Vientos de renovación corren por los pasillos de la educación, circulan por los sistemas de educación de la gran mayoría de países del mundo. Los críticos de la educación exigen hoy que la enseñanza, que el proceso de transmitir un conocimiento estén apoyados en una sólida fundamentación psicológica, que los docentes reemplacen el objetivo o eliminen de los logros el deseo de transmitir conocimientos y en cambio se desarrolle el firme propósito de enseñar a pensar, de enseñar por medio de métodos en los que se desborde la excelente didáctica, fundamentada en el alma de un pedagogo (esto último no lo dan las universidades, nace desde lo interior de cada persona que posee el vivo deseo de enseñar bien), se cree un fundamento firme que dote de herramientas a los educados para pensar de la forma como los retos del nuevo siglo y los avances lo exigen. En relación a los cambios que se vienen dando en los procesos educativos, en Colombia, estos procesos de mudanza se manifiestan toda vez que se desarrollan congresos y encuentros pedagógicos, con el fin de encontrar nuevos currículos y materiales didácticos, principalmente plasmado en textos, cuya metodología, organización de contenidos y sistemas evaluativos responden de manera paliativa al nuevo enfoque o direccionamiento constructivista del conocimiento en la vía de enseñar a pensar y entender el por qué de un proceso o resultado (Razón Matemática). Acogiendo a esta actitud de cambio en relación a la cual vengo hablando, yo un alumno de Licenciatura en Matemática y Física, deseo presentar una nueva Guía Didáctica, realmente nueva. Basta ya de libros matemáticos que te muestran muchos ejercicios pero de ellos entiendes pocos, que te hablan en un lenguaje extraterrestre y luego no te traduce en términos terrenales (un aprendizaje no meta-cognitivo, antes bien intra-cognitivo). Ésta guía está solidificada en el real deseo de cumplimiento con características distintivas que corresponda con los nuevos requerimientos y son los siguientes: Cumplen con las exigencias del nuevo programa curricular. Su lenguaje es de fácil interpretación por parte de los estudiantes, sin menoscabo del rigor propio del lenguaje científico o los términos técnicos. Al finalizar de los temas se propone un adecuado número de ejercicios debidamente ordenados y acordes con los el desarrollo de la guía bajo su propio grado de complejidad. Las preguntas y ejercicios o problemas matemáticos propuestos están fundamentados en variables cuyos valores se ajustan a la realidad y al contexto cotidiano. Cada unidad está precedida de una portadilla que incluye los objetivos y una breve reseña histórica de lo referente al tema que se desarrolla en la guía; con lo que se busca que el educando o quien la estudia, comprenda que el conocimiento, incluyendo el matemático, es histórico y se construye día a día. Al final de la unidad se presenta: Ejercicios de repaso y fundamentación. Respuesta a los ejercicios propuestos.
Yubert Hurtado M.
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GUÍA PARA RESOLVER CON PROPIEDAD LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS
INTRODUCCIÓN Los ejercicios y problema matemático son y fueron creadas sobre los mismos principios de creación de un virus cibernético; el virus existe porque existe alguien que lo creó, al igual que creó la cura o antivirus, por lo tanto, todo ejercicio o problema matemático no importa la forma como esté planteado, este generalmente tiene una solución la cual está implícita en el planteamiento mismo. Los ejercicios que involucran límites trigonométricos no se exceptúan de esta generalidad, ya que estos vienen predispuestos para dar un resultado que está incluido en ellos mismos; por más complejo que parezca el límite Trigonométrico en su estructura, no obstante si hacemos un pequeño esfuerzo neurológico o cerebral, llegaremos a la conclusión que todo está allí, es decir, ya el resultado estaba dado. En este trabajo que contiene una guía para resolver límite trigonométricos podrás comprobar que mi apreciación camina sobre la línea de la perfección y podrás obtener herramientas que te harán idóneo para resolver cualquier límite Trigonométrico sin importar su grado de dificultad. Las matemáticas y todas sus ramas para entenderlas simplemente hay que tratar de conocer algunas claves. Nada en las matemáticas es tan difícil como parece (quienes enseñan las matemáticas con falta de una correcta pedagogía y con la ausencia de una buena didáctica, son quienes mancillan una ciencia perfecta y en últimas terminan por hacer que se cree una fobia hacia las Matemáticas, fobia que se alimenta por la existencia de indoctos profesores que deberían desaparecer, ya que están enseñando mal algo que después de DIOS es lo único perfecto), antes bien el hecho que sea una materia o ciencia casi perfecta, por no decir perfecta, es una gran ventaja ya que todo tiene un solo resultado, existen en ocasiones diversos procesos o métodos pero un solo resultado. Los límites trigonométricos no son más que la unión o relación de límites (con todo lo que estos contiene) con funciones trigonométricas, fundamentados de manera procedimental en operaciones, expresiones algebraicas y uniformidad de expresiones matemáticas como base para su solución. Bajo la generalidad y sobre cualquier fundamento interpretativo de quienes conocen o entiende algo de la Trigonometría, los límites trigonométricos se pueden resolver aplicando un límite notable (son aquellos que su 1 resultado se obtiene sin proceso y son iguales a 1, y 0) o una identidad trigonométrica y en algunos casos se 2 debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un número, factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites, en conclusión; utilizar cualquier cantidad de artificios matemáticos que estén fundamentados en los reglamentos o parámetros de la materia misma. En ocasiones es necesario aplicar las propiedades de los límites de acuerdo a la operación planteada o límites especiales.
