Ángulos y Triángulos Mis Temas



10. Ángulos y Triángulos Introducción Unlock Access to An Cada vez que giramos, generamos un ángulo. Lo mismo ocurre cuando abrimos o cerramos una puerta o con el movimiento de las agujas de un reloj. Para la geometría, el ángulo es un conjunto de puntos y por lo tanto una figura de dos lados.

Exclusive 30 Cuando medimos (con unidades sexagesimales), en realidad estamos midiendo su Day Trial abertura. Es de fundamental importancia porque su descubrimiento, hace ya miles

Ángulos y Triángulos Temas de años, le ha permitido al hombre resolverMisproblemas científicos y técnicos, por ejemplo la construcción de herramientas, máquinas y obras de ingeniería.

Accessfue Now La primera aplicación de los triángulos en el antiguo Egipto, cuando los agricultores lo utilizaron para demarcar sus terrenos luego de las inundaciones del rio Nilo, hoy sabemos que es invalorable la exclusive hora de trial rea lizar construcción construcción por ser No thanks, I don't wantamy una figura rígida. [1]

10.1 Angulo p lano determinado por dos semi se mi ±rectas Definición.- ³El ángulo es una porción del plano que tienen origen común´. El origen origen ³O´ de las semi- rectas se llama llama vértice del ángulo y las las semi ±rectas OA y OB son los lados del ángulo.

Los ángulos se denotan de d e las siguientes maneras: y y

y

Con una letra griega escrita en el e l interior (, , «). Con tres letras mayúsculas, una en el vért ice y dos en los lados, escribiendo al al medio la letra del vértice. Con un número escrito en el interior del ángulo [2]

Sistemas

los sistemas más importantes para medir medir de medidas de ángulos.- Entre los

tenemos:

1.- Sistema sexagesimal.- Este sistema divide a la circunferencia en 360 partes iguales. Cada una de esas partes part es recibe el nombre de grado grad o sexagesimal o simplemente grado y se lo representa mediante un cero pequeño (°), cada grado a su vez se divide en 60 minutos ( ), y cada minuto en 60 segundos ( ) igual que en el sistema horario. '



[9]



Su sistema de numeración es en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.

Unlock Access to An

1h

60 min

1º

60'

Exclusive 30 60 s Day Trial 60'' Ángulos y Triángulos Mis Temas

Operaciones en el sistema sexagesimal Access Now

Suma er

1 paso

No thanks, I don't want my exclusive trial

Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.

o

2 paso Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirá a los minutos.

er

3 paso Se hace lo mismo para los minutos.



Resta er

1 paso

Unlock Access to An Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.

Exclusive 30 Day Trial Ángulos y Triángulos Mis Temas

2o paso

Access Now

Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos los segundos del No athanks, I don't want myminuendo. exclusive trialA continuación restamos los segundos.

er

3 paso Hacemos lo mismo con los minutos.

[3]

2.- Sistema Circular.- En este sistema se usa como unidad el ángulo llamado

"radián". Un radián es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Como la longitud de una circunferencia es 2 radianes, es decir 6.28 radianes, dándole a el valor de 3,14. Un radián equivale a 57°18' (se obtiene dividiendo 360° entre 2 ) [4]

3.- Sistema Centesimal.-La unidad de medida angular es igual al grado centesimal,

que equivale a la centésima parte del ángulo recto.  

 (Un grado centesimal)



Los submúltiplos son:  

  (Un minuto centesimal) Unlock Access to An

Exclusive 30 Las unidades de arco en este sistema es el grado centesimal, que es el arco que Day Trial equivale a las 400 ava s partes de la circunferencia. 



  (Un segundo centesimal)

  Mis Temas Ángulos y Triángulos    Access Este sistema quiso desplazar con su uso alNow sistema sexagesimal, pero no resulto práctico porque para su empleo era necesario modificar las tablas y cartas geográficas. Náuticas yNo astronómicas cambiar la graduación de muchísimos thanks, I don't y want my exclusive trial aparatos. Fue ideado por J.C. Borda, un Geodesta francés y en la actualidad dicho sistema se utiliza en el ejército de su país de nacimiento. [5]

10.1.1 Clasificación de los Ángulos Los ángulos se clasifican según su Magnitud, su característica ó su posición. 1.- Según su magnitud pueden ser: a) Ángulo Agudo, Son aquellos que miden menos de 90°. b) Ángulo Recto, Son aquellos cuya medida es igual a 90°. c) Ángulo Obtuso, Son aquellos que miden más de 90°. d) Ángulo Llano, Son los que miden 180° e) Ángulo Cóncavo, Son los que miden más de 180° y menos de 360° 2.- Según su característica los ángulos pueden ser:

a) Ángulos Complementarios, Son dos ángulos cuya suma es igual a 90°.

b) Ángulo Suplementario, Dos ángulos son suplementarios cuando su suma de ambos es igual a 180°.

a)

3.- Según su posición, los ángulos pueden ser:

b)

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a) Ángulos Consecutivos, son aquellos que tienen su vértice y un lado común. son dos consecutivos cuyos lados no b) Ángulo Adyacente, Unlock Access toángulos An comunes son semi restas opuestas.

