b a
f(x)dx
Un instrument puternic pentru cercetare în matematică, fizică, mecanică, și alte discipline este o parte integralei definite - unul din conceptele de bază ale analizei matematice. matematice. Sensul geometric al integralei - zona de trapez curbilinie. Sensul fizic al 2 ) mișcarea unui punct se integral - 1) non-uniforme fascicul cu densitate de masă, 2)
deplasează în linie dreaptă, la o viteza de peste interval de timp. Proprietățile integralei definite: a
1.
f ( x)dx 0 a
2. 3.
b
a
a
b
f ( x)dx f (x)dx b
b
a
a
kf ( x)dx k f (x)dx b
4.
b
b
( f ( x) ( x))dx f (x)dx (x )dx a
a
a
c
b
b
a
c
a
5. Dacă a c b, f ( x)dx f (x )dx f (x )dx Utilizarea integralei definite: b
Integrala Sn f ( x )dx pentru n a
ÎN MATEMATICĂ 1.Calcularea ariei figurii
2.Lungimea arcului de curbă 3.Volumul corpului de rotație.
ÎN FIZICĂ 1.Lucrul A forța de muncă 2.S-cale(mutare) 3.Calcularea masei. 4. Calculul momentului de inerție linie, cerc, cilindru. 5.Calculul coordonatelor centrului de greutate. 6.Cantitatea de căldură, etc
I.Calcularea drumului parcursă de un punct.
Calea,parcursă de un punct pe un drum neregulat ,cu viteza variabilă v
f (t ) 0 ,peste
t 2
un interval de timp de la t la t se determină prin formula S f (t )dt 2
1
t 1
Exemple: 1. Viteza mișcării punctului v (9t 2 8t ) m .De calculat drumul parcurs de acest s
punct la a 4 secundă.
Soluție: f (t ) 9t 8t , t1 3,t 2 4 Rezultă 2
4
4
S (9t 2 8t )dt 3t 3 4t 2 83(m) 3
3
2. Două corpuri au început să se miște în același timp, din același punct în aceeași direcție într-o linie dreaptă.Primul corp se mișcă cu o viteză de v (6t 2 2t ) m s , al
doilea - cu o viteză v (4t 5) m s .Cît de departe unul de altul vor fi ei după 5 secunde?
Soluție:Este evident că este diferența dintre distanța parcursă de primul corp și distanța parcursă de al doilea corp 5
5
S1 (6t 2t ) dt 2t t 275( m) 2
2
2
0
0
5
5
S2 (4t 5) dt 2t 2 5t 75( m) 0 0
S1 S2 275 75 200(m)
3. Un corp este aruncat pe vertical de la sol cu viteza v 39,2 9,8t m s .Găsiți
înălțimea maximă a corpului în cădere. Soluție:Corpul atinge înălțimea maximă într-un timp t atunci cînd viteza este egală cu zero,adică 39, 2 9,8t 0 ,de unde t 4s .Aplicînd formula găsim 4
4
S (39, 2 9,8t )dt 39, 2t 4,9t 2 78, 4(m) 0
0
II.Calcularea forței
Lucrul,desfășurat de o forță f(x) prin deplasare dea lungul axei Ox,a punctului material b
de la x=a pînă la x=b ,se determină după formula
A
f ( x)dx .Pentru determinarea a
lucrului forței deseori se folosește Legea lui Cuka: F kx ,unde F -puterea,x-lungimea maximă a spiralei,determinată de puterea F,iar k-coieficient de proporționalitate. 1. Spirala în repaus are lungimea de 0,2m.La puterea de 50H spirala se întinde cu 0,01m.Ce lucru trebuie de efectuat pentru a o întinde de la 0,22 la 0,32m?
Soluție:Folosind egalitatea F kx ,avem 50=0,01k asadar kK=5000H/m.Găsim limitele b
de integrare a=0,22-0,2=0,02(m),b=0,32-0,2=0,12(m).Cu ajutorul formulei A f ( x)dx a 0,12
primim A
x 2
5000dx 5000 2
0,02
0,12
2500(0, 0144 0, 0004) 35( Dj) 0,02
III.Calcularea lucrului la ridicarea greutății
Sarcină:Un rezervor cilindric cu o rază a bazei de 0,5m și o înălțime de 2m este umplut cu apă.Calculați lucru care trebuie efectuat pentru a pompa apa din rezervor.
Soluție:Selectăm la adîncimea x stratul orizontal înălțimea dx.Lucrul A,care trebuie efectuat,pentru a ridica stratul de apă cu greutatea M la înălțimea x este egală cu Mx.Schimbarea adîncimii x la un strat mic dx aduce schimbări în volum cu marimea dV nr 2dx și schimbarea masei dM 9807r 2dx .Cu toate astea
lucrul final A se schimbă cu mărimea dA 9807nr 2 xdx .Integrînd această egalitate cu schimbari de la 0 la H,primim H
A 9807 r 2 xdx 4903 r 2 H 2 4903 0, 25 22 4903 ( Dj ) 0
IV.Calcularea presiunii lichidului.
