Analisis Real III
Renato Benazic October 29, 2017
Prefacio
Renato Benazic
Prefacio
Renato Benazic
Introducci´ on on
Contenido 1 Integrales M´ ultiples 1.1 La Definici´ on de Integral sobre m-bloques . . . . . . . . . . . . 1.2 Propiedades B´ asicas de la Integral sobre m-Bloques Compactos 1.3 Conjuntos de Medida Cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Caracterizaci´o n de las Funciones Riemann Integrables . . . . . 1.5 Integraci´ on Iterada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Integrales sobre Conjuntos J-medibles . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Cambio de Variables en la Integral M´ ultiple . . . . . . . . . . . 2 Espacios de Medida 2.1 Limitaciones y desventajas de la Integral de Riemann . . 2.2 Espacios medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Caracterizaci´on de una medida. Unicidad . . . . . . . . . 2.5 Medidas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Medida de Lebesgue en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Algunos Propiedades de la medida de Lebesgue en R n . . 2.8 Algunos aspectos te´ oricos de la medida de Lebesgue en R n 3 Integraci´ on Abstracta 3.1 Funciones medibles . . . . . . . . 3.2 Funciones simples . . . . . . . . . 3.3 Integraci´ on de funciones medibles 3.4 Integraci´ o n de funciones medibles 3.5 Conjuntos de medida nula . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . no negativas . . . reales o complejas . . . . . . . . . . .
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1 1 9 15 21 24 27 33
. . . . . . . .
35 35 38 42 46 49 54 60 62
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . .
65 . . . . . 65 . . . . . 69 . . . . . 74 . . . . . 82 . . . . . 86
4 Los Espacios L p 89 p 4.1 Los espacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2 Los espacios L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
L
3
4.3 Completitud de los espacios L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Aproximaci´ on por funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95 97
Cap´ıtulo 1
Integrales M´ ultiples 1.1
La Definici´ on de Integral sobre m-bloques
Primeramente introducimos la notaci´on necesaria. Si I R es un intervalo acotado (es decir, del tipo [a, b], ]a, b[, ]a, b], [a, b[ o inclusive [a] = [a, a]), el volumen unidimensional o longitud de I , se define por
⊆
vol (I ) = b
− a.
Decimos que B Rm es un bloque m-dimensional o simplemente m-bloque si y s´olo si B es producto cartesiano de m intervalos I 1 , . . . , Im , es decir
⊆
m
× I 2 × · · · × I m =
B = I 1
I i .
i=1
Si todo los intervalos I i son abiertos (resp. cerrados, acotados, compactos, etc.), diremos que el m-bloque m
B =
I i es abierto (resp. cerrado, acotado, compacto, etc.). Si todos los intervalos I i tienen la misma
i=1
m
longitud, entonces B =
I i es llamado m- cubo.
i=1
Para prop´ositos posteriores, vamos a admitir que uno o m´as de los intervalos I i pueda constar de un m
s´olo punto. En este caso, decimos que B =
I i es un m-bloque degenerado.
i=1 m
Si B =
I i es un m-bloque acotado, el volumen m-dimensional o simplemente volumen de B,
i=1
denotado por vol (B), se define como el producto de las longitudes de los intervalos I i , es decir m
vol (B) =
i=1
1
vol (I i ).
An´ alisis Real II
2
Observaciones: 1. El volumen de un m-bloque degenerado es cero. 2. Si m = 1, 2, 3 entonces el m-bloque B se denomina respectivamente intervalo, rect´ angulo, paralelep´ıpedo y su volumen vol (B) pasa a ser llamado longitud, ´area y volumen, respectivamente. m
Sea B =
I i un m-bloque acotado, donde I i es un intervalo de extremos a i , b i . Una cara (m
i=1
− 1)-
− 1)-cara de B es un producto cartesiano del tipo I 1 × · · · × I k−1 ×{ak } × I k+1 × · · · × I m o´ I 1 × · · · × I k−1 × {bk } × I k+1 × · · · × I m
dimensional o simplemente (m
donde k = 1, 2, . . . m. Para m = 1, 2, 3, una (m 1)-cara es un extremo del intervalo, un lado del rect´angulo o una cara del paralelep´ıpedo. Es claro que toda (m 1)-cara de un m-bloque, tiene volumen (m-dimensional) cero. De manera an´aloga se definen las (m k)-caras (k = 2, . . . , m) de un m-bloque. Las 0-caras son llamadas v´ertices del m-bloque.
−
−
−
m
Definici´ on 1.1.1 Sea B =
[a1 , bi ] un m-bloque compacto.
i=1
1. Una partici´ on P de B es un producto cartesiano P = P 1 P m donde P i ([ai , bi ]), 1 i m. Denotaremos por (B) al conjunto de todas las particiones del m-bloque compacto B.
∀ ≤ ≤
× ··· ×
P
∈ P
× · · · × P m ∈ P (B). La norma de P , denotada por P es definida como P = max{P i; 1 ≤ i ≤ m} 3. Sean P = P 1 × · · · × P m , Q = Q 1 × · · · × Qm ∈ P (B). Decimos que Q es un refinamiento de P si y s´olo si P i ⊆ Qi , ∀ 1 ≤ i ≤ m. 2. Sea P = P 1
Observaciones: 1. Sea P = P 1
× · · · × P m ∈ P (B) donde P i = {ai = t i0 < ti1 < ··· < tik = b i } ∈ P ([ai , bi ]), (1 ≤ i ≤ m) Si denotamos por I ji = [tij −1 , tij ] (1 ≤ j i ≤ k i ) al ji -´esimo intervalo generado por P i ∈ P ([ai , bi ]) entonces I j1 × I j2 × · · · × I jm i
i
i
i
1
2
m
es un m-bloque contenido en B, al cual denotaremos por Bj1 ,...,jm y llamaremos m-subbloque generado por P (B). En muchas ocasiones es conveniente enumerar consecutivamente a estos
∈ P
An´ alisis Real II
≤ ≤
3
···
subbloques y denotarlos por Bi , con 1 i k = k1 km . En cualquier caso, escribiremos P = Bj1 ,...,jm o´ P = Bi (B) para decir que los Bj1 ,...,jm (o los Bi ) son los subbloques generados por la partici´on P . Es claro que
{
}
{ } ∈ P
k
vol (B) =
vol (Bi ).
i=1
∈ P { }×{
∪ {
2. Si P, Q (B) entonces P Q no necesariamente es una partici´o n de B. En efecto, considere P = 0, 1 0, 1/2, 1 y Q = 0, 1/2, 1 0, 1 . Es claro que P y Q son particiones de [0, 1] [0, 1], sin embargo P Q no es una partici´on de [0, 1] [0, 1].
}
}×{ }
×
∪ × 3. Sean P = P 1 × · · · × P m , Q = Q1 × · · · × Qm ∈ P (B), denotaremos P + Q = (P 1 ∪ Q1 ) × (P 2 ∪ Q2 ) × · · · × (P m ∪ Qm ) Es claro que P + Q ∈ P (B) y P + Q es un refinamiento com´ un de P y Q, (es decir P ⊆ P + Q y Q ⊆ P + Q). m
Sea B =
[a1 , bi ] un m-bloque compacto y f : B
i=1
{ ∈ B } Es claro que m(f ) ≤ f (x) ≤ M (f ), ∀ x ∈ B. Si P = {Bi } ∈ P (B), denotamos mi (f ) = inf {f (x); x ∈ Bi } m(f ) = inf f (x); x
→ R una funci´on acotada, denotemos {
∈ B }
{
∈ Bi }
y M (f ) = sup f (x); x
y M i (f ) = sup f (x); x
Se cumple m(f )
≤ mi(f ) ≤ f (x) ≤ M i (f ) ≤ M (f ), ∀ x ∈ Bi, ∀ i
La suma inferior y la suma superior de f relativa a la partici´on P se definen respectivamente como L(f, P ) =
mi (f ) vol (Bi ) y U (f, P ) =
i
M i (f ) vol (Bi )
i
Es claro que
≤ L(f, P ) ≤ U (f, P ) ≤ M (f ) vol (B), ∀ P ∈ P (B) La Integral Superior y la Integral Inferior de una funci´on acotada f : B → R se definen respectivamente m(f ) vol (B)
como
{
∈ P (B)}
{
∈ P (B)}
f (x)dx = inf U (f, P ); P
B
f (x)dx = sup L(f, P ); P
B
En muchas ocasiones, denotaremos
f y
B
B
f en vez de
B
f (x)dx y
B
f (x)dx, respectivamente.
An´ alisis Real II
∈ P
4
→
Teorema 1.1.1 Sea B un m-bloque compacto, P, Q (B) y f : B on acotada. Si Q es R una funci´ un refinamiento de P entonces L(f, P ) L(f, Q) y U (f, Q) U (f, P ).
≤
× · · · ×
≤
× · · · × ∈ P
Demostraci´ on. Sean P = P 1 P m , Q = Q 1 Qm (B) donde Q es un refinamiento de P , luego P 1 Q 1 , . . . , P m Q m . Es suficiente considerar el caso en que Q 1 = P 1 t∗ , P 2 = Q 2 , . . . , P m = Qm . Sabemos que un m-subbloque de la partici´on P es del tipo
⊆
⊆
× I i × · · · × I i
Bi1 ,i2 ,...,im = I i1
m
2
× Bi ,...,i
= I i1
2
∪{ }
m
× BJ
= I i1
donde J = (i2 , . . . , im ). Si P 1 = a1 = t0 < . . . < tk1 = b1 entonces existe i 1, . . . , k1 tal que ti−1 < t∗ < ti , luego Q1 = a1 = t 0 < t1 < .. . < ti−1 < t∗ < ti < < tkn = b 1 . De esta manera tenemos
{
{
P = Q =
}
∈ { }
···
}
{I i × BJ ; 1 ≤ i1 ≤ k1, ∀ J } ∗ = [ti−1 , t∗ ] × BJ , B ∗∗ = [t∗ , ti ] × BJ ; ∀ J } {I i × BJ ; 1 ≤ i1 = i ≤ k1, ∀ J } ∪ {Bi,J i,J 1 1
Si denotamos m∗i,J (f ) = inf f (x); x
{
∗ } ∈ Bi,J
y m∗∗ i,J (f ) = inf f (x); x
{
∗∗ } ∈ Bi,J
es claro que se cumplen las siguientes desigualdades
≤ m∗i,J (f ), m∗∗i,J (f )
mi,J (f ) y de aqu´ı
∗ ) + mi,J (f ) vol (B ∗∗ ) mi,J (f ) vol (Bi,J ) = mi,J (f ) vol (Bi,J i,J ∗ ∗ ∗∗ ∗∗ ) mi,J (f ) vol (Bi,J ) + mi,J (f ) vol (Bi,J
≤
Luego: L(f, P ) =
mi1 ,J (f ) vol (Bi1 ,J )
i1
=
J
≤
J
J
mi1 ,J (f ) vol (Bi1 ,J )
i1 =i
= L(f, Q)
+
mi,J (f ) vol (Bi,J )
J
i1 =i
mi1 ,J (f ) vol (Bi1 ,J )
∗ ) + m∗∗ (f ) vol (B ∗∗ ) m∗i,J (f ) vol (Bi,J i,J i,J
+
J
La otra desigualdad se demuestra de manera an´aloga. Corolario 1. Sean B un m-bloque compacto y f : B
→ R una funci´on acotada. Se cumple L(f, P ) ≤ U (f, Q) ∀ P, Q ∈ P (B).
An´ alisis ali sis Real Rea l II
5
∈ P (B), sabemos que P + Q ∈ P (B) es un refinamiento com´un un de P y Q.
Demostraci´ on. on. Sean P, Q Del teorema anterior se tiene:
≤ L( L(f, P + Q) ≤ U ( U (f, P + Q) ≤ U ( U (f, Q)
L(f, P ) P )
Corolario 2. Sean B un m-bloque compacto, f : B Entonces
→ R una funci´on on acotada y fijemos P 0 ∈ P (B ).
{
∈ ∈ P (B) y P P es refinamiento de P 0 }
{
∈ ∈ P (B) y P P es refinamiento de P de P 0 }
f =
inf U (f, P ); P ); P P
f =
sup L(f, P ); P ); P P
B
B
Demostraci´ on. on. Probaremos Prob aremos s´olo olo la segunda segu nda igualdad, igua ldad, la l a demostraci´ demostra ci´on on de la primera es similar. similar. Es claro que A = L(f, P ); P ); P P (B ) y P P es refinamiento de P 0 L(f, P ); P ); P P (B )
{
Luego
∈ ∈ P
} ⊆{
≤
sup A
∈ ∈ P }
f
B
∈ P (B) tal que sup A < L(f, P 1). Pero ero P 0 + P 1 ∈ P (B ) es un refinamiento de P de P 0 , luego L luego L((f, P 0 + P 1 ) ≤ sup A < L( L (f, P 1 ) ≤ L( L (f, P 0 + P 1 ) lo cual
Supongamos que sup A <
f f ((Hip Hip.. Aux.) Aux.) luego luego exis existe te P 1
B
es absurdo. Esta contradicci´on on prueba el resultado.
Corolario 3. 3. Sean B Sean B un m un m-bloque -bloque compacto y f y f : B
→ R una funci´on on acotada. Se cumple:
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
L(f, P ) P )
f
f U ( U (f, P ) P ),
B
B
Demostraci´ on. on. Es suficiente probar que
f
B
∀ P, P , Q ∈ P (B ). Luego
{
∀ P ∈ ∈ P (B )
f . f . Del Corola Corolario rio 1 tenemos tenemos L(f, P ) P )
B
∈ ∈ P (B)} ≤ U ( U (f, Q), ∀ Q ∈ P (B )
f = = sup L(f, P ); P ); P P
B
De aqu´ aqu´ı se s e sigue s igue el resultado. resultad o.
Del Corolario anterior, surge de manera natural la siguiente interrogante ¿Existe f : B tal que
f<
B
≤ U ( U (f, Q),
f ? f ? Veamos un par de ejemplos.
B
Ejemplo 1.1.1 Sea B Sea B = [0, [0, 1]
× [0, [0, 1] y definamos f : B → R mediante f ( f (x, y ) =
1, si (x, y) = (0, (0, 0) 0, en otro caso
→ R acotada
An´ alisis ali sis Real Rea l II
Vamos a hallar
f y
B
6
f , f , para ello, tomemos
B
P = 0 = t 0 < t1 <
·· · · · < tm = 1} × {0 = s0 < s1 < ·· · · · < sn = 1} ∈ P (B) y denotemos B denotemos B ij = [ti−1 , ti ] × [sj −1 , sj ], 1 ≤ i ≤ m, 1 m, 1 ≤ j ≤ n. n. {
Por definici´on on de f de f se se tiene que
mij = 0, 0, m
luego L luego L((f, P ) P ) =
y M ij f ) = ij (f )
n
1, si i si i = j = j = 1 0, en otro otro caso caso
mij (f ) f ) vol (B (Bij ) = 0. Se sigue que
i=1 j =1
{
Por otro lado
m
U (f, P ) P ) =
∈ ∈ P (B)} = 0
f = = sup L(f, P ); P ); P P
B n
M ij f ) vol (B (Bij ) = vol (B11 ) = t 1 s1 ij (f )
i=1 j =1
De aqu´ aqu´ı se sigue que la integral superior tambi´ en en es cero, en efecto, sea > 0, existe n 1 < . Consideremos Conside remos entonces la l a partici´ par tici´on on n 1 1 P = 0, , 1 0, , 1 (B ) n n
√
{
1 Por lo anterior U (f, P ) = 2 < y de aqu´ aq u´ı n Ejemplo 1.1.2 Sea B Sea B = [0, [0, 1]
}×{
Para hallar
f y
B
} ∈ P
f = = 0. Por tanto,
B
f =
B
f = 0.
B
× [0, [0, 1] y definamos f : B → R mediante 1, si (x, y ) ∈ Q2 f ( f (x, y ) =
∈ N tal que
0, en otro caso
f , f , tomemos
B
P = 0 = t 0 < t1 <
·· · · · < tm = 1} × {0 = s0 < s1 < ·· · · · < sn = 1} ∈ P (B) y denotemos B denotemos B ij = [ti−1 , ti ] × [sj −1 , sj ], 1 ≤ i ≤ m, 1 m, 1 ≤ j ≤ n. n. Por definici´on on de f de f se se sigue que mij = 0, y M ij f ) = 1, ∀ i, j ij (f ) {
luego m
L(f, P ) P ) =
n
mij (f ) f ) vol (B (Bij ) = 0
i=1 j =1 m n
U (f, P ) P ) =
i=1 j =1
m
M ij f ) vol (B (Bij ) = ij (f )
n
i=1 j =1
vol (B (Bij ) = vol (B ) = 1
An´ alisis ali sis Real Rea l II
7
Se sigue que
f =
sup L(f, P ); P ); P P
f =
inf U ( U (f, P ); P ); P P
De esta manera
f<
B
∈ ∈ P (B)} = 1
{
B
∈ ∈ P (B)} = 0
{
B
f . f .
B
El ejemplo anteior muestra que, la suma inferior puede ser estrictamente menor que la suma superior. Aquellas funciones cuya integral superior coincide con su integral inferior, son de relevancia relevancia para la teor´ıa. ıa. Definici´ on on 1.1.2 Sea B un m-bloque compacto y f : B Riemann integrable sobre B si y s´ olo olo si
f =
B
on acotada. acotada. → R una funci´on
f
B
Si f f es integrable sobre B entonces la la integral de Riemann sobre B , denotada por
f ( f (x)dx o´
B
define como
f =
B
Denotaremos por pacto B pacto B .
Decimos Decimos que f es
f =
B
f se
B
f
B
R(B) al conjunto de todas las funciones Riemann integrables sobre el m-bloque com-
Observaci´ on: on: Sea B un m-bloque compacto, f : B por el Corolario 3 se tiene que
→ R una funci´on on acotad acotada. a.
≤ ≤ ≤
L(f, P ) P )
∈ ∈ R(B) entonces
Si f
∀ P ∈ ∈ P (B)
f U ( U (f, P ) P )
B
→
∈ ∈ R(B)
Teorema 1.1.2 Sea B Sea B un m un m-bloque -bloque compacto y f : B R una funci´ on on acotada. acotada. Se cumple f si y s´ olo olo si dado dado > 0, existe P existe P = P ( P () (B ) tal que U (f, P ) P ) L(f, P ) P ) < .
∈ P
⇒
−
Demostraci´ on. on. ( ) Por hip´otesis otesis
f =
B
luego
B
f = = inf U (f, P ); P ); P P
{
f =
B
f
B
P ); P P ∈ ∈ ∈ P (B)} = sup{L(f, P ); ∈ P (B )}
An´ alisis Real II Dado > 0, existe P 1 (B) tal que U (f, P 1 ) < f + y existe P 2 2 B Tomando P = P 1 + P 2 tenemos
∈ P
∈ P (B) tal que
− f
B
8
< L(f, P 2 ). 2
− 2 ≤ U (f, P 1) − 2 < f < L(f, P 2) + 2 ≤ L(f, P ) + 2 B As´ı, existe P ∈ P (B) tal que U (f, P ) − L(f, P ) < . (⇐) Dado > 0, por hip´otesis existe P = P () ∈ P (B) tal que U (f, P ) − L(f, P ) < . Por el Corolario 3 U (f, P )
al Teorema 1.1.1 tenemos que
0
≤ − ≤ f
B
Se sigue que
f =
B
f U (f, P )
B
− L(f, P ) <
f .
B
Existe otra caracterizaci´on de funci´ on Riemann integrable, la cual usa el concepto de oscilaci´on. Definici´ on 1.1.3 Sea X R m y f : X R una funci´on acotada. La oscilaci´ on de f sobre el conjunto X , denotada por ω(f, X ) es definida como
⊆
→
ω(f, X ) = sup f (x)
{|
− f (y)|; x, y ∈ X }
⊆ Rm y f : X → R una funci´on acotada, se cumple: 1. Si m X (f ) = inf {f (x); x ∈ X } y M X (f ) = sup{f (x); x ∈ X } entonces ω(f, X ) = M X (f ) − mX (f ) 2. Si Y ⊆ X entonces ω(f, Y ) ≤ ω(f, X ). 3. Si X = B es un m-bloque compacto y P = {Bi } ∈ P (B) entonces U (f, P ) − L(f, P ) = ω(f, Bi ) vol (Bi )
Proposici´ on 1.1.3 Sea X
i
∈ − | | −
≥
|
− f (y)| =
Demostraci´ on. 1.) Sean x, y X , cosideremos dos casos: Si f (x) f (y) entonces f (x) f (x) f (y) M X (f ) mX (f ). Si f (x) < f (y) entonces f (x) f (y) = f (y) f (x) M X (f ) mX (f ). En cualquier caso se tiene que f (x) f (y) M X (f ) mX (f ), x, y X , es decir
−
≤
− |
− ≤ − |≤ − ∀ ∈ ω(f, X ) ≤ M X (f ) − mX (f ). Supongamos que ω(f, X ) < M X (f ) − mX (f ) (Hip. Aux.) entonces ω(f, X ) + mX (f ) < M X (f ), luego existe un x 0 ∈ X tal que ω (f, X ) + mX (f ) < f (x0 ), se sigue que m X (f ) < f (x0 ) − ω(f, X ), luego existe un y 0 ∈ X tal que f (y0 ) < f (x0 ) − ω(f, X ). As´ı ω(f, X ) < f (x0 ) − f (y0 ) ≤ |f (x0 ) − f (y0 )| ≤ ω(f, X )
An´ alisis Real II
9
lo cual es una contradicci´on. La parte 2.) es evidente. 3.) De la definici´on y la parte 1, tenemos U (f, P )
− L(f, P )
=
−
M i (f ) vol (Bi )
i
=
ω(f, Bi ) vol (Bi )
mi (f ) vol (Bi ) =
i
[M i (f )
i
− mi(f )] vol (Bi)
i
lo cual prueba el resultado.
Corolario. Sea B un m-bloque compacto, f : B on acotada. Se cumple f R una funci´ s´olo si dado > 0, existe P = P () = Bi (B) tal que ω(f, Bi ) vol (Bi ) < .
{ } ∈ P
→
∈ R(B) si y
i
Demostraci´ on. Consecuencia directa del Teorema 1.1.2 y la parte 3 de la proposici´on anterior. Teorema 1.1.4 Si B un m-bloque compacto entonces C (B)
⊆ R(B).
∈
∃
∈ B y
Demostraci´ on. Sea f C (B) entonces f es u. c. en B , luego dado > 0 δ > 0 tal que si x, y x y < δ entonces f (x) f (y) < . 2 vol (B) δ Si tomamos P = Bi (B) con P < , para x, y Bi se cumple m
−
| − | { } ∈ P √
∈
m
x
y
−
=
m
|
xj
j =1
−
yj
| ≤ 2
P j
j =1
2 ≤ mP 2 < δ 2
, x, y Bi lo cual implica que ω(f, Bi ) < y por lo tanto 2 vol (B) vol (B) ω(f, Bi ) vol (Bi ) < . De esta manera f (B).
Luego f (x)
− f (y)| <
|
2
∈
∈ R
i
1.2
∀
Propiedades B´ asicas de la Integral sobre m-Bloques Compactos
Teorema 1.2.1 Si B es un m-bloque compacto y f : B x
∈ R(B) y
→ →
R
f (x) = 1
entonces f
1 = vol (B)
B
Demostraci´ on. Como f = 1
∈ C (B), se sigue que f = 1 ∈ R(B).
An´ alisis Real II
10
{ } ∈ P (B), se cumple
Por otro lado, dado P = Bi
L(1, P ) =
vol (Bi ) = vol (B).
i
Se sigue que
1 = vol (B).
B
Teorema 1.2.2 Si B es un m-bloque compacto, f
∈ R(B) y c ∈ R, entonces cf ∈ R(B) y
cf = c
B
f
B
Demostraci´ on. Sea P = Bi
{ } ∈ P (B). Si c ≥ 0 entonces mi (cf ) = inf {(cf )(x); x ∈ B i } = c · inf {f (x); x ∈ Bi } = c · mi (f ) An´ alogamente M i (cf ) = c · M i (f ). Luego L(cf,P ) =
mi (cf ) vol (Bi ) = c
i
mi (f ) vol (Bi ) = c L(f, P )
i
An´ alogamente U (cf,P ) = c U (f, P ). Por lo tanto
{
∈ P (B)} = c · sup{L(f, P ); P ∈ P (B)} = c
cf = sup L(cf,P ); P
B
An´ alogamente
cf = c
B
∈ R(B) y
f . Se sigue que cf
B
Lema 1.2.1 Si B es un m-bloque compacto y f , g : B 1.
(f + g)
B
2.
≥ ≤ f +
B
(f + g)
B
cf = c
B
f = c
B
f
B
f .
B
→ R son funciones acotadas entonces se cumple
g.
B
f +
B
g.
B
Demostraci´ on. 1.) Sea P = Bi
{ } ∈ P (B). Dado x ∈ Bi se cumple mi (f ) + mi (g) ≤ f (x) + g(x) = (f + g)(x)
luego mi (f ) + mi (g) Por tanto
≤ mi(f + g), ∀ i k
L(f + g, P ) =
≥
mi (f + g) vol (Bi )
i
= L(f, P ) + L(g, P ),
mi (f ) vol (Bi ) +
i
∀ P ∈ P (B)
i
mi (g) vol (Bi )
An´ alisis Real II
11
∈ P (B) y P = P 1 + P 2, luego
Sean P 1 , P 2
L(f, P 1 ) + L(g, P 2 ) Se sigue que
≥
(f + g)
B
f +
B
≤
≤ L(f, P ) + L(g, P ) ≤ L(f + g, P )
(f + g)
B
g.
B
Teorema 1.2.3 Si B es un m-bloque compacto y f, g
∈ R(B) entonces f + g ∈ R(B) y
(f + g) =
B
f +
B
g
B
Demostraci´ on. Por hip´otesis y el lema anterior
≤ ≤ ∈ R f +
g =
B
f +
B
Se sigue que f + g
B
g
(f + g)
B
(B) y
B
f +
B
f +
B
g =
B
f +
B
g
B
g.
B
Observaci´ on: Los resultados anteriores nos dice que
R(B) es un R -espacio vectorial y el operador
R(B) → → f
Γ:
(f + g)
B
(f + g) =
B
≤
R
Γ(f ) =
f
B
es un funcional lineal. Teorema 1.2.4 Si B es un m-bloque compacto y f, g
∈ R(B) tales que f (x) ≤ g(x), ∀ x ∈ B entonces
≤ f
B
Demostraci´ on. Sea P = Bi mi (f ) m i (g). Se sigue que
{ } ∈ P (B).
≤
L(f, P ) =
≤
≤
mi (f ) vol (Bi )
i
esto implica que
f
B
i
Para x
g
B
∈
Bi se cumple que mi (f )
mi (g) vol (Bi ) = L(g, P )
≤ g =
B
B
≤
g(x), luego
≤
f (x)
g,
∀ P ∈ P (B)
g.
B
Observaciones:
≥
∈ R(B) es tal que f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ B entonces f 0. B 2. El operador Γ : R(B) → R es mon´otono, es decir si f , g ∈ R(B) con f ≤ g entonces Γ(f ) ≤ Γ(g). 1. Si B un m-bloque compacto y f
An´ alisis Real II
12
⊆ Rm y f, g : X → R
Definici´ on 1.2.1 Sea X
{ } {
{ } → R definidas } ∀ ∈ X
1. El m´ aximo de f y g, y el m´ınimo de f y g son las funciones max f, g , min f, g : X por max f, g (x) = max f (x), g(x) y min f, g (x) = min f (x), g(x) , x
{ }
{
}
{ }
2. La parte positiva de f y la parte negativa de f , denotadas respectivamente por f + , f − son las funciones f + , f − : X R definidas por
→
f + = max f, 0
{ }
y f − =
− min{f, 0}
Observaciones: 1. De las definiciones de m´ aximo y m´ınimo se sigue directamente que:
{ }
max f, g =
1 (f + g + f 2
| − g|)
luego f + =
y
1 (f + f ) y 2
||
{ }
min f, g =
f − =
1 (f + g 2
− |f − g|)
1 ( f 2
| | − f )
2. f + y f − son funciones no negativas. 3. f = f +
− f −.
