UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIA FACULTAD FACULTAD DE INGENIERIA INGENIE RIA Y SISTEMAS ASIGNATURA: LOGICA PROPOSICIONAL
APLICACIONES DE LA TEORIA DE CONJUNTOS CONJUNTOS CATEDRATICO: CLAUDIA IVETTE HERNANDEZ DE GARCIA ALUMNO: LOPEZ MARTINEZ JOSE RIGOBERTO
LM102016
FECHA DE ENTREGA: 23 DE OCTUBRE DE 2016
Tabla ! "#$%!$&#
Introducción.....................................................................i Objetivos.........................................................................ii Conceptos Básicos de la Teoría de Conjuntos.....................1 La teoría de conjuntos y la vida diaria...............................4 La teoría de conjuntos y la lógica...................................... La teoría de conjuntos y la estadística...............................! La teoría de conjuntos y la Ingeniería................................" Conclusiones...................................................................# Bibliogra$ía....................................................................1% &ne'os.......................................................................... 11
Introducción E$ !l '(!)!$%! %(aba*# ! &$+!)%&,a"&-$. )! /abla(a a"!("a !l %!a ! l#) "#$*$%#) "## )! a'l&"a !$ &!(!$%!) 4(!a) ! la +&a5 La T!#(a ! "#$*$%#) !) la (aa ! la Ma%!4%&"a 7! !)%&a la) '(#'&!a!) ! l#) "#$*$%#) la) #'!(a"&#$!) a la) 7! '!!$ )!( )#!%&#)5 E$ la +&a "#%&&a$a )! /abla a !$# ! #b*!%#) a,('a#) !$ "#$*$%#): !l "#$*$%# ! !bl!) ! $a /ab&%a"&-$. !l "#$*$%# ! l&b(#) ! $a b&bl&#%!"a. !l "#$*$%# ! '(#!)#(!) ! $a !)"!la. !%"5 E$ %##) !)%#) "a)#) )! %&l&8a la 'alab(a 9"#$*$%#9 "#$ !l )&,$&&"a# ! "#l!""&-$ ! +a(&#) #b*!%#). 7! (!"&b!$ !l $#b(! ! !l!!$%#)5 El "#$"!'%# ! "#$*$%#. ! )&$,la( &'#(%a$"&a !$ la "&!$"&a a%!4%&"a #b*!%# ! !)%&# ! $a ! )) &)"&'l&$a) 4) (!"&!$%!). !)%4 '(!)!$%!. a$7! !$ #(a &$#(al. !)! l#) '(&!(#) a#) ! #(a"&-$ !l /#b(!5
1
Objetivos Objetivo General
I!$%&&"a( l#) '(&$"&'al!) "#$"!'%#). %&'#). (!'(!)!$%a"&#$!) #'!(a"&#$!) !$ la %!#(a ! "#$*$%#) 'a(a "#$#"!( la &'#(%a$"&a 7! %&!$!$ !$ !l &a(&# +&+&(5
