INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 6.1 DEFINICIONES (ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL, ORDEN Y LINEALIDAD). Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una función desconocida de una o más variables y sus derivadas parciales respecto a estas variables. El orden de una ecuación diferencial parcial es el de la derivada de mayor orden que aparezca en dicha ecuación. Ejemplo: Es una ecuación diferencial parcial de orden 2, o una ecuación diferencial de segundo orden. Una solución de una ecuación diferencial parcial es cualquier función que verifica idénticamente la ecuación. La solución general particular es una solución que se puede obtener de la solución general cuando se hace una selección particular de las funciones arbitrarías. La siguiente ecuación es una solución de la ecuación diferencial parcial del ejemplo anterior. Puesto que contiene dos funciones independientes arbitrarias y, es la solución general. Solución particular: Si: ; Obtenemos la solución particular: Una solución singular es una solución que no se puede obtener de la solución general mediante alguna selección de las funciones arbitrarias. Un problema de valor de contorno que contiene una ecuación diferencial parcial busca todas las soluciones de una ecuación diferencial parcial que verifican las condiciones llamadas condiciones de entorno. Los teoremas que se refieren a la existencia y unicidad de tales soluciones se llaman teoremas de existencia y unicidad.
6.2 FORMA GENERAL DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL DE SEGUNDO ORDEN. La ecuación diferencial parcial lineal general de orden dos en dos variables independientes toma la forma: (1)Donde A, B…, G pueden depender de x y y pero no de u. Una ecuación de segundo orden con dos variables independientes x y y que no tiene la forma anterior se llaman no lineal. Si, la ecuación es homogénea, mientras que si, entonces es no homogénea. Fácilmente se puede hacer las generalizaciones a ecuaciones de orden superior. Por razón de la naturaleza de las soluciones de (1), la ecuación se clasifica frecuentemente como elíptica, hiperbólica o parabólica según que sea menor, mayor o igual que cero respectivamente.
6.3 CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN (ELÍPTICAS, PARABÓLICAS E HIPERBÓLICAS). Es hiperbólica, parabólica o elíptica si el término: Es positivo, cero o negativo, respectivamente. Sin embargo, esta definición puede ser confusa en algunas ocasiones. Otra forma de identificar las ecuaciones diferenciales, aunque no es formal pero si práctica, es observando el orden de las derivadas con respecto al tiempo. Cuando no se tienen derivadas cruzadas, las ecuaciones con segunda derivada con respecto al tiempo son usualmente hiperbólicas, las que tiene primera derivada con respecto al tiempo son parabólicas y las que no tienen derivada con respecto al tiempo son elípticas. Cada una de las categorías de ecuaciones diferenciales parciales gobierna una clase específica de problemas en ingeniería. Comúnmente las ecuaciones elípticas se usan para caracterizar sistemas en estado estable, tal como en la ecuación (6.15). Por lo general este tipo de ecuaciones se emplean para determinar la distribución en estado estable de una incógnita en dos dimensiones. En contraste con las ecuaciones elípticas, las ecuaciones parabólicas determinan como una incógnita varía tanto en espacio como en tiempo. Esto se manifiesta por la presencia de la derivada espacial y temporal como en las ecuaciones (6.13) y (6.14). Tales casos se conocen como problemas de propagación, ya que la solución se propaga con el tiempo. Un ejemplo de esto es el problema de transferencia de calor en estado transitorio de una barra delgada, en la cual la solución consiste en una serie de distribuciones espaciales que corresponden al estado de la barra en diferentes momentos. Las ecuaciones hiperbólicas, también tratan con problemas de propagación. Sin embargo, una importante distinción manifestada por las ecuaciones (6.4) y (6.7) es la presencia de la segunda derivada con respecto al tiempo. En consecuencia, la solución oscila. Esta diferencia de orden en la derivada temporal entre las ecuaciones parabólicas e hiperbólicas, también se manifiesta en la forma que se propaga la solución. Por ejemplo, para los problemas definidos por ecuaciones hiperbólicas, en los cuales se produce una perturbación en el contorno, esta perturbación viaja al interior del cuerpo pero existe un intervalo de tiempo antes de que los puntos internos perciban esa perturbación. Por el contrario, en los problemas con ecuaciones diferenciales parabólicas, los puntos en interior perciben inmediatamente la perturbación en la frontera, pero el efecto se intensifica con el tiempo. Las Ecuaciones Diferenciales Parciales de segundo orden se clasifican habitualmente dentro de cuatro tipos de EDP que son de interés fundamental, a continuación se dan ejemplos de estos cuatro tipos: Ecuación Nombre Tipo
Laplace
Elíptica
Onda Hiperbólica Difusión
Parabólica
Helmholtz
Elíptica
Las E.D parciales implican una serie de formas normales como: Donde designa los términos de orden inferior al efectuarse cambio de coordenadas (2) a (1) para obtener (3) Elípticas: Hiperbólicas: Parabólicas: Con mayor generalidad, si se tiene una ecuación de segundo orden del tipo: • Se dice que es elíptica si la matriz tiene un determinante mayor a 0. • Se dice que es parabólica si la matriz tiene un determinante igual a 0. • Se dice que es hiperbólica si la matriz tiene un determinante menor a 0.