Exclusive 30 semi rectas opuestas. Day Trial b)

c) Ángulos opuestos por el vértice, son aquellos por cuyos lados son a)

c)

Ángulos y Triángulos Mis Temas

Access Now No thanks, I don't want my exclusive trial

<1 = <3 y <2 = <4

10.1.2 Bisectriz de un Ángulo Se llama bisectriz de un ángulo a la semi recta que tiene su origen en el vértice del ángulo y divide a éste en dos partes iguales.



Si el ángulo es  la bisectriz OP d ivide a  en dos partes iguales a /2.

Propiedades: 1.- Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. 2.- Las bisectrices de los ángulos adyacentes son perpendiculares entre sí.

Axiomas, postulados y teoremas Axiomas.- Son proposiciones que se aceptan como verdad, son necesarias al empezar una teoría y se aplican de manera general. Entre los más importantes se tiene: 1. 2. 3. 4. 5.

El todo es igual a la suma de sus partes. El todo es mayor que una de sus partes. Cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. Cualquier cantidad es igual a sí misma. Todo puede ser reemplazado por su igual.

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6. Si a los dos miembros de una igualdad se suma una misma cantidad: la igualdad de mantiene. 7. Si a los dos miembros de una igualdad se resta una misma cantidad: la igualdad se Unlock Access to An mantiene. 8. Si a los dos miembros de una igualdad se multiplica una misma cantidad: la igualdad se mantiene. 9. Si a los dos miembros de una igualdad se divide una misma cantidad: la igualdad se mantiene.

Exclusive 30 Day Trial

que se aceptan como verdaderas, son necesarias al Postulado.- Son proposicionesÁngulos y Triángulos Mis Temas empezar una teoría y se aplica a una rama particular de la matemática. Entre los más importantes se tiene: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Access Now

Por dos puntos solo puede pasar una recta. thanks,un I don't my exclusive trial Dos rectas que se cortanNotienen solowant punto en común. La recta es la línea de menor longitud que se puede trazar entre dos puntos. El punto medio de un segmento de recta es único. La bisectriz de un ángulo es ú nica. Por un punto de una recta se puede trazar una perpendicular a ella.

Teorema.- Son proposiciones verdaderas que es necesario su demostración para ser aceptadas como tales. Constan de dos partes.

a) Hipótesis, es lo que se asume como verdad (dato). b) La tesis, es la parte que se quiere demostrar(conclusión) Ejm. Los complementos de un mismo ángulo o de ángulos iguales son iguales. Todos los ángulos rectos son iguales.

Recíproco de un teorema.- Cuando en una proposición se intercambia la hipótesis y la tesis, se llama Proposición Reciproca y cuando la proposición recíproca es también verdadera, recibe el nombre de teorema Recíproco.

Demostración de un teorema.- En la demostración de un teorema se debe seguir el siguiente procedimiento. Determinar la hipótesis y la tesis 1. Hacer un dibujo apropiado utilizando notaciones y marcas convenientes. 2. Anotar el símbolo de la hipót esis (H) y la tesis (T).

10.2 Triángulo Definición.- Es una porción del plano limitada por tres rectas que se cortan de dos en dos. Los puntos de intersección son los vértices del triángulo y los segmentos determinados por los puntos de la intersección son los lados del triángulo.

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Los ángulos formados por dos lados del triángulo se llaman ángulos interiores y los ángulos formados por un lado y la prolongación de otro lado se llama ángulos exteriores. Unlock Access to An

Exclusive 30 Un triángulo está formado por elementos primarios y secundarios: Day Trial

[2]

10.2.1 Elementos

y

Elementos primarios Ángulos y Triángulos Mis Temas

Corresponden al vértice, lados, ángulos interiores y ángulos exteriores. Vértice; son los puntos de origen de los segmentos se denotan con letras Access Now mayúsculas A, B, C«Z. No thanks, I don't want my exclusive trial

Lados; son los segmentos de la poligonal. Se designan por las dos letras de sus extremos coronadas por un pequeño trazo: ² ² ² ²

²

AB, BC, CA, ... XY, YZ o por una letra minúscula (a, b, c) que corresponde a la letra que nombra el vértice opuesto (A, B, C).

Ángulos interiores; Son aquellos formados por cada par de lados consecutivos del triángulo. Se denominan por tres letras mayúsculas de los vért ices o por una letra griega ubicada entre los lados del ángulo. Teorema. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.

