ANLI STRUKT DENGAN ME ODE AIX
CETAKAN KETIGA
R. F.X SUPARTOO R TDDY BO
L V
V (-)
Buku n dituls unu megenang aa para Guru dan Mhguru y:g pe engajar an en ua penus, ena anpa ja erea bu n a aan mung u.
Sjk kuag lbi t yg ll Al tktu tl mg rlu dg ·dipklky aali ar ti Sj itu, tl bayak dituli bukubuk yng myangkut Anli tk ur dngan car at aa uanya bukubuku Anai suktu adalh prblm d trctur td tp pa a bu buku-buku rbut dalh mt td. Aba t agt brgn pd Anli tkt karna munkian mbut pmu py sbagi tu prasi at yag ok utuk kpur digtal Ttap h yag bh ptig agi iah dn makai a atri sl aam struktur dpat danli dngan uau pdkata uu dan ka sifatifat rgai suat mti pmakaia mtri ua guungkan untk prhitugprhitug dngan ang Caa at jug mungknka pnyaian pamanpsaaan dalm bntuk yang kpak, ng ntu sa sanga mbatu ntuk dapat iht pri ara ksuhan d dak rbnam dalam daildtal rthmati Paa khrkhir ni anak pnu nnggap hwa konsp dan tdolog naisa uur ra ar sdah au aakan di Uiria sak ngka wa da maa caraca aisa sukur n kasik d uku ii aih dimuh aa ai yau aa ai ah dpr aa stktur s a a s trtet d sas dak rnu Hl i ilakukan ar rka ang basa da caa-cra kak mh da mu ara ba . p kau suya paa a! uur a a at sut dbdaa uu sas u dan t s da u.
Adau u-uua yaa dlh ebg riku B
I
membh tetg jr mtrx sekedr tuk meggtk k mbai aar daa n k t bb-bb juy d cr Bb I mmraa metoemetoe mtrix g ika u anaa struktur III mmbaa Md kekka d d g a i deg conoh a Ba IV mbaha a cara ma aua m Bab mbaha Md Fibi Fibia a m ba ntang cara ma aya Noda Ekvle. yit uu Bab struktu aa an a mbbaaya tidak p pa i y Pa ma para pl g megp tem ash pada Sheila R.K. yg telh deg teku m p p d mmerk
VV
ktk ktkk; E Km ra ra g e e eg eg bar bar e ku mege mege gmbr Sr S r I r rw Nga N ga Sr. S r. u u Az Az dr Wk W k S r Sm j yg e e mey me ypk pk gmbargmbar- gmbar gmb ar a Sr S r E y T T g ea memba m emba a uag as as a \-mu uku g ga eeaa brsamsma eg uu es p me wa g prua g trktr Ies r ra kas e r g mr m
k ers serg serg g g g
r r auar auar Pe
�
V
8
Ketranga : Untk mudaha. maka otasi-ntasi tersbt tersbt awah itlis itlis ja paa sms sms dan psalpasal yang , tan Bab 1 .
[ I
=
( A ]*T
[A] [A+ A] -1 a i c j j [I]
=
= =
Matx Dtn apose Matrx A] Cat Cat d [A Adot d [A Ivs di [A] E m [A J Ee [ B J [ C Ee Ee El [D Elen en a [ E] E] \x t Bab 2 .
{ D}
=
[ F
K]
{ Q}
Lc k sk x slts 1tx 1tx kak Sk Gyy g ka paa ttk sk Ba 3.
A B {D}
=
=
d} { d}
=
H}
=
[
=
{
=
Mat Dfos tx tts Ltan ttk dsk eformasi i le le ktr ay al l Matx Kkkan Stktr ya yg a ttk t Matx kekohan ntn ln Ba 4
]
A
-
Matx Matx ntra ntra Q Q2 dn Ls pmpag ln
[ O Av
�:ob} E [F] G
yy z [K] [Kj]
fQ {Qb} Q
s T v
Lus efe teraap geer cndun d d Max endun da eemen eemen e eraap eraap m rnanya en. ax enuan yng ea dranan e m r na ruura Matx lutan da emen ke yag tah ditansfom1asikan k m rdna ura nuan pa tt e nduan dpereaan Muu Ea da an Max Fe duu er dr baha Nmen Inera umu dr penampang men nra eraap umu y. men na radap smu \1men nera par da penampng M ax Kaun Yr Kaun d eemen e eraap m dna ya endr a Keun yag e!a drnaan k sst kooinat stkta Mat Kekakua pada een k yang tah ditasoas e ss koodiat skt or!n ak. Pajg ee Mon Lcnt akat aya ur Mo n v oa yag dataka aga baa Jat derjnn aya ua Q. Gya noa yang dyaan ea un sbaga akibat dkkanya gaya v Q. G ur yang bka dttk d Mar ya dr a an Ma gaya pada tk bbas. i
ar aya da een k haap m koodinat en arx yng t ah dranaan k m rdna , ruura Yat gaya pa emen k yag th dranan k m k n t skt. a r x Trna en tosi akbat gay la
M
)
t Vx
vx
en t1 ii ec n pon d b G G G e
{ D J' {D}
FFOJ [
Lendtn dtt kt trx en: pd eleenemen kontk i er ent kbt bekeny y-y r mn ekto en tnJoreponn enn vekor y edndn. Mrx dtn p eemen-eeen onrk i e kbt bekeny y edndn mn vetor e n koepondn enn vekto y ednn. Mtrx Deormi n e p eeen k k x yn eykn efo pd eeeeeen kon i t terent kb bekey yy r. tx n etkn deori p eeme-e kon k t ee kb bekeny y e Mx Feibli. x ekb !een-eem s ee b ekeny - keponsn en veko enn r lekibt ee-eee s e be ke r y y e en e yag enn en r e x y eeen tx p e-ee ks s t s en kb beeny - neen onss ts ren eken enn x bn Mx Mrx nk een b een yy Mx k ee kb beken y ent r n berj dk sk Mtrx e tx Kpbl �enkn ben vtl
F H
M] O RQ r *
i
if
i
0 \
Bab 6
[Qil (QjO Qi s
S
Yatrx eaks wa J eleen n bee diik-i Beban even dik dk Beban lu yang ean ekerja pada iik dk QiJ a ua denn m oordna loa Qi n eu an oodn u. eooha nte eeen
x
K 6 4 4
4
4
Bb
3
6 6 .
�yfetod Intodi. �1ete Inves ut menuk Max Kea Matx Elem Trasfoa Vo Lnir Speos da x ea Ele a Syaat Ba. pa paa aa Bao a Pa a . t u bao e . ti a bdang anpa eyan ma aal abaa . . :a a Aaa K k G a a a Ra Baang �a ee a . at a e ea .
M FleksibJ I............. D hga. - a i eet a u i a eet.
G N Ekven . Pnga aya-aya a ee nja ya o a ve Ga a k a en Ga Trave Ekaen..
E v . . . . . . . . . . . . . . . .
D Ke Index .
4 4 99
.
.
.
. ..... .
.
.
.
.
.
143
185
289 89
}
7
349
PENDULUN
. IROUK
Perhitungan atis 'ntuk stuktur yang lina elastis dapat dlakkn dengan metode Matrix. Paa ummnya trktur mempnyai sifat mechanis dan geometris yang diidealisasikan sebaga :
Material bertingkh laku secara linear dan elastis Lendtan dai struktur dianggap sangt kecil sehingga analisa dapat dilakkan sebagai struktur yang belm dibebani
Dengan erembangnya ompter sebagai alat hitung eektronik yang otomatis, maka metode matrix ini mlai disukai para teknisi dalm analisa truktur, arena ormulanya menjadi leih sederhana dan mudah, dibandingkan dengan metode analisa yJng manal Banyak hal dapat dilakukan dalam analisa strutur sehuungan dengan penggnaan komputer ini antara lain Analisa strtral dalam arti ata menghitng gayagaya dalam yang tm paa elemen-eleme strktur sebagai akibat ekea ya ga ar paa strutur dan sealigus menghitung esarnya tegngan yag teadi paa penampangpenampang elemen sebagai aibat timulnya gaya dalam paa elemen erangkutan; 2 . Prncanaa elemen strktur sebagai hasil dai analisa yang telah disebutan di atas sehingga dengan demikian tegangan elemen dan lendtan strutr yag teadi tidak melampai teggan dan endutan yang diizinkan Setelah selesai perencanaan ini dapat dilakukan penggbaran geometric dari struktr, seagai hasil dari analisa di atas legap dengan uran dan arateristik ahan dari masigmasing elemen stktr Data processing dari hasil test pemebanan yaitu processing ntu mendapatkan tegangan dan edtan seagai hasil dari test pemeanan yang dilakan paa strtr ata elemen srktur 4 Peritngan anyanya ahan angnan yang akan dipakai dan perencanaan iaya Perencanaan time schedule
Untuk eperluan analisa ini, ada tiga macam alat hitug daat dipakai yaitu alkulator elektronik 2. mini komputer omputer erkapasitas besar Seagai konsewensi dari ecenderngan di atas perl dipelajari lei
men ala la o mti an bnanna enan pennaa alam analisa skt ini, yan selantnya akan ibaa seaa en etail pa a pasal-pasal beikt ini. .2 PENGERIAN MARIX SECARA MAEMAIS 2. MARIX
Bila empnyai sat ssn pesaaan linea misalny X 3 X X
y Z y z 0 y z 0
3
maka koe isien ai pesamaan linea ini apat itliskan ata ike lopokkan ala sat aa penlisan an lain yait ala bentk ajaan bianan sebaai itlis i bawa ini
1
12)
3
ajaan bilanan mm
a a a . a a
3
1
isebt yan apat itliskan eaa
a a a ai a m
a . . . a j a . . . . a a . . . . . a a j a i aj a 2j
.
.
.
3j
. . . . a .. . a . . . . . a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
mana m n aala bilanan blat l Biasanya menan ai sat m atix ipakai tana ntk matix bais ata kolo
a a m
ata ata
B lngan- bilang an a j d ise but eleen- eleen d ari atrix , d i m ana 1 2, . n B i angan m m enuni = . 3 . . m d an j j ukka b an ak nya bari d an n ad alah b anyakn ya kolom; sed angk an ked uany a menyatak an o rd e d ari m atrix. =
n n emikian apat ikatakan matix enan o e x n a ala
merupakan jajaan e ln-lem tas bu a tl bua kolo. Kaangkadang notas yang pka untuk bas memak nex bawah seangkan untuk kolom emaka nex atas 1 kan a enyatakan lemen bas k a enyatakan elemn kolo k j Sebenanya matx n suah sn jupa aam kehupan sehai ha Msalnya seng baca suat-suat kaba aa haaan ola aga suatu lapoan hasl betanng ari bebeapa kesebelsan sak ola yang seang bekopetsi ntuk mempeebukan tepat tatas, alam susunan set bawah n : nama
man
A B c D
3
menang
se
kaa
2
0 0
, .
I
3 2
0
nai 4 3 2
1 .4 )
0
Susunan blangan ( 1 . 4) atas sebenanya tea susun aa satu bentuk atrix yatu : 2
3 2
0
3 2
0
0
4
�
kesebelasan A.
0
-
kesebelasan
2
2
<
kesebelasan c.
�
kesebeasan D
B.
( 1 .5)
T r c m
E
O c C c (
E
I ( V
m
c
Matr ix d s In! empuny mpt baris dn im kolom. Empat br is er sebu ng-sng enyaakn tu kesebelsn yng ku bertndng, edngkn Ima kolo asngmsing nyatakan keadn "mn' enang er . kalh nila Kna ix dapat mbikn uu lan yng cukup sd hana l mekan bbagai aam prsoalan, aka pla jar i ix n jd su:�u h! yng mulak pentng dal be baa bdn peker jan. Sebaga contoh, seo ng sa jn eknik nin e ;nnaka � 5
satu angunan sar sprt gdung rtngkat anyak rangka atang jatan gantung atap rntuk trng dan lan saganya aka la a nn nylsakan asalahnya trsut dngan cara yan lh sdrhana haruslah langkah prtaa dar prhtungan p rncanaannya alah nydrhanakan asalahnya dan nyajkannya dala ntuk atrix Dkan pula d duna prdagangan, skarang tdak sdkt dantara pngusaha yang nggunakan prhtunan atrx untuk prh tungkan untun rug suatu transaks Karnanya tdaklah nh la skaran dskolah-skolah nnah udah dajarkan atrx ntuk rikan dasar a analsa-analsa yang akan harus dlakukan dpruruan tngg Ada raga aca arx 1 Matrx ujur sangkar, la n
2
6
5
1 6
,
E1n-ln a, a a .. .. ann dsut nln dagonal taa 2. Matrx ars la yat hanya rdr atas 1 aris saja 1 2 3 4 6 Matrx kolo la n 1, yatu hanya trdr atas kolo saja
1
2 4 5
4. Matrix nol la a
u n
19
Aa rapa typ dar atrx ujur sngkar antara lan 1 ppr Tinglar atrx alah suatu atrx d ana sa ln d awah dagonal taa saa dnan nol
0 a· a 2 3
a
·
a
a
2
3
a a a a
0 0 a33 a3 a3 0 0 0 a a 0 0 0 0 a
0
Low Tanula atx, a1ah suatu atx d mana sua n d atas daona utaa saa dnan no
2
0 0 0 0 a a 3
f2
am
0 0 0 0 0 a a 0 a a 3 32
a
33.
a a
a a
a 3 f
.
