165247509-Edo-r-benazic

T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales opicos Ordinarias Renato Benazic

Cap´ıtulo 1 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1.1 1.1

Intr In trodu oducc cci´ i´ on on

El mejor lenguaje creado por la raza humana para entender el mundo que lo rodea se llama Matemátic a tica. a. Esta Esta es una de las razones por la cual el estudio de esta ciencia ocupa un papel preponderan preponderante te en nuestra nuestra moderna sociedad. Haciendo Haciendo un poco de historia, historia, a comienzos comienzos del siglo XVI, el gran f´ısico italiano italiano Galileo Galilei (1564-1642) lleg´ o a la conclusión on de que “la naturaleza uraleza esconde sus secretos secretos en el lenguaje de las matem´ matemáticas”. aticas”. Algunos a˜ nos nos más as tarde el inglés es Isaac Newton (1642-1727) y el alemán an Wilhelm Gottfried Leibnitz (1646-1716) elaboraron un nuevo tipo de matemátic a tica: a: el C´ Cálculo alculo Diferencial e Integral, que permitió a los cient´ cient´ıficos de la época, epo ca, resolver muchos problemas problem as f´ısicos y geom´ g eométricos. etricos. En particular, particu lar, esta nueva herramienta fue indispensable para que Newton estableciera sus tres inmortales leyes del movimiento de los cuerpos por acción 1

Diferenciales Ordinarias Ordinarias 2 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales del campo campo gravit gravitato atorio rio (por ejemp ejemplo lo traye trayecto ctoria ria de planet planetas, as, satélites elit es y cometas come tas as´ı como también en el movimiento movim iento de proyectiles, tiles, conectando conectando de esta manera la f´ısica de los cielos cielos con la f´ısica terrestre). En el siglo siguiente se establecieron leyes similares que gobiernan los fenómenos omenos de electricidad y magnetismo. Todas oda s estas es tas leyes ten t en´´ıan algo en com´ co mún: un: el fenómeno omeno que se desea conocer (el cual es modelado matemáticamente aticamente por el concepto de función) on) estaba escondido bajo la operación on de diferenciaci´ on. on. Resolver Resolver un Sistema Sistema de Ecuaciones Ecuaciones Diferencia Diferenciales les Ordinarias (E.D.O.) consiste justamente en determinar tal función on o funciones incógnitas. ognitas. Por ejemplo el movimiento movimiento de un péndulo endulo no amortiguado de longitud longitud  está gobernado por el sistema

 

x (t) = y g sen x y (t) = 

−

(1.1)

en donde g donde g representa la aceleración on de la gravedad. Si en cambio consideramos el péndulo endulo amortiguado, con una constante de amortiguamiento c amortiguamiento c > 0, la ecuación on que gobierna su movimiento es dada por

 

x (t) = y c y (t) = y m

−

− g sen x

(1.2)

Como segundo ejemplo consideremos el problema del rapaz y la pres presa, a, el cual cual es uno uno de los los probl problem emas as fund fundam amen enta tale less de la ecolog´ıa ıa matemátic a tica. a. Sean Sean x(t) e y (t) las poblaciones, en cualquier instante t de dos especies una de las cuales (y ( y el rapaz) devora a la otra (x (x la presa). Se supone que en ausencia de rapaces, el n´ umero umero de presas pr esas crecer´ crecer´ıa ilimitad i limitadamente, amente, mientras que en ausencia de presas, la población on de rapaces decrecer´ decrecer´ıa.

T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias opicos

3

Alrededor Alrededor de 1925 el biof´ biof´ısico americano americano Alfred Alfred Lotka Lotka (18801949) y el matemático atico italiano Vito Volterra (1860 - 1940) propusieron el siguiente modelo matemático atico para que las especies se mantengan en equilibrio.



x (t) = ax bxy y  (t) = cy + cy + dxy

−

−

(1.3)

en donde a donde a,, b, c y d son constantes reales positivas. Como tercer ejemplo, suponga que se tienen dos especies semejant semejantes es que compiten compiten por un alimento alimento com´ un un el cual es limitado. Sean x Sean x((t) e y( umero de individuos de cada especie y (t) el número en cualquier instante t. El model modeloo matem´ matem´ atico atico propuesto que rige el crecimiento de las poblaciones x e y viene dado por



x (t) = a1 x y (t) = b1 y

2

− a x − a xy − b y − b xy 2

2

2

3

3

(1.4)

en donde a donde a 1 , a2 , a3 , b1 , b2 y b 3 son constantes reales positivas. Como ejemplo final, mencionaremos el sistema masa resorte. Considere Consideremos mos un resorte de masa m masa m sujeto a un resorte de constante de estiramiento k estiramiento k el cual está conectado a un mecanismo cuya constante de amortiguación on es c. Suponga Suponga adem´ adem´ as a s que a la masa que pende del resorte se le aplica una fuerza exterior periódica odica del tipo f ( cos wtt (donde w es el per´ per´ıodo de la f (t) = cos w fuerza f ). modelo matem´ matem´ atico que gobierna el movimiento atico f ). El modelo del sistema masa-resorte viene dado por el sistema

 

x (t) = y y (t) =

− mk x − mc y + m1 cos w cos wtt

(1.5)

Todos los ejemplos presentados son casos particulares de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden,

Diferenciales Ordinarias Ordinarias 4 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales concepto que pasamos a definir y estudiar a partir de la próxima sección. on. Note el lector la Teor´ Teor´ıa de las Ecuacion E cuaciones es Diferenciales Dife renciales Ordinarias no s´ olo olo interesa al matemático, atico, sino que es util u ´ til a cualquier ciencia que pueda expresar sus leyes en lenguaje matemático. atico. La F´ısica, ısi ca, la Qu´ Qu´ımica, ımi ca, la Biolog´ Bio log´ıa, ıa, la Ecolog´ Ecol og´ıa ıa y la Econom Econ om´´ıa son algunos ejemplos ejemplos de tales disciplinas. disciplinas.

1.2 1.2

Sist Sistem emas as Aut´ Aut´ onomos onomos y no Aut´ onomos onomos

Definimos a continuación on nuestro principal objeto de estudio.

Definici´ on on 1.2.1 Un Sistema Sistema de n Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Ordinarias (E.D.O.) de primer orden es orden es una expresión on del tipo

  

x1 = F 1 (t, x1 , x2 , . . . , xn ) x2 = F 2 (t, x1 , x2 , . . . , xn ) .. .. .. . . .  xn = F n (t, x1 , x2 , . . . , xn )

(1.6)

en donde t donde t es es una variable variable independiente independiente que denota denota al tiempo, , xn son variables que dependen de t de t que que toman valores valores x1 , x2 , . . . , x reales y F y F 1 , F 2 , . . . , Fn son funciones real valoradas definidas en un subconjunto de D de D de Rn+1 . Los ejemplos dados en la sección on anterior son casos particulares del sistema (1.6). En efecto, en el modelo de Lotka-Volterra Lotka-Volterra (1.3) tenemos que = x, x1 = x,

= y,, x2 = y

F 1 (t, x1 , x2 ) = ax 1

y F 2(t, x1 , x2 ) =

−cx + dx x . 2

1 2

− bx x

1 2


5

Mientras que en el modelo matemático atico (1.5) propuesto para el sistema masa-resorte se tiene = x, x1 = x,

= y,, x2 = y

y F 2 (t, x1 , x2 ) =

F 1 (t, x1 , x2 ) = x 2

− mk x − mc x + m1 cos wt. 1

2

En diversas ocasiones sucede que las funciones F 1 , F 2 , . . . , olo dependen de las variables x1 , x2 , . . . , xn y no de la F n sólo variable temporal t temporal t,, en este caso (1.6) toma la forma

  

x1 = F 1(x1 , x2, . . . , xn ) x2 = F 2(x1 , x2, . . . , xn ) .. .. . .

(1.7)

xn = F n (x1 , x2 , . . . , xn )

Decimos que (1.7) es un Sistema Autónomo onomo de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, mientras que (1.6) es llamado Sistema no Autónomo. onomo. Los modelos (1.1), (1.2), (1.3) y (1.4) son ejemplos de sistemas autónomos, onomos, mientras mientras que el modelo masa-resort masa-resortee (1.5) es un ejemplo de sistema no autónomo. onomo. A contin continuaci´ uaci´ on, o n, vamos amos a prec precis isar ar lo que que se enti entien ende de por de un sistema de E.D.O. soluci´ on de Una Soluci´ on on de (1.6) es un conjunto de n Definici´ on on 1.2.2 Una Soluci´ funciones ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn , con valores reales y definidas en un mismo intervalo abierto J J de la recta real tales que satisfacen las dos condiciones siguientes:

∈

∈

1. (t, ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕn (t)) D, D , para todo t J . J .

Diferenciales Ordinarias Ordinarias 6 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales 2. Cada ϕ Cada ϕ i es diferenciable en J en J y y para cada t cada t

  

∈ J se J se cumple

ϕ1 (t) = F 1 (t, ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕn (t)) ϕ2 (t) = F 2 (t, ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕn (t)) .. .. . .

(1.8)

ϕn (t) = F n (t, ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕn (t))

En el caso de sistemas autónomos, onomos, si denotamos por U por U Rn al dominio com´ un un de las funciones F 1 , F 2 , . . . F n , tenemos el siguiente caso particular de la Definición on (1.8).

⊆ ⊆

Una Soluci´ on del del sistema autónomo onomo (1.7) es Definici´ on on 1.2.3 Una Soluci´ un conjunto de n de n funciones ϕ funciones ϕ 1 , ϕ 2 , . . . , ϕ n , con valores reales y definidas en un mismo intervalo abierto J de J de la recta real tales que satisfacen satisfacen las dos condicione condicioness siguiente siguientes: s:

∈

∈ J . J . 2. Cada ϕ Cada ϕ es diferenciable en J en J y y para cada t cada t ∈ J se J se cumple 1. (ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕn (t)) U , todo t U , para todo t i

   1.3 1.3

ϕ1 (t) = F 1 (ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕn (t)) ϕ2 (t) = F 2 (ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕn (t)) .. .. .. . . .  ϕn (t) = F n (ϕ1 (t), ϕ2(t), . . . , ϕn (t))

(1.9)

Repa Repaso so de Matr Matric ices es y Tra rans nsfo forrmaciones Lineales

En lo sucesivo, K denotará al campo de los n´ umeros umeros reales R o al de los n´ umeros umeros complejos C y sus elementos serán an llamados


7

escala escalares res.. Sean Sean m y n dos enteros enteros positivos, positivos, denotemos denotemos por p or ( i, j ) tales que I m,n m,n al conjunto de todos los pares ordenados (i, 1 i m y Una matriz de m filas m y 1 j n. n . Una matriz m filas y n columnas n columnas con coeficientes en K o simplemente K-matriz m n, es cualquier funci´ on on A que a cada par (i, ( i, j ) I m,n m,n le asocia un elemento la entrada ij de matriz A.. A(i, j ) = a ij K llamado la entrada ij de la matriz A Se acostumbra disponer los valores a valores a ij de la matriz A matriz A en un arreglo arreglo de m de m filas y n y n columnas, de la manera siguiente

≤ ≤

≤ ≤

∈

∈

A =

×

  

a12 a22 .. .

··· ···

a1n a2n .. .

am1 am2

···

amn

a11 a21 .. .

  

= [aij ].

×

El conjunto de todas las K-matrices m -matrices m n será denotado por . Si m Si m = = n llama matriz cuadrada . Si A Si A K1×n enK n,, A se llama matriz tonces A tonces A se se llama matriz llama matriz fila mientras mientras que si A si A Km×1 entonces matrices ces A = [aij ], B = [bij ] A es una matriz columna . Dos matri m×n K son iguales son iguales , lo que denotamos A denotamos A = = B olo si a si aij = b ij , B,, si y sólo Km×n y para todo par (i, (i, j ) I m,n m,n . Sean A = [aij ], B = [bij ] definimos la suma la suma de de las matrices A matrices A y y B y el producto el producto del del c K, definimos B y escalar c escalar c por por la matriz A matriz A,, denotados respectivamente por A por A + B y cA, cA , como m×n

∈

∈

∈

∈

∈

∈

A + B = [aij + bij ],

cA = cA = [caij ]

Con las operaciones de suma de matrices y producto de un escalar por una matriz, Km×n se torna un K-espacio vectorial de dimensión on mn. Denota tare remo moss por θ a la matr matriz iz cer cero. o. Si mn. Deno m×n K denota denota la matriz matriz que tiene tiene todas sus entra entradas das E ij ij iguale igualess a cero, cero, except exceptoo la entra entrada da ij la cual es igual a uno, m×n entonces el conjunto E ij I m,n ij ; (i, j ) m,n es una base de K

∈

{

∈

}

Diferenciales Ordinarias Ordinarias 8 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales llamada base llamada base can´ onica . Por ejemplo las matrices E 11 11 =

  1 0 0 0

, E 12 12 =

  0 1 0 0

, E 21 21 =

  0 0 1 0

, E 22 22 =

  0 0 0 2

forman la base canónica onica de K2×2 . Como Km×n es un K-espacio vectorial de dimensión mn on mn,, entonces él el es isomorfo isomorf o a Kmn , v´ıa el isomorfi iso morfismo smo

  

a12 a22 .. .

··· ···

a1n a2n .. .

am1 am2

···

amn

a11 a21 .. .

  ←→ 

(a ( a11 , . . . , a1n , . . . , am1 , . . . , amn(1.10) )

En particular una matriz fila A K1×n (respectivamente una Km×1 ) puede identificarse con un vector matriz columna B de Kn (respectivamente (respectivamente de Km ), v´ıa el isomorfismo isomorfi smo anterior, es decir

∈

A = y



a11 a12

  

a11 a21 .. . am1

···

a1n

  ←→ 

∈

 ←→

(a ( a11 , a12 , . . . , a1n )

(a (a11 , a21 , . . . , am1 )

A lo largo del texto usaremos frecuentemente el isomorfismo anterior. Sea A Sea A = = [aij ] Km×n la transpuesta la transpuesta de A, denotada por A por A t , es definida por

∈

At = [a ji ] =

  

a11 a21 a12 a22 .. .. . . a1n a2n

··· ···

am1 am2 .. .

···

amn

  


9

es decir, la matriz obtenida de A de A intercambiando intercambiando filas por columt n×m K nas. Es claro que A que A Sean A = [aij ] Km×n y B = [b jk ] Kn× p . El producto El producto de las matrices A y por A B o simplemente AB simplemente AB,, es la A y B B , denotado por A

∈

matriz de K

m× p

∈

∈

·

n

·

definida por A por A B = [c [ cik ], donde c donde c ik =



aij b jk .

j=1 j =1

El producto producto de matrices matrices satisface satisface las siguiente siguientess propiedade propiedades: s: 1. Propiedad Asociativa: ( AB))C, A(BC ) BC ) = (AB

∀A ∈ K

m×n

∀ ∈ K

, B

n× p

p× p×r

∀ ∈ ∈ K

, C

.

2. Propiedad Distributiva a derecha:

∀ A, B ∈ K

(A + B )C = AC + + BC,

m×n

n× p

.

n× p

.

∀ ∈ ∈ K

, C

3. Propiedad Distributiva a izquierda: A(B + C ) = AB + AB + AC,

∀A ∈ K

En el espacio de matrices cuadradas

I = [δ ij ij ] =

  

m×n

Kn×n ,

0 1 .. .

··· ···

0 0 .. .

0 0

···

1

1 0 .. .

∀

∈ ∈ K

, B, C

  

definimos

donde δ ij la delta de Kronecker , es decir δ ij ij es la ij = 0 si 1 j n y n y δ iiii = 1. Se cumple

≤

= A, AI = I A = A,

n×n

∀ A∈K

≤ i =

,

es decir I decir I es es la matriz la matriz identidad (multiplicativa) de (multiplicativa) de Kn×n . No es dif´ dif´ıcil probar p robar que el conjunto de d e las matrices cuadradas cuadrad as Kn×n con

Diferenciales Ordinarias Ordinarias 10 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales las operaciones de suma de matrices y producto de matrices es un anillo no conmutativo con elemento identidad. Si A Kn×n y k 0, definimos la potencia la potencia k -ésima de A, denotada Ak por inducción on como sigue:

∈

≥

A0 = I ,

A1 = A,

Ak = A Ak−1 ,

·

∀ k ≥ 2. 2 .

