Bahan Kuliah Analisa Struktur 4

BAHAN KULIAH ANALISA STRUKTUR 4 I. PENDAHULUAN I.1. Umum

Secara umum struktur yang dimaksud dalam analisis struktur ialah  struktur rangka, rangka, dan dibagi menjadi : balok, rangka batang (truss (truss)) bidang dan ruang, portal ( frame)  frame) bidang dan ruang, kemudian balok grid (balok silang). Jenis struktur ini dapat dijelaskan seperti pada gambar I.1, dan kategori ini dipilih karena masing-masing merupakan jenis struktur yang mempunyai ciriciri tersendiri. Untuk analisis struktur  pada struktur   pada setiap kategori cukup berbeda, sehingga perlu dibahas secara terpisah.

Setiap struktur rangka terdiri batang-batang yang panjangnya jauh lebih besar dibandingkan dengan ukuran penampang lintangnya. Titik kumpul  joint   (joint ) struktur dapat berupa titik pertemuan batang, tumpuan maupun ujung bebas. Tumpuan dapat berupa jepit, sendi atau rol, dan dalam kondisi tertentu tumpuan dapat bersifat elastis (semi kaku).

Gambar I.1. Jenis struktur : (a) balok, (b) rangka batang bidang, (c) rangka batang ruang, (d)

 balok silang, (e) portal bidang dan (f) portal ruang.

Pertemuan antara batang-batang ( joint   joint ) dapat merupakan pertemuan yang sifatnya kaku (rigid ), ), dapat juga merupakan pertemuan engsel (sendi). Pada struktur balok, portal ( frame)  frame)  bidang/ruang joint merupakan pertemuan yang kaku, sedangkan pada struktur rangka batang (truss) truss) bidang/ruang joint merupakan pertemuan sendi. Sehingga pada struktur rangka batang (truss) truss) gaya-gaya dalam elemen yang terjadi hanya gaya aksial saja, sedangkan gaya-gaya yang terjadi pada struktur balok maupun portal dapat berupa gaya aksial, momen lentur, gaya geser dan torsi. Pada pembahasan selajutnya strutkur yang ditinjau dianggap terdiri dari batang prismatis, atau dengan kata lain setiap batang mempunyai sumbu yang lurus, yang seragam diseluruh  panjang batangnya. Untuk struktur dengan batang tidak prismatis akan dibahas pada analisis struktur yang lain.

I.2. Aksi dan perpindahan

Aksi dan perpindahan digunakan untuk menjabarkan konsep dasar tertentu dalam analisis struktur. Suatu aksi (gaya) biasanya berupa gaya atau kopel tunggal, tetapi aksi dapat juga merupakan gabungan antara gaya dan kopel, beban merata atau gabungan aksi-aksi tersebut. Selain aksi luar pada struktur, ada juga aksi dalam struktur, yang merupakan resultante distribusi tegangan dalam yang meliputi : momen lentur, gaya geser, gaya aksial dan momen  puntir (torsi). Pada gambar I.2 balok kantilever dibebani pada ujung B dalam dala m bentuk aksi P1 aksi P1 dan  M1,  M1, pada ujung jepit A akan terjadi gaya dan momen reaksi yang diberi notasi RA notasi RA dan MA dan MA yang digambarkan dengan tanda panah dan garis miring. Untuk menghitung gaya aksial N  aksial N , momen lentur M lentur M dan gaya geser V pada suatu potongan balok, misalnya di tengah bentang, perlu ditinjau keseimbangan statis suatu bagian balok, salah satu cara misalnya dengan diagram benda bebas ( free  free body diagram) diagram) setengah bagian kanan balok seperti pada gambar I.2.(b).

Gambar I.2. Balok Kantilever

Beberapa contoh perpindahan balok prismatis yang disebabkan oleh aksi tertentu pada balok diberikan pada Tabel I.1.

Tabel I.1. Perpindahan Balok Prismatis

I.3. Keseimbangan

Tujuan analisis struktur ialah untuk menentukan berbagai aksi pada struktur, seperti reaksi tumpuan dari resultante tegangan (momen lentur, gaya geser dan sebagainya). Penyelesaian yang tepat untuk besaran tersebut harus memenuhi syarat keseimbangan statis, yang bukan hanya untuk keseluruhan struktur, tetapi juga untuk setiap bagian struktur sebagai benda bebas.

