Universitatea de Medicina și Farmacie „Grigore T. Popa” din Ia si Facultatea de Bioinginerie Medicala Master Bioinginerie Clinica Clinica
Aplicatii ale ecuatiilor diferentiale
Student: Matei Florin
Ş.l. Dr. Mihai Ilea
Universitatea de Medicina și Farmacie „Grigore T. Popa” din Ia si Modele matematice in biomedicina
Posibilitatea abstractului este avantajul esenţial al modelării matematice. De exemplu, pentru a intelege comportamentul soluţiilor ecuaţiei :(1)
nu contează dacă
descrie o creştere a populaţiei , o tumoare în dezvoltare sau o creştere a indivizilor infectaţi. Matematic este doar ecuaţia pentru creşterea exponenţială care poate fi tratată şi rezolvată fără a face referinţă la interpretare . Odată stabilite, rezultatele trebuie înţelese în ter meni biologici. In general o ecuaţie diferenţială ordinară pentru o funcţie necunoscuta
, si are urmatoarea interpretare : partea din stânga ecuaţiei, x’(t)
x(t) : (2)
descrie rata de schimbare a cantităţii x(t) de-a lungul timpului. Partea din dreapta,
,
descrie toate sursele schimbării în x(t). Soluţilei ecuaţiei creşterii exponenţiale, ,este de forma ,
unde
este condiţia iniţială. pentru. pentru
Ecuaţia descrie creşterea exponenţială
, care poate fi aplicată creşterii populaţiei. Ecuaţia descrie descompunerea
exponenţială, în cazul in care
si poate fi aplicată descompunerii radioactive sau
eliberării unui medicament în circulaţia sangvină. In multe cazuri, creşterea exponenţială nu este un model potrivit. La o anumită dimensiune, o populaţie în creştere va ati nge o limită
unde toate resursele disponibile sunt folosite pentru a menţine nivelul crescut al populaţiei, dar aria de răspândire nu va suporta alţi indivizi. Teoria ecuatii diferentiale a fost aplicata testului de toleranta la glucoza si metodei dilutieiindicator.Modelele acestor studii folosesc notiunea de compatiment,care es te definita astfel:daca o substanta este prezenta intr-un sistem biologic in cateva forme distincte si daca trece dintr-o forma in alta la o rata masurabila,atunci fiecare forma constituie un compartiment separat pentru substanta.Testul tolerantei la glucoza este cateodata realizat prin administrarea glucozei intravenos la o rata continuua,atunci cand pacientul nu poate tolera glucoza oral.Se obtine o medie a concentratiei glucozei din sange ca o functie a timpului la o populatie prestabilita,persoane care nu sufera de diabet sau alte boli care sa afecteze metabolismul carbohidratilor.In aceste experimente,rata infuziei continue a glucozei in sange s-a considerat a fi un numar real(A).Acest rezultat poate fi modelat folosind notiunea de compartiment.Sa presupunem ca X este volumul distributiei glucozei ,x(t) este concentratia glucozei din sange in timpul t,masurat in minute.Amestecul de glucoza din compartiment la
Universitatea de Medicina și Farmacie „Grigore T. Popa” din Ia si timpul t,este:Xx(t).Rata fractionara(in mg/min)la care glucoza dispare din sange va fi notata cu Z.Glucoza dispare din compartiment sau numai daca concentratia sa depasest e concentratia normala a sangelui.Vom inpune conditia carata schimbarii masei glucozei sa fie egala cu rata revarsarii glucozei plus rata influxului glucozei.Aceasta conditie este modelata de ecuatia: ,unde nivelul initial al concentratiei glucozei in sange este de 84,9mg/dl.Solutia este de forma:
.S-a observat ca nivelul