Decimos que A que A Kn×n es una una matriz no singular (o matriz (o matriz n×n inversible ) si y sólo olo si existe B K tal que AB = B A = I . I . En caso de existir tal matriz B , se prueba que ella es única unica y recibe el nombre de inversa de A. on A−1 A. Usaremos la notación para representar a la matriz inversa de A. A . Las matrices que no son inversibles son llamadas singulares llamadas singulares . El conjunto de todas las matrices no singulares se llama grupo llama grupo lineal de Kn y será denotado por GL( Queda como ejercicio ejercicio para el lector, probar probar GL(Kn ). Queda n que GL( on de matrices tiene estructura GL(K ) con la multiplicación de grupo (no abeliano). Un concepto fuertemente relacionado con el de matriz es el Km es una de transformación on lineal lineal.. Una funci función oń T : Kn Transformaci´ on Lineal si si y sólo olo si se cumple

∈

∈

→

T ( T (αx + βy) βy ) = αT ( αT (x) + βT ( βT (y),

n

∀ x, y ∈ K , ∀ α, β ∈ ∈ K.

Denotaremo Denotaremoss por (Kn ; Km ) al conjunto de todas las transformaciones lineales de Kn en Km . Con las operaci operacione oness usuales usuales de suma de funciones y producto de un número umero real por una n transformaci´ on on lineal lineal,, el conjun conjunto to (K ; Km ) se torna un Kespacio vectorial de dimensión on mn. mn. Observe que como Km×n y (Kn ; Km ) son K-espacios vectoriales de la misma dimensión, on, ellos son isomorfos (de ahora en adelante usaremos la notación on V W para W para establecer que los K-espacios vectoriales V y W , W , son isomorfos). isomorfos). Conviene Conviene dar expl´ expl´ıcitamen ıcitamente te el isomorfismo isomorfismo m×n n m entre K y (K ; K ). Deno Denote temo moss por e1 = (1, (1, 0, . . . , 0),

L

L

L

≈

L


11

(0, 1, 0, . . . , 0), . . . , ek = (0, (0, . . . , 0, 1) la base canónica onica de e2 = (0, k m K , (k = n, = n, m). Como T Como T ((e j ) K , existen unicos únicos escalares a escalares a 1 j , . . . amj ( j = j = 1, 2, . . . , n) n) tales que:

∈

T ( T (e1 ) = a11 e1 + a21 e2 + T ( T (e2 ) = a12 e1 + a22 e2 + .. .. . .

··· + a ··· + a

T ( T (en ) = a1n e1 + a2n e2 +

··· + a

m1 em m2 em

mn em

Los n´ umeros umeros reales a reales aij forman una matriz, cuya transpuesta que denotamos por AT recibe el nombre de matriz asociada (en (en las n m bases canónicas onicas de K y K ) a la transformación on lineal T , T , es decir a11 a12 a1n a21 a22 a2n AT = . .. .. .. . . .

  

··· ···

am1 am2

···

amn

  

Rec´ Rec´ıproca ıpr ocamente mente,, dada dad a A = [aij ] Km×n , definimos la transformaci´ on on lineal T lineal T A : Kn Km mediante T A (x) = Ax, Ax, es decir

→

T A (x1 , . . . , xn ) = (a11 x1 +

∈

··· + a

1n xn , . . . , am1 x1 +

··· + a

mn xn ) .

Es claro que la matriz asociada a T A (en las bases canónicas onicas n m de K y K ) es A. As´ As´ı, es fácil acil probar que la función on ψ que n m m×n asocia a T (K ; K ) la matriz ψ(T ) es un T ) = AT K n m isomorfismo entre los K-espacios vectoriales vectoriales (K ; K ) y Km×n . De ahora en adelante adelante usaremos usaremos indistin indistintamen tamente te la letra A letra A (o la matrices o transforma transformacione cioness lineales. lineales. T ) T ) para denotar matrices El n´ El n´ ucleo de ucleo de la transformación on lineal A lineal A (Kn ; Km ), el cual es denotado por Nu(A Nu(A), es definido como el conjunto de todos los n Nu(A) es un K-espacio x K tales que Ax = Ax = 0. Es claro que Nu(A vectorial.

∈L

L

∈L

∈

∈

Diferenciales Ordinarias Ordinarias 12 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Sea A Kn×n , decimos que λ K es un autovalor un autovalor de A, si Kn tal que Ax = λx. y sólo olo si existe un vector no nulo x λx. El vector no nulo x es llamado autovector de A asociado al autovalor λ. No es dif´ıcil ıcil probar que λ K es un autovalor de olo si A λI es olo si Nu(A Nu(A λI ) = 0 . A si y sólo λI es singular si y sólo Adem´ as as se cumple que si x si x1 y x y x2 son autovectores autovectores de A de A asociados asociados a los autovalores λ1 y λ2 respectivamente (λ ( λ1 = λ2 ), entonces x1 y x 2 son linealmente independientes. Para calcular los autovalores de una matriz, necesitamos introducir troducir el concepto de determina determinante nte.. Sea A = [aij ] Kn×n , escribiremos A = [A1 A2 . . . An], donde A j denota la j -ésima columna de la matriz A matriz A,, es decir

∈

∈

∈ ∈

−

−

{}



∈

A j =

  

a1 j a2 j .. . amj

  

1

≤ j ≤ n.

El determinante determinante es una función o n que a cada matriz cuadrada n×n le asocia el escalar det(A det(A) y que satisface las siguientes A K propiedades:

∈

1. det es es una funci´ funci´ on on n- lineal, es decir para cada j cada j = 1, 1 , 2, . . . , n se cumple det[A det[A1 . . . αA det[A1 . . . A j . . . An ] + αA j + βA j . . . An ] = α det[A +β det[ β det[A A1 . . . A j . . . An ], 2. Si A Si A i = A = A j (con 1 0. 3. det(I det(I ) = 1.

≤ i = j ≤ n) det[ A . . . A ] = n) entonces det[A 1

n


13

Por ejemplo la función on det : K2×2 det



a11 a12 a21 a22



= a = a11

→ K definida por a −a a 22

12 21

es un determinante, puesto que satisface las 3 condiciones anteriores. Se puede demostrar que ella es la única unica función on determi2×2 nante en K . Si A, Si A, B Kn×n entonces no es dif´ dif´ıcil probar que

∈

det(AB det(AB)) = det(A det(A)det(B )det(B ). Una consecuencia del resultado anterior es que A GL( GL(Kn ) si y sólo olo si det(A det(A) = 0. De esta esta mane manera ra λ es un autovalor de n×n si y sólo olo si det(A det(A λI ) = 0. Note que det(A det( A λI ) es A K un polinomio de grado n grado n con coeficientes en K en la variable λ variable λ,, el cual es llamado el pol polino inomio mio caracter´ caract er´ıstico ıst ico de la matriz A y al que denotaremos por P A (λ). Las ra´ ra´ıces del polinomio caracter´ ter´ıstico son los autovalores de A. Concluimos que toda matriz cuadrada A Kn×n posee n autovalores (contando multiplicidad).

∈



∈

−

−

∈

1.4

Nociones de C´ C´ alculo alculo Matricial

Una funci´ funcion oń definida en un intervalo J de J de la recta real con valm×n ores en R es llamada funci´ llamada funci´ on matricial . En virtud virtud del del isomorfismo (1.10) cualquier función on matricial matricial Φ : J t

−→

Rm×n

−→

Φ(t Φ(t) =

  

a12 (t) a22 (t) .. .

··· ···

a1n (t) a2n (t) .. .

am1 (t) am2 (t)

···

amn (t)

a11 (t) a21 (t) .. .

  

= [a [ aij (t)]

Diferenciales Ordinarias Ordinarias 14 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales puede ser observada como un camino en Φ : J t

−→ −→

Rmn

Rnm

Φ(t Φ(t) = (a ( a11 (t), . . . , a1n (t), . . . , am1 (t), . . . , amn (t))

As´ı, ı, dada da da una u na fun f unci´ ción on matricial Φ(t Φ(t) = [aij (t)] Rnm quedan automáticamente aticamente determinadas una colección on de nm funciones nm funciones reales de variable real a real a ij llamadas funciones llamadas funciones coordenadas de A de A.. R, Observe que aij : J (i, j ) I m,n propiedad dades es com,n . Las propie munes a estas funciones coordenadas, caracterizan las propiedades de la función on matricial Φ.

∈

→ ∀ →

∈

Definici´ on on 1.4.1 Sea Φ : J : J Rm×n una función on matricial tal que Φ(t Φ(t) = [aij (t)], t J . Si t0 J , decimos que la matriz ım itee de Φ(t Φ(t) cuando t tiende a t0 , lo A = [aij ] Rm×n es el l´ımit que denotam denotamos os por lim Φ(t Φ(t) = A si y sólo o lo si lim aij (t) = aij ,

∈

∀ ∈

→ →

∈

t→t0

t→t0

∀ (i, j ) ∈ I

m,n m,n .

No es dif´ dif´ıcil probar que se cumplen cumplen las reglas reglas usuales usuales del algebra álgebra de l´ımites (ver ejercicios al final del cap´ cap´ıtulo). La continuidad continuidad de funciones matriciales se definen tambi´ en en en término ermino de sus su s funciones fun ciones coordenadas coord enadas..

Definici´ on on 1.4.2 Sea Φ : J : J Rm×n una función on matricial tal que Φ(t Φ(t) = [aij (t)], t Decimo moss que Φ es es continua en J . Deci olo si cada aij es continua en t en t 0 . t0 J si J si y sólo

∈

∀ ∈

→ →

Definici´ on on 1.4.3 Sea Φ : J Rm×n , donde J : J J es un intervalo abiert abierto. o. Decimo Decimoss que Φ es es diferenciable en t0 J olo si J si y sólo existe el siguiente l´ımite: 1 lim [Φ(t [Φ(t) Φ(t Φ(t0 )] . t→t0 t t0

→ →

−

∈

−

En caso afirmativo, denotamos por Φ (t0 ) al l´ımite ımi te anterior anter ior..


15

El lector no tendrá dificultad en demostrar el siguiente resultado. on on matricial Proposici´ on on 1.4.1 Sea Φ : J Rm×n una funci´ tal que Φ(t Φ(t) = [aij (t)], t J . Φ es diferen diferencia ciable ble en t0 J si y sólo o lo si aij es diferenciable en t0 , (i, j ) I m,n casoo m,n . En cas afirmativo se cumple que

∀ ∈

→ →

∀

∈

∈

 Φ (t0 ) = [aij (t0 )]. )].

Rm×n es de Decimo Decimoss que la funci´ funci´ on o n matr matric icia iall Φ : J clase C 1 en el intervalo J olo si Φ es diferenciable en J J si y sólo  y la función on derivada Φ es continua en J . Procediendo por inducci´ on, decimos que Φ es de clase C k (k > 1) en el intervalo on, o lo si Φ(k−1) es diferenciable en J y on derivada J si J si y sólo J y la función (k) en J .. k-ésima Φ es continua en J En cuanto a la integral de una función on matricial, tenemos

→

Definici´ on on 1.4.4 Sea Φ : [a, Rm×n una funci´ [a, b] on on matricial matricial tal que Φ(t Φ(t) = (aij (t)), t [a, [ a, b]. Decimos que Φ es integrable en [a, b] si y sólo o lo si cada aij es integrable en [a, [ a, b]. En ca caso afirmativo se tiene que

∀ ∈

b

 a

→

b

Φ(t Φ(t)dt = dt =

 a



aij (t)dt .

Naturalmente muchas de las reglas del calculo diferencial e integral que conocemos pueden ser extendidas al cálculo alculo matricial. En los ejercicio ejercicioss al final del cap´ cap´ıtulo, se le pide al lector que demuestre estas reglas.

Diferenciales Ordinarias Ordinarias 16 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Volviendo al estudio de los sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, resulta claro ahora que si denotamos

x =

  

x1 x2 .. . xn

  

,

F ( F (t, x1 , . . . , xn ) =

  

F 1 (t, x1 , . . . , xn ) F 2 (t, x1 , . . . , xn ) .. . F n (t, x1 , . . . , xn )

  

,

entonces el sistema (1.6) se escribe de manera más compacta como x = F ( F (t, x)

(1.11)

Análogamente, alogamente, una solución on de (1.11) es una función on 1×n

n

→ R ≈ R →

ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕn ) : J diferenciable en J tal J tal que

∈ ∀ t ∈ J . J .

1. (t, ϕ(t)) D, D ,

2. ϕ (t) = F ( F (t, ϕ(t)).

1.5 1.5

Sist Sistem emas as Line Lineal ales es

Un caso particularmente importante de Sistema de Ecuaciones Diferencia Diferenciales les Ordinarias Ordinarias viene dado cuando cuando las funciones funciones F 1 , . . . F n son del tipo F i (t, x1 , x2 , . . . , xn ) = ai1 (t)x1 + ai2 (t)x2 +

≤ ≤

··· +a

in (t)xn + bi (t),

en donde a donde aij y b i (1 i, j n) n ) son funciones dadas definidas en un cierto intervalo J de J de la recta real R y con valores en R. En este caso el sistema (1.6) toma la forma


  

x1 = a11 (t)x1 + a12 (t)x2 + x2 = a21 (t)x1 + a22 (t)x2 + .. .. . .

1n (t)xn + b1 (t)

xn = an1 (t)x1 + an2 (t)x2 +

nn (t)xn + bn (t)

··· + a ··· + a

2n (t)xn + b2 (t)

17

(1.12)

··· + a

El sistema (1.12) recibe el nombre de Sistema de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Or Ordinarias dinarias Lineales Lineales . Si denotamos

x =

y A(t) =

     

x1 x2 .. . xn

  

b(t) =

,

a11 (t) a12 (t) a21 (t) a22 (t) .. .. . . an1 (t) an2 (t)

  

b1 (t) b2 (t) .. . bn (t)

  

··· ···

a1n (t) a2n (t) .. .

···

ann (t)

entonces (1.12) toma la forma x = A(t)x + b(t)

   (1.13)

Definici´ on on 1.5.1 Sean A Sean A : : J J Rn×n y b : b : J J Rn×1 funciones Rn×1 es una soluci´ matriciale matriciales. s. Una funci´ funci´ on on ϕ : I on de de la E.D.O. (1.13) si y sólo olo si ϕ si ϕ es es diferenciable en el intervalo I intervalo I J y se cumple:

→ →

→

ϕ (t) = A( A (t)ϕ(t) + b(t),

→ →

⊆ ⊆

∀ t ∈ I .

Diferenciales Ordinarias Ordinarias 18 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ejemplo 1.5.1 Determine una solución on del Sistema x = A(t)x + b(t) en donde A(t) =

  1 0 0 t

y

b(t) =

  t 0

,

∀ t ∈ R.

Soluci´ on. on. El sistema dado es equivalente a



x1 = x1 + t x2 = tx2

Usando los métodos etodos estudiados estudiados en un primer primer curso de Ecuaciones Diferenciales, Diferencia les, no es dif´ dif´ıcil ver que q ue la soluci´ soluci ón on de x1 = x = x 1 +t t viene dada por ϕ1 (t) = t 1 + C 1 e , t R y la solución on 1 2  t de x2 = tx 2 es ϕ2 (t) = C 2 e 2 , t R. Luego, Luego, la soluci´ soluci´ on on del sistema sistema propuesto propuesto es:

− −

ϕ(t) =

1 + C 1 et 1 2 C 2 e 2 t

 − − t

∀ ∈



,

∀ ∈

∀ t ∈ R.



En el ejemplo anterior se observa que existen infinitas soluciones del sistema dado (basta darle cualquier valor real a las constantes C 1 y C 2), y que cada solución on es una curva diferen2 ciable en R . Esto es un hecho general: Dadas las funciones maRn×n y b : J Rn×1 , el sistema (1.13) tiene triciales A : J infinitas soluciones siendo todas ellas curvas diferenciables en Rn . (Note el lector, que estamos identificando geom´ etricamente etricamente n×1 el espacio de matrices R con el espacio vectorial Rn. De ahora en adelante, usaremos esta identificación on sin m´ as as comentarios). En las aplicaciones a menudo se busca una solución on de (1.13) que cumpla una condici´ on inicial inicial es decir que tome un valor R en un instante t0 dado determinado x0 dado.. Esto Esto se conoce conoce como un Problema un Problema de Valor Inicial .

→ →

∈

→


19

Definici´ on on 1.5.2 Sean A Sean A : : J J Rn×n y b : b : J J Rn×1 funciones matriciale matriciales. s. Un Un Problema de Valor Inicial (P.V.I.) Inicial (P.V.I.) o Problema o Problema de Cauchy asociado a la E.D.O. lineal (1.13) es una expresión on del tipo:

→ →



→ →

= A(t)x + b(t) x x(t0) = x0

(1.14)

en donde t donde t 0 J y x 0 Rn×1 son dados. Rn×1 definida en el intervalo abierto Una función on ϕ : I una soluci´ on del del P.V.I. (1.14) si y sólo olo si ϕ si ϕ es diferenI J es J es una soluci´ ciable en I en I ,, t 0 I y I y se cumple:

∈

⊆ ⊆

∈ → →

∈

ϕ (t) = A(t)ϕ(t) + b(t), ϕ(t0 ) = x0 .

