TRABAJO FINAL
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA Una aplicación de cálculo vectorial en mi carrera
FLUJO INCOMPRESIBLE NO VISCOSO 3° SEMESTRE
Profa.: Ing. María del Roció Ávila Núñez Grupo 15 Alumnos: Legazpi Ascencio Alexis
Fecha de entrega 13/11/2014
FLUJO INCOMPRESIBLE NO VISCOSO
Objetivos
Marco de Referencia
L
os conceptos de cálculo vectorial de los cuales se harán uso en el presente trabajo deben quedar bien definidos para el buen entendimiento de la teoría de fluidos. Para ello comenzaremos por definir lo que es un operador diferencial vectorial.
Un operador diferencial vectorial es un operador lineal que actúa sobre campos vectoriales definidos sobre una variedad diferenciable. Algunos ejemplos son
Operador rotacional Operador gradiente Operador divergencia Operador laplaciano
El rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto: rot F⃗ =∇×F⃗ Un campo cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio se denomina irrotacional o se dice que carece de fuentes vectoriales. Y si está definido sobre un dominio simplemente conexo entonces dicho campo puede expresarse como el gradiente de una función escalar, o dicho de otra forma, el campo deriva de un potencial (es decir, es conservativo): ∇×f=0 en Ω simplemente conexo ⇒f=∇ϕ
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La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia será negativa. La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:
Si div(F)<0 diremos que es un punto pozo o sumidero (compresion del fluido)
Si div(F)>0 diremos que es un punto fuente (expansion de un fluido)
Si div(F)=0 diremos que es un campo soleinoidal o incompresible (fluido incompresible)
El gradiente de un campo escalar es un campo vectorial. El vector gradiente de evaluado en un punto genérico del dominio de ( ), indica la dirección en la cual el campo varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de en la dirección de dicho vector gradiente. El gradiente se representa con el operador diferencial nabla seguido de la función. También puede representarse mediante , o usando la notación . La generalización del concepto de gradiente a campos vectoriales es el concepto de matriz Jacobiana. El operador laplaciano o laplaciano es un operador diferencial elíptico de segundo orden, denotado como Δ, relacionado con ciertos problemas de minimización de ciertas magnitudes sobre un cierto dominio. Expresado en coordenadas cartesianas es igual a la suma de todas las segundas derivadas parciales no mixtas dependientes de una variable. Corresponde a div (grad φ), de donde el uso del símbolo delta (Δ) o nabla cuadrado ( ) para representarlo. Si , son un campo escalar y un campo vectorial respectivamente, el laplaciano de ambos puede escribirse en términos del operador nabla como:
Si div (grad (f))=0 diremos que es una función armónica
Marco de Referencia El análisis aerodinámico de un vehículo se ha venido haciendo a través de la historia y hasta la actualidad utilizando el tradicional túnel de viento y las técnicas de ensayo en ruta. Este procedimiento tiene la ventaja que estamos frente a la observación experimental, tiene como inconvenientes el hecho de insumir un gran tiempo de desarrollo, un esfuerzo humano importante y un costo considerable para
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encontrar efectivamente lo que en definitiva es el objetivo del diseño de un vehículo, satisfacer la demanda del consumidor. Sin embargo, para el diseño de cualquier vehículo dígase un avión, automóvil, hasta en la construcción de un barco, es de suma importancia el análisis detallado de los flujos de los fluidos que están en contacto con la superficie del móvil ya que, de esta forma se puede mejorar las medidas de seguridad y en otros casos la eficiencia de las maquinas. Sabemos que los efectos viscosos quedan confinados, en flujos a altos números de Reynolds 1 (especialmente en flujos externos), dentro de la capa limite cerca de las superficies sólidas y a regiones desprendidas y estelas que aparecen cuando hay gradiente adverso de presiones. El flujo fuera de la capa limite es, esencialmente, no viscoso e incompresible. Un flujo no viscoso es el flujo de un fluido ideal que se supone que no tienen viscosidad. En dinámica de fluidos hay problemas que se pueden resolver fácilmente mediante el supuesto simplificador de un flujo no viscoso, por lo que esta técnica nos brinda un análisis en cierto caso no tan detallado del flujo de un fluido, pero sin embargo muy útil en el diseño geométrico de superficies sólidas. Como se muestra en la figura la teoría no viscosa debería funcionar bien para los flujos externos de la figura, especialmente cerca de la parte frontal del cuerpo. Si hay desprendimiento de la capa limite en la parte posterior, la corriente desprendida deflactará y modificara las líneas de corriente no viscosas. Para el desarrollo de dicha teoría se tendrá que recurrir a las principales ecuaciones del movimiento para un flujo no viscoso e incompresible, que son las de continuidad y cantidad de movimiento. En el presente trabajo, obtener dichas formulas no es nuestra prioridad por lo que no se explicaran a detalle su desarrollo.