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Ángulos exteriores; son ángulos formados por un lado del triángulo y la prolongación de otro hacia la región exterior.

to Aninterior adyacente con su sub la letra Access del ángulo Se denotan generalmente por Unlock índice o con letras griegas. Teorema. La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es 360°

Exclusive 30 Day Trial Ángulos y Triángulos Mis Temas

y

Elementos Secundarios

En estas se encuentran la Mediana, Bisectriz Access NowInterior, Mediatriz y Altura

10.2.2 Clasificación

[6]


Se clasifican por sus lados, por sus ángulos.

1. Por sus lados a) Triángulo Escaleno, tiene tres lados desiguales b) Triángulo Equilátero, tiene tres lados iguales c) Triángulo Isósceles, tiene dos lados iguales. a) b)

c)

2.-Por sus Ángulos

Triángulo rectángulo, un ángulo resto Triángulo obtusángulo, Un ángulo obtuso c) Triángulo acutángulo, tres ángulos agudos. a) b) a) b)

c)

[2]

10.2.3 Base Media

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Teorema Si desde el punto medio del lado de un triángulo se traza una paralela al otro lado, ésta paralela pasa por el punto medio del tercer lado.(paralela media) y es igual a la Unlock Access to An mitad del tercer lado. H) E punto medio de AB EF // AC T) BF = CF EF = AC 2 Demostración Ángulos y Triángulos Mis Temas 1.FG// AB Construcción 2. EF//AC Hipótesis Access Now 3.

10.3 Rectas, segmentos y Puntos notables de un triángulo En todo triángulo existen puntos que cumplen funciones específicas, los principales son los siguientes. 1.- Mediana.- Es el segmento de la recta que va desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto de un triángulo. El punto de intersección de las medianas se llama Baricentro .

2.- Bisectriz interior.-Es el segmento de resta que biseca el ángulo interior

de un triángulo y llega hasta el lado opuesto. El punto de intersección de las bisectrices se llama I ncentro, que es el centro de la circunferencia inscrita.

3. Mediatriz.- Es la recta perpendicular en el punto medio de cada lado del

triángulo. El punto de intersección de las mediatrices se llama C ircuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita.

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4.Altura.- Es el segmento perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto, o la prolongación del mismo. El punto de intersección de las Unlock Access to An alturas se llama Ortocentro.


10.4 Congruencia de triángulos. Ángulos y Triángulos Mis Temas

Definición.-Se llama triángulos congruentes a los que tienen igual forma y tamaño. Por lo tanto sus lados y sus ángulos correspondientes iguales. Accessson Now

10.4.2 Postulados


1.- Dos triángulos son congruentes, si tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales (L.A.L).

2.- Dos triángulos son congruentes, si un lado y los dos ángulos continuos de un triángulo son iguales a los correspondientes elementos del otro triángulo (A.L.A).

3.- Dos triángulos son congruentes, si los tres lados de un triángulo son iguales a los correspondientes lados del orto triángulo (L.L.L).

4.- Dos triángulos son congruentes, si dos ángulos y un lado opuesto a uno de ellos son iguales a los correspondientes elementos de l otro (A.A.L).



Casos particulares 1.- Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen respectivamente Access to An iguales los ángulos agudosUnlock y un cateto.


2.-Dos Triángulos rectángulos son congruentes si tienen la hipotenusa y un

ángulo agudo igual.

Propiedades

Ángulos y Triángulos Temas se confunden entre si se traza las líneasMis notables 1.- En todo triángulo equilátero

del mismo vértice.

Access Now

2.- En todo triángulo isósceles las líneas notables co rrespondientes al vértice se

superponen.


3.- Si los lados de un triángulo son iguales, entonces los ángulos opuestos a

ellos también son iguales.

4.- Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios. [2]

10.4.3 Aplicaciones a.- Desde el punto de vista matemático los ejercicios se lo pude plantear de la siguiente manera.

Operaciones con ángulos



a adición de ángulos es similar al de

adición

Adición

de

segmentos

para

obtener

gráfica mente primero se traza uno de los ángulos, luego a partir del lado final de este ángulo se traza el siguiente ángulo.

1.- Dados los ángulos: =25°, = 30°, = 40°; realiza la adición. 2.- Dados los ángulos: =25°, = 30°, = 70°; realiza la sustracción gráficamente. Para realizar gráficamente debes tener en cuanta: Trazar el ángulo del minuendo y luego se sobre pone el ángulo del sustraendo a partir del ángulo minuendo la diferencia de ángulos está entre el lado inicial del minuendo y el lado final del sustraendo.



R esuelve

R esuelve

Unlock Access to An

Exclusive 30 4.- OD  OA y OC es bisectriz del Day ángulo AOD.

