Contenido
RIGIDEZ LATERAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES................................................. .................................................3 .................................................. ............... 3 RIGIDEZ LATERAL DE ELEMENTOS VERTICALES ................................... .................................................................................................. .................................3 RIGIDEZ LATERAL (KL) .................................................................
CASO I: COLUMNA – MURO .................................... ....................................................................... .................................................. ............... 4 “Base empotrada y libre en el otro extremo” .................................... ......................................................... ..................... 4 CASO II: COLUMNA “Base empotrada y articulada en el otro extremo” .......... 4 CASO III: COLUMNA “Empotramiento perfecto” ................................................... ................................................... 5 ..................................................................... ...5 CALCULO DE LA RIGIDEZ EQUIVALENTE ..................................................................
1.
................................................................................. ............... 5 ELEMENTOS EN PARALELO ..................................................................
2.
........................................................................................... .....................6 ELEMENTOS EN SERIE ......................................................................
SISTEMAS CON ELEMENTOS RÍGIDOS ................................... ....................................................................... ....................................... ...7 ....................................................................... .............................................................. .......................... 8 MÉTODOS DE ANÁLISIS ................................... ........................................................................................... .....................8 MÉTODO PISO POR PISO ......................................................................
MÉTODO DE ELEMENTOS INDEPENDIENTES O PISOS ACUMULADOS ......... 9 ....................................................................... ........................................... ....... 10 METODO DE LA COLUMNA ANCHA ...................................
1ER TEOREMA DE ALBERTO CASTIGLIANO .................................... ............................................................ ........................10 ............................................................................................. ........................11 a) ANALISIS MATRICIAL MATRICIAL ..................................................................... MÉTODO DE MUTO ..................................................................... ......................................................................................................... ........................................... ....... 13 RIGIDEZ LATERAL ..................................................................... ......................................................................................................... ........................................... ....... 13 2. CALCULO DE DESPLAZAMIENTO Y CORTANTES. COLUMNAS EN PARALELO ................... 16 4.- DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS .................................................................. ............................................................................... ............. 19
MÉTODO DEL MUTO APLICADO A ESTRUCTURAS APORTICADAS. .................21 .................................................... 21 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS APORTICADAS ....................................................
METODO DE WIBUR – BIGGS ...................................................................... ......................................................................................... ...................33 ...................................................................... ....................................................................... ................................................. ............. 35 PROBLEMAS ................................... ....................................................................................................... ........................................... ....... 35 PROBLEMA N°1 ...................................................................
PROBLEMA N°2 ................................................................... ....................................................................................................... ........................................... ....... 36 ...................................................................... ...................................................................... ..................................... .. 41 PROBLEMA Nº 03 ................................... ....................................................................................................... ........................................... ....... 46 PROBLEMA Nº5 ................................................................... ....................................................................................................... ........................................... ....... 47 PROBLEMA Nº6 ...................................................................
CONCLUSIONES: .................................................................... ........................................................................................................ ........................................... ....... 51
INTRODUCCION
La parte más importante de Ingeniería antisísmica es el cálculo de rigideces, ya que esto garantiza que el análisis sísmico sísmi co de una edificación sea la correcta, sin esta se falla todo el cálculo no será la verdadera .Para esto en este capítulo se desarrolla el tema de Rigideces en sistemas a porticadas y sistemas de duales, también se determina la rigideces de muros en general ya sea de concreto armado o albañilería confinada.
Objetivos
Conocer los diferentes diferent es métodos m étodos de cálculos cálcul os de rigideces Tener un conocimiento conocimient o suficiente suficient e para su aplicación aplicaci ón adecuada de los diferentes diferent es métodos Comparar Resultados de los diferentes ejercicios ejercici os que se presentan
RIGIDEZ LATERAL DE SISTEMAS ESTRUCTURALES La rigidez en estructuras es la capacidad que presenta la estructura para soportar esfuerzo sin tener que adquirir grandes deformaciones o desplazamientos. RIGIDEZ LATERAL DE ELEMENTOS VERTICALES La rigidez es la relación existente entre el cociente entre la fuerza aplicada y el desplazamiento producido, de esto se deduce:
Rigidez
Deformaciones
RIGIDEZ LATERAL (KL)
Es la fuerza cortante (V) en un elemento vertical, si el desplazamiento lateral efectivo ( e) es igual a 1cm.
