UNIVERSIDAD NACIONAL JOSE FAUSTINO SANCHES CARRION
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERIA
CURSO
:
MATEMÁTICA IV
DOCENTE
:
SANTACRUZ ALVITES JORGE I.
TEMA
:
SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES
CICLO
:
IV
2
UNIVERSIDAD NACIONAL JOSE FAUSTINO SANCHES CARRION
SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES CONSTANTES. Un sistema de n ecuaciones diferenciaes ineaes de !rimer orden orden con coeficientes constantes en as funciones En los problemas de aplicacin aplicacin pocas !eces !eces se enc"en#ran relaciones relaciones de dos !ariables$ !ariables$ en m"c%os casos la relacin de !ariacin depende de m&s de dos !ariables$ as' si #enemos dos especies ("e in#erac#)an * compi#en en el mismo ambien#e +por e,emplo$ cone,os * -orros.$ el modelo demo/r&0ico de s"s poblaciones x(t) y y(t) podría ser "n sis#ema de dos ec"aciones di0erenciales de primer orden$ como dx dt dy dt
g 1 +t $ x$ y. g 2 +t $ x$ y .
+1.
C"ando /1 * /2 son lineales en las !ariables e * 3es#o es$ g 1 + x$ y . c1 x c 2 y f 1 +t . 4 * g 2 + x$ y . c6 x c 5 y f 2 +t . se dice ("e el sis#ema +1. es un sistema lineal. Un sis#ema de ec"aciones di0erenciales di0erenciales ("e no es lineal se denomina no lineal. ,
Un sis#ema de n ec"aciones ec"aciones di0erenciales lineales de primer primer orden en las 0"nciones inc/ni#as x1 f 1 t 4 x2 f 2 t 4 777 xn f n t 4 es de la 0orma8 dx1 a11 x1 a12 x2 a1n xn f 1 t dt dx2 a21 x1 a22 x2 a2n xn f 2 t a R +91. ij dt
dxn dt
an1 x1 an 2 x2
ann xn
f n t
:ara la sol"cin eis#en di0eren#es m;#odos7 17 REDU REDUCC CCI< I
ax by f +t .
+92.
a1 x b1 y g +t .
+96.
Donde a$ b$ c$ d son cons#an#es4 0+#. * /+#. son 0"nciones conocidas4 conocidas4 +#. * *+#. son 0"nciones inc/ni#as inc/ni#as de +92. * de +96.7 De +92. despe,amos *+#. * reempla-amos en +96. 1 dx y + ax f +t . b dt
+96.
6
UNIVERSIDAD NACIONAL JOSE FAUSTINO SANCHES CARRION b dx d 1 dx ? + ax f +t ..> a1 x 1 + ax f +t .. g +t . dt b dt b dt 1 d 2 x
b dt 2
a dx b dt
1 df +t . b dt
a1 x
b1 d x b dt
b1 a b
x
b1 b
f +t . g +t .
Simpli0icando #enemos 2
A
d x dt 2
B
dx dt
Cx R+t .
E,emplos7 1. Resolver dx dt dy dt
6 2 y
+1.
2 x 2t
+ 2.
Solución. Despejando y en (1) y reemplazando en (2) d 1
dx ?6 > 2 x 2t dt 2 dt
1 dx y ?6 > entonces 2 dt
d 2 x dt 2
5 x 5t
d 2 x dt 2
5 x 5t ; es una ecuación diferencial no homognea;
donde xh c1 cos 2t c2 sen2t ; la solución par!cular es
x p t
"a solución es#a dado por$ x+t . xh x p c1 cos 2t c2 sen2t t %l valor de y es#a dado por$ y +t .
1 2
?6
dx
6 > c1 sen2t c2 cos 2t dt 2
1
2. Resolver dx dt dy dt
x 2 y
+1.
x 6 y
+2.
Solución 1 dx y ? x > entonces 2 dt 1 dx
1 d 2 x 2
2 dt 2 dt 2
d x
x 2
6 dx 2 dt
dx 6 dx ? x > x ? x > dt 2 dt 2 dt
1 d 2 x 2
2 dt
5 dx
@
x 9
2 dt 2
dx
@ x 9 dt dt "a solución es#& dado por$ 2
5
@
d 1
x +t . e 2t +c1 cos t c 2 sent .
