Derive a função implicitamente. .xy²+y+x=1 .1y²+x.2y.y’+y’+1=0 Y’(2xy+1)= -1-y² Y’=
1)Prove que as retas tangentes as curvas 5y-2x+y³-x²y= 0 e 2y+5x+ são ortogonais. ortogonais.
-x³y²= 0 no ponto (0, 0)
a)5y-2x+y³-x²y= 0
=> Y’= => Y’= (X – 0) => Y= x => Y –Y – 0 0 = (X – b)2y+5x+ -x³y²= 0 => Y’= => Y’= - Y’= (X – 0) => Y= - x => Y –Y – 0 0 = - (X – Y’=
Dando valores a X em a) e em b) ex) 1,2,3,4… notaremos que ao plotar um gráfico veremos que eles se crusão perpendicularmente.
2)Verifique se o ponto (1, 0) faz parte da curva y= 2.sen( .x-y) e encontre as retas tangente e normal.
y= 2.sen( .x-y) => –y+2.sen( –y+2.sen( .x-y)= 0 => -Y’+( -Y’). 2cos( .x-y)= 0 => -Y’+( -Y’+( .2cos( .x-y))
– (Y’. 2cos( .x-y))= .x-y))= 0 => Y’.(-1-2cos( Y’.(-1-2cos( .x-y))= - ( .2cos( .x-y)) .x-y)) => Y’= Y’=
=> Y’= 2.
Equação da reta tangente:
=> Y - 0= 2. (X – (X – 1) => Y= 2 x - 2
Equação da reta normal:
=> Y - 0=
(X – 1) 1) =>
Y=
+
=> Y=
3) Um homem anda ao longo de um caminho reto a uma velocidade de 1,5 m/s. Um holofote localizado no chão a 6 m do caminho é mantido focalizado no homem. A que taxa o holofote está girando quando o homem está a 8 m do ponto do caminho mais próximo da luz?
h²=x²+y² => h²= 8²+6² => h= 10 m
() =>
Tg( )=
= 53,13
=> x= 6.tg = 6. 1+tg²
=> Tg( )=
= 6. Sec²
=>
=> 1,5= 6.(1+(tg(53,13))²
=>
= 0,09 rad/seg
4) O gás de um balão esférico está escapando a uma taxa de 2 m³/min. A que taxa a superfície do balão esta encolhendo quando o raio é 12 m?
V=
.r³
=>
= 4. .r².
=> 2 = 4. .12².
isso negativo.)
A= 4. .r² =>
= 8. .r.
=>
=>
= 8. .12.( )
= =>
(raios esta diminuindo por
= - 0,33 m²/min
5) Dois lados paralelos de um retângulo estão sendo esticados a uma taxa de 2 cm/s, enquanto os outros dois lados estão sendo encurtados de tal moto que a figura tenha sempre a forma retangular e com a área constante 50 cm. Qual a taxa de variação do perímetro P, quando o comprimento dos lados que estão sendo esticados é: a) 5 cm: b) 10 cm: c) Quais são as dimensões quando o perímetro para de diminuir?
= 2.( +) A= X . Y => = x. + y. a)x= 5 cm logo y = 10 cm .. = 2 cm/s + y. = 0 => 5. + 10 . 2= 0 => = -4 x. = 2.( +) => = 2.( +(-4)) => = - 4 m/s b) x= 10 cm logo y = 5 cm .. = 2 cm/s + y. = 0 => 10. + 5 . 2= 0 => = - 1 x. = 2.( +) => = 2.( +(-1)) => = 2 m/s c) O perimetro não irá mais diminuir se = 0 … assim = 2.( + ) = - 6)Encontre por derivada implícita. a) x²= P= 2(x+y) =>
será. 0 = 2.(
+)
=>
x³ - 2yx² = x+2y => 3x² - 2Y’.x²+(-2y).2x = 1+2Y’ => -2Y’x² - 2Y’ = - 3x² + 4xy+1 => Y’ =
b) (x + y)² - (x – y)² = x³+y³ (x²+2xy+y²) – (x²-2xy+y²) = x³+y³ => 4xy= x³+y³
7) Ache as equações das retas tangentes á curva ⁄ + ⁄ = 1 nos pontos onde x = -1/8. ⁄+⁄= 1 => ⁄= 1 - √ => ⁄= 1 - => ⁄= 1 - => y= √ y= => y = ⁄+⁄= 1 => √ + √ . Y’= 0 => Y’ = - √ . √ Y’= 4y+4xY’ = 3x²+3y²Y’ => 4xY’ – 3y²Y’ = 3x² - 4y => Y’=
Equação da reta tangente:
=>
√ =>
√
=> Y= X.
√ => Y=
+ . + √
=> Y=
8) Um avião voa a 152,4m/s paralelamente ao solo, a uma altitude de 1.220m no
sentido oeste, tomando como referência um holofote fixado no solo que o f ocaliza e que se encontra à esquerda da projeção vertical do avião em relação ao solo. Sabendo-se que a luz do holofote deverá permanecer iluminando o avião, qual deverá ser a velocidade angular (de giro) do holofote, no instante em que a distância horizontal entre ele e a projeção vertical do avião for de 610m?
