APLIKASI INTEGRAL DALAM FISIKA
Integral Tak Tentu. Proses untuk menemukan seluruh antiderivative dari sebuah fungsi dinamakan antideferensial atau integral dan dilambangkan dengan ∫ . Dibawah ini merupakan beberapa contoh soal integral beserta jawaban yang berhubungan dengan mata kuliah fisika. 1. Diketahui suatu mobil bergerak dengan persamaan kecepatan = , dengan v dalam satuan meter per sekon dan t dalam satuan sekon. Tentukan perpindahan mobil setelah menempuh waktu t=3 sekon! (soal buatan sendiri) Jawab: = m/s Persamaan perpindahan dapat dicari dengan mengintegralkan persamaan kecepatan. =∫ =∫ = = 27 + 18 - 15 = 30 Jadi, perpindahan mobil setelah menempuh waktu t=3 sekon adalah 30 meter. 2. Percepatan suatu benda dilukiskan dengan suatu persamaan m/ . Benda tersebut bergerak dengan kecepatan awal 3 m/s dan bergerak ke arah kanan. Berapakah kecepatan benda tersebut setelah 2 sekon? (soal buatan sendiri) Jawab: m/ Pertama-tama harus dicari persamaan ∫
= =
yaitu:
∫
= = Setelah itu substitusikan t=2, maka: = = = = 21 Jadi, kecepatan benda setelah 2 sekon adalah 21 m/s.
3. Sebuah cakram mempunyai jari-jari 10 cm digunakan dalam percobaan praktikum fisika. Pada saat pemutaran didapatkan percepatan dengan persamaan m/ , dengan t dalam sekon. Tentukan kecepatan sudut pada cakram setelah 2 sekon! (soal buatan sendiri) Jawab: R = 0,1 m m/ Rumus mencari kecepatan sudut ω adalah V = ω.R. Sedangkan kecepatan V dapat dicari dengan mengintegralkan persamaan percepatan a. =∫ =∫ =4 4 = 16 – 4 = 12 Sehingga, kita dapat mencari besar kecepatan sudut ω: ω = ⁄ = ⁄ = 120 rad/s Jadi, kecepatan sudut cakram setelah 2 sekon adalah 120 rad/s.
4. Sebuah partikel bergerak pada bidang x-y. Posisi awal partikel adalah pada koordinat (2,4) m, dengan kecepatan partikel memenuhi persamaan ⃗ ⃗ ⃗ m/s, dengan t dalam sekon. Tentukan: a. Persamaan vektor posisi partikel. b. Posisi partikel pada saat t=3 sekon. (sumber: Buku Pintar Belajar Fisika untuk SMA/MA XI-A) Jawab: ⃗
⃗
⃗ m/s, maka
Posisi awal (2,4) m, maka
m/s dan m dan
m/s.
m.
a. ⃗ ⃗ ⃗ x = ∫ = ∫ =2+ = y = =
m ∫ ∫
=4+ = m Jadi, vektor posisi partikel adalah ⃗
⃗
⃗ meter.
b. Posisi partikel pada saat t=3 sekon: ⃗ ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ = 24,5⃗ + 43 ⃗ Jadi, vektor posisi pada saat 3 sekon adalah ⃗
⃗
⃗ meter.