6.4 MÉTODO DE SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (DIRECTOS, SEPARABLES CON LAS ORDINARIAS, SEPARACIÓN DE VARIABLES). Hay muchos métodos para resolver problemas de valor de contorno que comprenden ecuaciones diferenciales parciales lineales. Entre los más importante se encuentran lo siguientes. Soluciones generales. En este método se busca primero la solución general y, después, la solución particular que verifica las condiciones de contorno. Teorema de principio de superposición. Si son soluciones de una ecuación diferencial parcial homogénea lineal, entonces donde son constantes, es también solución. Teorema. La solución general de una ecuación diferencial parcial homogénea lineal se obtiene mediante la adición de una solución particular de la ecuación no homogénea a la solución genera de la ecuación homogénea. Si son constantes en la ecuación: ; entonces la solución general dela ecuación homogénea se puede encontrar si suponemos que donde y son constantes que deben determinarse.
Separación de variables. En este método se supone que una solución se puede expresar como un producto de funciones desconocidas, cada una de las cuales depende de solo una de las variables independientes. El éxito del método estriba en la posibilidad de escribir la ecuación la ecuación resultante de modo que uno de
sus miembros dependa solamente de una variable mientras que el otro miembro dependa de las demás variables, de tal manera que cada miembro sea una constante. Repitiendo el proceso se determinan las funciones desconocidas. La superposición de estas soluciones se puede utilizar para encontrar la solución verdadera. Métodos de Laplace. En este método se obtiene primero la transformada de Laplace de la ecuación diferencial parcial y las condiciones de contorno, con respecto a una de las variables independientes. Después resolvemos la ecuación resultante para la transformada de Laplace de la solución requerida que, entonces, se puede encontrar mediante la transformada inversa de Laplace. Aplicando la definición de la transformada de Laplace se obtiene: Debido a que la integración se está realizando con respecto a la variable t, la derivada con respecto a la posición se puede sacar de la integral de la siguiente manera: Debido a que la variable t desaparece cuando se aplica la transformada de Laplace, la derivada parcial con respecto a x se convierte en una derivada ordinaria, es decir: La transformada de Laplace a una derivada parcial con respecto al tiempo da como resultado. Si se aplica integración por partes se obtiene: La cual es muy similar a la transformada de Laplace de una derivada ordinaria. Mediante la aplicación de la transformada de Laplace a una ecuación diferencial parcial se obtiene una ecuación diferencial ordinaria de la función transformada. La solución de esta ecuación diferencial da como resultado el la función transformada, en la cual Existirán algunas constantes dependiendo el orden de las derivadas. Para encontrar el valor de estas derivadas es necesario utilizar las condiciones de borde. Pero estas condiciones deben estar en términos de la función transformada, por tanto se le aplica transformada a las condiciones de borde. Ejemplo: Una cuerda semi-infinita se encuentra inicialmente en reposo coincidiendo con el semieje positivo x. En el instante t = 0, el extremo izquierdo de la cuerda comienza a moverse a lo largo del eje y de una manera descrita por la ecuación Donde f (t) es una función conocida. Halle el desplazamiento de un punto cualesquiera en un instante determinado. Solución: La ecuación para el movimiento de una cuerda en la dirección vertical está dada por la ecuación (6.4), Las condiciones de contorno son: y como condiciones iníciales se tiene que y . Aplicando transformada de Laplace a la ecuación diferencial se tiene que:
Aplicando el equivalente a las ecuaciones (6.46) y (6.48) se obtiene: Las condiciones iníciales hacen que la ecuación anterior se transforme en: La solución de esta ecuación diferencial es: La condición de que y debe ser acotada cuando x tiende al infinito hace que A=0. Mediante la transformada de la segundo condición de borde se obtiene: Al aplicar la condición de borde se obtiene que: Por lo tanto la función transformada es: La transformada inversa de esta función es.
