UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO DE ANZOÁTEGUI UNIDAD DE ESTUDIOS BÁSICOS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS MATEMATICAS IV
Aplicaciones de las ecaciones di!e"enciales en la in#enie"$a de pe%"&leo
P"o!eso"'
Bac(ille"es'
Oneida Pinto.
Enrique López Alexis Perez
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Ba"celona+ ,lio de -)./
INTRODUCCION
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen las derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva. La enorme importancia de las ecuaciones diferenciales en las matemáticas, y especialmente en sus aplicaciones, se debe principalmente al hecho de que la investigación de muchos problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a la solución de tales ecuaciones. Los cálculos que requiere la construcción de maquinaria elctrica o de dispositivos radiotcnicos, el cálculo de trayectorias de proyectiles, la investigación de la estabilidad de aeronaves en vuelo o del curso de una reacción química, todo ello depende de la solución de ecuaciones diferenciales y en la carrera profesional de ingeniería de sistemas su aplicación es amplia.
Las ecuaciones diferenciales son muy importantes ya que nos permiten relacionar las distintas variables que conforman una ecuación con sus derivadas lo que permite calcular valores y daos estadísticos y de variaciones, indispensable en el modelado matemático. !sí mismo en la ingeniería de petróleo es muy importante ya que la mayoría de sus procesos llevan grandes cálculos donde las variables están relacionas intrincemanetente unas con otras, es decir, dependen una de la otra y es común encontrar relaciones que involucren un gran numero de variables, de allí deriva su utilidad en especial en la simulación de yacimientos.
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en la ingeniería de petróleo
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen las derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva. Las ecuaciones diferenciales son muy interesantes en cuanto a la posibilidad que presentan para indagar sobre diversos planteamientos del área de las ciencias biológicas, sociales, economía y en el ámbito de cualquier ingeniería. ! partir de la formulación matemática de distintas situaciones se describen modelos correspondientes o apro"imados. La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. #e puede llevar a cabo mediante un mtodo específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada. En los sistemas multifásicos:
$n un sistema multifario cada fase se asocia a un material con determinadas propiedades mecánicas, cuando se %iene más de una fase líquida, &estas pueden ser inmiscibles como es el caso del modelo de petróleo negro. Las fases se diferencian una de otra porque las partículas de cada fase se despla'an a distintas velocidades que precisamente es lo que distingue a un sistema multifario. (or lo tanto, en este tipo de sistemas se definen tantas velocidades como fases e"istan. $l modelo del petróleo negro es un sistema trifásico, que simula el flu)o de las fases agua, aceite y gas, a travs de un medio poroso. Los volúmenes de cada fase están bien definidos por los límites entre sus interfaces, al ser estas fases inmiscibles entre sí, a e"cepción de las fases gas y aceite, pero su inmiscibilidad depende de la presión a la que se encuentran. La matri' *roca porosa+ puede considerarse como otra fase ya que tambin ocupa un volumen en el espacio físico, sin embargo es irrelevante dado que es una fase estática, por lo que no se considera en el modelo. De esta forma, el volumen del poro de la matri' será el volumen total -total -poro, $n el caso de un medio saturado, el volumen del poro estará totalmente ocupado por las fracciones de volumen -/, -o y -g, que corresponden al volumen del agua */ater+, aceite *oil+ y gas *gas+ respectivamente. 0onsecuentemente, surge una de las ecuaciones constitutivas asociada a la saturación. #ea la fracción de volumen de cada fase denotada por #1
V α Vporo
#1 /, g, o
$n el caso de un yacimiento saturado por las tres fases se cumple lo siguiente #/ 2 #o 2 #g 3 *4.5+ #e considera tambin, que en la fase agua no e"iste concentración de hidrocarburos al considerar la ba)a solubilidad del aceite y el agua, tampoco e"iste solubilidad entre en agua y el gas. $l intercambio de masa entre el aceite y el gas se integra en el modelo al considerar en la fase6aceite una parte volátil y otra no volátil, este cambio de masa depende de la presión a la que se encuentra el yacimiento7 o bien, su evolución durante la e"tracción del crudo. La presión en la que ocurre este cambio de fases se conoce como punto de burbu)a. $l ob)etivo principal del modelo del petróleo negro es predecir el comportamiento de los fluidos contenidos en un yacimiento petrolero. Lo que implica calcular la distribución espacial y temporal de las variables presión *(1+ y saturación *#1+ en cada fase, así como la fracción de masa de la fase aceite que corresponde al gas disuelto y la porción de masa de aceite no volátil. 8esumiendo, se plantean a continuación las hipótesis básicas del modelo del petróleo negro 3. $"isten tres fases de fluidos en el yacimiento fase6agua */+, fase6aceite *o+ y fase6 gas *g+. 9. La solubilidad de hidrocarburos en la fase agua es despreciable y no es considerada en el modelo. 4. La fase aceite está compuesta por una porción de gas disuelto y otra porción de gas no volátil. :. $"iste intercambio de masa entre la fase6aceite y fase6gas7 es decir, el gas disuelto puede pasar a la fase6gas, e inversamente, el gas de la fase6gas puede disolverse en la fase6aceite. ;. Los procesos de difusión de masa de los fluidos en el yacimiento son despreciables.