∀ t ∈ I .

La interpretación on geométrica etrica de la solución on del P.V.I. (1.14) es que de entre todas las soluciones (curvas diferenciables en Rn ) del sistema dado, escogemos aquella que en el instante t0 pase por el punto x0 del espacio Rn . on del P.V.I. Ejemplo 1.5.2 Determine una solución



= A(t)x + b(t) x x(t0) = x0

en donde A(t) y b(t) son como en el Ejemplo 1.5.1, t0 = 0 y 0 x0 = 1

 

Soluci´ on. on. Sabemos que para cualquier par de números umeros reales on C 1 y C 2 , la función ϕ(t) =

1 + C 1 et 1 2 C 2 e 2 t

 − − t



,

∀ t ∈ R.

Diferenciales Ordinarias Ordinarias 20 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales es solución on de la E.D.O. dada. Usando las condiciones iniciales:

 

0 = ϕ = ϕ(0) (0) = 1

 −

1 + C 1 C 2



de donde C donde C 1 = 1 y C y C 2 = 1, luego la soluci´ on on del P.V.I. propuesto es t 1 + et ϕ(t) = , t R.  1 2 e2t

 − −



∀ ∈

Con respecto al ejemplo anterior, surge una pregunta natural: ral: ¿Es la funci´ funci´ on on hallada la unica u ńica solución on del P.V.I. dado?, dicho de otra manera ¿Es posible que el P.V.I. del Ejemplo 1.5.2 admita m´ as as de una solución? on? Por la interpret interpretaci´ aci´ on on geom´ ge ométrica etr ica de una solución on del P.V.I. que dimos l´ıneas arriba, arriba, nosotros nosotros podr´ podr´ıamos responder responder que ¡no! puesto puesto que de entre entre todas las soluciones posibles (las cuales son curvas en R2 ), hemos elegido aquella que en el instante t instante t = = 0 pase por el punto (0, (0 , 1). Nótese otese que este razonamien razonamiento to es correcto correcto si supi´ supiéramos eramos que las soluciones de un sistema son disjuntas (es decir curvas que no se intersectan). intersectan). En el caso de nuestro ejemplo, uno podr´ podr´ıa probar con un poco p oco de paciencia, paciencia, que esto es cierto, dos soluciones de la E.D.O. dada o son iguales o bien son disjuntas. ¿Esta propiedad se cumplirá para cualquier E.D.O.? De manera más as general: general: ¿Todo ¿Todo P.V.I. .V.I. del tipo (1.14) (1.14) admite solución? on? Si la respue respuesta sta es afirmat afirmativ iva, a, ¿esta ¿esta soluci soluci´ on oń es unica? u ńica? en caso contrario ¿bajo ¿ba jo qué condiciones un P.V.I. admite solución? on? El Teorema El Teorema de Existencia y Unicidad para un Sistema Lineal de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias responde Ordinarias responde a todas estas interrog interrogant antes. es. Uno de los objeti ob jetivos vos del próximo oxi mo cap´ıtulo ıtul o es e s prop robar el Teorema de Existencia y Unicidad.


1.6 1.6

21

Ecua Ecuaci cion ones es de Orden Orden Su Superi perior or

Hasta el momento sólo olo hemos visto el caso en que la función on (o funciones) incógnita ognita están an afectadas por una derivación, on, sin embargo, como ya el lector debe haber estudiado en un primer curso de Ecuaciones Diferenciales, en muchas aplicaciones se presentan modelos matemáticos aticos en donde la función on incógnita ognita está afectada por p or una doble derivada (como ocurre en f´ısica ısica cuando tenemos como dato la aceleración) on) e inclusive por derivadas de orden más as alto. Tales ecuaciones ecuaciones son llamadas llamadas de orden superior. Rn+1 y f on definida en Definici´ on on 1.6.1 Sea D f una función alores reales reales.. La Ecuaci´ La Ecuaci´ on Diferencial Ordinaria de D y con valores orden n, asociada a la función f on f es es una expresión on del tipo

⊆

x(n) = f ( f (t,x,x , . . . , x(n−1) )

(1.15)

en donde t donde t es una variable independiente que denota al tiempo, d j x j ) = j , (1 j n). x depende de t y x ( j) n ). dx

≤ ≤

Como ejemplo consideremos la E.D.O. de segundo orden cos wtt mx + cx + kx = kx = cos w

(1.16)

la cual describe el movimiento de una masa m suspendida de un resorte de constante de elasticidad k, k , sujeta a un mecanismo que ejerce una amortiguación on constante igual a c y tal que se ejerce sobre la masa una fuerza exterior periódica cos w cos wtt. En 3 este caso f on definida en todo R y su regla de f es una función correspondencia viene dada por f ( f (t, x1 , x2 ) =

1 cos w cos wtt m

− mk x − mc x . 1

2

Diferenciales Ordinarias Ordinarias 22 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Un caso interesante de la E.D.O. (1.15) ocurre cuando la R es de la forma: función on f : J Rn

× → ×

f ( f (t, x1 , . . . , xn ) = b( b (t)

− a (t)x − a (t)x − · · · − a (t)x(1.17) 1

n

2

n−1

n

1

en donde a1 , a2 , . . . , an y b son funciones a valores reales definidas en un mismo intervalo J R y x1 , x2 , . . . , xn son variables reales. La E.D.O. de orden n asociada a la función on (1.17) es

⊆ ⊆

x(n) + a1 (t)x(n−1) +

 n−1 (t)x

··· + a

+ an (t)x = b = b((t), (1.18)

la cual se llama Ecuaci´ llama Ecuaci´ on Lineal no Homog´ enea enea de orden n. Como ocurre con los sistemas, para las E.D.O.’s de orden n orden n existe también en un concepto de Problema de Valor Inicial y el de su correspondiente solución. on.

⊆ R

Definici´ on on 1.6.2 Sean D D.

n+1

, f : D

0 0

n−1 ) 0

1 0

→ R y (t(t , x , x , . . . , x 0

1. El El Problema de Valores Iniciales Iniciales (P.V.I.) o Problema de Cauchy asociado asociado a f a f es es dado por

 

x(n)

= f ( f (t,x,x , . . . , x(n−1) ) (1.19)

x(t0 ) =

x00 ,



x (t0)

= x 10 , . . . , x(n−1) (t0 )

= x n0 −1.

→ →R

2. Una soluci´ Una soluci´ on del del P.V.I. (1.19) es una función on ϕ : J n-veces diferenciable en el intervalo J R tal que:

⊆ ⊆

 ∈

(a) t0

J . J .

(b) t, ϕ(t), ϕ (t), . . . , ϕ(n−1) (t)

∈

∀ t ∈ J . J . (t)), ∀ t ∈ J . J .

D, D ,

(c) ϕ(n) (t) = f ( f (t, ϕ(t), ϕ (t), . . . , ϕ(n−1)

∈


23

(d) ϕ(t0) = x 00 , ϕ (t0 ) = x 10, . . . , ϕ(n−1) (t0 ) = x n0 −1. Como mostramos a continuaci´ on, on, existe una ´ıntima relación on entre Ecuaciones Diferenciales de orden n y sistemas de E.D.O.’s. En efecto, consideremos el P.V.I. (1.19) y definamos la función Rn como F : D

→

)) (1.20) F ( F (t, x1 , x2 , . . . , xn ) = (x2 , . . . , xn , f ( f (t, x1 , x2, . . . , xn )). . Observe que el P.V.I. asociado a la función on F es

  

x1 x2

= x2 , = x3 , .. .

x1 (t0) x2 (t0)

xn −1 = xn , = f ( xn f (t, x1 , x2 , . . . , xn ),

= x00 = x10 .. .

(1.21)

xn−1 (t0 ) = xn0 −2 = xn0 −1 xn (t0 )

Proposici´ on on 1.6.1 Resolver el P.V.I. de orden n (1.19) es equivalente a resolver el P.V.I. (1.21).

→ → R solución on del P.V.I. de orden n → R definida por →

Demostraci´ on. on. Sea ϕ : J (1.19). Consideremos φ Consideremos φ : : J J

n

( ϕ(t), ϕ (t), . . . , ϕ(n−1) (t)) φ(t) = (ϕ un fácil a cil cálculo alculo muestra que φ es soluci solución ón del P.V.I. .V.I. (1.21) (1.21).. Rn es soluci´ Rec´ Rec´ıproca ıpr ocamente mente,, si φ = (φ1 , φ2 , . . . , φn ) : J on on (1.21), (1.21), entonce entoncess no es dif´ dif´ıcil ver que la primera primera coordenada coordenada R es soluci´ on o n de (1.19) (1.19).. Deja Dejamo moss los los c´ alculos alculos para φ1 : J  el lector.

→

→

Diferenciales Ordinarias Ordinarias 24 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ejemplo 1.6.1 Dada la E.D.O de segundo orden (1.16), hacemos el cambio de coordenadas

 

x1 = x 1 cos wt x2 = m

− mk x − mc x 1

2

y obtenemos el sistema

 

x (t) = y y (t) =

− mk x − mc y + m1 cos wt

Compare el lector con (1.5).



Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineales de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con Coeficientes Constantes En el presente cap´ cap´ıtulo, nos proponemos estudiar Problemas de Valores Iniciales del tipo



= Ax + b(t) x x(t0 ) = x0

(2.1)

Rn×1 es una en donde A Rn×n es una matriz dada, b : J función on matricial definida en el intervalo J intervalo J ,, t 0 J , J , y x 0 Rn×1 . Note que el P.V.I. (2.1) es un caso particular de (1.14) (basta considerar la función on matricial constante A(t) = A, t J ). ). La E.D.O.

∈

→ → ∈

x = Ax + b(t) 25

∈ ∀ ∈

(2.2)

Lineales de E.D.O.’s con con Coeficientes Constantes Constantes 26 Sistemas Lineales es llamada Sistema llamada Sistema Lineal no Homog´ eneo eneo de Ecuaciones Ecuacione s Diferenciales Ordinarias con Coeficientes Constantes Constantes y (2.1) es su Rn×1 es la funci´ P.V.I. .V.I. asociado. asociado. Cuando Cuando b : J on on matricial constante cero, decimos que (2.2) es un Sistema Lineal homog´ ogéneo. eo. Vamos a empezar estudiando estos sistemas.

→

2.1

Sistemas Lineales Homog´ Homog´ eneos eneos

En la presente sección, on, consideraremos P.V.I.’s del tipo



= Ax x x(t0 ) = x0

(2.3)

en donde A Rn×n es una matriz fijada y t0 R, x0 Rn×1 son dados. La E.D.O. x = Ax llamada Sistema ema Lineal Homogéneo eneo Ax es llamada Sist de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con Coeficientes Constantes y y (2.3) es su P.V.I. asociado. Observe que cuando n = 1, A y x0 son matrices 1 1, es R a la matriz decir, decir, n´ umeros umeros reale reales. s. Si denotam denotamos os por a 1×1 A R , entonces el P.V.I. (2.3) toma la forma:

∈

∈

∈

×

∈

∈



= ax x x(t0 ) = x0

(2.4)

Como es bien conocido, la única unica solución on del P.V.I. escalar (2.4) es dada por ϕ(t) = x0 ea(t−t0) ,

∈

(2.5)

la cual esta definida para todo t todo t R. En los ejemplos siguientes, veremos como este resultado puede ser usado para resolver algunos sistemas de P.V.I.


27

Ejemplo 2.1.1 Resolver el siguiente P.V.I.:



x1 = 2x1, x1 (0) = 1  3x2 , x2 (0) = 1 x2 =

−

−

Soluci´ on. on. De acuerdo a (2.5) las soluciones de los P.V.I.’s



= 2x1 x1 x1 (0) = 1

y



= x2 x2 (0) =

−3x −1 y ϕ (t) = −e

2

−3t son, respectivamente respectivamente ϕ1 (t) = e2t las cuales 2 est´ an an definidas en todo R, luego la solución on del P.V.I. dado es:

ϕ :

R

t

→ →

R2



ϕ(t) = (e2t , e−3t )

−

Ejemplo 2.1.2 Resolver el P.V.I.:

  

x1 = λ1 x1 , x1 (0) = x10 x2 = λ2 x2 , x2 (0) = x20 .. .. .. .. . . . . xn = λn xn , xn (0) = xn0

Soluci´ on. on. Desde que ϕ que ϕ i(t) = x i0 eλi t ,

en donde 1 es ϕ :

∀ t ∈ R es solución on de



= λi xi xi xi (0) = xi0

≤ i ≤ n, on del P.V.I. propuesto n, tenemos que la solución

R

t

→ →

Rn

ϕ(t) = (x10 eλ1t , x20 eλ2 t ,

n λn t ). 0

···,x e



Lineales de E.D.O.’s con con Coeficientes Constantes Constantes 28 Sistemas Lineales Ejemplo 2.1.3 Resolver el P.V.I.:



3 x2 , x1 (0) = 0 x1 = 2x1 + 3x  2x2 , x2 = x2 (0) = 1

−

Soluci´ on. on. En primer lugar, observe que este ejemplo difiere un poco de los dos anteriores puesto que ahora el P.V.I.



= 2x1 + 3x 3 x2 x1 x1 (0) = 0

(2.6)

no es del tipo (2.4), sin embargo la solución on de



= 2x2 x2 x2 (0) = 1

es dada por ϕ por ϕ2 (t) = e −2t , en (2.6), tenemos



−

∀ t ∈ R. Reemplazando este resultado

= 2x1 + 3e 3 e−2t x1 x1 (0) = 0

cuya solución on (usando (us ando los l os métodos etod os que se dan en un primer p rimer curso cu rso 3 −2t 3 2t de Ecuaciones Diferenciales) es dada por ϕ por ϕ1 (t) = e + e , 4 4 t R. De esta manera, la solución on del P.V.I. propuesto es dada por:

−

∀ ∈

ϕ :

R

t

→ →

R2

ϕ(t) = (

−

3 −2t 4e

+ 34 e2t , e−2t ).



Observaciones: 1. Los tres ejemplos anteriores podr po dr´´ıan dejar al lector la impresión on de que las t´ ecnicas ecnicas aprendidas en un curso básico asico


29

de Ecuaciones Diferenciales, son suficientes para resolver P.V.I.’s del tipo (2.3). Nada más as falso, en efecto, trate de resolver como en los ejemplos anteriores, el P.V.I.



3 x2 , x1 = 5x1 + 3x x1 (0) = x10 6x1 4x2 , x2 (0) = x20 x2 =

− −

2. Las matrices matrices asociadas a los P.V.I’s de los Ejemplos 2.1.1, 2.1.1, 2.1.2 y 2.1.3 son, respectivamente:

    −  2 0

0 3

,

··· ···

0 λ1 0 0 λ2 0 .. .. . . . . .. . . 0 0 λn

···

  

y



2 0

3 2

−



mientras que la matriz aasociada sociada al P.V.I. de la Observaci´ Observaci´ on on 1 es 5 3 . 6 4



− −



Inmediatamente se observa que las tres primeras matrices son triangulares superiores (inclusive las dos primeras son matric matrices es diagonale diagonales) s) mient mientras ras que la cuarta cuarta no lo es. El hecho que una matriz no sea triangular trae como consecuencia que en su P.V.I. asociado, las funciones incógnitas ognitas en “mezcladas “mezclad as entre s´ı” lo cual hace que x1 , x2 , . . . , xn estén no se pueda pueda aplica aplicarr el m´ etodo etodo usado usado en los 3 ejempl ejemplos os dados en la sección. on. 3. Prestemos por una vez más as nuestra atención on al P.V.I. de la Observación on 1. Considerando el cambio lineal de coordenadas L :

R2

(x1 , x2 )

→ →

R2

− − x ) = (y (y , y )

(2x1 + x2 , x1 L(x1 , x2 ) = (2x

2

1

2

Lineales de E.D.O.’s con con Coeficientes Constantes Constantes 30 Sistemas Lineales tenemos: 2(5x1 + 3x 3 x2 ) + ( 6x1 y1 = 2x1 + x2 = 2(5x = 4x1 + 2x 2 x2 = 2(2x 2(2x1 + x2 ) = 2y 2 y1

− − 4x ) 2

y (5x1 + 3x 3 x2 ) y2 = x1 x2 = (5x = x1 + x2 = ( x1 x2 ) =

− −

− −− −

− (−6x − 4x ) −y 1

2

2

Luego el cambio de coordenadas lineal L transforma el P.V.I. dado en el P.V.I.



donde

y1 = 2y1 , y1 (0) = y01 y2 = y2 , y2 (0) = y02

−

(y01 , y02 ) = L( (2x10 + x20 , x10 L (x10 , x20 ) = (2x

2 0

− − x ),

cuya solución on es dada por: ϕ :

R

t

→ →

R2

( y01 e2t , y02 e−t ) ϕ(t) = (y

Desde que L es una transformación on lineal inversible cuya −1 inversa L inversa L es dada por L−1 :

R2

(y1 , y2 )

→ →

R2

L−1 (y1 , y2 ) = (y1 + y2 , y1

− − 2y ) = (x , x ) 2

podemos retornar a las variables originales x originales x 1 y x y x 2 usando −1 L y obtenemos: ψ(t) = L−1 (ϕ(t)) = L −1 y01 e2t , y02 e−t = y01 e2t + y02 e−t , y01 e2t + 2y 2y02 e−t .