( ) ( ) ( ) () =>
tg =
=>
=> tg =
x.sec² . + tg . 1
= 63,43°
=> tg . X= 0
= 0 => x.(1+(tg( ))²). + tg . 1
= 0,09999…= = 0,1 rad/s
= 0
=>
=
9) Uma ponte está a 6 m acima de um rio e em ângulos retos com ele. Um homem em um trem a 60 km/h passa pelo centro da ponte no mesmo instante em que o outro homem em um barco a motor passa sob o centro da ponte a 20 km/h. Com que velocidade os dois homens estão se afastando um do outro 60 segundos mais tarde?
(Como a altura de 6 metros seria Z. e não iria varia em função do tempo: será uma constante e poderá ser descartada) Logo:
= =
=> Y = 0,333 km => X = 1 km
H²= X²+Y² => H²= 1²+0,333³² => H= 1,05 km h
= x + y
=> 1,05
= 1.60+0,333.20
=>
= 63,49 km/h
10) Um avião está a uma velocidade constante de 580 km/h e subindo a um ângulo de 45 graus. No momento em que ele está a uma altura de 3,2 km, passa diretamente sobre uma torre de controle no solo. Ache a taxa de variação da distância do avião á torre um minuto mais tarde.
180°-45° = 135°
= => x= 9,7 km
√ =>
+ b ) .=> obs:(
b
=>
=0)
(3,2).(580))
11) Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4 m de altura e raio da base 2 m. Se a água entra no tanque á razão de 0,001 m³/min , calcule a razão em que o nível de água está subindo quando a altura é 1 m.
= => r= => r= V= . . r² . h => V= . . ( )² . h => V= => = 1,27x m³/min
=>
= .
=>
0,001=
.
12) Uma luz está no alto de um poste de 5 m. Um menino de 1,6 m se afasta do poste em linha reta à razão de 1,2 m/s. A que taxa se move a ponta da sua sombra quando ele está a 6 m do poste? A que taxa aumenta o comprimento de sua sombra?
1,6.1,2
=
=>
= 0,565 m/s
=
=> 5.S=1,6 X => 5. = 1,6.
=> 3,4.S=1,6 X => 3,4 = 1,6.
=> 3,4.0,564 = 1,6.
=>
=> 3,4 =
= 1,766 m/s
13) Derive implicitamente e derive uma espressão esplicita de y. Em ambos os casos, mostre que as duas respostas são iguais. a)x²+y³=12
=>... y =
2x+3y².y’ = 0 => y’ =
Y³ = 12 – x² =>
1 + = 5
= > => y’ = . . (-2x)
y’ =
=> y’ =
b) x+ = 5
= 5-x
. y’ = 0 => y’ = y² => y’ = => y’ = => y =
c) xy + 2y = 3
=> 1 -1.
.y’ = 0 =>
=> …y’ =
( )
=> y’ =
y + xy’+2y’ = 0 => y’ = => … y’ = => y’ = => y’ = y=
=> y’ =
d) xy + 2y = x²
y + xy’ + 2y’ = 2x => y’ = => …y’= => y’ = => y’ = => y’ = => y’ = y=
=> y’ =
14) Determine a equação da reta tangente á curva dada no ponto especificado.
- = 2 => + . y’ = 0 a) - = 2 ; ( , )
=> y’ =
.
y’ =
=> y’ =
=> y’ =
()
=> y’ = 4
=>
=> y = 4x -
b) x²y³ - 2xy = 6x + y +1 ; (0, -1) 2xy³+3x²y²y’ – 2y – 2y – 2xy’ = 6 + y’ => y’ =
=> y’ = - 4 => y’ =
=> y = - 4x - 1
c) (1 – x + y)³ = x + 7 ; (1, 2) 3(1-x+y)² . (-1+y’) = 1 => (-3+3y’).( 1-x+y)² = 1 => -3+3y’ =
=> y’ = => y’ = => => y = x +
=> 3y’ =
+3
=>
y’ =
d) (x² + 2y)³ = 2xy² + 64 ; (0, 2) (OBS; (a+b)³ = (a³+3a².b+3ab²+b³)
+3
y’ =
.2y+3x²4y²+8y³ = 2xy²+64 => 6
=> y’ =
=>
+12x³2y+3
=> y’ =
.2y’+6x4y²+3x².8y.y’ = 2y²+2xy.y’ =>
+ => y = => y’ =
15) Uma lâmpada está pendurada a 4,5 m de um peso horizintal. Se um homem com 1,80 m de altura caminha afastando-se da luz, com uma velocidade de 1,5 m/s, qual a velocidade de crescimento da sombra?
=
=> 2,7.S=1,8 X => 2,7 = 1,8.
= 1,8.1,5
=> 2,7
=>
= 1 m/s
16) Uma viga com 20 m está encostada em um aterro inclinado de 60° em relação à horizontal. Se o pé da viga estiver sendo movido horizntalemnte em direlçao ao aterro a 1 m/s, com que velicidade o topo da viga estará se deslicando quando o pé estiver a 4 m do aterro?
√ c²+4c – 384= 0 bascara -b
=>
+ b ) .=> obs:(
.
+ 1(17,7 . 1 + 4 .
=0)
) =>
=>
17) Uma viga com 30 m de comprimento está apoiada em uma parede e o seu topo está se deslocando para baixo a uma velocidade de 0,5 m/s. Qual será a taca de variação da medida do ângulo agudo formado pela viga e pelo chão quando o topo da viga estiver a 18 m do chão?
h² = x²+y² => 30²= x²+18² => x = 24 m
( ) ( ) sen =
=>
=> y = 30 . sen
=>
= cos . 30
=> 0,5 =
. 30
=>
= rad/s