6.5 APLICACIONES. Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todos los ramos de la ingeniería para el modelamiento de fenómenos físicos. En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es: Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo grado debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo. La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden: Donde t es el tiempo y x es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda. 1. Ecuación dela conducción del calor. Aquí es la temperatura de un sólido que está situado en el punto en el instante. La constante, llamada difusivilidad, es igual a una donde la conductividad térmica K, el calor específica la densidad (masa por se toma como constantes. Unidad de volumen) En caso de que no dependa de y la ecuación se reduce a que es la llamada ecuación de la condición de calor unidimensional. 2. Ecuación de una cuerda vibrante. Esta ecuación es aplicable a las pequeñas vibraciones transversales de una cuerda flexible y tensa como la cuerda de u violín, que inicialmente se ha colocado sobre el eje y se ha hecho vibrar. La función es la elongación de un punto cualquiera de la cuerda en el instante. La constante, donde s la tensión (Cte.) de la cuerda y es la masa (cte) de la cuerda por unidad de longitud. Se supone que no hay fuerzas externas que actúan sobre la cuerda y que esta vibra únicamente a causa de su elasticidad.
La ecuación se puede generalizar fácilmente a más dimensiones. Ejemplo al estudio de las vibraciones de una membrana o de un tambor. En dos dimensiones, por ejemplo la ecuación es
3. Ecuación de Laplace Esta ecuación ocurre muy diversas ocasiones. En la teoría de la conducción del calor, por ejemplo, es la temperatura del estado estable, esto es, la temperatura después que ha pasado largo tiempo, y equivale a colocar en la ecuación de la conducción del calor. En la teoría de la gravitación o de la electricidad, representa, respectivamente, el potencial gravitacional o el potencial eléctrico. Por esta razón, la ecuación se suele llamar ecuación de potencial.
4. Vibraciones longitudinales de una viga. Esta ecuación describe el movimiento de una viga que puede vibrar longitudinalmente (en dirección de) la variable es la elongación longitudinal con respecto al a posición de equilibrio de la sección transversal en. La constante, donde es la aceleración debida a la gravedad, es el módulo de elasticidad (esfuerzo debido por deformación) y depende de las propiedades de la viga, y es la densidad.
5. Vibraciones transversales de una viga. Esta ecuación describe el movimiento de una viga, que está vibrando transversalmente (perpendicularmente el eje x). En este caso es la elongación transversal de un punto cualquiera en un instante cualquiera .La constante , donde es el módulo de elasticidad, es el momento de inercia de cualquier sección transversal respecto al eje , es la aceleración debida a la gravedad y es la masa por unidad de longitud. En caso de que se aplique una fuerza transversal externa, el miembro de la derecha de la ecuación se reemplaza por.
DEFINICIONES ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL Diferenciales Parciales
Una cantidad física puede ser expresada por una función de dos o más variables. Si queremos saber el comportamiento de tal función sin conocerla, (pero teniendo algunos otros datos), tenemos que plantearnos una ecuación tal que ésta esté en función de sus derivadas parciales. Existen distintos fenómenos que pueden ser descritos por una misma ecuación.
En general:
DEFINICION: Una Ecuación en Derivadas Parciales (EDP) es una relación de la forma:
F (x, t, u, ux1… uxn−1, ut,…, Dαu) = 0
Dónde: u = u(x, t) es una función de la variable independiente
x = (x1,…, xn−1) ∈ Rn−1 y de la variable temporal t ∈ R, además de ser la incógnita; y α = (α1,…, αn) es un multiíndice perteneciente a Zn + ⊂ Rn,
De tal forma que Dαu denota una derivada parcial iterada de u de orden |α| = α1 + α2 +… + αn, en la que derivamos α1 veces con respecto a la variable t y αj veces en cada una de las variables xj.
