Àngulos, razones trigonomètricos

DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA ÁREA: MATEMÁTICA TEMA: ANGULO TRIGONOMÉTRICO TURNO: NOCHE PABELLÓN: B

MATEMÁTICA BÁSICA

E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA CICLO: I SEMANA: 03 SEMESTETRE: 2017 - II

AULA: 501B

CONCEPTO Y APLICACIÓN Rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.

Artillería: ¿A qué distancia se encuentra un blanco al que se desea disparar con una catapulta o con un cañón?

Astronomía: Cálculo del radio de la Tierra, distancia de la Tierra a la Luna, distancia de la Tierra al Sol, predicción de eclipses, confección de calendarios. c alendarios.

Cartografía: Elaboración del mapa de un lugar del que Cartografía: se conocen algunas distancias y algunos ángulos.

Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Web: http://migueltarazonagiraldo.com/

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DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA ÁREA: MATEMÁTICA

E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA

MATEMÁTICA BÁSICA

CICLO: I Navegación: Construcción de cartas marinas en las que se detalle la ubicación de escollos, arrecifes, ...

Construcciones: Cómo construir un edificio para que cumpla ciertas exigencias de orientación. En qué dirección se excava un túnel para que salga, al otro lado de la montaña, en el lugar deseado.

Ángulo Trigonométrico.- Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u origen desde una posición inicial hasta otra posición final, debiendo considerar que esta rotación se efectúa en un mismo plano. Por lo tanto debemos considerar dos tipos de rotación: Sentido Antihorario

Sentido Horario

NOTA: Si el ángulo tiene rotación antihoraria la medida del ángulo será positivo. ∝  

Si el ángulo tiene rotación horaria la medida del ángulo será negativo.   





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CICLO: I

ÁNGULO DE UNA VUELTA Se genera por la rotación completa del rayo, es decir su lado final coincide con su lado inicial por primera vez.

Solución: Horario, entonces tiene signo negativo: Luego:

MAGNITUD DE UN ÁNGULO Los ángulos trigonométricos son ilimitados a diferencia de la geometría.

3. De la figura, indicar qué relación existe entre ,  y

Medida del ángulo trigonométrico  < −∞, + ∞ > Ejercicios resueltos 1. De la figura, calcular el valor de “x”

x –  +  –  + 90º = 360º x = 360º +  –  +  – 90º  x =  –  +  + 270º Los ángulos:  y  tiene sentido de rotación.



Solución: Del gráfico observamos que:  es ( + )   ( – )   ( – )

Entonces:













2 vueltas 360

  -  - 

= 720°

Ejercicios

Solución: El ángulo (50 – 3)° tiene sentido negativo:  + 30° – (50 – 3)° = 180°



 + 30° – 50° + 3 = 180°

1. Señale la relación correcta entre  y . a)  +  = 90º b)  -  = 90º c)  +  = -90º d)  +  = 0 e)  -  = 90º 2. Del gráfico determine x.

4 – 20° = 180° 4 = 200° 

 = 50°

2. De la figura, hallar “x” en términos de ,  y 


3. Calcular “x”




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4. Hallar “x”

CICLO: I g

1



1 vuelta



400

1 vuelta



400

g

g 1 = 100m

Además:

1m = 100s g 1 = 10000s

5. Del gráfico hallar “x”

3. SISTEMA RADIAL.- Llamado también circular o internacional, es aquel que tiene como unidad a un radián (1 rad) que viene a ser la medida de un ángulo central en una circunferencia cuando el arco que le corresponde mide igual que el radio de la circunferencia. En el gráfico adjunto.

6. Calcular el valor de x:

Además:

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Son las diferentes formas en que se pueden medir los ángulos; destacando solamente:

1  = 2

CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS S

C 

1. SISTEMA. SEXAGESIMAL (S).- Llamado también inglés; es aquel que divide al ángulo de una vuelta en 360 partes iguales; denominando a cada una de ellas un grado sexagesimal (1°)

180 º

200

R g



 .rad

Unidad: 1

1 vuelta 



1 vuelta



360

360

Además:

1º = 60' 1' = 60" 1º = 3600"

*

2. SISTEMA CENTESIMAL (C).- Llamado también francés; es aquel que divide al ángulo de una vuelta en 400 partes iguales, denominando a cada una de ellas g un grado centesimal. (1 ) Unidad: Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Web: http://migueltarazonagiraldo.com/

CONSIDERACIONES

1)

1rad > 1° > 1g

2)

360° < > 400g < > 2πrad 180° < > 200g < > πrad



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180° < > 200g

3)

CICLO: I 

3)

4)