= = δe /
Dónde:
KL: Rigidez Lateral V: Fuerza Cortante
Δe
: Desplazamiento lateral efectivo
CASO I: COLUMNA – MURO
“Base empotrada y libre en el otro extremo”
KL = f (E, h, I, A)
PARA LA COLUMNA
PARA EL MURO
CASO II: COLUMNA “Base empotrada y articulada en el otro extremo”
CASO III: COLUMNA “Empotramiento perfecto”
CALCULO DE LA RIGIDEZ EQUIVALENTE 1. ELEMENTOS EN PARALELO La rigidez lateral total del sistema se calcula para cada dirección principal del sismo.
Rigidez lateral de cada columna es igual a:
Condición suficiente: suficiente:
Del gráfico:
Por lo tanto:
2. ELEMENTOS EN SERIE
Rigidez lateral de cada columna es igual a:
Condición suficiente:
Del gráfico:
Por lo tanto:
SISTEMAS CON ELEMENTOS RÍGIDOS CONSIDERACIONES PRINCIPALES
Se aisla al muro (placa) para determinar su rigidez lateral de cada entrepiso Se asume distribución de carga lateral triangular inversa.
5P
∆
h5 4P
∆
h4
3P
3 ∆
h3
2P
∆
h2 P
= ∆
h1
L
P: Fuerzas sísmicas
∆:
=
: Desplazamiento absoluto Desplazamiento relativo entre piso
MÉTODOS DE ANÁLISIS A. Piso por piso B. Piso acumulado (Elementos independientes) C. Columna ancha (Castigliano y análisis matricial) D. Elementos finitos
MÉTODO PISO POR PISO Para determinar la rigidez lateral de los muros se consideran: empotrado en la base y libre en la parte superior del muro. se realiza para cada muro y para cada piso independientemente. se realiza el análisis en cada dirección independientemente. 1º piso 1.5P
h1
L
2º piso
K1 = = 15
1.4P
K3 = 33 = 3 K5 = 55 = 5
h2
L
3º ,4º Y 5º pisos 1.2P
9P
h3
h4
L
5P
h5
L
K4 = 22 = 2 K5 = 44 = 94
L
Caso general:
=ℎ3 . ℎ −1
Caso particular:
= 3
= 3 =. =0. =ℎ . (ℎ) −1
MÉTODO DE ELEMENTOS INDEPENDIENTES O PISOS ACUMULADOS Consideraciones: Método limitado solo hasta 5 o 6 niveles El muro desde la base debe considerarse empotrada hasta el último nivel del muro. Los desplazamientos en el extremo libre para la determinación de la rigidez lateral deben ser los efectivos.
5P
4
9P
12P
h5
h4 h3
L
L L
14P
15P
h2
h1
L
L
= ℎ3 ℎ
K1 = = 15 →1 = 153 15 K2 = = 14 →2 = 143 14 K3 = = 12 →3 = 123 12 K4 = = →4 = 3 K5 = = 5 →1 = 53 5 Caso particular: Sección rectangular
= . =
; G=0.25E
METODO DE LA COLUMNA ANCHA 1ER TEOREMA DE ALBERTO CASTIGLIANO Este método se puede aplicar para cualquier número de piso de la estructura que se esté analizando en un sistema con elementos rígidos y los resultados obtenidos por este método expresan mejor el comportamiento de los muros.
La rigidez lateral será determinada por la siguiente fórmula:
=
Los desplazamientos laterales para una estructura de dos pisos es el siguiente:
El desplazamiento para el primer piso será el siguiente:
1 = ℎ13 ℎ2ℎ12 ℎ1
El desplazamiento para el segundo piso será el siguiente:
2 = (ℎ13 8 ℎ2ℎ12 ℎ1ℎ2 ℎ23) ℎ1 ℎ2 a) ANALISIS MATRICIAL
Convención de signos:
FUERZAS
DESPLAZAMIENTOS
G.D.L: se pueden considerar como las incógnitas ya que están asociadas al desplazamiento y a las fuerzas internas de la estructura. Matriz de rigidez para cada elemento
:
ℎ3 0 6ℎ2 ℎ3 0 6ℎ 06 ℎ 0 60 ℎ0 ℎ2 0 6ℎ ℎ2 0 6ℎ ℎ3 0 ℎ2 ℎ3 0 ℎ2 06 ℎ 0 60 ℎ 0 [ ℎ2 0 ℎ ℎ2 0 ℎ ]× Matricialmente lo podemos expresar como la solución al problema:
{} = { }
PROBLEMA N° 04: Para la estructura reticular de acero (todas las barras: determinar la rigidez lateral.