glucozei din sange,scade la o valoare care ste mai mica decat nivelul normal dar in final atinge nivelul normal. Metoda dilutiei-indicator este folosita pentru determinarea volumului de sange sau rata sangelui prin sistemul cardiovascular sau o portiune din acesta.La momentul t=0,o cantitate cunoscuta de colorant X este injectata intr-o vena principala langa inima.Dupa scurt timp,sangele din vena va intra in ventriculul stang si va fi pompat in aorta.Concentratia colorantului din aorta este monitorizata la intervale fixe de timp,si este considerata ca o functie de timp.Este stiu din medicina ca,aproximativ 20 de secunde sunt necesare pentru o cantitate de snge sa treaca prin aorta pentru a face un circuit ichis,si sa se reintoarca in aorta.Debitul cardiac normal este de 5 l/min la o persoana in repaus,dar poate creste la mai mult de 30 l/min in timpul exercitiilor fizice. Se determina volumul din ventricul stang si rata la care inima pompeaza sange.Se construieste un model,reprezentat printr -o ecuatie diferentiala,presupunand ca rata schimbarii masei colorantului este egala cu reversarii colorantului,sau matematic: (8)
(-) rata
unde x(t) este concentratia
colorantului la momentul t in aorta,Veste volumul din ventricul stang,iarR este capaci tatea cardiaca.Vom impune conditia intiala: ,cu solutia:
,t
.S-a timut cont de faptul ca ventriculul
se presupune a fi un rezervor de un volum constant,cu o rata de influx-reversare constanta,timpul necesar colorantului pentru a atinge punctul de observatie este foarte mic,toti colorantii intra in ventricul instantaneu la momentul
dupa injectia sa in vena la momentul
t=0,si faptul ca o cantitate de colorant este perduta prin peretii capilarelor in perioada de observatie. O alta aplicatie a ecuatiilor diferentiale in medicina este data de modelul matematic pentru detectarea diabeticilor.Majoritatea tesuturilor pot utiliza grasimile si proteinele pentru obtinerea energiei in absenta glucozei.Un nivel prea ridicat a concentratiei sangvine poate
Universitatea de Medicina și Farmacie „Grigore T. Popa” din Ia si duce la modificari patologice ca deshidratarea celulara.Concentratia sangvina a glucozei trebuie mentinuta la o anumita valoare pentru a se mentine in parametri normali prevazuti de sanatate.Sistemul de reglare a concentratiei glucozei in sange este complicat.O mare varietate de hormoni si alti metaboliti ajuta la reglarea sistemului glucozei sangvine.In conditii normale insulina secretata de celulele
ale pancreasului predomina in controlul intern al concentratiei
glucozei.In plus,cresterea concentratiei glucozei in sange stimuleaza celelele
de a secreta
insulina.Insulina se ataseaza de peretele unor celule si le face mai permeabile la glucoza.Astfel,glucoza poate intra in celula unde poate fi utiliz ata pentru energie sau poate fi stocata,ca glicogen in muschi sau ficat.Testul de toleranta la glucoza este utilizat pentru diagnosticarea diabetului zaharat,o boala caracterizata de un nivel foarte mare a concentratiei glucozei in sange.In acest test ,pacientului ,care a mancat peste noapte,ii este administrata o doza mare de glucoza.In urmatoarele 3-5 ore sunt facute mai multe masuratori ale concentratiei glucozei in sange .Scopul acestui test a fost de a obtine un criteriu de diferentiere a persoanelor sanatoase de prediabetici si diabetici incipienti din cateva probe de sange din timpul testului de toleranta la glucoza.Modelul reprezentat printr-un sistem de doua ecuatii diferentiale este un model grosier si ia in considerare doar concentratiile glucozei(x) in sange si a concentratiei hormonale
.Analitic,modelul este descris de urmatorul
sistem:
(11)
unde A,B,C,D sunt niste constante pozitive, S-a considerat ca necunoscutele X si Y au valorile initiale
calculate in
momentul in care pacientul infometat ajunge la spital.Functia H(t) reprezinta valoarea la care concentratia glucozei in sange este crescuta extern.Se observa ca daca:
atunci
concentratia glucozei va scadea prin preluarea ei de catre tesuturi si depozitara excesului in ficat ca glicogen.Daca ,glandele endocrine secreta hormoni ce tind sa creascavaloarea lui y.Acest model poate fi folosit doar pentru diagnosticarea diabetului incipient si uneori rezulta o minima potrivire a datelor la 3-5 ore dupa ingestia glucozei. Modelele matematice reprezentate prin ecuatii diferentiale au aplicatii si in epidemiologie.O analiza a acestor modele duc la descoperirea unei valori critice astfel ca