Determina la medida de los ángulos X y Y , y justifica tu respuestaAccess Now No thanks, I don't want my exclusive trial

5.a)

b)

6.- Determina la medida de los ángulos desconocidos. a)

b)

En el mundo real los ángulos y triángulos nos sirven para la construcción de casas, muebles y diversas formas de edificaciones.

b.- Las profesiones que la aplican son: Arquitecto, Albañil, Carpintero, Ingeniero, manualidades«etc.

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10.4.4 Teorema de Pitágoras El teorema de Pitágoras es considerado como una de las demostraciones más Unlock Access An descubierto por los babilonios impresionantes de la geometría, este ya habíatosido hace miles de años, pero se le atribuye a Pitágoras porque fue quien lo demostró.

Exclusive 30 Los egipcios lo utilizaron de una forma práctica para la construcción de ángulos rectos, hecho que fue de gran utilidad a la hora de realizar obras arquitectónicas. Day Trial

La hipotenusa de un triangulo rectángulo es opuesta Ángulos y Triángulos Mis Temasal ángulo recto y es el lado más largo del triángulo rectángulo, en este caso se representa por la letra ³c´.

Access Now Los catetos del triángulo rectángulo son los otros dos lados que se representan por las letras ³a´ y ³b´. No thanks, I don't want my exclusive trial

El origen de la palabra cateto es griego y significa ³perpendicular´ o ³línea que cae a plomo´.

Demostración. Este teorema era conocido en China, Mesopotamia y Egipto, mucho antes de los tiempos de Pitágoras. Una de las demostraciones más antiguas es la siguiente. Partiendo de un triángulo rectángulo como el de la figura 1 y utilizando cuatro de ellos, construimos la figura 2.

Figura 1 Figura 2

En la figura 2, el área del cuadrado grande es (a+b) 2. Pero la figura 2 se descompone en 4 triángulos y un cuadrado más pequeño. El área que obtenemos sumando las cinco partes es c 2+4(ab/2) = c2+2ab. De aquí obtenemos que (a+b) 2 = c2+2ab; es decir, a2+2ab+b 2 = c2+2ab, y simplificando a2+b2 = c2. (q.e.d.). [7]

Teorema. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

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Unlock Access to An

Demostración:


Ángulos y Triángulos Mis Temas como el del dibujo del enunciado del teorema Si tenemos un triángulo rectángulo podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b, más lo que mide el cateto c, es decir b+c, como en la figura de la derecha. 2 Now El área de este cuadrado será (b+c)Access . No thanks, I don't want my exclusive trial de los triángulos Si ahora trazamos las hipotenusas rectángulos que salen tendremos.

Se puede poner ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos azules

Más el área del cuadrado amarillo . Es decir, el área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo:

Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado grande y tenemos:

si ahora desarrollamos el binomio , nos queda:

que después de simplificado resulta: [8]

Ejemplo ¿Cuál es altura del edificio, cuando la sombra que proyecta es de 120 metros y AB mide 156 metros?

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Para ello utilizará el teorema de Pitágoras 2

2

2

1) c =a +b

Unlock Access to An

2

Despejando ³a ´ tenemos:

Exclusive 30 ecuación Trial 2 tenemos: Sustituyendo valores en laDay 2

2

2

2) a =c -b

2

2

2

a = (156) -(120)


2

a = 24336-14400=9936 a=

Access Now


a = 99.67 metros

Aplicación 1.-Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento. 2.-Si un Eucalipto de 16 m. de altura se quiebra por el viento de manera tal que la punta toca al suelo a 6 m. de distancia de la base, ¿ha qué altura a partir del suelo fue quebrado el Eucalipto?

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BIBLIOGRAFÍA Unlock Access to An CIFUENTES Marisa, LUIS Claudia, ³Enciclopedia Estudiantil de la Matemática II´, Ed. Cultural librera Americana, Buenos Aires, 2009. [1]

Exclusive 30 Lic. MAR TIN Moya A, Lic. JOSÉ G. Onte.O ³ eometría y Trigonometría ´,Universisa Mayor de San Simon. [2] Day Trial http://www.vitutor.com/di/m/b_1.html 11:18 pm del 18 de marzo [3] G

Ángulos y Triángulos Mis Temas 11:22 pm del 18 de marzo[4] http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometri/medidang.htm Dr. JOSÉ Fernandes C, Dr R DOLFO Sturm Lic. ³El mundo de las Matemáticas ´,ed.Oceano S.A -Barcelona 1979. [5] Access Now

http://es.scribd.com/doc/46984647/Elementos-de-un-triangulo 10:00 am 6 de marzo de 2011 [6] No thanks, I don't want my exclusive trial http://es.scribd.com/doc/46984647/Elementos-de-un-triangulo 10:00 am 6 de marzo de 20011[7] http://www.terra.es/personal/arey42/pitagora.htm

10: 29 del 18 de marzo [8]

DON BOSCO, ³Matemáticas 7 primaria´, Ed. Don bosco[9]

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