4. f = f + + f − .
|| 5. f ≥ 0 ⇒ f + = f y f − = 0. 6. f ≤ 0 ⇒ f + = 0 y f − = −f . 7. f + · f − = 0. → R una funci´on acotada entonces se cumple U (f, P ) − L(f, P ) = [U (f + , P ) − L(f + , P )] + [U (f − , P ) − L(f − , P )], ∀ P ∈ P (B)
Lema 1.2.2 Si B es un m-bloque compacto y f : B
{ } ∈ P (B). Afirmo que M i (f ) − mi (f ) = M i (f + ) − mi (f + ) + M i (f − ) − mi (f − )
Demostraci´ on. Sea P = Bi
En efecto, consideremos tres casos: Caso 1: mi (f ) trivialmente.
≥ 0.
En este caso tenemos que f + = f y f − = 0 y por tanto la igualdad se cumple
Caso 2: M i (f ) 0. En este caso tenemos que f + = 0 y f − = cumple trivialmente.
≤
−f , por tanto nuevamente la igualdad se
An´ alisis Real II Caso 3: mi (f ) < 0 < M i (f ). En este caso M i (f + ) = M i (f ), mi (f + ) = 0 , M i (f − ) = mi (f − ) = 0, luego M i (f )
13
−mi(f ) y
− mi(f ) = M i(f +) + M i(f −) = M i(f + ) − mi(f +) + M i(f −) − mi(f −)
lo cual prueba la afirmaci´on. Multiplicando la igualdad por vol (Bi ) y sumando sobre i, el lema se sigue.
→ R es una funci´on acotada, se tiene f ∈ R(B) ⇐⇒ f + , f − ∈ R(B)
Teorema 1.2.5 Si B es un m-bloque compacto y f : B
⇒
Demostraci´ on. ( ) Dado > 0, existe un P anterior
∈ P (B) tal que U (f, P ) − L(f, P ) < .
Por el lema
U (f + , P )
− L(f +, P ) ≤ U (f, P ) − L(f, P ) < y U (f −, P ) − L(f −, P ) ≤ U (f, P ) − L(f, P ) < Luego f + , f − ∈ R(B). (⇐) Si f + , f − ∈ R(B) entonces f = f + − f − ∈ R(B). Corolario. Si B es un m-bloque compacto y f, g ∈ R(B) entonces 1. |f | ∈ R(B) y |f | f ≤
B
2. max f, g , min f, g
{ }
{ } ∈ R(B) y max{f, g } ≥ max
B
f,
B
g ,
B
B
min f, g
{ } ≤ min
B
f,
B
g
B
Demostraci´ on. Como f (B) entonces f + , f − desde que f f f , se tiene que
−| | ≤ ≤ | |
∈ R(B), luego |f | = f + + f − ∈ R(B). Por otro lado,
∈ R
− | | ≤ ≤ | | f
f
B
B
f
B
De aqu´ı, el resultado se sigue. La prueba de 2) es similar.
∈ R(B) entonces f 2 ∈ R(B).
Teorema 1.2.6 Sea B un m-bloque compacto y f
≥ ∀ ∈
{ } ∈
Demostraci´ on. Primeramente, consideremos el caso en que f (x) 0, x B. Sea P = Bi (B), dado x Bi , se cumple f (x) M i (f ), luego f 2 (x) M i (f )2 y por tanto M i (f 2 ) M i (f )2 . An´ alogamente m i (f 2 ) mi (f )2 . Por lo tanto
P
U (f 2 , P )
∈
− L(f 2, P )
≤
≥ =
[M i (f )2
i
≤
2M (f )
− mi(f 2)] vol (Bi) =
[M i (f )
i
≤
[M i (f ) + mi (f )][M i (f )
i
≤
− mi(f )] vol (Bi )
− mi(f )] vol (Bi) = 2M [U (f, P ) − L(f, P )], ∀ P ∈ P (B)
An´ alisis Real II
∈ R(B), existe P ∈ P (B) tal que U (f, P ) − L(f, P ) < U (f 2 , P ) − L(f 2 , P ) < y por lo tanto f 2 ∈ R(B). Dado > 0, como f
14
. Se sigue que 2M (f )
En el caso general, tenemos f 2 = (f +
− f −)2 = (f +)2 − 2f +f − + (f −)2 = (f +)2 + (f −)2 Como f ∈ R(B) entonces f + , f − ∈ R(B) y por lo tanto (f + )2 , (f − )2 ∈ R(B). As´ı f 2 = (f + )2 + (f − )2 ∈ R(B). Corolario. Si B es un m-bloque compacto y f, g ∈ R(B) entonces f g ∈ R(B). 1 1 Demostraci´ on. Es inmediato, puesto que f g = (f + g)2 − (f − g)2 . 4 4 Observaci´ on: Si B es un m-bloque compacto entonces R(B) es un ´algebra. Definici´ on 1.2.2 Sea X ⊆ Rm , la funci´ on caracter´ıstica de X , denotada por 1 es definida por 1 : Rm → R ∈ X x → 1 (x) = 0,1, si x si x ∈ Rm − X X
X
X
Observaci´ on: Se cumplen los siguientes resultados 1. 1X es discontinua en x si y s´olo si x 2. Si Y 3. 1X
∪Y
4. 1X
∪Y
⊆ X entonces 1 ≤ 1 ≤ 1 + 1 . Y
X
+ 1X
X
∈ ∂X .
.
Y
∩Y
= 1X + 1Y .
Teorema 1.2.7 Si A, B son m-bloques compactos con A
B
⊆ B entonces 1 ∈ R(B) y A
1A = vol (A)
Demostraci´ on. Sea P 0 (B) partici´on que contiene a A como subbloque. Dado P = Bi refinamiento de P 0 , denotemos por I al conjunto de ´ındices i tales que B i A. Se cumple:
∈ P
L(1A , P ) =
⊆
≥
mi (1A ) vol (Bi ) =
i
U (1A , P ) =
{ } ∈ P (B)
vol (Bi ) = vol (A)
∈
i I
M i (1A ) vol (Bi )
i
vol (Bi ) = vol (A)
i I
∈
Se sigue que
B
{
∈ P (B) y P es refinamiento de P 0} =
{
∈ P (B) y P es refinamiento de P 0} ≥ vol (A)
1A =
sup L(1A , P ); P
1A =
inf U (1A , P ); P
B
vol (A)
An´ alisis Real II
15
Sea A m-bloque compacto tal que A A B y fijemos Q0 (B) partici´on que contiene a A como subbloque. Dado Q = C i (B) refinamiento de Q 0 , se cumple:
⊆ ⊆
{ } ∈ P
U (1A , Q) =
∈ P
M i (1A ) vol (C i ) =
i
vol (C i )
∈
i J
Donde J es el conjunto de ´ındices i tales que C i
≤ vol (A)
∩ A = ∅. Se sigue que
≤
vol (A)
≤ vol (A)
1A
B
Tomando A con volumen suficientemente pr´oximo del volumen de A, el resultado se sigue. En efecto, m m 1 1 supongamos A = [ai , bi ], para k N definimos Ak = ai , bi + B. Como Ak es un k k i=1 i=1 m-bloque compacto tal que A A k B, por la desigualdad anterior tenemos
∈ ⊆ ⊆
≤
vol (A)
B
→ ∞ se llega a
Haciendo k
1.3
m
1A ≤ vol (A ) ≤ k
−
− bi
ai +
i=1
∩
2 k
,
∀ k ∈ N
1A = vol (A).
B
Conjuntos de Medida Cero
Definici´ on 1.3.1 Decimos que X Rm tiene medida m-dimensional cero o simplemente m-medida cero, si y s´olo si para todo > 0, existe una familia numerable C k k∈N de m-cubos abiertos y acotados tales que
⊆
1. X
⊆
2.
∞
∞
{ }
C k .
k =1
vol (C k ) < .
k=1
Observaciones: 1. Todo conjunto unitario de Rm tiene m-medida cero. 2. Todo subconjunto finito de puntos de Rm tiene m-medida cero. 3. Todo subconjunto de un conjunto de m-medida cero tiene m-medida cero. 4. La uni´ on de una familia finita de conjuntos de m-medida cero tiene m-medida cero. 5. En la definici´ on anterior podemos reemplazar m-cubos abiertos por m-cubos cerrados, m-bloques cerrados, m-bloques abiertos.
An´ alisis Real II
16
Proposici´ on 1.3.1 Si X k k∈N es una familia numerable de subconjuntos de Rm que tienen m-medida cero, entonces X =
∞
{ }
X k tiene m-medida cero.
k=1
Demostraci´ on. Sea > 0, dado j m-cubos abiertos tales que X j =
∞
∈ Z+ (fijo, arbitrario), existe {C j,k }k∈
on N colecci´
numerable de
C j,k y
k=1
∞
vol (C j,k ) <
k =1
{
Considero C j,k
∞
⊆
1. X
}j,k∈
on N colecci´
2j +1
.
numerable de m-cubos abiertos, la cual satisface:
C j,k .
j,k=1
2. Sea F
⊆ N × N conjunto finito entonces existe k0 ∈ N tal que si ( j, k) ∈ F entonces j, k ≤ k0. Luego k0
(j,k ) F
∈
k0
≤
vol (C j,k )
j =1
se sigue que
∞
k0
vol (C j,k )
j =1
k =1
vol (C j,k )
j,k=1
<
2j +1
<
2
≤ 2 <
Concluimos que X tiene m-medida cero.
Observaciones: 1. Todo subconjunto numerable de R m tiene m-medida cero. 2. N, Z y Q tienen medida unidimensional cero. 3. El conjunto de Cantor tiene 1-medida cero. Esto es una consecuencia directa de la propia construcci´ on del conjunto de Cantor.
{ }
Lema 1.3.1 Sea B un m-bloque acotado. Si C j j ∈N es una familia numerable de m-cubos abiertos y acotados tales que B C j entonces
⊆
j N
∈
vol (B)
≤
j,1
vol (C j )
An´ alisis Real II
17
Demostraci´ on. En primer lugar, consideramos B m-bloque cerrado, se sigue entonces que B es compacto. Como B C j y C j son m-cubos abiertos, tenemos que existen j1 , . . . , jk N tales que
⊆
B
∈
j N
k
⊆
∈
k
C ji . Sea D un m-bloque compacto tal que
i=1
k
C ji
=
i=1
sigue que k
vol (B) =
≤ D
1B
D
i=1
⊆ D, entonces 1 ≤ 1 S B
k
i=1
Cj
i
! ≤ i=1
1C . Se ji
k
1C
ji
vol (C ji )
i=1
≤
vol (C j )
j,1
Si B es un m-bloque acotado cualquiera, entonces no es dif´ıcil ver (¡Ejercicio!) que
{
vol (B) = sup vol (A); A
⊆ B, A es un m-bloque compacto}
⊆ B es un m-bloque compacto, por la primera parte tenemos que por la definici´on de supremo, tenemos vol (B) ≤ vol (C j ). Luego si A
vol (A)
≤
vol (C j ) y
j,1
j,1
Teorema 1.3.2 Sea B un m-bloque acotado. B tiene m-medida cero si y s´olo si B es degenerado. Demostraci´ on. ( ) Sea B un m-bloque B de m-medida cero y supongamos que B es no degenerado (Hip. Aux.). Como vol (B) > 0 existe una colecci´on numerable C j j ∈N de m-cubos abiertos tales que
⇒
B
⊆
∞
C j y
j N
∈
{ }
vol (C j ) < vol (B), pero por el lema anterior
j =1
vol (B)
≤
vol (C j ) < vol (B)
j,1
lo cual es una contradicci´on.
⇐
( ) Sea B un m-bloque degenerado. Es suficiente considerar B del tipo
× · · · × I m−1 × {a} = B ×{a}
B = I 1
donde I 1 , . . . , Im −1 son intervalos acotados no degenerados. Dado > 0 para j N, consideramos Bj = B a , a + j , (con > 0 dependiente de a elegir). Claramente Bj j ∈N es una colecci´on j 2 2 de m-bloques cerrados tales que B Bj y
× −
∈
{ }
⊆
j N
∈
∞
j =1
Si tomamos <
vol (Bj ) =
∞
j =1
vol (B ) j −1 = 2 vol (B ) 2
, concluimos que B tiene m-medida cero. 2 vol (B )
An´ alisis Real II
18
⊆ Rm y p ∈ Rn entonces X × { p} ⊆ Rm+n tiene (m + n)-medida cero. Demostraci´ on. Sea {C j }j ∈ colecci´o n de m-cubos cerrados tales que X ⊆ C j , luego X × { p} ⊆ j∈ (C j ×{ p}). Por el teorema anterior, el cubo degenerado C j ×{ p} tiene (m + n)-medida cero y de aqu´ı, Corolario. Si X
N
N
j N
∈
el resultado se sigue.
Observaciones: 1. En la categor´ıa de los m-bloques degenerados, tener m-medida cero es equivalente a tener volumen cero. 2. Las (m
− k)-caras de los m-bloques tienen m-medida cero. 3. Si X ⊆ Rm tiene m-medida cero entonces int (X ) = ∅. El rec´ıproco de este resultado es falso, en efecto, consideremos X = [0, 1] ∩ I, es claro que int (X ) = ∅, sin embargo X no tiene medida cero. Para demostrarlo, suponga lo contrario, como se cumple [0, 1] = ([0, 1]
∩ I) ∪ ([0, 1] ∩ Q) = X ∪ ([0, 1] ∩ Q)
entonces [0, 1] ser´ıa uni´ on (disjunta) de dos conjuntos de medida cero, por tanto tendr´ıa medida cero y como [0, 1] es un 1-bloque, tendr´ıa que ser degenerado, lo cual es una contradicci´ on. Vamos a dar un ejmplo m´as interesante de un conjunto de interior vac´ıo y que no tiene medida cero. Ejemplo 1.3.1 (Conjunto de Cantor que no tiene medida cero) Vamos a construir inductivamente un conjunto compacto X [0, 1] de interior vac´ıo pero que no tiene 1-medida cero. Para ello tomemos a ]0, 1/2[ , se cumple ∞ 1 an = 1 < 1, 1 a n=1
⊆
∈
tomemos δ = 1
∞
−
− −
an > 0.
n=1
Etapa 1: Del intervalo [0, 1] retiramos el intervalo abierto J 1 = I a/2 (1/2) de centro 1/2 y longitud a, y nos quedamos con [0, 1] J 1 el cual es uni´on de dos intervalos cerrados, disjuntos, cada uno de longitud 1 a . Observe que vol (J 1 ) = a. 2 Etapa 2: Sean b2,1 , b2,2 los puntos medios de los dos intervalos de la Etapa 1. Consideramos J 2,1 = I a2 /4 (b2,1 ) y J 2,2 = I a2 /4 (b2,2 ) y denotemos J 2 = J 2,1 J 2,2 y nos quedamos con
−
−
∪
[0, 1]
− J 1 − J 2 = [0, 1] − (J 1 ∪ J 2)
que es la uni´on de 4 intervalos cerrados, disjuntos, cada uno de longitud vol (J 2 ) a la suma de las longitudes de los dos intervalos J 2,1
1
− a − a2 . Si denotamos por
22 y J 2,2 , entonces tenemos vol (J 2 ) = a 2 .
An´ alisis Real II
19
Prosiguiendo inductivamente, en la etapa k tenemos el conjunto k
[0, 1]
− J 1 − · · · − J k = [0, 1]
−
J j
j =1
el cual el la uni´o n de 2k intervalos cerrados, disjuntos, cada uno de longitud Observe que J k = J k,1 J k,2k 1 ,
∪ · · · ∪
2k−1
dada por vol (J k ) = a k . Definimos X = [0, 1]
−
∅
− a − a2 − · · · − ak . 2k
−
ak
siendo la uni´ on disjunta y cada J s,i tiene longitud
1
, luego su suma, denotada por vol (J k ), viene
J s . Por construcci´ on X es compacto, no puede contener ning´ un intervalo
s N
∈
(es decir int(X ) = ) y adem´as, afirmo que X no tiene 1-medida cero. En efecto, en primer lugar observe que
∞
vol (J s ) =
s=1
∞
as = 1
s=1
− δ.
{ }
Si X tuviera 1-medida cero (Hip. Aux.) entonces existir´ıa C j familia numerable de intervalos abiertos
∞
⊆
tal que X
C j y
j N
∈
vol (C j ) < δ . Pero
j =1
[0, 1] = X
([0, 1]
Por el Lema 1.3.1:
∞
≤
1 = vol ([0, 1])
⊆
− X )
vol (C j ) +
j =1
C j
j ∈N
∞
J s
s∈N
vol (J s ) < δ + (1
s=1
− δ ) = 1
lo cual es una contradicci´on. Rm ¿Bajo qu´ Sea X un conjunto de m-medida cero y f : X e condiciones f (X ) tiene m-medida cero? Para responder esta interrogante, necesitamos una definici´on.
→
Definici´ on 1.3.2 Sea X R m y f : X R n . Decimos que f es localmente Lipschitz en X si y s´olo si para todo x X existe V x R m vecindad abierta de x tal que la restricci´on f X ∩V x : X V x R n es Lipschitz en X V x .
∈
∩
⊆ ⊆
→
Proposici´ on 1.3.3 Si X Rm tiene m-medida cero y f : X entonces f (X ) tiene m-medida cero.
⊆
∩ →
→ Rm es localmente Lipschitz en X
An´ alisis Real II
20
Demostraci´ on. Primeramente, consideremos el caso en que f es Lipschitz en X . Luego existe K > 0 tal que si x, y X entonces f (x) f (y) K x y . Como X tiene m-medida cero, dado > 0 existe una familia numerable C k k∈N de m-cubos tales que ∞ ∞ X C k y vol (C k ) < . Si k es la longitud de la arista del m-cubo C k entonces dados ( mK )m k =1 k=1 y1 , y2 f (X C k ), existen x1 , x2 X C k tales que f (x1 ) = y1 y f (x2 ) = y2 , luego para 1 i m tenemos πi (y1 ) πi (y2 ) y1 y2 = f (x1 ) f (x2 ) K x1 x2 K mk
∈
−
⊆ ∈
≤ −
√ ∈ ∩ | ≤ −
∩
{ }
≤ ≤
≤ − ≤ √ √ Se sigue que y 1 , y2 ∈ D k donde Dk es un m-cubo cuya arista tiene longitud K mk , es decir f (X ∩ C k ) ⊆ Dk , ∀ k ∈ N, luego |
−
∞
−
∞
∩
f (X ) = f X
C k
= f
k =1
Adem´ as
∞
vol (Dk ) =
k=1
k=1
∞
√ (
mK )m m k
k =1
∞
∩ √
X C k
=
f (X C k )
k =1
m
= ( mK )
∞
∞
⊆
∩
Dk
k=1
vol (C k )
k=1
<
Esto prueba que f (X ) tiene m-medida cero. En el caso que f es localmente Lipschitz, dado x X existe V x Rm vecindad abierta de X tal que Rm es Lipschitz en X V x . Como X la restricci´on f X ∩V x : X V x V x , por Lindel¨of existen
∈
∩ → ∞
⊆
x1 , x2 , . . . tales que X
∩
⊆
∩
x X
∈
∀ ∈ N y desde
V xk . Por la primera parte f (X V xk ) tiene m-medida cero, k
k=1
que
⊆
∞
f (X ) = f X
k=1
se sigue que f (X ) tiene m-medida cero.
∞
∩ V xk
=
k=1
∩
f (X V xk )
El resultado siguiente establece que la mayor´ıa de funciones de Rm a R m que conocemos conserva la m-medida cero.
⊆ R m abierto y f ∈ C 1(U, Rm ). Si X ⊆ U tiene m-medida cero entonces f (X ) tiene
Corolario. Sea U m-medida cero.
Demostraci´ on. Es suficiente probar que f es localmente Lipschitz. Sea x que B [x] U . Denotemos K x = sup f (y) : y B [x]
⊆
Por la desigualdad del valor medio
{
∈
∈ X , existe un = x > 0 tal
}
f (y) − f (x) ≤ K xy − z ∀ y , z ∈ B[x] es decir, f es localmente Lipschitz.
⊆ R m abierto y f ∈ C 1(U, Rn) donde m < n entonces f (U ) tiene n-medida
Proposici´ on 1.3.4 Sea U cero.
An´ alisis Real II
21
× Rn−m ⊆ Rn y defino → Rn g : W g(x, y) = f (x) (x, y) → Se sigue que g ∈ C 1 (U, Rn ) y g(U ×{0}) = f (U ). Por el corolario al Teorema 1.3.2 tenemos que U ×{0} tiene n-medida cero luego f (U ) = g(U × {0}) tiene n-medida cero. Observaci´ on: Si I ⊆ R es un intervalo abierto tal que [0, 1] ⊆ I y f ∈ C 1 (I, Rn ) entonces f ([0, 1]) tiene n-medida cero, luego int (f ([0, 1])) = ∅. Se deduce que en clase C 1 no existen curvas de Peano. Demostraci´ on. Sea W = U
1.4
Caracterizaci´ on de las Funciones Riemann Integrables
En la presente secci´on, daremos condiciones necesarias y suficientes para que una funci´on acotada f : B R , en donde B es un m-bloque compacto, sea Riemann integrable sobre B . Para ello, necesitamos algunos resultados previos. Sea X Rm y f : X R funci´ on acotada. Recordemos que la oscilaci´on de f en X se defini´o como
→
⊆
→
ω(f, X ) = sup f (x)
− f (y)|; x, y ∈ X }
{|
y satisfac´ıa las siguientes propiedades:
{
∈ X } y m X (f ) = {f (x) : x ∈ X } entonces ω (f, X ) = M X (f ) − mX (f ). 2. Si Y ⊆ X entonces ω(f, Y ) ≤ ω(f, X ). 3. f ∈ R(B) si y s´olo si dado > 0, existe P = P = {Bi } ∈ P (B) tal que U (f, P ) − L(f, P ) = ω(f ; Bi ) vol (Bi ) < 1. Si M X (f ) = sup f (x); x
i
Nos proponemos definir la oscilaci´on de una funci´on en un punto x Dado x X , definimos
∈
Ωx :
]0, + [ δ
∞ → →
∈ X
R
∩
Ωx (δ ) = ω(f, X Bδ (x))
Esta funci´on satisface las siguientes propiedades: 1. Ωx es acotada. En efecto, dado δ > 0 se tiene
∩
≤ ω(f, X ) = M X (f ) − mX (f )
Ωx (δ ) = ω(f, X Bδ (x))
2. Ωx es una funci´on mon´ otona creciente. En efecto dados δ 1 < δ 2 entonces Ωx (δ 1 ) = ω(f, X Bδ1 (x))
∩
≤ ω(f, X ∩ Bδ (x)) = Ωx(δ 2). 2
An´ alisis Real II
22
∞
Como 0 es punto de acumulaci´on a derecha de ]0, + [ , tenemos δ
{
}
{
∩
lim+ Ωx (δ ) = inf Ωx (δ ); δ > 0 = inf ω(f, X Bδ (x)); δ > 0
→0
Definici´ on 1.4.1 Sea X Rm y f : X denotada por ω (f, x), se define como
→ R una funci´on acotada.
⊆
{
∩
}
La oscilaci´ on de f en el punto x,
ω(f, x) = inf ω(f, X Bδ (x)); δ > 0
}
⊆ Rm y f : X → R una funci´on acotada. Se cumplen las siguientes propiedades: 1. ω(f, x) ≥ 0, ∀ x ∈ X .
Teorema 1.4.1 Sea X
2. ω(f, x0 ) = 0 si y s´olo si f es continua en x 0 . 3. Si x int(Y ) e Y ω(f, x) ω(f, X ).
∈ ≤
⊆
4. Si ω (f, x0 ) < c entonces
X entonces ω(f, x)
ω(f, Y ). En particular, si x
≤
∈ int(X ) entonces
∃ δ > 0 tal que ω(f, x) < c, ∀ x ∈ X ∩ Bδ (x0).
5. Si X Rm es cerrado (respectivamente compacto) entonces el conjunto x cerrado (respectivamente compacto), para todo c 0.
⊆
{ ∈ X ; ω (f, x) ≥ c} es
≥
Demostraci´ on. 2.) ( ) Si ω(f, x0 ) = 0 entonces inf ω(f, X Bδ (x0 )); δ > 0 = 0, luego dado > 0 existe un δ > 0 tal que ω(f, X Bδ (x0 )) < , luego f (x) f (y) < , x, y X Bδ (x0 ). En particular si x X y x x0 < δ entonces f (x) f (x0 ) < . Es decir, f es continua en x 0 . ( ) Dado > 0 existe un δ > 0 tal que si x X y x x0 < δ entonces f (x) f (x0 ) < . Sean 3 x, y X Bδ (x0 ) entonces
⇒
∈
⇐
−
∩
|
−
∈ ∩
{
|
| ∈
∩ |
−
∀
−
} ∈ ∩ |
−
|
|f (x) − f (y)| ≤ |f (x) − f (x0)| + |f (x0) − f (y)| < 23 ≤ 23 < y esto prueba que ω (f, x0) = 0. 3.) Si x ∈ int(Y ) entonces ∃ δ > 0 tal que B δ (x) ⊆ Y , luego ω(f, x) ≤ ω(f, X ∩ Bδ (x)) = ω(f, Bδ (x)) ≤ ω(f, Y ). ∩
Luego ω(f, X Bδ (x0 ))
Observaci´ on: La propiedad 3.) no necesariamente se cumple si retiramos la hip´otesis x R definida por efecto, sean X = R2 , Y = ] , 0] R y f : R2
−∞ ×
f (x, y) =
{
∈ int(Y ). En
→
∈
0, 1,
≤
si x 0 si x > 0
} − inf {f (x, y); (x, y) ∈ Bδ (0)} = 1, ∀ δ > 0, se cumple ω(f, 0) = inf {ω(f, Bδ (0)); δ > 0 } = 1
Como ω (f, Bδ (0)) = sup f (x, y); (x, y) Bδ (0)
An´ alisis Real II
23
Por otro lado ω(f, Y ) = sup f (x, y); (x, y) Y
∈ } − inf {f (x, y); (x, y) ∈ Y } = 0
{
De esta manera ω (f, Y ) < ω(f, 0).
→ R una funci´on acotada y denotemos Df = {x ∈ B; f es discontinua en x }
Teorema 1.4.2 (Lebesgue) Sea B un m-bloque compacto, f : B
∈ R(B) si y s´olo si D f tiene m-medida cero.