.
.
.
.
·
.
a mn
Matx Daona aah suatu atx d ana ua nnya saa dnan no kcua n-n dianona utaanya
]0 0
0 2 00 00 00 0 0
·�
4. Matx kaa, aah suatu atx daona d ana n dao anya upakan anan yan saa
[ o o 0 0o } 2·
0
•2
0
0
0 0 0 2
·z
Matx atuan (nt ax, alah suatu atx skala d ana n danonanya aah Matx satuan dsu ua atx dnttas dan sn dtus dnan nots
0 0
0
0
0
0
(1.4)
6.
a
0
0
0
0
)
0
0
...
0
0
0
0
..... .
0
0
a 3 "
a
0
0
a
a
0
0
a 12 a 2
2
0
0
0
0
Band matrx, alah sau marx buju sngkr d mana lmeneem en y ang bukan no! nonz e o eements) d kl mp okk n meng eg dag ona anya, mem bent k au r emen dag on .
a
0
0
4
3
.. .
... .
. .
(1.15)
4
0
0
0
0
0
0
0
0
...
a - 1
. a
a 1 . n a n.n
122. OPERAI MTR
. Kesaan m trx. D matrx[A ] dan [ B1 dkatkan saa bi bj U i m an a a ah eemen dr mx (A : b ah e men dar mrx [ B l =
[�
Contoh: A]
[B]
=
3
r2
3
1
5
l
3
3
( 1.6)
] l
Jl d n b hwa d atrx da B rb d s ha s mp ny a orde yng am 8
2
Penumahan max.
Ap A] B] dh du tx yg epy de yg s, k kedu tx teseut dpt dju eg hsk stu tx [C + [B], d + h m d tx [C]: lh lmn d tx A] ; ilh elee d tx B
c C
Cth
3
[A]
5 2
B] C] C]
c
5
A] + B 2-
32
14
1+2
5 +5
33
5
5
0
0
3
]
utu euh tx k epuy sftst seg eiku [A] + [B] [B] + [A] ommf [A + [B] + C] = [A + [B] + C] ssit 3. Ak tedpt sutu tx X dmkin segg A] +[X] = [B
3.
Peaian saar.
S mtx [A] d dkikn dngn s k megslk tr [D] = A] di d k
D;
d kn mn dr mtrx i meyk lmn dr m A].
9
Cooh
r 2
[A]
5
[D] (D]
3
3
(A]
k.
6
3
-15
St raia aar matri mmyai ifat-sifat atara lai A) + B) A) + B); 2. A) + B) A) +B) dimaa ada1ah sa1ar.
3
Peian mati
a matrix [A dga ord m a matrix B dga ord daat diaia mghasi1a sat ai b [ A B) ga m 9
ta
dimaa
b j 1m mari E)
ai
a bi
2
A); B
2 3 m j . . 2 3 0 ..
.
..
.
.
,
1, 2 3,
E asi ralia trsbt aa mmai ord m x
Matri Coto (l)
a
.
)
a
11
a
10
a a
22
a
[B ]
12]
:
[E
[A . [ a a
a
11
a
21
[E
=
b
b
11
b
21
2 22
l
+
a 1 2 · b 2 1
a . b 2
+
a ,z b zz
a 2 1 b 1 1
+
a 2 2 · b 2 1
a 2 1 b 1 2
+
a 2 2 b 2 2
b
+
b2 1
a : 1 b l2
+
� 2 b 2 2
1
[
2
b
a . bl
a
( 2) .
3
1
[
22
a
a 3
2
"
2
.
l)
2
H I 4
5
3
)
[]
2
[ [ B
[� [
: l H
3
4 2
2.3
+
J ( - J)
+ 5 2
2 .4
+
J.
J. 3
+
3 ( -l ) + 22
1 .4
+
3.2
2 + 5
J
2.
J
+
] ] I5
=
12
J adi
(2
X
teranglah dengan orde ( 2 x 3 ) (3 2 ka n men ghasilkan ore 2. I
3) Kita ambil ontoh matrix 5. di ha1aman Dari matrix tersebut diambil satu matrix bagian yang menyata kan keadaan menang" "seri dan "kalah, yaitu
2
[P]
=
0
0
+
0
0
t
nang
Ke se be l a s a n A. 1
B.
c.
D.
ser
k a ah
Matrix [] mempunyai orde (4 x 3 Sekarang untuk tiap pertandingan akan diberi nilai sebagai eri· kut "menang berni1ai 2 "seri" 0 ka1ah Bila dinyatakan secara matrix
{ }f 2
[N]
men n
�
+ser1
0
+
ka a
t n
ai
Di sini matrix [N mempunyai orde (3 x I). Untuk mendapatkan jumlah nilai yang ebenarnya didapat oleh masing-masing kesebelasan maka keadaan 'menangkalah prlu dikalikan dengan nilai masingmasing pertandngan aitu seara matrix : [E]
=
[P]
N
di man a [E] ialah matrix yang menyatakan jumlah nilai dari ma ingmasing kesebelasan. 1
P N =
B D
0
0
0 0
J cCE QV :
"1 E)
kaah
0.0
+ . + 0.0 + 0 + 2 . 0
02
+ + 0
<
A +c D
seri
t
t t t
2 +
menag
r
j t
n a
Dm a ni a mati P dngan od 4 daan dngan [N] degan od ( mnga mai [E d
gan ode ( 4 Paa aan m daa bb a nng aaa a 1 [A [B] [ [A [B] + [A] [] db ama mana [A [B [] daa ma ag mm aa m da a ma. [A [B [ =[A [C B [C db d (. [A] [B] [C] =[A] [B [C oa Pa mma [A [B] B] [A [A] [B] = bm mgbaa [A = aa [8 [A [B] =[A [C bm mgabaa [B] =[C
13
123 TRANSPOSE DARI RIX
b [ h mi m mk mk m A A T h m im b km [ < br mtrx [A T
r·
[B = b·
[A]
J
Cono
5
A
(
br h! bhbnn n rn ri mtrix tr i [A]TT = [A k.A] T = k. [A] T
(3). (4).
t[A + Bl T [A] T + [B T ( [A]. [B) = [B T [A T
2 4 MATRIX SIERIS.
St mtrx [A] iktkn simetrs, i
t
A =
J
Cnh :
[A]
_
9
9
2
7 3
J
T
A bt mtr mtri krn [A [A] mix kt skew-smets b mmnhi hb
AT
=
f
r
l�
(
0 4
0
-
Perhatikn blangan no! paa mn dagonana.
MARX KOPLEX . Sua mrx [A]
dsb baa mtrx rdr dri nn-bnan ompx
Cotoh
=
komplex mnny
"
an
V
l
B mri omp AJ mmenn dgant dnn cnja dr mngmn mn terbu, m mx ng rjdi dbu ebga cnjugate dr mri A, dg noi
A*
Cooh (
'"
[
3i
- i
2
1 +
d
] l
)
n bln omp I mrpkan onae ri bng �m an mn den ya ln. Dg ki b :a m mnn rdri i n rL m I A I [A] : kn i su mn dir r n mr A= -A
St mx A mr heria nn :
*l
T
=
I
bl
mm
; 5
m ana
]*
conjugate a [A] anspose a [A]* mati x om le x b uu angka
=
( [A]*) T
=
[A
Contoh:
[
[A
[A]*
( [A]• ') T
=
l
2 +
2 -
3
2 2 +
3
2 + 2 -
i
3
=
[A)
D alam ha! ni e le me n i agonal ari m atri x he rmitian akan selalu te rdi ri ari b langan-bil an gan rl. 4.
Suatu m atr x [A) d se but matri x s kew-h e rmitian , la me me nuhi hubu ngan : ( [A) T - [A] ( 1.25) D alam ha i ni e le me n di agon alnya akan e rdi ri dari bi langan nol atau bi langan i m aji ne r. Contoh
[)
[A]. �
([A]T
r
l- 1
= l I
16
0
+ i
0
0
-
)
1 +
0
-1
0
i
-
I
l
I
0
I
- [A]
a uu ana a \ S A T T .6
26 MAX OHOGOAL
mna I] mnaan ar a an
A
]
T
A.T
cos s
cos sn
sin os
- s
e e
c s 0
0
I
Sa ma om angka A i agai ma uay mmn h hngan ](A,�T
() ':T_Aj
m ana[] mnyaakan ma a an ooh A
V
7
t nn mn r n m Stu hoon.
u b !
27 DEERMA
a
lA /
a
l 2
a a
a
12
3
a
2
23
. a a
n 2n
a 3
a 32
a 33
. . . a 3
a
a
a
a
n
n2
n 3
nn
Sebe eb tetg dte eb ed die it d ed yg yit t ti deg de
x
[A]
Detei[A t de I AI
ad
t
-
x
2 i didefi ebgi 29)
be
2
A
4 2 3
2
Ut t deg de b tggi ebe diitg deti y die d minor d cofator di ee ti. M d t ee d e t eee di t b g A d b det di bgi t fA b d y ibei ti M t
A
7 2
2
4
5 6
5
+ Bia M dprklkan dngan cofacor dar a, yng dr notasi i+j M c j (
maka akan mnghaskan
nan dar marx [A dngan ord n x bga
a
i
dapJt idfnsikan
a c a a n n c.
c.
n
atau
1 1
k=
Prsamaan 13 1) ada1ah rumus untuk mnghung dtrmnan dngan xpans mnurt ars k. Dtrminan dapat pua dhtung brdasarkan xpnsi mnurt ko1om k saga rku
J C J a C a J C J anJ Cn atau : n /A/ =
a
k J
Bbrapa ha! yng pru dprhikn rhuungan dngan prhtung an dtnan ini antara ain Abila d bars at dua kolom dari mrix [A adaa sama mka // Apaba A] dalah mrix uan maka A/ Apaba koom dr mrx [A] dijmlahkan ngan koom yng lan (a lipan dar koom yng lain maka ida brubah . Apaa d ua kolom dar marx [A] dkar posisinya maka mngalam pruahn anda 5) Dinan dar marx [A] kan am dngan dinan matrx ranspsnya.
)
) )
128 AJON AI AIX
s
joit ar mrx bur sngr [], y dbe + ah au tr y ya pa J2 l r [T (trp r rx [] ) cfar y brkt.
mg
a a a a a a A a a a33 a A a3 a a a 2 33 c c c3 A c c c c 3 c c3 3
129 INVERS DARI MARIX
pr r x p T r pb r x b y vr r rx. b [] B] rx r r [] B] B rx t a [ B bt r r tx vr r [ B
Ch : [A)
3
3 3
B]
A] B]
A] B]
2
6
2
) I I
2
6
]
maka dkaakan [B] = A [B l [A] aau dimana [A menyaakan inves da max [A] dan B] menyaakan nves da max [B] Ada bebeaa aa nk menai nves da maix dianaanya meode adoin ado n mehod meode emisahan maix a ionng meode Gauss o dan Gauss Jodan mehod meode Choesky Cho esky mehod Di bawah in akan dbahas aa-aa esebu di aas sau e sa
Metode Adjoint
Mde n mena kn h b ngn dam mnghing ines d su maix buju sangka A] ebaga A]
do
dmana[A] nves d max[A A + da maix A deemnan da max A !A ad nves d a max A bsa ddaa engan meba o mx sn a
ky d
Ctoh:
[A]
=
3
3
3
3
4
Determa mtr [A dapat dcar berdasarkan perhitugan baai h duraan pada psa 1 .7. A
3
3 -
=
( 16
=
1
+
3
-
9
3
)
-
( 2
9
)
+
9
3
4
3
1
3
3
2
1.