−





1

2


31

De esta manera ψ :

R

t

→ →

R2

ψ(t)

dada por (2x (2x10 + x20 )e2t

ψ (t) =

 −

1 0

2 0

−t

− (x + x )e

(2x (2x10 + x20 )e2t + 2(x 2(x10 + x20 )e−t

es solución on del P.V.I. original.

 

El lector debe guardar en mente que, por un cambio adecuado de coordenadas (en este caso lineal) L lineal) L,, hemos transformado un P.V.I. en donde sus incógnitas ognitas “están an mezcladas” en otro P.V.I. tal que su matriz asociada sea diagonal (y por lo tanto pueden usarse las la s t´ ecnicas ecnicas elementales tales de los ejempl ejemplos os anter anterior iores) es).. Surgen Surgen de maner maneraa inmediat mediataa las siguie siguient ntes es pregun preguntas tas:: ¿C´ omo o mo se obtuvo la Transformación on Lineal L Lineal L?, ?, ¿existe una manera sistemática atica de obtener L? ¿Este método etodo puede ser generalizad generalizadoo a cualquier P.V.I. con cualquier número umero de variables? Todas estas preguntas serán an respondidas conforme avancemos en este est e cap´ıtulo ıtu lo.. Volviendo a nuestro estudio, estamos interesados en saber si el P.V.I. (2.3) admite solución on unica. u ńica. Ya sabemos que cuando cuando at o n es dada por ϕ(t) = x0 e , procediendo por n = 1, la solución analog´ ana log´ıa ıa (un método eto do muy usado usa do en matem´ mat em´ atica), atica), es de esperar que para el caso en que A Rn×n, una función on del tipo ϕ tipo ϕ((t) = tA solucion oń de (2.3), pero ¿tiene sentido la expresión on anx0 e sea soluci´ terior? Observe que si A es una matriz n matriz n n, tambi´ tam bién en lo es tA es tA tA (para cualquier t cualquier t R) luego e luego e es la exponencial la exponencial de una matriz

∈

∈

×

Lineales de E.D.O.’s con con Coeficientes Constantes Constantes 32 Sistemas Lineales cuadrada . Se deduce que si queremos que nuestro método etodo tenga éxito, exito, lo primero que debemos hacer es definir lo que entendemos por exponencial de una matriz. Con este objetivo en mente, recordemos que si a R (ó aún un en C) entonces el número umero real a (o complejo) e queda definido por una serie de potencias del tipo ∞ 1 k 1 1 a e = a = 1 + a + a2 + a3 + 2! 3! k! k=0

∈



···

la cual cual es conve converge rgent ntee para para cualqu cualquier ier a. ¿La ¿La serie serie ante anteri rior or tiene sentido si reemplazamos el número umero real a por una matriz cuadrada A? En prime primerr lugar lugar,, sabem sabemos os que Rn×n es un anillo con elemento identidad

I =

  

1 0 .. .

··· ···

0 0 .. .

···

1

0 1 .. . . . . 0 0

  

.

∈

En este anillo de matrices cuadradas se cumple que si A R y c R entonces cA entonces cA Rn×n, luego si A si A Rn×n y k Z+ , 1 entonces Ak Rn×n, se desprende que k! n×n

∈

m

 k=0

∈

∈

∈

1 k 1 + A + A2 + A = I + 2! k!

m

n×n

(estamos usando la notaci´ on on A0 = I ). I ). Si la m 1 k sucesión on de matrices cuadradas tuvi era l´ımite ımi te cuando cua ndo A tuviera ! k k=0 infinito , entonces este l´ımite ser´ ser´ıa el candidato candida to a ser m tiende al infinito, la exponencial de la matriz A matriz A.. para todo m

∈ Z

+

· · · + m1! A ∈ R

∈




33

En resumen, una manera de resolver el P.V.I. (2.3) ser´ ser´ıa introduciendo el concepto de exponencial de una matriz cuadrada y para ello necesitamos estudiar la noción on de convergencia de sucesiones y series de matrices. Esto es justamente lo que haremos en la próxima oxima sección. on.

2.2 2.2

Suce Su cesi sion ones es y Seri Series es de Matr Matric ices es

En la presen presente te secci´ secci´ on o n sola solame ment ntee vamos amos a trab trabajar ajar con con matrices cuadradas de orden n, sin embargo embargo,, todos los result resultaados obtenidos pueden ser generalizados sin dificultad a matrices n m. Sea una norma en Rn (puede ser la euclidiana), sabemos que la bola unitaria cerrada B1 [0] = x Rn ; x 1 es un n n×n subconjunto compacto de R . Dada A Dada A R , consideremos su transformaci´ on on lineal asociada

×

|· | · |

{ ∈ ∈

T A :

Rn

x

−→ −→

| | ≤ }

Rn

T A (x) = Ax,

claramente T A es una función on continua en Rn , luego T A (x) alcanza su máximo aximo sobre la bola B1 [0], denotemos por A a este máximo, aximo, i.e.

| |  

 A = max{|Ax|; x ∈ B [0]} Observe que a cada matriz A ∈ R le hemos asociado el número umero real  A . 1

n×n

Proposici´ on on 2.2.1 Se cumplen las siguientes propiedades: 1.

 A  ≥ 0, ∀ A ∈ R

n×n

.

Lineales de E.D.O.’s con con Coeficientes Constantes Constantes 34 Sistemas Lineales

 A  = 0 =⇒ A = A = θ θ.. 3.  rA r A  = | r |  A , ∀ A ∈ R , ∀ r ∈ R .  ≤  A  +  B , ∀ A, B ∈ R . 4.  A + B ≤ 2.

n×n

n

n×n

as quedarán an Demostraci´ on. on. Probaremos solamente (3.) las demás como ejercicio para el lector.

 rA  =

{|

| ∈ {| | ∈

} {| | | | ∈ } | | 

}

max (rA) rA)x ; x B1 [0] = max r Ax ; x B1 [0] = r max Ax ; x B 1 [0] = r A

||

Observaci´ on: on: De acuerdo a la proposición on anterior, la función on

 · :

Rn×n

A

es una norma una norma sobre sobre n×n en R asociada a

−→ R −→  A = max{|Ax|; x ∈ B [0]}, 1

Rn×n

la que llamaremos Norma Uniforme

| · |. Entonces ces Lema 2.2.1 Sea | · | : R → R una norma en R . Enton la norma uniforme  ·  en R asociada a | · |, satisface las n

n

n×n

siguientes propiedades:

n×n

1. Ax

n

| | ≤  A  |x|, ∀ A ∈ R , ∀ x ∈ R .  ≤  A  ·  B , ∀ A, B ∈ R . 2.  AB ≤ 3.  A  ≤  A  , ∀ A ∈ R , ∀ m ∈ N. n×n

m

m

n×n

El siguiente resultado establece una relación on entre la norma de una matriz y la norma de sus entradas.




35

Lema 2.2.2 Dada A = [aij ] Rn×n , existen constantes positivas C 1 y C 2 (independientes de la matriz A) A ) tales que

∈

n

| | ≤ A ≤ C

C 1 aij

2

|

|

aij .

i,j=1 i,j =1

Como (Rn×n , ) es un espacio normado, podemos definir el concepto co ncepto de l´ımite ımite de una u na sucesión on de matrices.

 ·

on de matric matrices es en Rn×n es una Definici´ on on 2.2.1 Una sucesi´ funci´ on on que a cada número umero natural k natural k le asocia una matriz A matriz A k Rn×n llamada el k -´ esim si mo térmi rm ino de la sucesión. on. En este este caso caso n×n escribiremos (A (Ak ) R .

∈

⊆

∈ R

Ejemplo 2.2.1 Dada A 0. Luego (A (Ak ) Rn×n .

⊆

n×n

definimos Ak =

1 k A , k!

∀ k ≥

Definici´ on on 2.2.2 Dados (A Rn×n y A Rn×n , decimos (Ak ) que A es el l´ımite de e de la sucesión on (Ak ), lo que denotaremos por lim Ak = A, si y sólo olo si para todo  > 0 existe un k0 N tal

⊆

k→∞

≥

∈

∈

 − 

que si k Cuando una una sucesi´ sucesi´ on on k0 entonces Ak A < . Cuando de matrices tiene l´ımite, decimos que es convergente , en caso contrario se le llama divergente llama divergente . El siguiente resultado establece que una condición on necesaria y suficiente para que una sucesión on de d e matrice mat ricess tenga ten ga l´ımite ımi te es que q ue todas sus entradas formen sucesiones convergentes de números umeros reales. (Ak ) Teorema 2.2.2 Sean (A k [aij ] y A = [aij ]. Se cumple lim Ak = A

k→∞

n×n

⊆R

k ij

⇐⇒ lim a k →∞

y A

= aij ,

∈R

n×n

tales que A que A k =

∀ (i, j ) ∈ I

n,n n,n .

Lineales de E.D.O.’s con con Coeficientes Constantes Constantes 36 Sistemas Lineales A toda sucesión on (Ak ) Rn×n , le podemos asociar una nueva Rn×n , definida por: S 0 = A0 , S 1 = A0 + A sucesión on (S k ) + A 1 , = A 0 + A1 + A2 , en general: S 2 = A

⊆

⊆

k

S k =



A j ,

j=0 j =0

∀ k ≥ 0. 0 .

(S k ) Rn×n es llamada sucesi´ llamada sucesi´ on de sumas parciales asociada asociada a n×n n×n R R (Ak ) . Para ara hacer hacer notar notar que (S ( S k ) depende de n×n R la sucesión on original (A (Ak ) , denotaremos (S (S k ) = Ak ,

⊆ ⊆



⊆

⊆

  ⊆  k,0 k,0

llamada serie de matrices . Decimos Decimos que la serie serie Ak es llamada serie

k,0 k,0

Ak

k,0 k,0

es convergente si y sólo olo si la sucesión on de sumas parciales (S (S k ) ∞

R

n×n

es convergente convergente y a su l´ımite lo denotaremos p or

Ak .

k=0

Damos a continuaci´ on on una caracterización on bastante util u ´ til del concepto de convergencia de una serie de matrices. (Ak ) Teorema 2.2.3 (Criterio de Cauchy) Sea (A afirmaciones siguientes son equivalentes: 1.



n×n

⊆R

. Las

Ak es convergente.

k,0 k, 0

∈ N tal que si m, si m, k ≥ k entonces

2. Dado  Dado  > 0, existe un k un k 0

0

    −  m

k

A j

j=0 j =0

A j < .

j=0 j =0

Finalizamos la sección on con un criterio bastante util u ´ til de convergencia.


37

Teorema 2.2.4 Si (Ak ) Rn×n es tal que la serie de números umeros reales convergen gente, te, entonces entonces la serie de matrices matrices Ak es conver

 k,0 k,0



⊆



en es convergente y se cumple Ak también

k,0 k, 0

  ∞

∞

Ak

k=0

2.3 2.3

  ≤ 



Ak .

k=0

Expon Exponen enci cial al de un una a Mat Matri rizz

El objetivo central de esta sección, o n, es defin definir ir el conc concep epto to de exponencial de una matriz cuadrada y estudiar sus principales propiedades.

Teorema 2.3.1 La serie

 j,0 j,0

Dado j Demostraci´ on. on. Dado j



1 j A j! j !



1 j A es convergente, j! j !

n×n

∀ A∈R

.

≥ 0 se cumple:

1   ≤ j! A j ! A es convergente, Como la serie de números umeros reales convergente, por =

1 j A j! j !

j

    j,0 j,0 j

el Criterio de Comparación on

j,0 j,0

A j! j !

j

j! j !

es convergente, y por el

Teorema 2.2.4, concluimos que la serie de matrices

 j,0 j,0

convergente.

1 j A es j! j ! 

Lineales de E.D.O.’s con con Coeficientes Constantes Constantes 38 Sistemas Lineales Definici´ on on 2.3.1 Dada la matriz A Rn×n , la exponencial la exponencial de A exp(A) ó e , es la matriz de Rn×n definida por A, denotada por exp(A

∈

∞

exp(A exp(A) =

Ejemplo 2.3.1 Si A Si A = =

 

1 j A ! j! j j=0 j =0



0 1 0 0 0 1 0 0 0

Soluci´ on: on: Es fácil acil ver que A2 =

∀ j ≥ 3, luego: 1 + A + A2 = eA = I + 2

   

 ∈

3×3

R

0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 12 0 1 1 0 0 1

, determine e determine e A .

   

y A j =

.

 

0 0 0 0 0 0 0 0 0



Observaciones: 1. La exponencial exponencial es una funci´ on que a una matriz le asocia on una nueva matriz, es decir: exp :

Rn×n

A 2.

A

 exp(A exp(A) ≤ e , ∀ A ∈ R

3. eθ = I . I .

n×n

−→ R exp(A) = e −→ exp(A n×n

.

A

 

,


39

R1×1 entonces A puede ser identificado con un 4. Si A número umero real, luego la exponencial de una matriz cuadrada es la generalización on natural de la función on exponencial que se estudia en el Cálculo. alculo.

∈

Sabemos que la función on exponencial cumple la propiedad: a b = e e , a, b R. e (a+b)

∀

∈

Teorema 2.3.2 Sean A, B afirmaciones: 1

−

i) eP AP

∈ R

n×n

, Se cumplen las siguientes

= P eA P −1 ,

n

∀ P ∈ ∈ GL( GL(R ). ii) Si AB Si AB = B = BA entonces e = e · e . A entonces e A+B

A

B

iii) (e (eA )−1 = e −A .

Ejemplo 2.3.2 En lo sucesivo sucesivo,, denotaremos denotaremos por diag [λ1 , λ2 , n×n R a las matrices diagonales

  

λ1 0 0 λ2 .. .. . . 0 0

0 0 .. .

... ... ...

. . . λn

n×n

···,λ ] ∈ R , e , · · · , e ].

Afirmo que si D si D = diag[λ diag[λ1 , λ2 , diag[eλ1 eD = diag[e

   n

λ2

λn

En efecto, por inducción, on, es fácil acil probar que: diag [λ j1 , λ j2 , D j = diag

j n

· · · , λ ], ∀ j ∈ N,

entonces:

···,λ ] ∈ n


≥ 0 dado, tenemos 1 diag diag [λ , λ , · · · , λ ] j! j !

luego, para cualquier m cualquier m m

1 j D = ! j! j j=0 j =0



=

m

    ···     ··· j 1

j=0 j =0 m

j 2

j n

1 j 1 j λ , λ2 , j! j ! 1 j! j !

diag

j=0 j =0

m

,

1 j λ j! j ! n

m

m

1 j 1 j = diag λ1 , λ2 , ! ! j! j j! j j=0 j =0 j=0 j =0 Entonces ∞

D

e

1 j λn ! j! j j=0 j =0

,

m

1 j 1 j = D = lim D m→∞ ! ! j! j j! j j=0 j =0 j=0 j =0



   ∞

∞

1 j 1 j = diag λ1 , λ2 , ! ! j! j j! j j=0 j =0 j=0 j =0 = diag [eλ1 , eλ2 ,

λn

···,e

],

  ··· ∞

,

1 j λn ! j! j j=0 j =0

lo cual prueba la afirmación. on. Como caso particular, observe que la matriz identidad I n×n puede escribirse como matriz diagonal I diagonal I = = diag diag [1, [1, 1, , 1] R y si λ si λ R entonces λI = = diag diag [λ,λ, , λ], luego

∈

diag[eλ , eλ , eλI = diag[e

λ

λ

···

···

∈ ∈

λ

· · · , e ] = e diag diag [1, [1, 1, · · · , 1] = e I . Ejemplo 2.3.3 Decimos que A ∈ R es una matriz nilpotente si si y sólo olo si existe n ∈ N tal que A = θ. θ . Dada A ∈ R  θ para nilpotente, sea r = min{n ∈ A = θ }, es decir A = todo 0 ≤ j < r y A = θ. Este n´ umero umero r es llamado orden llamado orden de nilpotencia de nilpotencia de la matriz A. Si A ∈ R una matriz nilpotente de orden de nilpotencia n×n n

n×n

n

j

r

n×n

r, entonces se cumple

+ A + eA = I +

1 2 A + 2!

