UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA ESCUELA PROFESIONAL INGENIERIA EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS
APL A PL I CACI CA CI ÓN DE L A S E CUA CU A CI ONE S DI F E R E NCI NC I A L E S EN E N LA CAR C AR R E R A DE I NGENIE RI A EN INDUST INDUSTRI RI AS ALIME NTARIAS NTARIAS Mo M onrro nrr oy L opez I van, Coyla Coyla Sala Salazzar E ver Resumen
Las matemáticas desde hace muchos años años atrás ha sido una de las ciencias que más se ha aplicado en todo campo de la ciencia. Las ecuaciones diferenciales diferenciales son los que contienen derivadas o diferenciales de una determinada función la cual se llama función incógnita, se necesitan matemática básica, cálculo de derivadas e integrales fundamentalmente para poder resolver problemas de una ecuación diferencial. Su aplicación en la rama de la ingeniería en industrias alimentarias es importante ya que se pueden aplicar modelos matemáticos para resolver un problema, modelos como los isotermas de adsorción y desorción, ley de enfriamiento de Newton, problemas de evaporación en alimentos, movimiento de fluidos y otros. Siendo de mucha importancia en la ingeniería para resolver problemas de la realidad y presentes pr esentes en el trabajo de un ingeniero in geniero en industrias alimentarias. Palabras Clave: Ecuaciones diferenciales, aplicación, modelos matemáticos Justificación
En la actualidad los estudiantes necesitan de conocimientos teóricos acerca de las matemáticas esta ciencia está relacionada con todo lo que se encuentra en el cosmos y una de las cuales como las ecuaciones diferenciales que sean aplicados en el campo de la ingeniería especialmente en ingeniería en industrias alimentarias, se necesitan matemática superior para aplicarlas y solucionar un problema mediante modelos matemáticos de distintos fenómenos: químicos, físicos y biológicos. Introducción
Las matemáticas desde la aparición del hombre en la tierra fueron de vital importancia para suplir sus necesidades de acuerdo en el entorno que se encontraban. encontraban. A medida que pasaron los años, las matemáticas se fueron desarrollándose por distintas culturas tales como las que desarrollaron más fueron los egipcios, persas, griego, aztecas, incas y etc. A medida que pasaron los siglos se desarrollaron las matemáticas para solucionar fenómenos, necesidades. Los descubrimientos que realizo el hombre todas tienen una relación matemática, hoy en día las l as matemáticas son muy aplicadas en todas las ramas de la ciencia no existe ninguna ciencia que no tenga relación con la matemática, en el campo
de ingeniería como modelos matemáticos, fórmulas para hallar un fenómeno natural, razones de cambio en un sistema. Materiales y Métodos
En la presente investigación la metodología que se utilizo es bibliográfico, revisión de libros, artículos, entrevistas, cuaderno de avance y otras fuentes que nos permitieron recolectar información acerca de las l as ecuaciones diferenciales. Resultados y Discusiones
Una ecuación diferencial es la relación que hay entre una función del tiempo y sus derivadas. (Braun, 1983). Del cálculo sabemos que el cambio es medido por la derivada, y usarla para describir como se modifica una cantidad es de lo que tratan las ecuaciones diferenciales, convertir las reglas que gobiernan la evolución de una cantidad en una ecuación diferencial se llama modelación. (Blanchard, Devaney, & Hall, 1998). Una gran cantidad de leyes en la Física, Química y Biología tienen sus expresión natural en ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales también, es enorme en el mundo de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en Ingeniería, Economía, Ciencias Sociales, Astronomía y en las mismas Matemáticas. (Becerril & Elizarraraz, 2004). Se define como una ecuación diferencial a la ecuación que contiene derivadas o diferenciales de una función desconocida llamada función incógnita. El objetivo de una ecuación diferencial es obtener dicha función desconocida,
= que está definida
en un intervalo y satisface la ecuación para todo en dicho intervalo, a través de la integración de la ecuación diferencial. Clasificación de las ecuaciones diferenciales a) Ecuación diferencial ordinaria:
Se llama así cuando la función incógnita
(donde y es la variable dependiente) depende de una sola variable independiente , se denota por la letra d. Ecuación
diferencial Función incógnita
Variable independiente
ordinaria
= 3 + 7 = − − . ... ..
y(x)
x
t
Fuente: Elaboración propia
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b) Ecuación diferencial parcial: Se define así cuando la función incógnita depende
de varias variables independientes, se denota por el símbolo
(“de jacobi”) así
tenemos los ejemplos ilustrativos. Ecuación
diferencial Función incógnita
Variable independiente
parcial
+ + = 0
,,
,,
,
, ,
(Laplace)
+ = 0 (Poisson) Fuente: Elaboración Propia
Tipos de soluciones de ecuaciones diferencial
(Loa & Franco, 2013) en su texto de cálculo integral nos muestra dos tipos para solucionar las ecuaciones diferenciales: Solución general o completa, es una forma de representar la solución de una ecuación diferencial, se caracteriza por que la letra c (constante), aparece en la solución, lo cual quiere decir que, para cada valor de c, se obtienen diversas funciones y todas t odas ella serian la solución de la ecuación diferencial. Solución particular que se caracteriza porque presenta condicionales iniciales o de frontera para la función desconocida y y sus derivadas, permitiendo conocer el único valor de la constante c. Solución singular que se puede obtenerse a partir de ninguna solución general asignando valores específicos a las constantes arbitrarias. a) Ecuaciones diferenciales de variables separables
Consiste en separar variables dependientes e independientes por miembros, es decir, en cada miembro de la ecuación debe contener solo una variable.