=
Seanjutnya dhtn cofacto da eleen-eleen matrx A] . c
3
3
=
1
c
3
13
c
1
=
2 3
' "
3
3
3
3
-
=
1
=
3
=
L,
3
c
=
3
=
c
7
12
c
=
3
=
0
c
= 3 1
c 3
4
3
2
c
3
0
=
3
3
=
3'
4
A djont dar matrix [A] c c
1
2 l
[ - � -
c
21 22
c
c
=
c
I
c 3
c 2 c
2
3
3 ' .
l
- 3
0 0
I
- 3
3
I nvers da r mat rix [A]
[A] - I
[A] + A
=
=
- -
mna I A \ .
=
1
0 0
J
I
Metode pemisahan.
Sesa dengan nama dar meode n, maka angkah pertama yang d la ku ka n d m proses m enca r nv rs mt x n aa h melakukan pm sa h n (p rt t o n ng) t rha dap mat rx brsa n kuta n. 2J
"
Am bi au maix[A
[A)
a 1 a 2 a 2 a 22 a a 2
23
a3 3
akua miaa
[A ]
=
)
a a 2 a 3 a 2 a 22 a3 2 a3 a3 2 a33
3
Aau dyaaka daam u m ax
A
1I
2
+ 1
2 22 \ A
•
( .3
dga gia
A 2
2 a3 a3 3
( 3 7
a3 2 ]
= [F] Bia dimisakan [A] maka akan terdapat hubngan :
[ F] . A] :
I ]
( 3 8
Dengan mengexnsika ekaian di atas akan didapat
A2 1
F
+ 2 A + Fz z A 2 + F 2
z
A12
+ Fz z
Az z
Fu F2 1
A
A2 1 Az z
39
Persaan 1 .39, yang merakan hasi exansi da pesamaan 1.38 meakn persaman inier de ngan em at esaan anu" yait F1 F 2 F 2 , F 2 · Dngan meneleaikan ersaan .9, akan didapat hasi
l
A z ) Az 1 A 1 1 F rz A A ( A A z ) ( 40) Fz l ( A zz A z A A 1 2 ) Az 1 A F zz A A A ( z z A F
An-
+ A
A 2 ( Az z - Az A
Az z - Az l 1
-1
Paan .40 da dirikn menjai ran yng isim rk
Hg
A
H g A A H g 2 1 A 4 H i } A 2 Azz }
2
3
6
9 ( 10 ) .
Hi
tug
H
tung
H
tun
F {
F F H a s F { Ha F · {Has ( H a s
H tung H
tung
Cnoh
[:
3
4
3
Lakuka aha
[A ]
=
Meiha eraaan
1 A
2
_
3
3
I
4
l
� �j_ 3
[ 3
3 2
A
26
l l l l ( 2 }
Has
(
Sek arang akan dlakukan operas sepe rt diuraka dalam pe rsam aan 1 . 4 ) dengan urutan yang sama
(1)
(_ _ � )
•
A u-
3
(2) .
A1 1- l ( 3)
[
I
0
(5 ) . A
(6). (7) .
A 12
Az A 1 1 - I
(4 ) .
F
4
4
=
]
•
[_
•
4
=
A1 2
� :
-
I
[
3 ]
(
0
[
_
]
•
- 3
=
[ 1 ]
2
2
1 [ -
[
=
0
- [1] [ 1
[
1
( 1 0) .
0
[
[ 3 ]
0
( 8) .
( 9) .
: J
{:}
[ 4 ] - [ 3 ]
[ 3 ] = =
,
oj I o)
I
0
]
r J
Jad ma rx F yng merupakan ners dar marx A dapa d susun dar asl d aas sebaga beru
F F F 11
F
F
i
F 12
7
- 3
1
-
_ l
D engan dem kan nvers dar A alah
F
7
l
3
Meoe Gaussoran
Lngka-angkah enng yang peru dab unu encar nvers dr mrx [ A ] dengn orde x n secara garis besar adalah eba beru Am b1 m rx saua [ I ] dengan rde n x n Dengan ara opeas ba ubahlah arix [A enad ma rx sauan dengan ahapan sebaga u Bag1ah baris ke 1 dengan a • ehngga a searang saa dengan 1
(
b) Ju mlahkan baris ke-2 dengan baris ke- 1 yng telah dper kalikan dengan ( a ) , sehingga a sekarang menadi no (). Ulangi langkah (b) untuk baris ke-3 , 5 , n Sekarang kolom ke 1 me njadi no! semua keuali a (d). Ulangi langkah (a) (b, c) untuk baris ke-, dimulai dengan me mb uat a 2 dan a 2 = 0 a 2 0 a4 2 0 , a = ' a 2 = 0 5 . . . . , n e ) Ulangi langkah (d ) untuk baris ke-3, Proses selesai 3 ) Proses 2) sekaigus dilakukan paa matix [ ] , sehingga setelah proses selesai matrix [ telah berubah menadi matrix F]. Matrix F] niah nves dari m atrix [A ) Proses keseluruhan dapat dinyatakan sebagai
,
oeas bas
Contoh
=
(1
3 3
Skarang ngin dcari [A dngan od Gauss-J rdan Nts H k ( mnakn njumlaan aa brs k ngan s k-k ng udah dprkalkan dngan . di m sl na H menyatakan bas k djumahkan dngan kal bas k-
( )
(
H,(-)l
3 3 3 l\ 1 3
T
3 3 G 3
2Q
I l
� ] - ] J
3 I 0 0 0 - 0 - 0 0 0 0 0 H 0 0 0 0 - 0 3 7 - 0 0 � 3 H ) 0 � 0 0
I 4 3 0 - - 0
1
I
Meoe Choleky
Dasar dar meode hoesky n aah ereak ada kenyaaan bahwa sea marx bujur sangkar daa d ubah sebaga erkaan dar sau ower ranguar marx dengan sau uer anguar marx D engan demkan nves dar marx bujur sangkar ersebu daa dseesakan dengan menar nvers dar masngmasng ranguar marx dan n bukanah suau ekerjaan ang sukar Daa anasa skur dengan meode marx akan seau djum a marx yang smeris Suau marx smers akan seau daa dubah menjad erkaan du ranguar marx yang sau sama an meru akan m arx ransose Ba menya akan suau m arx smers dan menaakan suau ower ranguar marx m aka
] [] [L] [L] T
[ L
au seara keseuruhan
a
a
a
Q 0 0 Q 0 2 " ·
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
30
0 0 0
\ 2 1 l 0 2 2 1 0 0 0 0 0
(
(1
4 3
=
a I
Dar persamaa ( 1 A · [A
a .
i
3 )
1
r=1
1 r
2
1;
)
2
j- 1
£ r . r r\ 1 u nt k £J
-
(
2
n
n
nn U n
i 2
9�
£
t
n
r
S e 1 a d i jabarkan
"0 u A u u
11
j \
I U
21
1
1
22
1
.
.
.
.
.
.
21
.
u
22 2
n2
(1 . 4 5 )
(
6 )
I
I 48
o· o u o =i o ( 1 . 4 9)
I : .
lo
n
u = u u
, )'
(1
l
u u ' u l
>
( 1
U
11
-
t k
( L ] L] T 1 l ( L l T L la L] T 1 aka A ] F] U ] U ] d i man a L ] U ] ] a a secaa k es e ha
B
1
u
2
.c 1 u 1 + Q 3
'
U2 1
s U · 1
i
u
i ) j
· n i (j
u . = .
)
Sah ddapa marx [ U] m aka m dahla nk mnghng matrx [F] ssa dngan prsamaan ya [ U] T U ] [] dm ana matrx [ F ] m rpakan nrs dar marx [ ] . 13 ENYELESAN SUSUNAN MEODE MARX
ERSAMAAN
ro
NER DENGAN
3 1 ENGERAN MUM Mengngat bahwa banyak p l a k daam nk p ng d n a kn ala pesamn lnr dnn eju b an gan n", a ellh k a na nk ajr ga bgamana nsain psan linie s sca ma
r
"
Sen n tnan sat prsa aan ang sanga sdrhaa
3 + y Psam ( 52) d a p at dny aakan sara m a sbaga
3
]
Y Y 3
2
De n p l ad d u psan n d n :
3X
Dpat dnatkn a mx sa
:
l . I 3
aa umum n bua eamaan ne dega n bua blaga au daat dtuka ebag
a 11 X 1 + a 12 X 2 + a X " + + a 1n X n b 1 a 21 X1 + a 22 X 2 + a 2 3X '3 + . . + a 2 n X n b 2 + a3 n X n b3 a 1 X 1 + a X 2 + a33 X
a n1 X 1 + a n2 X 2 + a X + + a nn Xn bn • eaa 6 daat dyataka eaa m at eba a 11 a 12 a 1 3 . a n X 1 b1 a 21 a 22 a 2 3 . a 2n X 2 b2 a 1 a3 2 a3 3 a X3 b3 n 3
.
.
an 1 an 2 a n 3
3 n
a nn
Xn
bn ( 57 ) •
Peaaa
[A]
e da at dedeaaka ebaga x B
. 8
D ega geta
]
mrx bur ngkar ng menuukka kofn maan nr dmkud { X } h mrx koom dar baga au; { B } ah matrx koom dr kontanta Banak d mrx koeen �4
ataa a
1
Matrix koefisien simetris :
Contoh :
3
2
0
2
4
1
0
-
X
X
0
1
2
=
X
5
B
i A
Dsn matrx [A ] merupaan ma yang smetr, dm na a = aj · 2 Matrix koefisien jalur (band coecient matri) Conoh 5
2
2
4
0 2
0
0
0
0
0 0
12
1
1
X
2 0
6
2
2
4
0 2
0
X
0
0
=
7
4
0
0
2
6
8
4
2
X
9 5
0
0
0
2
6
4
5
X 6
0
0
0
0
A
4
2
2
21
7
X
B
3 Matix koefisien terpencar (spare coefficient matrix) ad a trx tp ba yak eemenya yng merupaan blgan o!. 132 CARA PENYLESAIAN SUSUNAN PERSMAAN LEAR By k etode tk eeka eramaan ner yang ecara gr besar daat dbagi ata ua kategor tama 35
I
METODE EKSAK ATAU METODE ANGSUNG
Metode melp ertet perhtuga aat yag poporsoal dega mh dr persama a ta 'aga a" ad ahr dar perhtg aa ddaa has yg e sa a perhtg rsebt d aas eap mee peg ag ts ala ag ar la l Metode vers mat Metode mer ata meode detea Metode Gass- oda 4. Metode Elas Gass Meoe ot 6. Metoe Doole Metode Choesy hss t mtrx oese yag yag ss
METODE ENDEKATAN ATA METODE TERAS
Metode dmla deg at haga perla d "ag a a yg t de ores d peyp pada haa-h ag a tesebt dalam beberapa pta h tg Yag easu d o tar l M Gde w ogate gde method Mt teas G ob. Metode ts G'-S 4 Metode elxs D bwah bahas beberapa dar tod g elah sebu d ats
p
=:
3 3 METODE NVERS MATR
Da persmaa
A]
{X}
{B
eral eg - !
{
X
= f
B
X
=
B
=
B
(I 5 9 )
onoh
= � = == -
Dnaakan seara arx 3
-2
T
I
3
2
J
2 2 ) 3 . 3 3
1
i
1
2
: [ l -2
3
3
13
2 13
3
{ s}
7=t 1
}
r
/
•
{ B}
j
X
n
y
3 3
X
I 3
=
_ 13 l 3
7
3 3
D engan dem kan ddaat :
=
y 1 34
METODE CRAMER
[A]
8 X =
X
D. = D
D ar ersamaan
{B}
D engan metode Cramer akan dda at dmana:
. 60
menyatakan "bangan anu" ke- yang akan dar D menyatakan determnan dar matrx koesen yang Xi
D
sudah dubah yatu dengan menggant koom ke dengan koom onstanta" { B } menyatakan deermnan dar matr x A
ontoh : 2 x +
3 y
=
7
2 y
4
3
Dnyatakan seara matr x
[ _ l { : }
8
X
{} B
A]
B I AI
D
2(2 - 3 3 =
-13
r = : I4
3 2
L _-
7 - 2
26
,1 7
2
_ j
=
2 - 37
Jadi mnu rum us ada ersamaan
X .
D
D
m ak a :
X1
D D - 26
2
D � D
-
D a demkn dda h
y
=
35 METODE GAUSS-JORDAN
td adaah mr dgn mtd GaJ rda ad o mn ari ir dar ma rix Cooh (!) .
aau
2
X
3
+
2
=
y =
7
4
[ _ l : { : } -
A
40
3 y
X
B
Untk memdakan opeasi, diakukan penggabngan aix dan
{B}.