Yubert Hurtado M.
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OBJETIVOS Dotar a quienes utilicen este trabajo, de herramientas facultativas que le permitan solucionar cualquier tipo de límites trigonométricos sin importar el grado de complejidad, estando en la capacidad de explicar y demostrar que el uso de un procedimiento o método es correcto para resolver un ejercicio que involucre límites Trigonométricos. Este fin General que anteriormente dejé claro se podrá alcanzar fundamentado en los siguientes fines específicos: Aprender a resolver límites por simple inspección aplicando los límites notables y las clases necesarias para tal proceso. Solucionar límites trigonométricos usando algoritmos claros y sencillos. Emplear de manera correcta las equivalencias de las funciones trigonométricas. Adquirir en bases sólidas que se conviertan en el punto de apoyo para resolver cualquier límite Trigonométrico sin importar su grado de complejidad. Aprender algunas claves puntuales que permiten solucionar límites trigonométricos de manera fácil. Creer que los límites trigonométricos son sencillos. Aprender a plantear ejercicio que involucren límites trigonométricos.
Yubert Hurtado M.
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TABLA GENERAL DE EQUIVALENCIAS TRIGONOMÉTRICAS (X≠0)
Reciprocas senx
1 csc x
Y
csc x
1 senx
Tanx
1 cot x
y
Cotx
1 Tanx
cos x
1 sec x
y
sec x
1 cos x
Razón de dos Funciones Tanx
senx cos x
Cotx
cos x senx
Pitagóricas sen 2 x cos 2 x 1
cos 2 x 1 sen 2 x
senx / 1 cos 2 x
sen 2 x cos 2 x 1
cos x / 1 sen 2 x
sec 2 x tan2 x 1 csc 2 x cot 2 x 1
En Función de Seno, Coseno y Tangente FUNCIÓN
Senx
Senx
senx
Cosx
1 sen
Tanx
senx
Cotx
Secx
Cscx
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Cosx
2
1 sen x 1 sen 2 x senx
1 1 sen 1 senx
2
1 cos
2
x
1 cos cos x
2
cos x 1 cos
2
1 tan 2 x
1 1 tan
2
x
1 tan x
x
1 tan 2 x
1 1 cos
tan x
Tanx
x
1 cos x
x
Cosx
x
2
Tanx
2
x
1 tan tan
2
x
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Los siguientes límites son considerados como lim x 0
senx x senKx 1 2) lim 1 3) lim senx 0 4) lim 1 x 0 x 0 x 0 x senx Kx
lim cos x 1 6) lim x0
lim x 0
CASOS NOTABLES:
x 0
1 cos x 1 cos x 1 0 7) lim x 0 x2 2 x
tan x x tan Kx 1 9) lim 1 10) lim 1 x 0 tan x x 0 x Kx
K, representa una cantidad cualquiera
ALGUNAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS MÁS USADAS SON: Identidades Básicas 1 senx 1 cos x 1 senx cos x tan x tan x cot x csc x cot x senx sec x cos x Identidades Fundamentales de la Trigonometría o Pitagóricas sen2x+cos2x=1
1+tg2x=sec2x 1+ctg2x=csc2x
Identidades de la suma de ángulos Sen(xy)=senx cosycosx seny cos(x y) cosxcosy senxseny 1 cos 2 x 1 cos 2 x sen 2 x cos 2 x 2 2 Identidades de ángulos Doble sen2x=2senxcosx
cos2x=cos2x-sen2x
Identidades de ángulos medio 1 cos x sen( x / 2) 2
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cos( x / 2)
1 cos x 2