= = + + = + b) Ecuaciones diferenciales Homogéneas
La función f se dice homogénea de grado n respecto a la variable “x e y” si para todo “t” se verifica.
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( ; ) = , , , , = + Determinas si f(x, y) es homogénea:
→ ; t ∈ →
( ; ) = + = + = + ; ; = ; ; ; = 2 ; ; ℎ
c) Ecuaciones diferenciales exactas-primer orden
Sea:
, , + , , = 0 Entonces:
, , = , , + , , Es una diferencial total.
Donde:
, , = + = , , = , ,
d) Factor integrante
, , + , , = 0, no es una ecuación , = que al multiplicar diferencial exacta es un dominio o existe un factor , Cuando la ecuación diferencial
a la ecuación diferencial se transforma en:
+ = 0 Y hace que sea una ecuación diferencial exacta, existen cuatro teoremas acerca del factor integrante: Teorema Nº 1. Sea la
ecuación diferencial no exacta de primer orden, además.
, , + , , = 0 4
= ∫ 1 − =
Entonces el factor integrante es:
Teorema Nº 2. Sea la
ecuación diferencial no exacta de primer orden, además:
1 − = Entonces el factor integrante es: = ∫ Teorema Nº 3. Sea la
ecuación diferencial no exacta de primer orden, además:
, , + , , = 0 Entonces el factor integrante es:
= , , = , , , , = −1
En algunos casos el factor de integración es notorio si los términos de la ecuación diferencial se agrupan estratégicamente tal como los casos particulares. Términos
Factor integrante
= 1⁄ = 1⁄
− +
E.D.E.
− = + ln = ln
Fuente: Elaboración propia Teorema Nº 4. Sea la
ecuación diferencial homogénea de primer orden:
, , + , , = 0 Entonces el factor integrante es:
, , = +1
Aplicaciones
Un producto nuevo de cereal se introduce a través de unas campañas de publicidad a una población de 1 millón de clientes clientes potenciales. La velocidad a la que la población población se entera del producto se supone que es proporcional al número de personas que todavía no son conscientes del producto. Al final de un año, la mitad de la población ha oído hablar del producto. ¿Cuántos ¿Cuántos han oído hablar hablar de él por el el final de 2 años? SOLUCIÓN En primer lugar, definimos las variables que forman parte del problema:
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mi llones de personas (clientes potenciales). y : es el número en millones t : : tiempo que han oído hablar del producto. (1-Y): es el número de personas que no han oído de este. dy : la velocidad a la que la población conoce sobre el producto. dt En segundo lugar especificamos la expresión diferencial que describe el problema.
dy = k (1- y) dt
E cua cuación ción D i fere ferencial ncial Esta ecuación significa que la tasa de cambio de y, es proporcional a la diferencia entre 1 y y.
Para resolver la ecuación diferencial: 1.
Separamos las variables: dy = k (1 - y) dt
Forma Diferencial
dy = k dt (1 - y) 2.
Integramos a ambos lados de la igualdad. ʃ
dy = ʃ k k dt (1 - y)
- ln ǀ1 - yǀ = kt + C1 Ln |1 - y | = - kt + C1 – y = ℮^- kt + C1 1 – y
Multiplicamos por -1
Aplicamos propiedad de los logaritmos y asumimos
que y < 1 Y = 1 - C℮^(- kt)
Y = 1 - C℮^(- kt)
General
Solu So lucci ón
Para el cálculo de la solución particular se debe aplicar las condiciones iniciales del problema a la solución solución general, general, es decir:
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y = 0 cuando t = 0, por tanto C = 0 y = 0.5 cuando t = 1, por tanto k = ln 2 = 0.693
Y = 1 - ℮^(- 0.693t)
0.5 = 1 - ℮^(- k)
Solu So lucci ón Pa Parr ti cul ula ar
En la solución particular reemplazamos t por 2, esto es el número de años que ha transcurrido desde la publicación del producto y sobre el cual se va a evaluar el total de personas que que lo conocen hasta hasta el momento. Y = 1 - ℮^(- 0.693(2) 0.693(2))) Y = 0.75 o 750000 Personas Respuesta Al final de dos años las personas que han oído hablar del producto (nuevo cereal) son 750000. Gráfica que satisface el problema Rta:
CONCIENCIA PUBLICITARIA
) s e n o l l i m n e ( s e l a i c n e t o p s e t n e i l C
Tiempo (en años) Conclusiones
Las ecuaciones diferenciales se aplican en el campo de la ingeniería en industrias alimentarias tal es el ejemplo mostrado que trata de marketing del producto, esto de
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acuerdo al grafico nos indica que la curva asciende a medida que avanza el tiempo. Esto significa que los clientes potenciales aumentan cuando pasa el tiempo.
Bibliografía Becerril, J., & Elizarraraz, D. (2004). Ecuaciones diferenciales tecnicas de solucion y aplicaciones. Mexico D.F.: Universidad Autonoma Metropolitana Azcapotzalco. Blanchard, P., Devaney, R., & Hall, G. (1998). Differential equations. Boston: Brooks Cole Publishing. Braun, M. (1983). Differential Equations and their applications. New York: SpringerVerlag. Loa, G., & Franco, J. (2013). Calculo Integral. Lima, Peru: Grupo Editorial MEGABYTE.
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