Entonces f
Demostraci´ on. ( ) Sea K = ω(f, B). Dado > 0, existe una colecci´on numerable de m-cubos abiertos ∞ ∞ C j tales que D f C j y vol (C j ) < . 2K j =1 j =1
⇐ ⊆
{ }
Sea x
∈ B − Df . Afirmo que existe C x m-cubo abierto tal que x ∈ C x y ω(f, C x ∩ B) < 2 vol (B) ∩
En efecto, como f es continua en x entonces ω(f, x) = 0, luego existe un δ > 0 tal que ω(f, Bδ (x) B) < . Tomando C x un m-cubo abierto, centrado en x, tal que C x B δ (x), se prueba la afirmaci´on. 2 vol (B) Observe que
⊆
− ⊆ ⊆
∪ (B
B = Df Como B es compacto se tiene que
∞
Df )
C j
C x
j =1
r
x B Df
∈ −
s
C
B
C xk
j
j =1
k =1
Consideremos P = Bi (B) tal que cumple por lo menos una de las dos alternativas siguientes: Bi C j o´ B i C xk . Denotando por I = i; B i C j y J = i; B i C xk , se cumple:
⊆
{ } ∈ P
⊆
ω(f, Bi ) vol (Bi )
i
{ ≤
⊆ }
{
⊆
ω(f, Bi ) vol (Bi ) +
∈
∈
i I
}
ω(f, Bi ) vol (Bi )
i J
< K vol (Bi ) + vol (Bi ) 2 vol (B) i∈I i∈J < K + vol (B) = 2K 2 vol (B)
Por lo tanto f
∈ R(B). (⇒) Dado j ∈ N, definimos Dj =
∈
x B; ω(f, x)
≥
1 j
An´ alisis Real II
24
∞
Claramente se tiene que D f ⊆ Dj . Es suficiente probar que D j tiene m-medida cero, ∀ j ∈ N. j =1 Dados j ∈ N y > 0, por hip´ otesis, existe P = {Bi } ∈ P (B) tal que
ω(f, Bi ) vol (Bi ) <
i
. j
∩ int(Bi ) = ∅}. Si x ∈ Dj ∩ int(Bi ) entonces j1 ≤ ω(f, x) ≤ ω(f, Bi), luego
Sea I = i; D j
{
1 j
≤
vol (Bi )
i I
∈
≤
ω(f, Bi ) vol (Bi )
i I
∈
es decir
ω(f, Bi ) vol (Bi ) <
i
j
vol (Bi ) <
i I
∈
Por otro lado Dj en donde Y =
⊆
(int(Bi )
i I
∈
∩ Dj ) ∪
∩ Dj ) ⊆
(∂B i
i
int(Bi )
i I
∈
∪ Y,
∂B i tiene m-medida cero.
i
1.5
Integraci´ on Iterada
Sean B 1 Rm y B 2 definimos
⊆ Rn dos bloques compactos y f : B1 × B2 → R una funci´on acotada. Dado x ∈ B1, f x : B2 → R y → f x(y) = f (x, y) Observe que f x es la restricci´on de f al (m + n)-bloque degenerado {x}× B2 ¿Si f ∈ R(B1 × B2 ) entonces f x ∈ R(B2 ), ∀ x ∈ B1 ? ⊆
Ejemplo 1.5.1 Consideremos la funci´on f : [0, 1]
× [0, 1] → (x, y) →
Claramente Df = 1/2 pero
{ } × [0, 1]. f 1/2 :
R
f (x, y) =
0, 1, 0,
si x = 1/2 si x = 1/2, y si x = 1/2, y
∈ Q ∈ I
Como Df tiene 2-medida cero, concluimos que f [0, 1] y
→ →
R
f 1/2 (y) =
∈ R([0, 1]).
se sigue que Df 1/2 = [0, 1], luego f 1/2 /
1, 0,
si y si y
∈ Q ∈ I
∈ R([0, 1] × [0, 1]),
An´ alisis Real II
∈ R ×
{ ∈
25
∈R
}
Observaci´ on: Se puede probar que si f (B1 B 2 ) entonces el conjunto x B1 ; f x / (B2 ) tiene m-medida nula. Este resultado es parte importante del Teorema de Fubini . Un caso especial es el siguiente:
⊆ Rm , B2 ⊆ Rn bloques compactos y f ∈ R(B1 × B2). → R → f x(y) = f (x, y)
Teorema 1.5.1 (Integraci´ on Iterada) Sean B1 Para cada x B 1 denotamos f x : B2 y
∈
Si definimos las funciones
L : entonces
B1 x
L y U como → R → L(x) =
f x (y)dy
U :
B1 x
B2
→ R → U (x) =
f x (y)dy
B2
L, U ∈ R(B1) y adem´as
L U ∈ P ∈ P × (x)dx =
f (x, y)dy dx =
B1
B1
B2
B1
B2
(x)dx =
f (x, y)dy dx =
B1
Demostraci´ on. Sean P 1 = Bi1 (B1 B2 ). Se cumple
P ×
L(f, P ) =
(B1 ) y P 2 = Bj2
mi,j (f ) vol (Bi1
×
(B2 ) entonces P = P 1
Bj2 ) =
× P 2 =
Bi1
× Bj2 ∈
mi,j (f ) vol (Bi1 ) vol (Bj2 )
i,j
mi,j (f ) vol (Bj2 )
i
f
B1 B2
i,j
=
f
×
B1 B2
·
vol (Bi1 )
(1.1)
j
∈ Bi1 entonces mi,j (f ) = inf {f (x, y); (x, y) ∈ B i1 × Bj2 } ≤ inf {f x (y); y ∈ B j2 } = mj (f x )
Por otro lado, si x
Luego
mi,j (f ) vol
j
es decir
j
≤
(Bj2 )
mj (f x ) vol
(Bj2 )
j
≤
= L(f x , P 2 )
f x (y)dy =
B2
L(x), ∀ x ∈ Bi1
mi,j (f ) vol (Bj2 )
≤ mi(L), ∀ x ∈ Bi1 . Reemplazando en (1.1) L(f, P )
≤
i
mi ( ) vol (Bi1 ) = L( , P 1 )
L
L
(1.2)
An´ alisis Real II
26
An´ alogamente
U ≤ U (f, P )
U ( , P 1 )
(1.3)
De (1.2) y (1.3) L(f, P )
≤ L(L, P 1) ≤ U (L, P 1) ≤ U ( U , P 1) ≤ U (f, P ), ∀ P = P 1 × P 2 ∈ P (B1 × B2) Como f ∈ R(B1 × B2 ), dado > 0, existe P = P = P 1 × P 2 ∈ P (B1 × B2 ) tal que U (f, P ) − L(f, P ) < , luego existe P 1 ∈ P (B1 ) tal que U (L, P 1 )−L(L, P 1 ) < y esto implica que que L ∈ R(B1 ). An´alogamente, se demuestra que U ∈ R(B1 ). Finalmente, usando la propiedad: Sean A, B R conjuntos acotados tales que, dado a sup(A) sup(B). En nuestro caso, para
⊆
≤
{
∈ P (B1 × B2)}
A = L(f, P ); P
∈ A, existe b = ba ∈ B tal quwe a ≤ b, entonces { L
y
B = L( , P 1 ); P 1
∈ P (B1)} ,
Por (1.2) se cumple la condici´on anterior, luego
f =
B1 B2
f = sup(A)
B1 B2
×
×
An´ alogamente. se prueba que
≤ sup(B) =
y de aqu´ı se sigue que
f =
×
B1 B2
×
L
(x)dx =
B1
(x)dx =
B1
L
(x)dx
B1
≥ U U
f
B1 B2
L
(x)dx,
B1
(x)dx.
B1
Observaciones: 1. Una demostraci´ on an´ aloga muestra que
f =
B1 B2
∈
2. Si f C (B1
×
B2
f (x, y)dx dy =
B1
B2
f (x, y)dx dy
B1
× B2) entonces f x ∈ R(B2), ∀ x ∈ B1, luego
f x (y)dy =
B2
Por lo tanto
f x (y) =
B2
f x (y)dy
B2
f (x, y)dy dx =
An´ alogamente
B1
B2
B2
B1
f
×
B1 B2
f (x, y)dx dy =
f
B1 B2
×
An´ alisis Real II
27
m
3. Si B =
∈
[ai , bi ] y f C (B) entonces
i=1
··· bn
b1
f =
B
an
f (x1 , . . . , xn )dx1
a1
···
dxn
Este resultado es ´util para calcular integrales de funciones continuas sobre m-bloques compactos. Ejemplo 1.5.2 Sea B = [ 1, 1] la observaci´on anterior:
−
× [1, 4] y f : B → R definida por f (x, y) = xe √ y , como f ∈ C (B), por 4
1
f =
B
1.6
1
−1
xe
√ y
4
1
dx dy =
√ y
e
1
xdx dy = 0
−1
Integrales sobre Conjuntos J-medibles
Hasta ahora s´olo sabemos integrar sobre m-bloques compactos, en la presente secci´on vamos a ver que se puede integrar sobre conjuntos m´as generales.
⊆ Rm un conjunto acotado.
Definici´ on 1.6.1 Sea X
1. Decimos que X es Jordan medible o simplemente J -medible en Rm si y s´ olo si existe un m-bloque compacto B con X int(B) tal que 1 X (B).
⊆
∈ R
2. Sea X un conjunto J -medible en Rm , el volumen m-dimensional de X o simplemente volumen de X , denotado por vol (X ), se define como vol (X ) =
B
1X
⊆ int(B).
en donde B es un m-bloque compacto tal que X Observaciones:
1. No es dif´ıcil probar que la definici´on de conjunto J -medible as´ı como de su volumen no dependen de la elecci´on del m-bloque B con la propiedad X int(B).
⊆
2. La parte 2 de la definici´ on anterior es una generalizaci´on del Teorema 1.2.7. 3. Denotaremos por
J (Rm ) a la colecci´on de todos los subconjuntos acotados J -medibles en R m.
Teorema 1.6.1 Sea X m-medida cero.
⊆ Rm un conjunto acotado.
X
∈ J (Rm) si y s´olo si su frontera ∂X tiene
An´ alisis Real II
⊆ int(B). Denotemos D1 = {x ∈ B; 1 es discontinua en x } = ∂ X , por lo tanto X ∈ J (Rm ) si y s´olo si 1X ∈ R(B) si y s´olo si D1
28
Demostraci´ on. Sea B un m-bloque compacto tal que X X
X
Se sigue que D1X m-medida cero.
X
= ∂ X tiene
Observaciones: 1. Como la frontera de un m-bloque acotado es uni´on (finita) de m-bloques degenerados, concluimos que los m-bloques acotados son J -medibles en R m . 2. Las bolas abiertas y cerradas son conjuntos J -medibles en R m . 3. Hasta ahora s´ olo sab´ıamos calcular el volumen de m-bloques acotados, la definici´on anterior extiende el c´alculo del volumen a conjuntos J -medibles. Los Teoremas 1.2.7 y 1.6.1 establecen que esta es una buena extensi´on. M´as a´ un, si denotamos por a la familia de todos los m-bloques compactos, hemos extendido vol : [0, + [ a vol : (Rm ) [0, + [.
F →
Proposici´ on 1.6.2 Sea X vol (∂X ) = 0.
⊆
∞
J
F
→
Rm un conjunto acotado.
∞
X
∈ J (Rm) si y s´olo si ∂X ∈ J (Rm ) y
Demostraci´ on. ( ) Como ∂ X es cerrado se tiene que ∂ (∂X ) ∂X , de la hip´otesis se sigue que ∂ (∂X ) tiene m-medida cero y por tanto ∂ X (Rm ). Por otro lado, sea > 0, como ∂ X tiene m-medida cero,
⇒
⊆
∈ J
{ }
existe C j colecci´on numerable de m-cubos abiertos acotados tales que ∂ X
C j y
∈
j N
Como ∂X es compacto, ∂X C 1 clausura de C 1 C s , se cumple vol (∂X ) =
1∂X
B
≤
B
s
1C 1 ∪···∪C s
≤ j =1
B
s
1C j =
vol (C j ) <
j =1
Se sigue que vol (∂X ) = 0. ( ) Sea B un m-bloque compacto tal que X
⊆ int(B). Por hip´otesis
⇐
0 = vol (∂X ) =
B
{
∈ P (B)}
1∂X = inf U (1∂X , P ); P
{ } ∈ P (B) tal que U (1∂X , P ) < . Denotemos I = {i; ∂ X ∩ Bi = ∅}
Dado > 0, existe P = Bi
⊆
vol (C j ) < .
j =1
⊆ ∪ · · · ∪ C s . Sea B un m-bloque compacto cuyo interior contenga a la
∪ · · · ∪
claramente ∂ X
∞
⊆
Bi y adem´as
i I
∈
>
i
M i (1∂X ) vol (Bi ) =
i I
∈
vol (Bi )
An´ alisis Real II
29
∈ J (Rm ). vol (X ) = 0 ⇐⇒ int(X ) = ∅. Pruebe que el resultado es falso
Se sigue que ∂ X tiene m-medida cero y por tanto X Ejercicio: Sea X (Rm ), pruebe que si retiramos la hip´otesis de ser X J -medible.
∈ J
∈ J (Rm) entonces 1. X ∪ Y , X ∩ Y , X − Y ∈ J (Rm ). 2. Si X ⊆ Y entonces vol (X ) ≤ vol (Y ). 3. vol (X ∪ Y ) = vol (X ) + vol (Y ) − vol (X ∩ Y ).
Teorema 1.6.3 Si X, Y
Demostraci´ on. Por hip´otesis ∂X y ∂Y tienen m-medida cero.
∪ ⊆ ∂X ∪∂Y , se sigue que ∂ (X ∪Y ) tiene m-medida cero y por lo tanto X ∪Y ∈ J (Rm ).
1. Como ∂ (X Y ) 2. Ejercicio.
3. Sea B un m-bloque compacto tal que X , Y vol (X Y ) + vol (X Y ) =
∪
∩
B
(1X
⊆ int(B). Sabemos que 1
X ∪Y
+ 1X Y ) =
∪Y
∩
B
1X +
B
+ 1X
∩Y
= 1 X + 1Y , luego
1X = vol (X ) + vol (Y )
A continuaci´on, definiremos la integral de una funci´on acotada sobre un conjunto J -medible. Sea X (Rm ) y f : X R una funci´on acotada, consideremos B un m-bloque compacto tal que X int(B). Definimos la funci´on
⊆
∈ J
→
1X f = f X : B x
→ →
R
f X (x) =
f (x), 0,
∈ ∈ − X
x X x B
Definici´ on 1.6.2 Sea X R una funci´ (Rm ) y f : X on acotada. Decimos que f es Riemann Integrable sobre X , lo que denotamos f (X ) si y s´o lo si 1X f = f X (B), en donde B es un m-bloque compacto tal que X int(B). En caso afirmativo definimos
∈ J ⊆
∈R
→
∈R
f =
X
f X
B
∈ J (Rm ), f : X → R una funci´on acotada y denotemos Df = {x ∈ X ; f es discontinua en x }
Teorema 1.6.4 Sea X
∈ R(X ) si y s´olo si D f tiene m-medida cero. Demostraci´ on. En primer lugar afirmo que Df ⊆ Df ⊆ Df ∪ ∂ X . En efecto: Supongamos que m ∩ R − Df ( D f ) = ∅ (Hip. Aux.) y tomemos x ∈ Df con x ∈ / Df entonces ∃ (xk ) ⊆ X tal que lim xk = x y lim f (xk ) = f (x). Como f X es continua en x entonces lim f X (xk ) = f X (x), luego k →∞ k→∞ k→∞ lim f (xk ) = f (x) contradicci´on! esto prueba que x ∈ Df . El otro contenido es an´ alogo, y as´ı la k →∞ afirmaci´ on est´a probada. Como X ∈ J (Rm ), ∂X tiene m- medida cero, luego f ∈ R (X ) si y s´olo si f X ∈ R(B) si y s´olo si D f tiene m-medida cero si y s´olo si D f tiene m-medida cero. Se cumple f
X
X
X
X
X
An´ alisis Real II
∈ J (Rm ), se cumple 1. Si f ∈ R(X ) y c ∈ R entonces cf ∈ R(X ) y
30
Teorema 1.6.5 Dado X
2. Si f , g
∈ R(X ) entonces f + g ∈ R(X ) y
3. Si f, g
≤ ≤ ≤ · cf = c
X
(f + g) =
·
f +
X
X
∈ R(X ) y f (x) ≤ g(x), ∀ x ∈ X entonces
∀ x ∈ X entonces
f .
X
m vol (X )
g.
X
f
g. En particular, si m
X
X
≤ f (x) ≤ M ,
f M vol (X )
X
4. Si f , g
∈ R(X ) entonces max{f, g}, min{f, g} ∈ R(X ). 5. f ∈ R(X ) si y s´olo si f + , f − ∈ R(X ). 6. Si f ∈ R(X ) entonces |f | ∈ R(X ) y f ≤ |f |. En particular X X M (f ) = sup{|f (x)|; x ∈ X }. 7. Si f ∈ R(X ) entonces f 2 ∈ R(X ). 8. Si f , g ∈ R(X ) entonces f g ∈ R(X ). 9. Si f ∈ R(X ) y vol (X ) = 0 entonces f = 0.
X
≤
f
M (f ) vol (X ), donde
·
X
Demostraci´ on. Sea B un m-bloque compacto tal que X int(B). Desde que (f + g)X = f X + g X (¡Ejercicio!) se sigue que si f , g (X ) entonces f X , gX (B), luego (f + g)X = f X + gX (B), es decir f + g (X ). Adem´as
⊆ ∈ R
∈ R
∈ R
(f + g) =
X
(f + g)X =
B
(f X + gX ) =
B
∈ R
f X +
B
gX =
B
f +
X
Las dem´ as son an´ alogas.
g
X
∈ J (Rm), entonces R(X ) es una R -´algebra.
Observaci´ on: Si X
∈ J (Rm) es conexo y f ∈ C (X )
Teorema 1.6.6 (Teorema del Valor Medio para Integrales) Si X entonces existe un x 0 X tal que
∈
·
f = f (x0 ) vol (X )
X
Demostraci´ on. Si vol (X ) = 0, por la parte 9 del teorema anterior, la igualdad es inmediata. Consideremos el caso en que vol (X ) > 0. Como f C (X ) y X es conexo entonces f (X ) es un intervalo cuyos extremos lo denotamos por m y M , luego m f (x) M , x X , as´ı
·
m vol (X ) =
∈ ≤ ≤ ∀ ∈ m ≤ f ≤ M = M · vol (X )
X
X
X
An´ alisis Real II 1 Se sigue que vol (X )
∈
f f (X ) luego existe un x 0
∈
X
1 X tal que f (x0 ) = vol (X )
Teorema 1.6.7 Sean X, Y (Rm ). Se cumple que f f Y (Y ). En caso afirmativo
∈ J
∈R
f +
∪
X Y
∩
f =
∩
X Y
f .
31
X
∈ R(X ∪ Y ) si y s´olo si f X ∈ R(X ) y
f +
X
f
Y
∅
En particular, si int (X Y ) = entonces
f =
∪
X Y
f +
X
f
Y
Demostraci´ on. Se cumple que D
f
X
∪ Df ⊆ Df ⊆ Df ∪ Df ∪ ∂X ∪ ∂Y
Y
X
Y
Como X, Y (Rm ) se tiene que ∂X y ∂Y tienen m-medida cero, luego f tiene m-medida cero si y s´olo si D y D tienen m-medida si y s´ olo si f
∈ J
∪ ⊆
f
f
X
→ R, se cumple f X ∪Y + f X ∩Y = f X + f Y , luego
f +
X Y
f =
X Y
∪
Finalmente como X, Y
B
∩
Y
Sea B un m-bloque compacto tal que X Y B
∈ R(X ∪ Y ) si y s´olo si D f ∈ R(X ) y f Y ∈ R(Y ). X
f X ∪Y +
B
int(B) y consideremos las funciones f X ∪Y , f X ∩Y :
f X ∩Y =
f X +
B
f Y =
B
f +
X
∈ J (Rm ) e int(X ∩ Y ) = ∅ entonces por el ejercicio
f = 0 y por la parte 9 del Teorema 1.6.5 el resultado se sigue.
f
Y
vol (X Y ) = 0, luego
∩
X Y
∩
Corolario 1. Si X, Y
∈ J (Rm ), Y ⊆ X , f ∈ R(X ) e int (X − Y ) = ∅ entonces
f =
X
f
Y
− Y ) ∪ Y , (X − Y ) ∩ Y = ∅ y X − Y ∈ J (Rm) entonces
Demostraci´ on. Como X = (X
f =
X
Adem´ as como int (X
− Y ) = ∅, por el ejercicio
f
Y
−
vol (X
− Y ) = 0, luego
f =
X
f +
X Y
f +
X Y
−
f =
Y
f
Y
∈ J (Rm) y f ∈ R(X ). Si U = int(X ) entonces
Corolario 2. Sean X
f =
X
U
f
An´ alisis Real II
32
∈ J (Rm) e int(X − U ) = int(∂X ) = ∅.
⊆
Demostraci´ on. Como U = int(X ) entonces ∂ U ∂X luego U Luego, por el Corolario 1:
f =
X
f .
U
Observaci´ on: En virtud del corolario anterior, de ahora en adelante podemos suponer que las integrales se realizan sobre conjuntos abiertos J -medibles. Sea X
(R ), se puede usar el Teorema 1.6.1 para calcular
∈ J f =
X
m
f , puesto que, por definici´ on
X
f X , en donde B es un m-bloque tal que X int(B).
⊆
B
− × [ −1, 1] − B 1(0) ∈ J (R2) y considero f : R2 → R definida por f (x, y) = xe . Como f ∈ C (R2 ) entonces f ∈ C (X ) ⊆ R(X ), nos proponemos hallar f , para X ello consideremos el 2-bloque B = [−2, 2] × [−2, 2] y la funci´on → R f X : B y) ∈ X (x, y) → f X (x, y) = 0,f (x, y), sisi (x, (x, y) ∈ B − X Ejemplo 1.6.1 Sea X = [ 1, 1]
√ y +1
2
es decir f X (x, y) =
√ y +1
xe 0,
2
,
− ≤ − 1 − y2 ∈ −
si 1 x < (x, y) B X
−
´o
1
y 2 < x < 1,
−1 ≤ y ≤ 1
De esta manera
√ f =
X
1
−
−1
−1
f X =
B
1 y2
−
√ y +1
xe
2
√ y +1
1
dx +
√ 1−y
2
xe
dx dy = 0
2
Para finalizar la secci´on, probaremos que existen abiertos acotados que no son J-medibles. En efecto, sea X el conjunto de Cantor de medida positiva y denotamos Y = X [0, 1]. Supongamos que Y tiene 2-medida cero (Hip. Aux.) denotemos B = [0, 1] [0, 1] Y , como ∂Y Y , por la hip´otesis auxiliar concluimos que f = 1Y (B). Por el teorema de la integraci´on iterada, la funci´on
×
∈R
L :
[0, 1] x
×
⊇
→ R → L(x) =
⊆
1
f x (y)dy
0
es Riemann integrable sobre [0, 1]. Observe que para x X tenemos f x = 1 (puesto que si y [0, 1] entonces (x, y) Y , luego 1 = f x (y) = 1Y (x, y)). An´alogamente, si x / X entonces f x = 0. Luego
∈
∈
1
L(x) = L
∈ R ×
0
f x (y)dy =
1, 0,
∈
∈
si x X si x / X
∈ ∈
es decir = 1X , concluimos que 1X ([0, 1]) y por tanto X = ∂ X tiene 1-medida cero lo cual es una contradicci´ on. De esta manera Y = X [0, 1] tiene 2-medida cero. Ahora es f´ acil construir un abierto
An´ alisis Real II
33
de R 2 cuya frontera no tiene 2-medida cero. En efecto, sea B cualquier 2-bloque abierto que contenga a [0, 1] [0, 1] y sea U = B Y . Como Y es cerrado tenemos que U es abierto y como Y ∂ U (¡Ejercicio!) deducimos que ∂ U no tiene 2-medida cero. La existencia de abiertos acotados que no sean J -medibles es mala para la teor´ıa de la integraci´ on
×
−
⊆
puesto que si U es uno de tales abiertos, con la teor´ıa estudiada hasta el momento la integral
f no
U
∈
necesariamente estar´ıa definida, a´un suponiendo que f C (U ).
1.7
Cambio de Variables en la Integral M´ ultiple
∈
→ R tal que
Del An´alisis en una variable real, tenemos el siguiente resultado: Sea f C ([a, b]) y g : [c, d] g ([c, d]) y g ([c, d]) [a, b]. Entonces
∈ R
⊆
g (d)
d
f (x)dx =
g(c)
f (g(t))g (t)dt
c
No es dif´ıcil probar que si g es inyectiva e I = ]c, d[ , entonces
◦
(f g) g .
f =
g (I )
I
·| |
La generalizaci´on de este resultado a integrales m´ultiples es la siguiente: Teorema 1.7.1 (Cambio de coordenadas) Sea U Rm un abierto acotado y g tal que g (U ) sea acotado y det[Jg(x)] = 0, x U . Si f (g(U )) entonces
⊆
∀ ∈
g (U )
f =
∈ R
∈ C 1(U ; Rm ) inyectiva
◦ · | det Jg|.
(f g)
U
La demostraci´on del teorema anterior, usando solo integral de Riemann, es muy complicada y ser´a pospuesta hacia el final, en donde ya tendremos a mano la integral de Lebesgue. Se debe observar que en el Teorema de Cambio de variables, el abierto no necesariamente es J -medible. ESto se debe al hecho que es posible definir la integral de Riemann de una funci´on definida sobre un abierto no necesariamente J -medible, pero para ello se requiere el manejo de particiones de la unidad. En el c´alculo, los cambios de variables m´as usados son: 1. Coordenadas polares : Es la funci´on (x, y) = g(r, θ) = (r cos θ, rsen θ), en cuyo caso se tiene
g (U )
f (x, y)dxdy =
f (r cos θ, rsen θ)r drdθ.
U
2. Coordenadas cil´ındricas : Es la funci´ on (x,y,z) = g(r,θ,z) = (r cos θ, rsen θ, z), en cuyo caso se tiene f (x,y,z)dxdydz = f (r cos θ, rsen θ, z)r drdθdz.
g(U )
U
An´ alisis Real II
34
3. Coordenadas esf´ericas : Es la funci´ on (x,y,z) = g(ρ,θ,ϕ) = (ρ cos θsen ϕ, rsen θsen ϕ, ρ cos ϕ), en cuyo caso se tiene
g(U )
f (x,y,z)dxdydz =
U
f (ρ cos θsen ϕ, rsen θsen ϕ, ρ cos ϕ)ρ2 sen ϕ dρdθdϕ.
Cap´ıtulo 2
Espacios de Medida 2.1
Limitaciones y desventajas de la Integral de Riemann
La integral de Rieman tiene muchas desventajas, tantos te´oricas como pr´acticas. El primer inconveniente que podemos nombrar es la existencia de conjuntos abiertos acotados que no son J -medibles. Como hemos observado en el Cap´ıtulo anterior, si U es un conjunto abierto acotado que no es J -medible entonces no podemos asegurar la existencia de
∈
f a pesar de que f C (U ).
U
La segunda desventaja es el hecho que funciones muy discontinuas no sean integrables. Esta desventaja consiste en que es f´acil encontrar una funci´on muy discontinua que coincida, salvo un conjunto de medida cero, con una funci´on continua y, sin embargo una y otra no son equivalentes en el sentido de la integral de Riemann. Por ejemplo, consideremos f , g : [0, 1] R definidas por f (x) =
1, 0,
→ x ∈ [0, 1] ∩ Q x ∈ [0, 1] ∩ I
y
g(x) = 0
∩
∈R
Se tiene que f = g salvo en [0, 1] Q , el cual tiene medida cero, y sin embargo g ([0, 1]) pero f / ([0, 1]). Un tercer inconveniente, es que necesitamos integrar funciones acotadas sobre conjuntos acotados. No podemos integrar sobre Rm . Un cuarto inconveniente de la integral de Riemann, y quiz´a uno de los m´as importantes, es que ella no se comporta bien con respecto al proceso del “paso al l´ımite”, esto significa que puede existir una sucesi´ on de funciones Riemann-integrables cuyo l´ımite puntual no lo es. Veamos m´as detalladamente estos conceptos. Sea X Rm , denotaremos por (X ; Rn ) al conjunto de todas las funciones definidas en X y con valores en Rn . Con las operaciones usuales de suma de funciones y producto de un n´umero real por una funci´ on, el conjunto (X ; Rn ) se torna un R -espacio vectorial.
∈R
⊆
F
F
Definici´ on 2.1.1 Una sucesi´ on de funciones en (X ; Rn ) es una funci´on f : N (X ; Rn ) tal que a cada n´ umero natural k le asocia una funci´on f (k) = f k (X ; Rn ), llamada el k-´esimo t´ermino de la sucesi´ on.
F
35
∈ F
→ F
An´ alisis Real III
36
⊆ F (X ; Rn) significar´a que “(f k ) es una sucesi´on de funciones
Notaci´ on. En sucesivo el s´ımbolo (f k ) en (X ; Rn )”
F
Sea (f k ) (X ; Rn ), para cada x X se tiene que f k (x) Rn , para todo k N, luego (f k (x)) es Rn es convergente para cada x una sucesi´on en Rn . Si la sucesi´ on (f k (x)) X entonces existe un n vector (que depende de x X ) f (x) R tal que lim f k (x) = f (x). De esta manera podemos definir la
⊆ F
∈ ⊆ ∈ f : X → x →
∈
funci´ on
∈
k
∈
∈
→∞
Rn
f (x) = lim f k (x) k
∈ F (X ; Rn).
→∞
es decir f
Definici´ on 2.1.2 Sea (f k ) (X ; Rn ) y f converge puntualmente a f , lo que escribimos f k
∈ F (X ; Rn). Decimos que la sucesi´on de funciones (f k ) → f si y s´olo si se cumplen las dos condiciones siguientes: 1. (f k (x)) ⊆ Rn es convergente, para todo x ∈ X . 2. lim f k (x) = f (x), para todo x ∈ X . k→∞ ⊆ F
Ejemplo 2.1.1 Sea X el intervalo cerrado [0, 1] y consideremos la sucesi´on (f k )
⊆ F (X ; R) definida por
f k :
→ →
X x
R
f k (x) = x k
Observe que lim f k (x) = lim xk =
k
Si definimos
→∞
f : [0, 1] x
k
→∞
→ →
R
tenemos que lim f k (x) = f (x), para todo x k
→∞
f (x) =
0, si 0 x < 1 1, si x = 1
0, 1,
≤
si 0 x < 1 si x = 1
≤
∈ X , es decir f k → f .