Misalnya ditinjau benda bebas yang menahan beberapa aksi. Resultante semua aksi ini dapat berupa gaya, kopel, atau keduanya. Jika benda bebas tersebut berada dalam keseimbangan statis, maka resultante vektor gaya dan vektor momen harus nol. Vektor dalam ruang dapat diuraikan dalam ketiga komponen sumbu yang saling tegak lurus, misalnya arah X , Y dan Z . Jika resultante gaya dan resultante momen sama dengan nol, maka persamaan keseimbangan statis adalah : Σ Fx

=0

Σ Fy

=0

Σ Fz

=0

Σ Mx

=0

Σ My

=0

Σ Mz

=0

.....................(1-1)

Enam persamaan tersebut merupakan persamaan keseimbangan statis dalam tiga dimensi yang dapat diterapkan pada sembarang benda bebas seperti struktur secara keseluruhan, bagian dari struktur, batang tunggal atau titik kumpul struktur. Apabila benda bebas ditinjau pada suatu bidang, dan semua vektor kopel tegak lurus pada  bidang yang bersangkutan, maka hanya ada tiga persamaan keseimbangan. Misalnya ditinjau  benda bebas pada bidang X-Y, maka akan diperoleh persamaan keseimbangan : Σ Fx

=0

karena persamaan Σ Fz = 0, Σ Mx = 0

Σ Fy

dan

=0 Σ My

Σ Mz

=

=0

0

..........................(1-2)

dengan

sendirinya

telah

terpenuhi.

I.4. Kesepadanan

Syarat kesepadanan menyatakan kontinuitas perpindahan di seluruh bagian struktur, dan kadang-kadang disebut syarat geometris. Syarat kesepadanan ini harus dipenuhi pada semua titik kumpul ( joint ). Pada tumpuan, perpindahan struktur harus konsisten dengan kondisi tumpuan, misalnya pada tumpuan jepit tidak akan terjadi translasi dan rotasi sumbu batang. Pada bagian dalam struktur, misalnya pada titik kumpul struktur yang dihubungkan kaku (rigid ), translasi dan rotasi kedua batang harus sama besarnya.

I.5. Ketidak-tentuan Statis

Tujuan analisis struktur secara umum ialah untuk menentukan reaksi tumpuan dan resultante tegangan dalam. Apabila kedua hal tersebut dapat ditentukan dengan persamaan statika, maka struktur bersifat statis tertentu. Pada umumnya struktur dalam praktek bersifat statis tak tertentu. Ketidak-tentuan struktur dapat bersifat luar, dalam atau keduanya. Suatu struktur disebut tidak tertentu luar apabila  jumlah komponen reaksinya melebihi jumlah persamaan keseimbangan. Oleh karena itu, pada struktur ruang akan bersifat statis tak tertentu bila jumlah komponen reaksinya lebih dari enam, dan pada struktur bidang bersifat statis tak tertentu jika jumlah komponen reaksinya lebih dari tiga. Gambar I.3 merupakan contoh struktur statis tak tertentu luar.

Gambar I.3. Struktur statis tak tentu luar

Karena jumlah persamaan keseimbangan statis hanya tiga, maka ada satu gaya kelebihan yang tidak dapat dihitung dengan persamaan statika, sehingga struktur pada gambar I.3 bersifat statis tak tertentu luar. Pada beberapa struktur dibuat sedemikian rupa, sehingga resultante tegangan pada  penampang tertentu dibuat sama dengan nol. Syarat ini menambah sebuah persamaan keseimbangan statis, dan dapat untuk menentukan sebuah komponen reaksi yang lain. Struktur pada gambar I.4. secara eksternal bersifat statis tertentu, tetapi secara internal  bersifat statis tak tertentu. Rangka batang (truss) pada gambar I.4(a), gaya batangnya tidak dapat dihitung hanya dengan persamaan statika. Apabila salah satu batang diagonal dihilangkan (dipenggal), gaya-gaya batang dapat dihitung dengan persamaan statika. Jadi rangka batang tersebut bersifat statis tak tertentu dalam. Portal ( frame) pada gambar I.4(b) bersifat statis tak tertentu dalam berderajad tiga, dan akan menjadi statis tertentu bila salah satu batangnya dipenggal, misalnya batang CD. Pemenggalan batang CD ini merupakan pelepasan (release) tiga  buah resultante tegangan yaitu : gaya aksial, gaya geser dan momen lentur. Jumlah pelepasan yang dibutuhkan agar struktur menjadi statis tertentu merupakan derajad ketidak tentuan .