· · · + (r −1 1)! A

r −1

.


41

Ejemplo 2.3.4 Sea A =



a b b a

−

∈

2×2

R

.

Con la finalidad de calcular eA , considerem consideremos os r = Entonces existe un unico θ único θ [0, [0 , 2π [ tal que

√ a

2

+ b2 .

∈

sen θ.. a + ib = ib = re re iθ = r(cos r (cos θ + i sen θ) θ ) = r cos θ + ir sen θ Luego = r A = r Dado j Dado j



∈ N, se sigue que A j = r j



cos θ sen θ

sen θ sen θ cos θ

−

cos jθ cos jθ sen jθ



sen j sen j θ cos jθ cos jθ

−

.



Entonces k

A

e

=

lim

k→∞

k

A j r j = lim k→∞ j! j ! j! j ! j=0 j =0

   −      −

j=0 j =0

k

=

lim

k→∞

Luego

r j cos jθ cos jθ ! j! j j=0 j =0 k

r j sen j sen j θ ! j! j j=0 j =0

∞

eA =

   −

cos jθ cos jθ sen j θ

k

r j sen jθ ! j! j j=0 j =0 k

r j cos jθ cos jθ ! j! j j=0 j =0

∞


r j sen jθ ! j! j j=0 j =0

r j sen j sen j θ ! j! j j=0 j =0


∞

sen j sen j θ cos jθ cos jθ

  ∞

  



   (2.7)

Lineales de E.D.O.’s con con Coeficientes Constantes Constantes 42 Sistemas Lineales Por otro lado: ∞ a+ib

e

=



j=0 j =0

∞

∞





(a + ib) (reiθ ) j ib) j r j eijθ = = , ! ! j! j ! j! j j! j j=0 j =0 j=0 j =0

esto implica ∞

r j (cos jθ (cos jθ + + i sen j sen j θ), e (cos b + i sen b) b ) = ! j! j j=0 j =0



a

de donde ∞

∞

r j cos jθ cos jθ,, e cos b = ! j! j j=0 j =0

r j sen j sen j θ. (2.8) e sen b = ! j! j j=0 j =0



a



a

Reemplazando (2.8) en (2.7), obtenemos eA =



sen b ea cos b ea sen b a a sen b e cos b e sen b

−

  = e = e a

cos b sen b

−

sen b sen b cos b



.

Por lo tanto hemos probado que si A = entonces eA = e a

 ∈ −   −   ∈ a b b a

Ejemplo 2.3.5 Sea A = eA .

cos b sen b

R

2×2

sen b sen b cos b

λ 1 0 λ

R2×2 ,

. vamos a calcular

En primer lugar, observe que A que A = = λI + N , λI + N , donde N =

  0 1 0 0

.


43

Es fácil acil ver que N que N 2 = θ (es decir N es es una matriz nilpotente θ (es decir N con orden de nilpotencia 2) y que λI y N conmutan, N conmutan, luego: A

e = e

2.4 2.4

λI +N

= e

λI

N

·e

λ

= (e ( e I )(I )(I + + N ) = e

λ

  1 1 0 1

.

El Teo Teore rema ma de de Exis Existe tenc ncia ia y UniUnicidad de E.D.O. Lineales

En la presente sección on presentamos la demostración on del Teorema de existencia y unicidad para un sistema de ecuaciones diferenciales ciales ordinarias con coeficientes coeficientes reales constante constantes. s. Para Para ello, necesitamos algunas definiciones y propiedades previas. Rn×n , para cualquier t R es claro Dada la matriz A n×n tA n×n R que tA R y por consiguiente e consiguiente e . Luego podemos definir Rn×n ΦA : R ΦA (t) = e tA t Observe que Φ A es un camino en el espacio de matrices cuadradas siguiente te resultad resultadoo nos dice que Φ A es diferenciable, n n. El siguien más as espe es pecc´ıficam ıfi cament ente: e:

∈

∈

∈

∈

→ →

×

Si A Proposici´ on on 2.4.1 Si A

n×n

∈R

, entonces

 ΦA (t) = e tA A = Ae = Ae tA ,

∀ t ∈ R.

on de derivada: Demostraci´ on. on. Por definición  ΦA (t)

ΦA (t + h) = lim h→0 h tA+hA etA+ h→0 h

= lim

−Φ

A (t)

tA

−e

e(t+h)A = lim h→0 h

etA ehA h→0 h

= lim

tA

−e

tA

−e

Lineales de E.D.O.’s con con Coeficientes Constantes Constantes 44 Sistemas Lineales Luego

etA (ehA I ) = lim h→0 h 1 1 I = hA + (hA) hA)2 + (hA) hA)3 + , luego 2! 3!

−

 ΦA (t)

Pero e Pero e hA

−

(2.9)

···

1 1 ehA I = A + hA2 + h2 A3 + 2! 3! h

−

···

Reemplazando en (2.9):  ΦA (t)

tA

= lim e h→0



1 1 A + hA2 + h2 A3 + 2! 3!

 ···

= e = e tA A.

 Análogamente alogamente se prueba que Φ A (t) = Ae tA .

on ΦA : Corolario. La función

R

→R

n×n



es de clase C clase C ∞ en

R.

Teorema 2.4.2 (Teorema de Existencia y Unicidad) Si A Rn×n y x 0 Rn , entonces la unica u ´ nica solución on del P.V.I.

∈

es dada por



ϕ :

= Ax x x(0) = x0 R

t

→ →

(2.10)

Rn

ϕ(t) = e tA x0 .

on 2.4.1: Demostraci´ on. on. Por la Proposición ( AetA )x0 = A = A((etA x0 ) = Aϕ( ϕ (t) = (Ae Aϕ (t), además as = e 0A x0 = e = e θ x0 = x = x 0 . ϕ(0) = e

∀ t ∈ R,

∈


45

Por lo tanto ϕ tanto ϕ es solución on del P.V.I. (2.10). Rn otra soluci´ Para probar la unicidad, sea ψ : R on on del P.V.I. (2.10). Defino

→

→ →

f : R t Se cumple

n

R

f ( f (t) = e −tA ψ (t).

f  (t) = e −tA ( A)ψ(t) + e−tA ψ  (t) =

tA

−tA

− −e Aψ( Aψ(t) + e Aψ( Aψ(t) = 0 ∈ R , ∀ t ∈ R. luego f luego f (t) = 0, ∀ t ∈ R. Se sigue que f ( f (t) = C ∈ 

n

En particular C = f (0) f (0) = e−0A ψ (0) = I x0 = x0 , de donde estaa maner maneraa e−tA ψ(t) = x0 , es decir ψ(t) = f ( f (t) = x0 . De est  = ϕ((t), t R. etA x0 = ϕ

∀ ∈

Se debe observar que en el teorema anterior, el instante iniR, cial t = 0 puede ser reemplazado por cualquier t = t0 esto es precisamente lo que nos dice el siguiente corolario cuya demostraci´ on on es dejada al lector.

∈

Corolario 1. Si A Si A soluci´ on on del P.V.I.

n×n

∈R

es dada por ϕ :

R



t

, x 0

∈ R

n

∈ R, entonces la única unica

y t 0

x = Ax x(t0 ) = x 0

→ →

(2.11)

Rn

ϕ(t) = e (t−t0 )A x0 .

Corolario 2. El P.V.I. lineal homogéneo eneo de orden n

 

x(n) + a1 x(n−1) +

 n−1 x

··· + a

+ an x

= 0

x(t0 ) = x 00 , x (t0 ) = x 10 , . . . , x(n−1) (t0 ) = xn0 −1 .

n−1 R, y t0 , x00 , . . . x0 (en donde a1 , . . . , an unica u ´ nica solución on definida en R.

∈

∈ R), admite una


2.5 2.5

Forma rmas ca can´ n´ onicas onicas y c´ alculo alculo de la exponencial de una matriz

Hasta ahora sólo olo sabemos calcular la exponencial de algunas matrices especiales (ver los ejemplos de la sección on 2.3). Vamos a agregar a esa lista algunos otros casos m´ as. as.

Ejemplo 2.5.1 Sea A

A =

  

∈R

n×n

de la forma

θn1×n2 A2 .. .

··· ···

θnm ×n1 θnm ×n2

···

A1 θn2×n1 .. .

θn1 ×nm θn2 ×nm .. ... . Am

  

n ×n donde Ai 1 R i i, i m, θni ×nj es la matriz cero de ni ×nj R y n1 + n + n2 + + nm = n. Tales matrices matrices son llamadas matrices diagonales por bloques y y las denotaremos por

∈

∀ ≤ ≤ ···

diag[A diag[A1 , A2 ,

···,A

m ].

No es e s dif di f´ıcil ıci l proba pr obarr que qu e si A si A = = diag[A diag[A1 , A2 , para cualquier k cualquier k N se tiene:

∈

diag [Ak1 , Ak2 , Ak = diag

···,A

diag [eA1 , eA2 , eA = diag

···,e

···,A

m ] entonces

k m ],

luego: Am

].

(Compare con el Ejemplo 2.3.2).

Ejemplo 2.5.2 Sea A

∈ R

n×n

de la forma: A = λI + N n en

T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias opicos donde λ donde λ

∈ R y N n =

Observe que

N n2 =

  

47

0 0 .. .

0 0 .. .

  

0 0 .. .

1 0 .. .

0 1 .. . . . . 0 0 0 0 0 0

··· ···

1 0 .. .

0 0 1 0 .. . . .. . . . 0 0 0 0 0

···

  

··· ···

0 0 .. .

··· ···

1 0

   ∈

, . . . , Nnn −1 =

R

n×n

  

0 0 .. .

0 0 .. .

0 0 .. .

··· ···

0 1 0 0 .. . . .. . . . 0 0 0 0 0

···

y N nn = θ, es decir N n es una matriz nilpotente con orden de nilpotencia n nilpotencia n.. Para calcular e calcular e A en primer lugar observamos que (λI )N n = λ = λ((N n I ) = N n (λI ), ), luego eA = eλI +N n = e λI eN n

(2.12)

Sabemos que eλI = e λ I

(2.13)

Por otro lado + N n + eN n = I +

=

  

1 2 N + 2! n

1 2!1 1 1 .. .. . . 0 0 0 0 0 0 1 0 .. .

··· ··· ··· ···

· · · + (n −1 1)! N

n−1 n

1 (n−2)! 1 (n−3)!

.. . 1 0

1 (n−1)! 1 (n−2)!

.. . 1 1

  

(2.14)

  

Lineales de E.D.O.’s con con Coeficientes Constantes Constantes 48 Sistemas Lineales Reemplazando (2.13) y (2.14) en (2.12) obtenemos:

eA = e λ

1 2!1 1 1 .. .. . . 0 0 0 0 0 0

  

1 (n−2)! 1 (n−3)!

··· ···

1 0 .. .

1 (n−1)! 1 (n−2)!

.. . 1 0

··· ···

.. . 1 1

(Compare con el Ejemplo 2.3.5).

  

Ejemplo 2.5.3 Denotemos

−

∈

cos b sen b

sen b sen b cos b

I 2(a; b) =



a b b a

R

2×2

.

Por el Ejemplo 2.3.4 tenemos eI 2(a;b) = e a



−



= e = e a R2 (b).

Llamemos diag[I 2 (a; b), I 2 (a; b), J 2n (a, b) = diag[I Sea A Sea A

2n×2n

∈R

· · · , I (a; b)] ∈ R 2

2n×2n

matriz de la forma = J 2n (a, b) + N 22n , A = J

donde

N n2 =

  

0 0 .. .

0 0 .. .

1 0 .. .

0 1 .. . . . .

··· ···

0 0 .. .

···

0

0 0 0 0

  

=

  

θ θ .. .

I θ .. .

··· ···

θ θ I θ .. . . .. . . . θ θ θ I θ θ θ θ

··· ···

  

.


49

No es dif´ dif´ıcil probar que J que J 2n (a, b)N 22n = N = N 22n J 2n (a, b); luego: 2

2

a,b) N 2n = diag[e diag[eI 2 (a;b) , , eI 2 (a;b) ]eN 2n eA = eJ 2n (a,b) e 2 = diag [ea R2 (b), , ea R2 (b)]e )]eN 2n = e a diag[R diag[R2 (b),

···

···

2

Concluimos que diag[R2 (b), eA = e a diag[R

N 22n

· · · , R (b)]e )]e 2

.

En resumen, los ejemplos anteriores nos muestra como calcular la exponencial de A de A,, cuando A cuando A es una matriz de la forma:

• Diagonal por bloques, • λI + + N , • J (a, b) + N . n

2n

2 2n

¿Cómo omo calcular la exponencial de cualquier matriz A Rn×n ? Un resultado resultado bien conocido conocido del algebra a´lgebra lineal (el cual enunciaremos a continuación), on), establece que no necesitamos más as esfuerzo, puesto que toda matriz cuadrada real puede reducirse a alguno de los tres tipos anteriores.

∈

Teorema 2.5.1 (Forma (Forma Can´ onica de Jordan para matrionica n×n ces reales) reales) Si A R , enton entonces ces existe existe una matriz matriz P n GL( GL(R ) tal que

∈

diag[J 1 , J 2 , P AP −1 = J A = diag[J

∈

· · · , J ], m

donde cada J cada J i es una matriz cuadrada de la forma: 1. J i = λ = λ iI + + N ni , si λ si λ i es un autovalor real de A. A .

N 22n

)]e · · · , R (b)]e

Lineales de E.D.O.’s con con Coeficientes Constantes Constantes 50 Sistemas Lineales 2. J j = J 2nj (a j , b j )+ N 22nj , si a si a j + ib j es un autovalor complejo de A de A.. Adem´ as, a s, la suma de los órdenes ordenes de los bloques de la forma de λi como co mo ra r a´ız del d el poli p olinom nomio io λi I +N ni es igual a la multiplicidad de λ caracter´ cara cter´ıstico ıst ico de A mientras que la suma de los ordenes órdenes de los 2 bloques de la forma J 2nj (a j ; b j ) + N 2nj es igual al doble de la multiplicidad de a de a j + ib j como co mo ra´ ra´ız del polin po linomi omioo caracter´ cara cter´ıstico ısti co de A de A.. La matriz J matriz J A Rn×n es llamada Forma llamada Forma Can´ onica de Jordan (Real) de A y unica salvo el orden de los bloques y el signo A y ella es única de la parte imaginaria b j de las ra´ ra´ıces complejas del polinomio carac ca racter´ ter´ısti ıs tico co de d e A. A . 

∈

Observe que J A es una matriz diagonal por bloques y que sus bloques son matrices del tipo λi I + N ni , ó J 2nj (a j , b j ) + ejempl plos os del inici inicioo de la secci´ secci´ on, o n, se sigue que N 22nj . De los ejem podemos calcular sin mayores dificultades la exponencial de J de J A . A Finalmente, para determinar e determinar e hacemos uso del Teorema 2.3.2 - (i). En efecto, sabemos que A = P = P −1 J A P , P , luego 1

−

eA = e P

2.6

J A P

= P −1 eJ A P.

Sistemas Lineales no Homog´ Homog´ eneos eneos

Finalizamos Finali zamos el cap´ıtulo ıtulo estudiand est udiandoo las soluciones solu ciones de los lo s Sistemas Sistema s Lineales Lineales no Homog´ Homogéneos eneos con Coeficient Coeficientes es Constante Constantes. s. Como veremos a continuación, on, la manera de resolver tales E.D.O.’s es completamente análoga aloga al caso escalar que se estudia en los cursos básicos asicos de Ecuaciones Diferenciales.


51

Consideremos el P.V.I.



= Ax + b(t) x x(t0 ) = x0

(2.15)

Rn×1 es una en donde A Rn×n es una matriz dada, b : J funci´ on on matricial continua continua en el intervalo intervalo J y x0 Rn×1 . J ,, t 0 J , J , y x Supongamos que φ : J on on de (2.15), multiRn es soluci´  plicando ambos miembros de φ de φ (t) = Aφ( Aφ(t) + b(t) por el “factor −tA integrante” e y operando, tenemos

∈

→ → ∈

→

∈

d −tA e φ(t) = e−tA b(t), t J (2.16) dt Luego si integramos ambos miembros de (2.16) entre t 0 y t J , J , por el Teorema Fundamental del Cálculo, alculo, se llega a



−tA

e

φ(t)



−t0 A

−e

∀ ∈

∈

t

φ(t0 ) =



e−sA b(s)ds.

t0

Multiplicando por e por e tA y operando, se obtiene (t−t0 )A

φ(t) = e

tA

x0 + e

t



e−sA b(s)ds

(2.17)

t0

Un fácil acil cálculo alculo nos lleva a concluir que la función on φ : J : J Rn cuya regla de correspondencia es dada por (2.17) es solución on del P.V. P.V.I. I. (2.15). (2.15). ¿Esta ¿Esta soluci´ soluci´ on o n es unica? u ´ nica? Suponga Supongamos mos que que n R es otra soluci´ on on de (2.15), no es dif´ dif´ıcil probar que ψ : J n : J R es solución on del P.V.I. .V. I. homog´ hom ogéneo eneo ψ φ : J

→ →

−

→

→ →



= Ax x x(t0 ) = 0

(2.18)

Pero la unica u ńica solución on de (2.18) es la función on constante cero, concluimos que ψ que ψ = = φ y de ésta esta manera (2.15) admite una unica u ńica φ y soluci´ on. on. Resumi Resumimos mos los result resultados ados obtenid obtenidos os en el siguient siguientee teorema.

