APLICACIÓN DEL CÁLCULO VECTORIAL EN LA INGENIERIA QUÍMICA
MARCO TEORICO El calculo El termino cálculo (del latín calculus = piedra) hace referencia, indistintamente, a la acción o el resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos. Algunas ideas del cálculo fueron desarrolladas tempranamente en las matemáticas griegas, chinas, indias, islámicas y japonesas, el uso moderno del cálculo comenzó en Europa, durante el siglo XVII, cuando Isaac Newton y Gottfried Leibniz construyeron en base al trabajo de antiguos matemáticos los principios básicos de esta disciplina.
El desarrollo del cálculo fue constituido en base a los conceptos de movimiento instantáneo y el área bajo las curvas.
Calculo vectorial El cálculo vectorial es un campo de las matemáticas las matemáticas referidas al análisis al análisis real multivariable de vectores de vectores en 2 o más dimensiones. más dimensiones. Es un enfoque de la geometría diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería la ingeniería y la física. la física. Consideramos los campos los campos vectoriales, que vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos y campos escalares, que escalares, que asocian un escalar un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura. El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad. Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial:
Gradiente: Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial.
Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo vectorial. Divergencia: mide Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse o converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar. Laplaciano: relaciona Laplaciano: relaciona el "promedio" de una propiedad en un punto del espacio con otra magnitud, es un operador diferencial de segundo orden.
Historia del cálculo vectorial El estudio de los vectores se origina con la invención de los cuaterniones (extensión de los números reales, muy similar a la de los números complejos) de Hamilton, quien junto a otros los desarrollaron como herramienta matemáticas para la exploración del espacio físico. Pero los resultados fueron desilusionantes, porque vieron que los cuaterniones eran demasiado complicados para entenderlos con rapidez y aplicarlos fácilmente. Los cuaterniones contenían una parte escalar y una parte vectorial, y las dificultades surgían cuando estas partes se manejaban al mismo tiempo. Los científicos se dieron cuenta de que muchos problemas se podían manejar considerando la parte vectorial por separado y así comenzó el Análisis Vectorial . Trabajo que se debió principalmente, al físico estadounidense Josiah Willard Gibbs
APLICACIONES DEL CÁLCULO VECTORIAL EN LA INGENIERIA QUÍMICA.
El cálculo vectorial es vital en la ingeniería química, una de las aplicaciones más importantes la encontramos al calcular la trasmisión de calor, la cual se dará de la sustancia de mayor temperatura a la de menor temperatura, mediante conducción, convección y radiación. Ejemplo: Gradiantes de temperatura, cuando el calor fluye por conducción, se da una trasferencia del cuerpo de mayor temperatura , hacia el de menor temperatura . En este caso, existe un gradiente de temperatura, esta razón de cambio se expresa como dT/dx por el área de transferencia. En esta relación T(x) es la temperatura local y x es la distancia en la dirección del flujo de calor.
De forma geometrica el gradiente es un vector que se encuentra normal (perpendicular) a la curva de nicel en el punto que se esta estudiando, llámase (x,y), (x,y,z), (tiempo , temperatura).
También, podemos aplicar el cálculo vectorial para calcular la distribución de las temperaturas.
Por ejemplo, La temperatura en grados Celsius, sobre la superficie de una placa metálica viene dada por T(x,y) = 20 – 4x2 + y2 Midiendo X e Y en centimetros. Desde el punto (2, -3). ¿ en qué dirección crece la temperatura más rápidamente?. ¿ a que ritmo se produce este crecimiento? Solución: El gradiente es VT (x,y) – Tx(x,y) + T y (x,y) VT (x,y) – (-8x)i + T y (2y)j Se sigue la dirección de maximo incremento esta dada por: VT (2, -3) =-16i + 6t Y la tasa de incremento es: || VT (2, -3)=
256 + 36|| √ 256
El cálculo vectorial puede ser aplicado de igual manera en el diseño mecánico de recipientes sometidos a presión, así como en el análisis de fuerzas de vientos en recipientes altos, determinación de acumulación de esfuerzos en soldadura, análisis de la presión que ejerce un lecho empacado al interior del recipiente, el diseño de reactores, integrales múltiples.
A escala de laboratorio, el cálculo vectorial nos ayuda para la realización de centrifugados para separación de mezclas, comportamiento de líquidos ionizados por aplicación de corriente eléctrica, precipitación de gases licuados por reacción.
Como observamos, el cálculo vectorial es de mucha ayuda al momento de resolver problemas asociados netamente con la ingeniería química.