Objetivo E!e"i#i"o •
•
•
E$%!$!( l#) "#$*$%#) "## !l #!l# a%!4%&"# 4) )!$"&ll# 7! )! "#$#"!5 R!"#$#"!( $ "#$*$%# ! #%(# )!( "a'a8 ! ,(a&"a(l#) !&a$%! !l &a,(aa ! +!$$5 C#$#"!( "-# )! a'l&"a$ l#) "#$*$%#) a &!(!$%!) &)"&'l&$a) ! la +&a5
2
3
Conceptos Básicos de la Teoría de Conjuntos. La %!#(a ! "#$*$%#) !) $a (aa ! la a%!4%&"a 7! !)%&a la) "a(a"%!()%&"a). '(#'&!a!) (!la"&#$!) !$ $a "#l!""&-$ ! #b*!%#)5 D!&$&"&#$!) Conj$nto
U$ "#$*$%# !) la a,('a"&-$. "la)!. # "#l!""&-$ ! #b*!%#) # !$ ) !!"%# ! !l!!$%#) 7! '!(%!$!"!$ (!)'#$!$ a la &)a "a%!,#(a # ,('# ! "#)a). '#( !)# )! l#) '!! a,('a( !$ !l &)# "#$*$%#5 E)%a (!la"&-$ ! '!(%!$!$"&a 7! )! !)%abl!"! !$%(! l#) #b*!%#) # !l!!$%#) !) ab)#l%a '#)&bl!!$%! &)"!($&bl! #b)!(+abl! '#( "al7&!( '!()#$a5 E$%(! l#) #b*!%#) # !l!!$%#) ))"!'%&bl!) ! &$%!,(a( # "#$#(a( $ "#$*$%# )! "!$%a$ '#( )'!)%# "#)a) )&"a). "## '!!$ )!( la) !)a). )&lla) l&b(#). '!(# %ab&;$ '#( !$%!) ab)%(a"%#) "## $<!(#) # l!%(a)5 C#$ al,$a "a(a"%!()%&"a !$ "#<$5 U)al!$%! )! !$#%a$ "#$ la) '(&!(a) l!%(a) !l alab!%# !$ a<)"la) '!!$ !&$&()! '#( !=%!$)&-$ # '#( "#'(!$)&-$5 E%teni&n: Al !&$&( $ "#$*$%# '#( !=%!$)&-$. )! !)"(&b!$ %##) "aa
$# ! l#) !l!!$%#) 7! #(a$ 'a(%! !l "#$*$%#5 E*!'l#: 5 Co'!reni&n: Al !&$&( $ "#$*$%# '#( "#'(!$)&-$. )! !)"(&b! $a
"a(a"%!()%&"a 7! &!$%&&7! a %##) l#) !l!!$%#) !l "#$*$%#5 E*!'l#: >= ? = !) $ $<!(# 'a( a#( 7! 0 !$#( 7! 10@
S$b"onj$nto
C#$*$%# "#) !l!!$%#) !)%4$ "#$%!$&#) !$ #%(#5 S! !$#%a "## )! l!! !)%4 "#$%!$&# !$ 5 Conj$nto Va"(o
C#$*$%# 7! $# %&!$! !l!!$%#)5 S! !$#%a '#( 5 Conj$nto Univero
1
C#$*$%# 7! "#$%&!$! %##) l#) !l!!$%#) ! $a !%!(&$aa )&%a"&-$ )! !$#%a '#( 5 E*!'l#: )#$ )b"#$*$%#) ! 5 O!era"ione "on "onj$nto Uni&n
La $&-$ ! . !$#%aa '#( . !) !l "#$*$%# #(a# '#( l#) !l!!$%#) 7! !)%4$ !$ # !$ # !$ ab#)5 Intere""i&n
La &$%!()!""&-$ ! . !$#%aa '#( . !) !l "#$*$%# #(a# '#( l#) !l!!$%#) 7! !)%4$ !$ a la +!85 Co'!le'ento
S!a . !l "#$*$%# ! %##) l#) '!(# $# !$ 5 S! !$#%a
"#'l!!$%# ! !) !l !l!!$%#) 7! !)%4$ "## 5
Di#eren"ia