B]
(A
2
3
7
-2
[AJ
=
Sekaran dilakkan erasi aris pada mari di aas ini.
2
2 H
-2
4
2
2
H l
C
(- 1)
(-
H
0
2
l
3
r-. I 2 I
0
. ) 2
1
tx
I I L-: I
! j
0
(
2
_ 2
2
Degan demikian didapa has :
(2 ) .
( 3 21 �
-2
'
H
0
2
2
X
=
y
=
X
+
y
=
2
y
+
Z
=
0
+
y
+
Z
=
3
X
3
y
3
4
z
A
X
B
B)
3
-2
4
3
0
0
=
0
2
3
r
0
42
0
0
3
4
3
-2
0
2
( 1 H 3 1
4
0
3
-8
0
I
12
-1 7 I
I I I 2 1
0
3
I I
._ -
0
r
3
(-3)
-,
0
3
2
0
21
3
0
-2
0
H
3
0
3
(- 1 )
0
3
3
3
0
0
=
T
[
3
2
3
0
1 3
j
(-3) H 1 3
<
Dengan deiian didap at hasil
13.6
X
-1 7
y
=
2
z
3
METODE ELIMINASI GAUSS.
Metode ni merupakan metode operasi baris uga untuk mencpai suat upper trianglar matrix, untk selanjtnya diselesaikan degan cara elimin asi. Misalnya kita punya sat susn persamaan inier seperti di bwa ini a
11 1
+
a a
12 2 X
22 2
+ a
+ a
1 3 X
2 3 '3
a 33
X
3
b b
(1.1)
1
( 1 . 2)
2
(1.3)
b 3
B ila d inyatakan secara matrix : a
a
11
0
a
0
0
a
12
a
22
13 23
a
: X
b
1
b
2
1 2•
3
b 3
i
T
A
X
B
33
dim matrix [ A ] m erpkn s t up pr tringl mtrix Dari persamaan ( 6 : x
3
b I 3
a
33
Susitusikan hsi in ke prsmaan ( 6 : X
X
3
) I
a
22
4
U �a sisi praaa iir dga bah iaga a aa didapa r xn n a nn
= b
x I
nt
L a I J
J a 1 1
(b.
s aai dengan 1
n -
=
1 saa dengan n
16
Uraia i as i iah rupaa dasar pikir ari o iiai Guss i ag sbuya sa harus idahuui ga sua oprsi aris u apai sau ari sgiiga as uppr riagar arix) Cooh 1 Z 2
+ y + + y + + z z
y
3
3
3
3
r 1 1 'JX
B ]
44
3
3
2
3
3
TB
i
iA A
3
3
-2
3
3
H
3 1
H
3
( 1
1 )
3
-2
2
! 3 : L
Dai hasl d i atas z
3
Ke be t u l a n p u a ec a ra a n g s u n g i d a pa 2
Bi a haga dari y da z dsubstsikn ke ba p etma :
+
3
+
3 ( 2 )
y
+
3
+
3 ( 3 )
z
X
Jadi
.
-1 7
y
2
z
-2
=
-2
17
3
(2 ) .
4
3
4
3
X
3
y
+
X
+
y
+
3
+
2 y
+
3
z
=
13
z
=
14
5 z
=
22
3
X
2
3
y
2
5
z
4 22
Dengan menkar p oss bars 1 an . akan dda p a
2
2 _
3 \
4
3
3
2
3
y
5
4
=
1 3
22
T
A
X
B
_
45
A B
4
14 4 1 5 H
5
14 1
14 4 � 5 - 1 1 4 4 4
Hzl H
1
14 15 1 4 ( 1 /5) 4 5 5 4 . 5 4 J l 14 1 1 4 / 5 H 5 5 �
I�
-20
H
43
ti e rs 2 : y +
11 _ 5
1
.
y + s .
z
=
43
3 =
.
y =
2
5
r r trx d ts ddt :
6
=
14 45 5
ubsusa bar
X2y3 X 22 3. 3 X
14 14
ad ddaa h a
X y
2
3
Lh susu ersaaa l sr dulsa daa ers· 1 .56 :
1 3 7 MTD IERAI GAU-EIDE
X + a 1 2 X2 + a l 3X + 3 a X a X + a X + 2 22 2 "3 3 X + a3 2 X2 + a X + 3 a
l
2 3
3
a
n
x
a
x
n2 2
+
a
n 3 3
+
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . .. .. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
+ a l n Xn + a2 nxn + a Xn
+
a
-
n xn
l
b b
2
b 3
b
n
d a ersaaa d aas dubah buya ad
X1 X2 X3 Xn
1 a
b
1
b
2
22
a
33
a
n
a
X2
- a
1 2
- a 2 1
a
X 1 3
...
- a X X 2
b 3
- a x - a x - a x 1 1 3 2 2 3 4
b
- a
n
X
a n n
.
.
.
.
.
a
2 n
Xn
a3 nxn
x a x a x n1 1 n2 2 n ·3
( 1 65) 47
Langah peraa cilai cengan enganggap x2 xn can cngan bii e peraaan cicapa
x
a
x3
4
6 aan
ail cari x 1 erebu cuiian ebali un enari pda peraaan cana , 4 aih aa cengan nol an cicapa
6
a x
a
eiian eerunya apai cicapa harga xn, can elealah ucah perhiungan paca puaran peraa Hail cari puaran peraa ciubiian ebali paca peraaan enghailan perhingan paran eca eiga can eerunya ehingga ahiya cihenian eelah eyaa hail cari puarn erahir aa aa hapir aa cengan hail dar puaran ebelnya
6
,
onoh 5 X +
4 y
+ 3 z
X
7 y
+ 4 z
3 X
4 y 4 z
4
12 5
unan peraaan ci aa bia ciubah X
0,8
y z
uran I y
enghailan
z
enghailan y
0 , 75
0
X
y 0 , 57 X
X
0,6 z 0 57 z y
2,4 24 2 ' 75
0 2 4 24 0
- 0 , 5 7 . 2 4 2 1 4 0 7 22
(2)
=
menaka Ptara
:
z
ghasila
8
7
hala
8
x
z aa y
3
=
685 6 , 6856
8
6856
4
Puaa :
lag ak y
m
P VI
X 99
V[
X = 98
P IX
X = 99
I
= =
,6 ,4
z = 5
98
y
1
= 97
a dka
il tri di t didpt il
0 ,
y
, 0
z
0 8
2· MTODE MATIX UNUK ANLISA STRUKTUR
ENGERTIAN UMUM
etode atri adala at eikiran ar ada analisa trktr yang erkemang ersamaan dengan makin olernya enga komter otoatis ntk oerasioerasi erhitngan ritmatika i dalam lm ekanika eknik kontrksi yang ang ederana adalah konstrksi statis tertent Nan ada keanakan erenca naan tekni yang nyata, konstrksi yang dimai akan eakan strktrtr yang ck komle Analia at kontrki yang tatis tertent memang akan daat segera diseleaikan engan anya me nggnakan e eraa eramaan keetimangan ialnya kala ngin enghitng gaya-gaya atang ada at rangka atang yang tati tertent aik eternal man internal maka ck memer gnakan ersamaanersamaan kesetimangan ntk menyeleaikan nya tana erl mengirakan deformasi yang teradi ada konstrksi terset. Penyelesaian konstrksi yang demikian ini anya sering dijmai ada ersoalan teoriti yang ada dik. Tidak demikian halnya dengan konstrkikonstrki tati tak tent terleih lagi yang ck komle. Sat konstrksi nyata yang ada, aa mm nya akan terdiri dari anyak agian yang komle eometri dari elemenelemen iniid ata trktr ecara keelran, ering kali tidak niform dan tidak teratr. Konstrksikonstksi demikian dah tidak mngkin lagi dieleaikan hanya degan memakai era maan-ersamaan kesetimangan sehingga dengan demikian erl dise derhakan, diidealiir, dengan haraan agar daat dieleaian erd arkan analisa matematik yang ederana yait edaat mngkin dalam hngan eraaanersamaan yang linier. Analisa stktr dengan metode matri tela memerikan kemngkinnke gkinan agi roses idealisasi ini. Seerti diketai, at hal yang tama yang erhngan dengan roses dari erencanaan strktr iala menganalisa aa akiat dari emeanan gayagaya ada konstrksi yang ditinja ingka lak dari konstrksi ini ada mmnya erh ngan angat erat dengan eraan stres dan train yang teradi adanya. Reltante tress ini ia dalam entk gya dalam yait momen lentr gaya lintang, gaya normal momen torsi edangkan train ia menyatakan deformasi yang eradi ada konstrki. alam me nganalisa erahan en tk ini erh tian ak an leih aik isatkan ada lendta n inier a ta anglr yang terja di ad titik titik dirit titik titik ts dri kontrksi. engan demikian yang erl ntk dianalisa mla ertama iala sifat dan tingka lak dar ele men-el eme nnya ila diani olh gayagaya. i ini isa didaat kan kntngan awa hal analisa a elemen aat diakai ntk lemenelemen lain ang ejeni emdian digangkan ifatifat
dari elemen itu dalam satu model matemaik dai konsrksi dan mnyataknnya daam suau kondisi yang egabung, di mna daam ha ni aat komptibiliti dari segi geomtrik konsrksi ars suda dipenui. Di samping iu syarat keseimbangan stais as juga terpenui baik dipandang dai segi seluu konsuksi maupun nuk msing-masing elemen. Seiap eeen dai konsruksi ars berada daam kesetimbangan sebaga akba dai semua gaya yang bekea padnya baik iu bebanbeban ua atau gaya reaksi maupun juga gayagaya yng daang dai elemen-elemen eangganya. Bila proses ini suda diseesaikan, maka tingka lku dai konstruksi keseluan yang disebabkan ole bekeana ya-gya uar akan bis ditentukan Dengan demkian dapa disimpukn di sini bawa a yang uama daam naisa struku unuk menentukan baik itu deformsi aupun sess yang eadi pda s�u aa sampai eau mana suda dikeaui sifa kaakeisik ubungan gaya dan defomasi dai ee emen-eemen suku dan memaksakan erpenuinya semua syara kompaibiii dan keseimbangan Jadi tiga a mendasari anaisa n yau: \
eseimbangan 1 ubungan stress dan sain, atau gaya dalam dan deformasi 3. kompaibiii, aau koninuias dai deomasi Dalam anaisa matrix ini dikena dua cara yatu 1 meode kekakuan (siness meod aau dispacen meod) 2 meode eksibias (exiiy meod a tau foce meod Kedua meode ini masingmasing akan diuaikan lebi lanu pada pasal di bawa ini METODE KEKAKUAN
Dengan metode kekakuan ini sebnanya dicari ubungan gaya dengan enduan atau dinyaakan seca1 matematis
Q}
[K] D}
()
{ menytkn gaya-gy yang timu pada titiktitk dskrit kb diberiknny enuan D pada tiiktitik tesebut. Tntu sja gy Q dla gay ang koesponding dngan lendutn { D. Sdngkan [ K] meyk kekkun dari struktu. etode ekku i uga isbu meto lendta (isplacement eod L ken nisa dmuai denn "endutn ' eingga dngan 54
emikia uruta keraya secara gais besar aaah sebagai erku omatibit; yaitu mecari hubuga atara eormas ega euta atau secara tegasya mecari eformasi aa yg tera ' aa eemeeeme ittikttk skrit akibat iberikaya e ut a aa struktu titkttik tersebut ersam aa hub uga stress a strai. yaitu me cr hub uga megeai gayagaya aam yag timbu sebagai akibat aaya e ormasi aa eemeeeme struktur te rse but 3. keset mb aga agkah terakhir y ag me yataka hu bu ga gya uar titk skrit ega gayagaya aam atau mecar eraa esar gaya uar iuu g eeme yg te at iim bagi oeh gaya gaya aam eem e titiktitik iskri ega meggabug ketga agkah ii aka iaatka hubuga gaya a euta se bagai y ataka oeh ersamaa 21 Peru kiraya itambahka sii karea metoe kekakua ii aai aya imuai ega euta kemuia mecari hubuga aa yagaya ya g timbu ittikttk iskt m ka k saga me g utugka utuk memakai metoe ii mgaaisa suatu kostruksi maa ketiaktetua kiematisya yag berhubuga erat ega eraat kebeasa atau egree o reeom) aaah ebih keci bia i aigka ega ketiak tetua statisya ega emikia ostrukskostruksi statis tak tetu yg serig ijumai a umumya aka ebih megutugka ba iaaisa ega metoe ekakua karea umumya kostrukskostruks ii memuyai eraat ktiaktetua statis yag besar. METOE FLEKSfiLIT AS
Prsi ar metoe eksibitias ii aaah kebaikan ar metoe kekakua ega m et oe iari hubuga eu ta a gaya atau iya taka secara matematis {D}
=
[F]. Q}
(2)
{D} m enya takan nd tan d t t k d s rit yng kors ponding denga n gaya { Q} [ F ] menyat akan feksib ili tas d ar stk tur.
