk:
Atau,
( )
[y + P(x)y]e∫
ye∫
( )
( )
= Q(x)e∫
= Q(x)e∫
( )
( )
Dengan demikian penyelesaian umm persamaan diferensial linear adalah:
ye∫
( )
=
Q(x)e∫
( )
dx + c
Contoh 1. Model campuran kimia. Dalam suatu bejana berisi 16 galon, air asin yang mengandung 5 pon larutan garam. Air asin mengalir kedalam bejana yang mengandung 2 pon larutan garam tiap galon, dengan laju 3 galon tiap menit. Campuran dipertahankan merata dengan cara mengaduk. Air asin mengalir keluar dengan laju 1 galon tiap menit. Berapakah jumlah garam dalam larutan setelah 4,5 menit. x(t) bila diketahui x(0) = 12.
y’ + P(x)y = Q(x) …………………. (1) Ciri dari persamaan diferensial
linear adalah y dan y’ bersifat linear, sedangkan P dan Q fungsi-fungsi dari x. Untuk menentukan menyelesain umumnya, diperoleh dari persamaan (1) adalah:
y’ + P(x)y = Q(x) Penyelesaian: Perumusan model: andaikan x menyatakan jumlah garam pada saat t menit. Menurut hukum kimia, laju perubahan garam pada saat t sama dengan laju masuk dikurangi dengan laju keluar, sehingga:
(dy/dx) + P(x)y = Q(x) dy + [P(x)y – Q(x)]dx = 0 Jika
suatu
mempunyai
sifat
persamaan
≠
(1) maka
persamaannya disebut persamaan diferensial non eksak. Dengan demikian
= laju masuk − laju keluar Mengingat, Laju masuk= [konsentrasi][kecepatan]. = [2 pon/galon][3galon/menit]. = 6 pon/menit.
= ( ).
hitung
Maka faktor integrasinya merupakan fungsi dari x. Misalkan u adalah faktor integrasi, fungsi u(x) yang diberikan oleh:
u = e∫
( )
Laju keluar = [konsentrasi][kecepatan]. Dimana kecepatan keluar bejana 1 galon/menit, dan
………………………(2)
Konsentrasi =
Bila faktor integrasi persamaan (2) dikalikan dengan persamaan (1), dihasilkan:
a. Dimana A adalah jumlah garam pada saat t.
Desi – Fagil Rachman.D.P – Frisky Rahmawati – Maulana.B.Z
2
3
Aplikasi Persamaan Diferensial
b. Dan B adalah jumlah galon air asin dalam bejana pada saat t.
A x x = = B 16 + (3 − 1)t 16 + 2t Maka laju diberikanoleh, Laju keluar =
12 = 32 +
atau, c = −80
Jadi, penyelesaian diferensialnya adalah,
persamaan
( ) = 2(16 + 2 ) − √
keluar
bejana
Dengan demikian persamaan diferensialnya dapat ditulis menjadi:
dx x =6− atau dt 16 + 2t dx x + = 6 dt 16 + 2t
Selanjutnya untuk t = 4,5, dihasilkan:
Persamaan merupakan persamaan diferensial linear order satu, dimana ( ) = dimana Q(t) = 6, dengan
80 √ 16 + 2t (4,5) = 2(16 + 2(4,5)) − √ ( ) = 2(16 + 2 ) −
= 34
Jadi, jumlah garam dalam larutan setelah 4,5 menit adalah 34 pon.
syarat x(0) = 12. Dari p(t) faktor integrasi persamaan linear diberikan oleh,
1 dt = e 16 + 2t = √ 16 + 2t
u = exp
(
Sehingga penyelesaian persamaan linear adalah:
)
umum
1 [6√ 16 + 2t dt] √ 1 6 + 2t 6 ∫[√ 16 + 2t dt] = √
Contoh 2. Rangkaian R – L. Sebuah rangkaian listrik sederhana terdiri dari sebuah tahanan R, induktasi L, dan tegangan E(t). Hitunglah arus dalam rangkaian setelah t detik, I(t) bila diketahui I(0) = 0. Bila sumber tegangannya E(t) = E0.
=
Misal u = 16 + 2t =2 dt = √
=
√
du]
6.