La &!(!$"&a ! . !$#%aa '#( . !) !l "#$*$%# #(a# '#( l#) !l!!$%#) 7! !)%4$ !$ '!(# $# !$ 5 Dia)ra'a *e Venn
R!'(!)!$%a"&-$ ,(4&"a ! la) (!la"&#$!) 7! '!! /ab!( !$ l#) !l!!$%#) ! $# # +a(&#) "#$*$%#)5 S& )! ,(a&"a$ la) &$%!(a""&#$!) !='l&"aa) a$%!(&#(!$%!. )! %&!$!:
Ti!o *e "onj$nto Conj$nto Univeral
C#$ !l 4$&# ! !+&%a( "#$)&#$!). "a$# !&$&#) $ "#$*$%# !b!#) !)'!"&&"a( ! #$! )! !)%4$ %#a$# l#) !l!!$%#) 7! l# "#$#(a$5 E)%# )&,$&&"a 7! !b! !=&)%&( $a ba)! ! la "al %#a#) l#) !l!!$%#). !)%a ba)! )#b(! !l "al %(aba*a#) !) llaaa "#$*$%# $&+!()al5 2
U)a(!#) )&!'(! la l!%(a UU 'a(a (!'(!)!$%a( !l "#$*$%# $&+!()al5 Conj$nto va"(o
C#$)&!(!#) la !=&)%!$"&a ! $ "#$*$%# 7! $# %&!$! !l!!$%#). !)%! !) llaa# "#$*$%# +a"#5 Pa(a (!'(!)!$%a( &"/# "#$*$%# )a#) !l (!"#$#"&# )b#l# !l +a"#. "## )! !)%(a !$ la &a,!$ ! la !(!"/a5 Tab&;$. /a"&!$# )# ! la !)"(&'"&-$ '#( !=%!$)&-$. (!'(!)!$%a#) !l "#$*$%# +a"# '#( !&# ! l#) "#("/!%!) >@5 C## !l "#$*$%# +a"# $# %&!$! !l!!$%#). $# '#!#) b&"a( $&$,<$ !l!!$%# !$ !l &$%!(&#( ! l#) "#("/!%!)5 Conj$nto $nitario
El "#$*$%# $&%a(&# )! &)%&$,! '#( %!$!( )#l# $ !l!!$%#5 N# &'#(%a 7; %&'# ! !l!!$%# %!$,a !l "#$*$%#. $ ,a%#. $ '!((#. $ $<!(#. $a l!%(a. # "al7&!( #%(a "#)a. )& %&!$! $ )#l# !l!!$%# !) llaa# "#$*$%# $&%a(
Conj$nto #inito
E)%! %&'# ! "#$*$%# %ab&;$ )! &)%&$,! '#( la "a$%&a ! !l!!$%#) 7! '#)!!5 U$ "#$*$%# !) &$&%# )& '#!#) "#$%a( la "a$%&a ! !l!!$%#) 7! l# "#$#(a$5 P#( !*!'l#. !l "#$*$%# ! la) l!%(a) !l &&#a "a)%!lla$# !) &$&%# '#(7! !$ %#%al )#$ 2 l!%(a)5 E$ la &a,!$ ! la !(!"/a )! !)%(a$ #%(#) "#$*$%#) &$&%#)5 T! '!!) a( "!$%a 7! l#) "#$*$%#) $&%a(&#) %ab&;$ )#$ &$&%#)5
Conj$nto in#inito
N# !) 4"&l !$"#$%(a( !$ la $a%(al!8a !*!'l#) ! !)%! %&'# ! "#$*$%#)5 L#) "#$*$%#) &$&$&%#) )#$ a7!ll#) a l#) "al!) $# l!) '#!#) "#$%a( la "a$%&a ! !l!!$%#) 7! l#) "#'#$!$5
3