Gambar I.4. Struktur statis tak tertentu dalam

I.6. Ketidak-tentuan Kinematis

Bila suatu struktur yang terdiri dari beberapa batang dibebani, maka titik-titik kumpul ( joint ) akan mengalami perpindahan dalam bentuk putaran sudut dan translasi. Suatu sistem  perpindahan  joint disebut bebas, bila setiap perpindahan dapat bernilai sembarang dan bebas terhadap yang lainnya. Jumlah perpindahan  joint yang bebas pada struktur disebut derajad ketidak-tentuan kinematis atau jumlah derajad kebebasan . Jumlah ini sama dengan jumlah

derajad kebebasan yang berupa putaran sudut dan translasi (kebebasan goyangan). Gambar I.5 merupakan contoh portal untuk menetukan jumlah derajad kebebasan. Joint A dan D adalah jepit, joint B dan C masing-masing mempunyai tiga komponen perpindahan yaitu : translasi arah horisontal, vertikal dan putaran sudut. Jika perubahan panjang batang akibat gaya aksial diabaikan, keenam perpindahan akan saling bergantung, karena translasi joint B dan C arahnya tegak lurus terhadap arah batang semula. Jika suatu nilai sembarang diberikan pada salah satu arah perpindahan translasi, maka tiga perpindahan lainnya dapat ditentukan dengan hubungan geomteris. Contoh portal Gambar I.5 tersebut mempunyai putaran sudut pada joint B dan C saling tidak tergantung, tetapi perpindahan translalsi pada joint B dan C saling tergantung. Jadi portal tersebut mempunyai dua derajad kebebasan putaran sudut di B dan C, dan satu derajad kebebasan goyangan, sehingga ketidak-tentuan kinematisnya berderajad tiga. Jika perubahan  bentuk aksial tidak diabaikan, maka keempat perpindahan translasi tidak saling bergantung, dan derajad ketidak-tentuan kinematisnya menjadi enam. Ketidak-tentuan kinematis dan ketidak-tentuan statis tidak boleh dirancukan satu dengan yang lain. Sebagai contoh portal pada gambar I.5(a) mempunyai enam komponen reaksi di A dan D, sehingga derajad ketidak-tentuan statisnya tiga. Jika jepitan di A diganti sendi, maka derajad ketidak-tentuan statisnya akan berkurang satu. Tetapi hal ini akan memyebabkan terjadinya putaran sudut (rotasi) di A, sehingga derajad ketidak-tentuan kinematisnya bertambah satu. Pada umumnya dengan pelepasan derajad ketidak-tentuan statis akan menambah derajad ketidak-tentuan kinematis. Oleh karena itu semakin besar ketidak-tentuan statis, akan semakin memudahkan dalam analisis struktur dengan metode perpindahan.

Gambar I. 5. Ketidak-tentuan Kinematis Portal Bidang

I.7. Persamaan Derajad Ketidak-tentuan

Untuk menentukan derajad ketidak-tentuan berbagai macam struktur dapat dilakukan dengan cara pemeriksaan atau dengan menentukan jumlah pelepasan yang diperlukan untuk membuat struktur menjadi statis tertentu. Pada struktur yang jumlah batangnya banyak,  pendekatan semacam itu akan menjadi sulit, sehingga penggunaan prosedur yang formal akan lebih banyak membantu. Pada struktur rangka batang (truss) bidang dengan m  buah batang dan  j  buah joint (termasuk tumpuan). Jumlah gaya yang tidak diketahui ialah tiga kompo-nen reaksi dan gaya  pada setiap batang, yaitu 3 + m. Pada tiap joint terdapat persamaan keseimbangan ΣFx = 0 dan ΣFy

= 0, penjumlahan ini adalah untuk seluruh komponen gaya, baik gaya dalam maupun gaya

yang di luar struktur. Sehingga jumlah persamaam keseluruhan adalah 2 j. Pada struktur statis tertentu, jumlah persamaan statika sama dengan jumlah yang tidak diketahui, ialah : 2 j = m + 3

........................(1-3)

Apabila struktur dalam kondisi stabil, jumlah batang dan jumlah komponen reaksi r dapat ditukar, sehingga secara keseluruhan syarat 2 j = m + r

.........................(1-4)

harus dipenuhi agar struktur bersifat statis tertentu. Dengan demikian derajad ketidak-tentuan struktur dapat dituliskan dengan : i = (m + r ) − 2 j

......................... (1-5)

Gambar I. 6. Gaya-gaya ujung pada rangka, (a) rangka batang (truss), (b) portal bidang dan (c)

 portal ruang

Pada rangka batang ruang, tiga persamaan keseimbangan ialah seperti pada persamaan (11) : Σ Fx = 0 , Σ Fy = 0 dan Σ Fz = 0, sedangkan jumlah persamaaan keseluruhan adalah 3 j, dan syarat statis tertentu ialah : 3 j = m + r

...............(1-6)

Sehingga derajad ketidak-tentuannya ialah : i = (m + r ) − 3 j

...............(1-7)

Persamaan seperti (1-5) dan (1-7) dapat juga diturunkan untuk portal dengan joint yang kaku. Pada portal bidang, setiap joint kaku mempunyai dua persamaan gaya dan satu persamaan momen. Resultante tegangan pada setiap batangnya dapat ditentukan bila tiga dari enam gaya ujung diketahui, sehingga tiap batang memberi-kan tiga gaya dalam yang tidak diketahui. Suatu  portal bidang yang kaku akan bersifat statis tertentu, jika 3 j = 3 m + r