\ tode ekb l ts n jua dsebu aga mtod ay (f o rc h od ) k aren a nsa duli deng n 'ya·. t u gy- ay dit tk dis krt In adalah kebalk an dar m etode kekaku an . sehin gga u run ker ja analisa secara garis besar d alh sebaga e ikut :
I. se tm bng n: yitu d srk pri n e m ngn nhi-
tung gy d l yng tmu pad e n struk at
beerjy gy-gy ur ditititik disrt u deg t i dcri hubug gy dlm d gy ur:
prsm hubug sri d sress; yu mecr hubug defos g ted pda eeme i n y gy dm ersebut
ompii yu mecr hubug r edu r di pd struktur diiiii dir, eg dsi imu p ememe sruur dim r edu form�!s hrus memeuhi sr mibiii. Di ii iuu ous dr esi yg eri p eemeeme sruur.
)
ri ig gkh ii dip suu hubug seprti yg iy oe rsm Sebim uri p psl sbeumy peru ir dim bh d sii bhw re du de i eeim utu meri gy dm sebg b beery gygy ur mk mede fesbs bh sei b diguk uuk megs orksi deg de eeu ss ecL u osrsisrusi H s osrusi semm i b iump pd ere struur y
w
24 BBAA COOH BAA
eri ebr ooh ei is e meoe esibis d mee eu
i etde ekakan
metode flekiba (orce hd)
etida-teu a tat ketdaktentu a neat :rkt
dspet hd
1
j
t
'
-
eta
.
D
N
1
Q
1
qi
Laga
K.D
keda
EJ£
= + Katb1t D
Q
+ F Q 3 - '
qi Q
Kee t bagan
Ha
1
aa a
D •
i.!j
i q£
r �_ / B
·.
0
daata bea gaya
endaatka ea · e
jg ee
tan dng een
57
fl eks i i i ta (orcetode tho)
b
a enuan :� S a Laga pa
1
0
=
· Q A
El
1, 1 I
I
f-
I I
I Q8c=Tq( 2£) 2
( ·DB =
Qs A = Q c
q£2 -w
_ 48
=
\
/ "
Q
-
F
mte kekakuan (pae
,
Q� = K AD
,
+
� C I �/ C' D
- .
.
KsDs
Q'sA = KDA+KD Q' se = KsD + KcD
Qc = K8D+ Kcc De KA=KssK 2E I c=Kc K =K
£ £
.I'
I
Kopa t i b 1 t
D + FQ -
Q
=
�
qt
Q Q
Da ().
1>
Has
aa 1 sa
daakan besar ya i sk
meaaka esa eu a ik i
) q _i
_
2
'
I
tode fleks
i b i 1 i as
(frce mthd ke t idak
tea
e ode kkkuan (dsplacent mtod
3
is 1 kwdk sat
I Langah
Lagkah
prtam
ked" D'A DB
F AAQA+ABQB+ACQC BAQABBQBCQC
D AQACBQBCCQC AA � F AB -BA = l6E! £ FAC - ; = . CA
£ BB B + F CB Fee
6
t
6EI
2
QsA
KBB.DB
Qsc KBB . 0B KBB =� i . 2
Koa i i I
c
B 'B '
(2)
B q < q Oa
3
2 a
+
1 qi
B B B
K t aga
a i aaa
ndapaka
8
a g �
va-gaya d i t i ds
DB• 0
i
aaa a a d dr
p nn ee en t ul ml d dn 'e ngne ngn ngg d berger pd dbebn H! ersebut menjn erpn onds optblt etp g g dlm d ebng ren dprlun gg lur ntu menegh perndnperpndhn elnjtn "engn-engn dhlngn stu de stu ntu memperthnn onds omptblt dn mengebln onds eembngn t rtur trsebu H n dln dengn memechn tu susun persnes n esebngn l-hl ng td deth dh lenutn dr srtur Tid dperlun judgement ng lt un menentun bg mn ttur hru dpotongpotong Untu truturstrutur ng besr dn ople metode n lebh menguntungn dengn lsn-lsn engn r n peerjn dpt durng menjd sut rutn tu entn utu dn t pebebnnn emjun ompeompute pd hrhr n ngt besr dn b pemn ompter m n r mn rend n p pl b nrn tod esblts tu Phtungn di en ngl su s g u dn g d ng rd dl ktnn. a n j n t tbu dun gr bnd etp lm e n g n dan ond pt trcpa. Sutu a ttu djdn u Jnn l em ot ong - mo ong u r er ebu enjuna ay-a d n ndn pad poongn p oton n r u dun (onds opt) u d . ngg e i tur dpa dph Halhal ang t e da aaa ng dluan en g gb ng an ruk mnd m bl Un dpt k od b s n perun Ennrng
Suu m uau mln n fn
MOD KKAKUAN
31. NTRODUKSI
Metod kkkun ut r nu nis ruktur dim m proses perum usn dri nlisny, dimb i enJu tn dititi k-ti tik s kri t sebgi bsrn "nu yng hendk di. Mtode kekun ni sebenrny bukn merupkn r nis yang b kren sebenrny metode ini sudh diken sek thun 1880 Tapi memang metode ni bru mndi berkembng p st dn disuki orng pd wkt u akhr-khir ini yitu seiring dng n kem j un pest i enggunan kompute lektronik oomts yng trnyt sngt mem udhk op ersiopersi m temti ny. Berhbung dengn hkekt dri m etode kekkun ini, mk nis st ruk tu r kn selu dim ui dengn m em berik n pd struktu ber sngku tn be be rp besrn a nu yang dm h! ni ih mepk n le ndutn pd ti ti d iskrit sebgi b esrn yng hs diri Se sui dengn thpnthpn yng teh disinggung pd psl 2.2, m k dm proses nis tersebut n mengenl beberp mtrix yng penting sebgi berikut
(
Mtrix deormsi A s utu m trix yng me nytkn hub ung komptibiiti tu hubungn deormsi dn endutn
=
[A] {D {} dim n } me ny tkn de ormsi dri eeme n st ruk tu r [A dh mtrix deormsi menytkn enutn Ji titi k Jiskrit
2
(.1)
Matrix k kokohn i nte em en [ S su tu m trix yng meme nuh Hukum Hook dlm mna dnytakan hubungn ntr ya dam dn dformsi { } = [S } 32 iman { } m ny taka n gay a dalm mn [S] dah matrix kkokoan intern mn } mn yat ak n deo ai c mn .
3 Matrix ati [ B . atu matrix yng mnyaakan kmbangan ant ra gya uar dan gya dm : { Q}
= [ B {H}
U .3)
man {Q mny takan gay ua r yang k ti t k isrit [B] adlh matrix tatis menytkn gva daa mn
5
=
Ba ega m aa gabg a a apat ubunga { [B) {H} [ B J ( S] d Q (3
y h y
B S ( A d
B
[S A]
(3.5) 3 6 (37).
'erma 3 n1p cs it et d kekun i [ K J l k·:u str, dg pcge : d [ A ] [ = 3 8 g o ' lah u p m ! · m 38 Sjy h d u u t � d .
j
J -UA A
Sb da 3 m dm b dt d e d ung.
nu e d�a a as bsa ed y dr t, a au dauu e j e tau s e ke (Jge o f eedom d uu. mey aat etateua kemas ala suatu besaan a omone bebas a leuan dt dist ng u ya b eubugan egan dbe aya suau pem bebanan suu. Pa a su ua men (bag ega t ubug au aa mumya an mbul leua asas ) a otas ague d d i t Leua aslas selalu apa dyaaan ole ua ompoen yag sag tega lu seagan leutan otas yataan le atu omponen agule. enga eman paa a t peema secaa lengap aa a ga ompo en lenuan. Uu stu tga mens rug ega ti ubug au a uumya seca lengap a eam bua ompo nen d t bbas dar enduta yatu tg meyt eutan tnslas n tga nya lea oas a bagan aga baag ega sambugan gsel maa ompo e oas ega seya a aa
Sa s dengan deaa eda-enan neas sm denga no ga dse kneas een.
Kp
Di bw bn bbep mm bidg n n ijun bp e kak-nan knemai
c
2
Ko�onen bebas da r i lendutan diiik pean
Daja kdak-nuan ki nm s
6
(d)
()
3
dnga ngabaikan dfai axia da n.
Gamba 3 1 Derjat ktidak-tnt un k inti dari tru kt dit unuk n oleh hanykn vktor lndun �g nkin trd ditti bas dmana ar ektor pd gambr me nnuk ka n a ra e kto r yang postp .
68
3.3 D PERHIUGA
Dalam pasa n akan djlaskan secara mendtal ttan anals dari suatu konstrks b dang ( du a d mens) dngan mdasarkan pa mtode kka kuan. Skarang d lhat sat konstrks sepert dtn ukk an gam bar 3.2. a. Sanjut nya akan d kt utan dar proses nalsanya.
� ( a ) konstks stats tak tent
dengan pembebanan gaya-gaya
b derajat ktdaktntuan knmats : 3
Susts arga dan x k rsaman ( 1 .61) : b
X
EI
1
.
- a
2
X
a 3
l2
EI3
\2
\3
' d l stkt ur dasar yng mefukan stktr yang d kkang.
X
)
I
1
e rik
D1
=
u
D derk D2 = 1
ek D3 = l stun
(h)
1j)
di rm H-d d } ek ek eeme k rhp erk efo {
d agrm ke setimb a n.
Cmb�r 3: k d ta e rlek 70
Kontksi ini ilh blok menes di t empt perletkn st jepit dn tg en d me rup n u t k ons trksi dengn de rt etid-ntn kinemtis ebesr (mb r 42 ). Lng h per t m il h menyeld i komp t1its d r truk t r, dengn ln memberin berturtturut endutn 0 1 0 1 n 0 = 1 gmbr 32f dn 2.g =
=
Mud h d t t l ih t bhw : dz
d3 = ol
tu disusun secr sistmts
Bil dnytk dm hbungn mtrx
(3. 9
-� 1
{ d} =
[A
q
]
3 10
{D}
0 0 0 0 0 1 0 0 1 = 0 0 0 0 0 0 = t = = D D2 J D
dl dz d3 d4 ds d6
3 1 1
Lgh d l h m y 1d h g y d1m d d m dg mlht t l m sg b g yg d t t gm 3.2h . D st lts d l m ddt h g
z =
6 6 1
E
3
1
1
EI
HzL E H 1 Ez 3
31
d m d m y t d m y g t d d j g l m m y t gy d m y g d ' d j g lm d m h m m lt Sb y s 32 d h b u h ! y g g l g dh g djum d l m ls t d g m t d t u u ( l d t m th l.
Bl . 3 dv k ddt:
H
EI
Hz = L
d +
E
d + L
dz dz
3 13
A n n n gn
H3
H
dan
Hs
H
= = =
4 E12 d3 Lz
2 L
E 3
d3
ds
EI 3
L
s
+
+
El2 Lz
14
d
4 d L
El3
d6
3. 5
4 E 3 d
L3
B uug ni n ta l nu matr
H1 H2 H3
4 s
E l1 1
0
0
E
0
0
0
0
0
0
2
E
2
0
0
d
0
0
2
0
0
3
0
0
d4
I 3
0
0
0
0
d
EI 3
{ H}
3 6
diman mtrx [ S! cupb ma :
7
[ s]
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
E3
2 EI 3
0
0
0
0
L3
2 El3 0
0
0
0
L3
� t
3
d=
s
_
d =
L3
4 E3 L3
.
dE=
(3.7)
Jai sebenay lLtx lS lh utu rx yng mnykn berp c �Y {H}yg bu jng deen b eeu bc·kn auan efo d. Lng eg, yl eng eebngn y n y l. Mel b 3 !i): , H H4 + s 18 f _, B nykn era mrx .
