Anova de Dos Factores

Universidad Autónoma de Madrid

ANOVA de dos factores

1

Tema 7

1. Objetivo. Concepto de interacción

2. ANOVA de dos factores, efectos fijos, completamente aleatoriazado (ANOVA-AB-EF-CA)

3. Comparaciones múltiples

Análisis de Datos en Psicología II

Tema 7


2

1. Objetivo: estudiar si los valores de una variable dependiente (VD) dependen de los niveles de dos VVII (factores) o de la interacción entre ambas. La primera VI se denomina A y tiene J niveles. La segunda VI es B y tiene K niveles. Interacción Existe interacción entre dos factores cuando el efecto de un factor sobre la VD depende de cual sea el nivel del otro factor.

Ejemplo: Efecto de dos factores: Edad (joven, medio, adulto) y Fumar (sí, no) sobre las puntuaciones en una escala de Ansiedad Social .


Tema 7


3

Gráficos de medias Caso 1:

Sin efectos principales de los factores ni interacción

Efectos principales sin interacción Caso 2:

8

8 7

7 6 d 5 a d e 4 i s n A 3

d 6 a d e i s n A 5

FUMAR 4

0

3

1 1

2

EDAD

3

FUMAR

2

0

1 0

1 1

2

3

EDAD

Fumar No Si

Fumar Edad Edad No Si µ j+ 1 µ 11=7 µ 12=7 µ 1+=7 1 µ 11=1 µ 12=3 µ 1+=2 2 µ 21=7 µ 22=7 µ 2+=7 2 µ 21=3 µ 22=5 µ 2+=4 3 µ 31=7 µ 32=7 µ 3+=7 3 µ 31=5 µ 32=7 µ 3+=6 µ +k µ +1=7 µ +2=7 µ +1=3 µ +2=5 µ jk Análisis de Datos en Psicología II

Tema 7


4

Gráficos de medias Caso 3: Interacción sin Caso 4: Efectos efectos principales. principales e interacción. 9

8

8

7

7 6 d a d e 5 i s n A

d a 6 d e i s n 5 A

4

FUMAR

4

FUMAR

3

0

3

0

2

1

2

1

1

2

EDAD

3

1

2

3

EDAD

Fumar Fumar Edad No Si Edad No Si 1 µ 11=5 µ 12=5 µ 1+=5 1 µ 11=8 µ 12=4 µ 1+=6 2 µ 21=3 µ 22=7 µ 2+=5 2 µ 21=5 µ 22=3 µ 2+=4 3 µ 31=7 µ 32=3 µ 3+=5 3 µ 31=5 µ 32=5 µ 3+=5 µ +1=5 µ +2=5 µ +1=6 µ +2=4 µ 11 - µ 21 = 5 – 3 = 2 µ 1+ - µ 2+ = 5 – 5 = 0


Tema 7


5

2. Procedimiento del ANOVA AB - EF - CA Estructura de los datos

A1

A2

B1 Y111 Y211 … Yn11 Y121 Y221 … Yn21

B2 Y112 Y212 … Yn12 Y122 Y222 … Yn22

M

M

M

AJ

Y1J1 Y2J1 … YnJ1

Y1J2 Y2J2 … YnJ2


...

M

M

BK Y11K Y21K … Yn1K Y12K Y22K … Yn2K

Y1jk Y2jk …, Yijk ... Ynjk

M

M

Y1JK Y2JK … YnJK Tema 7


6

1. Hipótesis H0(A): µ 1+ = µ 2+ = … = µ J + Las J medias poblacionales correspondientes a los J niveles del factor A son iguales H0(B): µ +1 = µ +2 = … = µ +Κ Las K medias poblacionales correspondientes a los K niveles del factor B son iguales H0(AB): µ jk − µ j ’k = µ j +− µ j ’+ de interacción.

No hay efecto

H1(A): µ j + ≠ µ j ’+ El factor A influye o afecta a la VD. H1(B): µ +k ≠ µ +k’ a la VD.