Ejemplo 2.1.2 Sea X el intervalo cerrado [0, 1]. Como Q
∩ X es numerable, podemos escribir Q ∩ X = {q 1 , q 2 , . . . , qk , . . .}. Consideremos la sucesi´on (f k ) ⊆ F (X ; R) y la funci´on f ∈ F (X ; R) definidas por 1, si x ∈ {q 1 , . . . , qk } 1, si x ∈ Q ∩ X f k (x) = y f (x) = 0, si x ∈ X −{q 1 , . . . , qk } 0, si x ∈ I ∩ X Afirmo que f k → f . En efecto, sea x ∈ X . Se presentan dos casos: Caso 1: x ∈ Q ∩ X . En este caso, existe k0 ∈ N tal que x = q k . Luego la sucesi´ on (f k (x)) ⊆ R viene
0
dada por
f k (x) =
0, 1,
si k < k0 si k k 0
≥
An´ alisis Real III
37
De esta manera lim f k (x) = 1 = f (x)
k
→∞
∈ I ∩ X . En este caso f k (x) = 0, ∀ k ∈ N, luego
Caso 2: x
lim f k (x) = 0 = f (x)
k
→∞
De los dos casos anteriores, se deduce la afirmaci´on. Por otro lado, es claro que (f k ) f / (X ).
⊆ R(X ) pero
∈R
Este mal comportamiento de la integral de Riemann con respecto al proceso del paso al l´ımite, fue una de las razones para extender el concepto de funci´on integrable. R, primero tom´ Recordemos que para definir funci´on Riemann integrable f : B abamos una partici´ on del m-bloque B . La idea novedosa de Lebesgue fue la de tomar una partici´on del intervalo imagen
→
c = y 0 < y1 < y aproximar el valor de
··· < yn−1 < yn = d
f mediante
B n
yj −1 + yj vol f −1 ([yj −1 , yj ]) 2
√ j =1
1
Como ejemplo, vamos hallar
xdx por ´este m´etodo.
0
Para ello, observamos que el integrando f (x) = partici´ on (regular) y0 = 0,
y1 =
se tiene
1 , n
√ x cumple f ([0, 1]) = [0, 1], luego, consideramos la −
2 n 1 , . . . , yn−1 = , n n
y2 =
f −1 ([yj −1 , yj ]) = [yj2−1 , yj2 ],
luego
Las ´´alturas” de los rect´angulos, ser´ıan
(n
∀ 1 ≤ j ≤ n 2
2
− yj2−1 = nj 2 − ( j −n21)
vol f −1 ([yj −1 , yj ]) = y j2
∈ N)
yn = 1
=
−
2 j 1 n2
yj −1 + yj 2 j 1 = 2 2n
−
As´ı n
j =1
n
n
− · − − −
yj −1 + yj vol f −1 ([yj −1 , yj ]) 2
=
j =1
=
1 3
2 j 1 2 j 1 1 = 2n n2 2n3
1+
1 n
2+
1 n
1 n
(4 j 2
4 j + 1)
j =1
1+
1 n
+
1 2n2
An´ alisis Real III As´ı
n
1
√
xdx = lim n
yj −1 + yj 1 vol f −1 ([yj −1 , yj ]) = 2 3
→∞ j =1
0
38
El cual coincide con el valor calculado usando particiones y sumas de Riemann. Volviendo al caso general, se puede apreciar que la principal dificultad para calcular la suma n
yj −1 + yj vol f −1 ([yj −1 , yj ]) 2 =1
j
reside en el hecho de que los conjuntos f −1 ([yj −1 , yj ]) pueden ser muy complicados y en general no se le pueden asignar un volumen (o m´as generalmente, una medida). El primer paso para solucionar este problema ser´ıa detectar aquellos conjuntos a los cuales se les pueda asignar una medida (los cuales ser´an llamados conjuntos medibles) y luego estudiar aquellas funciones para las cuales las preim´agenes de intervalos siempre sean conjuntos medibles (estas funciones ser´an llamadas funciones medibles).
2.2
Espacios medibles
Definici´ on 2.2.1 Sea X un conjunto no vac´ıo. Una colecci´ on σ-´ algebra en X si y s´olo si satisface las siguientes propiedades:
A de subconjuntos de X es llamada
∈ A. 2. Si A, B ∈ A entonces A − B ∈ A. 1. X
3. Si Ak k∈N
{ } ⊆ A entonces
A
∞
k =1
Ak
∈ A. A
Si es una σ-´algebra en X entonces los elementos de son llamados conjuntos medibles . Decimos que el par (X, ) es un espacio medible si y s´ olo si X es un conjunto no vac´ıo y σ-´ algebra en X .
A
A es una
Observaciones: 1. El prefijo σ se refiere al hecho de que la condici´on 3) de la definici´on anterior se cumpla para todas las uniones numerables de conjuntos de la colecci´on .
A
∈ A implica que A ∪ B ∈ A” entonces A es llamada ´ algebra
2. Si cambiamos la condici´ on 3) por “A, B Booleana o simplemente ´ algebra en X .
3. Toda σ-´ algebra es un ´algebra, pero el rec´ıproco no necesariamente es cierto. Ejemplo 2.2.1 Sea X un conjunto no vac´ıo. Si = , X entonces (X, ) es un espacio medible. Por otro lado si denotamos por (X ) al conjunto potencia de X entonces (X, (X )) es tambi´en un espacio medible. Concluimos que todo conjunto no vac´ıo X admite dos σ-´ algebras triviales.
P
A {∅ }
A P
An´ alisis Real III
{
39
} A = {∅, {a}, {b, c}, {a,b,c}} entonces (X, A) es un espacio medible.
Ejemplo 2.2.2 Si X = a,b,c y
Ejemplo 2.2.3 Sea X un conjunto no vac´ıo, = A X y consideremos = , A , Ac , X entonces (X, ) es un espacio medible. M´as a´ un, es la m´as peque˜ na σ-´ algebra que contiene al subconjunto A.
A
A
∅ ⊆
A {∅
}
∞
Ejemplo 2.2.4 Los subconjuntos de R que son reuniones finitas de intervalos de la forma [ a, b[, [a, + [ ´o ] , b[, es un ´algebra pero no una σ-´ algebra de R .
−∞
Proposici´ on 2.2.1 Sea (X, ) un espacio medible. Se cumple:
A
∅ ∈A 2. A ∈ A entonces A c = X − A ∈ A. 3. Si A, B ∈ A entonces A ∩ B ∈ A. 4. Si A, B ∈ A entonces A∆B = (A − B) ∪ (B − A) ∈ A. 1.
5. Si Ak k∈N
{ } ⊆ A entonces
∞
k =1
Ak
∈ A.
Demostraci´ on. 5). X
− Ak ∈ A, ∀ k ∈ N, luego X
∞
k =1
∞
∞
− k =1
Ak
=
− Ak ) ∈ A .
(X
k=1
Ak
∈ A.
Se sigue que
Observaciones: 1. Una manera equivalente de definir σ-´ algebra en X es la siguiente:
A es una σ-´algebra en X si y s´olo si satisface las siguientes propiedades: (a) X, ∅ ∈ A. (b) Si A ∈ A entonces A c = X − A ∈ A. ∞ (c) Si {Ak }k∈ ⊆ A entonces Ak ∈ A.
Decimos que
N
k =1
Queda como ejercicio para el lector mostrar la equivalencia de ambas definiciones. 2. Toda σ-´ algebra es una colecci´on de conjuntos que es cerrada con respecto al complemento, diferencia, uniones (finitas y numerables) e intersecciones (finitas y numerables). Existen otras operaciones entre conjuntos que ser´an de inter´es en lo sucesivo.
An´ alisis Real III
40
{ }
Definici´ on 2.2.2 Sea X un conjunto no vac´ıo y Ak k∈N una colecci´ on numerable de subconjuntos de X .
{Ak },
1. El l´ımite superior y el l´ımite inferior de liminf Ak se definen como
{ }
{ }
∞
∞
k=1
j =k
limsup Ak =
Aj
{ }y
denotados respectivamente por lim sup Ak
{ }
y
∞
∞
k=1
j =k
lim inf Ak =
Aj
2. Decimos que la colecci´ on Ak tiene l´ımite si y s´olo si el l´ımite superior y el l´ımite inferior de Ak k∈N coinciden. En este caso, denotamos por lim Ak al valor com´un.
{ }
{ }
{ }
{ ∈ N; n ≥ k }, desde que A k+1 ⊆ Ak , se cumple:
Ejemplo 2.2.5 Sea X = N y A k = n
{ }
lim sup Ak =
∞
∞
k =1
j =k
Aj
∅
=
{ }
y
lim inf Ak =
∞
∞
k =1
j =k
{ } ∅
Conclu´ımos que la sucesi´on de conjuntos dada tiene l´ımite y lim Ak = .
Aj
∅
=
Proposici´ on 2.2.2 Sea X un conjunto no vac´ıo y Ak k∈N una colecci´on numerable de subconjuntos de X .
{ }
1. Si A 1
⊆ A2 ⊆ A3 ⊆ ·· · entonces la colecci´on {Ak } tiene l´ımite y { }
∞
lim Ak =
Ak
k=1
⊇ A2 ⊇ A3 ⊇ ·· · entonces la colecci´on {Ak } tiene l´ımite y
2. Si A 1
∞
{ } { } ⊆ ⊂ ⊆ ·· · { } lim Ak =
Ak
k=1
Demostraci´ on. 1) Se cumple lim inf Ak = Por otro lado, como A 1
A 2
A 3
∞
∞
k=1
j =k
, entonces
Aj
=
lim sup Ak =
∞
k =1
j =k
Aj
Ak .
k=1
∞
=
∞
Aj =
j =k
∞
∞
Aj , luego
j =1
∞
∞
k=1
j =1
Aj
=
∞
j =1
Aj
An´ alisis Real III
Conclu´ımos que la sucesi´on de conjuntos dada tiene l´ımite y lim{Ak } =
{ } { } ⊇ { }
∞
Aj .
41
j =1
Corolario 1. Sea X un conjunto no vac´ıo y Ak k∈N una colecci´on numerable de subconjuntos de X . Las colecciones
∞
Aj
j =k
∞
y
j =k
k N
lim
∈ ∞
Aj
Aj
tienen l´ımite y
k N
∈
= lim sup Ak
y
lim
j =k
Demostraci´ on. Sea Bk =
∞
Aj . Se sigue que B1
lim Bk =
∞
Bk =
k=1
∞
∞
k=1
j =k
∞
Aj
= lim inf Ak
{ }
j =k
⊇ B 3 ⊇ ·· ·. Por la proposici´on anterior {Bk }
B 2
j =k
tiene l´ımite y
Aj
{ }
= lim sup Ak
Corolario 2. Sea (X, ) un espacio medible y Ak k∈N y en caso que exista lim Ak .
{ } ⊆ A entonces lim sup{Ak } ∈ A, lim inf {Ak } ∈ A
A { } ∈A
Demostraci´ on. ¡Ejercicio!
{ }
Proposici´ on 2.2.3 Si X es un conjunto no vac´ıo y Ai i∈I es una colecci´on arbitraria de σ-´ algebras en X entonces algebra de X . i es una σ-´
A ∈
i I
Demostraci´ on. ¡Ejercicio!
Para finalizar la secci´on, sea X un conjunto no vac´ıo y consideremos una familia cualquiera de subconjuntos de X . Vamos a probar que existe una m´ınima σ-´ algebra de X que contiene a . En efecto, definamos = ; es una σ-´ algebra de X y
F
Claramente
B {A A
B = ∅. Consideremos
F
F ⊆ A}
F
σ( ) =
A
A∈B
De la Proposici´on 2.2.3 se tiene que σ( ) es una σ-´algebra de X y σ( ), adem´as, si es cualquier , por tanto σ( ) es la σ-´ algebra de X que contiene a entonces por definici´on , luego σ( ) m´ınima σ-´ algebra de X que contiene a . σ( ) se llama σ-´ algebra de X generada por la familia . Si (X, τ ) es un espacio topol´ogico, entonces σ(τ ) es llamada σ-´ algebra de Borel y sus elementos son llamados boreleanos o conjuntos de Borel . En particular, todo conjunto abierto y todo conjunto cerrado es un boreleano. Tambi´en lo est´an las uniones numerables de conjuntos cerrados (F σ ), las intersecciones numerables de conjuntos abiertos (Gδ ) y as´ı sucesivamente. Denotaremos por (X ) al σ-´ algebra de Borel del espacio topol´ogico (X, τ ).
F
F F F
F ⊆ F A ∈ B F ⊆ A
B
A
F F
An´ alisis Real III
2.3
42
Medidas
Definici´ on 2.3.1 Sea (X, ) un espacio medible. Decimos que la funci´on µ : [0, ] es una medida positiva o simplemente medida si y s´ olo si µ es completamente aditiva , esto significa que para toda colecci´on
A
A → ∞
{ } ⊆ A se tiene µ
numerable y disjunta dos a dos Ak k∈N
A A →
∞
∞
Ak
=
k =1
µ(Ak ).
k=1
A es
Decimos que la terna (X, , µ) es un espacio de medida si y s´ olo si X es un conjunto no vac´ıo y una σ-´ algebra en X y µ : [0, + ] es una medida.
∞
Observaciones: 1. En la definici´ on anterior consideramos
∞
µ(Ak )
k =1
∈ [0, +∞], es decir la suma de la serie puede ser
un n´ umero real no negativo o incluso el infinito. 2. Para evitar casos triviales, haremos siempre la suposici´on que existe A 3. Si µ(X ) <
∈ A tal que µ(A) < ∞.
∞ decimos que µ es una medida finita .
4. Si µ(X ) = 1, decimos que µ es una probabilidad sobre X . 5. Si existe una familia numerable X k
{ } ⊆ A tales que X =
que µ es una medida σ-finita .
A
A →
∞
X k y µ(X k ) <
k =1
∞ entonces decimos
∞
Ejemplo 2.3.1 Sea (X, ) un espacio medible, si µ : [0, + ] se define como µ(A) = 0, entonces µ es una medida, la cual es llamada medida nula .
A
Ejemplo 2.3.2 Sea (X, ) un espacio medible, si µ : A , A = entonces µ es una medida.
∀ ∈ A ∅
∀ A ∈ A
A → [0, +∞] se define como µ(∅) = 0 y µ(A) = ∞,
P P → ∞
P
Ejemplo 2.3.3 Sea X un conjunto no vac´ıo y (X ) su conjunto potencia. Ya sabemos que (X, (X )) es un espacio medible. Si definimos µ : (X ) [0, + ] por µ(A) =
card(A), si A es finito , caso contrario
∞
P
entonces (X, (X ), µ) es un espacio de medida. La medida µ es llamada medida de conteo. Ejemplo 2.3.4 Sea (X, ) un espacio medible y fijemos un a X . Definimos δ a :
A
∈
δ a (A) =
A
1, 0,
A → [0, +∞] como
si a A si a / A
∈ ∈
entonces (X, , δ a ) es un espacio de medida. La medida δ a es llamada medida de Dirac centrada en a.
An´ alisis Real III
A ∩ A →
∈ A
43
A → ∞ ∈ ∞
Ejemplo 2.3.5 Sea (X, , µ) un espacio de medida y fijemos un E . Consideramos µE : [0, + ] definida por µ E (A) = µ(A E ). Entonces (X, , µE ) es un espacio de medida. M´as a´ un, si µ(E ) ]0, [, µ(A E ) podemos definir µ : [0, + ] como µ (A) = . Se sigue que µ es una medida, la cual µ(E ) E E E es llamada medida condicional .
A
∞
∩
A
∈ A. Consideramos
Ejemplo 2.3.6 (X, , µ) es un espacio de medida y fijemos un E
y µ E = µ AE
AE = {E ∩ A; A ∈ A} : AE → [0, +∞]. Entonces (E, AE , µE ) es un espacio de medida.
Observaci´ on: Por el momento, vamos a aceptar las siguientes reglas aritm´eticas al operar con el infinito:
∞ = ∞, ∀ a ∈ R 2. ∞ + ∞ = ∞ 1. a +
No est´a definido el valor de
∞ − ∞
Teorema 2.3.1 Sea (X, , µ) un espacio de medida. Se cumple:
A
∅
1. µ( ) = 0. n
2. Si A 1 , . . . , An
∈ A son disjuntos dos a dos entonces µ
n
Ak
=
k=1
µ(Ak ).
k=1
∈ A y A ⊆ B entonces µ(A) ≤ µ(B). 4. Si A, B ∈ A, A ⊆ B y µ(A) < ∞ entonces µ(B − A) = µ(B) − µ(A). 5. µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B), ∀ A, B ∈ A 3. Si A, B
Demostraci´ on. 1) Sea A tal que µ(A) < Ak es una familia disjunta dos a dos y
∈ A
{ }⊆A
µ(A) = µ(A Luego
k, 2
∪ ∅) = µ
∞
∞, consideramos A1 = A, A2 = A3 = ··· = ∅ entonces ∞
Ak
=
k=1
∅
µ(Ak ) = µ(A) +
k =1
∞
k=2
∅
µ( )
∅
µ( ) converge a cero y por tanto µ( ) = 0.
2) Sean A n+1 = An+2 =
··· = ∅, entonces {Ak } ⊆ A es una familia disjunta dos a dos y
n
µ
∞
∞
Ak
k=1
= µ
k =1
Ak
=
k=1
n
µ(Ak ) =
k =1
µ(Ak ) +
∞
k=n+1
n
µ(Ak ) =
k=1
µ(Ak )
An´ alisis Real III 3) Como B = A
44
∪ (B − A), por la parte 2) se tiene µ(B) = µ(A ∪ (B − A)) = µ(A) + µ(B − A) ≥ µ(A)
− A) y como µ(A) < ∞ entonces µ(B − A) = µ(B) − µ(A). 5) Si µ(A ∩ B) = ∞ entonces, por 3), µ(A) = µ(B) = µ(A ∪ B) = ∞ y la igualdad se cumple trivialmente. Consideremos entonces µ(A ∩ B) < ∞. Como se tiene la uni´on disjunta A ∪ B = [A − (A ∩ B)] ∪ (A ∩ B) ∪ [B − (A ∩ B)] 4) De la parte anterior µ(B) = µ(A) + µ(B
las parte 2) y 4) implican µ(A
∪ B)
− ∩ − ∩
= =
∩ ∩
− ∩ − ∩
µ(A (A B)) + µ(A B) + µ(B (A B)) µ(A) µ(A B) + µ(A B) + µ(B) µ(A B)
un simple despeje conduce al resultado.
Teorema 2.3.2 Sea (X, , µ) un espacio de medida y Ak
{ } ⊆ A entonces
A
µ
∞
∞
≤ Ak
k=1
µ(Ak )
(µ es completamente subaditiva)
k=1
k 1
Demostraci´ on. Sea B1 = A1 , B2 = A2
− A1, B3 = A3 − (A1 ∪ A2), . . . , Bk = Ak
sigue que Bk
{ } ⊆ A es disjunta dos a dos, B k µ
∞
⊆ ∞
Ak
= µ
k =1
∞
Ak y
Bk
=
k=1
∞
≤
Bk =
k=1
j =1
Ak , luego
∞
µ(Ak )
k=1
Corolario. Sea (X, , µ) un espacio de medida y Ak
A
{ } ⊆ A tales que µ(Ak ) = 0 entonces µ
0. Teorema 2.3.3 Sea (X, , µ) un espacio de medida y Ak
{ } ⊆ A, se cumplen:
A
⊆ A2 ⊆ ·· · ⊆ Ak ⊆ ·· · entonces
1. Si A 1
lim µ(Ak ) = µ
k
→∞
∞
k =1
Ak
Aj , . . . . Se
k =1
µ(Bk )
k=1
∞
−
−
= µ (lim Ak )
{ }
∞
k =1
Ak
=
An´ alisis Real III
45
⊇ A2 ⊇ ·· · ⊇ Ak ⊇ ·· · y µ(A1) < ∞ entonces
2. Si A 1
lim µ(Ak ) = µ
k
→∞
∞
Ak
{ }
= µ (lim Ak )
k =1
Demostraci´ on.
− An−1, ∀ n ≥ 2. Se sigue que {Bn} es una colecci´on disjunta
1. Consideramos B1 = A 1 y B n = A n dos a dos de conjuntos medibles.
No es dif´ıcil demostrar que se cumplen:
∞
n
An =
∀ n ≥ 1
Bk ,
k =1
luego µ
∞
∞
∞
An
n=1
= µ
Bk
=
k=1
y
∞
An =
n=1
k =1
n
µ(Bk ) = lim n
→∞
k=1
Bk
n
µ(Bk ) = lim µ n
→∞
k=1
Bk
k=1
= lim µ(An ) n
→∞
2. De la hip´ otesis se sigue que A1
{ − An} ⊆ A y A1 − A2 ⊆ A1 − A3 ⊆ ·· ·, de la parte 1) se sigue que lim µ(A1
k
Por otro lado, como µ(A1 ) <
− Ak ) = µ
→∞
∞
(A1
k=1
− Ak )
∞ entonces µ(Ak ) < ∞, ∀ k ≥ 1, luego µ(A1 − Ak ) = µ(A1 ) − µ(Ak ), ∀ k ≥ 1
Adem´ as, por teor´ıa de conjuntos:
∞
(A1
k=1
− Ak ) = A1
∞
−
Ak
k=1
Reemplazando las dos ´ultimas igualdades en la primera y teniendo en cuenta que la intersecci´on tiene medida finita, llegamos a: µ(A1 )
− klim µ(Ak ) = lim [µ(A1 ) − µ(Ak )] = µ k→∞ →∞
∞
− A1
Ak
= µ(A1 )
k=1
de donde se sigue el resultado.
−µ
∞
Ak
k=1
{
} A = P (X ) y µ : A → [0, ∞∞] la medida de conteo. Si Ak = {k, k + 1, k + 2, . . .} entonces {Ak } ⊆ A, A1 ⊇ A2 ⊇ ·· · ⊇ Ak ⊇ ·· ·, Ak = ∅ y µ(Ak ) = ∞, ∀ k ∈ N . Observaci´ on: Sea X = 1, 2, 3, . . .
k=1
Esto muestra que la hip´otesis µ(A1 ) es necesaria en la parte 2) del teorema anterior.
An´ alisis Real III
2.4
46
Caracterizaci´ on de una medida. Unicidad
Las σ-´ algebras, en particular los borelianos, son familias que tienen muchos elementos y es imposible describir todos ellos. Por ejemplo, ya hemos visto que si (X, τ ) es un espacio topol´ogico, su σ-´ algebra de borel σ(τ ) contiene no solamente a los abiertos y los cerrados, sino que tambi´ en a las intersecciones numerables de abiertos (los G δ ), las uniones numerables de cerrados (los F δ ), las uniones e intersecciones numerables de tales conjuntos, etc. De esta manera, verificar que dos medidas, definidas sobre una σ-´ algebra, son iguales ser´ıa una tarea muy dif´ıcil si es que no contamos con algunos resultados de caracterizaci´on. En esta secci´on, estudiamos algunos de estos resultados. Definici´ on 2.4.1 Sea X un conjunto no vac´ıo. Una colecci´ on Λ de subconjuntos de X es llamada λ-sistema en X si y s´olo si satisface las siguientes propiedades:
∅ ∈ Λ. 2. Si {Ak }k∈ ⊆ Λ es una sucesi´on creciente, es decir A1 ⊆ A 2 ⊆ ·· · entonces 1.
N
por uniones numerables crecientes ) 3. Si A, B
∞
k=1
Ak
∈ Λ. (Estabilidad
∈ Λ y A ⊆ B entonces B − A ∈ Λ. (Estabilidad por diferencia propia )
Proposici´ on 2.4.1 Sea X un conjunto no vac´ıo y contiene a
F
F ⊆ P (X ), existe un m´ınimo λ-sistema Λ(F ) que
Demostraci´ on. Definimos
B = {Λ; Λ es una λ-sistema de X y F ⊆ Λ} ∅. Consideremos Claramente P (X ) ∈ B y por tanto B = Λ(F ) = Λ
Λ
∈B
No es dif´ıcil demostrar que Λ( ) cumple las condiciones de la Proposici´on.
F
F
F .
Notaci´ on: Λ( ) se llama λ-sistema de X generado por la familia
¿Qu´e relaci´on existe entre un λ-sistema y una σ-´ algebra? En primer lugar, observamos que toda σ-´ algebra es un λ-sistema (¡Ejercicio!), pero el rec´ıproco no es cierto (¡Ejercicio!). Sin embargo, asumiendo algunas condiciones adicionales, el λ-sistema se torna una σ-´ algebra Proposici´ on 2.4.2 Sea X un conjunto no vac´ıo y Λ
⊆ P (X ) un λ-sistema de X . Si se cumple
∈
1. X Λ.
An´ alisis Real III 2. Si A, B
47
∈ Λ entonces A ∩ B ∈ Λ. (Estabilidad por intersecciones finitas )
Entonces Λ es una σ-´ algebra de X . Demostraci´ on. Por i) se tiene que X Λ. Sea A Λ entonces A c = X A Λ. Antes de considerar familias numerables, primeramente veamos el caso finito. Sean A, B
∈
− ∈
∈
∈ Λ, entonces
A
∪ B = (Ac ∩ Bc)c ∈ Λ
n
∈ Λ entonces
Se sigue que si A 1 , . . . , An
∈ Λ.
Ak
k =1
n
{ } ⊆ Λ, consideremos Bn =
Finalmente, sea Ak k∈N B3
{ }n∈ ⊆ Λ, B1 ⊆ B2 ⊆
Ak . Se sigue que Bn
k=1
N
⊆ . . .. Por la estabilidad de los λ-sistemas con relaci´on a uniones numerables crecientes, se tiene que ∞
Ak =
∞
n=1
k=1
Bn
∈ Λ
Se sigue que Λ es una σ-´ algebra de X .
F ⊆ P (X ) que satisface las dos condiciones siguientes
Observaci´ on: Una familia
∈ F . 2. Si A, B ∈ F entonces A ∩ B ∈ F . (Estabilidad por intersecciones finitas ) 1. X
es llamada π -sistema.
F ⊆ P (X ) es un π -sistema, entonces Λ(F ) = σ(F )
Teorema 2.4.3 Sea X un conjunto no vac´ıo, si
Demostraci´ on. Como σ( ) y σ( ) es un λ-sistema entonces Λ( ) σ( ). Rec´ıprocamente, como Λ( ) es un λ-sistema tal que X Λ( ), por la Proposici´on 2.4.2, para demostrar que Λ( ) es una σ-´ algebra, es suficiente probar que Λ( ) es estable por intersecciones finitas.
F ⊆ F F
F
F ⊆ F ∈ F ⊆ F F
F Afirmaci´ on: Si F ∈ F y A ∈ Λ( F ) entonces F ∩ A ∈ Λ(F ). En efecto, dado F ∈ F , definimos el conjunto ΛF = {A ∈ Λ( F ); A ∩ F ∈ Λ( F )}
No es dif´ıcil probar que ΛF es un λ-sistema (¡Ejercicio!). Si E entonces E F Λ( ), luego E ΛF . De esta manera Λ( ) ΛF , F . De aqu´ı se sigue inmediatamente la Afirmaci´ on. Fijemos ahora B Λ( ) y consideremos el conjunto
∈ F ∩ ∈ F ⊆ F ∈ F ⊆ ∀ ∈ F ∈ F ΛB = {A ∈ Λ( F ); A ∩ B ∈ Λ( F )}
F ⊆ ΛF y por la minimalidad
An´ alisis Real III
48
Se sigue que ΛB es un λ-sistema (¡Ejercicio!) Observe que si F , por la Afirmaci´on anterior F B Λ( ), luego F ΛB y por la minimalidad Λ( ) ΛB , B Λ( ). Finalmente, si A, B Λ( ) entonces A ΛB y por tanto A B Λ( ).
∈ F ∩ ⊆ F ∈ ΛB . De esta manera F⊆ F ⊆ ∀ ∈ F ∈ F ∈ ∩ ∈ F Corolario 1. Sea (X, A) un espacio medible y µ, ν dos medidas finitas sobre (X, A). Suponga que existe un π -sistema F ⊆ P (X ) tal que A = σ(F ). Si µ(F ) = ν (F ), ∀ F ∈ F entonces µ = ν . Demostraci´ on. Definimos
{ ∈ A; µ(A) = ν (A)} ⊆ A Afirmaci´ on: Λ es un λ-sistema. En efecto, es claro que ∅ ∈ Λ. Sea {Ak }k∈ ⊆ Λ tal que A 1 ⊆ A2 ⊆ ·· ·. Se cumple: Λ= A
N
µ
∞
Ak
k=1
Entonces
∞
= µ(lim Ak ) = lim µ(Ak ) = lim ν (Ak ) = ν
{ }
k
→∞
k
→∞
∞
Ak
k=1
∈ Λ.