Lineales de E.D.O.’s con con Coeficientes Constantes Constantes 52 Sistemas Lineales Teorema 2.6.1 Sea A Rn×n es una matriz dada, b : J Rn×1 es una funci´ on matricial continua en el intervalo J on intervalo J ,, t 0 J , J , n×1 y x0 R . Entonces la unica u ´ nica solución on del P.V.I.

∈

∈

∈



= Ax + b(t) x x(t0 ) = x0 n

→ R →

es dada por φ por φ : : J J φ(t) = e

→

(t−t0 )A

donde tA

x0 + e

t



e−sA b(s)ds,

∀ t ∈ J.

t0

Corolario. El P.V.I. lineal no homogéneo eneo de orden o rden n n

 

x(n) + a1 x(n−1) +

··· + a

 n−1 x

+ an x

= b(t)

x(t0 ) = x 00, x (t0 ) = x 10 , . . . , x(n−1) (t0) = xn0 −1 .

∈

→ →

R es una funci´ (en donde a1 , . . . , an R, b0 : J on on continua n−1 0 R), admite una definida en el intervalo J y t0 , x0 , . . . x0 unica u ńica solución on definida en J en J ..

∈

Observaciones:

→ R →

1. Sean las funcione funcioness φh , φ p : J e(t−t0)A x0 y φ p (t) = e tA

t



n

definidas por φh (t) =

e−sA b(s)ds. ds. Observe que φh es

t0

soluci´ on on del P.V.I. homog´ hom ogéneo eneo



= Ax x x(t0 ) = x0

mientras que φ que φ p (t) es una solución on del P.V.I.



= Ax + b(t) x x(t0 ) = 0


53

2. No obstante obstante tener tener una fórmula ormul a expl´ıcita ıci ta para pa ra resolver res olver Prob P rob-lemas de Valores alores Iniciales Iniciales Lineales Lineales no Homog´ Homogéneos eneos con Coeficient Coeficientes es Constantes Constantes,, los cálculos alculos envueltos son muy engorrosos y en muchos casos no es posible obtener soluciones expl´ expl´ıcitas. Esto sucede aún un en el caso n caso n = = 2.

Cap´ıtulo 3 Teor eor´ıa Cual Cualit itat ativa iva de las las E.D.O.’s Lineales Por lo l o hecho h echo en el cap c ap´´ıtulo anterior, el lector podr po dr´´ıa pensar pens ar que ya no habr´ habr´ıa nada m´ as que hacer en cuanto a los sistemas linas eales eales con coeficie coeficient ntes es consta constante ntes, s, puesto puesto que sabemos sabemos que su solución on existe, es unica, u ´ nica, tenemos una fórmula ormul a expl´ e xpl´ıcita ıcit a para p ara su solución on e incluso, con auxilio del álgebra algebra lineal podemos pasar a un sistema de coordenadas en el que la matriz asociada al nuevo P.V.I. sea una matriz diagonal por bloques (forma canónica onica de Jordan) en donde los bloques son tales que resulta fácil acil calcular su exponencial y finalmente volver al sistema de coordenadas originales. originales. Entonces Entonces ¿por qu´ e seguir seguir estudiando estudiando los sistemas sistemas lineal lineales es con coeficien coeficientes tes constan constantes tes?. ?. La respue respuesta sta a esta esta interrogan terrogante te es bastante bastante simple: simple: para poder encontrar encontrar la forma n×n canónica onica de Jordan de una matriz A R necesitamos antes que nada conocer sus autovalores los cuales, como sabemos, son ra´ ra´ıces del polin po linomio omio caracter´ cara cter´ıstico ıst ico P bien, P A (λ) es P A (λ). Ahora bien, P

∈

54


55

un polinomio de grado n y como el lector debe saber, no existe una fórmula ormula (por radicales) que nos permita hallar todas las ra´ ra´ıces de un polinomio de grado mayor que o igual a 5. Una consecuencia de la no existencia de esta fórmula es que, salvo en casos particulares, sólo olo podemos conocer los autovalores de la n×n matriz A matriz A R (n 5) de una manera una manera aproximada se se deduce −1 que los autovectores (y por lo tanto la matriz P ) tambi ta mbi´én en serán an aproximados y la propia forma canónica onica de Jordan es una matriz matriz aproximad aproximada. a. ¿Cu´ anto se diferencia la “solución anto on aproximada” de la “solución on teórica”? orica”? Intuitiv Intuitivamen amente te podemos po demos ver que en las vecindades del instante inicial t0 la “solución on aproximada” representa bastante bien a la “solución on teórica”, orica”, pero esto deja de ser válido alido para valores de t muy lejanos del t0 . El Análisis alisis Numérico erico nos proporciona prop orciona técnicas ecnicas para estudiar estudia r la “soluci´ on aproximada” y controlar el error cometido al usar esta on aproximaci´ on para predecir el valor teórico. on orico. No preten pr etendemo demoss en estas est as notas no tas estud es tudiar iar estos es tos métodos eto dos num´ nu méricos, eric os, puesto puesto que existe existe una bibliograf bibliograf´´ıa extensa extensa sobre el tema que el lector interesado puede consultar, estudiaremos a cambio un método eto do alter a lternati nativo vo al Análisis alisis Numérico erico que nos n os permita p ermita predecir fenómenos omenos modelados por sistemas Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Ordinari as. Este método etodo alternativo alterna tivo fue llamado llamad o por p or Poincaré como “Teor´ “Teor´ıa Geométrica etrica de las Ecuaciones Ecuacio nes Diferenciales” Diferenci ales” y su objetivo es obtener propiedades cualitativas de las soluciones de una E.D.O. a E.D.O. a´ un ´ sin conocer conocer expl exp l´ıcitamente ıcitament e estas soluciones solucione s . En el presente cap´ cap´ıtulo iniciamos el estudio de la Teor´ eor´ıa Geométrica etrica de las E.D.O.’s lineales homogéneas eneas con coeficientes coefic ientes constantes. Algunos de los resultados obtenidos en esta sección on serán an posteriormente generalizados a los sistemas no lineales. Cabe mencionar que el estudio cualitativo de las E.D.O.’s forma una parte importante de la Teor´ eor´ıa de los Sistemas Din´ amicos, amicos, rama de la matemática atica que ocupa en la actualidad el inter´ interés es de

∈

≥

eor´ıa Cualitativa de d e las E.D.O.’s Lineales 56 Teor´ muchos cient c ient´´ıficos y es motivo de investigación. on.

3.1

El flujo flujo asociad asociado o a una E.D.O E.D.O.. linlineal

Sea A Rn×n y x0 Rn , por el Teorema 2.4.2 sabemos que la unica u ńica solución on del P.V.I.

∈

∈

es dada por: ϕx0 : R t



x = Ax = x 0 x(0) = x

→ →

(3.1)

Rn

ϕx0 (t) = e tA x0

Haciendo variar la condición on inicial x0 en todo Rn , obtenemos todas las soluciones de la E.D.O. x = Ax. objetivoo de este Ax. El objetiv cap´ cap´ıtulo es estudiar estudia r las propiedades propieda des geométricas etricas que tienen estas soluciones y para ello necesitamos del concepto de flujo.

Definici´ on on 3.1.1 Sea A  lineal x lineal x = Ax es Ax es dado por

∈ R

ϕA :

R

n×n

n

×R → (t, x) →

, el flujo el flujo asociado a asociado a la E.D.O. Rn

ϕA (t, x) = e tA x

Ejemplo 3.1.1 Dada la E.D.O.



3 x2 x1 = 5x1 + 3x  6x1 4x2 x2 =

− −



 ∈

5 3 Su matriz asociada es A = 6 4 asociado a esta E.D.O. es la función ϕ on ϕ A :

− −

2×2

R

R

. Luego el flujo

2

×R → R

2

definida


57

por (2x1 + x2 )e2t , (x1 + x2 )e−t ϕA (t, x1 , x2 ) = (2x

  

Ejemplo 3.1.2 Dada la E.D.O.





x1 = x2 + x3 x2 = x1 + x3 x3 = x1 + x2

 

0 1 Su matriz asociada es A = 1 0 1 1 asociado a la E.D.O. es la función on por

  ∈

1 1 0 ϕA :

R

3×3

R

3

×R → R

1 (1, 1, 1) + ϕA (t, x1 , x2 , x3 )= (x1 + x2 + x3 )e2t (1, 3 1 + (2x (2x1 x2 x3 , x1 + 2x 2 x2 3

− − −

. Luego el flujo 3

definida

3

1

2

Observaciones: 1. Toda matriz A Rn×n determina una E.D.O. lineal x = rec´ıprocament ıprocamente. e. Luego podemos decir indistintaindistintaAx y rec´ mente que ϕ que ϕ A es el flujo “asociado a la matriz A matriz A”” o “es el  flujo asociado a la E.D.O. x = Ax”. Ax”.

∈

2. Si A Si A Rn×n , entonces su flujo asociado ϕ asociado ϕ A es una función on que depende de n de n + 1 variables variables:: una variable variable temporal temporal t y t y espaciales x = (x1 , . . . , xn ). n variables espaciales x

∈

Rn×n (o equivalen 3. A cada matriz A equivalenteme temente nte,, a cada  E.D.O. x = Ax), Ax), le estamos asociando un flujo ϕA , el

∈

−t

2 x )e − x , −x − x + 2x 3

eor´ıa Cualitativa de d e las E.D.O.’s Lineales 58 Teor´ cual es una función on definida en R Rn con valores en Rn . ¿Qué podemos po demos decir con relación on a la rec´ rec´ıproca? es decir n n R es un flujo? si no lo fuera ¿toda funci´ funcion F oń F : R R Rn es ¿bajo qué condiciones una funci´ on on F : R Rn el flujo flujo asociad asociadoo a una matriz? matriz? Inten Intentar taremo emoss respond responder er estas interrogantes, demostrando algunas propiedades de los flujos.

×

× →

Proposici´ on on 3.1.1 Si A Si A ϕA

×

→

n×n

∈ R , entonces su flujo asociado : R × R → R n

n

satisface las siguientes propiedades: i) ϕA (0, (0, x) = x,

n

∀x ∈ R .

ii) ϕA (t + s, x) = ϕA (t, ϕA (s, x)), )),

n

∀ t, s ∈ R, ∀ x ∈ R .

Demostraci´ on. on. Sabemos que ϕ que ϕ A (t, x) = e tA x, luego (0, x) = e 0A x = I = I x = x. = x. ϕA (0, lo cual prueba (i). Por otro lado tA+sA = e tA+ ϕA (t + s, x) = e(t+s)A x = e x = (etA esA )x = etA (esA x) = ϕ A (t, esA x) = ϕA (t, ϕA (s, x)). )).

·



Observaciones: Rn el flujo asociado a la matriz 1. Sea ϕA : R Rn on A Rn×n . Fijando un t0 R podemos definir la función n n R , como (ϕA )t0 : R

∈

× →

→

∈

(ϕA )t0 (x) = ϕA (t0 , x) = e t0 A x.

(3.2)

T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias opicos Resulta claro que (ϕ ( ϕA )t0 GL( as a´ un un (ϕA )t0 GL(Rn ), más (ϕA ) t0 . Tenemos entonces que

59 −1

 

∈

−

{(ϕ ) } A

t

=

t∈R

es una familia en GL( ametro t GL(Rn) indexada por el parámetro R. M´ as a s a´ un, un, de la Proposición on 3.1.1 se desprende que

∈

(a) (ϕ (ϕA )t1 +t2 = (ϕ ( ϕA )t1

◦ (ϕ

A )t2 ,

∈ R.

para todo t todo t 1 , t2

(b) (ϕ (ϕA )0 = I luego la función on ΞA : R GL( GL(Rn ) definida por ΞA (t) = (ϕA )t es un monomorfismo del grupo aditivo de los reales en GL( GL(Rn ).

→

2. Conocida la posición on inicial inicial de todas las part´ part´ıculas, ıculas, el isomorfismo lineal (ϕ (ϕA )t0 se interpreta geométricamente etricamente como la posición on de las part´ part´ıculas ıculas en el instante instante t0 que fluyen a lo largo de las soluciones de la E.D.O. x = Ax, Ax, tal como se muestra en la Figura 3.2. Rn el flujo asociado a la matriz A 3. Sea ϕA : R Rn Rn×n . Si fij Rn podemos ahora definir la fijamos amos un un x0 n funci´ on on (ϕA )x0 : R R , como

×

→ →

∈

∈

(ϕA )x0 (x) = ϕ A (t, x0 ) = e tA x0

(3.3)

Es decir, (ϕ (ϕA )x0 es la solución on de la E.D.O. x = Ax que en el instante 0 pasa por el punto x punto x 0 . 4. Existe la derivada parcial

∂ϕ A en todo punto punto de R ∂t

n

×R .

eor´ıa Cualitativa de d e las E.D.O.’s Lineales 60 Teor´ De las observaciones anteriores concluimos que si ϕA es el flujo asociado a la matriz A matriz A Rn×n entonces ϕ entonces ϕ A es una función on n que admite derivada parcial con respecto a t en todo R R y que satisface las siguientes propiedades:

∈

n

∈ GL( todo t ∈ R. GL(R ), para todo t ) = (ϕ ) ◦ (ϕ ) , para todo t todo t , t ∈ R.

1. (ϕA )t 2. (ϕA

×

A

t1 +t2

t1

A

1

t2

2

3. (ϕA )0 = I Estas son las propiedades que caracterizan a los flujos asociados a matrices matrices cuadrada cuadradas. s. M´ as as espec´ıficamente, ıficamente, tenemos el siguiente resultado: on F : R Proposici´ on on 3.1.2 Si la función F siguientes propiedades: i) Existe Existe la deriv derivada parcial

∂F en ∂t

n

n

×R → R R

satisface las

n

×R .

n

∈ L(R ), para todo t todo t ∈ R. iii) F = F ◦ F , para todo t todo t , t ∈ R. ii) F t

t1 +t2

t1

t2

1

2

iv) F 0 = I . I . Entonces existe una única unica matriz A matriz A asociado.

n×n

∈R

tal que F que F es es su flujo

Observaciones: 1. De las propiedades ii), ii), iii) y iv) se deduce deduce que F t t R.

∀ ∈

n

∈ GL( GL(R ),


61

2. Existe una correspondencia biun´ biun´ıvoca entre las matrices n×n R , las E.D.O.’s E.D.O.’s lineales lineales homog´ homogéneas eneas con coefiA  R cientes constantes x constantes x = Ax y funciones F : R Rn Ax y las funciones F que satisfacen las 4 condiciones de la Proposición on 3.1.2. De esta manera, además as del álgebra algebra lineal, podemos valernos del análisis alisis en varias variables reales para obtener informaci´ on cualitativa sobre el sistema x on sistema x  = Ax. Ax.

∈

× →

A continuación on veremos que las soluciones de la E.D.O. x  = on del espacio Rn . Ax generan Ax generan una partición Dado x Dado x Rn , la ´ la ´ orbita o trayectoria o trayectoria del del punto x punto x a a trav´ tr avés es del de l flujo ϕ flujo ϕ A denotada por A (x) se define como el conjunto

∈

O

O

{ Proposici´ on on 3.1.3 Sean A ∈ R A (x)

= ϕA (t, x); t n×n

∈ R}

y ϕA su flujo asociado. Se

cumplen las siguientes propiedades: 1. Dados x, y Rn entonces o bien se cumple que A (y ) = o bien A (x) = A (y ).