=. ×0 ;=02
), se pide
MÉTODO DE MUTO Está en los resultados de la deformación por flexión en las barras son más exactos, incluso pueden utilizarse para el diseño de estructuras de mediana altura, donde los efectos de la deformación El análisis sísmico aproximado de edificios trata sobre el estudio de métodos que permiten resolver en forma aproximada a los pórticos de edificios sujetos a carga lateral (sismo o viento). Entre este método encontramos el método de muto que se utiliza principalmente para resolver pórticos compuestos por vigas y por columnas ortogonales. Es uno de los métodos que se usa para resolver en forma aproximada a los pórticos de edificios compuestos por vigas y columnas ortogonales sujetos a carga lateral producida producida por el viento o los sismos. La diferencia que contempla a este método de otros (método del portal o del voladizo) axial son despreciables.
RIGIDEZ LATERAL Supongamos la siguiente columna empotrada, sujeta a un desplazamiento lateral
Se define a la rigidez lateral absoluta (K0 Da) como aquella fuerza cortante V capaz de originar un desplazamiento lateral unitario, relativo entre los extremos de la columna, bajo esta definición se obtiene:
Donde D0 es la denominada rigidez lateral estándar (en unidades de fuerza entre longitud, usualmente ton/cm) calculada como:
La rigidez lateral estándar depende de la altura de cada columna, pero como usualmente las columnas que conforman un entrepiso tienen la misma altura, entonces esas columnas tendrán el mismo valor D0
El coeficiente a contempla el grado de empotramiento que tiene la columna en sus extremos, para el caso que la columna este biempotrada (vigas muy rígidas) el valor de a es 1. En cambio si la columna esta biarticulada a es cero (no tiene rigidez lateral, o no opone resistencia al desplazamiento lateral), por otro lado, si la columna está articulada en su base y empotrada en su extremo superior (vigas rígidas), se demostrara que a es un 1/4
Base, el método de muto, siempre trabaja como un coeficiente de rigidez a la flexión
El valor a esta comprendido entre 0 y 1, y la máxima rigidez lateral (K) se obtienen cuando la columna esta biempotrada, si esta columna se articulase en su base K se reduce en 75 % y si luego se articulase en su extremo superior, k se degrada en 100% convirtiéndose en un mecanismo inestable.
Tal como se ha definido la rigidez lateral, se tendría que ella resulta dependiente del sistema de carga lateral actuante, sin embargo, muto concluye que en los pórticos compuestos por vigas y columnas, la distribución y magnitud de las cargas laterales no afecta el valor de K.
CALCULO DEL COEFICIENTE “a” (MUTO RECOMIENDA) 1.-COLUMNAS QUE PERTENECEN A ENTREPISOS SUPERIORES AL PRIMERO a.- si b.-el método es válido solo cuando K ≥ 0.2, de lo contrario, la fórmula es imprecisa. El valor K es menor que 0.2 cuando las vigas son muy flexibles en relación con la columna (vigas chatas), o cuando la columna trata de transformarse en una placa.
2.- SUB CASOS PARA LAS COLUMNAS DEL PRIMER PISO a.- base semi-empotrada: aparte de existir vigas de cimentación (vc), la rigidez aportada por
Cuando la base de la columna esta semi empotrada, el valor que se obtenga de a deberá ser inferior al caso en que la base este empotrada (sub-caso b)
b.- base empotrada
c.- base articulada:
2. CALCULO DE DESPLAZAMIENTO Y CORTANTES. COLUMNAS EN PARALELO La condición para que un conjunto de columnas estas dispuestos en paralelos es que su desplazamiento relativo (∆) sea único. Esto ocurre en los edificios compuestos por losas de piso axialmente rígidos (aligeradas losas macizas) denominados “diafragmas rígidos” donde al existir
monolitismo entre las vigas y la losa, las vigas, también serán rígidas axialmente. Estudiando un entrepiso cualquiera del pórtico mostrado y llamando Q al cortante de entrepiso (valor conocido por equilibrio de fuerzas laterales), se tratara de reducir el conjunto de columnas a un solo eje vertical, cuya rigidez de entrepiso sea la suma de las rigideces laterales de las columnas que conforman ese entrepiso.
