1.7 Aplicaciones Aplicaciones de los vectores en la física f ísica Un ejemplo sencillo de un concepto físico que se representa mediante un vector de desplazamiento. Supong Supongamo amoss que una parte parte de la superf superfici iciee terres terrestre tre,, sufic suficien ientem tement entee pequeñ pequeñaa para para poder poder considerarla plana, introducimos coordenadas de modo que el eje x apunte al eje y apunte al norte y la unidad de longitud sea el kilómetro. Si estamos en un punto y queremos ir a un punto !, el → d = → PQ
vector vector de desplazam desplazamiento iento que une con ! nos dice en qu" sentido y que distancia #emos de recorrer. Si x e y son los componentes componentes de este vector, el desplazamiento de a ! es $ x kilometro al este, y kilómetros al norte%. Ejemplo
Supongamos que dos navegantes que no pueden verse entre sí, pero que pueden comunicarse por radio, quieren determinar la posición relativa de sus &arcos. 'xplicar cómo pueden #acerlo si cada uno de ellos es capaz de determinar su vector de desplazamiento con respecto al mismo far o. Solución
P ) y p( Sean
las posiciones de los &arcos y sean ! la posición del faro. 'l desplazamiento del
d i faro con respecto al &arco i*esimo es el vector
P i que une los puntos
con !. 'l desplazamiento
P ) y p( del segundo &arco con respecto al primero es el vector d que une los puntos
d + d (
=
.+enemos que
d )
, lueg luego. o. 'sto 'sto es desp despla laza zam mient iento o de un &arc &arco o otro otro es la dife difere renc ncia ia entr entree los los desplazamientos desde los &arcos al faro como se muestra en la figura. odemos representar tam&i"n la velocidad de un o&jeto en movimiento mediante un vector. or a#ora, solo consideremos o&jetos o&jetos que se mueven con una velocidad uniforme a lo largo de rectas. Supongamos Supongamos,, por ejemplo, ejemplo, que un &arco cruza cruza un lago navegando navegando a ) km por #ora -km#/ -km#/ en dirección noreste. 0espu"s de una #ora de viaje el desplazamiento es
-) ( ,) ( / ≈ -1, 1, 1, 1/ .
-) ( ,) ( / 'l vector cuyos componentes son se llama vector velocidad del &arco. 'n general si un o&jeto se mueve a lo largo de una recta, su vector de velocidad es el vector de desplazamiento desde su posición en cualquier momento a su posición ) unidad de tiempo m2s tarde. Si aparece una corriente en el lago se mueve #acia al este a ( km# y el &arco continua en su dirección original con el motor a la misma potencia, su desplazamiento despu"s de una #ora tendr2 como componentes
-) ( + (,) ( / .
-) ( + (,) ( / or tanto el nuevo vector velocidad tendr2 como componentes
.3ótese que
-) ( ,) ( / este vector es la suma del vector velocidad original corriente -(,/.
y el vector velocidad de la
Ejemplo
Un p2jaro vuela en línea recta con vector de velocidad )i 4 5j4k -en kilómetros/ supongamos que -x, y/ son sus coordenadas en el suelo y que son sus coordenadas en el suelo y que z es su altura. a/ Si en cierto momento el p2jaro est2 en la posición -), (,6/, cu2l ser2 su situación una #ora m2s tarde7 8 un minuto m2s tarde7 &/ 9uantos segundos tarde en su&ir el ave a ) metros7 Solución
:/ 'l vector de desplazamiento desde -), (,6/ despu"s de una #ora es )i4 5j4k de modo que
-), (, 6/ + -), 5,)/ = -)), <, ;/ la nueva posición es
.0espu"s de un minuto el vector
)
) ) ) -)i + 5 j + k / i + j + k 5 5 ) 5 desplazamiento desde -),(,6/ es
-
)
1 () )<) /=- , , / 5 ) 5 5 ) 5 ,
)
y así la nueva
,
)
posición es -),(,6/4
.
-= t 6.5 =/ 0espu"s de t segundos t segundos
#oras/, el vector desplazamiento desde
-t 6.5/-)i + 5 j + k /> = -t 65/i + -t 5/ j + -t 6.5/k -),(,6/ es
. 'l incremento
-=
t 6.5 en altura es la componente z, esto es
t = 6.5 =
) )
km/
. 'ste ser2 igual a ) m
) t = 65 s
)
cuando
, es decir, cuando
.
?as fuerzas físicas tiene sentido, dirección y tamaño, por lo que pueden representarse mediante vectores. Si varias fuerzas act@an simult2neamente so&re un o&jeto, la fuerza resultante se representa mediante la suma de los vectores de cada una de las fuerzas. Supongamos que dos
i + k + j + k fuerzas act@an so&re un cuerpo. A!u" tercera fuerza B #ay que aplicar para contrarrestar a las otras dos, esto es para conseguir que las fuerzas total es igual a cero7 Solución
-i + k / + - j + k / + F = ?a fuerza B de&er2 escogerse de manera que
, por tanto,
F = −-i + k /- j + k / = −i − j − (k -recordemos que es el vector cero, el vector cuyos componentes son todas cero/.