1 Número adimensional que relaciona la densidad, viscosidad, velocidad y dimensión típica de un flujo en una expresión adimensional, y nos indica si un flujo es laminar o turbulento
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Desarrollo Campo de velocidad En el instante t, la velocidad u de cada elemento fluido centrado en (x, y, z) es una función vectorial u(x,y,z,t), que también indicaremos en forma compacta con u( x i,t) o u(r,t) donde r=(x,y,z). El campo de velocidad es un campo vectorial. Un ejemplo es el campo de velocidad de un fluido que rota con velocidad angular uniforme w alrededor de un eje ew. Este campo está representado en la figura Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento La ecuación de movimiento de un fluido expresa la Segunda Ley de Newton, esto es, que la tasa de cambio de la cantidad de movimiento de una dada porción de fluido es igual a la resultante de las fuerzas que actúan sobre esta porción. Existen diferentes formas, todas equivalentes, de escribir esta ley.
Forma integral lagrangiana (volumen material) Sea V un volumen material rodeado por una superficie (obviamente también material) S. La cantidad de movimiento contenida en V es
Su derivada total respecto del tiempo (derivada material) es:
De forma diferencial
El potencial de velocidad El movimiento de los fluidos perfectos (no viscosos) se describe mediante la ecuación de Euler (cantidad de movimiento):
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Este tipo de flujos es muy importante pues en muchas situaciones de interés práctico, los efectos de la viscosidad de los fluidos reales quedan limitados a las regiones del espacio (muchas veces pequeñas) donde tienen lugar fuertes gradientes de la velocidad, mientras que en el grueso del flujo los efectos de la viscosidad son despreciables y el fluido se puede suponer ideal. En las regiones materiales de flujo ideal no se crea ni se destruye vorticosidad2, de manera que si en un dado instante ésta es nula, sigue siendo nula en todo otro momento, es por eso que estos flujos son irrotacionales, es decir que ∇ × = u 0 en todos los puntos del fluido. Si además el flujo es incompresible, el campo de velocidad satisface las condiciones
La irrotacionalidad del campo de velocidad implica que v deriva de un potencial de velocidad φ, esto es a=
∂∅ ∂∅ ∂∅ b= c= ∂x ∂y ∂z
Donde la función escalar
∅ es el potencial de velocidades. La ecuación de la continuidad se convierte
en la de Laplace 2
∇ ∅=0 Y la de la cantidad de movimiento en la de Bernoulli ∂∅ p 1 2 + + u + gz=cte ∂t ρ 2 Muchos flujos de interés son esencialmente bidimensionales es decir, una de las tres coordenadas espaciales es ignorable y la correspondiente componente de la velocidad es nula (o una constante). Los flujos planos y los flujos con simetría axial son ejemplos de esta clase de flujos Consideremos los flujos planos. Es habitual elegir z como la coordenada ignorable, y que el flujo se desarrolla en el plano (x, y). En estos casos es útil introducir el concepto de la función corriente. Volvamos por un momento al caso general de un flujo incompresible en tres dimensiones. En virtud de la incompresibilidad, podemos siempre introducir una función vectorial A tal que: u=∇ X A
En general el interés práctico de A es escaso, dado que estamos sustituyendo el campo de velocidad a determinar por otro campo vectorial, con lo cual no se hace un progreso significativo. Pero en el caso de los flujos planos, sí existe una ventaja, pues el campo de velocidad tiene sólo las componentes ux y uy que además no dependen de z. Por este motivo, la única componente no nula de A es Az ≡ψ, y de acuerdo a la ecuación de arriba se cumple que: 2 Es una magnitud física empleada en mecánica de fluidos y en el mundo meteorológico para cuantificar la rotación de un fluido. 5
u x=
∂ψ −∂ ψ u y= ∂y ∂x
La función ψ se denomina función corriente y representa, como hemos visto, la componente perpendicular al plano del flujo del potencial vectorial A. Cabe observar que es posible introducir la función corriente para todos los flujos bidimensionales incompresibles (sean o no viscosos y sean o no irrotacionales), pues basta que el flujo cumpla la condición ∇ ⋅u = 0. Por el contrario, el potencial de velocidad sólo se puede introducir para flujos irrotacionales (que por lo tanto son necesariamente invíscidos, barotrópicos y gobernados por fuerzas de volumen conservativas), pero no está limitado a los flujos bidimensionales. Soluciones elementales en flujos planos Se puede construir varios flujos potenciales de interés a partir de tres tipos de soluciones elementales. 1. Corriente uniforme 2. Fuente o sumideros 3. Torbellinos Se pueden sumar los potenciales y las funciones de corriente de estos tres casos para generar varios resultados útiles. Para hacer esto contamos con el principio de superposición, que es válido por que la ecuación de Laplace es lineal. Sin embargo nuestro principal objetivo es definir los tres flujos potenciales más importantes. Corriente uniforme. Una corriente de velocidad U∞ constante tiene derivadas espaciales nulas y, por tanto, satisface idénticamente la condición de irrotacionalidad y la ecuación de continuidad. Supongamos primero que la corriente es en la dirección del eje x, las funciones φ y ψ resultantes son: u=U ∞=