Simulación de Yacimientos:
La simulación del comportamiento de un yacimiento petrolero, se refiere a la construcción y operación de un modelo, el cual supone la apariencia real del comportamiento del yacimiento. $l propósito de la simulación, es estimar el desarrollo del campo *$). $l recobro de hidrocarburos+, ba)o una variedad de esquemas de producción.
La heterogeneidad del yacimiento La relación no lineal e"istente entre la presión capilar, la permeabilidad y la saturación. Las propiedades (-% de los fluidos como función de la presión y la temperatura
$stas ecuaciones que describen el flu)o de fluidos en el yacimientos, en general, no pueden ser resueltas analíticamente sino, que se resuelven numricamente mediante el rempla'o de las ecuaciones diferenciales por ecuaciones de diferencias finitas lo cual es un mtodo numrico para resolver las ecuaciones diferenciales planteadas. =ásicamente, lo que se hace es traba)ar con la ecuación de Darcy para flu)o multifásico *petróleo, agua y gas+ en las 4 direcciones *", y,'+, se divide un yacimiento en una malla o retícula y se aplica de tal manera la ecuación de Darcy de la manera dada para cada bloque, claro, esto lo hace un simulador.
Calculo de flujo de fluidos mediante Darcy:
La ley de Darcy es un modelo matemático que describe el flu)o de modelos monofásicos en medios porosos. $n la industria petrolera sirve para determinar el valor de la permeabilidad haciendo pruebas de laboratorio, con ciertas limitaciones. Una versión modificada de ecuación de Darcy *>us?at, 3@:@+, se e"tendió a fin de modelar la velocidad de flu)o en modelos multifasicos. >us?at e"preso la $=> para la declinación del yacimiento de manera diferencial que se muestra a continuación
Donde #oA, pA saturación de petróleo y presión promedio al principio del paso de presión *valores conocidos+. #o, p saturación de petróleo y presión promedio al final de paso de presión. 8s solubilidad del gas a la presión p, #0BC#%=.
=g factor volumtrico de formación, bblCscf. #/i saturación inicial de gas. 0raft *3@@3+ sugirió que los cálculos pueden ser gratamente simplificados al computar y preparar en avan'ada forma gráfica los siguientes trminos dependientes de la presión.
!plicando esta ecuación en los sistemas de simulación y con los datos obtenidos previamente se puede determinar el flu)o monofásico de fluidos a travs de una sección. Modelo Buckley-Leverett
$l modelo de =uc?ley6Leverett es una versión simplificada del modelo planteado por las ecuaciones e/ton68aphson. (lantea un problema de flu)o de dos fases *agua y aceite+ a travs de un medio poroso, el problema consiste en despla'ar el aceite, que en un estado inicial ocupa completamente el volumen de poro, al inyectar agua a una ra'ón de flu)o constante a travs de una sección de la frontera, el aceite despla'ado sale por un po'o de e"tracción o una sección de la frontera hasta que el volumen de poro es reempla'ado por la fase agua. $l modelo consta de dos ecuaciones acopladas7 la ecuación de presión y la ecuación de saturación, derivadas de las ecuaciones *4.45+ y *4.4@+ respectivamente, las incógnitas a resolver en cada paso del tiempo son, la presión *po+ del aceite y saturación *#/+ del agua. *-er ane"o+.
