EJEMPLO 1
Corrida en Análisis de datos en Excel
Anova: Two-Factor Without Replication SUMMARY
Count
Sum
Average
Variance
Row 1 Row 2 Row 3 Row 4 Row 5
3 3 3 3 3
73 99 120 116 136
24.33333333 33 40 38.66666667 45.33333333
9.333333333 4 3 4.333333333 0.333333333
Column 1 Column 2 Column 3
5 5 5
183 180 181
36.6 36 36.2
56.3 92 53.2
ANOVA urce of Variati
SS
df
MS
Rows Columns Error
764.9333333 0.933333333 41.06666667
4 2 8
Total
806.9333333
14
191.2333333 0.466666667 5.133333333
F
P-value
37.25324675 3.23232E-05 0.090909091 0.914030422
F crit
3.83785448 4.45896831
EJEMPLO 2
Corrida en Análisis de Datos de Excel
Anova: Two-Factor Without Replication SUMMARY
Count
Sum
Average
Variance
Row 1 Row 2 Row 3 Row 4
3 3 3 3
34 11.3333333 32.3333333 50 16.6666667 121.333333 36 12 91 105 35 133
Column 1 Column 2 Column 3
4 4 4
92 101 32
23 127.333333 25.25 168.916667 8 90
ANOVA urce of Variati
Rows Columns Error Total
SS
1106.91667 703.5 51.8333333 1862.25
df
MS
F
P-value
F crit
3 368.972222 42.7106109 0.00019248 4.75705519 2 351.75 40.7170418 0.00032316 5.14324938 6 8.63888889 11
ANOVA 2 FACTORES (Montgomery)
P. Reyes 7/26/2014
MODELO PARA ANOVA DE DOS VIAS, FACTORES O DIRECCIONES - FACTORES FIJOS
y ij = m + t i + b j + e ij y ij º Observació n .ij - ésima m º la .media . global
Para i = 1, 2, ...., a
j = 1, 2, ......n
Con a niveles del tratamiento y con n tratamientos o factores
t i = es .el .efecto .del .tratamient o .i - ésimo b j = es .el .efecto .del .bloque . j - ésimo e ij º error .aleatorio = NID ( 0 , s 2 )
NOTA: La prueba F para los bloques normalmente no se pone en la tabla ANOVA porque no necesariamente es una prueba F exacta.
La experimentación en las unidades experimentales debe ser en forma aleatoria en los tratamientos dentro de los bloques, por lo que a este diseño se le denomina DISEÑO DE BLOQUES COMPLETAMENTE ALEATORIZADO Para probar la Hipótesis nula Ho de que las medias de los tratamientos son iguales, se supone que los errores del modelo son: a) Variables aleatorias que siguen una distribución normal b) Son independientes unos de otros c) Su distribución normal tiene media cero d) La varianza se mantiene constante para todos los niveles del factor Por tanto las observaciones:
y ij » N ( m + t i + b j , s 2 )
ANOVA 2 FACTORES (Montgomery)
8.0 SOLUC 1 2 3
16.0
24.0
32.0
Individual 95% CI Mean ---+---------+---------+---------+-------23.0 (-----*-----) 25.3 (-----*-----) 8.0 (-----*-----) ---+---------+---------+---------+-------6.0 12.0 18.0 24.0
Con análisis de residuos RESP
SOLUC 13 22 18 39 16 24 17 44 5 4 1 22
DIA 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
RESI1 FITS1 -2.58333 15.5833 1.08333 20.9167 1.75 16.25 -0.25 39.25 -1.83333 17.8333 0.83333 23.1667 -1.5 18.5 2.5 41.5 4.41667 0.5833 -1.91667 5.9167 -0.25 1.25 -2.25 24.25
Normal Probability Plot of the Res iduals (response is RESP) 2
1
e r o
P. Reyes 7/26/2014
ANOVA 2 FACTORES (Montgomery)
y ïj = y i. + y . j - y..
P. Reyes 7/26/2014
ANOVA 2 FACTORES (Webster)
P. Reyes 7/26/2014
ANOVA DE DOS VIAS; DIRECCIONES O FACTORES Se trata de bloquear un factor externo perturbador que posiblemente tenga efecto en la respuesta pero que no hay interés en probar su influencia, sólo se bloquea para mininizar la variabilidad de este factor externo, evitando que contamine la prueba de igualdad entre los tratamientos. Los tratamientos se asignan a las columnas y los bloques a los renglones. Un bloque indica condiciones similares de los sujetos al experimentar con diferentes tratamientos.
