ANALISIS STRUKTUR METODE MET ODE MATRIX
Suatu struktur portal beton dengan konfigurasi dan pembebanan, seperti pada gambar. Ukuran kolom 35/35 cm dan ukuran balok 40/30 cm. Modulus 2 elastisitas beton E = 200.000 kg/cm . 3400kg
1680kg
1680kg
q=980kg/m 1
40/30
Hitung gaya-gaya dalam (Momen lentur, gaya geser, gaya normal) pada elemen-elemen struktur dengan menggunakan Metode Matrix Displacement .
2
35/35
35/35
A
6m
B
6m
1. Matrix Statis Statis : [ A ]
Hubungan antara beban atau gaya luar { P } yang bekerja pada struktur, dengan gaya dalam yang berupa momen lentur pada ujung-ujung elemen struktur { F }, dapat dinyatakan dalam bentuk matrix : { P } = [ A ] { F } F3,e3 P1,X1
F4,e4
P2,X2
F2,e2
F1,e1
Diagram P - X
Analisis Struktur Struktur – Metode Matrix Displacement
F6,e6
F5,e5
Diagram F - e
1
Diagram P-X , adalah diagram yang menunjukkan hubungan antara gaya luar yang bekerja pada struktur dengan deformasi yang dapat terjadi.
Pada diagram P-X, variable P 1 dan P2, menyatakan beban luar yang bekerja pada struktur. Sedangkan variable X 1 dan X2, adalah displacement yang terjadi pada struktur. Diagram F-e, adalah diagram yang menunjukkan hubungan antara gaya dalam, yaitu momen lentur yang terjadi pada ujung-ujung dari elemen struktur, dengan perputaran sudut atau rotasi yang terjadi pada ujung-ujung elemen struktur tersebut.
Pada diagram F-e, variable F 1 s/d F6 menyatakan momen-momen lentur ujung elemen-elemen struktur. Sedangkan variable e 1 s/d e6, adalah rotasi atau perputaran sudut yang terjadi pada ujung-ujung elemen struktur akibat momen lentur. Matrix [ A ] disebut sebagai Matrix Statis . Matrix ini disusun berdasarkan prinsip-prinsip keseimbangan statis pada struktur. Keseimbangan statis pada struktur sbb. : Momen di joint 1 = 0
P1 – F2 – F3 = 0
P1 = F2 + F3
Momen di joint 2 = 0
P2 – F4 – F6 = 0
P2 = F4 + F6
P1 P2
=
0 0
1 0
1 0
0 1
0 0
0 1
[A]
F1 F2 F3 F4 F5 F6
2. Matrix Kekakuan Elemen : [ s ]
Hubungan antara gaya dalam yang berupa momen lentur ( F I dan FJ ) dengan rotasi pada ujung-ujung elemen ( e I dan eJ ), dapat ditulis dalam bentuk matrix sbb. : { F} = [ s ]{ e}
dimana :
{ F } : Momen lentur pada ujung elemen [ s ] : Matrix Kekakuan Elemen. { e } : Rotasi pada ujung elemen
Analisis Struktur – Metode Matrix Displacement
2
Tinjau suatu elemen yang melentur akibat momen lentur yang bekerja pada ujung-ujungnya. Jika pada ujung-ujung elemen bekerja momen lentur F I dan FJ, dan diketahui modulus elastisitas bahan = E, momen inersia elemen = I, dan panjang elemen = L, maka besarnya rotasi atau putaran sudut pada ujung elemen ( e I dan eJ ) dapat ditentukan dari persamaan (lihat gambar) : FI