=
=
0
74
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 3 19
=
{ Q
[ B ] H
20
dimana, 0
0
=
[B]
0
0
0
0
0 0
0
0
1 0
0 1
0
Sau ujuan ermina ialah mendapakan huungan Q}
[K] {D}
dmana menuru persamaan 8 dapa d inyaakan
B S] ]
22
nuk mendapakan lenduan maka persmaan 2 dap a d in erskan se bagai 4 = [Kr 1 {Q} d im n Q menyak gaygya r yang ekera diiikik dis ri menyakn ndun iiik ersangkuan yng korespon d ng dengan gaya Q D ri ersm n d n 1 n dida p kan :
[B
A T
Persm aan 5 i
5
a a dibuktikan dngan prnsip kera viruil
a y uar vitui
ndun aktui
Cmbar . Kstruks bok gaya viruil
n u
d na di k n
Mn pa nstru s ng dng d s trsut drn m a r 33.al ngg tmu dm H* pd g iri my m dr rnsp v rtu n d dp tn uunn ( dntn dm prn mri l :
*
T
Q·'} D}
H T }
3.26)
Dnn mt {
n
'
A ] B]
37
(328)
H B ] T dtun
atu prsmn (32
H
(3.29)
T
T H>: B ] T { } A ] D B dsdrnn n mmn :
3.30
3.3 I ) B ] T = A] 3 tu B] = A T Dnn dm n prmn 3.3 n dtusn 3.33 A ] T ] A ) Dnn dmn prsmn 38 t dprmudn tu untu nurunn mtrx un f ], uup n nuunn du
=
atrix pembenuk nya, yaitu at rix deformasi [ A ]
n ntrn n ]
=
dan
matrix
ke-
ntu mn tun dm dunn uunn H S ] 334 tu 3.35) H S ] A ] D dmn {D} mrx ndutn tt drt n dro dr rtungn rdrn rm 3 4
34 LIKASI
34 1 OSUKSI BALOK US
k b�ra berapa cnth ai o La i aa alia rr h 3 D wah i ha a i a m a u u aj ia-a tig I 76
g
(a) konstruks yang akan dana1 sa.
( b truktur asar
yang
dikekang
; =
(c) momen prmer fxed-end moment) Momen prmer
MBC
M CB
() derajat ketaktenuan knemats
Q 1, 180 �
kgm kgm
1
kgm
e gaya 1uar ekva1en tt skt yang korespond g engan entan Ql [g m]
f dberkan
D
satuan 7
g) d i a g r am
H-d
(h) d i a g r am ke s et m b an a n
Gamba 3. 4
Baok atas tga tumpuan .
Mlht gmbr 3.4 (t, dengn mudh kn didpkan :
[ A)
0
+
dl
1
dz
d3
0
d4
D = 1
D a r g a m b a r 4 (g) 4 El
2 El
10
[S]
0
H l
0
0
+
2 E
4 E
0
0
0
0
0
0
-
.
t
t ;
dl=
d 2
d 3=
I
78
0
4 E
2 E
t 2
4 l �
0
t
d 4 1
H
H 3
H4
S]
=
E
( 04
02
0
0
0 2
04
0
0
0
0 ,5
0
0
2 5
/
l
f
"
I I
25
05
J
Dari persamaan ( 3. 3 3 ) T K ] = [ A ] [S [ A ]
{
0
02
04
0 ,2
0
0,2
0 ,
0
0
0
0 ,5
0
0
0, 25
05
o�Jj 0,5
0 E
0
0
}
E
0 25
I
0 [K]
l ( K [
=
09 E
l
0 9 El
Dg m ngubh gy q mejadi g
D} { D }
D·1
K - l Q
=
=
=
[ O
E I
n -_
] 1 80 0
i
\
2000 E
Dar persamaan (J 3 5 { H}
=
S] [ A { D 79
{H}
0,4
02
0
0
02
0
0
0
0 0
05
025
0
0
02
05
0 El
2000 E
0
02 04 05
. 2000
025
H
Hz
H H4
4ob 800 100 0 500
km = 800 km H3 000 k m 500 k m H4 Hl
400
OO
Gama 35 Dii aya dlam
H asil yang dnjkkan leh am 35 alah menyaakn ya mmen l en al am ha! n i eagai men n g b ka n e bai mme n k yn g J idssi ka n ke b ng <men AB n BC sesai dnan kekakan asingmasing J ad gay a dl m { H} yang dap ai asil in ii kn mepkn omen en yn senany a bkj Mmn len ang eenanya bekea s dpoeh ngan meng g gy d lm de ng n momn p m elemen k .
80
- r 1 U : Dgn mei ju gmb 3.4 ) kn ddpkn :
+4oo
- I
-5�00
+ 540
-500
-2
3 0
t
�:tcr.. �:Jan mon 1(' l
1_,lg bu
\
tik.
S�
8
onsrk yn kn dil bb Q.
(b) k da yn dkkn
:o .
! d) iber n
81
J k a
�
a
agm Hd
g d agam km g Gama 6 B< ok aa da m
gka ma g d kk a aa mggga kok r aa m dk B gamr 3.6. . Tk aga k dk mm d daa ka a ra da ro a ama 36, ka ddaka ga-ga rk
1
=
0
6
01 =
02 = 1
dl
d2
d3
d4
2
6 6 2 6 6
El
El
2 3 I 3
I
3 2 3
2
l
2
2
2
I
2
2 3 4 Selanjutnya dihiung marix kekakuan K K = A T S A 1
1
1
2 1 3 3 1 2 3 3
1
6 6
2
1
3
3
6 6 8 8 1
3
3
2
6 1
1 1 1
2
1
1
E
El
f ]
0 4 3 0
0 0 83
8 3
666
7 7 '
·
2 0
-0,28 3
66
0
0
60
Seanju ty akan bisa dhng gaa alam
{ H}
s ] [A ] D }
3 3
1 3 3
b
0
0
0
0
84
0
1
/
f 7 608
960
11 11
z
H4
/'
Gr 7 t gy d
M k dd pk
M MB
960 kg 440 kg.m
M eA = M c B
=
1 1 5 2 kg.m
B iningkn hasi in ngn g d dkt 10006 .4 2
M
960 kg.m
=
[02 -- 000 .
=
-
440 kg.m
0 Tcnt ilny .
Contoh :
P ontoh o ng njutn ni. kn ipihtkn gn ro ni i kontuki p onoh koinin ngn utu retkn t ttik
(a)
kontuk ng kn ni ngn tu tkn ti in k
B
( dert ketidk-tntn knemts
(c) din D =
n
� ·o
d kv diitk dii n kospondin nn ndutn D
nnn dr d Gm 38 konu ok nu t pekn .
Persaan pada cntoh sal ini sebenarnya aa dengan ontoh karena epunyai en batang yang saa dngan drajat kebbas an yang saa pua. Maka pross analisa tidak akan ndtail dibahas agi di sini dan angsung akan endapatkan atrix kekakan :
K
K
-1 =
3
1 6667
1 6 7 E
El
1 ' 6667
-
- 3
Pross seanjtnya akan rlihat adanya prbdaan dngan analisa on toh soal yang al, yait dala netapkan vektor gaya yang beka yan dsang ditentkn oh gay a luar yang diktahi = 00 0 kg ga dipengahi lh gaya pgas kD
{D}
=
=
D
Q
3 6 1 7 1 36 1 7
Dl
D
K
=
El
El
6667
3
- 3
4
6667
6667 -1 , 3 6 17 E 1
46
( - 1
-
J l k D
- 1
kD 1)
5 E I D
, 3 4 D
E
4 60 8
E -1394, 7/ E
Dz
=
El
D2
=
1 4 , 3 .
.
(0 , 2 08 3 ) ( 1 0 0 0
+
0 , E I 1 394 , /E I )
Bdaakan al lnduan D 1 dan D yng d daa b a d iung gya dal am yng mb u ad a l m n uk u I
- 6
{ JH
I
= E
- 6
l
Hl HzH 3
-34 , 7
H4
35 , 9
1
3 2 3
3
8
1 394 , /E I 1 74,3/E I
3
8
290,5 348,
ngan dmkan ddakan ail anal MA
\eA
YB MB
905 3487 = - 348 -435 9
kgn kgm km km
3.42. KONSTRUKSI PORTAL BIDANG ANPA PERGOYANGAN PADA MANA DEFORASI AXIAL DIABAIKAN
Da m p s i akan d ib h s nl is Jai k on s ruk s p o rt b da g. D k eh u d m cm on s ruk i p o r b idng. iu p o r l apa p e rg oyangan dan p orl Jngan p erg oya nga n , sep e rti d unj u kkan oleh gmb 3.9
a l a gngn 88
-'
rI
.
(b ) pota men u tanpa poyangan
�,_
•
po ta dengn prgoyngn Gmb 3.9 konruk potal dngan tt k hu bung kak u Contoh 3.4 : Dm pas n akn dba dbhs n pta bdan anp e oyangn . dm n defo x d ar c n-n J baikn 89
q : K/ '
B
c
1&
XG El
El
.0
(a) potal bidng yag akn dinal s. den b tu t da m n an sim is
(b) stuur dsr ya die omn p
M A B· M
B A·
-
60 . 3 5
.
a = Mc s
=
MCD
=
-
6
=
0 . 3 . 2 5
�
�
D C - �A B =
-8 kg . :
= +4 x
30 0
- 43Z kg.m + 2 8
kg m
- 625
kg . m
28· 1
c)
Momen pmer.
\
�·
(d) Derajat kia-nua mais : 2
e Gaya ival ii yang kspodin n· lut D Q1
=
43-65
Q2
=
625 -432
==
3 m 193 kg.m 9
( f) Dberikan D
=
1
satuan
.
g Diberian D 2 = l satuan
(h)
D iagram H-d
Dagram
kei bangan
Cam br 3 . 0
Portl imtr.
'·
Dengan emperhtkan mbar 3 . 1 0 kan didapatkn :
0
+d l + dz d3 d4 d s d6
0 0
[A
0
=
0 0
5
[S]
•
2 El 5
El
-
0
0
t
D=
D 2= 1
2 5
2 5 5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
22) 5
0
0
0
0
2
(2) 5 22) 5
4(2)
2 5
5
0
0
0
0
0
0
0
0
4
2
0
0
iI 0 I 0
0
2
0
0
0
0
0 ,L
0
0
2
3
4
r I I
\
2
1
1 2
3
4
2
5
l
5
6
Me1 i ha t p e r s a 'a a n ( . 33 ) T A] ] S ] [ A] [K [ =
93
K
[ ]
2E 1
=
6
2
2
6
Dngan nguah gy-gaya uar mnjai gya kivaln u d jung lmen atau dtitiktitk ikit (gambar 3 . 1 0 c da e ) . J: dngn mlht prsaman ( 3 . � 4 { D}
=
{ :}
=
=
.
5 1
[ K] -
1
{ Q}
-
36-4
2E I
5
6
r I
- 1 55444 l l
I
)
{ o , j� 94
l
D2
(1 -
8� 6 5
965
l
I
I
)
1
6
2
-
6
)
{ } - 93
1 93
J uaa suu t B a aah sba
D
2
=
96
Da saaa ( 3 . 3 5 ) {H}
= S [ A
D}
E I
0 0 0 0
:
0 0 0 0
=
0 0
0 0
4
4
0 0
0 0
4
0 0
H H HH
H2
0 0 0 0
0 0
4
0 0 0 0
0
0 0 0
0 0 0
96
8E 96 +B
0
9 3 1 93
- 48 , 2 5
96 96 96 , 96 4 8
\1hat m ba 3 0 ( n 95
---, , I = l 4 8 5 J II 288 = 9 6 5 1 I + 4 3 = 6 5 96 5 96 5 1 + 6 5 6 5 9 = l : 4 3 I = = 8 5 � + 2 8 8 I L _j L _ _ t H + momen 1
M C D M D
_
3 9 , 7 5 kg m -58 5
kgm
58 5
kgm
58,5
kgm
58 5
kgm
2 39 , 7 5 k g m
p r i me .
Conoh 3 . 5 : S ekaa n akan baha nl sa pota paa gambar 3. 1 di bawa h i n :
-� 20 5
E 500
( a
5
Portal yng akn dianalsa.
D
6
•
h l Sru Jsar an dikang. Mme 8 m e 00 k g . m : ME D 4 0 0 2 2 ] 600 r MEF FE - 1 2· "
=
=
- 1 50 Kg I m
+. 6 0 0 5 2 1 000.4 g·
=
=
50 k g m 500 k g m
1250
B( .I
7m
(c) Momen prme
\
'
�DC (0 I
'
1 5
2
R
l (d) Deajat ketdk-tentuan knema : defoas axa dabaikan
)
2
Gaa valen Q dtiik dikrt yn kosondng engn ndutan D.
( [ Dibeikan D = 1 atan
1
g DbeikanD 2 = 1 sauan
(h) Dagam H-d Gamba 3 1 Poral mene tanpa egoyangan. Dengan mempehaikan amba 3 . dapa mai dhung marx [ A ] dan S ] 98
0
D 1=
D 2= 1
0
t t
0
0
0
0
0.