5
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Derivando '(#) para luego calcular y(#)
x+t . e +c1 cos t c2 sent . xA+t . 2e +c1 cos t c2 sent . e +c1 sent c2 cos t . 2 t
2 t
2 t
ara calcular y(#) reemplazamos la derivada an#erior en la ecuación diferencial siguien#e$ 1 dx e 2 t e 2t 2 t y ? x > +c1 cos t c 2 sent . e +c1 cos t c 2 sent . + c1 sent c2 cos t . 2 dt 2 2 c c c c 2t 2t y +t . e ?+ 1 2 . cos t + 2 1 . sent .> e ? A cos t Bsent > 2 2 2 2 . Resolver. dx dt dy dt
6 x y
+1.
; '(*) + y(*) +1 +2.
x y
Sol"cin7 dx dt
dx
6 x y y 6 x
+6.
dt
Reempla-ando +6. en +2. #enemos dy dt
x y
2
d x 2
dt
5
dx dt
d dt
+6 x
dx
. x y dt
6
dx dt
2
d x 2
dt
x 6 x
dx dt
5 x 9
La sol"cin es#a dada por x+t . c1 e
2t
c 2 te 2t
+5.
Considerando las condiciones iniciales #enemos x+9. c1e 2 + 9. c 2 +9.e 2 + 9 . 1 c1 1
Deri!ando +5. * reempla-ando +6. ob#enemos *+#.7 xA+t . 2c1 e
2 t
ce
2
2 t
2c 2 te
2 t
+@.
Reempla-ando +@. en +6. #enemos y 6+c1e 2t c 2 te 2t . + 2c1e 2t c 2 e 2t 2c 2 te 2t . c1e 2t c 2 e 2t +t 1. Considerando las condiciones iniciales #enemos y +9. c1 c2 1
c 2 2
Finalmen#e #enemos ("e x +t . e 2 t 2te 2 t y +t . e 2 t 2e 2 t +t 1. e 2 t + 2t 1.
,. Resolver
@
UNIVERSIDAD NACIONAL JOSE FAUSTINO SANCHES CARRION 1 1 6 6 x y 6t 2 t dt 2 2 2 dy 2 y 2t 1 dt -. jjj /. jjj dx
+1. +2.
271 =BTODO =ATRICIAL :ARA SISTE=A DE :RI=ER ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES Consideremos el si/"ien#e sis#ema de ec"aciones di0erenciales dx1 dt dx2 dt 77 dxn dt
a11 x1 a12 x2 777 a1n xn a21 x1 a22 x2 777 a2n xn 7
7
7
7
+1.
an1 x1 an 2 x2 777 ann xn
La sol"cin de es#e sis#ema de ec"aciones es de la 0orma8 x1 1e rt 4
x 2 2 e rt 47774 x n n e rt i
Donde 4 i 1$2$6$5$$n son cons#an#es dx1
x1 1ert rt
x2 2 e x6 2ert 7
dt dx2 dt dx6 dt
7
xn n ert
1rert 2 re
rt
6 rert 7
dxn dt
7
+2.
n rert
Reempla-ando +2. 6n +1. se #iene 1re rt a11 1e rt a12 2 e rt 777 a1n n e rt 2 re rt a 21 1e rt a 22 2 e rt 777 a 2n n e rt 7
7
7
7
7
7
7
n re rt a n1 1e rt a n 2 2 e rt 777 a nn n e rt
Simpli0icando se ob#iene
UNIVERSIDAD NACIONAL JOSE FAUSTINO SANCHES CARRION 1r a11 1 a12 2 777 a1n n 2 r a 21 1 a 22 2 777 a 2 n n
7
7
7
7
7
7
7
n r a n1 1 a n 2 2 777 a nn n
Ordenando #;rminos se #iene +a11 r . 1 a12 2 777 a1n n 9 a21 1 +a22 r . 2 777 a2n n 9 7
7
7
7
7
7
+6.