El factor B influye o afecta

H1(AB): µ jk − µ j ’k ≠ µ j +− µ j ’+


Hay interacción.

Tema 7


7

2. Supuestos Independencia: Las JK muestras de tamaño n son aleatorias e independientes Normalidad : Las JK poblaciones de donde se extraen las JK muestras son normales Homocedasticidad : Las JK poblaciones tienen, todas ellas, la misma varianza 3. Estadístico de contraste J : niveles del factor A K : niveles del factor B n : nº de observaciones en cada casilla N : nº total de observaciones (N=nJK) T j + : Totales de cada nivel del factor A T +k : Totales de cada nivel del factor B T jk : Totales de cada casilla T : Total de la muestra


Tema 7


8

Sumas de cuadrados SCT =

∑∑∑ i

j

∑ SCA =

k

T j2+

−

j

nK

∑ SCB =

nJ

∑∑

SCE =

j

−

T 2

∑

2 T jk

−

k

n

∑∑∑Y

2 ijk

i

j

N

T 2

T +2k

k

SCAB =

2 − Y ijk

T 2

k

∑

T j2+

j

nK

−

T +2k

k

nJ

+

T 2

∑∑T

2 jk

−

j

k

n

SCT = SCA + SCB + SCAB + SCE Análisis de Datos en Psicología II

Tema 7


9

Tabla resumen del ANOVA AB-EF- CA FV Factor A Factor B

SC SCA SCB

g.l. J – 1 K – 1

Interacción SCAB  (J – 1)(K – 1) Error

SCE

Total

SCT

N - JK

MC SCA J- 1 SCB

K- 1 SCAB

F F A =

MCA

F B =

MCB

F AB =

(J -1 )(K-1 )

SCE N-JK

N – 1

Zona crítica F A se distribuye según F J-1, N-JK , luego la zona crítica es F A ≥ 1-α F J-1, N-JK F B se distribuye según F K-1, N-JK , luego la zona crítica es F B ≥ 1-α F K-1, N-JK F AB se distribuye según F (J-1)(K-1), N-JK , luego la zona crítica es F AB ≥ 1-α F (J-1)(K-1), N-JK Análisis de Datos en Psicología II

Tema 7

CE

CE MCAB CE


10

4. Regla de decisión Rechazar H0(A) si el estadístico FA cae en la zona crítica. Mantener H0(A) en caso contrario Rechazar H0(B) si el estadístico FB cae en la zona crítica. Mantener H0(B) en caso contrario Rechazar H0(AB) si FAB cae en la zona crítica. Mantener H0(AB) en caso contrario Ejemplo: Estudiar el efecto de las variables Edad y Fumar sobre la Ansiedad Social con α =0,01. Fumar No Si 3,91 5,01 4,83 3,95 4,04 1 4,47 3,33 4,71 3,66 9,44 5,65 6,49 9,66 7,68 Edad 2 5,50 5,72 5,44 9,57 7,98 7,39 4,94 7,13 5,92 5,48 5,19 3 5,54 5,94 6,16 6,12 4,45 Análisis de Datos en Psicología II

Tema 7


11

1. Hipótesis H0(A): µ 1+ = µ 2+ = µ 3 + (Edad) H0(B): µ +1 = µ +2 (Fumar) H0(AB): µ jk − µ j ’k = µ j +− µ j ’+ (Interacción) H1(A): µ j + ≠ µ j ’+ H1(B): µ +k ≠ µ +k’ H1(AB): µ jk − µ j ’k ≠ µ j +− µ j ’+ 2. Supuestos Independencia Normalidad Homocedasticidad 3. Estadístico de contraste Tabla de totales: Fumar No Sí 1 T11 = 21,40 T12 = 25,90 Edad 2 T21 = 28,77 T22 = 42,23 3 T31 = 29,69 T32 = 27,13 T+1 = 79,86 T+2 = 95,26 J = 3 K = 2