Nota: cada columna absorbe fuerza cortante en proporción a su rigidez lateral. Por otro, lado se observa que el desplazamiento del entrepiso (A) puede obtenerse si se modela al pórtico como un solo eje vertical, cuya rigidez de entrepiso sea ΣKi.
3.- PÓRTICOS CON MEZZANINE Y VIGAS DE ENTREPISO: columnas en serie La condición para que dos o más columnas (ubicadas una sobre otra), estén dispuestas en serie es que la fuerza cortante en ellas sea única, lo que implica que la fuerza actuante a la altura del nivel que separa a las columnas es nulo. Este sistema puede reducirse a una sola columna equivalente de doble altura de la siguiente manera.
Este caso de columnas en serie puede presentarse en pórticos con mezzanine, donde la altura del mezzanine la masa es pequeña, así como la aceleración sísmica con lo cual, la fuerza de inercia en ese nivel es despreciable con relación a los que existen en los niveles superiores. También puede presentarse en pórticos con viga intermedia en el entrepiso, que sirve como apoyo del descanso de alguna escalera, al ser su masa pequeña, la fuerza de inercia será nula en ese nivel.
4.- DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS Conocido el cortante que absorbe una columna (V), MUTO proporciona unas tablas que permiten ubicar la posición del punto de reflexión (Di). Luego, siguiendo un proceso similar al explicado se determinan los esfuerzos. a.- Graficar el DMF en las columnas. b.- calcular los momentos en las vigas, Repartiendo el momento desequilibrado en los nudos en proporción a las rigideces de las vigas (Kr); y gráfica su DMF. C.- determinar la fuerza cortante en las vigas. D.- Evaluar la fuerza axial en las columnas.
UBICACIÓN DEL PUNTO DE INFLEXIÓN (PI) EN LAS COLUMNAS Este punto se localiza a una altura medida a partir de la base de la columna igual a “Yh”, el valor “y” el valor Y se determina como
Y = Y0 + Y1 + Y2 + Y3; Donde”y0”, es la altura estándar del PI, “Y1 “es una corrección por variación de rigidez de las vigas, mientras que “Y2 “e “Y3 “
Corresponden a conexiones por diferencias de altura entre los pisos consecutivos. Como usualmente los pisos son típicos, solo se calcula “Y0 ”.
a.- altura estándar del PI (Y0h) Suponiendo que las alturas de los entrepisos eran iguales, así como que las rigideces de las vigas no variaban y que la distribución de las fuerzas laterales era triangular. El cálculo de” Y0 “se efectúa en cada eje vertical de las columnas.
Es necesario saber cuántos niveles tiene el eje de la columna en análisis, en que entrepiso está ubicada y el valor de K.
b.- corrección “y1” Esta corrección se realiza solo cuando las vigas que llegan al extremo superior (A) de la columna tienen distinta rigidez a flexión que las inferiores (B). Para calcular” Y1 “es necesario determinar el parámetro de “α1 “y k.
- Para el 1 0 piso “Y1 = 0”, salvo que la base este semiempotrada - Si α 1 >1, se ingresa a la tabla con la inversa de α1 y se cambia de signo al valor “Y1”, es decir, el PI se corre hacia abajo.
c.- Correcciones “Y2”,” Y3” Estas correcciones se efectúan cuando la columna superior o inferior a la que está en estudio, tienen distintas alturas, para esto, es necesario calcular los parámetros α2 , α3, K.