...............(1-8)

Derajad ketidak-tentuannya ditentukan dengan i = (3 m + r ) − 3 j

...............(1-9)

Dalam persamaan (1-9) ini  j adalah jumlah semua joint yang kaku termasuk tumpuan, dan m adalah jumlah batang. Pada portal ruang, tiap joint yang kaku mempunyai tiga persamaan gaya dan tiga persamaan momen. Resultante tegangan di setiap batang dapat ditentukan apa-bila enam dari duabelas gaya diketahui, sehingga setiap batang memberikan enam gaya yang tidak diketahui. Portal ruang bersifat statis tertentu apabila : 6 j = 6 m + r

.............(1-10)

dan derajad ketidak-tentuannya ditentukan dengan i = (6 m + r ) − 6 j

.............(1-11)

I. 8. Metode Energi

Dalam ilmu mekanika energi didefinisikan sebagai kapasitas untuk melakukan kerja, dan kerja adalah hasil kali suatu gaya dengan jarak kearah gerak gaya. Pada benda padat yang  berdeformasi (berubah bentuk), tegangan yang dikalikan dengan luas adalah gaya, sedangkan deformasi adalah jarak. Hasil kali kedua besaran ini merupakan kerja dalam (internal work ) yang dilakukan oleh benda akibat gaya luar. Kerja dalam ini disimpan dalam benda sebagai energi deformasi elastis dalam atau energi regangan elastis (elastic strain energi). Kemudian

dengan menggunakan azas kekekalan energi dan menyamakan kerja dalam dan kerja luar akan diperoleh defleksi batang yang dibebani aksial, lenturan dan geser. Pemecahan masalah dengan menyamakan kerja luar dan kerja dalam, terbatas pada kejadian hanya satu gaya saja yang bekerja pada batang. Oleh karena itu prosedur yang umum digunakan ialah dengan kerja maya (virtual work ). Pada gambar I.7(a) ditinjau sebuah elemen kecil tak berhingga, yang mengalami tegangan normal σ x . Gaya yang bekerja pada permukaan kanan atau kiri elemen ialah ialah σ x dy dz ,

dengan dy dz adalah luas kecil tak berhingga dari elemen tersebut. Karena gaya tersebut elemen akan bertambah panjang/pendek sebesar ε x dx, dengan ε x adalah regangan pada arah x. Bila elemen tersebut terdiri dari bahan yang elastis linier, maka tegangan akan sebanding dengan regangan, seperti ditunjukkan pada gambar I.7(b). Apabila gaya yang diberikan berangsurangsur dari nol sampai besaran tertentu, maka gaya rata-rata yang bekerja pada elemen ketika terjadi deformasi besarnya adalahσ x dy dz / 2. Gaya rata-rata ini jika dikalikan dengan jarak yang ditempuh akan merupakan kerja yang dilakukan pada elemen tersebut. Pada benda yang elastis sempurna tidak ada energi yang hilang, sedang kerja yang dila-kukan pada elemen disimpan sebagai energi regangan dalam yang dapat dikembali-kan. Jadi energi regangan dalam, diberi notasi U , untuk sebuah elemen kecil tak berhingga yang mengalami tegangan arah sumbu tunggal (uniaxial ) dapat dituliskan sebagai :

dengan dv adalah volume elemen.

Gambar I. 7. Elemen dan Energi Regangan

Dengan menyusun kembali persamaan (1-12), akan diperoleh energi regangan yang disimpan dalam sebuah benda elastis per-satuan volume bahan, atau kerapatan energi regangannya ( strain energy density) Uo . Sehingga :

Pernyataan ini secara grafis dapat ditafsirkan sebagai luas dibawah garis miring pada diagram tegangan-regangan pada gambar I.7(b). Sedangkan luas yang dibatasi oleh garis miring dan sumbu tegangan pada digarm tersebut disebut energi komplementer (complementary energy), yang diberi notasi U *. Untuk bahan yang elastis linier U =U*, sedangkan untuk bahan yang tidak elastis linier seperti pada gambar I.7(c) U ≠ U *. Pada benda yang elastis akan berlaku Hukum Hooke , sehingga σ x =  E ε x, maka  persamaan (1-13) dapat ditulis :

Pada bahan tertentu substitusi nilai tegangan pada batas proporsional kepersamaan (1-14) akan memberikan indeks kemampuan bahan untuk menyimpan atau menyerap energi tanpa deformasi  permanen. Besaran yang diperoleh tersebut dinamakan Modulus Kelentingan ( Modulus of  Resilience) dan digunakan untuk membedakan bahan-bahan dengan mempertimbangkan  pemakaian energi yang harus diserap oleh bahan. Sebagai contoh baja yang mempunyai kuat  proporsianal 200 MPa dan modulus E = 2 . 105 MPa, akan mempunyai modulus kelentingan sebesar :