Observemos que |α| es el orden de la derivada Dαu. Por definición si α = (0, 0,…, 0) entonces Dαu ≡ u. Podríamos simplemente denotar a t como la variable xn, puesto que es una más de las variables consideradas. Sin embargo, de acuerdo con nuestra concepción del universo, es conveniente distinguir la variable temporal de las demás.
La notación que usaremos será como sigue:
Consideremos una función u que depende solo de dos variables independientes x e y. Usualmente se escribe de la siguiente forma
u = u(x, y)
Lo cual, en este caso, designa a u como una función de las variables independientes x e y. Las derivadas parciales las escribiremos como sigue:
Con lo anterior podemos representar a una EDP en forma general como en, donde F es una función de las variables indicadas y al menos una derivada parcial existe.
Así una EDP es una ecuación que tiene como incógnita a una función de dos o más variables y que involucra a una o más de sus derivadas parciales. El orden de una EDP es el de la derivada con mayor orden en la ecuación. La linealidad de las ecuaciones se establece como sigue: Si los coeficientes dependen sólo de las variables independientes entonces a la ecuación se le denomina lineal, es decir, si F puede ser expresada como una combinación lineal de u y sus derivadas. Si además dependen de la propia función o de alguna de sus derivadas parciales entonces la ecuación es no lineal. Se llama orden de la ecuación al orden de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación. Ejemplo:
FORMA GENERAL ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL SEGUNDO ORDEN
Es una ecuación diferencial de orden 2, ya que la derivada de mayor orden que aparece en ella es de ese orden.
CLASIFICACIÓN ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES SEGUNDO ORDEN
6.3 Clasificación de la ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden (Elípticos, parabólicas, hiperbólicas) Esto es, si > 0 la ecuación es elíptica;
= 0 la ecuación es parabólica; < 0 la ecuación es hiperbólica Estas ecuaciones son ejemplos inmediatos de Ecuaciones de tipo Hiperbólica, Parabólica y Elíptica, respectivamente. Teorema La E.D.P. (1) es reducible en a la forma: Una ecuación parabólica en derivadas parciales es una ecuación diferencial parcial de segundo orden del tipo En la cual la matriz tiene un determinante igual a 0. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales parabólicas son la ecuación de Schrödinger y la ecuación de conducción de calor.
MÉTODO SOLUCIÓN ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Ordinarias y parciales Para desarrollar sistemáticamente la teoría de las ecuaciones diferenciales, es útil clasificar los diferentes tipos de ecuaciones. Una de las clasificaciones más obvias se basa en si la función desconocida depende de una o de varias variables independientes. En el primer caso solo aparecen derivadas ordinarias en la ecuación diferencial y se dice que es ecuación diferencial ordinaria. En el segundo caso, las derivadas son parciales y la ecuación se llama ecuación diferencial parcial.
ORDEN.
El orden de una ecuación diferencial ordinaria, es igual al de la derivada de más alto orden que aparece en la ecuación. Por lo tanto, la ecuación (1) y (2) son ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo,
d2y + 5 [dy]3 - 4y = ex dx2 dx Es una ecuación diferencial de segundo orden.
GRADO.
Es la potencia a la que esta elevada la derivada más alta, siempre y cuando la ecuación diferencial este dada en forma polinomial.
Hay otra clasificación importante de las ecuaciones diferenciales ordinarias la cual se basa en si éstas son lineales o no lineales. Se dice que la ecuación diferencial Es lineal cuando F es una función lineal en las variables y,y´,y(n). Por lo tanto, la ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n es. 3.La ecuación que no es de la forma (3), es una ecuación no lineal. Un problema físico sencillo que de origen a una ecuación diferencial no lineal es el péndulo oscilante.
Ecuación Diferencial Lineal La forma general de una ecuación diferencial lineal de orden n es como sigue:
an(x)dny + a n-1(x) d n-1y + ... + a1(x)dy +a0(x)y = g(x) dxn dx n-1 dx Recuérdese que linealidad quiere decir que todos los coeficientes solo son funciones de x y que y todas sus derivadas están elevadas a la primera potencia. Entonces, cuando n = 1, la ecuación es lineal y de primer orden.