Observaciones: - Si α 2=1 →Y2 =0 - Si α 3=1 →Y3 = 0
- Para columnas del 10 piso → Y3 = 0 - Para columnas del 20 piso →Y2 = 0
MÉTODO DEL MUTO APLICADO A ESTRUCTURAS APORTICADAS El método asigna a cada columna un valor característico “D” que viene a ser la relación entre el
corte que toma la columna y la deformación que la produce. Este valor depende a su vez de otros llamados k que es la relación entre las sumas de las rigideces de las vigas que llegan a los extremos de la columna y la rigidez de la columna. El corte que forma cada columna “j” del entrepiso, está dado p or:
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS APORTICADAS Los pasos a seguir son: 1) Calculo de los valores de D 2) distribución de la cortante de entrepiso Q entre las columnas proporcionalmente a sus valores D.
Dj: constante relativa de la columna j Σ Dj: suma de las constantes Dj del entrepiso considerado
3) determinación de los puntos de inflexión de las columnas y cálculo de los momentos flectores. 4) Calculo de las solicitaciones en vigas y fuerzas axiales en columnas. 5) Corrección de torsión.
VALORES D EN LAS COLUMNAS a) Para columnas de altura uniforme
A : constante que depende de K Kc : rigidez de la columna considerada
Si KV3+KV4 es mucho mayor que KV1+ KV2 , o a la inversa ; el valor de A no debe ser mayor que el que resultaría de aplicar la formula correspondiente al caso siguiente:
CASO Nº 02: extremo empotrado (primer piso)
CASO Nº 03: extremo articulado
b) caso en que las columnas son de altura no uniforme. CASO Nº 04: Una columna de altura “h” que difiere de la altura estándar “h”:
CASO Nº 05: Una columna compuesta de dos tramos cortos de altura h1 y h2 las cuales sumadas dan la altura estándar h
CALCULO DE RIGIDECES LATERALES USANDO EL MÉTODO DE MUTO Para el cálculo de las rigideces laterales hacemos uso de las formulas del doctor Muto para calcular las rigideces DX DY. Se debe cumplir que K sea mayor a 0.20. ya que las limitaciones del método están dadas por el valor de K En cuento K se haga más pequeño el error se incrementara, debido a que una hipótesis base es que las vigas son suficientemente rígidas; un pequeño valor de K indicara que esta condición no se cumple satisfactoriamente. Posteriormente hallamos las rigideces para vigas y columnas tanto en la dirección X como Y. Una vez hallada las rigideces DX y DY procederemos a calcular el centro de rigideces.
CALCULO DE LAS RIGIDECES LATERALES
Rigidez lateral absoluta:
Para h=200 cm; D0=63 ton/cm Para h=300 cm; D0=28 ton/cm Para h = 600 cm; D0 = 7 ton/ cm
CALCULO DE ∆: TRABAJANDO CON LOS CONCEPTOS DE COLUMNAS EN PARALELO
Y EN SERIE
Cada columna absorbe la fuerza horizontal proporcional a su rigidez
Calculo del coeficiente a IV. columnas que pertenecen a entrepisos superiores al primero
V. base empotrada
VI. base articulada
PARA EL EJEMPLO
Rigidez lateral absoluta:
Para h=200 cm; D0=47.88 ton/cm Para h=300 cm; D0=21.28 ton/cm Para h = 600 cm; D0 = 5.32 ton/ cm Luego de realizar los cálculos para cada elemento (viga, columna); la figura queda.