La teoría de conjuntos y la vida diaria A,('a( #b*!%#) ! la &)a $a%(al!8a 'a(a "la)&&"a(l#) !$ "#l!""&#$!) # "#$*$%#) !) 'a(%! ! la +&a &a(&a ! l#) )!(!) /a$#)5 P#( !*!'l#. !l "#$*$%# ! l&b(#) ! $a b&bl&#%!"a. !l "#$*$%# ! 4(b#l!) !$ $ %!((!$#. !l "#$*$%# ! 8a'a%#) !$ $ $!,#"&# ! +!$%a al '(!)a. a$%!"a#. "#"#. ,a$aba$a."a(a!l#. "/#"#la%!@ !l!,&#) $# ! (!)a "/#"#la%! . !)%a#) a'l&"a$# la %!#(a ! )b"#$*$%#) E$%#$"!) al &$al ! $a #%(a a$!(a !)%4 '(!)!$%! la %!#(a ! "#$*$%#) !$ $!)%(a +&a &a(&a. a )!a 'a(a %#a( $a !"&)&-$ # 'a(a %!$!( '#)&bl!) "#b&$a"&#$!) ! (!)l%a#). !)%a &'l"&%# ! $a a$!(a #%(a al,$a $&-$ # &$%!()!""&-$ ! '(#"!)#) # %a(!a) # !l!""&#$!)5
Eje'!lo
T!$!( +a(&a) "#b&$a"&#$!). '#( !*!'l# $a "a&)a (#*a "#$ 'a$%al-$ a8l# $a "a&)a (#*a "#$ 'a$%al-$ $!,(#. )!(a !l (!)l%a# ! la )&,&!$%! #'!(a"&-$5 A>"a&)a (#*a@
4
B>'a$%al-$ a8l. 'a$%al-$ $!,(#@ AB>"a&)a (#*a. 'a$%al-$ a8l. "a&)a (#*a. 'a$%al-$ $!,(#@
Tab&;$ !$ la +&a &a(&a !$"#$%(a#) "#$*$%#) !$ l#) #b*!%#). a$&al!) # al&!$%#) 7! "#$)&#)5
La teoría de conjuntos y la lógica E=&)%! $a (!la"&-$ !)%(!"/a !$%(! la T!#(a ! C#$*$%#) la L-,&"a P(#'#)&"&#$al5 Pa(a #)%(a( &"/a (!la"&-$. !$#%!#) "#$ l!%(a) a<)"la) A.B 555 l#) "#$*$%#) "#$ l#) "#((!)'#$&!$%!) &$<)"la) a.b 555 )) '(#'&!a!) "a(a"%!()%&"a) !) !"&(. la '(#'#)&"&-$ l-,&"a 7! "a(a"%!(&8a a l#) !l!!$%#) ! "aa "#$*$%# !$%#$"!) )! %&!$! la )&,&!$%! "#((!)'#$!$"&a:
A!4). !l "#$*$%# +a"# )! "#((!)'#$! "#$ $a "#$%(a&""&-$ !l "#$*$%# $&+!()al "#$ $a %a%#l#,a5
5
Pa(a la) a%!4%&"a) &)"(!%a) !) $a!$%al !l !$%!$&&!$%# ! la l-,&"a la %!#(a ! "#$*$%#). '#(7! !$ #"a)&#$!) )! (!7&!(! !)%&a( #b*!%#) 7! )!l!$ )!( &)%&$%#). a!4) ! )!( )!'a(abl!). '!(# 7! %&!$!$ 7! )!( !)"(&%#) #b)!(+a#) ! a$!(a "#$*$%a5 E$ la) $!+a) %!"$#l#,a) ! la &$#(a"&-$ )! %&l&8a la l-,&"a la %!#(a ! "#$*$%#) ! #(a &'l"&%a. '#( !*!'l#. !$ la #(la"&-$ ! ba)!) ! a%#) '#(7! )! !'l!a$ "#$*$%#) 'a(a la !lab#(a"&-$ ! la (!la"&-$ ! 'a(!) #(!$a#) 'a(a "(!a(la)5 C#$ !l &$ ! "#$%a( "#$ l#) $a!$%#) %!-(&"#) !l!!$%al!) 'a(a !l !)%&# ! la) a%!4%&"a) &)"(!%a). !$ la '(!)!$%! $&a )! "#$#"!(4 la %!#(a "## la '(4"%&"a 'a(a la (!)#l"&-$ ! '(#bl!a)5 Eje'!lo
A+!(&,a( 7&;$!) !)%4$ !)%&a$# al,!b(a ,!#!%(a )ab&!$# 7!: S& L&) !)%&a al,!b(a. Ca(#l&$a Tab&;$5 P!!$ !)%a( !)%&a$# al,!b(a F!l&'! # Ca(#l&$a O L&) # Ca(#l&$a '!(# $# ab#) Ca(#l&$a !)%&a al,!b(a )& )#l# )& !)%&a F!l&'!5