FI = (4 E.I/L). eI + (2 E.I/L). e J
eJ
E,I,L
I
FJ = (4 E.I/L). eJ + (2 E.I/L). eI
J
FJ
eI
Jika persamaan ini disusun dalam bentuk matrix maka akan didapat Matrix Kekakuan Elemen [ s ] :
FI
4E.I/L
2E.I/L
eI
2E.I/L
4E.I/L
eJ
=
FJ
[s]
Matrix Kekakuan Elemen [ s ] untuk masing-masing elemen struktur disusun sebagai berikut : E,Ib,Lb 3
Momen inersia balok : 3
-3
3
-3
Ib = 1/12.0,30.( 0,40 ) = 1,60.10 m
4
Momen inersia kolom : 1 E,Ik ,Lk
E,Ik ,Lk 2
Ik = 1/12.0,35.( 0,35 ) = 1,25.10
m
4
Modulus elastisitas : E = 2000000000 kg/m
2
Panjang balok : Lb = 6 m, Panjang kolom : Lk = 6 m
Analisis Struktur – Metode Matrix Displacement
3
Matrik Kekakuan Kolom ( Elemen 1 ) : F1 F2
=
4.E.Ik /Lk 2.E.Ik /Lk
e1
2.E.Ik /Lk 4.E.Ik /Lk
e2
Untuk harga Lk = 6m, E = E, Ik = 1,25.10 F1 F2
-3
=
5,0.10 E/6 -3
2,5.10 E/6
-3
-3
2,5.10 E/6
4
m , didapat :
e1
-3
5,0.10 E/6
e2
Matrik Kekakuan Kolom ( Elemen 2 ) : F5 F6
=
4.E.Ik /Lk 2.E.Ik /Lk
e5
2.E.Ik /Lk 4.E.Ik /Lk
e6
Untuk harga Lk = 6m, E = E, Ik = 1,25.10 F5 F6
-3
5,0.10 E/6
=
-3
2,5.10 E/6
-3
-3
2,5.10 E/6 -3
5,0.10 E/6
4
m , didapat :
e5 e6
Matrik Kekakuan Balok ( Elemen 3 ) : F3 F4
=
4.E.Ib /Lb 2.E.Ib /Lb
e3
2.E.Ib /Lb 4.E.Ib /Lb
e4
Untuk harga Lb = 6m, E = E, Ib = 1,60.10 F3 F4
-3
6,4.10 E/6
=
-3
3,2.10 E/6
-3
3,2.10 E/6 -3
6,4.10 E/6
Analisis Struktur – Metode Matrix Displacement
-3
4
m , didapat :
e3 e4
4
3. Matrix Gabungan Kekakuan Elemen [ S ] :
F1
5,0
2,5
0
0
0
0
e1
F2
2,5
5,0
0
0
0
0
e2
0
0
6,4
3,2
0
0
e3
F4
0
0
3,2
6,4
0
0
e4
F5
0
0
0
0
5,0
2,5
e5
F6
0
0
0
0
2,5
5,0
e6
F3
-3
= 10 E/6
[S] 4. Matrix Kekakuan Struktur : [ K ] 3
E1,I1,L1
2
F4,e4
E3,I3,L3 1
F3,e3
1
F2,e2
F6,e6
2
E2,I2,L2
F1,e1
F5,e5
Diagram F - e
Kekakuan Elemen
Perhitungan Matrix :
T
-3
[ S ] [ A ] = 10 E/6
5,0 2,5
0
0
0
0
0
0
2,5 5,0
0
0
0
0
1
0
0
0
6,4 3,2
0
0
1
0
0
0
3,2 6,4
0
0
0
1
0
0
0
0
5,0 2,5
0
0
0
0
0
0
2,5 5,0
0
1
Analisis Struktur – Metode Matrix Displacement
5
2,5
T
-3
[ S ] [ A ] = 10 E/6
T
0
5,0
0
6,4
3,2
3,2
6,4
0
2,5
0
5,0
0 0
-3
[ A ] [ S ] [ A ] = 10 E/6
1 0
-3
T
[ K ] = [ A ] [ S ] [ A ] = 10 E/6
1 0
0 1
0 0
11,4
3,2
3,2
11,4
0 1
2,5
0
5,0
0
6,4
3,2
3,2
6,4
1
2,5
0
5,0
5. Matrix Beban Luar : [ P ] 1680kg
3400kg
1680kg
q=980kg/m 1
40/30
2
P1,X1 35/35
35/35
A
P2,X2
6m
B
6m
Analisis Struktur – Metode Matrix Displacement
Diagram P - X
6
Momen pada ujung-ujung elemen : 2
P1 = +1/12 x 980 x (6) + 1/8 x 3400 x 6 = +5490 kg.m. P2 = - 1/12 x 980 x (6)
2
- 1/8 x 3400 x 6 = -5490 kg.m.
