Aplicaciones de Las Ecuaciones Diferenciales a La Química

APLICACIONES APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

APLICACIÓN DE LA E.D. EN LA QUÍMICA (LEY DE CRECIMIENTO O DECAIMIENTO Y REACCIONES QUIMICAS) La rapidez de descomposición de una sustancia radiactiva en un tiempo particular t es proporcional a la cantidad presente en ese tiempo. La rapidez de crecimiento del número de bacterias en una solución es proporcional al número de bacterias presente. Si S representa la masa de una sustancia radiactiva presente en el tiempo t, o el número de bacterias presente en una solución en el tiempo t, entonces la Ley de descomposición y de crecimiento,

 =  para la descomposición y  = , para el   crecimiento en donde k es un factor de proporcionalidad.  =  las variables s y t son separables. Luego :  = , Como   integrando ln (s) = kt + c => S = A  que es la solución general. Si S

esta expresado por

0

representa a la cantidad inicial es decir, S = S 0, cuando la t = 0, S 0 = A.

En las Reacciones Químicas Partiendo de dos sustancias A y B se desea obtener un compuesto C. La ley de conversión para estas sustancias es: la rapidez de transformación de la cantidad x del compuesto C es proporcional al producto de las cantidades no transformadas de las sustancias A y B. Tomando medidas unitarias suponemos que una unidad de A y una unidad de B producen una unidad de C . 1. Demostraremos que la ley de conversión en t = 0 viene dada por la ecuación diferencial:

 =     Solución Si al principio hay m unidades de A, n unidades de B y cero unidades de C,

 unidades de +      A y unidades de B; por lo tanto, queda sin combinar: 0  + +  unidades A y 0  +  unidades de B y la ecuación es: entonces, las x unidades de C en un tiempo t constan de:

  = 0   0           0 0 =       2  0  0   =     2  0 1    0 1   =     =      = 0+  = 0+ +  

De donde sabemos, k =

 ,

,

2. Si en t = 0 hay m unidades de la sustancia A, n unidades de la B y ninguna del compuesto C, hallar la solución para x.

 =   Caso 1. a = b

  = =>  = − −   =  Para t=0 y x=0 =>  =  =>  −      unidades de c. Despejamos x:  = + Caso 2.  ≠   = − − Por fracciones parciales:

1 =     = 1  1           Integrando:

1 1    ln  ln = 1    ln ln= ) =  ln(    ln() = ;=  ) =ln ln(    ln( )ln() =   =  −   − 1  = −  ,   > 

Si t=0 y x=0

Entonces:

Problema Nº 02  – Eduardo Espinoza Ramos

El radiactivo tiene una vida promedio de 5600 años aproximadamente. ¿En cuántos años desciende el 20% de su cantidad original? ¿Al 10%? Solución

Sea A(t) la cantidad de sustancias en un tiempo t. La descomposición estará según:

 =  

Resolviendo

    ∫   =∫=>ln( 0) ==>=0 Si A=0.5A0 en t=5600años  A0 (1-0.5) =

 05600

 => 5600k= ln(0.5) => k=-1.238x10 -4

Si A=0.2A0  A0 (0.2) =

 0

 => kt= ln(0.2) pero si sabemos que k=-1.238x10 -4

=> -1.238x10-4 t= ln(0.2) => t=13002.8 años

Si A=0.1A0  A0 (0.1) =

 0

 => kt= ln(0.1) pero si sabemos que k=-1.238x10 -4

=> -1.238x10-4 t= ln(0.1) => t=18599.23 años