CALCULO DE ∆: TRABAJANDO CON LOS CONCEPTOS DE COLUMNAS EN PARALELO Y EN SERIE
Cada columna absorbe la fuerza horizontal proporcional a su rigidez
EJEMPLO Nº2: Aplicando el método de muto, analizar el pórtico ASUMIR: Vigas: 0.3x 0.5 m2 Columna: 0.3 x 0.4 m2 K0=0.0004 m3 E=2000000 Ton/m2
Solución Coeficiente de rigidez a flexión Vigas: Para h= 5m, Kv=1.56 Para h= 6m, KV=1.30 COLUMNAS: Para h = 3m, KC=1.33 Para h = 4m, KC=1 RIGIDEZ LATERAL ABSOLUTA
Para h=3m, D0=1067 ton/m Para h=4m, D0=600 ton/m Luego de hallar los valores de α ,D ,K de cada columna se tiene:
Calculo de δ:
APLICACIÓN POR EL MÉTODO DE MUTO Aplicamos el método a nuestro edificio para el eje principal 1-1 (igual que eje 2-2) Analizamos el primer nivel Hallamos la rigidez para las vigas y columnas
VIGA: 0.25x0.50 m Columna: 0.25x0.50 m Kv=I/hK0 Consideramos como rigidez estándar de la estructura K0=0.001 m3 Coef. De rigidez a flexión:
PÓRTICO X1: PARA LAS RIGIDECES LATERALES 3º PISO: 2900.8290 ton/m 2º PISO: 2900.8290 ton/m 1º PISO: 3116.5695 ton/m
BIBLIOGRAFÍA: Perú. Contreras; EDICIVIL; 2003
METODO DE WIBUR – BIGGS Para el método de la rigidez lateral de las estructuras a porticadas Wilburg y Biggs presentaron los siguientes sistemas de ecuaciones, las cuales se emplearon debiendo tener en cuenta el nivel de entrepiso del cual se calculara dicha rigidez , asi como también el tipo de apoyo que idealizaremos para la estructura dentro del proceso de análisis y que se mantendrá durante la vida útil de esta , dichas ecuaciones se presentan:
A) ULTIMO NIVEL
−1
= 8ℎ ∑ℎℎ ℎ∑−1ℎℎ−1 ∑ℎℎ B) NIVEL TIPICO
−1 = 8ℎ ∑ℎℎ ∑ ℎℎ−−11 ℎ ∑ℎ ℎ∑+1ℎ
C)
SEGUNDO NIVEL
C.1) BASE EMPOTRADA
−1
2 = 8ℎ2 ∑ℎℎ22 ∑ℎ1ℎ1ℎ 2∑ℎ1 ∑ℎℎ22 −1 2 = 8ℎ2 ∑ℎℎ22 ℎ∑1 ℎ12 ∑ℎℎ22
C.1) BASE ARTICULADA
D) PRIMER NIVEL C.1) BASE EMPOTRADA
−1
= 8ℎ1 ∑ℎℎ11 ∑ ℎ1ℎ1ℎ 2∑ ℎ1
C.1) BASE ARTICULADA
−1 = ℎ1 ∑8ℎℎ11 ℎ∑1 ℎ12
PROBLEMAS
PROBLEMA N°1 Para el sistema compuesto por una viga (E = 2x10^5 kg/cm2) y una varilla de acero (E = 2.1x10^8 kg/cm2) de 2 cm2 de área colocado en uno de sus extremos tal como se muestra en la figura. ¿Cuál debe de ser el momento e inercia I de la viga para que el desplazamiento en el extremo libre debido a una carga de 30 toneladas hacia abajo, sea de 1 cm?
2m T
P = 30 ton 2m
SOLUCIÓN: TEOREMA DE CASTIGLIANO
=
VIGA: M=
Tx - Px
TIRANTE: N=T
= = 0
0
VIGA:
M=
Tx - Px
=
2 2 2 ∫ ∫ 0= ∗8∗0
∗ ∗ = …..
= = 2
TIRANTE: N=T
=
1
2 2 2 ∫ = = ∫ −3∗∗∗1∗ 2 =0 T
DE (1) Y (2), se obtiene: T = 21 Ton
Remplazando en la ecuación (1): I = 120000 cm4
Rpta.
PROBLEMA N°2 La estructura mostrada en la figura es de concreto armado (E=2.2*10 6 Kg/m2) y puede modelarse suponiendo un diafragma rígido y EI vigas =∞. Se pide determinar la rigidez lateral para la dirección de análisis x-x. Considere la sección de columnas:
Solución: a) Calculamos la Inercia de las columnas.
Columna 1:
Seccion
B (cm)
D (cm)
X (cm)
A (cm2)
1
30
90
45
2700
121500
2
30
30
15
900
13500
3600
135000
TOTAL X= Seccion
I
A (cm2)
d (cm)
37.5
d^2
I + A*d^2
1
1822500
2700
7.5
56.25
1974375
2
67500
900
22.5
506.25
523125
TOTAL
Seccion
B (cm)
I=
D (cm)
X (cm)
2497500
A (cm2)
X*A
1
30
90
45
2700
121500
2
30
30
75
900
67500
3600
189000
TOTAL X= Seccion
I
A (cm2)
d (cm)
d^2
52.5 I + A*d^2
1
1822500
2700
7.5
56.25
1974375
2
67500
900
22.5
506.25
523125
TOTAL
X*A
Columna 2:
I=
2497500
B (cm)
D (cm) 60
30
135000
I=
135000
Columna 3:
D (cm)
I 60
I=
I
636172.512
636172.512
b) Hallamos la rigidez de cada columna.