O

∅

∈

O

O

A (x)

∩

O 2. x ∈ Nu(A Nu(A) si y sólo o lo si O (x) = {x}. En par parti ticu cula larr O (0) = {0}. El conjunto F formado por todas las orbitas órbitas O (x), (donde llamado foliaci´ on por curvas de R generada por la x ∈ R ) es llamado foliaci´ matriz A matriz A ∈ R (o por la E.D.O. lineal x lineal x = Ax). Ax). Note que la foliación on F es el conjunto formado por todas las A

A

A

A

n

n

n×n



A 

soluciones de la E.D.O. x = Ax la Ax la cuales pueden ser puntos o n curvas de R . Como una primera consecue consecuencia ncia de esto, tenemos que dos soluciones de una E.D.O. lineal o bien coinciden o bien son disjuntas. En las secciones siguientes, vamos a estudiar las propiedades geométricas etricas de los elementos de una foliaci´ on. on.

eor´ıa Cualitativa de d e las E.D.O.’s Lineales 62 Teor´

3.2 3.2

Conj Conjug uga aci´ on de Sistemas Lineales on

F

El flujo ϕA (o equivalen equivalenteme temente nte,, la foliaci´ foliación on A) nos proporciona toda la información on cualitativa necesaria sobre las solu ciones de la E.D.O. x E.D.O. x = Ax, Ax, por este motivo vamos a iniciar en esta sección on un estudio sistemático atico del mismo. Una manera de iniciar este estudio es clasificar los flujos de acuerdo a “ciertas propiedades comunes” que nos interese investigar. Clasificar ob jetos de acuerdo a “propiedades comunes” es una pr´ actica actica usual no sólo olo en matemática atica sino tambi´ en en en otras disciplinas, por ejemplo la taxonom´ taxonom´ıa es una rama de la ciencia que se encarga en clasificar a los seres vivientes, la especie especie es considerada la unidad de clasificación on animal animal.. Las especies especies relacion relacionadas adas constituyen un g´ género. ro . Los Los gene genero ross simi simila lare ress se combi combina nan n para para formar una familia , familias similares se agrupan para formar un orden un orden , órdenes ordenes similares para formar una clase una clase y y clases similares para formar un phylum un phylum . El phylum es la primera etapa de clasificaci´ on del reino animal, por ejemplo al phylum cordados on pertenecen la clase de los peces, de los anfibios, de los reptiles, de las aves y de los mam´ mam´ıferos. ıferos. La propiedad propiedad com´ un un de todos ellos es la presencia de una notocorda o notocorda o ”columna vertebral”. Conforme vamos descendiendo en la clasificación, on, tenemos más as “propiedades comunes” entre los individuos hasta llegar a la especie. Imitando al taxónomo, onomo, vamos a clasificar los flujos (o equivalentemente lentemente las matrices cuadradas) de acuerdo a ciertas propiedades geométricas etricas comunes, pero ¿cuáles ales son estas “propiedades comunes” que tantas veces hemos mencionado? veamos: en primer lugar sabemos que los elementos de una foliación on A son curvas  las cuales resuelven la E.D.O. x = Ax, Ax, si queremos clasificar foliaciones, entonces debemos caracterizar las propiedades esencial enciales es de las curvas curvas que la componen. componen. Desde Desde este punto punto de

F


63

vista, podr´ podr´ıamos ensayar ensayar el siguiente criterio de clasificaci´ on: on: “Decimos que las foliaciones A y B están an relacionadas si y n Rn tal que h lleva sólo olo si existe un homeomorfismo h : R orbitas órbitas de A en órbitas orbitas de B ” dicho de otra manera “las soluciones de la E.D.O. x = Ax son Ax son homeomorfas a las soluciones  Rn es un de la E.D.O. x = Bx”. Recordemo emoss que h : Rn Bx ”. Record homeomorfismo si homeomorfismo si y sólo olo si h si h es biyectiva, continua y su inversa tambi´ en en es continua. continua. Los homeomorfismos preservan todas to das las propiedades topológicas ogicas de las curvas (por ejemplo compacidad, conexidad, conexidad, etc.), sin embargo, embargo, si estamos estamos interes interesados ados en preserpreservar propiedades diferenciables de las curvas (tales como concavidad, puntos de inflexión, on, etc.) entonces un difeomorfismo es lo n adecuado. adecuado. Recordemo Recordemoss que h : Rn un difeomorfismo R es un r de clase C (con 1 ) si y sólo o lo si h es biyectiva, de r r clase C y su inversa inversa tambi´ en en es de clase C r . Finalm Finalmen ente, te, si si estamos interesados en las propiedades algebraicas de las curvas entonces debemos imponer que h sea un isomorfismo. Vamos a formalizar las ideas acabadas de dar, en la siguiente definición. on.

F

F F → F

→

≤ ≤∞

→

Definici´ on on 3.2.1 Sean A, B Rn×n y consideremos sus flu jos asociados ϕA y ϕB . Deci Decimo moss que que las las matr matric ices es A y B (o   sus respectiv respectivas as E.D.O’s E.D.O’s asociadas asociadas x = Ax y x = Bx) Bx ) son topol´ ogicamente conjugadas , lo que denotamos A top B si y Rn llamado conjusólo olo si existe un homeomorfismo h : Rn llamado conjugaci´ on topol´ ogica tal tal que

∈

→

)), h(ϕA (t, x)) = ϕB (t, h(x)),

≡ n

∀ t ∈ R, ∀ x ∈ R .

(3.4)

En el caso que h sea un difeomorfismo de clase C r (1 r r ), enton entonces ces decimo decimoss que A y B son C conjugados y h es llamado conjugaci´ on C r . Por ultimo, u´ltimo, si h es un isomorfismo lineal, entonces A entonces A y y B son linealmente linealmente conjugados conjugados y y en este caso B son on lineal . Usarem Usaremos os la notaci´ notaci´ on on A C r h es llamado conjugaci´

∞

≤ ≤ ≡

eor´ıa Cualitativa de d e las E.D.O.’s Lineales 64 Teor´ B , (respectivamente A lin B ), para decir que A y B son C r conjugados (respectivamente linealmente conjugados).

≡

Observaciones: 1. Las conjugaciones conjugaciones topol´ ogicas ogicas respetan el parámetro ametro t y por tanto la orientación on de las órbitas. orbitas. 2. A y B son conjugadas si y sólo olo si el siguiente diagrama es conmutativo: ϕA n

n

n

n

× R −−−→ R ↓h ↓h id ↓ R × R −−−→ R R

ϕB

3. Si fijamos un x0 Rn, entonces la conjugación on h : n R satisface la siguiente propiedad:

∈

Rn

→

O (x )] = O (h(x )). )). En efect efecto, o, sea y ∈ h[O (x )], enton entonce cess exist existee un x ∈ O (x ) tal que y = h(x). Co Como mo x ∈ O (x ), tenemos que existe un t ∈ R tal que x = ϕ = ϕ (t , x ). Luego h[

A

0

B

A

A

0

0

0

A

0

A

0

0

0

= h((x) = h( y = h h (ϕA (t0 , x0 )) = ϕB (t0 , h(x0 ))

∈O

es decir y )). El otro otro conte conteni nido do es an´ alogo, alogo, B (h(x0 )). −1 basta intercambiar h por h . De esta esta mane manera ra,, hemo hemoss demostrado que las conjugaciones lleva órbitas orbitas en órbitas orbitas (ver Figura 3.3).


65

4. Por definición on de ϕA, (3.4) es equivalente a h(etA x) = e tB h(x),

n

∀ t ∈ R, ∀ x ∈ R .

A continuación, on, demostramos que las conjugaciones topológicas, ogicas, C y lineales generan particiones en el espacio de matrices cuadradas de orden n. r

≡

Proposici´ on on 3.2.1 “ equivalencia en Rn×n .

top ”,

≡

“

C r ”

≡

y “

lin ”

son relaciones de

≡

Probaremo emoss que “ lin ” es una relación o n de Demostraci´ on. on. Probar n×n equivalencia en R , las otras dos quedan como ejercicio para el lector. i) Reflexivid Reflexividad: ad: )), I (ϕA (t, x)) = ϕA (t, x) = ϕA (t, I (x)),

n

∀x ∈ R , ∀t ∈ R,

n×n

≡

∀ A ∈ R . ii) Conmutatividad: A ≡ B , entonces existe L ∈ GL( GL(R ) de donde A

A , lin A,

n

lin

tal que

)), L(ϕA (t, x)) = ϕ B (t, L(x)), Luego para L para L −1

n

GL(R ), se tiene ∈ GL(

)), L−1 (ϕB (t, y)) = ϕ A (t, L−1 (y)),

≡

de donde B

n

∀ t ∈ R, ∀ x ∈ R .

A . lin A.

∀ t ∈ R, ∀ y ∈ R

n


≡

≡

iii) Transitividad ransitividad:: Sean A lin B y B lin C , luego existen L1 , L2 GL( GL(Rn ) tales que para todo t R y para todo x, y Rn se tiene

∈

∈

∈

)). L1 (ϕA (t, x)) = ϕ B (t, L1 (x)) y L2 (ϕB (t, y)) = ϕB (t, L2 (y)). n

De esta manera L manera L 2 L1

◦ ∈ GL( GL(R ) y

◦

L2 L1 (ϕA (t, x)) = L2 (ϕB (t, L1 (x)) = ϕ C (t, L2 (L1 (x))) = ϕC (t, L2 L1 (x)), )), t R, x Rn . As´ı A

◦

≡

∀ ∈ ∀ ∈

C . lin C .



Observaciones: 1. De la proposic proposici´ i´ on anterior, podemos construir los conjunon tos cocientes Rn×n /≡top , Rn×n /≡C r y Rn×n /≡lin . Sus el element ementos os son clases clases de equiv equivale alenci nciaa de matrices matrices.. Si por n×n ejemplo [A [A] R /≡top , entonces B [A [ A] si y sólo olo si las orbitas órbitas de B de B son homeomorfas homeomorfas (por un mismo homeomorhomeomorfismo) a las órbitas orbitas de A de A..

∈

∈

2. Denotando por Hom(Rn ) (respectivamente Diff r (Rn )) al conjunto de todos los homeomorfismos (respectivamente difeomorfismos de clase C r ) de Rn, del análisis alisis en varias variables reales se tiene la siguiente cadena de contenidos estrictos GL( GL(Rn )

∞

⊂ Diff

(Rn )

1

n

n

⊂ · · · ⊂ Diff (R ) ⊂ Hom(R )

Se sigue que la clasificación on “más as fina” es la lineal mientras que la más as “gruesa” es la topológica. ogica.


67

3. Para estudiar las propiedades cualitativas cualitativas de las soluciones de una E.D.O. homogénea enea con coeficientes coefici entes constantes, const antes, basta considerar cualquier representante de su clase y analizarlo. ¿Cómo omo debemos debemos elegir elegir tal repres represen entan tante? te?.. Una manera manera natural de hacerlo es eligiendo aquella matriz de la clase de equivalencia cuya exponencial sea fácil acil de ser calculada, pero ¿cada clase de equivalencia (ya sea topológica, ogica, C r o lineal) admitirá tal representante? Responderemos a esta interrogante dentro de poco. El siguiente resultado nos dice esencialmente que las matrices cuadradas de orden n sólo olo admiten admiten dos clasifi clasificac cacion iones: es: la topológica ogica y la lineal.

Proposici´ on on 3.2.2 Sean A, B ciones son equivalentes: 1. A

≡

C 1

∈R

n×n

, las siguientes afirma-

B.

2. Existe P Existe P GL( que P A = B = BP GL(Rn) tal que P P ..

∈ ∈

3. A

≡

lin B .

Observaciones: 1. De la la demostra demostraci´ ci´ on on de la proposición on anterior, se desprende 1 n que toda h toda h Diff (R ) conjugación C on C 1 entre A entre A y y B induce B induce una conjugación on lineal entre A entre A y y B B la cual viene dada por  n h (0) GL( GL(R ).

∈

∈

Rn×n 2. En álgebra algebra lineal se dice que dos matrices A, B son similares son similares si si y solamente si existe P GL( GL(Rn ) tal que equivale alenci nciaa 2. 3. de la Propos Proposic ici´ i´ on on P A = BP . BP . La equiv anterior nos dice que A lin B si y sólo o lo si A y B son similares.

≡

⇔

∈ ∈

∈

eor´ıa Cualitativa de d e las E.D.O.’s Lineales 68 Teor´ 3. Por el Teorem Teoremaa 2.5.1, sabemos que toda matriz A matriz A Rn×n Rn×n . es similar a su forma canónica onica de Jordan J A Luego cada clase de equivalencia lineal admite un representante “simple” en el sentido que su exponencial (y por lo tanto su regla reg la de correspondencia corresp ondencia)) queda expl´ expl´ıcitamente determ determina inada. da. Esto Esto respond respondee la inter interrog rogan ante te plant plantead eadaa antes de enunciar la Proposición on 3.2.2.

∈ ∈

3.3

Sistem Sistemas as Lineal Lineales es Bidim Bidimensi ensiona onales les

Con el objetivo de fijar ideas y motivar futuras generalizaciones, en esta sección on vamos a estudiar el flujo generado por las maR2×2 , de acuerdo a la trices trices cuadr cuadrada adass de orden orden 2. Sea A Proposición on 3.2.2, para entender el comportamiento cualitativo de las soluciones de la E.D.O. x E.D.O. x  = Ax, Ax, basta estudiar su Forma Canónica onica de Jordan J A . Ahor Ahoraa bien, bien, si deno denota tamo moss por λ1 y λ2 a los autovalores de A, entonces se presentan las siguientes posibilidades:

∈

1) λ1 , λ2

con λ  = λ . ∈ R, con λ 1

2

2) λ1 = λ = λ2 = λ = λ.. 3) λ1 = a = a + ib, = a ib, λ2 = a

− ib. ib.

Vamos a analizar cada una de ellas. 1) Si las ra´ ra´ıces son reales reales y distintas, distintas, la forma canónica onica es λ1 0 dada por J por J A = , luego el flujo asociado a J a J A en 0 λ2 cualquier punto p punto p 0 = (x0 , y0 ) R2 viene dado por





∈

ϕJ A (t, p0 ) = eλ1 t x0 , eλ2 t y0 ,





∀ t ∈ R.


O

{

}

69

Es claro que J A ((0, ((0, 0)) = (0, (0, 0) . Además, as, para puntos ubicados sobre los ejes coordenados (cuando λ1 = 0 y λ2 = 0) tenemos:





 ∞ ×{ }  − ∞ ×{ }  { }× ∞  { }× − ∞ ]0, ]0, + [

O

((x0 , 0)) J A ((x

=

]

((0, y0 )) J A ((0,

O

=

0

, 0[

si x si x 0 > 0 > 0

0

si x si x 0 < 0 < 0

0

]0, ]0, + [

si y si y 0 > 0 > 0

0

]

, 0[ si y 0 < 0 < 0

Para determinar determi nar el comportamiento compo rtamiento geométrico etrico de d e las dem´ d emás as órbitas, orbitas, observamos que si hacemos

tenemos



= e λ1 t x0 x = e = e λ2 t y0 y = e

= y 0 y = y





x x0



t

∈ R, x = 0,0 , y = 0 0

λ2 /λ1



o´ x = x = x 0

0



seg´ un un λ1 = 0 ó λ2 = 0 respectivamente.

y y0



λ1 /λ2

De esta manera las órbitas orbitas están an contenidas en curvas del plano del tipo: f ( f (x) = C x α

||

cuya traza depende del signo de C y C y del valor de α. α . Como el comportamien comportamiento to geom´ geométrico etrico de las orbitas o´rbitas depende de los signos de los autovalores λ autovalores λ1 y λ y λ2 , se presentan los siguientes casos:

eor´ıa Cualitativa de d e las E.D.O.’s Lineales 70 Teor´ a) Si λ1 < λ2 < 0, 0, ento entonc nces es lim lim ϕJ A (t, p0 ) = (0, (0, 0), t→+∞

2

∈ R − {(0, (0, 0)}.

para todo p todo p 0 Por otro lado

lim ϕJ A (t, p0 ) =

t→−∞

 ∞ ∞ −∞ ∞ −∞  −∞∞ −∞ (+ ( ( (+

si x 0 > 0 , + ), si x > 0,, y0 > 0 > 0 si x 0 < 0 , + ), si x < 0,, y0 > 0 > 0 ), si x si x 0 < 0 , < 0,, y0 < 0 < 0 ), si x si x 0 > 0 , > 0,, y0 < 0 < 0

De esta manera, todas las trayectorias vienen del infinito y tienden al origen cuando t cuando t + a excepción on del origen que permanece fijo, tal como se muestra en la Figura. En este caso decimos que 0 R2 es un atractor o o pozo. pozo.