∫[u du]
3. u
= √
2u
=
√
2. Tegangan pada induktor, E L =
6 ∫[u
= √
Dengan demikian untuk rangkaian seperti tergambar dihasilkan, +R.i = E(t)
+c
atau,
+c
2(16 + 2 )
Penyelesaian: Perumusan model: Menurut hukum kirchoff, jumlah tegangan sama gaya elektromotif, E(t) yakni: EL + ER = E(t) Berdasarkan kenyataan bahwa: 1. Tegangan pada tahanan, E R = R.i
/
=
+
− i,
+ i=
atau,
( ) = 2(16 + 2 ) +
()
√ 16 + 2
()
Persamaan adalah persamaan diferensial linear order satu, dengan
Karena diketahui x(0) = 12, maka dihasilkan: Desi – Fagil Rachman.D.P – Frisky Rahmawati – Maulana.B.Z
R E(t) ( ) = dan Q(t ) =
Aplikasi Persamaan Diferensial
Faktor integrasi diferensial linear adalah:
persamaan
u = exp ∫ dt = Dengan demikian, penyelesaian umum persamaan diferensial adalah, 1 −
i(t ) =
E(t )
+
Karena diketahui, E(t) = E 0 dan I(0) = 0, dari ruas kanan persamaan persamaan diatas dihasilkan:
=
E
0
Sehingga penyelesaian umumnya adalah, E − ()
i t =
+
c
i(t ) =
E +
E +
i(t ) =
=
E +
karena diketahui, I(0) = 0, maka diperoleh:
0=
E E + atau, c = −
Jadi penyelesaian diferensialnya adalah:
i(t ) = − atau,
i(t ) =
E
−
E
+
Klirens dapat ditakrifkan sebagai volume cairan (yang mengandung obat) yang dibersihkan dari obat persatuan waktu. Klirens dapat ditakrifkan sebagai laju eliminasi obat dibagi konsentrasi obat dalam plasma pada waktu tersebut. Laju perubahan xenobiotika dalam tubuh adalah dAb /dt, laju perubahan bergantung pada laju absorpsi dan eliminasi xenobiotika. Laju perubahan ini sama dengan laju absorpsi dikurangi laju eliminasi.
dA dA dA = − dt dt dt Dimana A = jumlah xenobiotika di dalam saluran pencernaan “gastro intestinal track”, A = jumlah xenobiotika yang dieliminasi dari tubuh. Kata xenobiotik berasal dari bahasa yunani yaitu ‘ xenos’ yang artinya asing. Xenobiotika adalah zat asing yang masuk dalam tubuh manusia contohnya: zat kimia, pewarna makanan, pengawet makanan, dan sebagainya.
persamaan
E
1− −
Persamaan ini merupakan persamaan yang menyatakan arus dalam rangkaian setelah t detik.
B. KEDOKTERAN (Model persamaan diferensial linear order satu).
KLIRENS OBAT Klirens obat adalah suatu ukuran eliminasi obat dari tubuh tanpa mempermasalahkan prosesnya. Klirens obat / tubuh total adalah jumlah total dari seluruh jalur klirens dalam tubuh, termasuk klirens obat lewat ginjal (klirens renal), dan kliners hepar (kliners hepatik).
Contoh. Laju perubahan xenobiotika. Jika dalam suatu unit darurat dihadapi seorang pasien yang menderita gangguan fungsi hati disebabakan xenobiotika. Jika diketahui laju jumlah 2 xenobiotika 9t dan laju jumlah xenobiotika yang dieliminasi adalah 2t. Hitunglah laju perubahan xenobiotika! Penyelesaian: Misalkan t = waktu, laju jumlah xenobiotika = A GI /dt dan laju jumlah xenobiotika yang dieliminasi = dA e /dt. Akan dicari laju perubahan xenobiotika,
dA dA dA dA 9t 2t = − = = − dt dt dt dt dt dt dA = 18t − 2 dt
Desi – Fagil Rachman.D.P – Frisky Rahmawati – Maulana.B.Z
5
Aplikasi Persamaan Diferensial
Jadi, laju perubahan xenobiotika dalam tubuh adalah 18t – 2.