5. Vektor percepatan sebuah partikel bergerak dalam bidang xy diberikan oleh ⃗ ⃗ ⃗, dengan ⃗ dalam meter per sekon kuadrat dan t dalam sekon. Carilah posisi partikel sesaat! (soal buatan sendiri) Jawab: ⃗ ⃗ ⃗ Pertama-tama integralkan vektor percepatan sehingga di dapat vektor kecepatan. ⃗
∫⃗
= ∫[ ⃗ ⃗] = ⃗ ⃗ Vektor posisi dicari dari integral vektor kecepatan. ⃗
∫⃗ = ∫[
⃗ ⃗ Jadi, posisi partikel sesaat adalah ⃗
⃗] ⃗ ⃗
⃗
6. Sebuah batu dilempar ke atas dengan kecepatan awal 128 ft/sec. Kita mengetahui bahwa percepatan batu itu sesuai dengan gravitasi dalam arah ke bawah. a. Tentukan fungsi kecepatan vertikal v(t) dan fungsi ketinggian s (t) b. Berapa tinggi yang dicapai batu itu? c. Berapa lama akan di ambil batu iu untuk sampai di tanah? (SUMBER: Yahya, Yusuf, dkk. 2012. Matematika Dasar Perguruan Tinggi. Bogor: Penerbit Ghalia Indnesia. Halaman: 296-297) Jawab: a. Andaikan batu dilempar pada waktu t = 0 dan arah positif ke atas, maka v(0) = 128. Karena percepatan arahnya ke bawah, maka a(t) = -32 Dari v’(t) = a(t), maka v(t) = ∫ Karena v(0) = 128 = 32 (0) + C + 128 Maka v(t) = -32t + 128 Untuk menentukan s(t), ingat bahwa s’(t) = v(t) atau Sehingga s(t) = ∫ = -16t2 + 128t + C1
= v(t)
Untuk menghitung C1, kita gunakan syarat awal bahwa pada waktu t=0 ketinggian objek itu adalah nol. Oleh karena itu, s (0)=0 sehingga C1 =0 dan s(t)=-16t2 + 128t adalah fungsi yang meberikan ketinggian objek itu pada sembarang waktu. b. Titik tertinggi dari pelayangan batu itu terjadi ketika v(t)=0. Maka, v(t)=-32t+128=0 <-> 32t=128 <-> t=4 Hitung fungsi jarak (jauh) yaitu: S (4)=-16(4) 2 +128(4) = -256+512=256 Jadi, titik tertingginya adalah 256 ft. c. Ketika objek itu jatuh ke tanah, s(t)=0, sehingga: -16t2 +128t=0 16t(-t+8)=0 16t=0 <-> t=0 atau –t+8=0 <-> t=8 Objek itu dilempar pada waktu t=0 dan pada waktu t=8 detik objek itu kembali ke tanah. :: Lama pelayangan batu itu adalah 8 detik.
7. Percepatan suatu benda yang bergerak dapat dirumuskan a = 5t – 4. Pada saat t = 1 diperoleh jarak s = 2 dan kecepatannya pada t =2 adalah 9 (a = rumus untuk s ! (soal buatan sendiri) Jawab: a = 5t – 4 5t – 4 dv = 5t – 4 dt =∫ dt ∫ v =∫ dt v=
– 4t + c
Saat t=2, v=9, maka: 9=
– 4.(2) + c
9 = 10 – 8 + c 9 = 2 + c <-> c = 7 – 4t + 7
maka v =
– 4t + 7
=
– 4t + 7dt
ds = ∫ s=∫ s=
–
=∫ – -2
+ 7t + c
saat t = 1, s = 2, maka:
dan v = ). Tentukan
2=
-2
+ 7(1) + c
2 = – 2 + 7 + c <-> c = - 23 Jadi, s =
-2
+ 7t – 23
8. Posisi awal mobil adalah pada koordint (2,0). Komponen kecepatan dinyatakan: Vx = 2t , Vy = 5 + 0,75 t2 Tentukan: a. Persamaan umum posisi mobil b. Posisi mobil saat t= 2s (soal buatan sendiri) Jawab: X0 = 2 dan y0 = 0 r= xi + yi x= x0 + ∫ =2+∫
2
+C
= 2 + (t2 + C) – (02 + C) = 2 + t2 y = y0 + ∫
y dt 2
=0+∫ = 5t +
) dt
t3 + C |
= (5t + 0,25 t3 + C) – (0 + 0+ C) = 5t + 025t3 r= (2 + t2) i + (5t + 0,25t3) j = (2 + 22) i + [5(2) + 0,25 (23)] j |r| = √ =√ = 6√ m
9. Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t)= 0,05t Ampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t=0 sampai t=5 detik ? (soal buatan sendiri) Jawab: Arus i adalah laju perubahan transfer muatan q. i=
sehingga q= ∫
jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah q= ∫
=∫ –
=
=0 =
t2
- 0 = 0,625 coloumb
10. Sebuah benda jatuh dalam ruangan hampa udara. Benda tersebut jatuh sejauh 16t2 m dalam t detik. Hitung kecepatan pada detik pertama! (soal buatan sendiri) Jawab: V pada t= 1 sekon f(t)= 16 t2 maka f’ (1) = .....? f’ (t) = –
f’ (1) = = = = = = 32 m/s2
(
)