Ejemplos de aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden
Una ecuación diferencial de primer orden es una ecuación de la forma *, +, yE f "y siendo * , + f " y una función de dos variables definida en una región del plano. Una solución de la ecuación diferencial yE f "y *,+ es una función * + y y " derivable en un intervalo F ⊆ G tal que y " f "y" E*+ , *+, * + para todo " ∈ F. 3. ro!lemas de me"clas $n los problemas de me'cla se quiere calcular la cantidad de una sustancia "*t+ que hay en un tanque en cada instante del tiempo t. Usando que la derivada de " con respecto a t e"presa la ra'ón de cambio de la sustancia presente en el tanque se cumple que
dx = velocidad entrada − velocidad salida dt Dada la velocidad a la que un flu)o que contiene entra al tanque y la concentración de la sustancia se cumple que -elocidad de flu)o entrante H concentración velocidad de entrada #uponiendo que la concentración de la sustancia es uniforme para calcular la concentración se divide "*t+ por el volumen que hay en el instante t así -elocidad de flu)o saliente H concentración velocidad de salida $)emplo en una refinería de petróleo, un tanque de almacenamiento contiene 3I.III litros de gasolina que contiene 3II ?ilogramos de un aditivo disuelto en ella. $n preparación para el invierno, se bombea al tanque gasolina que contiene I.I; ?ilogramos de aditivo por litro a una velocidad de :I litros por minuto. La solución bien me'clada se bombea a una velocidad de :; litros por minuto JKu cantidad del aditivo habrá en el tanque si han transcurrido 9I minutos desde que ha comen'ado el proceso de bombeo #abemos que el volumen en litros *de gasolina y aditivo+ del tanque, en cualquier instante " es, !"# $ % &'(''' ")'# * )+#$ %&'(''' * +# . $ntonces
[ velocidad de salida ] =
y ( x ) 9 y ( x ) y [ tasa de salida ] = .45 = V ( x ) 10.000 −5 x 2000 − x
Por otra parte , [ velocidad de llegada ] =[ concentracion ] . [ tasa dellegada ] = 0.05 40=2
La ecuacióndiferencial que modelael procesode mezcla es 9 y ( x ) dy =2− 2000 − x dx
Por otra parte ,observemos
queY ( 0 )
=
100. La solución de esta ecuacióndiferencial es − 28
y ( x ) =0.25 ( 2000− x )−7.8125 . 10
( 2000 − x ) 9
Por tanto , al cabo de 20 minutos , lacantidad deaditivo será y ( 20 )=129.593
9. Un tanque tiene MI m4 de aire, originalmente libres de monó"ido de carbono. #e va llenando con un gas, con un contenido de :.;N de monó"ido de carbono, el cual se introduce con una rapide' de I.II9 m4Cmin y se de)a salir la me'cla con la misma rapide'. $ncontrar Una e"presión para la concentración de monó"ido de carbono en el cuarto cualquier instante.
O la ecuación es
, es decir, ec. Lineal no homognea.
0on solución general
(ara tI, cI entonces , con solución particular.
La concentración de monó"ido de carbono a ba)os niveles, por e)emplo I.III39 puede ser per)udicial para los seres humanos. $ncontrar el tiempo en el cual se alcan'a esta concentración. (ara cI.III39 tenemos De donde t53.33 min. t3 hr 93 min.
CONCLUSIONES
Las ecuaciones diferenciales se pueden resolver de diversas formas lo que brinda al ingeniero alternativas para buscar la solución a problemas de cálculos y reales mediante distintas vías. #on muy utili'adas en la industria petrolera en especial por los ingenieros de yacimientos ya que estos traba)an con sistemas donde es necesario relacionar funciones en trminos de una o varia variables. $s importante destacar que no todas las ecuaciones diferenciales se resuelven de forma analítica sino más bien es necesario computari'ar las ecuaciones y resolverla mediante simuladores, este es el caso específico de simulación de yacimientos o de las ecuaciones diferenciales parciales. #e pueden resolver problemas básicos en el campo con una noción básica de cálculo como las ecuaciones diferenciales, ya que pueden ser necearías para calcular el flu)o de fluidos por cualquier medio y así evitar incidentes operacionales. La mayoría de los modelos matemáticos aplicados a cualquier rama de la matemática conlleva al uso de ecuaciones diferenciales, por su capacidad para determinar con e"actitud variaciones, incrementos o cualquier variable que dependa de otra o su derivada. (odemos decir que las Las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del análisis matemático y modelan innumerables procesos de la vida real. Una ecuación diferencial es una relación, válida en cierto intervalo, entre una variable y sus derivadas sucesivas. #u resolución permite estudiar las características de los sistemas que modelan y una misma ecuación puede describir procesos correspondientes a diversas disciplinas.
Bibliografa
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Anexo