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CLAVE GENERAL PARA RESOLVER LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS: Teniendo en cuenta que cualquier ejercicio matemático, sin importar su forma o estructura, sin tener en cuenta las operaciones que lo conforman o las operaciones indicadas en este; todos los planteamientos matemáticos vienen preestablecidos para dar un resultado matemático implícito o incluido ya en ellos. Esta regla General que deja claro que todo resultado o respuesta de un ejercicio matemático ya está contenido en la expresión matemática misma, también es aplicable para los ejercicios que corresponden a límites Trigonométricos. Teniendo en cuenta lo anterior y puntualizando con relación a límites Trigonométricos, es necesario decir que todo límite Trigonométricos está planteado incluyendo en el mismo su resultado, es decir, que cualquier ejercicio trae indicado el resultado; por ejemplo si tenemos un límite Trigonométrico que en el numerador contiene un coeficiente o un número indicador de multiplicación, o sea, un número que éste al lado de la identidad trigonométrica, y al igual que en el denominador haya otro término en las misma condición, estos dos números, tanto de del numerador como el del denominador (forma una fracción) serán la respuesta. A continuación lo mostraré a través de un ejemplo:
lim sen5 x , observemos que en el numerador el coeficiente cinco y en el denominador el coeficiente es ocho, x 0 8x 5 por lo tanto, la respuesta será la fracción conformada por 5 y 8, en decidir, , ya que el objetivo del caso es dejar a 8 5 5 senx sobre x, sabiendo que esto es igual a 1 y 1 por Es igual a . 8 8 Existen ocasiones en las que no aparece ningún número, en este caso generalmente la respuesta es cero (o). Algunos ejercicios poseen número en el numerado pero no en el denominado o viceversa, cuando el número aparece sólo en enumerado, la respuesta será ese número; en caso de sólo estará en el denominado, la respuesta será una fracción cuyo denominador constante y su denominador el número que aparece en el ejercicio. Veamos una continuación:
lim x , obsérvese que en el numerador no hay coeficiente, sabemos que es 1, en el denominador aparece x 0 Tan6 x 1 x en 6, por lo tanto la respuesta será un sexto ( ). Ya conocemos que Es igual a 1, de allí que el objetivo será 6 Tanx 1 llegar a esta expresión y es muy sencillo, simplemente ponemos a multiplicar . 6 Veámoslo más claramente: lim x Si reemplazamos directamente a x por cero nos dará una indeterminación, ya que Tan de cero es x 0 Tan6 x cero (0), por lo tanto, es necesario aplicar los procedimientos que me permitan resolver el límite Trigonométrico: 1
lim x x 0 Tan6 x
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lim 1 x x 0 6 Tanx
1 lim x 6 x 0 Tanx
1 (1) = 6
1 6
6
Otras claves importantes son: Todas las funciones TRIGONOMÉTRICAS se pueden reemplazar pero no es recomendable reemplazar al seno o coseno, en otras palabras, se puede sustituir por su equivalente cualquier función menos seno y coseno. Habrán ocasiones en que seno y coseno darán forma a las identidades Pitagóricas, en estos casos sí se deberá sustituir. Cuando en un ejercicio aparezca sólo una función trigonométrica no es necesario reemplazarla por su equivalente, sólo se debe aplicar la clave general que mencioné anteriormente, en la que explicaba que la respuesta a un límite Trigonométrico es el número o números que aparecen indicados en el planteamiento. Como se muestra en el ejemplo anterior. A continuación algunos ejemplos resueltos que permite analizar cada caso en particular: Ejemplos: 1. 2.
3.