6
La teoría de conjuntos y la estadística La %!#(a ! "#$*$%#. '!(&%! !$ l#) "4l"l#) ! '(#bab&l&a. (!al&8a( #'!(a"&#$!) !$%(! l#) !+!$%#) "## $&(. &$%!()!"%a( # !$"#$%(a( !l "#'l!!$%#5 E) &'#(%a$%! (!"#(a( 7! $ !+!$%# !) $ )"!)# !$%(# ! $ !='!(&!$%#5 E) $a "#$&"&-$ 7! "'l!$ +a(&#) !l!!$%#) !l E)'a"&# M!)%(al5Caa !+!$%# )! '!! (!'(!)!$%a( "## $ "#$*$%#. 7! !)%4 (!la"&#$a# "#$ !l !)'a"&# !)%(al. '#(7! !) $ )b"#$*$%# ! !)%!5 P#( l# %a$%# )! '!! /abla( 7! la T!#(a ! C#$*$%#) !) a'l&"abl! a la '(#bab&l&a. '#(7! l#) !+!$%#) al )!( (!'(!)!$%a# "## "#$*$%#) '!!$ "'l&( "#$ la %!#(a5 E$ l#) "a)#) ! l#) !+!$%#). UNIR &'l&"a 7! l#) !l!!$%#) ! $ !+!$%# A !l #%(# B #(a(a$ $ "#$*$%#. !)%! (!'(!)!$%a 7! !l !+!$%# A #"((a # 7! !l !+!$%# B #"((a5 La INTERSECCIN ! #) !+!$%#) )!(4 $ "#$*$%# "#) !l!!$%#) !)%4$ !$ !l !+!$%# A !$ !l !+!$%# B. !) !"&(. #"((! A #"((! B5 El COMPLEMENTO ! $ !+!$%# )!(4 $ "#$*$%# #(a# '#( l#) !l!!$%#) 7! $# '!(%!$!"!$ al !+!$%# )& '!(%!$!"!$ al !)'a"&# !)%(al5
7
Eje'!lo
D! $a !$"!)%a /!"/a a 13 '!()#$a) 'a(a !)%abl!"!( '(!!(!$"&a) ! l!"%(a ! la) (!+&)%a) A. B C )! #b%&!$!$ l#) )&,&!$%!) (!)l%a#): T##) l!!$ al,$a ! la) 3 (!+&)%a) %##). !$#) K0. l!!$ A 1 l!!$ A B '!(# $# C. 6 l!!$ B C '!(# $# A 10 l!!$ )-l# C5 El $<!(# ! l#) 7! l!!$ A C !) !l #bl! !l $<!(# ! l#) 7! l!!$ la) 3 (!+&)%a)5 El $<!(# ! l#) 7! l!!$ )-l# B !) !l &)# 7! !l %#%al ! l#) 7! l!!$ A C5 S!,<$ %## !)%#. /alla( !l $<!(# ! l#) 7! l!!$ )#la!$%! A5
La teoría de conjuntos y la Ingeniería L#) "#$*$%#) $#) aa(a$ !$ la &$,!$&!(a ! #(a 7! "aa '(#"!)# 7! /a,a#) +aa '#( $ b!$ "a&$# )! /a,a (!al&a !$%(# ! $ 4b&%# )&"#5 L#) "#$*$%#) !$%(# ! la &$,!$&!(a )#$ )a#) a) a %!$!#) 7! !$%(# ! la "#$)%(""&-$ )! )!'a(a !$ "#$*$%#) la) &+!()a) 'a(%!): #b(!(#). a%!(&al!). a7&$a(&a). %;"$&"#). !%"5 A) %ab&;$ )! )a 'a(a 'a(%! 4) !)'!"&"a) '#( !*!'l#: Pa(a la "#$)%(""&-$ ! $a 'a(! )! $!"!)&%a(a la(&ll#). "!!$%#. /!((a&!$%a)5 'a(a la "#$)%(""&-$ ! $a "#$!=&-$ ! a,a )! )a(a %b#). '!,a!$%#. "abl!). !