an1 1 an2 2 777 +ann r . n 9
+6. es "n sis#ema de ec"aciones %omo/;neas * #iene sol"cin no n"la si * solo si
+a11 r . a
a
12
7 1
n
777
a
1n
+a21 r . 7 7 7a2
21
7
a
7 a
n
2
n
7
9
7 +a r . nn
De#erminando el polinomio carac#er's#ico p+r. 9$ se calc"la los !alores propios del sis#ema * cada !alor de r de#ermina i7 E,emplos7 dx
1. Resolver$
dt dy dt dy dt
ax by cz a1 x b1 y c1 z a2 x b2 y c2 z r#
r#
"as soluciones son '+0 e ; y + u e
;
2. . f
SOLUCI"N DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES #OR EL M$TODO DE LA#LACE Consideremos el sigien!e sis!em" de e#"#iones di$eren#i"les% dx a11 x a12 y f +t . dt dy a21 x a22 y g +t . dt
91
G
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Con #ondi#iones ini#i"les &'() *& ( + ,'() *,( - donde &- , son l"s $n#iones in#gni!"s- " //+ "/0+ "0/+ "00 son #ons!"n!es , $'!)- g'!) son $n#iones #ono#id"s !om"ndo l" !r"ns$orm"d" de l"1l"#e " "m2"s e#"#iones di$eren#i"les del sis!em" '/). dx L a11 x a12 y f +t . dt dy L L a 21 x a 22 y g +t . dt L
Medi"n!e l"s 1ro1ied"des de l" !r"ns$orm"d" se !iene% sL x x+9. a11 L x a12 L y L f +t . sL y y +9. a21 L x a22 L y L g +t .
Agr1"ndo !3rminos se !iene%
s a11 L x a12 L y x+9. L f +t . a21 L x s a22 L y y +9. L g +t . Si
x9 , L f +t .
+92.
no son y9 "m2os L g +t . #ero- en!on#es se 1ede resol4er el sis!em"
'0)- medi"n!e l" regl" de CRAMER- es de#ir%
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x L9 f ? +t.> a12 y L9 f ? +t.> as 2 x L+ 9 f ? +.>+ ast 2 . ya 12 L 9 f ? +t.> L x? > as 1 a12 + .+ asas .a 1 2 21 12 a as
21 2 x +t . L ? 1
+ x9 L? f +t .>.+ s a22 . a12 y9 L? f +t .> + s a11 .+ s a 22 . a21a12
>
xa L f? +t.>
12 9
yas L f? +t.> ya L f? +t x> L+. f? + .>+ ast .
2 y9 L s a y L g +t . a x L f +t . 12 9 9 2 s a s a a a 1 12 1 2 21 12 1
L y? >
11
9
21
11
22
9
12 21
as a + .+ asas . a
a as
21 2
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5or lo !"n!o es e4iden!e 6e l" !r"ns$orm"d" de L"1l"#e- nos 1ermi!e #on4er!ir n sis!em" de e#"#iones di$eren#i"les #on #ondi#iones ini#i"les d"d"s en n sis!em" de e#"#iones siml!7ne"s. Es!e m3!odo 1ede gener"li8"rse " sis!em"s de 9n: e#"#iones di$eren#i"les de 1rimer orden- de #oe$i#ien!es #ons!"n!es- d"do en!on#es n sis!em" #orres1ondien!e " 9n: e#"#iones line"les siml!"ne"s.
Soucionar os si%uientes sistemas de ecuaciones: d 2 x+t . dy +t . 2 x+t . 2t @ 2 dt dt dx+t . dy +t . x +t . y +t . 2t 1 dt dt
Souci&n. A!icando a transformada de La!ace tenemos: d 2 x +t . dy +t . 2 x + t . > ?2t @> ? dt 2 dt dx+t . dy +t . ? x +t . y +t .> ?2t 1> dt dt d 2 x+t . dy +t . > ? 2 x + t .> ? > ?2t @> ? dt 2 dt dx+t . dy +t . > ? x +t .> ? > ? y +t .> ?2t 1> ? dt dt
s 2 ? x +t .> s x +9. x J +9. 2? x +t .> s? x +t . y +9.> s? x +t .> x +9. ? x +t .> s? y +t .> y +9. ? y +t .>
+ s 2.? x+t .> s? y +t .> 2
2 s
2
6 s 6
+ s 1.? x+t .> + s 1.? y +t .>
s 2
s
2
1 s
s 2 2 s 2
@ s 1 s
6 s 6 s @ s 2 6
@
2
2
s
2
2 s s
2
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A!icando a re%a de Cramer tenemos 6 2 6 s 6 s @ s 2 2
s
2
s 1
s 2 s s
? x +t .>
2 s 2
s
s 1
s 1
+
6 2 6 s 6 s @ s 2 2
.+ s 1. +
2 s 2
s s 2 + s 2.+ s 1. + s 1.+ s .