Ejemplo 1 de la página 290 del texto ESTADISTICA - Webster Suponiendo que se quiere investigar si la producción de tres diferentes máquinas es igual, tomando en cuenta la experiencia de los operadores a un nivel de significancia del 5%. Experiencia de ops. En años 1 2 3 4 5 Proms.
Máquinas Maq 1 Maq 2 Maq 3 Prom. 27 21 25 24.33333 Ho1: No hay diferencia entre los Tratamientos 31 33 35 33 Ha1: Caso contrario 42 39 39 40 38 41 37 38.66667 Ho2: No hay diferencia en la productividad 45 46 45 45.33333 debida a los años de experiencia 36.6 36 36.2 36.26667 Ha2: Caso contrario
Los cálculos de SCT, SCTR, CMT y CMTR son similares a los del ANOVA de una vía La diferencia es ahora que el término de error se divide en el témino CMBL correspondiente a los bloques y determinado en forma similar que CMTR pero ahora para los renglones y un término adicional de error SCE = SCT - SCTR - SCBL. TABLA para determinar la suma de cuadrados total SCT Xij Media global
ANOVA 2 FACTORES (Webster)
P. Reyes 7/26/2014
F0.05,4,8 SCE =
41.06667
8 CME= =(r-1)*(c-1)
5.133333
CONCLUSIONES: No hay diferencia en la producción de máquinas después de ajustar experiencia No se rechaza Para bloques: La experiencia si influye No hay dif. Entre máquinas en la producción
Fm
Fexcel = 4.46
Fexcel=3.84 Fm
Caso de tratamientos: es el factor de interés a probar, en este caso la producción entre diferentes máquinas 1, 2 y 3
Caso de bloques factor externo bloqueado experiencia de los operadores se trata de que no contamine la prueba de diferencia ente máquinas
Ejemplo 4.2 pág. 164 del libro de Diseño de Experimentos de Montgomery Se comparan 3 soluciones de lavado para retardar el crecimiento de bacterias, contra días... Alfa =0.05 Dias
Sol 1 1 2 3 4
Medias
Sol. 2 13 22 18 39 23
Grados lib.
16 24 17 44 25.25
Sol. 3
Medias 5 11.33333 4 16.66667 1 12 22 35 8 18.75 Gran media
ANOVA 2 FACTORES (Webster)
P. Reyes 7/26/2014
CUADRADO LATINO (Webster)
P. Reyes 7/26/2014
CUADRADO LATINO Es un diseño que permite bloquear dos factores externos, minimizando su variabilidad y efecto en la prueba de efecto del factor de tratamiento de interés, para evitar contaminar la prueba en el factor de interés. Del ejemplo 1, si además de la experiencia influye la hora del día por cansancio del operador, y lo que nos interesa probar la producción de las tres máquinas pero considerando estos dos factores externos, se tiene: En cada celda se requiere sólo un elemento por tratamiento. Con una letra por col. el dis. es Ortogonal Si hay r tratamientos, se tiene r x r elementos para el bloqueo de los dos factores o variables, de ahí el. término de CUADRADO y LATINO porque se utilizan las letras látinas A, B, C, etc. para los tratamientos. La letra latina sólo aparece una vez por cada columna. En el ejemplo 1, ahora se toman tres operadores con 3 niveles de experiencia y trabajando en 3 turnos de trabajo. Las 3 máquinas se identifican como A, B y C. A continuación se muestra el diseño:
Empleado 1
Mañana B/15
Turno Tarde A/18
2
C/12
B/20
A/9
41
3
A/17
C/19
B/10
46
44 Suma A
57 Suma B
30 Suma C
131
Total
columnas
44
CALCULOS: Suma.de.cuadrados.del .bloque .de. filas : .........SCBF =
( 44 ) 2 + ( 41) 2 + ( 46 ) 2
(131) 2
45
Noche C/11
Total filas 44
å ( suma .de.la. fila ) r
42
(å X )
2
2
-
i
r 2
;...... gl = r - 1
CUADRADO LATINO (Webster)
P. Reyes 7/26/2014