P1
+5490 =
Matrix beban luar : { P } = P2
-5490
6. Displacement Pada Struktur : { X } Displacement X1 dan X2 pada struktur dapat dihitung dari persamaan : [K] {X}={P}
-3
10 E/6
3,2
X1
11,4
X2
11,4 3,2
+5490 = -5490
Solusi dari persamaan ini : X1
3
+669
= 6.10 /E -669
X2 T
7. Rotasi Ujung Elemen : { e } = [ A ] { X } :
e1
0
0
e2
1
0
e3
1
0
e4
=
0
1
e5
0
0
e6
0
1
0 +669 3
6.10 /E
Analisis Struktur – Metode Matrix Displacement
+669 -669
3
= 6.10 / E
+669 -669 0 -669
7
Momen pada ujung elemen-elemen struktur { F } dihitung dari persamaan : {F}=[S]{e}
F1 F2 F3 F4
-3
= 10 E/6
F5 F6
F1
0
0
0
0
0
2,5 5,0
0
0
0
0
+669 +669
0
0
6,4 3,2
0
0
0
0
3,2 6,4
0
0
0
0
0
0
5,0 2,5
0
0
0
0
0
2,5 5,0
-699
3
6.10 / E
-669
+1674 kg.m
F2
+3347 kg.m
F3 F4
5,0 2,5
+2144 kg.m
=
-2144 kg.m
F5
-1674 kg.m
F6
-3347 kg.m
8. Momen Primer Pada Elemen { Fo } :
Fo3 Fo1
Fo4 Fo2
Fo6
0
Fo2
0
Fo3 Fo4 Fo1
Fo5
Analisis Struktur – Metode Matrix Displacement
=
-5490 kg.m +5490 kg.m
Fo5
0
Fo6
0
8
Momen-momen primer pada elemen-elemen struktur : Fo1 = Fo2 = Fo3 = Fo4 = Fo5 = Fo6 =
0 0 2 - 1/12 x 980 x (6) - 1/8 x 3400 x 6 = - 5490 kg.m. 2 +1/12 x 980 x (6) + 1/8 x 3400 x 6 = +5490 kg.m. 0 0
9. Momen Desain Pada Elemen : { Fr } = { F }+{ Fo }
Fr1
+1674
0
+1674 kg.m
Fr2
+3347
0
+3347 kg.m
+2144
-5490
-3346 kg.m
Fr3
=
-2144
Fr4 Fr5
+
=
+5490
+3346 kg.m
-1674
0
-1674 kg.m
-3347
0
-3347 kg.m
Fr6 10. Freebody Diagram Pada Struktur ( Satuan : Kg, Meter ) 3400
1680
1680
q=980 837 837
837 3346
3346 4640
837
3347
6320 1674
837
4640
837
3347
837
6320 837 1674
Analisis Struktur – Metode Matrix Displacement
9
11. Hasil Analisis Struktur Dengan SAP2000 ( Satuan : Kg, Meter )
Bidang Momen (kg, meter)
Bidang Gaya Lintang (kg)
Bidang Gaya Normal (kg) Analisis Struktur – Metode Matrix Displacement
10
Analisis Struktur – Metode Matrix Displacement
11
