APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA ECONOMIA
OFERTA Y DEMANDA: - La demanda es el número de unidades que desean adquirir los consumidores en un determinado tiempo t, y como sabemos que el precio de un producto varia con el tiempo se puede expresar el precio como
pero la demanda no
solo puede depender del precio en un instante de tiempo sino también de la dirección que creen creen los consumidores consumidores que tomara este este precio es decir decir la tasa de camb cambio io de este este prec precio io o tamb tambié ién n llam llamad ado o la deri deriva vada da de este este tomemos, en resumen la demanda
- llamaremos a
,
puede escribirse como:
la función demanda.
- en caso de la oferta pasa exactamente lo mismo es decir la demanda depe depend nde e tamb tambié ién n de
y pued puede e depe depend nder er tamb tambié ién n de
; y pued puede e
escribirse como:
- llamaremos a
la función oferta.
- pero hay una forma de poder relacionar las ecuaciones de la oferta y de la demanda, para eso se definirá:
- PRINCIPIO ECONÓMICO DE LA OFERTA Y DEMANDA: - es precio de un bien en cualquier instante de tiempo t está determinado por la condición de que la oferta en un instante de tiempo t sea igual a la demanda, usando lo anteriormente definido se tiene que:
- la ecuación es una ecuación diferencial de primer orden, ahora corresponde ver la forma que deben tomar ambas funciones, para este caso tomaremos las más sencillas que son:
- ahora conociendo ya las funciones ecuación diferencial:
y
las reemplazamos reemplazamos y resolvemos la
-Asumamos además que:
,
,
en ese caso se puede
escribir la ecuación diferencial como:
-Resolviendo:
- Cuando t=0,
, aplicamos esa condición inicial en la ecuación
diferencial:
- Ahora finalmente la ecuación diferencial queda de la forma:
- De esto se pueden sacar 3 posibles casos:
1.-Caso 1: -
en este caso nos damos cuenta que al reemplazar en la ecuación
diferencial nos da que
y por tanto
, esto se interpreta
como que el precio es constante en cualquier instante de tiempo t.
2.-Caso 2: -
en ese caso vemos que si aplicamos un límite al precio
un t que crece, tiende a el límite
, con
. En este caso hay una estabilidad de precios, y
se denomina precio de equilibrio.
3.-Caso 3: -
en este caso vemos que el precio
asumimos que
crece conforme crece t y si
tenemos una inflación continuada o inestabilidad de
el precio, que puede continuar hasta que los factores económicos cambien, lo que puede resultar en un cambio de
.
Ejemplo aplicativo 1: - la demanda y la oferta de un cierto bien están dadas en miles de unidades por y
, respectivamente. Si en
t=0 el precio del bien es de 10 unidades, encuentre: A.- el precio para cualquier tiempo t>0 B.- si hay estabilidad o inestabilidad de precio.
Solución: PARTE A: - Aplicando el principio económico de la oferta y demanda:
- Solucionando:
- Aplicando la condición inicial:
- finalmente la ecuación queda de la siguiente forma, que es el precio en cualquier tiempo t:
PARTE B: - Recordando lo que se vio anteriormente, nos damos cuenta que si entonces había una estabilidad en los precios, y como precios si son estables, y cuando aplicamos el límite cuando t
entonces los ese es el
precio de equilibrio en ese caso el precio de equilibrio es 6. - en la grafica se puede apreciar mejor este punto:
INVENTARIOS: - El anterior análisis sirve cuando ya te dan ofertas y demandas iguales, pero que pasa si la oferta no es igual a la demanda, sino que una es mayor a la otra, y la oferta cambia para satisfacer a la demanda o viceversa, tomemos como ejemplo que la oferta es mayor que la demanda, entonces los productores
tienen una cierta cantidad de bien en su posesión la cual se denomina el inventario del bien, pero si la demanda es mayor que la oferta entonces se dice que los productores deben adquirir inventario. - matemáticamente esto se puede expresar como un la cantidad acumulada en el intervalo de tiempo entre es igual a
,y y
es
y esto
.
- Entonces sumando esto más mis conceptos de demanda y oferta anteriormente explicados, se puede deducir que la cantidad acumulada en un intervalo de tiempo entre
y
esta dado por:
- De donde:
- tomando que el límite cuando
se tiene:
- supongamos ahora que el productor desea proteger sus utilidades al requerir que la tasa a la cual incrementara el precio sea proporcional a la tasa a la cual declina el inventario. el inventario, en este caso:
- Donde
es la constante de proporcionalidad, y uniendo esto con la ecuación
anterior se obtiene:
- Y como S y D pueden expresarse en términos de p, la anterior ecuación se convierte en una ecuación diferencial, en el siguiente ejemplo se aplica este punto.
Ejemplo aplicativo 2: - Suponga que la oferta y la demanda están en dadas en términos de precios p, por:
y
, la constante de proporcionalidad es
determine el precio en cualquier instante de tiempo t>0 si cuando t=0, p=8.