TABLA DE ANOVA PARA EL CUADRADO LATINO: Fuente de Variación Bloques de fila
Suma cuadrados 4.222
Bloques de columna
Grados libertad 2
Cuadrado medio 2.111
Valor de F 0.3877
121.56
2
60.778
11.1621
Tratamientos
1.555
2
0.7775
0.1428
Error
10.89
2
5.445
Total
138.22
CONCLUSIÖN: No se rechaza Ho Ho: Las producciones de las máquinas son iguales, después de considerar el turno de trabajo y la experiencia del trabajador
Ejemplo 4.3 pág. 144 del texto de Montgomery Problema de la carga propulsora en función de las formulaciones A-F, considerando los operadores y los lotes de materia prima, cuyo efecto se quiere minimizar. Representan dos factores perturbadores o dos restricciones sobre la aleatorización. Lotes MP
1
Operadores 2
1
A=24
B=20
3
4
5
C=19
D=24
E=24
Gl. = p-1
CUADRADO LATINO (Webster)
P. Reyes 7/26/2014
CALCULOS A B C D E
Totales por letra 18 -24 -13 24 5
y.1 y.2 y.3 y.4 y.5
SS T = å å å y i
SS LOTES
j
k
2 ijk
y..2
(10) 2 = 680 = 676 N 25
2 1 p 2 y .. 1 (10 ) 2 2 2 2 2 2 = å y i .. = [( -14 ) + 9 + 5 + 3 + 7 ] = 68 p i =1 N 5 25
SS OPERADORES
2 1 p 2 y .. 1 (10) 2 2 2 2 2 2 = å y ..k = [( -18) + 18 + ( -4) + 5 + 9 ] = 150 p k =1 N 5 25
SS FORMULACIO NES
1 p 2 y..2 1 (10) 2 2 2 2 2 2 = å y. j . = [18 + ( -24) + ( -13) + 24 + 5 ] = 330 p j =1 N 5 25
SSE = SS T - SS LOTES - SS OPERADORES - SS FORMULACIO NES = 676 - 68 - 150 - 330 = 128 Los grados de libertad se calculan como p - 1 (con p = 5)
CURADRADO GRECOLATINO
P. Reyes 7/26/2014
CUADRADO GRECOLATINO Es un diseño que permite bloquear tres factores externos, minimizando su variabilidad y efecto en la prueba de efecto del factor de tratamiento de interés, para evitar contaminar la prueba en el factor de interés. Es un diseño en tres direcciones, permite la investigación de cuatro factores (renglones, columnas, letras latinas y letras griegas). Del ejemplo 4.3 de cuadrado latino, si se agrega un factor adicional como los montajes de prueba, si a los cinco montajes de prueba se les denomina por las letras griegas alfa, beta, gama, delta y épsilon se tiene el siguiente diseño: Operadores Lotes MP
1
2
3
4
5
1
Aa=-1
Bc=-5
Ce=-6
Db=-1
Ed=-1
2
Bb=-8
Cd=-1
Da=5
Ec=2
Ae=11
3
Cc=-7
De=13
Eb=1
Ad=2
Ba=-4
4
Dd=1
Ea=6
Ac=1
Be=-2
Cb=-3
5
Ee=-3
Ab=5
Bd=-5
Ca=4
Dc=6
Los valores de SStotal, SSlotes, SS de operadores y SS de formulaciones, son iguales a los ejemplo 4.3 Sstotal = 330
SSlotes =68
SSoperadores = 150
SSformulaciones = 330
Lo que cambia es que el error ahora se divide en la suma de cuadrados de los montajes de prueba y el error mismo
Letra griega
Total prueba Página 13
CURADRADO GRECOLATINO
a= alfa b= beta c= gama d = delta e = épsilon
SS ENSA MBLA JE S =
P. Reyes 7/26/2014
y..1. = 10 y..2. = - 6 y..3.= - 3 y..4.= - 4 y..5.= 13
y 2 1 p 2 1 (10 ) 2 = 62 y.. k . - .... = [10 2 + ( -6) 2 + ( -3) 2 + ( -4) 2 + 13 2 ] å p k =1 N 5 25
SS ERR OR = SS T - SS LOTES - SS OPERAD - SS FOR MULA CIO NES - SS MET . ENSA MBLE = 66
La tabla de ANOVA queda como: Fuente de variación Formulaciones
Suma de cuadrados
Grados de libertad
Cuadrado medio
Fo
330
4
82.5
Lotes de MP
68
4
17
Operadores
150
4
37.5
Montajes Prueba
62
4
15.5
Error
66
8
8.25
Total
676
24
CONCLUSI N:
Valor de P 10
0.0033
Las formulaciones tienen un efecto significativo en la respuesta después de considerar los lotes de materias primas, los operadores y los montajes de prueba
Página 14