Valoarea presiunii lichidului pe o suprafață orizontală depinde de adîncimea umperii x a acestei suprafețe,adică de distanța de la supafeță la suprafața lichidului. Presiunea (H) pe o suprafață orizontală se determină după formula R 9807 Sx unde -densitatea lichidului kg/m3;S-suprafața ,m2;x-adîncimea suprafeței. Dacă suprafața,evaluînd presiunea lichidului,nu este orizontală,atunci presiunea ei este diferită pe adîncimi diferite,rezultă ,pesiunea lichidului este o funcție adîncimii de scufundare R(x) V.Lungimea arcului. , Fie într-un plan curba AB,dată de ecuația y f ( x)(a x b) ,unde f(x) f (x)-funcții continue pe intervalul a, b
Atunci diferențiala dl lungimea curbei AB se determină prin formula 2
2 dy dl 1 dx sau dl 1 f ( x) dx , ,iar lungimea curbei AB se află aplicînd dx
b
b
a
a
formula L dl 1 f ( x) dx ,unde a și b sînt variabilă independentă 2
schimbării x în punctele A și B.Dacă curba este dată de drumul x ( y )(cy d ) d
,atunci lungimea drumului curbei AB se determină cu formula L
2
1 ( x) dy
c
,unde c și d sînt variabile independente schimbării y în punctele A și B. VI.Centrul de greutate
Pentru găsirea centrului de greutate se utilizeză următoarele reguli: 1.Coordonata x centrul de greutate a punctelor A1,A2,....,An cu masa m1,m2,...,mn situate pe puncte coliniare cu coordonatele x1,x2,...,xn se determină după m x m2 x2 ... mn xn formula x 1 1 m1 m2 ... mn 2.In calculul coordonatelor centrului de greutate putem orice parte a figurii so înlocuim cu un punc material,deplasînd-o în centrul de greutate.Coordonatele centrului de greutate x este echivalent[ cu formula
1
b
x ( x)dx
M a
PROBLEME DIVERSE
1. Concentraţia unei soluţii apoase a unei substanţe,variază urmând legea : C C ( x)
10 x x 1
( g / m3 )
, fiind grosimea stratului de soluţie. Care este cantitatea Q de
substanţă conţinută într -o coloană verticală de soluţie a cărei secţiune dreaptă este S=1 m2 şi grosimea variind între 0 şi 200m ? Solutie: Considerăm un strat foarte mic al coloanei de soluţie apoasă cu secţiunea S si grosimea dx , situat la adâncimea x.Cantitatea de substanţă conţinută în acest strat este dQ CSdx
10 x x 1
.Integr]nd
de la 0 la 200 se obține 100
Q 10
100
x
x 1dx 10 0
0
( x 1) 1 x 1
200
dx 10 x ln( x 1) 0 10(200 ln 201)
2. O cantitate m=1kg de apă se află la temperature T0 273K este pusă în contact
termic cu un thermostat avînd temperature T=373K.
Care este variația entropiei ,a termostatului și a ansamblului apă -termostat? Soluție: T
Căldura primită de apă este Q d mc T 0
3
J
Unde c=4,18*10 Kg K este căldura specifică a apei. Y
Variația de entropie a apei va fi atunci
Sapa
T 0
mcdT T
mc ln
T T0
1305
J K
,
Q mc(T T0 ) iar variația de entropie corespunzățoare va fi: J mc(T T0 ) J .Variația de entropie a ansamblului va fi: Sapa S T 185 0 1120 S T T
K
K
3. .O găleată goală se pune sub robinet şi se umple cu apă. t reprezintă timpul cât stă galeata sub robinet. Debitul apei care curge este egal cu 2,3 -0,1t galoane pe minut. Câtă apă este în galeată dupa 5 minute? Soluție: Variabila independentă este timpul t măsurat în minute din momentul în care galeata a fost pusă sub robinet. Ni se dă formula pentru debitul apei r(t) cu care intră găleata în timpul t. Astfel r(t) va juca rolul unei functii f(x) menţionată mai sus. Notăm V(t) volumul în galoane a apei din galeată in timpul t. Ne interesează V(5) din ce moment ni s-a spus că V(0)=0 (galeata este goală când o punem sub robinet) vom avea V(5)=V(5)-V(0) şi intervalul de interes este intervalul[0,5]. Functia r(t) este continuă în acest interval. Mai mult relaţia dintre debitul şi schimbarea de volum a apei este astfel dacă apa curge în galeată cu un debit constant r în intervalul de timp [c,d] atunci se schimba volumul intre timpul c si d după formula V(d) -V(c)=r(d-c). Astfel presupunerile 1 şi 2 sunt vf şi putem exprima V(5) ca o integrală definită: s
s
s
r (t )dt (2, 3 0,1t)dt 2,3 t 0
0
0,1 0
t 2 2
s
11,5 0 1, 25 0 10, 25 0
v(t ) 10 tet m s . Unde t-timpul 4. O albină călătoreşte cu viteza măsurat în secunde în momentul plecării de la stup. Cât de departe ajunge albina în timpul celei de a doua secundă?
Soluție: 2
1
2
2
t
2
1
1
v(t )dt (10 10e )dt 10 1dt 10 e t 10t 21 10e t 1
2 1
20 10 10e 2 10e 1 10
10 10 e2
5. Se confecţionează un vas având forma corpului de rotaţie determinat de funcţia f : 2, 6 R, f ( x) x , unei unităţi de pe axă corespunzându -i 10 cm. Verificaţi dacă încap în acest corp 50 litri de apă. 3 Soluție:10cm=1dm, 1dm =1l Calculăm volumul corpului de rotaţie determinat prin rotirea în jurul axei Ox a graficului 6
funcţiei f: V f ( x)dx 2
2
x 2 2
6 2
16 50l
e