%"5 C#$)%(&#) $a "a)a )& )#l# )& %!$!#) %##) l#) !l!!$%# $!"!)a(&#) 'a(a /a"!(l#5 Al &,al 7! !$ la &$,!$&!(a &$#(4%&"a # !$ )&)%!a %!$!#) a'l&"a#) l#) "#$*$%#) !$ ba)!) ! a%#) !$ %&'#) ! (!!)5 A!4) ! l# +&)%# /a)%a a/#(a !) '#)&bl! "#b&$a( l#) (!)l%a#) ! #) "#$)l%a) &$!'!$&!$%!) )&#$a(l#) !$ $# )#l# # (!al&8a( #%(a) #'!(a"&#$!) ! "#$*$%#)5
8
P#( !*!'l# '#!#) %#a( !l $#b(! a'!ll&#) ! %##) l#) "l&!$%!) ! $a %abla ! "l&!$%!). "#b&$a(l#) "#$ !l $#b(! l#) a'!ll&#) ! %##) l#) '(#+!!#(!) ! $a %abla ! '(#+!!#(!)5 N# !=&)%! (!la"&-$ al,$a !$%(! !ll#). '!(# )#$ a%#) "#'a%&bl!) '#!#) 7!(!( "#b&$a(l#)5 D!l &)# ##. a)&!$# 7! '!! /ab!( )#la'a&!$%# !$%(! aba) %abla). '#(a#) 7!(!( a+!(&,a( 7; "l&!$%!) %!$!#) 7! a!4) )#$ '(#+!!#(!). # al "#$%(a(&#. 7; '(#+!!#(!) $# )#$ "l&!$%!)5 Eje'!lo
P#!#) a'l&"a( $ "#$*$%# !$ l#) 'a)#) a )!,&( 'a(a (!#!la( # "#$)%(&( $a "a)a )a$# &a,(aa ! +!$$
Conclusiones •
•
•
E$ la %!#(a ! "#$*$%#) )#$ &'#(%a$%! l#) &a,(aa) ! V!$$ '#(7! %&!$! "/a) a'l&"a"&#$!) !$ la #(,a$&8a"&-$ ! la) "#)a) ! la +&a5 al &$al ! $a #%(a a$!(a !)%a '(!)!$%! la %!#(&a ! "#$*$%#) !$ $!)%(a +&a &a(&a. a )!a 'a(a %#a( $a !)&"&#$ # 'a(a %!$!( '#)&bl!) "#b&$a"&#$!) ! (!)l%a#). !)%a &'l&"&%# ! $a a$!(a #%(a al,$a $&#$ # &$%!()!""&#$ ! '(#"!)#) # %a(!a) # !l!""&#$!)5 La %!#(a ! "#$*$%#) !) $a /!((a&!$%a &'#(%a$%! 'a(a '#!( !)%&a( la) (!la"&#$!) !=&)%!$%!) !$%(! $ %## )) 'a(%!). al &)# %&!'# 7! )!$%- la) ba)!) 'aa( )&'l&&"a( !&$&"&#$!) ! "#$"!'%#) 7! (!)l%aba$ 4) "#'l!*a)5
9
Bibliografía Internet
5,"a'(!$!l&b(!5#(,a%!a%&"a)"()#l#)"#$*$%#)!$%!$!(l#)"# $*$%#) /%%':)&/abla#)!!)%a&)%&"a5bl#,)'#%5"#201601%!#(&a! "#$*$%#)5/%l /%%'):)&%!)5,##,l!5"#)&%!&)"(!%a)2$&a2l#,&"a%!#(&a! "#$*$%#) /%%':"()#)5"la+&*!(#5!5="()#)006#l#1"#$%!$&#)%!a15352 5/%lQ#'"2 /%%':a%!a%&"a5"ba!"a5"!&a)&$%!(a"%&+&a!)%!a)10#01%! #(&a!"#$*$%#)"#%!#(&a!"#$*$%#)5/%l Libro
T!#(a !l!!$%al ! "#$*$%#) 1 !&"&-$5 Cla, S5A5 Ma%!4%&"a) D&)"(!%a) S!=%a E&"&-$5 P!a()#$ E"a"&-$. M;=&"#. 2005
10
Aneos Propiedades del álgebra de conjuntos
11
()uivalencia entre conjuntos
Simbología
12
13