.+ s .
6 s F s G s @ s 2 5
6
2
2 6 2 s + s 2 s s 2.
A!icando a descom!osici&n de fracciones !arciaes tenemos. 6 s 5 F s 6 G s 2 @ s 2 A B C Ds E 2 2 2 s s s 2 s 2 1 s + s 2.+ s 1. 6 s 5 F s 6 G s 2 @ s 2 A B C Ds E 2 2 2 s s s 2 s 2 1 s + s 2.+ s 1.
E'em!os dx +t . dy +t . 2 x+t . y +t . Fe 6t $ x+9. 6 dt dt dx +t . dy +t . 6 x +t . 6 y +t . Fe 6t $ y +9. 9 2 dt dt
Souci&n. A!icando a transformada de a!ace tenemos. L?
dx+t .
L?2
2 x+t .
dt dx+t . dt
dy+t .
6 x+t .
y +t .> L?Fe 6t >
dt dy+t . dt
6 y+t .> ?Fe 6t >
sL? x +t .> x+9. 2 L? x+t .> sL? y +t .> y +9. L? y +t .>
F s 6
2 sL? x+t .> 2 x +9. 6 L? x +t .> sL? y +t .> y +9. 6 L? y +t .>
F s 6
11
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+ s 2. L? x+t .> 6 + s 1. L? y +t .>
F s 6 F
+ s 2. L? x+t .> + s 1. L? y+t .>
6 s 6
s 6 F s 12 +2 s 6. L? x+t .> + s 6. L? y+t .> +2 s 6. L? x+t .> F + s 6. L? y +t .> s 6 s 6
#ara (aar os )aores de *+t, - -+t, a!icamos a re%a de cramer.
s6 6 s 6 sF 12 L x? +t .>
s 6
+ .1
s
+ s6 6. s+ 6. s+ 1.+ sF 12.
s+ .6
s 6
s 6
s+ 2. s+ .1 s+ 2. s+ .6 s+ 1.+ s2 6.
+ s2 6. s+ 6. 2
L x? +t .>
s6 sF 1 A B C
1 2 2
2 2 s s s s s s s s
2
+ .1 + 6. 1 + .1 6 1 + .1 6
x +t . L1?
6 s 2 F s 1 1 2 2 > L1? > e t 2te t 2e 6t 2 2 + s 1. + s 6. s 1 + s 1. s 6
x +t . e t 2te t 2e 6t
12
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s6 6
s+ 2.
+ s2 6.
s 6 sF 12
s 6 L y? +t .> s+ 2. s+ 1.
sI 1@
6
2
A B C
2
s6 1@ s 21 s I s 1 s+ 1. s 6
+ s2 6. s+ 6. A B C
L y? +t .> 2 s 1 s+ 1. s 6 2
L y? +t .>
s6 sF 1 1 1 1
2
2
s+ 1. s+ 6. s 1 s+ 1. s 6 1
y+t . L ?
6 s 2 F s 1
1 1 1 1 > L ? > e t te t e 6t 2 2 + s 1. + s 6. s 1 + s 1. s 6
y+t . e t te t e 6t
A#LICACI"N DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Resortes Aco!ados: S1ong"mos 6e dos m"s"s m , m/ es!7n s;e!"s " dos resor!es A , <- de m"s" insigni$i#"n!e- #,"s #om1onen!es son = / , =0- res1e#!i4"men!e. A s 4e8 dos resor!es es!7n #one#!"d"s #omo se mes!r" en l" $igr"%
A x =0 1
k
1
m
1
B x =0 2
x
1
K
2
16
m
2
x
2
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Se"n &/'!) , &0'!) los des1l"8"mien!os 4er!i#"les de l"s m"s"s #on res1e#!o " ss 1osi#iones de e6ili2rio #"ndo el sis!em" se en#en!r" en mo4imien!o- el resor!e < es!" s;e!o !"n!o " n "l"rg"mien!o #omo " n "#or!"mien!o+ 1or #onsigien!e+ s "l"rg"mien!o ne!o es & 0 > &/. Seg?n l" le, de 0oo1e: F k s
Donde%
F% m"gni!d de l" $er8" del resor!e. S% "l"rg"mien!o del resor!e. @% #ons!"n!e de 1ro1or#ion"lid"d del resor!e. Resl!" 6e los resor!es A , < e;er#en so2re m / l"s $er8"s sigien!es% F 1
k 1 x1
F 2 k 2 x2 x1
Si no se "1li#" ningn" $er8" e&!ern" "l sis!em" , no ", $er8" de "mor!ig"mien!o- en!on#es l" $er8" ne!" so2re m / es% F F 1 F 2
F k 1 x1 k 2 + x2 x1 .