Ak
k=1
Finalmente, sean A, B
∈ Λ con A ⊆ B, por la finitud de las medidas se cumple µ(B − A) = µ(B) − µ(A) = ν (B) − ν (A) = ν (B − A)
luego B
− A ∈ Λ. La Afirmaci´on est´a probada. Como por hip´ otesis F ⊆ Λ, se tiene que Λ( F ) ⊆ Λ. Por el Teorema 2.4.3 y la hip´otesis A = σ(F ) = Λ(F ) ⊆ Λ. Por tanto Λ = A. Corolario 2. Sea (X, A) un espacio medible y µ, ν dos medidas sobre (X, A). Suponga que existe una familia F ⊆ A que verifica las tres condiciones siguientes: 1. F es un π-sistema y σ(F ) = A. 2. µ(F ) = ν (F ), ∀ F ∈ F . { }n∈ ⊆ F tal que F 1 ⊆ F 2 ⊆ ·· ·, X =
3. Existe F n
N
∞
n=1
F n y µ(F n ) = ν (F n ) <
∞.
Entonces µ = ν .
∈ N y consideremos µ n, ν n : A → [0, +∞] definidas por µn (A) = µ(A ∩ F n ), ν n (A) = ν (A ∩ F n ), ∀ A ∈ A
Demostraci´ on. Fijemos n
An´ alisis Real III
49
A
Se sigue que µ n y ν n son medidas finitas sobre . Sea F , como F F n , por la hip. 2. tenemos
∈ F
∩ ∈ F
∩ F n) = ν (F ∩ F n) = ν n(F )
µn (F ) = µ(F
A ∩ ∀ ∈
Por el Corolario 1 µn = ν n sobre Sea A
∈ A, entonces A =
∞
, n
(A
N.
F n ), se tiene que A
n=1
∩ F 1 ⊆ A ∩ F 2 ⊆ ·· ·, luego
µ(A) = µ(lim A
{ ∩ F n}) = nlim →∞ µ(A ∩ F n ) = nlim →∞ µn (A) = nlim →∞ ν n (A) = nlim →∞ ν (A ∩ F n ) ν (lim{A ∩ F n }) = ν (A)
=
Por tanto µ = ν .
2.5
Medidas exteriores
Definici´ on 2.5.1 Sea X = y consideremos su conjunto potencia (X ). Una medida exterior en X es una funci´ on µ e : (X ) [0, + ] que verifica las tres condiciones siguientes:
∅ P → ∞
P
1. µe ( ) = 0.
∅ 2. P ⊆ Q ⇒ µ e (P ) ≤ µe (Q). 3. Si P k
{ }k∈ ⊆ P (X ) entonces µ e N
∞
∞
≤ k=1
P k
µe (P k ).
k=1
Observaciones: 1. Sea (X, ) un espacio medible, toda medida µ : [0, + ] satisface las tres condiciones de la definici´ on anterior, sin embargo ella no es una medida exterior a menos que = (X ).
A
A →
∞
A P
2. Una medida exterior no necesariamente es una medida puesto que las medidas exteriores no son necesariamente completamente aditivas. El teorema siguiente nos dice que a toda medida se le puede asociar de manera natural una medida exterior. Teorema 2.5.1 Dado un espacio de medida (X, , µ), definimos la funci´on µ ∗ :
A P (X ) → [0, +∞] como µ∗ (P ) = inf {µ(A); A ∈ A y P ⊆ A } , ∀ P ∈ P (X )
Entonces µ ∗ es una medida exterior en X .
An´ alisis Real III
50
Demostraci´ on. No es dif´ıcil probar que µ ∗ satisface las dos primeras condiciones de la Definici´on 2.5.1. Para demostrar la tercera condici´on, consideremos P k k∈N (X ), dado > 0 para cada k N tenemos k ∗ ∗ − que µ (P k ) < µ (P k ) + 2 , luego, por la definici´on de ´ınfimo, tenemos que existe A k con P k A k tal que µ(Ak ) < µ∗ (P k ) + 2 −k .
{ } ⊆ P
Como
⊆ ≤ ≤ ∈ A y
Ak
k N
∈
µ∗
∞
P k
⊆
Ak entonces
k N
k N
∈
P k
∈ A
∈
∈
µ
k =1
∞
∞
Ak
k=1
k =1
µ(Ak ) ≤
∞
[µ∗ (P k ) + 2 −k ] =
k=1
∞
µ∗ (P k ) +
k=1
Como el > 0 fue arbitrario, la condici´on 3. se sigue.
Observaci´ on: µ∗ es llamada medida exterior asociada a la medida µ. Teorema 2.5.2 Sea (X, , µ) un espacio de medida, sea µ∗ : asociada y sea P k k∈N (X ).
A P (X ) → [0, +∞] su medida exterior { } ⊆ P 1. Si P 1 ⊆ P 2 ⊆ P 3 ⊆ ·· · entonces µ ∗ (lim{P k }) = lim µ∗ (P k ) k →∞ 2. µ∗ (lim inf {P k }) ≤ liminf {µ∗ (P k )}
Demostraci´ on. 1. Por la parte 1 de la Proposici´on 2.2.2 tenemos
∞
⊆
P k
{ } ∀ k ∈ N
P j = lim P k ,
j =1
luego µ ∗ (P k )
≤ µ∗ (lim{P k }), ∀ k ∈ N y por tanto lim µ∗ (P k )
k
→∞
Para probar la otra desigualdad, para cada k 1 con P k A k tal que µ(Ak ) < µ∗ (P k ) + . k
⊆
Observe que P k =
∞
∞
⊆ P j
j =k
∈ N , por definici´on de ´ınfimo tenemos que existe Ak ∈ A
Aj , k
j =k
{ }
≤ µ∗ (lim{P k })
lim P k =
∀ ∈ N, luego
⊆ ∞
k=1
P k
∞
∞
k=1
j =k
Aj
{ } ∈ A,
= lim inf Ak
Por lo anterior, el Corolario 1 a la Proposici´on 2.2.2 y la parte 1 del Teorema 2.3.3, tenemos
µ∗ (lim{P k }) ≤ µ (lim inf {Ak }) = µ lim
∞
j =k
Aj
= lim µ k
→∞
∞
j =k
Aj
An´ alisis Real III
Por otro lado, µ
≤ ∞
Aj
j =k
tanto
1 µ(Ak ) < µ∗ (P k ) + , ∀ k ∈ N, luego lim µ k →∞ k µ∗ (lim P k )
{ } ≤ klim µ∗ (P k ) →∞
≤ ∞
Aj
j =k
51
lim µ∗ (P k ) y por
k
→∞
2. Sea P k k∈N (X ) familia numerable arbitraria y denotemos α = liminf µ∗ (P k ). Si α = + entonces no hay nada que demostrar. Consideremos el caso en que α < + . Dado > 0 se tiene que
{ }
⊆ P
∞
∞
α + > sup inf {µ∗ (P j )} ≥ inf {µ∗ (P j )} , j ≥k k ≥1 j ≥k Luego, dado k ∈ N, existe j k ≥ k tal que µ ∗ (P j ) < α + .
∀ k ∈ N
k
De otro lado, por el Corolario 1 a la Proposici´on 2.2.2 y la parte 1), tenemos
⊆
µ∗ (lim inf {P k }) = µ ∗ lim
∈ N se tiene que
Observe que, para cada k
µ∗
≤ ∞
P j
∞
∞
P j
j =k
P j
= lim µ∗ k →∞
∞
P j
j =k
P jk luego
j =k
µ ∗ (P jk ) < α + ,
j =k
y por tanto µ ∗ (lim inf P k )
∀ k ∈ N
{ } ≤ α + , ∀ > 0. De aqu´ı, la desigualdad se sigue. Definici´ on 2.5.2 Sea (X, A, µ) un espacio de medida. Decimos que µ es una medida completa si y solo si para todo A ∈ A con µ(A) = 0 se tiene que N ⊆ A entonces N ∈ A. El siguiente teorema nos proporciona un procedimiento para construir un espacio de medida completa a partir de una medida exterior. Teorema 2.5.3 (Caratheodory) Sea X = y sea µe : Definimos
∅
P (X ) → [0, +∞] una medida exterior en X .
c
A = {A ⊆ X ; µ e (A ∩ P ) + µe(A ∩ P ) ≤ µe (P ), ∀ P ⊆ X } A
Entonces (X, , µ) es un espacio de medida y µ es completa.
y
µ = µe
A
A
∈ A y
Demostraci´ on. Vamos a empezar demostrando que es una σ-´ algebra en X . Es claro que X que si A entonces A c . Afirmaci´ on 1: A, B entonces A B . En efecto, sea P X , por definici´on de tenemos:
∈ A
∈ A
∈A
∩ ∈ A
⊆
A
An´ alisis Real III
≥ µe (A ∩ P ) + µe(Ac ∩ P )
µe (P )
y
52
≥ µe (B ∩ P ) + µe(Bc ∩ P )
µe (P )
Sumando:
≥ µe (A ∩ P ) + µe(Ac ∩ P ) + µe(B ∩ P ) + µe(Bc ∩ P )
2µe (P )
(2.1)
Por otro lado
∩ P ) ∩ P ) ∩ P ) µe (B c ∩ P ) µe (A µe (Ac µe (B
≥ ≥ ≥ ≥
∩ A ∩ P ) + µe (Bc ∩ A ∩ P ) ∩ Ac ∩ P ) + µe(Bc ∩ Ac ∩ P ) ∩ B ∩ P ) + µe (Ac ∩ B ∩ P ) µe (A ∩ B c ∩ P ) + µe (Ac ∩ B c ∩ P ) µe (B µe (B µe (A
Sumando las 4 desigualdades anteriores, reemplazando en (2.1) y simplificando, llegamos a µe (P )
≥ µe(A ∩ B ∩ P ) + µe (Ac ∩ B ∩ P ) + µe(A ∩ Bc ∩ P ) + µe(Ac ∩ Bc ∩ P )
(2.2)
Pero (A
∩ B)c = Ac ∪ B c = (Ac ∩ B) ∪ (Bc ∩ A) ∪ (Ac ∩ Bc)
en donde la uni´on anterior es disjunta. De aqu´ı se tiene que µe ((A
∩ B)c ∩ P ) ≤ µe ((Ac ∩ B) ∩ P ) + µe ((Bc ∩ A) ∩ P ) + µe ((Ac ∩ Bc) ∩ P )
Finalmente, reemplazando en (2.2) tenemos
≥ µe (A ∩ B ∩ P ) + µe ((A ∩ B)c ∩ P )
µe (P )
Como P X fue arbitrario, la Afirmaci´on 1 est´a probada. De la Afirmaci´on 1 se sigue inmediatamente que si A, B entonces A que la familia es cerrada por intersecciones finitas y uniones finitas.
⊆
∈ A
A
Afirmaci´ on 2: Si A, B son disjuntos entonces µ e ((A En efecto, sea P X , como A , se tiene que
⊆
∈ A
∈ A
∪ B ∈ A. De aqu´ı se sigue
∪ B) ∩ P ) ≥ µe (A ∩ P ) + µe(B ∩ P ), ∀ P ⊆ X .
≥ µe (A ∩ Q) + µe (Ac ∩ Q), ∀ Q ⊆ X Tomando Q = (A ∪ B) ∩ P y teniendo en cuenta que A ∩ B = ∅, tenemos µe ((A ∪ B) ∩ P ) ≥ µe (A ∩ (A ∪ B) ∩ P ) + µe (Ac ∩ (A ∪ B) ∩ P ) ≥ µ e (A ∩ P ) + µe (Ac ∩ B ∩ P ) = µe (A ∩ P ) + µe (B ∩ P ) µe (Q)
lo cual prueba la Afirmaci´on 2. Sea A1 , . . . , An familia disjunta dos a dos, aplicando inducci´on a la Afirmaci´on 2 se llega a
{
}⊆A
n
µe
n
∩ ≥ Ak
k =1
P
k=1
∩ P ), ∀ P ⊆ X
µe (Ak
An´ alisis Real III
Sea {Ak }k∈ ⊆ A familia disjunta dos a dos y denotemos A = N
n
k =1
∞
53
⊆ X y n ∈ N, como
Ak . Dados P
k =1
∈ A, tenemos
Ak
n
c
n
µe (P )
µe
Ak
P + µe
Ak
k=1
P
k=1
Ak
A entonces A
µe (Ak
P
Ak
k =1
∩ P ) + µe
c
n
c
c
n
k =1
n
Como
n
≥ ∩ ∩ ≥ ⊆ ∩ ⊆ ∩
Ak
k =1
∩ P
P , tomando medida y reemplazando en la
k=1
desigualdad anterior
n
≥
µe (P )
µe (Ak
k=1
Tomando l´ımite cuando n µe (P )
≥ =
Esto prueba que A = Finalmente,
∞
∩ P ) + µe(Ac ∩ P ), ∀ n ∈ N
∞
∞
∩ P ) + µe (Ac ∩ P ) ≥ µe Ak ∩ P k=1 k=1 c µe (A ∩ P ) + µe (A ∩ P ), ∀ P ⊆ X µe (Ak
+ µe (Ac
∩ P )
Ak N
{Bk }k∈ ⊆ A familia disjunta dos a dos tal que
N
familia disjunta, se tiene que su uni´on es´a en
Bk =
k =1
Para probar que µ = µ e
entonces podemos construir una familia
∞
Ak . Aplicando la parte anterior a la
k =1
A y por tanto
σ-´ algebra.
y denotemos A =
(2.3)
→ ∞ y usando la subaditividad de la medida exterior se llega a
∈ A. k =1 si {Ak }k∈ ⊆ A es una familia arbitraria, ∞
∞
∞
Ak
k=1
Esto prueba que
A es una
A → [0, +∞] es una medida, sea {Ak }k∈ ⊆ A familia disjunta dos a dos
:
A
∈ A. N
Ak . Se cumple:
k =1
µ(A) = µ e (A) = µ e
∞
∞
≤ Ak
k=1
k =1
µe (Ak ) =
∞
∀ P ⊆ X . Tomando P = A ∈ A, tenemos µ(A) medida.
∞
k=1
∞
≥
Para demostrar la otra desigualdad, ya sabemos (por 2.3) que µ e (P )
≥
µ(Ak )
k=1
µe (Ak
k=1
∩ P ) + µe (Ac ∩ P ),
µ(Ak ). De esta manera (X, , µ) es un espacio de
A
An´ alisis Real III
∈ A con µ(A) = 0.
Falta probar que µ es medida completa. Sea A µe (A) = µ(A), luego, para cualquier P X tenemos
⊆
Si N
54
⊆ A entonces µe (N ) ≤
∩ P ) + µe(N c ∩ P ) ≤ µe(N ) + µe (P ) = µe(P ),
µe (N
∈ A.
de donde N
Medida de Lebesgue en Rn
2.6
En Rn vamos a construir una σ-´algebra las siguientes propiedades:
L y una medida completa y σ-finita λ : L → [0, +∞] que tenga
L contiene a los boreleanos de R n, es decir B(Rn) ⊆ L. 2. λ(B) = vol (B), ∀ B n-bloque. 3. Si K ⊆ Rn es compacto, entonces λ(K ) < + ∞. 1.
El proceso que seguiremos es construir una medida exterior en Rn que “respete el volumen” y luego aplicar el Teorema de Caratheodory. n
F la familia de todos los n-bloques del tipo B =
Sea
vol (B) = (b1
]ai , bi ], ya sabemos que
i=1
− a1) ··· (bn − an)
Denotemos por a la familia formada por uniones finitas de miembros de C, D entonces C D, C D, C D .
∈ C
C
∪ ∩ − ∈ C Observaci´ on: C ∪ {Rn } es un ´algebra en R n .
F . No es dif´ıcil probar que si
m
Sea C
∈ C, por definici´on existen {B1, . . . , Bm} ⊆ F tales que C = Bk . Sin p´erdida de generalidad, k=1 podemos tomar {B1 , . . . , Bm } ⊆ F disjuntos dos a dos y de esta manera podemos definir el volumen de C como
m
vol (C ) =
vol (Bk )
k=1
Se puede demostrar que el volumen de C est´a bien definido, es decir, si B1 , . . . , Br r
colecci´ on disjunta dos a dos tal que C =
k =1
m
Bk entonces
k=1
r
vol (Bk ) =
{
} ⊆ F es otra
vol (Bk ).
k=1
∈ C,
Queda como ejercicio para el lector demostrar las siguientes propiedades del volumen: Sean C 1 , C 2
⊆ C 2 entonces vol (C 1) ≤ vol (C 2). vol (C 1 ∪ C 2 ) + vol (C 1 ∩ C 2 ) = vol (C 1 ) + vol (C 2 ).
1. Si C 1 2.
An´ alisis Real III
∪ C 2) ≤ vol (C 1) +
3. vol (C 1
55
vol (C 2 )
Lema 2.6.1 Sea C k k∈N
{ } ⊆ C tal que C 1 ⊇ C 2 ⊇ C 3 ⊇ ·· · y lim{C k } = ∅. Entonces klim vol (C k ) = 0. →∞
Demostraci´ on. Por definici´on C k =
j J k
∈
{ }
Bjk , donde J k es un conjunto finito de ´ındices y Bjk j ∈J k
⊆ F
es disjunta dos a dos. al transformado de Bjk por la homotecia H k de centro el de Para cada k N, denotemos por Bjk Bjk y de raz´on ρk , donde 0 < ρk < 1. (M´as espec´ıficamente, denotando I ]a] = ]a , a + ], entonces
∈
B =
−
n
n
∈ F , luego B = H k [B] = I ρ ]am ] ∈ F ) . Note que ρ lim H k [B] = B. → 1 m=1 Bjk , es claro que C k ⊆ C k pero no necesariamente se cumple C 1 ⊇ C 2 ⊇ C 3 ⊇ ·· ·.
I m ]am ]
m=1
Sea C k =
k m
k
−
j J k
∈
Para seguir trabajando con sucesiones encajantes de conjuntos, definimos Dk = C 1
∩ C 2 ∩ · · · ∩ C k , ∀ k ∈ N
{ } ⊆ C satisface: 1. D1 ⊇ D 2 ⊇ D 3 ⊇ ·· · 2. Dk ⊆ C k , ∀ k ∈ N. 3. C k − Dk ⊆ (C 1 − C 1 ) ∪ · · · ∪ (C k − C k ) Dado > 0, para cada k ∈ N , elegimos ρk suficientemente pr´o ximo a 1 tal que
La sucesi´ on Dk
luego
k
≤
vol (C k
− Dk )
j =1
− C k ) < 2k ,
vol (C k
k
vol (C j − C ) < j
< 2j =1
j
⊆ C k entonces
Por otro lado, como D k
∞
k=1
{ } ≥
∞
⊆
Dk
k =1
C k = lim C k =
{ } ∅ ∈
Como Dk son compactos encajantes, entonces existe k 0 N tal que si k Luego, para k k 0 , tenemos vol (C k ) = vol (C k Dk ) <
−
es decir lim vol (C k ) = 0. k
≥ k0 se tiene que D k = ∅.
→∞
Nuestro siguiente paso es asociar un volumen a todo abierto de Rn .
An´ alisis Real III
56
⊆ Rn abierto, existe {Bk }k∈ ⊆ F familia disjunta dos a dos, tal que
Teorema 2.6.1 Dado U
N
U =
Bk .
k N
∈
Adem´ as, si Bk
{ }k∈ ⊆ F es otra familia disjunta dos a dos, tal que U = N
∞
vol (Bk ) =
k =1
∞
Bk entonces
k N
∈
vol (Bk )
k =1
Demostraci´ on. Haremos la demostraci´on para el caso n = 2. Definimos las colecciones
× ∈ } F F ×
F 0 = {B =]α, α + 1] en general
k
]β, β + 1]; α, β
=
Z ,
α α + 1 B = k , k 2 2
α α + 1 B = , 2 2
1 =
β β + 1 , ; α, β 2k 2k
∈ Z
× ,
β β + 1 , ; α, β 2 2
∈ Z
,
∀ k ∈ N
Observe que se cumplen las siguientes propiedades:
• F k ⊆ F , ∀ k ∈ N. • Los bloques de cada F k son disjuntos dos a dos. • Si B ∈ F k entonces vol (B) = 212k . • Si B ∈ F k y B ∈ F k+1 entonces B ⊆ B ´o B ∩ B = ∅. Definimos
F 0(U ) = {B0 ∈ F 0; B 0 ⊆ U } , F 1(U ) = {B1 ∈ F 1; B 1 ⊆ U y B 1 ∩ B0 = ∅, ∀ B 0 ∈ F 0(U )} , en general
F k (U ) = {Bk ∈ F k ; B k ⊆ U y B k ∩ Bj = ∅, ∀ B j ∈ F j (U ), con 1 ≤ j ≤ k − 1} Afirmaci´ on: U =
B . En efecto, por construcci´on es obvio que
k N
∈
B
⊆ B
k N
∈F k (U )
∈
B
∈F k (U )
Para demostrar el otro contenido, sea x = (x1 , x2 ) U , entonces existe r > 0 tal que Br (x) 1 r Existe k N tal que k < . 2 2 Existen α, β N tales que α < 2 k x1 α + 1 y β < 2k x2 β + 1. Se sigue que
∈
√
∈
∈
≤
α α + 1 x Bk = k , k 2 2
∈
≤
×
β β + 1 , 2k 2k
∈ F
k
U .
⊆ U .
An´ alisis Real III
57
∈ 1 1 r2 r2 2 2 2 y − x = (y1 − x1) + (y2 − x2) < 22k + 22k < 2 + 2 = r 2 Se sigue que y ∈ Br (x) ⊆ U . Hemos probado que existe k ∈ N y existe B k ⊆ F k tal que B k ⊆ U , es decir U ⊆ B . La afirmaci´on est´a probada. Sea y = (y1 , y2 ) Bk , entonces
k N
∈
∈F k (U ) Sean {Bk }k∈N , {Bk }k∈N ⊆ F familias disjunta dos a dos, tales que Bk = U = Bk k ∈N k ∈N B
h
Fijemos h ∈ N y consideremos B =
k=1
Se tiene que la familia C k
k
B ∈ C . Para k ∈ N, denotemos Ak = k
{ } ⊆ C cumple ⊇ C 2 ⊇ C 3 ⊇ ·· · y
lim C k =
{ }
C 1
∞
Bj
j =1
∈ C y C k = B − Ak .
C k =
∅
k=1
Por el Lema 2.6.1 lim vol (C k ) = 0. k
→∞
Como B = (B Ak ) (B Ack ) = (B Ak ) C k , se tiene que vol (B ) = vol (B Ak )+ vol (C k ), k N. Por tanto vol (B ) = lim vol (B Ak ). Pero
∩
∀ ∈
∪ ∩
k
∩ ∪ ∩
→∞
∩
k
vol (B ∩ Ak ) ≤ vol (Ak ) =
vol (Bj ),
j =1
∀ k ∈ N
luego h
k =1
y como el h
∈ N fue arbitrario, tenemos
desigualdad.
∞
∞
≤
vol (Bk ) = vol (B ) ≤ vol (Bk )
vol (Bj )
j =1
∞
vol (Bj ). Por simetr´ıa, se obtiene la otra
j =1
k=1
Sea U R n abierto, por la primera parte del teorema anterior, existe Bk k∈N dos a dos, tal que U = Bk .
⊆
{ } ⊆ F familia disjunta
∈
k N
Definimos vol (U ) =
∞
vol (Bk )
k=1
La segunda parte del teorema anterior establece la buena definici´on del volumen de un abierto. Queda como ejercicio para el lector demostrar las siguientes propiedades del volumen de abiertos.
An´ alisis Real III
58
⊆ Rn abiertos. Si U ⊆ V entonces vol (U ) ≤ vol (V ). 2. vol (U ∪ V ) + vol (U ∩ V ) = vol (U ) + vol (V ), ∀ U, V ⊆ Rn abiertos. 3. Sea U ⊆ Rn abierto, con vol (U ) < ∞, dado > 0, existe C = C ∈ C tal que vol (U ) < vol (C )+. 1. Sean U, V
n
{ }
4. Si U k es una colecci´on numerable de abiertos de R entonces vol
∞
∞
≤ U k
k=1
vol (U k ).
k=1
Aprovechando el volumen de abiertos en Rn , podemos definir una medida exterior en R n .
P (Rn) → [0, +∞] definida por µe (P ) = inf { vol (U ); U ⊆ Rn es abierto tal que P ⊆ U }
Teorema 2.6.2 La funci´ on µe :
es una medida exterior en R n . Demostraci´ on. Es claro que µe ( ) = 0 y s i P Q entonces µe (P ) µe (Q), solo falta probar la subaditividad. Sea P k (Rn ), si existe k entonces se cumple trivialmente que N tal que µe (P k ) =
∅
µe
{ } ⊆P ∞
≤
P k
k=1
∞
⊆
≤
∈
∞
µe (P k ). Consideremos el caso en que µe (P k ) <
k=1
⊆ Rn abierto con P k ⊆ U k tal que
Dado > 0, existe U k Como
∞
k=1
U k
n
⊆ R
∞
es abierto,
P k
k=1
µe
∞
⊆ ≤ ≤ ∞
P k
vol
k=1
vol (U k ) < µe (P k ) +
∞
U k
k=1
∞
k=1
vol (U k )
k =1
. 2k
∞
≤ ≤
U k y desde que vol
k=1
∞
∞, ∀ k ∈ N.
∞
U k
vol (U k ), entonces
k =1
µe (P k ) +
k=1
Como el > 0 fue arbitrario, se tiene la subaditividad.
Observaci´ on: No es dif´ıcil probar que si B entonces µe (B) = vol (B). Adem´as es claro que n µe (U ) = vol (U ), U R abierto. De esta manera la funci´on µ extiende al volumen.
∈ F
∀ ⊆
Teorema 2.6.3 Sean
L = {A ⊆ R
n
; µ e (A
c
n
∩ P ) + µe(A ∩ P ) ≤ µe(P ), ∀ P ⊆ R } y λ = µe
1. (Rn , , λ) es un espacio de medida σ-finita y completa.
L 2. F ⊆ L y λ(B) = vol (B), ∀ B ∈ F 3. U ⊆ Rn es abierto, entonces U ∈ L y λ(U ) =
vol (U ).
entonces
L
An´ alisis Real III
59
Demostraci´ on. 1. Por el Teorema de Caratheodory ( Rn , , λ) es un espacio de medida completa. Despues de demostrar la parte 2, probaremos que λ es σ-finita.
L
2. Sea B , debemos probar que µ e (B P ) + µe (B c P ) µ e (P ), P Rn . Seal P Rn , si µ e (P ) = entonces no hay nada que probar. Consideremos entonces el caso en que µe (P ) < . Dado > 0, existe U Rn abierto, con P U tal que
∈ F ⊆ ∞
∞
∩
∩ ≤ ⊆
⊆
vol (U ) < µe (P ) +
∀ ⊆
2
Por otro lado, como B , existen B 1 n-bloque cerrado y B2 n-bloque abierto tales que B 1 y vol (B2 B1 ) < /2. Sean U 1 = U B1c , U 2 = U B2 , se tiene que U 1 , U 2 Rn son abiertos que cumplen:
−
⊆ B ⊆ B2
∈ F
∩
∩
⊆
∩ B ⊆ U 2 ⊆ U ∩ B c ⊆ U 1 ⊆ U vol (U 1 ∩ U 2 ) ≤ vol (B2 − B1 ) < 2
U U
luego µe (B
∩ P ) + µe (Bc ∩ P ) ≤ =
∩ U ) + µe (Bc ∩ U ) ≤ µe (U 2) + µe(U 1) = vol (U 1) + vol (U 2) vol (U 1 ∪ U 2 ) + vol (U 1 ∩ U 2 ) ≤ vol (U ) + < µe (P ) + 2
µe (B
Como > 0 fue arbitrario, tenemos que B
∈ L y por tanto λ(B) = µe (B) =
∀ ⊆ F .
vol (B), B
Ahora podemos probar que la medida λ es σ-finita, para ello basta considerar los n-cubos Bk =]
− k, k] × · · · ×] − k, k] ∈ F , ∀ k ∈ N
{ } ⊆ L es tal que R n =
Es claro que Bk
Bk y vol (Bk ) = (2k)n .
∈
k N
⊆ Rn abierto, existe {Bk } ⊆ F ⊆ L tal que U =
3. Sea U
λ(U ) = µ e (U ) = vol (U ).
∈ L y, por la observaci´on
Bk , luego U
∈
k N
Notaci´ on: es llamada la σ-´ algebra de Lebesgue de R n , sus elementos son llamados conjunto Lebesguemedibles de R n o simplemente medibles y λ es llamada la medida de Lebesgue en R n . Algunas interrogantes sobre la medida de Lebesgue:
L
1. ¿ contiene estrictamente a los boreleanos
L
B(Rn )’
2. ¿Existen subconjuntos de R n que no son Lebesgue-medibles.