Para la columna 1:
=0.
Ton /cm
=0.008
Ton /cm
Para la columna 2:
= ∗ℎ3 = ∗0.∗9700 03 = ∗ℎ3 = ∗0.0∗000 3
=0.09
Para la columna 3:
Ton /cm
= ∗ℎ3 = ∗0.∗667. 03
c) Hallamos la rigidez de cada pórtico en dirección al eje “X”
Pórtico 1:
=0.86
Pórtico 2:
=0.09
Ton /cm
=∗∗ =∗0.∗0.09
Ton /cm
=∗∗ =∗0. 008∗0.09
Pórtico 3:
=0.86
Ton /cm
=∗∗ =∗0.∗0.09
d)
=.
Ton /cm
Hallamos la rigidez lateral total en dirección al eje “X”
= =0.860.090.86
PROBLEMA Nº 03
1,2,3,
Para la estructura de concreto armado (f´c=280 kg/cm2) con Mezzanine mostrada en la figura se pide determinar las rigideces laterales según el modelo dinámico propuesto ( para la dirección de análisis X-X. Considere: VIGAS (0.3mx0.6m) COLUMNAS
∅ 0. 2 2
W mezzanine =1.50 ton/
W nivel superior =0.9ton/
6m
6m
6m
6m
6m
MODELO DINAMICO
6m
6m
PLANTA
6m
3m
4m
ELEVACION
SOLUCIÓN:
B
A
C
E
D
5
6m 4
6m 3
6m 2
6m 1
6m
6m
6m
6m
PLANTA
3
3m
2
4m
1
ELEVACION
Calculando los momentos de inercia :
= 4. = .44 =66.7 4 = 312 =0000 4
1 = 700 =79.0 3 2 = 00 =.6 3 3 = 00 =8.88 3
Calculo de la rigidez relativa de las columnas:
Rigidez relativa de la viga:
K = 600Iv = 0000 600 =900 cm3
Calculo de KI de la columna :
2 Ec=000√f ´ c =000∗80=0. 9 98 / 7 KI1 = .hE3c.Ic = ∗0.998∗66. =.0 Ton/cm 3 700 7 KI2 = ∗0.998∗66. =.9 Ton/cm 3 00 7 KI3 = ∗0.998∗66. 003 =.0 Ton/cm Calculo de rigidez lateral de las columnas: PARA LOS EJES 2,3 Y 4: EJE A=E
= 1.52 =.0→̅= .2+5+̅̅ =0.79 ==.1∗0. / 79=.0∗0.79
EJES B=D
. 5 +k ̅ K = =. 8 6→a = = 314. 1 2+k 0.69 K =KI ∗0.69=.9∗0.69 L1 2 KL1 =.08 Ton/cm K = 2∗41.∗3 =.→a̅= 2+kk =0.6 KKL2 =KI=8.639∗0.Ton/cm 6=.0∗0.6 L2 ∴= =. / K = 314.11 =.7→a̅= .2+k5+k =0.8 KKL1 =KI=.729∗0.Ton/cm 8=.9∗0.8 L1 K = 2∗41.3 =.→a̅= 2+kk =0.68 KKL2 =KI=9.3∗0.Ton/cm 6=.0∗0.68 L2 ∴= =. / EJE C
PARA LOS EJES 1 Y 5:
EJE B=C=D
= 1.∗252 =0.0→̅= .2+5+̅̅ =0.88 =1 ∗0.79=.0∗0.88 =. / Calculo de rigidez de cada pórtico :
Para el pórtico 2, 3 y 4
=∗0.87∗.78.9=0.9 / 2,3,4 =. =∗0./ 9=.7 / ,, =∗0.87∗0.97=.6 / 1,5 =.=∗. / 6=9. / , Para el pórtico 1 y 5
Calculo de rigidez lateral total del sistema:
= ,, , KL si. =.79. =0. ton/cm . =. /
PROBLEMA Nº5
EJERCICIO 5