Dengan pertimbangan yang sama, luas dibawah diagram tegangan-regangan yang lengkap akan memberikan suatu pengukuran kemampuan bahan untuk menahan beban energi sampai  patah (rusak). Hal ini disebut ketangguhan (toughness). Sehingga makin besar luas total yang ada dibawah diagram tegangan-regangan, makin tangguh bahan tersebut. Dalam daerah tak elastis, hanya sebagian kecil energi yang dapat diserap oleh bahan dan dapat dikembalikan lagi. Kebanyakan energi tersebut tersebar kedalam bahan yang berdeformasi permanen dan hilang menjadi panas. Hal ini ditunjukkan seperti pada gambar I.7(c).

II. METODE FLEKSIBILITAS

2.1 Persamaan Aksi dan Perpindahan

Hubungan yang ada antara aksi dan perpindahan berperan penting dalam analisa struktur dan banyak dipakai dalam metode gaya dan kekakuan. Cara yang mudah untuk menyatakan hubungan antara aksi pada struktur dan perpindahan struktur ialah dengan persamaan aksi dan  perpindahan. Sebagai contoh persamaan ini, ditinjau pegas elastis linier pada gambar II.1. Aksi  A menekan pegas sehingga timbul perpindahan D di ujung pegas tersebut. Hubungan antara A dan D dapat dinyatakan dengan persamaan perpindahan, sebagai berikut:  D = F A

.............(2-1)

Dalam persamaan ini,  F adalah  fleksibilitas  pegas dan diindentifikasikan sebagai  perpindahan akibat satu satuan aksi A.

Gambar II. 1. Pegas Elastis Linier

Hubungan antara aksi A dan perpindahan D untuk pegas pada Gambar II.1 dapat dituliskan dengan persamaan aksi yang menyatakan A dalam D :  A = S D

.............. (2-2)

Dalam persamaan ini, S adalah kekakuan  pegas yang diidentifikasikan sebagai aksi yang dibutuhkan untuk menimbulkan perpindahan satu satuan. Terlihat dari persamaan (2-1) dan (22) bahwa fleksibilitas dan kekakuan pegas merupakan kebalikan (invers) antara satu dengan lainnya, yaitu :

Satuan fleksibilitas pegas ialah panjang dibagi gaya , sedang satuan kekakuan ialah gaya dibagi panjang .

Hitungan di atas, yaitu persamaan (2-1) sampai (2-3), yang diterapkan pada pegas juga akan berlaku bagi struktur elastis linier yang dibebani aksi tunggal. Contohnya ialah balok  bertumpuan sederhana dengan gaya terpusat  A di tengah bentang pada Gambar II. 2(a). Perpindahan  D dalam gambar merupakan defleksi vertikal ke bawah di titik tempat A  bekerja  pada balok. Jadi dalam contoh ini, perpindahan  D tidak hanya selaras dengan  A tetapi juga diakibatkan oleh A. Persamaan aksi dan perpindahan di atas, yaitu persamaan (2-2) dan (2-1)  berlaku untuk balok pada Gambar II. 2(a), asal fleksibilitas F dan kekakuan S ditentukan secara tepat. Dalam hal ini fleksibiltas  F adalah perpindahan akibat beban satu satuan seperti pada gambar II. 2(b). Sehingga :

Gambar II. 2 . Fleksibilitas dan Kekakuan Balok dengan Aksi Tunggal

Kekakuan S sama dengan invers dari fleksibilitas, adalah aksi yang dibutuhkan untuk memberikan perpindahan satu satuan, lihat gambar II.2(c), sehingga :

2.2 Matrik Fleksibilitas

Ditinjau struktur balok seperti pada gambar II. 3 yang dibebani  A1 dan  A2  pada ujung  bebas. Beban satuan yang selaras dengan A1 dan A2 masing-masing di-tunjukkan pada gambar II. 3(b) dan gambar II. 3(c). Perpindahan akibat beban satu satuan ini dan yang selaras dengan aksi A1 dan A2 adalah koefisien fleksibilitas, pada gambar ditunjukkan dengan F11, F21,  F12 dan F22.