Sen 6 x =1 6x Sen 3x 3 Sen 3x Sen 3x Sen 3x = Lim = Lim 3 = 3 Lim = 31 3 Lim X 0 X 0 X 0 X 0 x 3 x 3x 3x Lim X 0
Lim X 1
Sen ( x 1) =1 (1 1)
Supongamos que x-1 = y entonces tendremos:
seny 1 y 1 y
lim
Sen ( x 2) 1 ( por simple inspección ) X 2 (3x 6) 3 Es decir, es sencillo, el resultado es el uno (1) como numerador, ya que este es el coeficiente de seno y el tres como denominador, este es el coeficiente de la X Sen ( x 2) Sen ( x 2) 1 Sen ( x 2) 1 Sen ( x 2) Lim Lim Lim Lim X 2 (3x 6) X 2 3( x 2) X 2 3 X 2 ( x 2) 3 ( x 2) 1 1 1 3 3 De igual manera x x x Sen Sen Sen 2 Lim 2 1 Lim 2 1 1 1 4. Lim X 0 X 0 x x 2 2 2 X 0 x 2 2 2 sen2 x 1 sen2 x 1 sen2 x 2 sen2 x sen0 0 lim 2 lim lim 5. lim x 0 3 x 0 x 3 x0 2 x 3 3x 3(0) 0 x0 3x cos cos x 2 0 lim cos x lim cos xsenx lim senx sen 1 6. lim x x cot anx 0 x 2 cos x x 2 cos x 2 2 2 cot an senx 2 Lim
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7.
Lim Y 0
1 Cosy y
Para resolverlo utilizaremos un procedimiento común en algunos límites trigonométricos y que consiste en multiplicar por el conjugado de una expresión. Multiplicamos por el conjugado de
1 Cosy
que es 1 Cosy
1 Cosy Y 0 y
Lim
1 Cosy 1 cos y 1 Cos 2 y Sen 2 y Lim Lim( ) Lim Y 0 Y 0 y (1 cos y ) Y 0 y (1 cos y ) y 1 cos y
Lim Y 0
Sen y Sen y 0 Lim 1 0 Y 0 (1 cos y ) 11 y Recordando que sen2x + cos2x=1 sen2x= 1-cos2x sen2x= 1+cos2x sen2x-1=cos2x
Yubert Hurtado M.
8
8.
Primero sustituyo Tangente (tany=seny/cosy) seny seny Tany Seny seny (1 cos cy ) seny seny cos cy cos y Lim Lim Lim Lim 3 3 3 Y 0 Y 0 Y 0 Y 0 y y cos y y y 3 cos y Aplico factor Común (senx) Resuelvo fracc Aplic Ley de Oreja o Divis de Fracc; Y está sobre uno Así: seny seny seny senx cos y seny senx cos y cos y 1 cos y ( ) ( ) ( ) 3 3 y 3 cos y y y 1 1 senx Recordando que tan x cos x Multiplico por la conjugada de 1-cosx que es 1+cosx, complificando, es decir, multipl tanto numeradr como denomin. Sustituyo 1 cos 2 y por sen 2 y , que al multiplicar por el seny= sen 3 y
Lim Y 0
seny (1 cos cy ) 1 cos y seny (1 cos 2 y ) sen 3 y Lim Lim Y 0 y 3 cos y (1 cos y ) Y 0 y 3 cos y (1 cos y ) 1 cos y y 3 cos y
1 cos
Separo sen 3 y buscando dar forma a (
2
sen 2 x
Multiplico senx por sen 2 x = sen 3 x
seny 3 ) que es =1, aplico propiedad: Límite de un Producto, reemplazo a y3
x por cero y resuelvo así: 1 3
seny 1 1 1 Lim 13 Lim Y 0 cos y (1 cos y ) (1 1) 2 y Y 0
EJERCICIO RESUELTOS PASO A PASO CON EXPLICACIÓN (algorítmicamente) SENCILLOS: A continuación resolveré algunos ejercicios usando un algoritmo que te permita obtener herramientas para solucionar límites trigonométricos. Obviaré la evaluación de estos, ya que todos son indeterminados. Por simple inspección puedes notarlo. 1.
Tanx X Senx Sustituyo Tanx, recordemos que nos recomendable sustituir las funciones Seno y Coseno: lIM
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9
senx senx lim cos x Multiplico los extremos entre sí (ley de oreja) lim X Senx cos x X senx 1 Reescribiendo la expresión sin cambiar su resultado, separó la fracción creando un producto entre dos Senx fracciones, buscando dar forma a que es =1 Senx
senx 1 Anulo seno sobre seno que es=1 y sustituyo a Pi en cosx X Senx cos x 1 1 1 1 1 cos 1 lim
2.
sen 4 x Nótese que en el numerador como coeficiente está el número 4 y en el denominador la X 0 x constante 1, por lo tanto, por simple inspección este límite será igual a 4 o simplemente 4. (es 1 importante saber por simple inspección el resultado de un límite Trigonométrico, lo demás sencillamente es saber que operaciones y que procesos utilizar) lim
sen 4 x 4 sen 4 x Multiplico y divido por 4 así: lim Multiplico los denominadores, es decir, X 0 x 4 x sen 4 x a 4 por x, buscando dar forma a límite notable 4x sen 4 x sen 4 x lim 4 Aplico límite especial 4 lim 4 1 4 X 0 X 0 4x 4x lim
X 0
3.