,
Solución: - la ecuación diferencial se expresara de la forma:
- Solucionando:
- Aplicando la condición inicial:
- finalmente la ecuación queda de la siguiente forma, que es el precio en cualquier tiempo t:
- La grafica de la función es la siguiente:
- observación: nótese que según lo estudiado al principio el precio es estable y el precio de equilibrio es 12, que es el mismo que se obtiene al igualar las ecuaciones de la oferta y la demanda.
EJERCICIOS 1.- la oferta y la demanda de un bien están dadas en miles de unidades, respectivamente, por
y
en
t=0 el precio del bien es 5 unidades. Encuentre: A.- encontrar el precio en cualquier tiempo superior B.- Determine si hay estabilidad en el precio y el precio de equilibrio si existiese.
Solución: PARTE A: - Aplicando el principio económico de la oferta y demanda:
- Solucionando:
- Aplicando la condición inicial:
- finalmente la ecuación queda de la siguiente forma, que es el precio en cualquier tiempo t:
PARTE B: - Recordando lo que se vio anteriormente, nos damos cuenta que si entonces había una estabilidad en los precios, y como precios si son estables, y cuando aplicamos el límite cuando t
entonces los ese es el
precio de equilibrio en ese caso el precio de equilibrio es 20.
2.- la oferta y la demanda de un bien están dadas en miles de unidades, respectivamente por
y
, en
t=0 el precio del bien es de 20 unidades, encuentre: A.- encontrar el precio en cualquier tiempo superior B.- Determine si hay estabilidad en el precio y el precio de equilibrio si existiese.
Solución: PARTE A: - Aplicando el principio económico de la oferta y demanda:
- Solucionando:
- Aplicando la condición inicial:
- finalmente la ecuación queda de la siguiente forma, que es el precio en cualquier tiempo t:
PARTE B: - Recordando lo que se vio anteriormente, nos damos cuenta que si entonces había una estabilidad en los precios, y como precios si son estables, y cuando aplicamos el límite cuando t
entonces los ese es el
precio de equilibrio en ese caso el precio de equilibrio es 15.
3.- La oferta y la demanda, de un cierto producto están dadas en miles de unidades
por
y , respectivamente. En t=0 el precio del bien es 12
unidades, encuentre: A.- el precio en cualquier tiempo posterior. B.- Determine si hay estabilidad en el precio y el precio de equilibrio si existiese.
Solución: PARTE A: - Aplicando el principio económico de la oferta y demanda:
- Solucionando:
- Aplicando la condición inicial:
- finalmente la ecuación queda de la siguiente forma, que es el precio en cualquier tiempo t:
PARTE B: - Recordando lo que se vio anteriormente, nos damos cuenta que si entonces había una estabilidad en los precios, y como precios si son estables, y cuando aplicamos el límite cuando t
entonces los ese es el
precio de equilibrio en ese caso el precio de equilibrio es 16.
4.- la demanda y la oferta de un bien están determinadas en miles de unidades respectivamente
por
y en t=0, el precio del bien es de 25
unidades. A.- Encuentre el precio en cualquier tiempo. B.- Discuta las implicaciones económicas.
Solución: PARTE A: - Aplicando el principio económico de la oferta y demanda:
- Solucionando:
- Aplicando la condición inicial:
- finalmente la ecuación queda de la siguiente forma, que es el precio en cualquier tiempo t:
PARTE B: - para poder hacer un análisis económico, deberemos primero ver si los precios son estables para eso necesitamos saber si es que que
o no, sabemos
y que este valor puede ser positivo o negativo, según el
tiempo que se tome, lo que nos dice que según algunos intervalos de tiempo, el precio será estable, pero en algunos otros intervalos será un precio inestable.
5.-Para proteger sus ganancias, un productor decide que la taza a la cual incrementan sus precios, debe ser numéricamente igual a tres veces la taza a la cual decrece su inventario. Asumiendo que la oferta y La demanda están dadas, en función del precio, por
,
cuando el tiempo es t=0, encuentre el precio en cualquier tiempo t.
Solución: - Por lo visto, cuando se desarrollo la teoría de los inventarios:
- Donde
es igual a 3:
- Ahora el trabajo consiste en desarrollar la ecuación diferencial:
- Aplicando la condición inicial:
- El precio en cualquier instante de tiempo queda de la forma:
y que p=20
6.- suponga que un productor para proteger sus utilidades, decide que la taza a la cual aumentan sus precios debe ser numéricamente igual a un cuarto de la taza a la cual su inventario decrece además se sabe que la oferta y la demanda, están determinadas en función del precio por: y el precio en cualquier instante, si cuando el tiempo es 0 unidades.
, determine el precio es 12
Solución: - Por lo visto, cuando se desarrollo la teoría de los inventarios:
- Donde
es igual a 3:
- Ahora el trabajo consiste en desarrollar la ecuación diferencial:
- Aplicando la condición inicial:
- El precio en cualquier instante de tiempo queda de la forma:
Bibliografía: - R. SPIEGEL MURRAY. ECUACIONES DIFERENCIALES, APLICADAS. ED. PRENTICE HALL