En!on#es 1or l" segnd" le, de neB!on !enemos 6e% F m a 2
k 1 x1 k 2 + x2 x1 . m1
d x1 2
dt
De ig"l modo l" $er8" ne!" e;er#id" so2re l" m"s" m 0 se de2e sol"men!e "l "l"rg"mien!o ne!o de <- es de#ir% F 2 k 2 x2 x1
15
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De es!" m"ner" resl!" 6e%
k 2 x2 x1 m2
d 2 x2 dt 2
En o!r"s 1"l"2r"s- el mo4imien!o del sis!em" "#o1l"do 6ed" des#ri!o 1or el sigien!e sis!em" de e#"#iones di$eren#i"les de segndo orden siml!"ne"s. 2
m1
d x1 dt 2
k 1 x1 k 2 + x2 x1 .
2
m2
d x2 2
dt
k 2 + x2 x1 .
7777777777777777777777777777777777777777777777777 +1.
E2EM#LO: Resol4emos el sis!em" '/) s1oniendo 6e = / * + =0 * + m/ * /+ m0 * /+ , 6e l"s m"s"s 1"r!en de ss 1osi#iones de e6ili2rio #on 4elo#id"des ni!"ri"s de dire##iones o1es!"s.
Souci&n Como l"s m"s"s 1"r!e de s 1osi#in de e6ili2rio en!on#es & / '()* (+ &0 '()* (+ , #omo ss 4elo#id"des son ni!"ri"s , o1es!"s en!on#es & /'()* /+ &0'()* /+ "or" rem1l"8"mos en el sis!em" '/)- !enemos% d 2 x1 dt 2 d 2 x2 dt 2
19 x1 5 x2 9777777777777777777777777+1. 5 x1 5 x2 97777777777777777777777777+2.
Resol4iendo el sis!em" 1or el m3!odo de L"1l"#e- !om"mos l" !r"s$orm"d" de L"1l"#e " #"d" e#"#in% d 2 x1 L 19 x 5 x 1 2 9777777777777777777777777+6. 2 dt d 2 x2 L 5 x 5 x 1 2 97777777777777777777777777+5. 2 dt s 2 L x1 sx1 +9. x1 J +9. 19 L x1 5 L x2 9777777777777777777777777+6. s L x2 sx2 +9. x2 J +9. 5 L x1 5 L x2 9777777777777777777777777+5. 2
1@
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Tomando +3,: s 2 L x1 sx1 +9. x1 J +9. 19 L x1 5 L x2 9777777777777777777777777+6. s 2 L x2 sx2 +9. x2 J +9. 5 L x1 5 L x2 9777777777777777777777777+5.
s s
2 2
19 L x 5 L x 17777777777 7777777777 7777777777 77+@. 19 L x1 5 L x2 sx1 +9. x1 J +9. 1
Tomando2 +4,:
s
2
19 L x1 5 x2 17777777777 7777+@.
s L x1 sx1 +9. x1 J +9. 19 L x1 5 L x2 9777777777777777777777777+6. 2
s L x2 sx2 +9. x2 J +9. 5 L x1 5 L x2 9777777777777777777777777+5. 2
5 L x1 s 2 5 L x2 sx2 +9. x2 J +9. 5 L x1 s 2 5 L x2 17777777777 7777777777 7777777+ F.
Fin"lmen!e #omo se7777+ mes!r"% s 2 el19sis!em" L x1 6ed"r" 5 x2 1 7777777777 @.