Gambar II. 3. Balok dengan Koefisien Fleksibiltas

Dengan menggunakan prinsip superposisi (bahan dianggap elastik linier), setiap  perpindahan pada gambar II. 3 dapat dinyatakan sebagai jumlah perpindahan akibat beban A1 dan A2 yang bekerja secara terpisah. Perpindahan D1 dan D2 dapat dituliskan sebagai :

 D11 adalah perpindahan yang selaras dengan  A1 dan diakibatkan oleh  A1,  D12 adalah  perpindahan yang selaras dengan A1 yang diakibatkan oleh A2.  D21 adalah perpindahan yang selaras dengan A2 yang diakibatkan oleh A1,  D22 adalah perpindahan yang selaras dengan A2 dan diakibatkan oleh A2. Setiap suku perpindahan pada ruas kanan persamaan (2-6) adalah fungsi linier dari salah satu beban, yaitu setiap perpindahan berbanding langsung dengan salah satu beban. Misalnya  D12 adalah perpindahan akibat A2 sendiri, yang nilainya sama dengan A2 dikalikan koefisien tertentu. Apabila koefisien tersebut diberi notasi  F , maka persamaan (2-5) dapat dituliskan dengan :

Koefisien  F  pada persamaan (2-7) disebut dengan koefisien fleksibiltas atau untuk mudahnya disebut fleksibiltas. Pada struktur yang dibebani dengan n aksi dan menyebabkan n  perpindahan yang selaras, dapat dibentuk persamaan sebagai b erikut :

Pada persamaan (2-8), koefisien fleksibilitas  Fij adalah perpindahan ke-i (perpindahan yang selaras dengan aksi ke-i) akibat satu satuan aksi ke- j. Koefisien tersebut bernilai positif jika searah dengan arah positif aksi ke-i. Dalam bentuk matrik, persamaan (2-8) dapat ditulis :

atau secara ringkas dapat ditulis dengan :

D=FA

.............(2-10)

D = matrik dengan ordo n x 1 F = matrik dengan ordo n x n A = matrik dengan ordo n x 1

Sebagai catatan, untuk membedakan notasi matrik dengan skalar, maka untuk notasi matrik ditulis dengan huruf tebal (bold ). Koefisien fleksibiltas pada diagonal matrik F disebut koefisien fleksibiltas langsung , yang menyatakan perpindahan akibat aksi satu satuan yang selaras. Koefisien fleksibiltas yang lain disebut koefisien fleksibilitas silang , yang menyatakan perpindahan akibat aksi satu satuan yang tidak selaras dengan perpindahan tersebut. Jadi untuk fleksibiltas langsung i =  j, sedang untuk fleksibiltas silang i ≠  j.

2.3 Metode Fleksibilitas pada Balok

Untuk menentukan kelebihan gaya reaksi pada balok statis tak tertentu seperti pada gambar II. 5(a) dapat dilakukan dengan metode fleksibiltas. Pada gambar II. 5(a) reaksi yang terjadi pada struktur ada empat, dua pada sendi A, satu pada rol B dan satu lagi pada rol C, sehingga struktur merupakan statis tak tertentu berderajad satu. Karena beban arahnya vertikal, maka reaksi di A arah horisontal tidak perlu ditinjau. Reaksi di B ( RB) diambil sebagai kelebihan statis (redundant ), walaupun dapat juga dipilih reaksi pada C. Setelah kelebihan RB diambil maka akan diperoleh struktur statis tertentu seperti pada gambar II. 5(b) dan struktur ini disebut struktur terlepas (released  structure). Akibat beban w struktur terlepas pada joint B akan terjadi defleksi sebesar Δ B seperti gambar II. 5(b), yang besarnya :

Gambar II. 5 . Balok dengan tiga dukungan

Sebenarnya pada joint B ini tidak ada defleksi, karena joint B merupakan dukungan, sehingga reaksi pada B harus sedemikian rupa sehingga defleksi ke atas akibat RB harus sebesar Δ B

, lihat gambar II. 5(c). Dengan prinsip super-posisi perpindahan akhir pada joint B pada

struktur terlepas adalah resultante perpindahan akibat beban w dan reaksi  RB. Perpindahan ke atas akibat RB ialah :

Dengan menyamakan dua persamaan Δ B akan diperoleh :

Sehingga reaksi RB adalah :

Setelah reaksi  RB diperoleh, maka reaksi-reaksi yang lain dapat dihitung dengan  persamaan

keseimbangan

statis.

Persamaan

(2-11)

disebut

persamaan

kesepadanan

(compatibility), yang menyatakan bahwa perpindahan ke bawah akibat beban w sama dengan  perpindahan ke atas akibat reaksi kelebihan. Pada kasus balok dengan tiga tumpuan seperti pada gambar II. 5(a) tersebut dapat juga diselesaikan dengan dengan pendekatan lebih umum sebagai  berikut. Pertama perpindahan akibat satu satuan  RB dihitung, kemudian perpindahan ini dikalikan dengan RB untuk menentukan perpindahan akibat RB. Prosedurnya akan lebih umum dan sistematis bila perjanjian tandanya konsisten dengan aksi dan perpindahan di B. Jadi dengan memberi gaya satu satuan pada joint B yang selaras dengan RB akan terjadi perpindahan δ B, yang besarnya ialah :