⊆ Rn es compacto entonces λ(K ) < +∞?
3. ¿K
La respuesta a esta interrogantes ser´an dadas en las dos secciones siguientes.
An´ alisis Real III
2.7
60
Algunos Propiedades de la medida de Lebesgue en Rn
Teorema 2.7.1 Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. Sea A
⊆ Rn es medible.
⊆ Rn abierto tal que A ⊆ U y µ e (U − A) < . 3. Para todo > 0, existe F = F ⊆ Rn cerrado tal que F ⊆ A y µ e (A − F ) < . 2. Para todo > 0, existe U = U
Demostraci´ on. (1. 2.) Si λ(A) < entonces existe U λ(U ) < λ(A) + . Por la parte 4 del Teorema 2.3.1 tenemos que
⇒
∞
⊆
Rn abierto, con A
⊆
U , tal que
µe (U
− A) = λ(U − A) = λ(U ) − λ(A) <
Consideremos ahora el caso en que λ(A) =
∞, existe {Ak }k∈ ⊆ L, con λ(Ak ) < ∞ tal que A = N
∞
⊆ Rn es abierto, A ⊆ U y U − A ⊆
U k , se tiene que U
k =1
− A) = λ(U − A) ≤ λ
µe (U
(2.
Ak .
k =1
∈ N existe U k ⊆ Rn abierto, con A k ⊆ U k , tal que λ(U k ) < λ(Ak ) + 2k .
Sea > 0, para cada k Sea U =
∞
∞
− Ak )
(U k
k =1
∞
≤
(U k
Ak ), luego
k=1
− Ak ) =
λ(U k
k =1
∞
− ∞
[λ(U k )
k=1
− λ(Ak )] <
⇒ 1.) Dado k ∈ N, existe U k ⊆ Rn abierto tal que A ⊆ U k y µ e (U k − A) < k1 . Consideremos
∞
k=1
∈ L, se tiene que A
U k
µe (Z )
∞
⊆
U k . Sea Z =
k =1
∞
U k
k =1
− A ⊆ U k − A, ∀ k ∈ N, luego
≤ µe(U k − A) < k1 , ∀ k ∈ N
Tomando l´ımite se sigue que µ e (Z ) = 0, luego µe (Z P ) + µe (Z c
∩
c
∩ P ) ≤ µe (Z ) + µe (P ) = µe(P ), ∀ P ⊆ Rn
∈ L, luego Z ∈ L y como A =
Se sigue que Z
∞
k=1
U k
∩ Z c, se sigue que A ∈ L.
Queda como ejercicio para el lector demostrar la equivalencia entre 1. y 3.
Observaciones: 1. El teorema anterior establece una interesante conexi´on entre los conjuntos Lebesgue-medibles y la topolog´ıa usual de R n . En efecto, la equivalencia 1. 2. nos dice que un conjunto es medible si y s´olo si se puede convertir en un abierto a˜nadi´endole un conjunto medible, de medida tan peque˜ na como se quiera.
⇔
An´ alisis Real III
61
⇔
2. La equivalencia 2. 3. establece que un conjunto es medible si y s´olo si se puede convertir en un cerrado quit´andole un conjunto medible, de medida tan peque˜na como se quiera. Teorema 2.7.2 Sea A
⊆ Rn un conjunto medible.
{ } ⊆ R n colecci´on numerable de abiertos que contienen a A y U 1 ⊇ U 2 ⊇ U 3 ⊇ ·· · tales
1. Existe U k que
lim λ(U k ) = λ(A)
k
→∞
{ } ⊆ Rn colecci´on numerable de compactos contenidos en A y K 1 ⊆ K 2 ⊆ K 3 ⊆ ·· · tales
2. Existe K j que
lim λ(K j ) = λ(A)
j
Demostraci´ on. 1. Sea A
→∞
∈ L, dado k ∈ N, existe V k ⊆ Rn abierto, con A ⊆ V k tal que λ(V k − A) < k1 .
k
Denotemos U k =
{ } ⊆ Rn es una colecci´on numerable de abiertos que contienen
V j , tenemos que U k
j =1
⊇ U 2 ⊇ U 3 ⊇ ·· · y que cumple 1 λ(A) ≤ λ(U k ) ≤ λ(V k ) = λ(V k − A) + λ(A) ≤ + λ(A), ∀ k ∈ N k
a A, con U 1
Se sigue que lim λ(U k ) = λ(A). k
→∞
∈ L
2. Sea A , consideremos dos casos: Caso 1: λ(A) = . Por el teorema anterior, existe F R n cerrado, con F A, tal que λ(A F ) < 1. Se desprende que λ(F ) = . Para j on numerable de N, definimos K j = Bj [0] F , se sigue que K j Rn es una colecci´ compactos contenidos en A y K 1 K 2 K 3 F y cumple (ver Teorema 2.3.3)
∞
∞
∈
Caso 2: λ(A) <
∞.
⊆
⊆
−
∩ { } ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ·· · ⊆ lim λ(K j ) = λ(lim{K j }) = λ(F ) = ∞ = λ(A) j →∞
Dado > 0 existe F
⊆ A cerrado tal que λ(A − F ) < 2 .
Para j
∈ N, definimos
K j = Bj [0] F , se sigue que K j on numerable de compactos contenidos en A y Rn es una colecci´ K 1 K 2 K 3 F tales que lim λ(K j ) = λ(F ), luego existe j0 N tal que si j j0 , se tiene j →∞ que λ(F ) λ(K j ) < . De esta manera 2 λ(A) λ(K j ) = [λ(F ) + λ(A F )] λ(K j ) = [λ(F ) λ(K j )] + λ(A F ) < + = 2 2
∩
⊆ ⊆ ⊆ ··· ⊆ −
{ } ⊆
−
−
∈
−
−
es decir lim λ(K j ) = λ(A). j
≥
−
→∞
Para finalizar la secci´on, vamos a probar que la medida de Lebesgue es invariante por traslaciones. Recordemos que si fijamos a Rn , la funci´on T a : Rn Rn definida por T a (x) = x + a, es llamada traslaci´ on . Es claro que toda traslaci´on es un homeomorfismo, con inversa T a−1 = T −a .
∈
→
An´ alisis Real III
62
An´ alogamente, si fijamos α R∗ , la funci´ on H α : Rn on α definida Rn es llamada homotecia de raz´ − 1 por H α (x) = αx. Es claro que toda homotecia es un homeomorfismo, con inversa H α = H α 1 .
∈
→
−
Teorema 2.7.3 Se cumplen las siguientes propiedades 1. µe (T a [P ]) = µ e (P ) y µ e (H α [P ]) = α n µe (P ), P
∀ ⊆ Rn
| |
2. Si A
⊆ Rn es medible, entonces T a[A] y H α[A] son medibles y se cumple λ(T a [A]) = λ(A) y λ(H α [A]) = |α|n λ(A)
Demostraci´ on. Haremos la demostraci´on para la traslaci´on quedando como ejercicio lo concerniente a la homotecia. 1. En primer lugar, si B entonces es claro que T a [B] y vol (T a [B]) = vol (B), B . Sea U R n abierto, sabemos que existe Bk colecci´on numerable, disjunta dos a dos, tal que U =
⊆ ∞
∈ F
{ } ⊆ F
{
∈ F
∀ ∈ F
} ⊆ F tambi´en es una colecci´on numerable, disjunta dos a dos, tal que
Bk . Se sigue que T a [Bk ]
k=1
∞
T a [U ] =
T a [Bk ]. De esta manera
k =1
vol (T a [U ]) =
∞
∞
vol (T a [Bk ]) =
k =1
vol (Bk ) = vol (U )
k=1
Rn , para cualquier U Rn abierto con T a [P ] Sea P U , se tiene que T a−1 [U ] P T a−1 [U ], luego µe (P ) vol (T a−1 [U ]) = vol (T −a [U ] ) = vol (U )
⊆
⊆
⊆ ≤
⊆
⊆ Rn es abierto y
≤ µe (T a [P ]). An´alogamente se demuestra la desigualdad contraria. 2. Sea A ∈ L, para P ⊆ Rn tenemos Se sigue que µ e (P )
µe (T a [A]
∩ P ) + µe(T a[A]c ∩ P )
= µe T a A
∩ T a−1[P ]
+ µe T a Ac
= µe (A T a−1 [P ]) + µe (Ac µe (T a−1 [P ]) = µ e (P )
≤
∩
∩ T a−1[P ]
∩ T a−1[P ])
De aqu´ı se sigue que T a [A]
∈ L y λ(T a [A]) = λ(A).
2.8
Algunos aspectos te´ oricos de la medida de Lebesgue en Rn
De acuerdo a las notaciones de la secci´on anterior, decimos que un conjunto E Rn tiene medida (de Lebesgue) cero si y s´olo si E y λ(L) = 0. Recordemos que en el Cap´ıtulo 1 definimos conjuntos de medida cero ¿Existe una relaci´on entre estos dos conceptos?
∈ L
⊆
An´ alisis Real III
63
⊆ Rn de medida cero, entonces E ∈ L y λ(E ) = 0, luego 0 = λ(E ) = µe (E ) = inf { vol (U ); U ⊆ Rn abierto con E ⊆ U } Dado > 0, existe U ∈ U (Rn ), con E ⊆ U tal que vol (U ) < . Por otro lado, como U ∈ Rn abierto, existe { Bk }k∈ ⊆ F , colecci´ on disjunta dos a dos, tal que ∞ Sea E
N
U =
Bk , y por tanto:
k=1
∞
⊆
E
Bk
∞
y
k =1
vol (Bk ) = vol (U ) <
k=1
Luego E tiene n-medida cero. Rec´ıprocamente, sea E conjunto de n-medida cero, dado > 0, existe Bk
∞
∞
⊆
abiertos, tales que E
k=1
E U , luego
⊆
Bk y
vol (Bk ) < . Denotando U =
k=1
{ ∞
}k ∈
on N colecci´
∈ U (Rn) y
Bk , tenemos que U
k=1
0
de n-bloques
≤ µe(E ) ≤ vol (U ) < ∈ L
Como el > 0 fue arbitrario, se tiene que µ e (E ) = 0. Se sigue que E y λ(E ) = 0. De esta manera, los dos conceptos coinciden. Por otro lado, como contiene la familia de abiertos de Rn , se sigue que (Rn ) . Vamos a n demostrar que el contenido es estricto, inclusive en dimensi´on 1. En efecto, R tiene base numerable de abiertos, como (Rn ) es generada por esta base, se puede demostrar que
L
B
⊆ L
B
card ( (Rn )) = 2ℵ0 =
B
ℵ1.
⊆
Por otro lado, el conjunto ternario de Cantor C R es un conjunto no numerable que tiene 1-medida cero, luego C es medible y λ(C ) = 0. Como la medida de Lebesgue es completa, se tiene que (C ) y como card( (C )) = 2card (C ) = 2 ℵ1 = 2
P ⊆ L
P
ℵ
Conclu´ımos que la mayor´ıa de subconjuntos de C no son boreleanos. Otra pregunta interesante, ser´ıa ¿Existen subconjuntos de Rn que no son medibles? El siguiente Teorema responde a la interrogante planteada. Teorema 2.8.1 Si A
⊆ R es tal que P (A) ⊆ L entonces λ(A) = 0
Demostraci´ on: En R definimos la siguiente relaci´on: x y si y solo si x y Q. No es dif´ıcil verificar que “ ” es una relaci´on de equivalencia en R (¡Ejercicio!) Denotemos por E al conjunto obtenido de la elecci´on de un elemento de cada clase del conjunto cociente R/ .
∼
∼
− ∈
∼
∩
∅ ∀
Afirmaci´ on 1: (E + r) (E + s) = , r, s x (E + r) (E + s) entonces existen y, z
∈
∩
∈ Q, r = s. En efecto, puesto que si suponemos que ∈ E tales que x = y + r y x = z + s, se sigue que
An´ alisis Real III
−
− ∈
− ∈
64
∼
y z = s r Q, luego y z Q, es decir y z. Por construcci´on del conjunto E se debe cumplir que y = z y por tanto s r = 0 lo cual es una contradicci´on.
−
∈ R entonces [x] ∈ R/ ∼, sea y ∈ E el representante elegido de la clase [x], entonces r = x − y ∈ Q. Por tanto x = y + r ∈ E + r. Consideremos A ⊆ R tal que P (A) ⊆ L. Para t ∈ Q , definimos A t = A ∩ (E + t) ⊆ A. Por hip´otesis ∈ At L. Afirmaci´ on 3: λ(At ) = 0, ∀ t ∈ Q . En efecto, sea K ⊆ A t compacto, denotemos Q ∩ [0, 1] = {q j }j ∈ y ∞ sea H = (K + q j ) (uni´on disjunta). Como K ⊆ A t ⊆ A entonces K ∈ L, luego K + q j ∈ L, ∀ j ∈ N y Afirmaci´ on 2: R =
(E + r). En efecto, sea x
r Q
∈
N
j =1
∞
∈ L. Adem´as H es acotado y por tanto λ(H ) < ∞. j =1 Por otro lado, como K ⊆ A t ⊆ E + t entonces {K + q j }j ∈ ⊆ L es una familia disjunta dos a dos,
por tanto H =
(K + q j )
N
luego, por la invarianza de λ con respecto a las traslaciones: λ(H ) =
∞
λ(K + q j ) =
j =1
∞
λ(K )
j =1
Se sigue que λ(K ) = 0. Como K A t fue cualquier compacto, del Teorema 2.7.2 conclu´ımos que λ(At ) = 0, t
⊆
Finalmente, A = A
∩ R = A
∩
(E + t)
t Q
∈
=
∀ ∈ Q.
[A
t Q
∈
∩ (E + t)] =
At . Se sigue que λ(A) = 0.
t Q
∈
Ahora es f´acil demostrar que existe subconjuntos de R que no son Lebesgue medibles. En efecto, caso contrario tendr´ıamos que = (R) (Hip. Aux.) entonces, por el Teorema anterior λ(R) = 0, lo cual es una contradicci´on.
L P
Cap´ıtulo 3
Integraci´ on Abstracta 3.1
Funciones medibles
A
B
→
Definici´ on 3.1.1 Sean (X, ) e (Y, ) dos espacios medibles. Decimos que f : X Y es una funci´ on − 1 ( , )-medible o simplemente, funci´ on medible si y s´olo si para todo B se tiene que f (B) .
AB
∈ B
∈ A
Ejemplo 3.1.1 Sean (X, ) e (Y, ) dos espacios medibles. La funci´on constante f : X es una funci´on medible.
A
→ Y
B
f (x) = c,
Observaciones: 1. Una manera equivalente de definir funci´ on medible es usando el concepto de preimagen de una σ-´ algebra. En efecto, sean X = , (Y, ) un espacio de medida y f : X Y entonces, puede demostrarse (¡Ejercicio!) que la familia
∅
B
→
f −1 [B] = f −1 [B]; B
∈ B
es una σ-´ algebra sobre X , llamada σ-´ algebra pre-imagen de f .
→ Y es una funci´on medible si y s´olo si f −1(B) ⊆ A” 2. Sean X e Y dos espacios topol´ogicos y consideremos sus σ-´algebras de Borel B(X ) y B(Y ). En este caso, una funci´on medible f : (X, B(X )) → (Y, B(Y )) es llamada funci´ on boreliana . No es dif´ıcil probar (¡Ejercicio!) que “f : X
3. En la mayor´ıa de aplicaciones, Y = R, C, R o Rm est´an dotados de sus respectivas σ-´ algebras de Borel. 4. Es necesario recordar las siguientes propiedades de la preimagen, las cuales ser´an frecuentemente usadas en el cap´ıtulo. Sea f : X
→ Y , se cumplen las siguientes propiedades: 65
An´ alisis Real III
66
(a) f −1 [A
∪ B] = f −1[A] ∪ f −1[B], ∀ A, B ⊆ Y . (b) f −1 [A ∩ B] = f −1 [A] ∩ f −1 [B], ∀ A, B ⊆ Y . (c) f −1 [Y − A] = X − f −1 [A], ∀ A ⊆ Y . (d) f −1 Bλ = f −1 [Bλ ], ∀ {Bλ } ⊆ Y .
λ
(e) f −1
λ
Bλ =
λ
f −1 [Bλ ],
λ
∀ {Bλ } ⊆ Y .
Teorema 3.1.1 Sea (X, ) un espacio medible, Y un conjunto no vac´ıo, una familia arbitraria de subconjuntos de Y y consideremos el espacio medible (Y, σ( )). Son equivalentes las siguientes afirmaciones:
A
F
F
A → (Y, σ(F )) es una funci´on medible. 2. Si F ∈ F entonces f −1 (F ) ∈ A 1. f : (X, )
⇒
Demostraci´ on. 1) 2) es evidente. 2) 1) Por hip´otesis f −1 ( ) , luego σ f −1 ( )
⇒
F ⊆ A F ⊆ A − − Afirmaci´ on: f 1 (σ(F )) ⊆ σ f 1 (F ) . En efecto, definimos la familia B = B ∈ P (Y ); f −1(B) ∈ σ f −1(F ) No es dif´ıcil probra (¡Ejercicio!) que B es una σ-´ algebra de Y .
Por otro lado, observe que
f −1 ( )
B ⊆ σ f −1(F ) (3.1) En efecto, si A ∈ f −1 (B) entonces existe B ∈ B tal que A = f −1 (B) y como B ∈ B, se tiene que A = f −1 (B) ∈ σ f −1 (F ) . Adem´ as
F⊆B En efecto, si F ∈ F entonces f −1 (F ) ∈ f −1 [F ] ⊆ σ f −1 (F ) , luego F ∈ B. De (3.2) tenemos que σ(F ) ⊆ B y por (3.1) f −1 (σ(F )) ⊆ f −1 [B] ⊆ σ f −1 (F )
lo cual demuestra la Afirmaci´on y el Teorema.
(3.2)
A
Aplicaci´ on: Veamos las aplicaciones m´as frecuentes del teorema anterior: Sea (X, ) un espacio medible y f : X Y una funci´ on.
→
An´ alisis Real III
67
1. Sea Y un espacio topol´ogico, denotemos por τ a la colecci´on de sus conjuntos abiertos (topolog´ıa) y consideramos su σ-´ algebra de Borel (X ) = σ(τ ). En este caso f : X Y una funci´on nedible si y s´olo si U Y es abierto implica que f −1 (U ) .
B
⊆
→
∈ A
M´ as a´ un, si la topolog´ıa τ de Y admite base numerable medible si y s´ olo si V implica que f −1 (V ) .
∈ V
∈ A
V ⊆ τ entonces f : X → Y es una funci´on A →
R es una funci´ 2. Si Y = R es considerado con su topolog´ıa usual, entonces f : (X, ) on medible si − 1 y s´ olo si f (] , a[) , a R. En efecto, recordemos que la base de la topolog´ıa usual de R son los intervalos abiertos ]a, b[, luego f ser´a medible si y s´olo si f −1 (]a, b[) , a < b R. Pero
−∞ ∈ A ∀ ∈
]a, b[ = ]
∈ A ∀
c
− ∞, b[ ∩ ]a, +∞[= ] − ∞, b[ ∩ ] − ∞, a]
de donde f −1 (]a, b[) = f −1 (]
− ∞, b[)
∞
=]
− ∞, b[ ∩
∞
n=1
−∞
∈
1 ,a + n
c
c
∩ −∞ ∈A f −1
n=1
−∞ ∞ ∞ −∞ ∈ A ∀ ∈
1 ,a + n
−∞
3. Si Y = R = [ , + ], entonces su topolog´ıa tiene como base a intervalos del tipo ]a, b[, [ , b[ R es una funci´ y ]a, + ]. Entonces se puede demostrar que f : X on medible si y s´ o lo si − 1 f ([ , a[) , a R (¡Ejercicio!).
→
4. Sean (X, τ 1 ) e (Y, τ 2 ) dos espacios topol´ogicos. Si f : (X, τ 1 ) entonces f : (X, σ(τ 1 )) (Y, σ(τ 2 )) es medible.
→
→ (Y, τ 2) es una funci´on continua
→ R n es medible y φ : R n → R m es continua
Teorema 3.1.2 Sea (X, ) un espacio medible. Si f : X entonces φ f : X Rm es medible.
◦
A
→
Demostraci´ on. Sea U Rm abierto entonces φ−1 (U ) es abierto, luego (φ f )−1 (U ) = f −1 (φ−1 (U )) Se sigue que φ f : X Rm es medible.
⊆ ◦ ∈ A. ◦ → Teorema 3.1.3 Sea (X, A) un espacio medible. Si f , g : X → R son funciones medibles y φ : R2 → R es continua entonces la funci´on h : X → R definida por h(x) = φ(f (x), g(x)) es medible. Demostraci´ on. Sea ψ : X R2 definida por ψ(x) = (f (x), g(x)). Observe que h = φ ψ. Por el teorema anterior, basta probar que ψ es medible. Sean π 1 , π2 : R2 onicas π 1 (x1 , x2 ) = x 1 R las proyecciones can´ 2 y π 2 (x1 , y1 ) = x 2 . Observe que π 1 ψ = f y π 2 ψ = g. Sea U R abierto entonces π 1 (U ) y π 2 (U ) son abiertos y por tanto f −1 (π1 (U )), g−1 (π2 (U )) . Como ψ −1 (U ) = f −1 (π1 (U )) g −1 (π2 (U )), se sigue que ψ −1 (U ) . Esto prueba que ψ es medible.
→
◦
∈ A
◦ ∈ A
→
◦
⊆
∩
Corolario 1. Sea (X, ) un espacio medible. Si f , g : X f + g, f g, cf y f son funciones medibles.
| |
A
→ R son funciones medibles y c ∈ R entonces
R definida por φ(x1 , x2 ) = x 1 + x2 , claramente φ es continua. Se sigue que Demostraci´ on. Sea φ : R2 h : X R definida por h(x) = φ(f (x), g(x)) es medible. Pero h(x) = f (x) + g(x) = (f + g)(x), x X , luego f + g es medible. An´alogamente se prueba que f g es medible. Finalmente, sea ψ : R R definida
→
→
→
∀ ∈
An´ alisis Real III
68
◦ f )(x) = ψ(f (x)) = cf (x) = (cf )(x), ∀ x ∈ X se
por ψ(x) = cx. Claramente ψ es continua. Como (ψ sigue cf es medible.
A
→ R son funciones medibles entonces max{f, g},
Corolario 2. Sea (X, ) un espacio medible. Si f, g : X min f, g , f + y f − son funciones medibles.
{ }
Demostraci´ on. ¡Ejercicio!
Corolario 3. Sea (X, ) un espacio medible. 1A : X
A
→ R es medible si y s´olo si A ∈ A.
Demostraci´ on. ¡Ejercicio!
Teorema 3.1.4 Sea (X, ) un espacio medible y sea (f n ) una sucesi´on de funciones medibles de (X, ) en R, (R) . Se cumple:
A
B
A
1. inf f n y sup f n son medibles. 2. limsup f n y liminf f n son medibles.
→ f en X entonces f es medible.
3. Si f n
Demostraci´ on. 1. Se deduce de las igualdades: sup(f n ) =
− inf(−f n)
(inf f n )−1 ([−∞, a[) =
y
∞
f n−1 ([
−∞, a[), ∀ a ∈ R
n=1
2. Se deduce del ´ıtem anterior, puesto que limsup f n = inf (sup (f k )) n 1 k n
≥
y
≥
lim inf f n = sup(inf (f k )) n 1 k n
≥
≥
3. Como (f n ) converge puntualmente, entonces lim sup f n = lim inf f n = f . Por el ´ıtem anterior, f es medible. Observaci´ on: La parte (c) del teorema anterior nos dice que el l´ımite puntual de una sucesi´o n de funciones medibles, es medible.
→ R una funci´on diferenciable en el intervalo I , definimos la sucesi´on (f n) ⊆
Ejemplo 3.1.2 Sea f : I (I, R) como
F
f n (x) =
f (x + n1 ) 1 n
− f (x) = n
− ◦ f x +
1 n
f (x)
= n f T 1/n
− f
(x),
1 (traslaci´on). La continuidad de f implica que (f n ) es una sucesi´on de funciones n medibles, adem´as (f n ) converge puntualmente hacia f en I , se sigue que f es medible (m´as precisamente, es boreliana). donde T 1/n (x) = x +
An´ alisis Real III
3.2
69
Funciones simples
Definici´ on 3.2.1 Sea (X, ) un espacio medible, decimos que s : X si es de la forma
→ R es una funci´on simple si y s´olo
A
k
s =
ci 1Ai
i=1
k
∈ R y {Ai} ⊆ A es una partici´on de X (es decir, la sucesi´on es disjunta dos a dos y
donde c i
Ai = X ).
i=1
Observaciones: 1. Toda funci´on simple es una funci´ on medible. 2. Cuando A es medible, la funci´on caracter´ıstica de A es una funci´ o n simple. En efecto, basta considerar 1A = 1 1A + 0 1X −A
· · 3. Denotaremos por S (X, A) o, simplemente S (X ), al conjunto de todas las funciones simples en el espacio medible (X, A). k
4. Sea s =
ci 1Ai
∈ S (X ), decimos que s es no negativa si y s´olo si s ≥ 0 (es decir, s(x) ≥ 0, ∀ x ∈ i=1 X ) . Es f´acil verificar que s ≥ 0 si y s´olos si c i ≥ 0, ∀ 1 ≤ i ≤ k.
Existen dos razones fundamentales para estudiar las funciones simples: (a) Es f´acil intuir como se define la integral de las funciones simples no negativas. (b) Toda funci´on medible no negativa es el l´ımite puntual de una sucesi´on creciente de funciones simples no negativas. k
A
Definici´ on 3.2.2 Sea (X, , µ) un espacio de medida y s
∈ S (X ) no negativa de la forma s =
La integral de s en X se define como
X
k
sdµ =
ci µ(Ai )
i=1
Observaciones: 1. En el caso que c i = 0 y µ(Ai ) = 2.
X
sdµ [0,
∈ ∞].
∞ usamos el convenio 0 · ∞ = 0.
i=1
ci 1Ai .
An´ alisis Real III
70
A
3. De la definici´ on, se observa la importancia de la medida considerada sobre el espacio medible ( X, ). 4. La definici´ on anterior coincide con nuestra idea intuitiva de “volumen de una regi´on” Ejemplo 3.2.1 Sea (X, , µ) un espacio de medida y considere la funci´on constante f : X por f (x) = c. Si c 0 entonces f es una funci´ on simple, no negativa y f = c1X , luego
A
≥
→ R definida
f dµ = cµ(X )
X
En particular, por el convenio:
0 dµ = 0.
X
P
Ejemplo 3.2.2 Sea (X, (X ), δ a ) un espacio de medida, donde δ a es la medida de Dirac concentrada k
∈ X . Sea s =
en a
luego
ci 1Ai
i=1
∈ S (X ) no negativa, luego existe un ´unico i0 ∈ {1, . . . , k} tal que a ∈ Ai , 0
s(a) = c i0 Por otro lado
k
sdδ a =
X
ci δ a (Ai ) = ci0
i=1
De las dos igualdades anteriores, se llega a
sdδ a = s(a)
X
A
∈ S (X ) no negativas y c ≥ 0. Se cumplen las
Teorema 3.2.1 Sea (X, , µ) un espacio de medida, s, t siguientes propiedades: 1. s + t
≤
∈ S (X ) y
2. Si s 3. cs
(s + t)dµ =
X
≤ t entonces
∈ S (X ) y
sdµ +
X
sdµ
tdµ.
X
tdµ.