a densitatii populatiei d
,introducerea unuia sau a mai multor infectati in populatie nu duce la
declansarea unei epidemii,in timp ce
,introducerea de infectati ve va duce la
Universitatea de Medicina și Farmacie „Grigore T. Popa” din Ia si aparitia unei mici epidemii.Se presupune ca exista patru tipuri de indivizi in populatia studiata:susceptibiliexpusi si infectati dar nu inca contagiosi,infectati,indivizi inlaturati.In aceasta ultima categorie sunt inclusi nu doar acei indivizi care au fost inlaturati din populatie datorita simptomelor observabile ci si acei care s-au insanatosit si au imunitate.Perioada de la momentul in care un individ este expus si devine infectat pana la momentul in care devine contagios va fi numita perioada de latenta.Perioada de infectare va fi acel timp in care un individ este in categoria contagiosilor,in timp ce perioada de incubatie va i ndica timpul de la expunere pana la momentul inlaturarii.Intr-o populatie de marime A,x(t),y(t),z(t) reprezinta numarul de indivizi susceptibili,contagiosi si inlaturati la momentul t.Modelul matematic care
descrie acest fenomen este:
,aici parametru n reprezinta o rata de
contact efectiv,in timp ce Q(t) este rata de aparitie a infectiilor,P(t) este rata de inlaturare a infectiilor.Daca 1-U(t) reprezinta partea de populatie care devine imuna datorita expunerilor
repetate,atunci k’(t) este rata de la care apar infectatii,dar care nu sunt inca contagiosi.In studierea acestui sistem,se presupune ca nu toate expunerile duc la infectare si deci mai tarziu la infectie. O alta aplicatie diferentiale este in masurarea curgerii sangelui in metabolismul corpului biologic. Persoana este injectata cu o substanta (trasor) care este slab radioactiva. Aceasta injectare duce la concentratia sigura (trasor) in sange peste timp, aceasta poate fi notata prin Y(t). Sangele livreaza radioactivitatea spre tesuturi. In particular radioactivitatea este transferata intre sange si tesut biologic prin raspandire. Aceasta radioactivitate este masurata cu PET. Semnalul PET trebuie sa fie prelucrat pentru a duce sangele care se scurge in tesut. Se considera ca semnalul radio-activ din tesut asa zis voxel,s sei presupune doua tipuri diferite de tesut care sunt localizate in acest voxel, cu volume de de tesut biologic relative respectiv 1- . Valoarea
si
nu este cunoscuta (stiuta). Daca notam radioactivitatea din doua
tesuturi cu X(t) si Z(t),obtinem:
unde a,c reprezinta tranzitia
trasorului din sange catre tesuturi,ia b,d reprezinta tranzitia trasorului din tesut in sange. Semnalul nou masurat este o combinatie intre X(t) si Z(t),de forma : (15) determinam
. In practica, se stie semnalul dat S(t), sarcina noastra este sa care sunt cinci parametri.Inlocuind pe S(t) in ecuatiile
Universitatea de Medicina și Farmacie „Grigore T. Popa” din Ia si sistemului,vom obtine o ecuatie diferentiala de ordinul doi de forma: (16) ,unde: . Chiar daca noi avem cunostinte pentru amandoua S(t) si Y(t), ecuatia diferentiala pentru S(t) putem sa determinam numai pentru parametrii a,b,c,d determinati din informatii. Cu toate acestea , dintre acesti patru parametrii noi nu putem sa deducem cinci parametrii
cu
exceptia informatiei aditionale care este stiuta (pentru constrangerile fiziologice care pot sa fie caracteristice pentru parametrii identificati de la semnalele PET masurate din creier. De asemenea multe informatii primite se pot pierde prin combinarea datelor.
Bibliografie : 1. Chicone C., Ordinary Differential Equations with Applications, Springer-Verlag,
Berlin, 1999. 2. E delstein L . ,Mathematical models in biology,SIAM,2005.
3. E isen M. , Mathematical Methods and Models in the Biological Sciences, Prentice Hall , New Jersey, 1988. 4. Murray J ., Mathematical biology II:Spatial models and biomedical applications,Springer-
Verlag,Berlin,2002. 5. Taubes C.H . ,Modeling differential equations in biology,Prentice Hall,2001 .