<>

centesimales

rad 

10

9°<>10g 180° < > 200g


9° < > 10g

a°b'c'' = a° + b' + c" agbmcs = ag + bm + cs

5)

a° = (60a)' = (3600a)" 



20

g

ag = (100a)m = (10000a)s

Ejercicios

27' < > 50m

6)

01. De la siguiente relación:

81" < > 250s

S

Es el procedimiento mediante el cual un ángulo expresado en cierto sistema; se expresa en unidades de otro sistema. El criterio a utilizar se llama "método del factor de conversión", que consiste en multiplicar al ángulo por una fracción cuyo numerador y denominador son equivalentes y están dados por dos ángulos expresados en los sistemas que intervienen. Así por ejemplo;

6

10R 



9C S

Calcular el número de grados centesimales. 02. Hallar el complemento del ángulo

2 5

rad en el

sistema sexagesimal. 03. La suma de dos ángulos es 120° y su diferencia es 

3

Convertir:



rad. Hallar la medida del menor de los ángulos en

grados sexagesimales.

1) 45º  Radianes

04. De la figura, calcular “”.

5 -4

  

rad

4 g

2) 60

07. Convertir: 45° a grados centesimales. 

sexagesimal

08. Convertir:

2 rad

09. Simplificar:

 

54

o


3

a grados sexagesimales.

M

180( C  S )(C S ) 19SC

10. La suma de las medidas de dos ángulos es /10 rad y la diferencia de los mismos es 9°. Calcular la medida del mayor de los ángulos.




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RAZONES TRIGONOMETRICAS PARA TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

CICLO: I Observación: 1. En un triángulo rectángulo

Definición.- La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto a uno de los ángulos agudos. Sea el triángulo rectángulo ABC recto en B.

Ejercicios Resueltos 01. En un triángulo rectángulo  recto en B reducir:  = . + . 

Solución: Elementos:

Hipotenusa (H)  b Catetos respecto al ángulo “ ” a) Cateto opuesto (C.O.)  a b) Cateto adyacente (C.A.)  c m

∢ CAB



Representamos un triángulo que se ajuste al problema:

 (agudo)

Razones Trigonométricas para el ángulo “”:

02. Si:  es un ángulo agudo tal que cos 

1 

3

.

Calcular  .

Solución: Del dato:

“

” debe estar dentro de un triángulo rectángulo.

Por ejemplo:





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CICLO: I

Ejercicios

03. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se cumple que: cos A

csc B 

01. Si:

5

Calcular:  =  – 

Calcular: L

Solución: Del enunciado: cos A

cos   

10 10

csc 

 0    90





ctg

csc B 

02. En un triángulo rectángulo ABC (recto en “C”)

5

reducir:

03. En un triángulo rectángulo ABC recto en B. Reducir:  =   +   Por el teorema de Pitágoras:

04. Si: sec x



7

05. En un triángulo  recto en  se tiene que  +  = 2.

Nos piden:

06. Del gráfico hallar:

04. Desde el lugar donde me encuentro, la visual de la torre forma un ángulo de 32° con la horizontal.

08. A partir de la figura mostrada, calcular:  =  + 

Si me acerco 25 m, el ángulo es de 50°. ¿Cuál es la altura de la torre? Solución

09. Si: sec 


3 

3



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10. De la figura, calcular:

E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA CICLO: I

15. Calcula la altura, h, de los siguientes triángulos:

11. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos

BIBLIOGRAFÍA 12. Dos antenas de radio están sujetas al suelo por cables tal como indica la figura. Calcula la longitud

de cada uno de los tramos de cable y la distancia AE .

Espinoza, E. (2007). Análisis matemático I para estudiantes de ciencias e ingeniería. Lima: Servicios Gráficos. Fuller, G., Wilson, W., & Miller, H. (1986). Algebra Universitaria. Mexico D.F: Continental. Instituto de Ciencias y Humanidades. (2008). Algebra y principios del análisis. Lima: Lumbreras.

REFERENCIA 13. Cuando los rayos del sol forman 40° con el suelo, la sombra de un árbol mide 18 m. ¿Cuál es su altura?

http://www.luiszegarra.cl/moodle/mod/resource/vi ew.php?id=24 http://www.migueltarazonagiraldo.com/ http://www.luiszegarra.cl/moodle/

14. Una escalera de 3 m está apoyada en una pared. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo si su base está a 1,2 m de la pared?

http://www.curiosfera.com/historia-de-losnumeros/ https://es.slideshare.net/miguelangeltarazonagirald o/historia-de-los-nmeros-79492383 VIDEO https://www.youtube.com/watch?v=xmJiBMylH3A



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