1 cos x Aquí podríamos suponer por simple inspección que el resultado es un quinto pero es 5x 1 cos x importante agregar que se haya implícito un límite notable , el cual equivale a cero y x 1 recordemos que todo lo que se multiplica por cero es igual a cero, en este caso 0 0 5 1 Multiplico por un quinto , recordando que puedo extraer la fracción completa de expresión y pasarla a 5 multiplicar así: lim
X 0
1 1 cos x 1 lim Aplicó límite notable 0 0 X 0 5 x 5 4.
sen3x 1 cos 2 x El resultado de este ejercicio es sencillamente 3, ya que el coeficiente de X 0 x seno es 3, te preguntarás y qué pasa con el 2, que es el coeficiente de coseno; obsérvese que si separamos la expresión creando una suma de fracciones homogéneas, la segunda fracción será el límite lim
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1 cos 2 x sen 3x Y éste es igual a cero (0) y al sumar cero con el límite notable , que se 2x 3x 3 forma al poner a 3 a multiplicar y dividir , sobra el 3 que multiplica en el denominador, el resultado 3 será entonces 3. Veamos: notable
sen 3x 1 cos 2 x Reescribiendo la expresión como suma de fracciones homogéneas: X 0 x
lim
sen3x 1 cos 2 x Aplicó propiedad de los límites (adición de límites) así: X 0 x x
lim
sen3x 1 cos 2 x lim Sacó los coeficientes 3 y 2, tanto de seno como de Coseno a multiplicar X 0 x x y dividir, buscando la forma a límites notables para finalmente aplicar límites especiales así: 3 sen3x 2 1 cos 2 x sen3x 1 cos 2 x lim lim 3 lim 2 lim X 0 3 X 0 2 X 0 X 0 x x 3x 2x lim
X 0
Aplicó límites notables: 31 20 3 0 3
5.
1 cos 2 x lim Apliquemos identidades fundamentales Pitagóricas: X 0 4x 2 1 cos 2 x sen 2 x lim Como el coeficiente en el numerador es 1 y el denominador es 4, X 0 X 0 4 x 2 4x 2 puedo entonces formar una fracción con estos buscando la forma a un límite notable así: lim
1 sen 2 x 1 sen 2 x lim Si deseo puedo elevar ambas Aplicó límite especial entonces: X 0 4 4 X 0 x 2 x2 cantidades² (esto no es más que una arandela que le da elegancia y extensión el al ejercicio), refiriéndome 2 2 1 1 senx senx Reescribiéndola entonces: lim Aplicó límite límite especial así: lim 4 X 0 x 4 x 0 x 1 2 notable: 1 1 4 4 lim
6.
Tanx X 0 Cotx
lim
Como las dos funciones relacionadas no son ni seno, ni coseno entonces puedo sustituirlas por su equivalente así:
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senx 2 Tanx cos x Multiplico los extremos entre sí lim sen x sustituyo lim X 0 Cotx X 0 cos 2 x X 0 cos x senx 2 lim tan 2 x aplico tangente de cero tan0 0 lim
X 0
7.
Tanx X 0 Cotx
lim
senx Tanx 1 senx lim Sustituyo: lim cos x aplico ley de oreja: lim anulo senx: lim X 0 Cotx X 0 Cosx X 0 senx cos x X 0 senx 1 1 1 Hallo coseno de cero: 1 1 Cos0 Otra forma de llegar al mismo resultado pero con un poco más de arandelas procedimentales:
senx Tanx senx lim Sustituyo: lim cos x aplico ley de oreja: lim reescribo el producto y aplico X 0 Cotx X 0 senx cos x X 0 senx 1 senx 1 senx 1 1 lim lim lim sustituyo X 0 senx X 0 senx X 0 cos x X 0 cos x cos x
Propiedad límite de un Producto: lim X:
1 1 1 1 cos0
8.
lim X
2
Cosx Cotx
Cosx Cosx senx cos x lim Sustituyo Cotx: lim 1 multiplico los extremos: lim anulo coseno: Cotx Cosx Cosx X X X 2 2 2 senx senx 180 lim lim senx sen sen sen90 1 1 X x 2 2 2 2
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LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS MÁS COMPLEJOS:
1.