X
X
(cs)dµ = c
X
Demostraci´ on. Sean s =
sdµ
X
k
r
i=1
αi 1Ai y t =
j =1
β j 1Bj
An´ alisis ali sis Real Rea l III II I
71
1. No es dif´ dif´ıcil probar (¡Ejercicio!) que k
s + t =
r
i=1 j =1
de aqu´ aqu´ı se sigue que s que s + t
k
·
(αi + β j ) 1Ai ∩Bj
as: ∈ S (X ) y es no negativa. Adem´as: r
k
r
r
k
∩ ∩ ∩ ∩
(s + t)dµ =
(αi + β j )µ(Ai
X
Bj ) =
i=1 j =1
i=1
k
=
r
αi µ
=
Bj
i=1
j =1
k
r
αi µ (Ai ) +
Bj ) +
j =1
β j
j =1
r
Ai
i=1
µ(Ai
αi
µ(Ai
i=1
∩ Bj )
k
+
β j µ Bj
j =1
Ai
i=1
β j µ (Bj ) =
sdµ +
tdµ
X
j =1
X
2. Se tiene tiene que k
t Se sigue que t que t
− s =
r
− αi) · 1A ∩B
(β j
i=1 j =1
i
j
= s + (t (t − s), por el ´ıtem anterior − s ∈ S (X ) es no negativa, y como t = s tdµ = tdµ = sdµ + (t − s)dµ ≥ sdµ
X
X
X
X
k
3. Se sigue sigue que cs que cs =
(cαi )1Ai , luego cs luego cs
i=1
(cs) cs)dµ = dµ =
X
∈ S (X ) es no negativa y
k
k
(cαi )µ(Ai ) = c
i=1
αi µ(Ai ) = c
sdµ
X
i=1
Observaciones:
A luego s luego s ∈ S (E ) si y solo si s = s =
∈ ∈ A entonces (E, (E, AE , µE ) es un espacio de medida, ci 1E , donde {E 1 , . . . , Ek } ⊆ AE es colecci´on on disjunta d isjunta dos a dos, do s,
1. Sea (X, (X, , µ) un espacio de medida y fijemos E fijemos E
k
k
i=1
i
∈ R.
E i = E y c 1 , . . . , ck
i=1
Si s Si s = =
k
i=1
ci 1E i
∈ S (E ) es no negativa, entonces podemos definir su integral como
E
sdµE =
k
k
i=1
ci µE (E i ) =
i=1
ci µ(E i )
An´ alisis ali sis Real Rea l III II I
Se acostumbra a denotar
sdµ en sdµ en vez de
E
72
sdµE .
E
k
2. Sea s Sea s =
ci 1E i
i=1
∈ S (E ) no negativa. Recordemos que 1 E s : X → R se define como : X → 1E s(x) =
s(x), x E 0, x X
∈ ∈ − − E
k
luego 1E s =
i=1
ci 1E i + 01X −E
∈ S (X ) es no negativa, luego
k
1E sdµ = sdµ =
X
ci µ(E i ) + 0 µ(X
− − E ) =
·
i=1
sdµ
E
k
3. Sea (X, (X, , µ) un espacio de medida y sea E
∈ ∈ A.
A
integral
Dada Dada s =
i=1
sdµ. sdµ.
ci 1Ai
∈ S (X ),), vamos a definir la
E
{ ∩ E, E , . . . , Ak ∩ E } ⊆ AE es disjunta dos a dos y
En primer lugar, observe que la colecci´on on A1 k
∩ E ) = E . Luego
(Ai
i=1
k
s = s = s
=
E
y por tanto
i=1
∈ S (E )
ci 1Ai ∩E
k
sdµ = sdµ =
E
ci µ(Ai
∩ E )
i=1
Teorema 3.2.2 Sean (X, (X, , µ) un espacio de medida y A, y A, B
∈ A. Se cumplen las siguientes propiedades:
A
1. Si A Si A
⊆ B entonces
≤ sdµ
A
sdµ. sdµ.
B
2. Si µ Si µ((A) = 0 entonces
sdµ = sdµ = 0.
A
3. Si A Si A
∩ B = ∅ entonces
sdµ = sdµ =
A B
∪
A
sdµ +
sdµ
B
k
Demostraci´ on. on. Sea s Sea s = =
i=1
ci 1E i
∈ S (X ) no negativa
An´ alisis ali sis Real Rea l III II I
⊆
1. Como Como A B entonces A entonces A por tanto
73
∩ E i ⊆ B ∩ E i, ∀ 1 ≤ i ≤ k, k , luego µ(A ∩ E i ) ⊆ µ( µ (B ∩ E i ), ∀ 1 ≤ i ≤ k y, k
sdµ = sdµ =
A
k
ci µ(A
i=1
∩ E i)
≤
ci µ(B
i=1
∩ E i) =
sdµ
B
∩ A ⊆ A, A , ∀ 1 ≤ i ≤ k entonces 0 ≤ µ( µ (E i ∩ A) ≤ µ( µ(A) = 0, ∀ 1 ≤ i ≤ k. k . Se sigue que
2. Como Como E i
k
sdµ = sdµ =
A
3. Como Como A
ci µ(A
i=1
∩ E i) = 0
∩ B = ∅, tenemos:
sdµ =
A B
∪
k
k
ci µ((A ((A
i=1
∪ B) ∩ E i) =
k
=
k
ci µ(A
i=1
∩ E i) +
ci µ((A ((A
i=1
∩ E i) ∪ (B ∩ E i))
∩ E i) =
ci µ(B
i=1
sdµ +
A
sdµ
B
lo que concluye con la demostraci´on. on.
A
→ [0, → [0 , ∞[ una funci´on on simple. Entonces Entonces la
Teorema 3.2.3 Sea (X, (X, , µ) un espacio de medida y s : X funci´ on µ on µ s : [0, [0 , ] definida por
A → ∞
µs (A) =
∈ A
sdµ,
A
A
es una medida sobre X sobre X ..
Demostraci´ on. on. Sea s Sea s = =
k
k
∈ A son disjuntos dos a dos y X =
ci 1E i donde E donde E 1 , . . . , Ek
i=1
{ } ⊆ A disjunta dos a dos y denotemos A denotemos A =
Sea Aj
k
µs (A) =
sdµ = sdµ =
A
=
∞
∩ ∩ ∞
ci µ(E i
A) =
ci µ(E i
j =1 i=1
ci µ
i=1
k
Aj ) =
∞
j =1
sdµ = sdµ =
Aj
i=1
Aj , se cumple
j =1
k
i=1
E i .
∞
k
∩ Aj )
(E i
j =1
∞
=
ci
i=1
∞
j =1
∩ Aj )
µ(E i
µs (Aj )
j =1
Como µ Como µ s ( ) = 0, µ 0, µ s es no trivial.
∅
Ahora, veamos la segunda utilidad de las funciones simples.
An´ alisis Real III
A
74
→ [0, +∞] una funci´on medible. Entonces existe
Teorema 3.2.4 Sea (X, ) un espacio medible y f : X una sucesi´on (sn ) (X ) tales que
⊆ S 1. 0 ≤ s 1 (x) ≤ s 2 (x) ≤ ··· ≤ sn (x) ≤ ··· ≤ f (x), ∀ x ∈ X . 2. sn → f , en X .
Demostraci´ on. Para cada n
∈ N definamos s n : X → R como n2 i−1 · 1E + n · 1F sn = n
i=1
− 1
n,i
n
i , 1 i 2 n n y F n = f −1 ([n, ]). 2n Es claro que (sn ) es una sucesi´on de funciones medibles simples y 0 sn (x) que E n+1,2i−1 E n+1,2i = E n,i , 1 i n2n donde E n,i = f −1
i
2n
2n
,
≤ ≤
E n+1,n2n+1 Luego
(sn+1
− sn)(x) =
∞
≤ f (x), ∀ x ∈ E . Observe
≤
∪ ∀ ≤ ≤ ∪ F n+1 = F n +1 ∪ · · · ∪ E n+1,(n+1)2 n+1
0,
∈
∪ · · · ∪ E n+1,n2
n+1
∈
∪ · · · ∪ E n+1,n2
n+1
x E n+1,1 1
2n+1
,
x E n+1,2
i 1 , 2n+1
x E n+1,n2n+1+i , 1
1,
x F n+1
−
−1
≤ i ≤ 2n+1
∈ ∈
≤ sn+1, ∀ n ∈ N. Por u´ltimo, no es dif´ıcil ver que nlim s (x) = f (x), ∀ x ∈ X . →∞ n
se sigue que sn
Observaci´ on: El teorema anterior asegura que las “sumas de Lebesgue” se aproximan a la “integral de Lebesgue”
3.3
Integraci´ on de funciones medibles no negativas
→ [0, ∞] una funci´on medible, denotemos S f = {s ∈ S (X ) ; 0 ≤ s ≤ f } Por el Teorema 2.6.1, S f = ∅. Definici´ on 3.3.1 Sea (X, A, µ) un espacio de medida, y f : X → [0, ∞] una funci´on medible. La integral Sea f : X
de f en X con respecto a la medida µ se define como
X
f dµ = sup
∈
s S f
X
sdµ
An´ alisis Real III
75
Observaciones: 1. Por definici´ on
f dµ [0,
∈ ∞]. En el caso que
X
a la medida µ. En este cas, denotaremos 1 [0,
L
f dµ
∈ R se dice que f es integrable en X respecto
X
∞] (X, µ) = f : X → [0, +∞]; f es medible y
fdµ < +
X
∞
2. La definici´ on anterior, geom´etricamente, nos dice que la integral de una funci´on medible f es el supremo de las ´areas de los ”rect´angulos” inscritos a la gr´afica de f . 3. Cuando s es una funci´on simple, aparentemente tendr´ıamos dos definiciones distintas para la integral, sin embargo, como es f´acil demostrar, ambas definiciones coinciden.
A
Teorema 3.3.1 Sea (X, , µ) un espacio de medida, f, g : X entonces
≤
f dµ
X
gdµ.
→ [0, ∞] funciones medibles.
Si f
≤g
X
≤ g entonces S f ⊆ S g , luego f dµ = sup sdµ ≤ sup s∈S s∈S
Demostraci´ on. Como f
X
A
f
X
g
sdµ =
X
gdµ.
∈ A
Sea (X, , µ) un espacio de medida y E . En el espacio de medida (E, E de la funci´ on medible f : E [0, ] se define como
→ ∞
f dµ = sup
E
sdµ; s
E
X
AE , µE ), la integral sobre
∈ S (E ) y 0 ≤ s(x) ≤ f (x), ∀ x ∈ E
Teorema 3.3.2 Sea (X, , µ) un espacio de medida y E entonces 1E f : X [0, ] es una funci´ on medible y
∈ A. Si f : E → [0, ∞] es una funci´on medible,
A → ∞
f dµ =
E
∈ S
≤
≤
∀ ∈
sdµ =
E
≤
1E fdµ.
X
Demostraci´ on. Sea s (E ) tal que 0 s(x) simple y 0 1 E s(x) 1 E f (x), x X . Luego
≤
≤ f (x), ∀ x ∈ E luego 1E s : X → [0, ∞] es medible
≤
1E sdµ
X
1E f dµ
X
∈ S (X ) tal que 0 ≤ s(x) ≤ 1E f (x), ∀ x ∈ X . Se sigue que s(x) = 0, ∀ x ∈ X − E y 0 ≤ s(x) ≤ f (x), ∀ x ∈ E . Luego s = s ∈ S (E ) con 0 ≤ s(x) ≤ f (x), E ∀ x ∈ E ; y se tiene sdµ = sdµ + sdµ = sdµ ≤ f dµ Se sigue que
E
f dµ
1E f dµ. Por otro lado, sea s
X
X
E
X E
−
E
E
An´ alisis Real III
Luego
≤
1E f dµ
X
f dµ.
76
E
Teorema 3.3.3 Sean (X, , µ) un espacio de medida, f : X Se cumplen las siguientes propiedades:
A
1. Si A
⊆ B entonces
→ [0, +∞] una funci´on medible y A, B ∈ A.
≤ f dµ
A
f dµ.
B
2. Si µ(A) = 0 entonces
f dµ = 0.
A
Demostraci´ on. An´ aloga a la del Teorema 2.6.2. Queda como ejercicio para el lector.
A
Teorema 3.3.4 (Teorema de la convergencia mon´ otona de Lebesgue) Sea (X, , µ) un espacio de medida y sea (f n ) una sucesi´on de funciones medibles en X tales que
≤ f 1(x) ≤ f 2(x) ≤ f 3(x) ≤ ·· · ≤ ∞, ∀ x ∈ X . (b) f n → f en X . (a) 0
Entonces f es medible y lim
n
→∞
f n dµ =
X
f dµ
X
Demostraci´ on. Del Teorema 3.1.4, se sigue que f es medible.
⊆ ≤ Como f n f n dµ
X
f n+1 en X , se cumple que
[0,
≤
f n dµ
X
∀ ∈ N . De esta manera, la sucesi´on
f n+1 dµ, n
X
∞] es mon´otona creciente, y por tanto, es convergente, m´as a´un lim
n
→∞
Adem´ as, como f n
≥ ∈ ≤ ∀ ∈ ≤
f n dµ = α = sup
X
≤ f en X entonces
f n dµ; n
1
[0,
X
f n dµ
X
→∞
N, luego
X
lim
n
f dµ, n
∞]
f n dµ = α
X
f dµ
X
∞ ∞ ∈ S ≤ ≤ ∈ { ∈ ≥ } ∀ ∈ Observe que An = (f n − cs)−1 ([0, ∞]) y como f n y s son medibles, entonces {An }n∈ ⊆ A. Adem´ as, como (f n ) es creciente, se tiene que A1 ⊆ A 2 ⊆ A3 ⊆ ·· · Para probar la desigualdad contraria, observe que si α = entonces no hay nada que probar. Trabajemos entonces con la condici´ on de que α < + . Sea s (X ) tal que 0 s f en X y fijemos c ]0, 1[. Definimos An = x X ; f n (x) cs(x) , n N N
An´ alisis Real III
Afirmaci´ on: X =
∞
∈
An . En efecto, sea x X , si f (x) > 0 entonces f (x) > cs(x). Como lim f n (x) =
n=1
n
→∞
∈
∈
f (x), se tiene que existe n 0 N tal que f n0 (x) > cs(x), luego x A n0 . Cuando f (x) = 0, se tiene que f n (x) = 0, n N y s(x) = 0, y por tanto x afirmaci´ on est´a probada. Por otro lado, se tiene que
77
∀ ∈
≥
f n dµ
X
≥
f n dµ
An
csdµ = c
An
∈ An , ∀ n ∈ N.
La
∀ n ∈ N
sdµ = cµs (An ),
An
y por tanto, usando el Teorema 3.3.3, tenemos α = lim n
→∞
≥ c nlim →∞
f n dµ
X
sdµ = c lim µs (An ) n
An
→∞
y, por el Teorema 2.3.3 y la afirmaci´on anterior:
≥ cµs
α
∞
An
= cµs (X ) = c
sdµ
X
n=1
y como 0 < c < 1 fue arbitrario, se tiene que
≥
α
∀ s ∈ S (X ) tal que 0 ≤ s ≤ f
sdµ,
X
De esta manera α
≥
f .
X
Veamos como se aplica el teorema de la convergencia dominada para demostrar propiedades de la integral.
A
→ [0, ∞] son funciones medibles y c ≥ 0.
Teorema 3.3.5 Sea (X, , µ) un espacio de medida. Si f, g : X Se cumplen: 1.
(f + g)dµ =
X
2.
f dµ +
X
(cf )dµ = c
X
gdµ
X
f dµ.
X
⊆ S (X ) tales que 0 ≤ t 1 ≤ t 2 ≤ ·· · ≤ g y
Demostraci´ on. 1. Por el Teorema 3.2.4, existen (sn ), (tn ) 0
≤ s1 ≤ s2 ≤ ·· · ≤ f,
→ f,
sn
Por el teorema de la convergencia mon´otona, se tiene que lim
n
→∞
X
sn dµ =
X
f dµ
y
lim
n
→∞
X
tn dµ =
X
gdµ
→ g
tn
An´ alisis Real III
⊆ S (X ) es tal que 0 ≤ s 1 + t1 ≤ s2 + t2 ≤ ·· · ≤ f + g
78
Por otro lado, tenemos que (sn + tn )
y
sn + tn
→ f + g
usando nuevamente el teorema de la convergencia mon´otona, tenemos
(f + g)dµ = lim n
→∞
X
(sn + tn )dµ = lim n
→∞
X
sn dµ +
tn dµ =
X
X
f dµ +
X
gdµ
X
La demostraci´on de 2) es an´aloga y queda como ejercicio.
Corolario Sean (X, , µ) un espacio de medida, f : X
A
Si A
∩ B = ∅ entonces
f dµ =
∪
A B
f dµ +
A
→ [0, +∞] una funci´on medible y A, B ∈ A.
f dµ
B
Demostraci´ on. ¡Ejercicio!
Podemos generalizar el Teorema 3.3.5 a series. Teorema 3.3.6 Sea (X, , µ) un espacio de medida y sea (f n ) una sucesi´on de funciones medibles, no negativas en X tales que
A
∞
f n (x) = f (x),
∀ x ∈ X
n=1
Entonces f : X
→ [0, ∞] es medible y
f dµ =
X
∞
n=1
f n dµ
X
n
Demostraci´ on. Denotemos σn =
f k (sucesi´on de sumas parciales) Por hip´otesis se sigue que (σn )
k=1
es una sucesi´on de funciones medibles en X tales que 0
≤ σ1 ≤ σ2 ≤ ·· · ≤ f
y
σn
→ f
Por el teorema de la convergencia mon´otona y el Teorema 3.3.5, tenemos:
X
f dµ = lim
→∞
n
n
σn dµ = lim
→∞
n
X
n
f n dµ = lim
X
k =1
→∞
n
k=1
X
f n dµ =
∞
k=1
f k dµ
X
A
Teorema 3.3.7 (Lema de Fatou) Sea (X, , µ) un espacio de medida y sea (f n ) una sucesi´o n de funciones medibles en X , no negativas. Entonces
(lim inf f n ) dµ
≤ liminf
X
f n dµ
X
{ } funciones medibles no negativas tales que 0 ≤ g 1 ≤ g 2 ≤ g 3 ≤ ·· ·.
Demostraci´ on. Denotemos gk = inf f n . Por el Teorema 3.1.4 se tiene que (gk ) es una sucesi´on de n k
≥
An´ alisis Real III
{ }
79
{ ≥ { }} = lim inf f n, por el teorema de la convergencia mon´otona
Como lim gk = sup gk = sup inf f n k
→∞
k 1
≥
k 1 n k
≥
(lim inf f n ) dµ = lim k
X
→∞
gk dµ
X
Por otro lado, se tiene que
≤ ≤ ≤ ·· · ≥ ≤ ∀ ≥ ≤ ∀ ≥ 0
≤
g1 dµ
g2 dµ
X
luego
⊆ gk dµ
[0,
X
Adem´ as, como g k
∞] es convergente y klim →∞
≤ f n, ∀ n
g3 dµ
X
k entonces
X
gk dµ = sup
≥
gk dµ
gk dµ
X
f n dµ, n
X
k y por tanto
X
inf
f n dµ ,
≥
n k
X
gk dµ .
k 1
X
k
1
X
Se sigue que lim
k
→∞
gk dµ = sup k 1
≥
X
y por tanto
≤ ≤ gk dµ
sup
inf
f n dµ
n k
≥
k 1
≥
X
(lim inf f n ) dµ
= lim inf
X
f n dµ
X
lim inf
f n dµ .
X
A
→ [0, ∞] una funci´on medible.
Teorema 3.3.8 Sea (X, , µ) un espacio medible y f : X funci´ on µ f : [0, ] definida por
A → ∞
µf (A) =
gdµ f =
X
A
gfdµ
X
{ }n∈ ⊆ A colecci´on disjunta dos a dos, y denotemos A =
Demostraci´ on. Sea An
∞
N
probar (¡Ejercicio!) que
·
Entonces la
∈ A
f dµ,
A
es una medida sobre X y adem´as
X
∞
(1A f ) (x) =
·
(1An f ) (x),
n=1
An . No es dif´ıcil
n=1
∀ x ∈ X
Por otro lado, como (1 An f ) es una sucesi´on de funciones medibles en X no negativas, por el Teorema 3.3.6 tenemos
·
µf (A) =
A
f dµ =
X
·
1A f dµ =
∞
n=1
X
·
1An f dµ =
∞
n=1
An
f dµ =
∞
n=1
µf (An )
An´ alisis Real III
80
∅ ∞, la medida es no trivial. αi 1A ∈ S (X ) no negativa, se cumple
luego µ f es una medida, y como µ f ( ) = 0 < n
Por otro lado sea s =
i=1
i
n
n
∀ ∈ S sdµf =
X
αi µf (Ai ) =
i=1 n
sdµf =
sfdµ,
X
Sea g : X
sfdµ =
Ai
i=1
s
i=1
αi f dµ
Ai
αi f dµ
Ai
i=1
f dµ =
Ai
i=1 n
sfdµ =
X
De esta manera
αi
n
(X ) no negativa.
X
→ [0, ∞] medible, entonces existe (sn) ⊆ S (X ), tales que 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ ·· · ≤ g y sn → g
Por el Teorema de la convergencia mon´otona:
gdµ f = lim n
→∞
X
sn dµf = lim n
→∞
X
sn f dµ
X
Como f es medible no negativa, (sn f ) es una sucesi´on de funciones medibles en X tales que 0
≤ s1f ≤ s2f ≤ ·· · ≤ gf
→ gf
y
sn f
Nuevamente, por el Teorema de la convergencia mon´otona, tenemos lim
→∞
n
sn f dµ =
X
gfdµ
X
El teorema se deduce de las dos ´ultimas igualdades.
A
→ [0, ∞]
Teorema 3.3.9 (Desigualdad de Markov) Sea (X, , µ) un espacio de medida y sea f : X medible. Se cumple 1 µ([f C ]) fdµ, C > 0 C X
≥ ≤
≥
{ ∈
≥ C }.
donde [f C ] = x X ; f (x)
∀
Demostraci´ on. Como f es medible, se tiene que [f C ] = f −1 ([c,
≥
∞]) ∈ A, ∀ C > 0
≥ C · 1{f ≥C } , luego f dµ ≥ C · 1{f ≥C } dµ = C µ({f ≥ C }).
Adem´ as, es claro que f
X
X
An´ alisis Real III
81
∈ L1[0,∞](X, µ), entonces
A
Corolario. Sea (X, , µ) un espacio de medida y sea f µ([f = +
∞]) = 0
Demostraci´ on. En primer lugar, se verifica que [f = + ] =
∞
∞ [f ≥ n]. n=1 Por otro lado, como {[f ≥ n]} ⊆ A satisface [f ≥ 1] ⊇ [f ≥ 2] ⊇ [f ≥ 3] ⊃ ·· · y por la desigualdad de
Markov
≥
µ ([f 1])
≤
fdµ < +
X
∞
Luego, por el Teorema 2.3.3 y nuevamente por la desigualdad de Markov, tenemos:
∞
µ ([f = + ]) = µ
∞
≥
[f n]
n=1
≥ ≤
= lim µ ([f n]) n
→∞
1 lim n→∞ n
f dµ = 0
X
Observaci´ on: El rec´ıproco del Corolario anterior es falso. A manera de aplicaci´on, consideremos el espacio de medida ( N, (N), µ), en donde µ es la medida de conteo. Se sigue que cualquier funci´on x : N [0, + ] es medible, conclu´ımos que las funciones medibles en , no negativas son las sucesiones de n´umeros reales (extendido) no negativas N
P
→
Afirmaci´ on:
xdµ =
N
∞
∞
xn . En efecto, dado k
n=1
sk (n) =
∈ N, definimos s k : N → [0, +∞] como
xn , n k 0, n>k
≤
Observe que k
sk =
·
xn 1{n} + 0 1[n>k] ,
n=1
luego (sk )
⊆ S (N) y se cumple 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ s3 ≤ ·· · ≤ x en N
y
∀ k ∈ N lim sk = x en N
k
→∞
Por el teorema de la convergencia mon´otona de Lebesgue:
N
xdµ =
lim
k
→∞
k
sk dµ = lim k
N
→∞
n=1
{}
·
xn µ( n ) + 0 µ([n > k]) =
n=1
lo que prueba la afirmaci´on. 1 [0,+
∈ L
Finalmente, se tiene que x = (xn )
∞](N, µ) si y solo si
∞
n=1
∞
∈ [0, +∞[.
xn
xn
An´ alisis Real III
3.4
82
Integraci´ on de funciones medibles reales o complejas
Dada f : X
→ [−∞, +∞], sabemos que |f | = f + + f −
f = f +
y
− f −
Estas observaciones nos permiten definir la integral de una funci´on en t´ erminos de las integrales de su parte positiva y negativa.
A
→ [−∞, ∞] una funci´on medible y A ∈ A.
Definici´ on 3.4.1 Sea (X, , µ) un espacio de medida, f : X
1. Decimos que f es integrable en A (con respecto a la medida µ) si y s´olo si f + o f − son integrables en A con respecto a la medida µ. 2. Si f es integrable en A, la integral de f en A (con respecto a la medida µ) se define como
A
f dµ =
+
f dµ
A
−
f − dµ
A
Observaciones: +
1. Si f y f − no son integrables en A entonces raz´ on que exclu´ımos este caso de la definici´ on.
+
f dµ
A
−
f − dµ no estar´ıa definido, es por esta
A
→ [−∞, +∞] es integrable en A entonces f dµ ∈ [−∞, +∞]. A integrables f tales que f dµ ∈ R son de especial inter´es en la teor´ıa.
2. Si f : X
Aquellas funciones
X
A
Definici´ on 3.4.2 Sea (X, , µ) un espacio de medida. Definimos el conjunto 1
L
R
(X, µ) =
f : X
→ [−∞, +∞]; f es medible y
| |
∞
f dµ <
X
Observaciones: 1. Como f es medible entonces f = f + + f − es medible, no negativa y tiene sentido hablar de su integral.
| |
2. Los elementos de
L1 (A, µ) son llamados funciones finito-integrables . R
1
3. Se puede demostrar que f ∈ LR (A, µ) si y s´olo si f , f − ∈ L1[0,∞] (A, µ) si y s´olo si
A
+
Teorema 3.4.1 Sea (X, , µ) un espacio de medida y A
A
∈ R.
f dµ
∈ A, se cumplen las siguientes propiedades:
An´ alisis Real III 1. 2.
L1 (A, µ) es un R -espacio vectorial. R
f dµ +
A
(cf )dµ = c
A
1
∈ L
R
R
∀ ∈ L1 (A, µ), ∀ c ∈ R.
f dµ, f
R
≤ g en A, entonces
(A, µ) son tales que f
≤ | | ∀ ∈ L
f dµ
A
∈ L1 (A, µ)
∀
gdµ, f , g
A
A
4. Si f , g 5.
(f + g)dµ =
A
3.
83
f dµ,
1
f
R
A
6. Si µ(A) = 0 entonces
≤
f dµ
A
gdµ
A
(A, µ).
f dµ = 0.
A
Demostraci´ on.
∈ R y f , g ∈ L1 (A, µ), como |αf + βg | ≤ |α||f | + |β ||g|, entonces, por el Teorema 3.3.1:
1. Sean α, β
R
|
≤ | || |
αf + βg dµ
|
A
Por tanto αf + βg
|| ||
[ α f + β g ] dµ = α
| || |
A
|| ||
f dµ + β
A
g dµ <
∞
A
∈ L1 (A, µ). R
∈ L1 (A, µ), no es dif´ıcil probar que f + + g+ − (f + g)+ = f − + g− − (f + g)− ≥ 0 Denotando h = f + + g+ − (f + g)+ = f − + g − − (f + g)− , tenemos
2. Sean f , g
R
h + (f + g)+ = f + + g +
y
h + (f + g)− = f − + g−
y como todas las funciones son no negativas, tenemos
hdµ +
A
+
(f + g) dµ =
A
+
f dµ +
A
+
g dµ
y
A
hdµ +
A
(f + g)− dµ =
A
f − dµ +
A
A
Restando t´ermino a t´ermino
A
+
(f + g) dµ
−
(f + g)− dµ =
A
A
+
f dµ
− A
f − dµ +
A
de donde se obtiene el resultado.
∈ L1 (A, µ) y c ∈ R, no es dif´ıcil probar que: Si c ≥ 0 entonces (cf )+ = cf + y (cf )− = cf − Si c < 0 entonces (cf )+ = −cf − y (cf )− = −cf + .
3. Sean f
R
+
g dµ
− A
g − dµ
g− dµ
An´ alisis Real III
84
Considerando el caso c < 0 (el otro es an´alogo), tenemos
+
(cf ) dµ
A
−
(cf )− dµ =
A
− A
( cf − )dµ −
−
+
( cf )dµ = c
A
+
f dµ
A
− c
f − dµ
A
de donde se deduce el resultado.
− f ≥ 0, se tiene
−
− f )dµ ≥ 0. 5. Se sigue del ´ıtem anterior y del hecho que −|f | ≤ f ≤ |f |. 4. Como g
gdµ
A
f dµ =
A
(g
A
6. Como µ(A) = 0, por el Teorema 3.3.3 tenemos
f dµ =
A
+
f dµ
A
Observaci´ on: Del teorema anterior, se tiene que la funci´on I :
−
f − dµ = 0
1
L (A, µ) → R definida por I (f ) =
es una funcional lineal mon´otono.