Perpindahan akibat RB yang bekerja pada struktur ialah δ B RB , dan perpindahan akibat  beban luar w ialah :

Perpindahan ini tandanya negatif karena arahnya ke bawah. Superposisi perpindahan akibat beban luar w dan reaksi  RB harus menghasilkan perpindahan nol pada joint B. Jadi  persamaan kesepadanannya ialah :

Sehingga akan diperoleh :

tanda positif artinya reaksi RB arahnya ke atas. Pada persamaan (2-14) menyatakan bahwa δ B adalah perpindahan akibat satu unit beban yang selaras dengan  RB , sedangkan Δ B adalah perpindahan akibat beban luar w. Apabila derajad ketidak-tentuan statis struktur lebih dari satu, pendekatan dalam contoh tersebut harus diorganisir lebih lanjut, dan notasi yang lebih umum harus digunakan. Untuk jelasnya ditinjau  pada kasus contoh 2-2 sebagai berikut.

Contoh 2-2 : Balok dengan kedua ujung dijepit pada gambar II. 6(a), dengan modulus elastis E

dan momen inersia potongan I . Momen-momen ujung diambil sebagai redundant dengan notasi  R1 dan R2 , dan akan dihitung besarnya momen-momen ujung tersebut.

Gambar II. 6. Balok Contoh 2-2

Arah positif  R1 dan  R2 ditentukan searah jarum jam, dan dengan bantuan Tabel I.1 dapat ditentukan koefisien-koefisen sebagai berikut.

Analog dengan persamaan (2-14) akan diperoleh persamaan : {Q} + [F] {R } = 0 dengan {Q} adalah matrik perpindahan akibat beban luar, [F] adalah matrik perpindahan akibat gaya satu satuan yang selaras dengan R1 dan R2 (matrik fleksibiltas), dan {R } adalah matrik reaksi sebagai redundant .

“

”

III. METODE SLOPE DEFLECTION III. 1. Umum

Untuk analisis struktur statis tak tertentu dikenal beberapa metode. Salah satunya ialah  Metode Slope Deflection, atau sering disebut dengan Metode Defleksi Lereng . Pada prinsipnya  Metode Slope Deflection ialah metode untuk menentukan momen-momen ujung batang pada  portal ( frame). Beberapa anggapan pada analisis struktur dengan Metode Slope Deflection ialah : 1. Semua joint dihubungkan secara kaku (rigid ); 2. Sudut pada pertemuan batang besarnya tetap sama setelah mengalami rotasi akibat  pembebanan dan sebelum adanya pembebanan (gambar III.1); 3. Perubahan akibat gaya aksial dan akibat gaya geser diabaikan; 4. Rotasi-rotasi pada joint besarnya belum diketahui, yang merupakan bilangan anual yang harus dihitung; 5. Jumlah momen ujung pada setiap joint sama dengan nol (Σ  M = 0), kecuali pada tumpuan yang berdiri sendiri.

Gambar III. 1. Balok Menerus dan Portal

Pada setiap penampang batang akan terjadi gaya aksial, momen dan gaya geser. Karena  pengaruh gaya aksial dan gaya geser diabaikan, maka untuk analisis struktur yang dominan adalah pengaruh momen lentur. Untuk menentukan gaya-gaya reaksi dan tegangan dalam harus dipenuhi syarat-syarat statika dan syarat geometri, seperti yang telah dijelaskan. Selanjutnya untuk analisis dengan  Metode Slope Deflection  diperlukan pengertian tentang Momen Jepit Ujung ( Fixed End Momen) seperti yang akan dijelaskan di bawah ini.

III. 2. Momen Jepit Ujung ( F ixed End

M omen

= Momen Primer)

Momen Jepit Ujung (Momen Primer) ialah momen pada batang yang ujungnya dijepit sempurna. Pada gambar III. 2 (a) diperlihatkan sebuah balok dengan ujung A dijepit dan ujung B rol, maka momen M  F  AB pada jepitan A disebut momen primer akibat beban P . Pada gambar III. 2 (a) θ A = 0, karena dukungan pada A jepit. Untuk mennetukan momen ujung A, jepitan di A dilepas, sehingga struktur se-perti pada gambar III. 2 (b) dan hubungan θ A1

dan θ B1 seperti yang diberikan pada tabel I.1 kasus nomor 8, sebagai berikut :

Gambar III.2 . Balok Jepit-Rol

Akibat momen ujung pada A pada gambar III. 2(c), akan diperoleh hubungan seperti pada tabel I.1 pada kasus nomor 4, sebagai berikut :

III. 3. Persamaan Slope Deflection

Momen ujung batang pada struktur dipengaruhi oleh beban luar pada batang, rotasi ujung dekat, rotasi ujung jauh dan perpindahan joint. Hal ini dapat dijelaskan seperti pada gambar III.3.

