Introducción Al aprender la teoría de la integral, encontramos que la idea básica es que se puede calcular el área de una región de forma irregular subd subdiv ivid idié iénd ndol ola a en rect rectán ángu gulo los. s. Se implementará ésta misma filosofía para calcul cular la cantidad de trabajo necesario para llevar a cabo diversas acciones, util utiliza izand ndo o inte integr gral ales es defi defini nida das. s.
Trabajo Uno de los principios básicos de la física es que el trabajo es igual al producto de la Fuerza por la distancia:
W
! F ·d
Joule = Newton · metro
Cuando
la fuerza es constante
W = F· d
F = constante
Fuerza
F
A! B· h d
El
distancia
problema se vuelve más interesante si la fuerza está variando de un punto a otro, es decir, no es constante.
Cuando
F ( x )
la fuerza no es constante y Fuerza
Desplazamiento
1
1
9
3
49
7
64
8
121
11
225
15
256
16
y
y
F y y
y
y
x
x
Cuando
la fuerza no es constante
Utilizando técnicas de ajuste de curvas, y de interpolación* polinómica, trigonométrica, etc. se pued pu ede e ob obte tene nerr un una a fu func nció ión. n. *Interpolación de una función: dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un exp xpe erimento se pretende encontrar una función que pase por todos los puntos. 1
f ( x) ! 0 1
2
3
4
5
f ( x) ! sin x -1
Cuando
la fuerza no es constante
A partir de los datos y la gráfica se pued pu ede e de defifini nirr un una a fu func nció ión. n.
F ( x )
!x
2
Fuerza
Desplazamiento
1
1
9
3
49
7
64
8
121
11
225
15
256
16
F ( x )
x
E jemplo
1
Un objeto se empuja en el plano desde x = 0 hasta x =10, pero debido al viento, la fuerza que debe aplicarse en el punto x es: 2
F( x) ! 3 x x 10
Solución Al mover el objeto desde la posición inicial x hasta la posición final x + x, la distancia recorrida es x y la fuerza aplicada es de F ( x )
! 3x 2 x 10
Por lo tanto el trabajo realizado en ese pequeño W ! F d recorrido es:
w( x) ! (3x x 10)·(x 2
El
trabajo total se obtiene mediante la suma. En este caso, la integral representa ésta suma: 10
W
! ´ (3 x x 10) d x! 2
0
3
x
x
2
2
10 x! 1050
J
Gráfica
1
Fuerza = F(x)
W ! F ·d WT
}
W1 W2 W3 W4 W5
n!5
w5
w4 w1
w2
x
w3
Distancia = x 10
Gráfica
1
Fuerza = F(x)
W WT
! F ·d
! W1 W2 ... Wn
npg
x
10
Distancia = x
E jemplo
2
Un hombre lleva un costal de 100 lb. de arena por una escalera de 20 pies, a razón de 5 pies por minuto. El costal tiene un agujero por el que se fuga continuamente la arena a razón de 4 lb. por minuto ¿Cuánto trabajo realiza el hombre en llevar el costal por la escalera?
Análisis de los datos Peso
inicial del costal =100 =100 lb
Largo de la escalera = 20 20 ft Pies
subidos por minuto = 5 ft
Cantidad de arena perdida por minuto = 4 lb Trabajo total = ?
POR LO T ANTO: Al hombre le tomará 4 minu minuttos su subi birr la es esca cale lera ra.. Para el tiempo t, el saco tendrá 100 - 4t lb de aren ar ena a de dent ntro ro Del tiempo t al tiempo t + t, el hombre se mueve 5·t pies hacia arrib iba a de la esc sca alera Y entonces desarrolla un trabajo equivalente a:
w(t ) ! (100 4t )5 (t W
=
F
d
Solución El
W !
trabajo total es entonces la integral:
4
4
0
0
´ (100 4t )5 d t ! ´ 500 20t d t t ! 500t 10t 2 ! 1840 ft lb
W
= 1840 ft·lb
Aplicación: Pistones ¿Qué es un pistón? Es
un elemento del motor de combustión interna conformado por un émbolo que va ajus justado al interior de las paredes de un cilindro. Su función es la de dirigir la fuerza generada por la combustión de la mezcla a la biela (que luego la deri deriva va al cigü cigüeñ eñal al). ). Cigüeñal Biela
Biela
Aplicación: Pistones ¿Cómo funciona? El
fluido que se encuentra en el interior del cilindro modifica sensiblemente su volumen y presión como consecuencia de los movimientos alternativos del pistón cosa que finalmente se tran transf sfor orma ma en movimi movimien ento to.. Ese
movimiento alternativo inicial se transforma en movimiento rotativo a través de la articulación entre la biela y el cigüeñal. Biela Biela
Cigüeñal
Aplicación: Pistones En
un motor de auto, la explosión de la mezcla airegasolina ejerce una fuerza sobre el pistón que disminuye a medida que éste se expande, permitiendo que el gas se expanda. En F
a d
b
W
! F d
la aproximación de F(x)= k /x, donde x es la posición del pistón y k el coeficiente de rigidez* del mismo, encontrar el trabajo realizado en el pistón cuando se desplaza de x=a a x=b y demuestre que el resultado solo depende de la relación b/a.
*Se calcula como la razón entre una fuerza aplicada y el desplazamiento obtenido por su aplicación : K=F/d
Aplicación: Pistones Solución:
W
F ( x )
b
W
!´ a
k
x
b
! 1
´ x
dx ! k
k
x
d x
w( x) !
!
k ln x
k
x
(x
! k ln
b
k ln
a
a
u
! x
También
d u ! dx
! k (ln
! F ·d
b
ln
a)
! k ln
b a
es conocido como la relación de comp co mpre resi sión ón de dell mot otor or W ! k ln
b a
Conclusiones
Cuando
se aplica una fuerza que NO es constante a un objeto para producirle un desplazamiento, la cantidad de trabajo total puede encontrarse utilizando una integral definida.
Ésta Ésta in integ tegral ral ser será á de una fun funció ción n que rep repres resent ente e la fuerza (que estará en función de la distancia) por la distancia ³x´ recorrida que es dx.
Bibliografía
Crowell,
Benjamin.
Primera edición. Fullerton, California: Editorial Light and matter, 2005. 134 páginas. Calculo.
Krantz, Steven G. Cálculo Cálculo desmiti desmitificad ficado o. Estados Unidos: Editorial Mc Graw Hill, 2003, 342 páginas.