C. FISIKA (Model model persamaan diferensial linear order satu).
Contoh 1. Laju kecepatan. Kota Bogor memantau ketinggian air dalam tangki air berbentuk tabung dengan alat pencatat otomatis. Secara tetap air dipompa kedalam tangki dengan laju 2400 dm/jam, seperti diperlihatkan pada gambar 5. Selama suatu periode 12 jam tertentu (dimulai pada tengan malam), permukaan air naik dan turun sesuai dengan grafik gambar 6. Jika jari-jari tangki adalah 20 dm, berapa laju air yang sedang digunakan pada pukul 7.00?
≈ 400(−3)π ≈ −3770 Jadi, penduduk kota Bogor menggunakan air dengan laju 2400 + 3770 = 6170 dm/jam pada pukul 7.00.
Contoh 2. Laju kecepatan. Sebuah balon dilepaskan pada jarak 150 kaki, dari seorang pengamat yang berdiri di tanah. Diketahui balon naik secara lurus keudara dengan laju 8 meter/detik, seberapa cepat jarak antara pengamat dan balon bertambah pada waktu balon berketinggian 50 kaki? Pemyelesaian: Andaikan t = banyaknya detik setelah balon dilepaskan. h= ketinggian balon. s = jarak dari pengamat dengan balon. Untuk t > 0
s h 150
Penyelesaian: Andaikan t menyetakan banyaknya jam setelah tengah malam, dan h sebagai ketinggian air dalam tangki pada saat t, dan V sebagai volume air dalam tangki pada pada saat itu (lihat gambar 5). Maka 2400 – (dV/dt) adalah laju pada mana air sedang digunakan pada sebarang waktu t. Karena kemiringan garis singgung di t = 7 maka kemiringannya kira-kira -3 (lihat gambar 6), dapat disimpulkan bahwa dh/dt ≈ -3. Untuk sebuah tabung, V = πr h , sehingga:
V = π(20) h
Diketahui: Ditanyakan:
=8 pada saat h = 50
Variabel s dan h berubah berdasarkan waktu (mereka adalah fungsifungsi implisit dari t). 2 2 2 s = h + (150) ……………… (1) Diferensialkan secara implisit terhadap t dan memakai aturan rantai, diperoleh: 2 2 2 s = h + (150)
2
= 2ℎ
ℎ
Atau,
=ℎ
………………………(2)
Diferensialkan, diperoleh:
dV dh = 400π dt dt
Pada saat t = 7,
Pada saat h = 50, dari persamaan (1) diperoleh:
= (50) + (150) = 50√ 10
Desi – Fagil Rachman.D.P – Frisky Rahmawati – Maulana.B.Z
6
Aplikasi Persamaan Diferensial
Subtitusikan nilai s, h, dan
50√ 10
diperoleh:
= 50(8) dan 8 = ≈ 2,53 √ 10
Pada saat h = 50, jarak antara balon dan pengamat bertambah dengan kecepatan 2,53 kaki/detik.
D. BIOLOGI (Model model persamaan diferensial linear order satu).
PERTUMBUHAN JUMLAH BAKTERI Jika y fungsi bernilai positif dalam t, dan k suatu konstanta persamaan differensial
∫
=
………….(1)
Menyatakan bahwa laju perubahan y sebanding dengan besarnya y pada sebarang waktu t . Persamaan (1) adalah persamaan differensial terpisahkan dan dapat ditulis :
∫ = ∫ ln = + = ( = Dimana A=
Penyelesaian: Di bawah persyaratan yang menguntungkan laju perkembangan bakteri dalam suatu kultur sebanding dengan jumlah bakteri pada saat itu. Jika y banyaknya bakteri dalam kultur pada waktu t maka laju perkembangannya adalah: ∫
= [ ]
.........(2) konstanta sebarang.
Nilai konstanta k dalam persamaan (2) tergantung pada sifat masalah. Jika k bernilai positif maka persamaan (2) disebut hukum pertumbuhan eksponensial. Jika k bernilai negative maka persamaan (2) disebut hokum peluruhan eksponensial. Contoh. Jumlah bakteri dalam suatu kultur adalah 200, setelah dua jam menjadi 7.200. di bawah persyaratan perkembangan yang ideal, menjadi berapa jumlah bakteri setelah enam jam?
..................(1)
Dengan k faktor pembanding,dengan mengintegralkan persamaan (1),
= = ∫ ∫ ln y = kt + C ……………(2) Pada saat awal t = 0 jumlah bakteri y = 200 sehingga dengan memasukkan nilai tersebut ke persamaan (2); ln 200 = k(0) + C Memasukkan C ke persamaan (2) menjadi: ln y = kt + ln 200 untuk t = 2 jam ; y = 7.200 diperoleh, ln y ln 7.200
= kt + C = 2k + ln 200
k
= [ln 7.200 – ln 200]
=
)
=
.