Gambar III. 3. Rotasi dan Translasi Joint pada Balok

Momen MAB dan MBA pada ujung-ujung batang pada gambar III. 3 (a) meru-pakan hasil superposisi gambar III. 3(b), III. 3(c ), III. 3(d) dan III. 3(e). Dengan menggunakan tabel I.1 dapat ditentukan :

Perjanjian tanda untuk momen, rotasi, translasi dan reaksi gaya ditentukan sebagai berikut: 1. Momen searah jarum jam diberi tanda negatif , sedang momen berlawanan arah jarum  jam diberi tanda positif ;

2. Rotasi searah jarum jam diberi tanda positif , rotasi berlawanan arah jarum jam diberi tanda negatif ; 3. Translasi ke kanan/atas diberi tanda positif , translasi ke kiri/bawah diberi tanda negatif ; 4. Reaksi arah ke kanan dan ke atas diberi tanda positif , sedang reaksi arah kekiri dan kebawah diberi tanda negatif .

III. 4. Metode Slope Deflection  Tanpa Translasi Joint “

”

Pada struktur portal ( frame) atau balok, kadang-kadang dijumpai struktur yang tidak mengalami translasi joint. Hal ini disebabkan oleh adanya pengekangan, atau karena sifat simetris dari struktur. Pada gambar III. 1(a), balok tidak mengalami translasi pada joint, karena dukungan sendi maupun rol tidak berpindah tempatnya kearah tegak lurus sumbu batang. Pada gambar III. 1(b), joint-joint bebas dapat juga tidak mengalami translasi ke arah horisontal maupun vertikal. Translasi arah vertikal pada joint bebas tidak ada karena pada bagian bawah ditahan oleh dukungan jepit, sedangkan translasi horisontal dapat juga tidak terjadi apabila kekakuan, geometri dan beban yang diberikan pada struktur simetris.

Pada struktur yang tidak mengalami translasi joint sering disebut dengan struktur yang tidak goyang. Pada struktur semacam ini berarti tidak ada tranlasi (Δ) ke arah tegak lurus

sumbu batang, sehingga persamaan Slope Deflection pada persamaan (3-10) nilai R = 0. Untuk selanjutnya akan diberikan beberapa kasus struktur yang tidak mengalami translasi joint.

III. 5. Metode Slope Deflection  Dengan Transalasi Joint “

”

Pada struktur yang sebagian joint-nya mengalami translasi joint, nilai  R (=Δ/L) pada  batang yang berhubungan dengan joint tersebut tidak sama dengan nol. Hal ini dapat terjadi pada  balok menerus yang salah satu dukungannya berpindah tempat atau pada portal yang mengalami goyangan akibat bentuk struktur dan pembebanan yang tidak simetris. Balok menerus seperti pada gambar III. 6, dukungan pada joint D turun, sehingga batang CD dan DE nilai RCD ≠ 0 dan RDE ≠ 0 . Untuk batang BC nilai RBC = 0 karena dukungan B dan C tidak berubah tempatnya. Pada balok menerus biasanya perpindahan (translasi) joint ini nilainya diberikan (diketahui), sehingga nilai R yang merupakan rasio Δ dan L langusng dapat dihitung. Portal pada gambar III. 7 merupakan portal yang mengalami translasi ke arah horisontal  pada joint-joint B dan C. Nilai Δ  pada joint B dan C besarnya belum diketahui, sehingga  besaran Δ ini merupakan bilangan anu yang harus dihitung. Jadi pada portal yang mengalami goyangan, derajad kebebasan kinematiknya akan bertambah sesuai dengan jumlah goyangan yang terjadi. Untuk menentukan nilai R  syarat kesepadanan yang harus dipenuhi ialah jumlah gaya horisontal harus sama dengan nol (Σ  FH = 0). Pada portal gambar III. 7(a) besaran yang harus dihitung ialah θ B , θC dan  R, karena dukungan A dan D jepit, nilai θ A dan θ D = 0. Dari syarat kesepadanan pada joint B dan C akan diperoleh dua persamaan. Dua persamaan tersebut belum cukup untuk menyelesaikan nilainilai θ B , θC dan  R. Satu lagi persamaan untuk menye-lesaikan kasus tersebut ialah  persamaan goyangan Σ  FH = 0 →  HA + HD + P = 0. Pada portal dengan dua tingkat akan diperoleh nilai goyangan  R1 dan  R2. Sehingga untuk memenuhi persamaan diperlukan syarat kesepadanan tiap-tiap joint dan persamaan goyangan tingkat atas dan tingkat bawah. Untuk selanjutnya akan diberikan beberapa contoh kasus seperti berikut.