PARA PEQUEÑAS OSCILACIONES VERTICALES DE LA MASA DE LA ESTRUCTURA CO N ELEMENTOS BIARTICULADOS SE PIDE DETERMINAR LA RIGIDEZ VERTICAL E=2.1 X 10ˆ 6 KG/CM2
3 ᵩ 1 3/8"
3m
W=3 TON
2 ᵩ 1 3/8"
4m SOLUCION POR EL PRIMER TEOREMA DE ALBERTO CASTIGLIANO
3 2
DETEMINAMOS EL DESPLAZAMIENTO VERTICAL DE LA ARMADURA
RX P
∑M 1=0 4P=3RX
RX=4P/3
∑ FY=0
RY=P
1 RX RY
CALCULO DE FUERZAS AXIALES EN CADA ELEMENTO NUDO 2
NUDO 1 N13 RX
RX RX= N23 N23=4P/3
BARRA 1.-3 2.-3
37°
N23
L(cm)
RY RX=N13COS 37° N13=5P/3
E=2.1 X 10ˆ 6 KG/CM2 E A N 500 2100000 19.1598 (-)5P/3 400 2100000 28.7398 4P/3
A 3 ᵩ 1 3/8" 2 ᵩ 1 3/8"
P= 3000 δn/δP Nxδn/δPxL/EA N 1.6666 4999.8 0.103548485 1.3333 3999.9 0.035345487 ∆V3 0.138893972 cm
DETERMINAMOS LA RIGIDEZ VERTICAL K = P/ δ
K= k=
3 ton / 0.13889 cm 21.5998 ton/cm
AT ᵩ 1 3/8" 9.5799 cm2 28. 7398 cm2 9.5799 cm3 19. 1598 cm2
RESPUESTA
PROBLEMA Nº6 Para el pórtico de concreto armado de 2 niveles mostrado en la figura, determinar la rigidez lat eral de columnas por los métodos de Muto y Wuilbur. (E=210ton /cm2).
METODO DE MUTO
= 0 3 =97.4 3 080 = =800004 3 00 = =.4 Primer piso
=∗ ∗ℎ3 =∗ 0∗. 3 =.90/ 0 80000 = =. 2 1 = 97. =69. 9 600 600
̅ = 12 = 69.9. 7.07 =.96 0. ∗ 0.∗.9966 =0.06 = = ∗. =∗ =0.06∗.90=.6/ 1 = .6 .6 =.7/ Segundo piso
=∗ ∗ℎ3 =∗ 0∗. 3 =.9/ 0 1 = 97. 600 =69.9 9 ̅ = 12 = 69.969. 609. =.7 = = ..77 =0. =∗ =0.∗.9=6.6/ 2 = 6.6 6.6 =./
METODO DE WUILBUR
3 0 = =97.4 3 080 = =800004 3 00 = =.4 −1 = ℎ1 ∑8ℎℎ11 ℎ∑1 ℎ12
Primer piso
1 = 97. 600 =69.9
. 2 = 80000 =. = 2 600 0 =7.07
−1 −1 8ℎ ℎ ℎ ∗0 8∗0 ∗00 1 1 2 = ℎ1 ∑ℎ1 ∑1 = 0 7.077.07 69.9. =.6 / Segundo piso
3 0 = =97.4 3 00 = =.4
1 = 97. 600 =69.9
2 = .0 =609.
−1 8∗0 ∗0 ∗00 0 −1 8 ℎ ℎ ℎ ℎ = ℎ ∑ ℎ ∑−1ℎ−1 ∑ ℎ = 0 609.∗ 69.9. 69.9 =.7
METODO DE MUTO
METODO DE WUILBUR
CONCLUSIONES:
Hay diferentes métodos para el cálculo de rigideces En el caso del método para sistemas flexibles de Muto y Wuilbur , los resultados son bastante semejantes Para el cálculo de rigideces de sistema de muros la aplicación de la fórmula es relativamente fácil
Estudiar bien los temas de este capítulo ya que es muy i mportante para el análisis de edificaciones.