A
R
f dµ,
A
A continuaci´on, extendemos el concepto de integraci´on a funciones complejos valoradas.
A
→ C una funci´on medible y A ∈ A.
Definici´ on 3.4.3 Sea (X, , µ) un espacio de medida, f = u +iv : X
1. Decimos que f es finito-integrable en A (con respecto a la medida µ) si y s´olo si u y v son finitointegrables en A con respecto a la medida µ. 2. Si f es finito-integrable en A, la integral de f en A (con respecto a la medida µ) se define como
f dµ =
A
udµ + i
A
vdµ
A
3. Definimos el conjunto 1
L
C (A, µ)
=
f : A
→ C; f es medible y
Teorema 3.4.2 Sea (X, , µ) un espacio de medida y A
A
L1 (A, µ) es un C -espacio vectorial. 2. (f + g)dµ = f dµ + gdµ, ∀ f , g ∈ L1 (A, µ) 1.
C
A
3.
A
A
(cf )dµ = c
A
4.
≤ | |
∀ ∈ L1 (A, µ), ∀ c ∈ R.
f dµ, f
A
f dµ
C
∀ f ∈ L1 (A, µ).
f dµ,
A
C
A
C
| |
∞
f dµ <
A
∈ A, se cumplen las siguientes propiedades:
An´ alisis Real III
5. Si µ(A) = 0 entonces
85
∀ f ∈ L1 (A, µ).
f dµ = 0,
A
C
Demostraci´ on.
∈ C y f = u + iv ∈ L1 (A, µ), se cumple cf = (αu − βv) + i(αv + βu), luego
3. Sea c = α + iβ
C
(cf )dµ =
A
− − (αu
βv)dµ + i
(αv + βu)dµ
A
=
A
α
udµ
β
vdµ + i α
A
A
= (α + iβ )
udµ + i
vdµ
A
4. Denotemos z =
A
=
f dµ
A
∈ C, luego existe α ∈ C, con |α| = 1, tal que αz = |z|, luego
| | ≤ | | ≤ |
f dµ
= c
A
udµ
A
f dµ
A
vdµ + β
A
z = α
f dµ =
A
αfdµ =
A
Re(αf ) dµ
A
| |
Re(αf )dµ + i
A
αf dµ =
A
|
Im(αf )dµ =
A
Re(αf )dµ
A
f dµ
A
A
Teorema 3.4.3 (Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue) Sea (X, , µ) un espacio de medida y sea (f n ) una sucesi´on de funciones medibles sobre X a valores complejos que satisface las dos condiciones siguientes: (a) f n
→ f en X . (b) Existe g ∈ L1[0,∞] (X, µ) tal que |f n (x)| ≤ g(x), ∀ x ∈ X Entonces f ∈ L1 (X, µ) tal que C
lim
→∞
n
| X
f n
− f |dµ = 0
y
lim
→∞
n
X
f n dµ =
f dµ
X
Demostraci´ on. Aplicando el Teorema 3.1.4 la parte real e imaginaria de f , se concluye que f es medible. Adem´ as, de la hip´otesis (a) se tiene f n f y por (b) se concluye que f g, luego
| | → | |
| | ≤
| | ≤ f dµ
X
X
∈ L1 (X, µ).
De esta manera, hemos probado que f
C
∞
gdµ <
An´ alisis Real III
| − | ≤ | | | | ≤
Por otro lado, de (b) se tiene que f n f f n + f 2g y de esta manera (2g sucesi´ on de funciones medibles en X no negativas. Por Fatou:
lim inf (2g
X
− |f n − f |) dµ ≤ liminf
− |f n − f |) dµ
(2g
X
86
− |f n − f |) es un
(3.3)
| − f | → 0, luego lim inf (2g − |f n − f |) = lim(2g − |f n − f |) = 2g
Pero por (a) tambi´en se tiene que f n
Adem´ as
lim inf
(2g
X
− |f n − f |) dµ =
lim inf 2
− | − | | − |
gdµ
f n
X
= 2
gdµ
− lim sup
X
f dµ
X
f n
f dµ
X
Reemplazando las dos ´ultimas igualdades en (3.3), llegamos a
2gdµ
X
≤ 2
gdµ
X
por tanto limsup
− lim sup
|
f n
X
| − f | ≥ 0 se llega a que
y como f n
0 luego lim n
→∞
| X
|
≤ lim inf
− f |dµ
f n
X
f n
X
− f |dµ
− f |dµ ≤ 0
limsup
|
− f |dµ
f n
X
≤
0
f n
− f |dµ = 0.
Finalmente, como 0
≤
f n dµ
X
3.5
≤
|
− ≤ | − | f dµ
f n
X
lim
n
→∞
f n dµ =
X
∀ ∈ N, se tiene que
f dµ, n
X
f dµ.
X
Conjuntos de medida nula
En lo que sigue, emplearemos la siguiente notaci´on. Sea (X, , µ) un espacio de medida, decimos que una propiedad P (x) se cumple en casi todo punto de X (lo que denotamos c.t.p. de X ) si y s´olo si existe un conjunto N con µ(N ) = 0 tal que P (x) se cumple para todo x X N . Por ejemplo decimos que la sucesi´on (f k ) (Rm ; Rn ) converge en casi todo punto de X hacia una funci´ on f (Rm ; Rn ), lo que denotamos f k f c.t.p. de X si y s´olo si existe N (Rm ) conjunto de medida cero tal que lim f k (x) = f (x), x Rm N .
A
∈ A
k
→∞
⊆ F → ∀ ∈ −
∈ −
⊆B
∈ F
An´ alisis Real III
A
87
→ C funciones medibles tales que f =
Teorema 3.5.1 Sea (X, , µ) un espacio de medida y f, g : X g c.t.p. de X . Si A
∈ A entonces
f dµ =
A
gdµ.
A
∈ A con µ(N ) = 0, tal que f (x) = g (x), ∀ x ∈ X − N .
Demostraci´ on. Por hip´otesis, existe N A , se cumple
∈ A
f dµ =
A
An´ alogamente
f dµ +
A N
f dµ =
N
−
gdµ =
A
Dado
f dµ
A N
−
gdµ
A N
−
− N , de las dos igualdades anteriores el resultado se sigue. Sea (X, A, µ) un espacio de medida y sea N ∈ A con µ(N ) = 0. Si ∅ = M ⊆ N , ser´ıa dable que µ(M ) = 0, sin embargo puede ocurrir que M ∈ / A. De esta manera, necesitamos extender la medida µ a un σ-´ algebra que contenga a A y tal que esta σ-´ algebra contenga a todos los subconjuntos de N ∈ A y como f = g en A
tales que µ(N ) = 0. Pero ¿siempre es posible construir esta extensi´ on? La respuesta es afirmativa (ver lista de ejercicios). Esta extensi´on, se llama completamiento de la medida µ y la nueva medida obtenida es llamada completa . Como toda medida se puede extender a una medida completa, de ahora en adelante vamos a suponer que todas las medidas son completas. Teorema 3.5.2 Sea (X, , µ) un espacio de medida, f : X
A
f dµ = 0 entonces f = 0 en c.t.p. de A.
→ [0, ∞] funci´on medible y A ∈ A.
Si
A
Demostraci´ on. Defino S n =
∈
x A; f (x)
≥
∀ ∈
1 , n n
∞
N =
{ ∈ A; f (x) > 0}. Es claro que
N y N = x
S n
n=1
Por otro lado, para n
∈ N, tenemos 0=
A
≥
f dµ
S n
1 1 dµ = µ(S n ) n n
≥
f dµ
S n
∀ ∈ N. Se sigue que µ(N ) = 0 y por tanto f = 0 c.t.p. de A. Corolario. Sea (X, A, µ) un espacio de medida y sea f ∈ L1 (X, µ). Si f dµ = 0, ∀ A ∈ A entonces de donde µ(S n ) = 0, n
C
A
f = 0 c.t.p. de X .
Demostraci´ on. ¡Ejercicio!
A existe α ∈ C tal que αf = |f | c.t.p. de X .
1
∈ L (X, µ). Si
Teorema 3.5.3 Sea (X, , µ) un espacio de medida y sea f
C
X
| |
f dµ =
f dµ entonces
X
An´ alisis Real III
Demostraci´ on. Denotemos z =
f dµ
X
| | | | −
f dµ =
X
X
88
∈ C, luego existe α ∈ C, con |α| = 1, tal que αz = |z|, luego
f dµ = z = α
| |
X
f dµ =
αfdµ =
X
Re(αf )dµ
X
Se sigue que X [ f Re(αf )] dµ = 0, luego f Re(αf ) = 0 c.t.p. de X , por tanto αf = Re(αf ) = 0 c.t.p. de X , de esta manera αf R c.t.p. de X . Luego f = αf = Re(αf ) = αf c.t.p. de X .
∈
| |−
| | | |
| |
Cap´ıtulo 4
Los Espacios L p 4.1
Los espacios
L p
En lo sucesivo K denotar´a a R o a C .
A
Definici´ on 4.1.1 Sea (X, , µ) un espacio de medida y p
≥ 1.
1. Definimos el conjunto p
L
K (X, µ)
=
→ K; f es medible y
f : X
| |
∞
f p dµ <
X
∈ L p (X, µ), entonces denotaremos
2. Si f
K
f p =
| | f p dµ
1
p
X
∈ L p (X, µ) si y s´olo si |f | p ∈ L1[0,+∞](X, µ). Definici´ on 4.1.2 Sea (X, A, µ) un espacio de medida. 1. Decimos que la funci´ on medible f : X → K es esencialmente acotada si y s´ olo si existe una constante C = C (f ) > 0 tal que |f (x)| < C, c.t.p. de X. Observaci´ on: f
K
2. Definimos el conjunto
L∞ (X, µ) = {f : X → K; f es medible y esencialmente acotada} K
∈ L∞ (X, µ), entonces denotamos f ∞ = inf {C > 0; |f (x)| < C c.t.p. de X }
3. Si f
K
89
An´ alisis Real III
90
∈ L∞ (X, µ) y α ∈ K entonces 1. f + g ∈ L∞ (X, µ) y f + g ∞ ≤ f + g ∞ . 2. αf ∈ L∞ (X, µ) y αf ∞ = |α| · f ∞ .
Teorema 4.1.1 Si f , g
K
K
K
Demostraci´ on. 1.) Como f, g c.t.p. de X , luego
∈ L∞ (X, µ) entonces | f (x)| ≤ f ∞ c.t.p. de X y | g(x)| ≤ g∞ K
|(f + g)(x)| ≤ |f (x)| + |g(x)| ≤ f ∞ + g∞ c.t.p. de X De esta manera f + g ∈ L∞ (X, µ) y f + g ∞ ≤ f + g∞ . Observaci´ on: L ∞ (X, µ) es un K-espacio vectorial. Podemos probar tambi´ en que los conjuntos L p (X, µ) ( p ≥ 1) son espacios vectoriales, sin embargo K
K
K
nosotros lo obtendremos como consecuencia de algunas propiedades sumamente ´utiles. Lema 4.1.1 Si a,b > 0 y 0 < t < 1 se cumple at b1−t
≤ at + b(1 − t)
≤ b, observe que
Demostraci´ on. Supongamos que 0 < a t 1 t
ab− con
b a
t 1 1 t
≤ at + b(1 − t) ⇔ a − b −
≤
b t + (1 a
⇔ b a
− t)
1 t
−
≤ t + ab (1 − t)
≥ 1. Lo anterior nos lleva a considerar la funci´on φ : [1, +∞[ → R definida por φ(x) = t + x(1
∈
− t) − x1−t
donde t ]0, 1[ fijo. Como φ (x) = 1 t (1 t)x−t = (1 t)(1 x−t ) y x 1 tenemos que φ (x) por tanto si 1 x entonces 0 = φ(1) φ(x) = t + x(1 t) x1−t y por tanto
≤
−− −
−
−
≥ ≤ − − x1−t ≤ t + x(1 − t), ∀ x ≥ 1
≥ 0 luego φ es creciente,
b 1, el lema se sigue, bajo la hip´otesis que 0 < a b y 0 < t < 1. a En el caso que 0 < b a, como 1 t ]0, 1[ , usando la parte anterior (para 1 t en vez de t) tenemos
Tomando x =
≥
≤
− ∈
b1−t a1−(1−t) es decir y el Lema est´a probado.
≤
−
≤ b(1 − t) + a(1 − (1 − t))
at b1−t
≤ at + b(1 − t)
An´ alisis Real III Definici´ on 4.1.3 Sea 1 < p < +
91
∞. Decimos que q ∈ R es el conjugado de p si y s´olo si 1 1 + = 1. p q
Observaciones: 1. Si q es conjugado de p entonces q =
p
p
− 1 . Se sigue que 1 < q < ∞.
2. El u ´ nico n´ umero p > 1 que es conjugado consigo mismo es p = 2. En efecto: p es conjugado a p si 1 1 y s´ olo si + = 1 si y s´olo si p = 2. p p 3. Sean p y q conjugados entonces q =
p
p
− 1 . Observe que p
lim q = lim + +
p
→1
p
Por esta raz´on se adoptar´a el convenio que 1 e
→1 p − 1
=
∞
∞ son conjugados.
Lema 4.1.2 (Desigualdad de Young) Si p y q son conjugados, 1 < p, q < + 1
1
ap bq
∞, entonces
≤ pa + q b , ∀ a, b ≥ 0
Demostraci´ on. Si a = 0 o´ b = 0, la desigualdad es obvia. Trabajemos entonces con el caso a,b > 0. 1 1 Como 1 < p < + se tiene que 0 < < 1. Aplicando el Lema 4.1.1 para t = , se tiene p p
∞
1
1
1
ap b −p
≤
−
1 a + b 1 p
1 p
De aqu´ı la desigualdad se sigue.
Teorema 4.1.2 (Desigualdad de H¨ older) Sean p, q q 1 f p g q . K (X, µ) y f g 1 K (X, µ) entonces f g
L
∈ L
≤ ·
∈ [1, ∞] conjugados.
Demostraci´ on. Primeramente consideremos el caso p = 1 y q =
Si f
∞. Como
|(f g)(x)| = |f (x)| · |g(x)| ≤ |f (x)| · g∞ c.t.p. de X se tiene que
| X
|
≤ | | ·
f g dµ
f
X
g ∞ dµ =
∈ L1 (X, µ) y f g1 ≤ f 1 · g∞.
Se sigue que f g
K
| | f dµ
X
1 · g∞
g ∞ = f
∈ L p (X, µ) y g ∈ K
An´ alisis Real III
∞
92
Sea ahora 1 < p, q < . Observe que si f = 0 c.t.p. de X o´ g = 0 c.t.p. de X , la desigualdad es trivial. Trabajemos entonces con el caso f = 0 c.t.p. de X y g = 0 c.t.p. de X . Se sigue que f p > 0 f (x) p g(x) q y g q > 0. Para x X , tomando a = y b = en la desigualdad de Young tenemos f p g qq p
∈
| | | | |f (x)| · |g(x)| ≤ 1 |f (x)| p + 1 |g(x)|q f p gq pf p p q gqq
luego
|f g| dµ ≤ 1 pf p p X f p g q
es decir
1
f p gq
por tanto
|
|
1 f dµ + q g
| |
p
X
| |
g q dµ
qq
X
| ≤ p1 + q 1 = 1
f g dµ
X
| ≤ f p gq
f g dµ
X
∈ L1 (X, µ) y f g1 ≤ f p · gq .
As´ı, f g
K
Un caso particular de este resultado, ocurre cuando p = q = 2. Corolario. (Desigualdad de Cauchy-Schwartz) Si f, g fg 1 f 2 g 2 .
≤ ·
Teorema 4.1.3 (Desigualdad de Minkowski) Si 1 p f p + g p . K (X, µ) y f + g p
L
≤
∈ L2 (X, µ) entonces f g ∈ L1 (X, µ) y K
K
≤ p < ∞ y f, g ∈ L p (X, µ) entonces f + g ∈ K
Demostraci´ on. Primeramente consideremos el caso p = 1. Se cumple
|
≤ | |
f + g dµ
|
X
[ f + g ]dµ =
||
X
| | | | f dµ +
X
g dµ = f 1 + g
1
X
1 (X, µ) y f + g Hemos probado que f + g K En el caso que 1 < p < , sea A = [ f partici´ on de X . Observe que si x A entonces (f + g)(x)
∈ L ∞
∈
1 ≤ f 1 + g1. | | ≥ |g|] y B = [|f | < |g|]. Se sigue que A, B ∈ A es una | | ≤ |f (x)| + |g(x)| ≤ 2|f (x)|, luego |(f + g)(x)| p ≤ 2 p |f (x)| p, ∀ x ∈ A
An´ alogamente
|(f + g)(x)| p ≤ 2 p|g(x)| p , ∀ x ∈ B
Luego
| X
p
f + g dµ =
|
| | | | ≤ | | | | | | | | ∞ f + g p dµ +
A
≤
f + g p dµ
2 p
B
2 p
f p dµ +
X
A
g p dµ = 2 p
X
f p dµ + 2 p
f p p + g
g p dµ
B
p p
<
An´ alisis Real III
93
∈ L p (X, µ). Por otro lado |f + g| p = |f + g| · |f + g| p−1 ≤ |f | · |f + g| p−1 + |g| · |f + g| p−1
Se sigue que f + g
Observe que
K
| X
p 1 q
(f + g) − | dµ =
| X
f + g
|
q( p 1)
− dµ =
|
f + g p dµ <
|
X
∞
∈ Lq (X, µ) y por H¨older f + g p p = |f + g| p dµ ≤ |f | · |(f + g) p−1|dµ + |g| · |(f + g) p−1|dµ
luego (f + g) p−1
K
| | | X
X
X
1
≤
p
p
f dµ
X
X
| | | 1
( p 1)q
f + g | − dµ
p q
p q
1
q
p
p
+
g dµ
X
X
p q
( p 1)q
f + g | − dµ
1
q
f p ·f + g p + g p · f + g p = ( f p + g p )f + g p p− ≤ f p + g p . Se sigue que f + g p = f + g p Corolario 1. Si 1 ≤ p < ∞ entonces L p (X, µ) es un K-espacio vectorial. Demostraci´ on. Si f, g ∈ L p (X, µ) entonces por Minkowski f + g ∈ L p (X, µ). Si α ∈ K y f ∈ L p (X, µ) entonces |αf (x)| p = |α| p |f (x)| p , luego |αf | p dµ = |α| p · |f | p dµ = |α| p |f | p dµ = |α| p · f p p < ∞ X X X luego αf ∈ L p (X, µ). Corolario 2. Si 1 ≤ p ≤ ∞ entonces la funci´on p : L p (X, µ) → K satisface las siguientes propiedades 1. f p ≥ 0, ∀ f ∈ L p (X, µ). 2. 0 p = 0. 3. αf p = |α| · f p , ∀ f ∈ L p (X, µ), ∀ α ∈ K. 4. f + g p ≤ f p + g p , ∀ f, g ∈ L p (X, µ). =
p q
K
K
K
K
K
K
K
K
K
Demostraci´ on. ¡Ejercicio!
4.2
Los espacios L p
p Sea (X, , µ) un espacio de medida, 1 p y f K (X, µ). Si f p = 0 entonces f = 0 c.t.p. de X . p p Por esta raz´on la funci´ on p : K (X, µ) R no llega a ser una norma sobre K (X, µ). En la presente secci´on, vamos a construir un espacio vectorial, en donde p si sea una norma. p Sean f , g K (X, µ), definimos
A
≤ ≤ ∞ ∈ L L →
∈ L
∼ ⇐⇒ f = g c.t.p. de X
f g
L
An´ alisis Real III
94
No es dif´ıcil probar que “ ” es una relaci´on de equivalencia en pK (X, µ). Denotamos por L pK (X, µ) al conjunto cociente de pK (X, µ) por esta relaci´on de equivalencia, es decir
L
∼
L
L pK (X, µ) = [f ]; f
∈ L p (X, µ)}
{
donde
K
{ ∈ L p (X, µ); f = g c.t.p. de X }
[f ] = g p
K
Vamos a dotar a L K (X, µ) de una estructura de espacio vectorial. p p Sean [f ], [g] L pK (X, µ) entonces f, g K (X, µ), luego f + g K (X, µ) y por tanto [f + g] p LK (X, µ). Ser´ıa natural definir [f ] + [g] = [f + g], pero para que esta definici´on sea buena, necesitamos probar que no depende de los representantes de la clase de [f ] y [g]. Sean f 1 [f ] y g1 [g] entonces f = f 1 c.t.p. de X y g = g 1 c.t.p. de X , se sigue que f +g = f 1 +g1 c.t.p. de X y por tanto [f +g] = [f 1 +g1 ]. An´ alogamente, dado [f ] L pK (X, µ) y α K definimos α [f ] = [αf ].
∈
∈L
∈L
∈
∈
∈
∈ ∈ · Teorema 4.2.1 Sea 1 ≤ p ≤ ∞ con las operaciones 1. + : L p (X, µ) × L p (X, µ) → L p (X, µ) definida por [f ] + [g] = [f + g]. 2. · : K × L p (X, µ) → L p (X, µ) definida por α · [f ] = [αf ]. K
K
K
K
K
L pK (X, µ) es un K -espacio vectorial. Demostraci´ on. ¡Ejercicio!
Sea [f ] L pK (X, µ), ser´ıa natural definir N p ([f ]) = f p pero para que esta definici´on sea buena, necesitamos probar que no depende del representante de la clase. Sea g [f ] entonces f = g c.t.p. de X , consideremos dos casos.
∈
∈
| | | |
∞: Se tiene que |f | p = |g| p c.t.p. de X , luego f p dµ = g p dµ y por tanto f p = g p . X X p = ∞: | f (x)| = |g(x)| ≤ g∞ c.t.p. de X , luego f ∞ ≤ g ∞ . An´ alogamente g ∞ ≤ f ∞ . 1 < p <
Esto prueba la buena definici´on de la funci´ on N p .
Teorema 4.2.2 Si 1 p entonces la funci´on N p : L pK (X, µ) satisface las siguientes propiedades
≤ ≤ ∞
→ R definida por N p ([f ]) = f p ,
≥ 0, ∀ [f ] ∈ L p (X, µ).
1. N p ([f ])
K
2. N p ([f ]) = 0 si y s´olo si [f ] = 0. 3. N p (α[f ]) = α N p ([f ]), [f ] L pK (X, µ), α
| | · ∀ ∈ ∀ ∈ R. 4. N p ([f ] + [g]) ≤ N p ([f ]) + N p ([g]), ∀ [f ], [g] ∈ L p (X, µ). K
Demostraci´ on. ¡Ejercicio! Observaciones.
An´ alisis Real III
95
1. De ahora en adelante a los elementos de L pK (X, µ) los denotaremos por f en vez de [f ] y escribiremos f p en vez de N p ([f ]).
2. El par (L pK (X, µ),
p ) es un espacio normado.
Completitud de los espacios L p
4.3
≤ p ≤ ∞ y (f n) ⊆ L p (X, µ). 1. Decimos que la sucesi´ on (f n ) es convergente en L p (X, µ) si y s´olo si existe f ∈ L p (X, µ) tal que lim f n − f p = 0 n→∞ A
Definici´ on 4.3.1 Sea (X, , µ) un espacio de medida, 1
K
K
K
2. Decimos que (f n ) es una sucesi´ on de Cauchy en L pK (X, µ) si y s´olo si para todo > 0, existe un n0 N tal que si n, m n 0 entonces f n f m p < .
∈
≥
−
Teorema 4.3.1 Sea (X, , µ) un espacio de medida y 1 entonces (f n ) es convergente.
≤ p ≤ ∞.
A
Si (f n )
⊆
L pK (X, µ) es Cauchy
Demostraci´ on. Consideremos dos casos: a) 1 p < : Existe n 1 N tal que si n, m n 1 entonces f n f m p < 2 −1 . Existe n2 N con n 2 > n1 tal que si n, m n 2 entonces f n f m p < 2 −2 . Procediendo por inducci´ on, se tiene una sucesi´on (nk ) N con n1 < n2 < n, m n k entonces f n f m p < 2 −k .
≤
∞ ∈
∈
≤ ≤
− Dado k ∈ N defino g k : X → [0, +∞] como g k =
− − ⊆
≥
→ [0, +∞] como g =
Definimos tambi´en g : X
··· < nk < ··· tal que si
k
| |
− f n |.
f ni+1
i=1
∞
i
− f n |.
f ni+1
i=1
i
|
−
Claramente (gk ) es una sucesi´on de funciones medibles en X , no negativas. Adem´ as, como f ni+1 p p f ni L R (X, µ), i 1, por Minkowski tenemos que (gk ) L R (X, µ) y
|∈
∀ ≥
⊆
k
k
≤
gk p
− f n
f ni+1
i=1
i
≤ p
2−i < 1,
∀ k ≥ 1
i=1
→ g, aplicando Fatou a (g pk ) ⊆ L1 (X, µ), tenemos
Como g k
R
X
p
g dµ =
X
(lim g pk )dµ =
X
(lim inf g pk )dµ
≤ lim inf
X
∈ L p (X, µ) y g p ≤ 1. En particular g(x) < ∞ c.t.p. de X .
Luego g
g pk
p p ) ≤ 1
= liminf( gk
An´ alisis Real III
De esta manera la serie
(f ni+1
i,1
c.t.p. de X .
− f n ) es absolutamente convergente (y por tanto convergente) i
∞
→ K tal que f (x) = f n (x) +
Sea f : X
96
1
(f ni+1 (x)
i=1
− f n (x))
c.t.p. de X . Observe que
i
k 1
f n1 +
−
− f n ) = f n , ∀ k ≥ 1
(f ni+1
i=1
Por tanto (f nk )
⊆ (f n) es tal que klim f →∞ n
k
i
k
= f c.t.p. de X . Esto prueba que f es medible. Vamos a
probar que f L pK (X, µ).
∈
∈ N tal que si n, m ≥ n0 entonces f n − f m p < 2 . Para m ≥ n0 (fijo) y nk ≥ n0 se tiene que f n − f m p < . De esta manera tenemos la sucesi´ on (|f n − f m | p )k∈ ⊆ L1 (X, µ). Por 2 Dado > 0 existe n 0 k
R
N
k
Fatou
f m p p
f −
| − | | | − |
=
f
p
f m dµ =
X
X
≤ liminf
f nk
X
lim f nk
k
→∞
− f m
| p
dµ =
X
| − f m | p ) dµ
(lim sup f nk
f m p dµ = liminf( f n−k
− f m p p ) ≤
2
p
Por tanto f f m L pK (X, µ) y como f m L pK (X, µ) se tiene que f L pK (X, µ), m´a s a´ un f f m p < . Esto prueba que lim f f m p = 0. m→∞ 2 1 1 b) p = : Dado k N, existe n k N tal que si n, m n k entonces f n f m ∞ < , luego f n f m < k k c.t.p. de X . ∞ 1 Sea Ak , de medida cero, tal que f n (x) f m (x) < , x X Ak . Considero A = Ak , k k=1 1 claramente A y A tiene medida cero. Si x X A y > 0 entonces k 0 N tal que < , luego, si k0 m, n n k0 entonces f n (x) f m (x) < . De esta manera (f n (x)) K es Cauchy y por tanto convergente, x X A. Sea f : X X A. Como f n (x) f n1 (x) < 1, n n1 , K tal que lim f n (x) = f (x), x n→∞ x X A entonces
− ∈
∞
−
∈
≥ ∀ ∈ − ∀ ∈ −
∈
∈
∈ A
∈ A
∈
≥
|
|
−
−
|
∈ −
|
→
− ≤
−
| − |
∀ ∈ −
∈
⊆
∀ ∈ −
|
−
|
∀ ≥
|f (x) − f n (x)| = nlim |f (x) − f n (x)| ≤ 1, c.t.p. de X →∞ n Se sigue que f − f n ∈ L ∞ (X, µ) y por tanto f ∈ L ∞ (X, µ). Finalmente, dado > 0, existe k0 ∈ N tal 1 que < , luego, si n, m ≥ nk entonces |f n (x) − f m (x)| < y tomando l´ımite |f (x) − f m (x)| ≤ k0 2 2 2 − − c.t.p. de X , es decir f f m ∞ < . Esto prueba que lim f f m ∞ = 0. m→∞ Teorema 4.3.2 Sea (X, A, µ) un espacio de medida y 1 ≤ p ≤ ∞. Si (f n ) ⊆ L p (X, µ) es Cauchy entonces existe f ∈ L p (X, µ) y existe (f k ) ⊆ (f n ) tal que lim f k (x) = f (x) c.t.p. de X . n→∞ 1
1
K
1
K
0
K
K
n
n