= ln 36 = = ln √36 = ln 6
36
Memasukkan k ke persamaan (2) menjadi: ln y = t ln 6 + ln 200 t ln y = ln (6 . 200)
untuk t = 6 jam y = ….? ln y = 6 ln 6 + ln 200 ln y = ln 46.656 (200) y = 9.331.200 Jadi setelah enam jam jumlah bakteri menjadi 9.331.200.
Desi – Fagil Rachman.D.P – Frisky Rahmawati – Maulana.B.Z
Aplikasi Persamaan Diferensial
BAB III PENUTUP
Demikian pembahasan aplikasi persamaan diferensial pada bidang teknik, fisika, kedokteran dan biologi , yang dapat kami paparkan. Atas kekurangannya mohon maaf karena kesempurnaan hanya milik ALLAH SWT.
obat yaitu untuk menghitung ukuran eliminasi obat dari tubuh tanpa mempermasalahkan prosesnya. c. Fisika Penerapan persamaan diferensial dalam bidang fisika membantu menyelesaikan masalah tentang kekekalan momentum, persamaan diferensial membantu menghitung kecepatan dari suatu benda dalam suatu peristiwa setelah ledakan yang mengakibatkan dua komponen terpisah secara berlawanan arah.
Semoga pembahasan aplikasi persamaan diferensial yang telah disusun dapat bermanfaat untuk semua pembaca khususnya untuk kami sebagai penyusun.
Aamiin…
1. KESIMPULAN Aplikasi persamaan diferensial dalam setiap bidangnya bermanfaat untuk mencari solusi dari setiap masalah yang berkaitan dengan persamaan diferensial. Berikut ini aplikasi persamaan diferensial di beberapa bidang, diantaranya:
d. Biologi Penerapan persamaan diferensial pada bidang biologi, digunakan untuk membantu menyelesaiakan masalah untuk mencari pertumbuhan jumlah bakteri.
a. Matematika Teknik Pada bidang teknik,persamaan diferensial linear order satu diterapkan untuk menyelesaikan masalah campuran kimia, dimana persamaan diferensial suatu cara yang bisa membantu untuk mencari jumlah garam dalam larutan dalam satuan menit dan persamaan diferensial linear order satu juga membantu menghitung arus dalam rangkaian listrik dalam satuan detik. b. Kedokteran Penerapan persamaan diferensial dalam bidang kedokteran membantu menyelesaikan masalah tentang klirens
2. SARAN Kurangnya pemahaman bukan merupakan penghalang untuk mencoba. tetapi, beranilah mencoba untuk dapat memahami. Setelah membahas materi mengenai suatu penerapan persamaan diferensial pada beberapa bidang diantaranya: biologi, fisika, kedokteran, dan teknik. Kami mengharapkan agar kedepannya materi ini dikembangkan lebih jauh terutama memperbanyak contoh soal. Selanjutnya kami juga mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun.
Desi – Fagil Rachman.D.P – Frisky Rahmawati – Maulana.B.Z
7
Aplikasi Persamaan Diferensial
DAFTRA PUSTAKA
Andrew.B.C.Y.U, Leon.S.1988. Biofarmasetika dan Farmakokinetika Terapan.Surabaya. Airlangga University Press Edwin, Pucell, Dale Varberg. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima. Jakarta. Erlangga Kanginan Marthen.1994. Fisika SMU kelas 1 caturwulan 1.Jakarta.Erlangga Prayudi.2006. Matematika Teknik Persamaan Diferensial, Transformasi Laplace, Deret Fourier . Yogyakarta.Graha Ilmu Wirasuta.G.A.M.2006. Buku umum.com
Ajar
Taksikologi
Umum.Bali.www.buku-ajar-taksikologi-
Zakylubismy.2011. Aplikasi Persamaan Diferensial Parsial.http://zakylubismy.blogspot.Com /2011/02/ aplikasi-persamaan-diferensial-parsial.html?m=0
Desi – Fagil Rachman.D.P – Frisky Rahmawati – Maulana.B.Z
8