n=5 N = 5(3)2 = 30


T1+ = 47,30 T2+ = 71,00 T3+ = 56,82 T = 175,12

∑∑∑ i

j

2 = 1106 ,39 Y ijk

k

Tema 7


SCT =

∑∑∑ i

∑

T j2+

j

12

2 − Y ijk

k

T 2 N

= 1106 ,39 −

175 ,12 2 30

= 84,16

 47 ,30 2 71 ,00 2 56 ,82 2  175 ,12 2  − SCA = − =  + + = 28 ,44 nK N  ( 5 )2 ( 5 )2 ( 5 )2  30 T 2

j

∑

T +2k

2 2 2   79 , 86 95 , 26 175 , 12  − − =  + = 7 ,90 SCB = k nJ N  ( 5 )3 ( 5 )3  30

SCE =

∑∑∑ Y

2 ijk

i

j

k

T 2

∑∑ −

j

k

n

2 T jk

 21 ,40 2 27 ,132   = 34 ,91 = 1106 ,39 −  + ... + 5   5

SCAB = SCT - SCA - SCB - SCE = 84,16 - 28,44 - 7,90 - 34,91 = 12,89


Tema 7


FV

SC Factor A 28,44 Factor B 7,90 Interacción 12,89 Error 34,91 Total 84,16

13

g.l. 2 1 2 24 29

MC 14,22 7,90 6,44 1,45

F 9,77 5,43 4,43

F A ~ F 2,24 F B ~ F 1,24 F AB ~ F 2,24 4. Zona crítica F A ≥ F B ≥ F AB ≥

0,99F 2,24

= 5,61 0,99F 1,24 = 7,82 0,99F 2,24 = 5,61

5. Decisión Rechazar H0(A) Mantener H0(B) Mantener H0(AB) Análisis de Datos en Psicología II

Tema 7


14

3. Comparaciones múltiples (Tukey)

DMS Tukey =1−α qv , N − JK

MCE N / v

Donde: q aparece en la tabla J v : nº de medias que se están comparando: v = J para el factor A v = K para el factor B v =J K para la interacción

Si la interacción es significativa: Representar las medias gráficamente e interpretar.


Tema 7


15

Ejemplo: Tukey sobre los niveles del factor A, que es el único efecto significativo. Medias: Y 1+ =

47 ,3 10

= 4 ,73 Y 2 + =

71 10

= 7 ,1 Y 3 + =

56 ,82 10

= 5,682

Tabla de diferencia de medias

Y 1

Y 2

Y 3

2,37

0,952

Y 2

1,418


=0,99 q3, 24

1,45 30 / 3

MCE N / v

= 4,55(0,38) = 1,73

Difieren µ 1 y µ 2 Análisis de Datos en Psicología II

Tema 7


16

Formulario del tema 7 ANOVA-AB-EF-CA SCT =

∑∑∑Y

2 ijk

i

j

∑ SCA =

T j2+

−

j

nK

nJ

∑∑ SCAB =

j

N

∑

−

k

∑∑∑ j

T

2 T jk

n

i

N

2

−

k

T

T 2

∑ T SCB =

−

k

2 + k

SCE =

2

∑

T j2+

−

j

nK

∑∑

2 Y ijk −

k

j

T +2k

k

nJ

+

T 2

2 T jk

k

n

GLA = J – 1 GLB = K – 1 GLAB = (J – 1)(K – 1) GLE = N - JK GLT = N – 1 Análisis de Datos en Psicología II

Tema 7


17

MCA =

MCB = MCAB =

SCA J- 1 SCB

K- 1 SCAB

(J − 1 )(K- 1 )

MCE =

SCE N-JK

F A =

MCA

F B =

MCB

F AB =

MCAB

CE

CE CE

F A ∼ 1-α F J-1, N-JK F B ~ 1-α F K-1, N-JK FAB ~ 1-α F (J-1)(K-1), N-JK


Tema 7


18

Prueba de Tukey


MCE N / v

q ≡ tabla J v = J (factor A) v = K (factor B) v =J K (interacción)


Tema 7


19

Ejercicios recomendados del libro:

7.3 7.7 7.8 7.16


Tema 7

Anova de Dos Factores

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