Sen x 3 Lim 1 2 cos x X 3
Sen x 3 sen( ) sen(0) 0 0 Lim Al evaluar resulta: 3 3 = 1 2 cos x 1 11 0 X 3 1 2 1 2 cos
3
2
Desarrollemos sen x : recordando la identidad: sen(xy)= senx cosy cosx seny 3 1 3 senx 3 cos x sen x senx cos sen cos x senx cos x 3 3 3 2 2 2
Son fracc. Homogéneas: resto numeradores sobre común denominador Luego: uso la conjugada senx 3 cos x que es senx 3 cos x , recordando que cuando tengo un producto indicado de dos cantidades iguales con signos distintos así: x y x y sólo se multiplican los extremos entre sí, resultando x 2 y 2 Resolviendo produc indic, aplico propiedad: product de raíces de igual índice en el numerador:
lim
X
3
senx 3 cos x senx 3 cos x sen 2 x 3 cos 2 x lim 2(1 2 cos x ) senx 3 cos x X 2(1 2 cos x )( senx 3 cos x ) 3
La Raíz desaparece al aplicar propiedad: Producto Raíces igual índice así:
3 3
33
9 3
Aplico uniformidad de operación matemática y propiedad Límite de un producto creando dos limites separados, así: 1 sen 2 x 3 cos 2 x lim lim (1 2 cos x ) X X 2( senx 3 cos x ) 3
3
Reemplazo sen 2 x por 1 cos 2 x teniendo en cuenta que en el denominador está 1 2 cos 2 x
1 1 cos 2 x 3 cos 2 x lim lim (1 2 cos x ) X X 2( senx 3 cos x ) 3 3
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en la primera fracción, en la segunda reduzco a cos 2 x con 3 cos 2 x que es 3 2 = 4 cos x , aplico caso 4 de Fact.: Dif. de Cuadrado y reduzco las raíces que están en la primera fracción Hallo Seno y Coseno de
1 3 3 1 ) 2 2
2( 1
2 3
(1 2 cos)(1 2 cos x ) 1 4 cos 2 1 Simplifico (1-2cosx) lim 1 2 cos x 2 3 X 1 2 cos x X 3 3 lim
lim 1 2 cos x X
3
1 1 2 cos 3 2 3 2 3 1
1 1 1 2 2 2 3
Suma de fracciones radicales Homogéneas 3 1 Observemos lo que sucedió con las raíces: 2 [ 3 ] 2 2
2 3 2 2 2.
lim x 0
2
2 3
3 3 2 2 2
3
1 cos x cos x lim 1 cos x cos x lim cos x cos 0 1 1 cos x 1 cos x lim lim x 0 x 0 senx tan x senx senx senx cos x x0 senx(1 cos x) x0 senx sen0 0 senx cos x
Por lo anterior, que vemos es una indeterminación, es preferible sustituir a senx Tan de cero (0) así: lim x 0
3.
3 3 2 2
cos x
por Tanx y luego hallar
senx tan x tan0 0 cos x
tan 2 x tan 2 0 0 0 x 0 1 cos x 1 cos 0 (1 1) 0
lim
2
senx 2 1 cos x 1 cos x tan x sen 2 x 1 cos 2 x cos x lim lim lim lim lim x 0 1 cos x x 0 1 cos x x 0 1 cos x cos 2 x x 0 1 cos x cos 2 x x 0 1 cos x cos 2 x
lim x 0
1 cos x 1 cos 0 1 1 2 cos 2 x
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cos 2 0
12
14
4.
lim senx tan x Si evaluamos notamos que el resultado efectivamente es cero (0) pero lo vamos x 0 senx 1 a resolver suponiendo que fuera un límite Indeterminado, lo cual permitirá demostrar que las claves para resolver Límites son correctas.