∂ψ ∂∅ = =cte ∂y ∂x
v =0=
−∂ ψ ∂ ∅ = ∂x ∂y
Integrando, obtenemos ψ=U ∞ y +C 1
∅=U ∞ x +C 2
Como las constantes C1 y C2 no afectan ni a las velocidades ni a las presiones, las ignoraremos ψ=U ∞ y
∅=U ∞ x
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Esto es útil para problemas de perfil con ángulo de ataque.3
(a) Corriente en la dirección x, (b) Corriente a un ángulo α
Fuentes o sumideros Supongamos un tubo delgado situado en el eje z, que estuviese perforado y emitiese transversalmente un caudal uniforme a lo largo de su longitud. Mirando a lo largo del eje z, veríamos un flujo radial como se muestra esquemáticamente en la figura. En flujo estacionario, la cantidad de fluido que atraviesa una superficie cilíndrica de radio r, cualquiera y longitud b es constante. Q=v r ( 2 πrb )=cte= ( 2 πbm ) v r ,fuente =
ó
m r
Donde m es una constante. Si m es positivo tenemos una línea de fuentes o fuente bidimensional y un sumidero bidimensional si m es negativo. Obviamente las líneas de corriente de la fuente apuntan hacia afuera como se muestra en la figura, y la velocidad tangencial v ϴ=0. Podemos obtener φ y ψ en coordenadas polares. m 1 ∂ψ ∂∅ vr = = = r r ∂θ ∂r
v θ =0=
−∂ ψ 1 ∂ ∅ = ∂r r ∂θ
Integrando, obtenemos Línea de fuentes o sumideros:
ψ=mθ
∅=m ln r
las cuales tienen una forma más simple que las
cartesianas. Torbellino bidimensional 3 Ángulo que forman la cuerda geométrica de un perfil alar con la dirección del aire incidente. 7
Supongamos ahora que invertimos los papeles de φ y ψ en la ecuación
ψ=mθ
∅=m ln r
tendremos ψ=−K ln r
∅=Kθ
Derivando cualquiera de ellas se obtiene la velocidad v r =0
vθ =
K r
Es un flujo circulatorio puro con una velocidad tangencial que disminuye como 1/r. Esta tiene una singularidad en el origen, donde la velocidad es infinita y φ y ψ no están definidas. De nuevo el núcleo del torbellino debe estar oculto en el interior de un cuerpo. La intensidad del torbellino K tiene las mismas dimensiones que la intensidad m de la fuente, esto es, velocidad por longitud.
Conclusiones Este trabajo demuestra la importancia del cálculo vectorial en la carrera de mecánica, principalmente en mecánica de fluidos, aunque no solo se limita en mecánica sino tiene diversas aplicaciones en la mayoría de las ramas de la ingeniería, ya que nos facilita problemas comunes en la vida cotidiana. En lo que concierne al tema desarrollado, la mecánica de fluidos es una ciencia un tanto compleja y abstracta que tienen una gran importancia en el mundo físico, y para poder comprenderla se requiere una serie de conocimientos previos y puntuales sobre matemáticas, en este caso hicimos uso de los conceptos de cálculo vectorial para explicar de un manera muy somera una técnica para el análisis detallado de los flujos, el cual dichos análisis son importantes en el diseño de diversas piezas sólidas, desde un vehículo, bombas, hélices, turbinas, hasta en el construcción de rascacielos, ya que todas ellas se presentan en continuo contacto con un fluido, ya se liquidó o gaseoso; si no se considerasen dichos análisis y cálculos, los efectos serian catastróficos para los individuos. Sin embargo, algunos de los elementos a diseñar, el flujo de un fluido no provoca efectos considerables por lo que se hace uso de la técnica de cierto modo más sencilla para el análisis de flujos incompresibles no viscosos, donde un flujo no viscoso es el flujo de un fluido ideal que se supone que no tienen viscosidad.
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Como conclusión final, cabe mencionar que se cumplieron los objetivos planteados, que me ayudaron a conocer más sobre lo que más adelante me espera en mi carrera, también me enriqueció en cuanto a ver las cosas de otra perspectiva, en tener un buen entendimiento interdisciplinario y relacionar todas las materias para que al final se concentren diversas herramientas que me ayudaran a solucionar cualquier problema que se me presente durante mi vida profesional.
Blibliografia y mesografia Frank M. White. (1979). Mecánica de fluidos. USA: McGraw-Hill. Facultad de Ciencias Exactas. (2011). Flujos Potenciales. 2014, de Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires Sitio web: http://users.exa.unicen.edu.ar/~jdiez/files/mec_cont/apuntes/6FlujosPotenciales.pdf Facultad de Ciencias Exactas. (2011). Flujos Ideales. 2014, de Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires Sitio web: http://users.exa.unicen.edu.ar/~jdiez/files/mec_cont/apuntes/5FlujosIdeales.pdf
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