I 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
=,
5
El
El
4 2 5 5 2 4
d d2 + d3 d +d d 6 + d7 ds
5
0 0' 0 0 0
A =
0 0 0
8 4 0 0 0 0
0
4
8 0 0 0 0 0 0 2
4 ( 2) 2( 2) 5 2(2) 4(2)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4 2
2 4
0
0
0
0
0
0
0
4 (2 )
2(2)
0
0
0
2(2)
4 ( 2)
5
0 0 0 0 8 8 16 0 0 0 0 0 0 0 0 3
0
0 0 0 0 0 5 0 0
0 0 10
0 0
0 0 0 0 0 8 7
0 0 0 0 0
3
7
Mx kkkn k d dihn k mn
= A ] T S] A
E i =
10
l
0
\
8 4 4 8 0 0 16 8 0 8 16 0
1 0 5
5 10
�I 16 8
8 1
� o
[ K]
: -1
T E
=
1
E
X
8 16
16 8
8
1 0
5
4
9 4
[
4 -
8
6 Skan dhtn ndun dn a am
= l 1 00
1
'
D{ 21
5 236 El
_ �
7 450 4200
H
=
-37250/236 E
21000/236 El
}
[S] [A {D}
E 0
-
rI � I
4
0
0
0
0
0
0
8
0
0
0
0
0
0
0
a o
6 8
0
0
0
0
0
8 16
0
0
0
0
0
0
0
0
10 5
0
0
0
o
0
0
0
5 10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6 8
0
0
0
0
0
8 6
l�
0
II l�
0
0 3250 236EI 2000 236E \
3 2 5
- 2 2100 - 2
0 6
. !'
I.
63,14 -2627 32373 {H}
2 8 6 - 88 , 9 8
=
- 44 , 49
."
142,8 - 7 ' 9 Dga meperhtikan mome rmer dar een-elemen srktur. aka akan aatka :
MA
ME
=
D
M FE
MF M
kgm
I
=
ME F
M
r j � �4;l - ft - l , 2 6 , 2 7 1 0 80 0 I l 323,73 l 1 2 5 0 1 ! I 268,6 - +1250
B C
=
+
-
I ! - 8 8 , 9 8
=
I
=
l - 2 38
1 - I i l j 4449 I l l I I ] - 71 , 1 9 _ L
kg.m kgm
926,27
kg
- 5 8,64
kg
- 500
, 02
kg
2 5o
0 7 , 62
kgm
5 00
- 5 4 , 49
kgm
3 1 , 9
kgm
!
B
M
i
_
I
-
+
. 250 _
t H
t momen p r i m .
Seran� Jitju pah ksmbTg d- r h :
\tE lA + tD M E F � 6 800 + 9�6 . 7
·
\1 F
0 1 eh )
=
\1 F E
2
+
:I F B + M Fc
- 5 �64 + ) 1 0 + 1 0 7 . 0 ( I1 L'lC h .
KONSTRUKSI PORTAL BANG DENGAN DANA DEFORMASI AXIL DIBAIAN.
RGOYNGAN
h d l y d n o n eoynn k d l 3 4 3 n kn dob nnl konuk o dnn ynn d d f x d kn onoh 3 6 D wh n dkn ontoh n o dh dnn onn nd
&
1CO kg
l
Z
2M
Po yn kn d n
D
( tuk u dsa n d kkan
A
= = 8' =
me me
M Me
-M
DC
500
1004
kg
c Mom p m 1 03
( d Ocjt td-nun nmas
:
.Q:5
) Gya eval Q di dr yng korpondn d�n l ndun D .
1 sat uan
tsauan
(f
0 = l d3 -
brn
�"
an
l f g l Diberkan 1 04
0,
=
I
�atua.
3
( h ) Diberikan
=
I
satuan
dt, " H L .d s \
l
Digram H-d
G a m br 3 . 1 2 D
c n an
P ortal de ngn pr y �mn.
e p hati ka � ba
3 . 1 2 sl;juya d i t ur u nk [ A ]
(I
4
0
[A]
0
0
0
"
0
4 0
4 "
a [ S] .
0 0 0
dl I d2 I + 3 + dt s
I
0
+
d· 5
� I
D3=1 105
2
2
l
2
22)
� 4 ( 2) �
2
(2)
2 2)
2
2
2
2
2
2 l
2
Slnjt b s d ihng mtrx n r [ K ] K] =
� l
06
S ]
2
2
2
1
0
4 1
3
4
3
0
4
El 2
0
3
0
3
4
4 0
2
4
2
0
0
2
4
2
4
0
0
0
0
0
l 4
0
l
E
[ K]
=
-
2
4
4
3
4
6
2
3
2
6
3
3
4
8
8
4
3 E
=
.
r
[K ] -
1
r
1
8
= -
l
l
\
/
[
K( 1
0
4
3
3
512
- 48
48
8
3
-15
4
-15
3
5
-48
- 8
- 8
- 15
4
15
�J
\I
I
I
)
!
SL· te h [ K ] J a n f K ] d i h t u n g . m ak besr :ya daLm ka pa Ul'g� d en
[) -
{D}
{Q}
( D · "
U )
\
c
t l
2
8
-
63
-
/
g a y -
4
- l
5
1+ 8
-I5
;
0 0 0 ' 50 0 Ii
17
\
5 1200 t - 870 9000
38,05/EI -557,69/E 579/E El =
D 02 03 = { H = ( S ] [A] { 0 } =
=
{H}
0 l 0
0
0
4
0
,
1
2
I
2
0
o
4
o
:l j.
I� �4 :
5 1 92 r 7
737 9 I
1 08
l
1 1
1 3.07
4
1
I
I
2 3
4
s 5
]82 . 05 -557 , 69 I
�
7. 9 6
0 0 1
4 4
I
4
I 3
o
•
{H}
2
4
0
it
1
{ � J 0
0
0
0
] 85/E -5569Et - 56E
mmpaika mm prim ri mm k r maka aka didapka MA MC A
MC D
M DC M DB
M
r �-1 o 1 I 7,7 I = 7, 7 i l 20 1 =
95
6 3 ,
=
kg.m
kgm
o
- 6 73 , 0 7
=
-500
kg . m
+500
1 3 kg . m
0
L
, 92
I
_
kgm
_o
kgm
moe p r me r
Ch 3 . 7 awh ka dib maia pra drha da pyaa a rh ai mdar ag dikmbiaik d pa d kaa p k. B da ka krki diam b am da h
g
( ) Pot g ka di a li a d km biaik d tak t a kot k
Draa k
n
m a i
_
c)
G
ven Q dn g peg D 1 ng mbu dern endn D p onru por d
( d ) G - ng orepondng dngn ndun D , r 2 dn 3 ng orponding engn n D� dn D3 . Por dgn o n e Po ·< rukur o o n d dnn L'O 3 6 d 'n noh Jd o u n
G
'
K]
E!
8
[ K}
{D}
[ K) -
Dl
l
z =
1
Q 51 2
- 4
48
- 48
6 -5
-15
- 5 00
500
EI
- 48
03
00
D1 Un tuk
k
1
=
=
E
D
=
z = Dz
{H }
=
03
=
DJ
=
k.D1
- 9'O
+
8
D1
J
k. D 1}
3 2 82 0 /E I 0 820 D
=
3 2 8 0 E
D
80282/E
l
16
El
( 8 7 000
+
8 .
=
5 0 0
kg .
* E l 8 0 2 , 8 2/E )
41901/E 1
56 El
- 9 000
+
8
� . 802/E!)
80 , 9 8 6 / E
4
2
0
:l
0
2
0
2
3
3
=
48
E l ( 20 0 - 5 1 2
[SJ A] D }
El 2
+
I
82 0 1
Dt
370 0
-
Et
k.D
l
5 200 - 5 2 k . D 1 =
-
3
3
.
4
2
(
i 18,2/ I
4 9, /E! '6/
l
t
)
0
42567,054 7767,005 f46, s 5 l ! - 7 0 4 -5 0 = 2 5 7 , 04 = - 25 7 , 0 4 ! +50 - 7 5 7 0 4 = 757 = { H}
4
- 75 7 , 0 4
emprhtk me prer dr meeme rktur k k ddptk
"A
MC A
I
25 7 04 ,
I
M
D MDC
M B
I
h 8
=
gm gm gm g.m gm gm
momen p r i me
Cbr 3 1 4 ukk u r< d o d r r m kk B r e km"
a
Poral
di
B
A
( b ) S rk u casar yang d kekang.
� c ' 0
'
5 0
/ D '
Prc . u
"u( ' 1
_
=
t >
u
s
P:SO
txs= ,
A
B
B Gy a Q dtk iskt ng kospndng dngan lnduan D.
l
0, i
I
P k g d d o d d D •
g) Dr H-d. Ga
Po g r
k Dg rk m r D D g - o [ S]
1 r d
[A]
os
)
l
D J = ! : 2 I
< d6
�
El
= T
2
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
4 5 2 5
2(2 4(2 L L 4 ( 2) 2 ( 2
5
0
0
0
0
1
5
0
0
0
0
0
2
0
0
20
0
0
0
0
0
0
20
0
0
4
0
0
0
0
8
0
0
0
0
4
4
6
=
j
l 1 - 3 333 l
0
I
4 5
0
�
5
l
I
6
5
0
0
0
0
0
0
0
0 20 0
0
0
0
0 0 20
0
c
0
0
0
0
8
0
0
4
0
I
0
s * �
0
0
4
0
L
J
3
0
�5
3
� 3
0 0
15 El 10
15
-10
10
4
4
5
0
20
10
0
0
0
0
10
20
8
4
1 1 1 3 1
1 3
1 ,208
K]
El
625
6
625
30
10
6
10
28
68707
E
I 16
0 0 0 0
1 15
1'5
1 15
2 7 ' 2
- 74 , 58
17,5
7 4 5
2 9 1 8
0 1 6
0 1 1
0 1 67
0404
0 1 09
- 0 , 1 0 9
0 43 3
0 67
1 7
404
1 9
0 09
433
3. 0
0 0
740
0 011
0
{H} = [S]
[A] { D }
E1
=�
0
0
0
0
0
0
0
0
20
0
0
0
0
0
0
0
0
10
5
0
5
10
0 0
0
8
0
0
-0
20
0
-10
10
0
4
0
8
4
0
-22,514
r 398,51 0 . 5 60
290 akhir
MA
=
MC
MC E
A
MD C M OB M
=
)
= =
0
1
r 4 2 7 . 8 3/ E
� -
2 3 4 :
5
140,973kg .m
2 , 5 3 kg . m
I
I 1
i
-
6j
i
10 ,
l
39 8 , 45 1
0j 9 7 _ � L H
1
92 /E I 1
0
0
l r D io.9 r f 2 J , ) \I ' l I
I
8,
:
- 4o I
50
+5 0
=
=
0
kg . m
278kgm k g ,
-8
8 . l g
-
-
�1
l 84, 1 5 2 / j
= ! - 2 1 , 5 1 4! '
I
427823/EI 892 28 52/
4
1
0
0 0
0
4
1
0
0
- 3
0
5
0
0
2 5
Momen
0
1 4 0 , 9 7 3
=
1
0
5
{H }
0
5
E
I
8
4 =�
•
4k
"omen prie
4 4 KOSTKS EGSEL
AGKA ATAG EGA TTK HG
Pd - n u eh dbh n uku denn bunn kku d n d o no h dbk n k akn a n konuk nk bn n ut dn hna n d o no benn oe na dah s denn an teh dkukn ad a a-aa an au han bebe d d a e bekan ko endutan n hn d ko ndun n sa an ada a n nkn hubunn da cn defo bk g d uun dfo n bu hnh be axa s
O K G A A A A G
ek n h onoh d b awh n onoh 9
(a Ranka bn n kn d n
l b t u d ang d kkan
18
Dat tantun knat
d Vo gy yng oepondng dnn ndun
ibrka
1
un
f brika
un
ig)
Dbn D3
1 �n
brn D
1 n
Ih
1 9
-
(i
Dagam
Gamba
H
3.5
d
Konstrui angka batang
Mempeatkan gambar 3 1 5 kan dengan mudah dapat ditntukan matrx A . yatu matx ang mentkan ubungan deformai dan endutan. Dai gamba 5 e , untuk D 1 = dl = 0 d2 0 d = d4 = 0 = 0
Dari gamba 3 5 f untuk D = dl 0 l d� = d = 0 4 0 d = 0
I
Dai amba
l
3 I g.
un tuk D
=
I
=
0 J 0 ·, I
L� D
=
=
I
-
Sin a = Sn a =
gmbar 3 h
-
.� /' )-
3/5
untuk D
c� , = 0 d, =
!20
d3
d4 d,
=
I.