Evaluemos, es decir, reemplacemos a x por cero: lim sen(0) tan(0) 0 0 0 = = =0 x 0 sen(0) 1 0 1 1 Analizando podemos observar que no existen coeficientes, ni en el numerador ni el denominador, por lo tanto, el resultado será cero (0) RESOLVIENDO: Utilizo identidades fundamentales, recordemos que se reemplazan todas las funciones menos seno y coseno: senx senx cos x 1 1 cos x Se realizan las operaciones fraccionarias, tanto en numerador como denominador:
cos xsenx senx cos x cos x 1 cos x Obsérvese que en el numerador el seno está repetido en los dos miembros de la suma, por lo tanto esta expresión califica para factor común Aplico factor común en el numerador (Factorizo): senx (cos x 1) cos x cos x 1 cos x Por tener una expresión que es fracción de fracción o división fraccionaria, podemos aplicar lo que vulgarmente conocemos como ley de oreja Multiplicamos extremos y medios entre sí, es decir, cambio de denominador:
( senx )(cos x 1)(cos x ) (cos x )(cos x 1) Observemos que hay coseno y cos + 1 dividiendo y multiplicando (cosx) y como la división y la multiplicación son inversas, puedo anular, en este caso simplificar como se muestra arriba Simplifico:
senx
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Sustituyo X
sen (0) = 0 15
A continuación desarrollaré ejercicios que en su apariencia expresada parecen tener un grado de dificultad muy alto pero son simplemente una estructura que asusta (aquí está uno de los límites Trigonométricos que más me agradó crear):
senx cos x 2 4 cos x 1 senx
senx sen 2 x cos 2 x Resuelvo suma fraccionaria: lim 2 4 cos x(1 senx ) X
5. lim X
2
2
Reemplazo sen 2 cos 2 por 1, recordemos que esta equivalencia hace parte de las pitagóricas 1
senx sen x cos 2 x 2 cos x ( 1 senx ) 4 2
lim
X
2
lim
4 X 2
2
senx 1 Reescribiendo el numerador, aplico cos x(1 senx ) 1
Propiedad conmutativa de la suma, entonces: senx 1 1 senx simplifico 1 senx
lim
4 X 2
2
1 sustituyo X: cos x
lim
4 X 2
1 4 cos 2 2
2
1 senx cos x(1 senx )
1 Simplifico 4 cos 2
1 4 aplico relación inversa entre Radicación y Potenciación, por la cual 2 por lo tanto: 2 2 cos 2 puedo decir que si una cantidad subradical cuadrada está elevada al cuadrado, queda solo el subradical o la
cantidad radical así:
2 anulo radical y exponente, entonces: 2
1 1 1 1 cos2180 cos360 1
1 sec x pero las calculadoras científicas cos x 1 que normalmente utilizamos sólo trae las tres principales funciones, por lo tanto es mejor trabajar con cos x Por sustitución de variable: Recordemos que
6. lim x Tanx X 2 2
lim x Tanx Sustitución de variable, entonces sea V x X v si 2 2 X 2 2 X
2
V 0 Por lo tanto sustituyendo:
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sen v 2 aplico fórmula de lim x Tanx v tan v Sustituyo tanv ó vtan: lim v V 0 X 2 2 2 cos v 2
sen
diferencia de ángulos:
lim v
V 0
cos
2
2
cos v cos cos v sen
2
2
senv
simplifico quedando en numerador coseno menos
senv
seno y en el denominador coseno más seno, entonces puedo dar forma a una resta así: v resolverse: v
cos v senv que al cos v senv
senv cos v senv cos v cos v simplifico y reduzco senv: v entonces: senv cos v senv
cos v Transpongo pasando coseno a multiplicar buscando dar origen a un límite notable así: senv v lim cos v aplico límite notable: cos v1 reemplazo v y hallo coseno de 0: V 0 senv cos01 11 1 lim v
V 0
Cada vez que tengas algo parecido a:
7.
lim X 0
cos x senx cos x senx
Será igual a:
cos x senx
1 senx 1 tan x Multiplico por la conjugada (Binomio con signo transpuesto) sen2 x
1 senx 1 tan x 1 senx 1 tan x Aplico Propiedad Producto de Raíces sen 2 x 1 senx 1 tan x X 0 semejantes, en el numerador y el denominador dejo producto indicado así:
lim
1 senx 1 senx 1 tan x 1 tan x
Resuelvo productos subradicales y como estos sen 2 x 1 senx 1 tan x quedan al cuadrado, simplemente hallo raíz cuadrada (Raíz n de un término a la n=el mismo término o subradical:
lim X 0
x n
n
x 3 23 2 ) 1 senx 2 1 tan x 2
lim sen2 x X 0
1 senx 1 tan x
lim X 0
1 senx 1 tan x Rompamos sen 2 x 1 senx 1 tan x
paréntesis: Reduzco Yubert Hurtado M.