s s
19 L x 5 L x 17777777777 7777777777 7777777777 77+@. 5 L x s 5 L x sx +9. x J + 9. 5 L x s 5 L x 17777777777 7777777777 7777777+ F. A1li#"ndo l" regl" de cramer se !iene% s 19 L x 5 x 17777777777 7777+@. 2
19 L x1 5 L x2 sx1 +9. x1 J +9.
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
1
s
2
2
19 L x 17777777777 7777+@. 5 11 5 x2
L x1
1
s
2
5 5
s
19
5
s
2
2
s
s
2
2
2 s 2 12
5
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Com1"r"ndo los #om1onen!es en #"d" miem2ro de l" ig"ld"d se !iene% A * (+ C * (+ < * /H+ D * H 1
UNIVERSIDAD NACIONAL JOSE FAUSTINO SANCHES CARRION
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1 1 F 1 F 1 1 1 1 L x1 2 2 x1 +t . L 2 2 @ s 2 @ s 12 @ s 2 @ s 12 1 1 F 1 1 2 6 x1 +t . L1 2 L 2 sen 2t sen 2 6t @ s 2 @ s 12 19 @
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UNIVERSIDAD NACIONAL JOSE FAUSTINO SANCHES CARRION s 2 F
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Lego l" sol#in del sis!em" ser7% x1 +t . x2 +t .
2 19 2
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Redes E5ctricas: n sis!em" 'red) #on m"s de n #ir#i!o sim1le 'o l"8o) !"m2i3n d" origen " e#"#iones di$eren#i"les siml!"ne"s !"l #omo se mes!r" en l" $igr"% A1
K1
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L" #orrien!e i/'!) se di4ide seg?n l"s dire##iones indi#"d"s en el 1n!o
6IRC0OFF 1odemos es#ri2ir% i1 +t .
i2 +t .
i6 +t .777777777 7777777777 77777777+1.
Adem7s !"m2i3n se 1ede "1li#"r l" segnd" le, de 6IRC0OFF " #"d" #ir#i!o- 1"r" el #"so del #ir#i!o A77/A/A- sm"ndo l"s #"d"s de 4ol!";e " !r"43s de #"d" 1"r!e del #ir#i!o resl!"% E +t . i1 R L1
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777777777777777777777777777+2.
1
UNIVERSIDAD NACIONAL JOSE FAUSTINO SANCHES CARRION
En $orm" simil"r 1"r" el #ir#i!o A7C C/7/ A/A o2!enemos% E +t . i1 R L2
di6 dt
777777777777777777777777777+6.
Aor" reem1l"8"mos '/) en '0) , 'K) se o2!iene dos e#"#iones de 1rimer orden 1"r" l"s #orrien!es i 0'!) e iK'!).
di 2 +i2 i6 . R E +t . dt di L2 6 +i2 i6 . R E +t . dt di L1 2 i2 R i6 R E +t . dt di L2 6 i2 R i6 R E +t . dt L1
+ 5.
E2EM#LO: Con l"s #ondi#iones ini#i"les i 0'() * (+ iK'()* (- resol4er el sis!em" si R * H+ L/* (.(/+ L0* (.(/0H+ E * /((4. En!on#es en el sis!em"')% 1 di2 199 dt 1 di6 H9 dt
@i2 @i6 199
@i2 @i6 199
Resol4iendo el sis!em" 1or el m3!odo de L"1l"#e- en!on#es !om"mos l" !r"s$orm"d" de L"1l"#e " #"d" e#"#in%
1 di2 @i2 @i6 L199 L 199 dt 1 di6
@i2 @i6 L199 H9 dt
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1
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77777777777777777777777+1. 199 s 1 199 7 1 sL i6 i6 + 9. @ Li2 @ L i6 77777777777777777777777+ 2 . H9 s
UNIVERSIDAD NACIONAL JOSE FAUSTINO SANCHES CARRION
Resol4iendo !enemos% 199 7 1 s @ L i2 @ Li6 77777777777777777777777+6. s 199 199 7 1 @ L i2 s @ Li6 77777777777777777777777+ 5. s H9
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1 s @ 199
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dx g 1 +t $ x$ y . dt dy g 2 +t $ x$ y . dt
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