0
Co Co =
5
J ali m [ A ] 0
0
0
0
+
dl
0
-1
0
0
+
d2
0
0
d3
+
d4
+
ds
[A ] = 0
0
0
0
t
t
Dz=
D=l
5
5
5
5
.
t
I
D3= l
D4 =
Sesai dengan apa yang telah disingng di agian depan pada pasal ini mak a elme n-elemn pada konstrksi rangka batang ini hanya mendeita deforasi axial saa yang dengan demikian hanya mcnim ulkn gaya dalam normal saja Karena disini membahas konstrksi yang elastis, maka hukm Hooke akan berlak karenanya.
H L Gamar 3 . 1 6
Batang yang mndrit a gaya nora dan mengalami deforasi axal d
Mlha ambar 3 . , U.3 l
Dngan dkia : H
=
AE d. L
U .3 7
Jana A mnyaakan ckakua aa Jari baa ada gbar
L
Dngan meha prsamaan 3 3 7 l maka las dapa dikahi hw marX f S ] aka diri a lCL'I!m kakuan axal. yait 12!
AE L 0
[S]
H I H2
0
0
0
AE 2 L2
0
0
0
A E. L
0
0
H
A E L4
0
H
0
0
0
0
0
0
A E5 S
0
0
0
0
f d l=
t
2= 1
d =
Ls
4=
H
5= 1
D mikia kr ah a ihi mrix ak K ] yi [K] [ A T S ] [A]
=
I I
0
0 0
0
0
0 0
0 0 3
5 5 4 4 0 5 5
0 0 -1
AE
0
3
0
0
0
0
0
0
3
0
0 0 0 0
0
0 0
l
0 -
0 0
0
0 0
0 0 3 0 0
0 0 5 0 0 0 0 5
0
I 0 0 0
0
5
8
5
0
6 6
0
(AE)
0
4 0 0 3 0 0
0 0 1
0
0
0
0 0 3
0
0
3
5
5 5 3 4 5 5 0 0 0 4
5 5
[ K] =
AE
3
3 8 3 7
3
3
64 1 25
Uuk t t [ K J k pt
l : }
: � 3 i 2
]
=
3 7 3 7 5
64
(
°
2
2 3
1 :3
{ H a s i 1 ( i ) } . 2
( l
( j V }
)
= - 01
[!
�
a i 1 K - a
(ii
l
(j
V
)
0
(I 3 6
m 0
Bi1
a
di
ten uka [ F]
d i ma ma na
1 :4
(v )
K
mak F z = { H s
(v
5
0
0
{ Ha i i i i ) }
3
F2 =
15
0
0
3
1 25
3
0
0
0
Ha
!
F
F22
F2
V
25
0
0
0
25
V }
F
1
0
15
0
0
0
0
125
1 5 )
0
a
j j i
I
0
0
( i )
}
125
0
0
0
0
0
5
r
12
0
0
0
-1
F = Kl -
=
l
( i X)
J
( jX) }
{ Ha s i 1
[ �m ] [ l 0
�l
1 25
- 3 0
36
0
r [ F ) = Al E l--�---1�-�1 o
� l
I5 -
o
I
o
o
1 79
I 25 36
O
_
I
! l
36
1 25 i 36 I o
o
25 6
l
J
Unuk m�nhung m�nhung lndutn. etap et ap ipk p rs rsn ( 3 . 2 4 ) :
{ D } = [ K ] -1
6
{ Q}
( I
\
I
Dl Dz
D3 I
l
=
AE
D4
0
0
1 25
1
1 25
0
3 �0
1 25
0
0
0
-000
0
0
0
0
1 25
2000
6)
- 49 7 2 ' 2 2 =
1
0
-
AE
347222 3906,25 Selanju Selanju tnya :
{H} =
[ S [A ]
=
{D 1 2
0
0
2
0
o
2
0
3
3
0
0
25
8 25
§
8
6
0
0
-
25
r �
- 1 000
=
208 3 3 3
i �
0
-4 1 6 , 67
1 r\ 1
- 4972 , 22
�
o
347222
3906 25
25
I '
)
_ -, 1_
Jad : Gaya batang nomor
H 0 R 0 H = 1 000 kg (e kan) kan) H = 208 , kg ark ark H kg ekan)
3
Ctoh
3
?�M
tg
=
M
(a) Rangka baang ang akan dianalsa dengan uas penampan aang daam cm2).
Derj k-enan knema
' o, 1 �
/. ·.
-
.\
\
c5 . , _1 _1
(d) Dierkan D1
=
1 satuan
(e)
Dirikan D2
=
(f
Dcrkan Dcrka n D3
=
(g)
Dbr D4
s a tuan
I
s
u
1 29
Daa H m 3 7 Kuks Kuks ka ka s u Mmk m 3 1 7 . ka aa max ]. Pu tk s k k s aa �aa ak maka u kka au k ua D m c ) j kku kmsa ma m
J == J J� = = =
D ama 3 7d uuk D 3
0
0
m m e . uuk D 06 0
}
d4
1 30
=
0
0_6 0
D gambar 3 . 1 7 f, f, u n t D � c = 0 d2 0,385 d3 0385 d4 = 0 d: -1 D gm gm r 3 . 1 7 g, n 0 dl d, = 0 � 9 3 9 2 2 d - 0 9 d4 0
1.
1.
=
=
=
d
=
s
0
Gm 3 7. h D5 . 1 c, = d2 = 0
d d
ds
,923
06 0
Jdi mt mtxx [ A ] :
[A]
0,8
06
0
0
0
dl
0
0
0385
0 923
0
d2
0
0
0 38 5
- 0 923
0923
d3
0
06
0
0
06
0
-1
0
0
t
+
.
D 1=l
0 2
M atrix [ S ] tedi ri
r
[S]
I =
lE l L2
I
03
+ d 4
ds
0 4=
O s
emn-l kaan xiL yiu : 0 A E 2
o
0
0
0
0
0
0
0
L3
0
0
0
0
0
0
0 AE L4
0
0 0 A
}I
E 0 . 000 6 E 0 ]
S]
Matrix keauan
=
E
0
0
0
0
0
0
0
6 E
0
0
0
0
0
0
2
3
000
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 093 0 9 3 0
0 0 o 0
6 E 0 460 55 E 0 60 4 0 0 0 0
0 0 0 0 0
06 0 0 0 38 0 0 38 o8 06 0
0
0
08 oB 0 0 06 0 0 -0 6 0 0 0 , 38 0 38 0 0 93 0 93 0 0 093 06 0
( �
0
0 0 0 0 0
0 0 0 93 06 0
2
4
0 0 0 0 33 , 33
0 0 0 0 0 0 0 3 3 33
0 0 0 0 0 0
E
000
•
20
0
0
20
15
0
0
1 5
125
1925
0
0
2000
46 ' 1 5 - 4 6 ' 1 5
0
0
E (K) = 000
46 . 1 5
r
[ K] -
1
r
•
l
l
0
0
0
0
0
0 3
09
0
0
0
0
-
0
- 3 33
0
12
0
18
0
0
0 4 8 1 5
777
0
0
0
as 1
12
-9
0
4260 51 '6
177 4260
00863 -0 ,0544
0 1 0 29
0 0 99 0 0 5 4 4 . 0 88
0 06
0 436
0043 0047
00726
0 0 5
04
004
726 088
0,6
0 8 0 9 3 0 9 3 0 06 0 08 06 I 0 0 0
-33.33 0 0
15
08
65 , 33
-33 , 33
\
33 33 0
1 8 088 7
sym r I s
205 8
s
0' 181
ym t i s
45 2
8
94 ,6
- 1 45 , 2
82
8 il
- 29 0 , 4
89 , 4
78
L e n du t a v g t e j ID\
=
[K]
-I
I Q}
13
�--
{D }
1 00 0 0
-172,6
Dl
+108,8
+
D2
-1993
+
D3
+108,8
D4
17,6
. D s
Se1anjutya {H}
(
; =
00
\
I
[ S] [A] D 5
20
-
0
0
0
-172,6 108,8
v
"
0
1 9 25
46 ' 1 5
0
0
1 9 25
-46 ' 1 5
46 ' 1 5
-99 ,
-15
0
0
15
08,8
33 , 3 3
0
0
17,6
20
. 3
0
-
- 9 1 00
2
5 8 7 4 8
�H
5 8 7 4 , 8
-9 1 00 4533
t
J
3
4 5
J a d i i a o a ga a - a a b a a n
H2
3
1 34
-9 1 00
l
=
k ( e a n )
5 8 7 4 8 k ( a r i k ) 5 8 7 4 8 k aik)
H4
- 9 1 00
k e k a n )
Hs
4533
k ( a r i k )
1 00 0 0
Ct 1 1
k t k s kt
b
r> kc tk tu n kn i t k t p k t )
0
0
\
k o gay luar y orpon ng n w kor lndutn
d ) dbkn I sun
\
\
ndutn
b
�1
au
- 0.8
( e dbrkn l sun
lndun
D�
sba
f ibkan 1 saun
ndu an
D:
bes
0
= 1 H
Gmb 136
s
3 . 8 a gk bt a ng si k tnu ina
J.
d ,
su h h d d d m d bwh du bruruurut mtrx A ] S d K ]
0
0 8
0
0
0,8
,
08
0,8
- 06
08
0 8
0
0
0
EA
fd
�d
E d
0
D
o d 2
D
,"
d
0
D 3
2
/5 AE /
c
E
AE /
0
6
T : s J ] A [ 38 AE
00 0
9
26
j 9 5 ?
95 4 , 6
)
I
J
} D} K
D
D} }
K K
=
4 , 66
2 , 333
0933
2 , 333
34
0467
0933
0 , 467
2 38
-
A
Q
D2 D
K]
-
Q
Q
3
=
1 AE
D
4,66
2333
0933
2 , 333
3 4
0467
0
0933
0467
, 2 38
0
3 99
D
l
D
3
Jad i
D D
8
2
6 999
E
2799 3 99 6 999
AE
(
AE
( +
-
3000
799
k r 3 r
Utuk k t d dt ktdk-ttu kmt r k r d mtod kkku md tdk kt Utu k tu dt dk tr tod kkku d r uo u ; t od f k t du tut rtu-tut k dh dm rkut .
1 39
4 METOD SUPRSIS LANGS
4 . 1 . INTODUKSI
aa bab yang lalu telah dib e ngnalia trukt ur denan e tode atrx, dla hal ini etode kekkuan yan rutan kerjany eenuh i tia p rinip taa kontin uita dri deforai ( kopatibi iti ) hub ungn y d la dn d efo1ai ele en keeti bnan ya luar dan gay dla elnjutnya akan diperlihtkan ara ntuk enyederhanakan proe anli di at yatu denn enurunkn suatu trix kkakun stan ar dar tu leen truktur yan dpt dipkai eara u. A d a beberpa ar yang dikenl ntk e nurunkan atrix kekkun eleen ntar lin :
etode nit lendutan eorea tilino pert a etode inveri Cara yang pertaa adalah uatu tode lnung ya itu sar ng un enghitn g gy-gaya yang ib l ciit ik-tit ik d ikri t bil pad atu titi k di antranya d iberkan lend uan be ar au atn n t len d tan an titik yan lin sedei kin rupa akan ci pegang e k pda e tnya S$ bis ddaa hubngn gay enan ncuan ang b s d iji kn d ala bent k trix .
Car yang kedu adalah brdaarkan penunaan langn ore a i g l i no pama yau dengn cara menyatkn peran ran nrgysbag fung dar len an ntk kedin s m a a n trsebut di-difereniir terhadp lendutan yan berangkutn Hasil bag f e n s < n kn ;brikan gaygaya n itik d skrt bgi fungsi da lnd ua n
tim
di
Dengan a n a k bca erolh hubngan aya dngan ndJn. Car yn tga an d i r ib n lbh e nd e t l d i bwah i n .
4.2
METE VER
UTK MEURUKA MATRX K
Tinjaulah s a t s u s u n v cln k nd u t n y ng k o r c s p o n di n " t ! s< m a li n . yang m c L· nu i s u a t h u b u ngan seprt i d i t nj u k k a n olc1 pcrs am a n ( . "
l { Q}
=
[K] { D }
ng na la dilkukn r. da haslkan huung: n �baga bk :
matrix
1 43