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1 senx 1 tan x senx tan x Reduciendo: lim 1 senx 1 tan x X 0 X 0 sen 2 x 1 senx 1 tan x Sustituyamos Tanx y reescribamos sen2x, buscando poder simplificar senx: senx senx cos x Resuelvo suma Fracc.: lim X 0 2 senx 1 senx 1 tan x senx cos x senx cos x Factorizo en el numerador y aplico ley de oreja, pasando cosx al lim X 0 2 senx 1 senx 1 tan x
lim sen2 x
denominador:
lim X 0
lim X 0
senx cos x senx senx cos x 1 cos x lim simplifico: 2 senx 1 senx 1 tan x X 0 cos x 2 senx 1 senx 1 tan x 1 cos x 1 Reemplazo x por cero, teniendo en cuenta que el denominador cos x 2 1 senx 1 tan x
hay una suma interna de radicales y sus subradicales son reductibles y radicables: cos0 1 11 11 11 121 1 12 1 0 1 0 cos0 2 1 sen 0 1 tan0 12 1 1
2 1 11 2 4 2 122 14
8. lim X 0
2 1 cos x Multiplico por la conjugada: sen 2 x
1 cos x
lim X 0
2 1 cos x sen 2 x
2 1 cos x 2 1 cos x
2 1 cos x Rompo paréntesis y multiplico por 2 1 cos x 2 1 cos x X 0 sen x X 0 2 1 cos x 1 cos x 1 cos x conjugada: lim lim 2 2 2 1 cos x 2 1 cos x 1 cos x X 0 sen x X 0 sen x
4
lim sen x
2
2
lim
2
lim
1 cos 2 x Recordemos: 1 cos 2 x sen 2 x 2 sen x 2 1 cos x 1 cos x
lim
sen 2 x Puedo entonces: sen 2 x 2 1 cos x 1 cos x
X 0
X 0
sen 2 x 1 lim lim lim 2 2 1 cos x 1 cos x X 0 sen x X 0 X 0 os reemplazar x por cero:
Yubert Hurtado M.
1 intentem 2 1 cos x 1 cos x
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lim X 0
1 2 1 cos x 1 cos x
1 2 1 1 1 1
1
2 2 2
Reduzco Raíces:
1 1 Racionalizo, es decir, elimino el radical del denominador Resuelvo producto indicado: 4 2 2 2 2 complificando la fracción por una raíz que tenga lo que le hace falta a 2 para tener raíz cuadrada exacta; es este caso ser 4, o sea, 2 2 4 entonces uso 2 :
1 4 2
1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 8 8 42 4 2( 2) 4 4 2
Resolvamos algunos donde el coeficiente de las funciones es literal: 9.
lim X 0
lim X 0
m sen mx Analicemos que m y n son los coeficientes ( ), si recordamos al principio de esta n nx X 0 temática se presentan unas claves, pues apliquémoslas: sen mx m y n formando una fracción salen a multiplicar, conservándose la uniformidad de la expresión: nx 1
lim
m senx m m lim x n 1 n n p p seny sen py p seny 1 1 lim lim qy lim q y y q q
senx m x n
X 0
10.
y 0
y 0
y 0
Veamos este: 11.
tana 2 1 lim a 2 1 Podemos aplicar sencillamente cambio de variable, entonces: a 1 y a 2 1 sustituyendo:
tan y
lim y
Es un límite notable, por lo tanto:
y 1
tan y
lim y
1
y 1
Profe, buenas: Estos dos son los límites que me parecen muy extraños: cos 2 x cos 5x y el numeral 6 de los límites que denominado Complejos lim x2 X 0
Yubert Hurtado M.
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EJERCICIOS PROPUESTOS CON SU RESPUESTA Analiza las respuestas y verás que se aplica la clave general a la que hice referencia al iniciar, demás, se aplican las otras claves puntuales relacionadas con la forma y condición del ejercicio.
x 1 x 0 sen 2 x 2 sen3x 3 lim x 0 sen 2 x 2 sen2 x lim 2 x 0 2 cos x tan x lim x senx 2 x sen 2 3 9 lim X 0 x2 lim
senx tan x 0 1 cos x senx cos x 2 lim x 1 tan x 2 4 tan x senx lim 0 x 0 1 cos x senx tan x lim 0 x 0 x lim sen1 x x 1 2 lim x 0
X 1
1 tan 2 x 2 x 1 tan x 4 lim
1 cos x 1 4 x2 1 cos x 1 lim x 0 sen 2 x 2 lim x 0
xsenx 2 x 0 1 cos x sec 2 tan 3 3 lim 0 5 5 1 senx 1 senx lim 1 x 0 x 1 cos 2 x 1 lim x 3 xsen 2 x 3 4
lim
Yubert Hurtado M.
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