→ ∞

∈

{

∈ }

b) Si λ Si λ 1 < λ2 = 0 se tiene que Nu(J Nu( J A ) = (0, (0, y); y ); y R luego J A (0, (0, y0 ) = (0, (0, y0 ) . Pa Para ra dete determ rmin inar ar las otras orbitas, órbitas, consideremos x0 = 0. Como ϕJ A (t, p0 ) = λ1 t e x0 , y0 , se tiene

O



{

}





lim ϕJ A (t, p0 ) = (0, y0 )

t→+∞


t→−∞



∞ −∞

(+ , y0 ), si x0 > 0 > 0 ( , y0 ), si x0 < 0 < 0

Concluimos que las órbitas orbitas están an contenidas en rectas horizontales que se acercan al eje vertical y orientadas de acuerdo a la Figura 3.6-(b). c) Si λ Si λ 1 < 0 < 0 < < λ2 tenemos lim ϕJ A (t, p0 ) =

t→+∞


t→−∞

 

∞ −∞ (+∞, 0), 0), (−∞, 0), 0),

(0, (0, + ), si y si y 0 > 0 > 0 (0, (0, ), si y si y 0 < 0 < 0 si x si x 0 > 0 > 0 si x si x 0 < 0 < 0


71

De esta manera las órbita orbitass son curv curvas que tienen tienen un comportamiento geométrico etrico muy parecido a las hipérbola erb olass y están an orientadas de acuerdo a la Figura . Decimos que el origen es un punto silla . d) Si 0 = λ = λ1 < λ2 se tiene que Nu(J Nu( J A ) = (x, 0); x R luego J A (x0 , 0) = (x0 , 0) . Para ara deter determi mina narr las otras orbitas, órbitas, consideremos y0 = 0. Como ϕJ A (t, p0 ) = λ2 t x0 , e y0 , se tiene

O



{

{

} 



∈ }

lim ϕJ A (t, p0 ) = (x0 , 0)

t→−∞


t→+∞



∞ −∞

(x0 , + ), si y si y 0 > 0 > 0 (x0 , ), si y si y 0 < 0 < 0

Concluimos que las órbitas orbitas están an contenidas en rectas verticales que se alejan del eje horizontal y orientadas de acuerdo a la Figura. e) Si 0 < 0 < λ1 < λ2 tenemos lim ϕJ A (t, p0 ) = (0, 0)

t→−∞


t→+∞

 ∞ ∞ −∞ ∞ −∞  −∞∞ −∞ (+ ( ( (+

, + ), si x0 > 0 > 0,, y0 > 0 > 0 , + ), si x0 < 0 < 0,, y0 > 0 > 0 ), si x0 < 0 , < 0,, y0 < 0 < 0 ), si x0 > 0 , > 0,, y0 < 0 < 0

De esta manera, todas las trayectorias emanan del origen y tienden al infinito, a excepción on del origen que permanece fijo. En este caso decimos que 0 R2 es un repulsor un repulsor o o fuente .

∈

2) Si las ra´ıces ıces son reales rea les e iguales, igual es, entonces la Forma Forma Canónica onica de Jordan viene dada por J A =

  λ 0 0 λ

ó

J A =

  λ 1 0 λ

eor´ıa Cualitativa de d e las E.D.O.’s Lineales 72 Teor´ Analicemos Analicemos cada caso.

 

λ 0 y λ < 0, entonces el flujo en el 0 λ punto p0 = (x0 , y0 ) es ϕJ A (t, p0) = eλt x0 , eλt y0 = ((0, 0)) = (0, (0, 0) y todas las eλt p0, se sigue que J A ((0, demás as orbitas o´rbitas son rectas, además as

a) Si J A =

O



{

lim ϕJ A (t, p0) = (0, (0, 0)

y

t→+∞

|



}

|

∞

lim ϕJ A (t, p0 ) = + .

t→−∞

Luego se tiene el comportamiento geométrico etrico de la Figura.

 

λ 0 y λ > 0, entonces como en el caso 0 λ anterior ϕ anterior ϕ J A (t, p0 ) = e λt p0 , pero ahora

b) Si J A =

|

|

lim ϕJ A (t, p0 ) = +

t→+∞

∞

y

lim ϕJ A (t, p0 ) = (0, (0, 0). 0).

t→−∞

 

λ 1 y λ < 0 entonces el flujo viene 0 λ dado por ϕJ A (t, p0 ) = eλt (x0 + ty 0 , y0 ). Se obse observ rvaa que J A ((0, ((0, 0)) = (0, (0, 0) ,

c) Si J A =

O

{

O

 

((x0 , 0)) J A ((x

=

}

∞ ×{0} ] − ∞, 0[ ×{0}

]0, ]0, + [

si x si x 0 > 0 > 0 si x si x 0 < 0 < 0

todas las demás as órbitas orbitas se encuentran en la curva que es gráfica afica de la función on



1 y = x 0 y + y ln x = x λ y0




73

y se tiene lim ϕJ A (t, p0 ) = (0, (0, 0)

t→+∞

y

|

|

∞

lim ϕJ A (t, p0 ) = + .

t→−∞

Este comportamiento geométrico etrico se bosqueja en la Figura.

 

λ 1 y λ > 0 entonces el flujo es el 0 λ mismo que en el caso anterior, pero ahora se tiene

d) Si J A =

lim ϕJ A (t, p0 ) = (0, (0, 0)

t→−∞

y

lim ϕJ A (t, p0 ) = + .

t→+∞

|

|

∞

 

0 1 . 0 0 Observe que Nu(J Nu(J A ) = (x, 0); x R , luego J A (x0 , 0) = (x0 , 0) . Pa Para ra determi determinar nar las otras órbitas, orbitas, considconsideremos y0 = 0. 0. Co Como mo ϕJ A (t, p0 ) = (x0 + ty0 , y0), se tiene

e) En el caso que λ = 0 tenemos que J A =

{

}

{

∈ }

O



 ∞  −∞ −∞

(+ , y0 ), si y si y 0 > 0 > 0 ( si y 0 < 0 , y0 ), si y < 0


t→+∞

( si y 0 > 0 , y0 ), si y > 0 (+ , y0 ), si y si y 0 < 0 < 0


∞

t→−∞

Concluimos que las órbitas orbitas son rectas rectas horizont horizontales ales (excepto el eje X eje X )) orientadas de acuerdo a la Figura. ¯ = 3) Si las ra´ ra´ıces son complejas conjugadas λ = a + ib + ib,, λ onica de Jordan viene dada a ib, ib, entonces su forma canónica por no existe autoespacio en el plano real y el flujo viene a b dado por J A = , no existe autoespacio en el b a plano real y el flujo viene dado por

−



−



ϕJ A (t, p0 ) = e at (x0 cos bt

−y

0

sen bt sen bt,, x0 sen bt sen bt + y0 cos bt) bt).

eor´ıa Cualitativa de d e las E.D.O.’s Lineales 74 Teor´ Se presentan los siguientes casos: a) Si a Si a = = 0 (ra ( ra´´ıces imagina i maginarias rias puras) entonces la órbita orbita 2 p0 = (x0 )2 + J A ( p0 ) es una circunferencia de radio p (y0 )2 , orientada de acuerdo al signo de b de b.. En este caso decimos que el origen es un centro. centro.

O

| |

b) Si a Si a < 0 entonces las órbitas orbitas son espirales que tienden al origen cuando t cuando t + .

→ ∞

c) a > 0 entonces las órbitas orbitas son espirales que emanan del origen.

Observaciones: 1. El lector lector debe haber notado que el comportamien comportamiento to de las órbitas orbitas no es tan simple cuando la matriz A matriz A no no es inversible inversible (vea los casos 1b, 1d y 2e). 2. Al igual que en el caso caso 1a, en los casos 2a, 2c y 3b el origen es la unica u ´ nica órbita orbita puntual la cual puede ser vista como un atractor. Análogamente, alogamente, en los casos 2b, 2d y 3b el origen puede ser visto como un repulsor. 3. El comportamien comportamiento to de centro s´ olo olo ocurre en el caso 3a.

3.4

Atra racctore toress y Repul epulso sore ress de SisSistemas Lineales

En la sección on anterior hemos observado algunos comportamientos geométricos etricos comunes para las orbitas o´rbitas asociadas a matrices 2 2 (repulsor, (repulsor, atractor). atractor). En esta secci´ sección on vamos a caracterizarlos y generalizarlos a dimensión on cualquiera.

×


75

Decimos que un punto p es un atractor atractor (resp. repulsor) repulsor) de una matriz A matriz A si si y sólo olo si s i cualquier cualq uier part pa rt´´ıcula que se desplaza despla za a lo lo largo de las orbitas órbitas de A de A después es de un tiempo tiemp o suficientemente grande se encuentr encuentraa muy cerca (resp. muy lejos) lejos) del punto p. Más as espec´ es pec´ıficamente, ıficamente, tenemos la siguiente s iguiente definici´ definici on. ón. n×n

∈ R

Definici´ on on 3.4.1 Sea A ciado ϕ ciado ϕ A .

∈R

i) Decimos que 0 si

n

, y consideremos su flujo aso-

es un atractor un atractor (o pozo (o pozo)) de A de A si y sólo olo n

∀ x ∈ R .

lim ϕA (t, x) = 0, 0,

t→+∞

ii) Decimos que 0 sólo olo si

∈ R

n

|

es un repulsor un repulsor (o fuente ) de A si y

|

n

∞ ∀ x ∈ R − {0}.

lim ϕA (t, x) = + ,

t→+∞

Observaci´ on: on: De la definición on se sigue directamente que 0 n n×n si y sólo olo si 0 es un repulsor de R es un atractor de A R A.

∈

∈

−

n×n

∈ R

Teorema 3.4.1 Dada la matriz A maciones son equivalentes:

, las siguientes afir-

≡ −I . ii) 0 ∈ R es un atractor de A. A . i) A

top

n

iii) Todos los autov autovalores alores de A de A tienen parte real negativa.

≥ 1 tales que |ϕ ≥

iv) Existen Existen constant constantes es µ > 0 y K −µt Ke x , x Rn , t 0.

| | ∀ ∈

∀ ≥

A (t, x)

|≤

eor´ıa Cualitativa de d e las E.D.O.’s Lineales 76 Teor´ Teorema 3.4.2 Sea A Sea A equivalentes:

n×n

∈R

. Las siguientes afirmaciones son

≡ I . I . ii) 0 ∈ R es un repulsor de A. i) A

top

n

iii) Todos los autov autovalores alores de A de A tienen parte real positiva.

≥ 1 tales que ≥ |x|, ∀ t ≥ 0, 0 , ∀ x ∈ R .

iv) Existen Existen constantes constantes µ µ > 0 y K

|ϕ

A (t, x)

3.5 3.5

−1 µt

| ≥ K

e

n

Sist Sistem emas as Line Lineal ales es Hiperb Hiperb´ olicos o ´licos

Nos proponemos generalizar los resultados de la sección on anterior en una teor´ teor´ıa que englobe englob e los casos 1a, 1c, 1e, 2a, 2b, 2c, 2d, 3b y 3c de la Sección on 3.3. Sea A Definici´ on on 3.5.1 Sea A

n×n

∈R

i) Decimos Decimos que la matriz matriz A asociado x  = Ax) A (o su sistema asociado x Ax) es hiperb´ es hiperb´ olico si olico si y sólo olo si todos los autovalores de A de A tienen tienen parte real distinta de cero. ii) Si A Si A es es una matriz hiperbólica, olica, El ´ındice de ındi ce de estabil esta bilidad idad de umero de autovalores de A A, denotado por i(A) es el número (contando multiplicidad) con parte real negativa.

Ejemplo 3.5.1 Sea A 1. 0

n

∈R

∈R

n×n

, se cumple

es un atractor de A de A si y sólo olo si i si i((A) = n. n.

T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias opicos 2. 0

∈R

n

77

es un repulsor de A si y sólo olo si i si i((A) = 0.

 

  ∈

0 1 1 3×3 R . Sabe Sabemo moss que que Ejemplo 3.5.2 Sea A = 1 0 1 1 1 0 los autovalores de A son λ1 = 2 y λ2 = 1 (con multiplicidad 2), luego A es una matriz hiperbólica olica y i(A) = 2.

−

−

De ahora en adelante, denotaremos por Hip(Rn ) al conjunto de todas las matrices A Rn×n que son hiperbólicas. olicas.

∈ Observaci´ on: on: Hip(R ) ⊆ GL( GL(R ). n

n

Sea A Definici´ on on 3.5.2 Sea A

n

∈ Hip(R )

i) El subespacio El subespacio estable de A de A,, denotado por E por E s (A), es el subespacio vectorial de Rn que es generado por los autovectores correspondientes a los autovalores con parte real negativa. ii) El subespacio inestable de A, denotado por E u (A), es el subespacio vectorial de Rn que es generado por los autovecto tovectores res correspondie correspondiente ntess a los autov autovalores alores con parte real positiva. Sea A Ejemplo 3.5.3 Sea A

n×n

∈R

, se cumple

Rn es un atractor de A entonces E s (A) = 1. Si 0 E u (A) = 0 .

Rn

y

2. Si 0 Rn es un repulsor de A, entonces E u (A) = E s (A) = 0 .

Rn

y

∈

∈

{}

{}


 

 ∈

0 1 1 3×3 1 0 1 , entonces entonces v1 = Ejemplo 3.5.4 Si A = R 1 1 0 (1, (1, 1, 1) es un autovector asociado al autovalor λ1 = 2 y que (1, 0, 1), v3 = (0, (0, 1, 1) son autovectores asociados al v2 = (1, autovalor λ autovalor λ 2 = 1, luego

−

−

−

E s (A) = = u E (A) =

(1, (1, 0, −1), 1), (0, (0, 1, −1) {(x , x , x ) ∈ R ; x + x + x = 0} (1, (1, 1, 1) = {(α,α,α); α,α,α); α α ∈ R}. 1

2

3

3

1

2

3

Las conjugaciones lineales respetan los espacios estables e inestables. Más as espec esp ec´´ıficamente, tenemos el siguiente sig uiente resultado res ultado..

Lema 3.5.1 Sean A, Sean A, B Hip(Rn ). Si h Si h GL( GL(Rn) es una con jugaci´ on on lineal entre A y B entonces i(A) = i( i (B ) y h[ h [E s (A)] = E s (B ) y h[ h [E u (A)] = E u (B ).

∈

∈

Teorema 3.5.1 Sean A, Sean A, B Hip(Rn). Se cumple

∈ A ≡ B ⇐ i (A) = i( i(B ). ⇐⇒ ⇒ i( top

Corolario. Sea A Sea A

n

∈ Hip(R ) con i con i((A) = m. m . Entonces diag[I , −I ] A ≡ diag[I top

m

n−m

en donde I m e I n−m son las matric matrices es ident identida idad d de (n−m)×(n−m) respectivamente. R

Rm×m

y


3.6 3.6

79

Esta Estabi bili lida dad d Estr Estruc uctu tura rall de Cam Cam-pos Lineales

En la sección on anterior hemos clasificado topológicamente ogicamente las man×n trices hiperbólicas olicas de R . Debemos mencionar mencionar que no existe existe a la fecha una clasificación on topológica ogica de matrices que tengan alg´ un un valor valor con parte parte real 0. Po Porr esta raz´ on on es relevante pren×n guntar “que tan grande” es el conjunto R Hip(Rn ). Eso es justamente lo que haremos a continuaci´ continuación. on. En lo sucesivo sucesivo,, denotaremo denotaremoss por D por D r (z 0 ) C (resp. Dr [z 0 ] C) al disco abierto (resp. cerrado) centrado en z en z 0 C y de radio r > 0, es decir

− ⊆

{ ∈ ∈ C; |z −z | < r}

Dr (z 0 ) = z

⊆

∈

{ ∈ ∈ C; |z −z | ≤ r }

y Dr [z 0 ] = z

0

0

Asimismo, denotaremos por Σ(A Σ(A) al conjunto de todos los auRn×n . Este tovalores de la matriz A Este conju conjunt ntoo es llama llamado do espectro de espectro de A. A .

∈

Nuestro primer resultado establece que para que los autovalores de B Rn×n estén en tan cercanos cuanto querramos de los autovalores de una matriz A matriz A,, es suficiente tomar B cerca de A de A..

∈

Lema 3.6.1 Sean A que si B si B Rn×n y B

∈

n×n

∈ R . Dado  > 0, existe un δ > 0 tal  − A < δ entonces Σ(B Σ(B ) ⊆ D (λ)





λ∈Σ(A Σ(A)

Demostraci´ on. on. En primer lugar, observe que si A Rn×n y Σ(A) entonces λ Afirmoo que si si B Rn×n es tal λ Σ(A A . Afirm

∈

| | ≤  

∈

∈


 − 

que B A < 1 entonces Σ(B Σ( B ) si tomamos µ Σ(B Σ( B ) entonces

⊆ D

A+1 [0]

= D. En efect efecto, o,

∈ |µ| ≤ B ≤ B − A + A < 1 < 1 + A

y esto prueba la afirmación. on. Dado  > 0, denotemos V  =



Observee que si D (λ). Observ

λ∈Σ(A Σ(A)

det(A z D V  entonces det(A la función on

∈ ∈ −

Φ:

C

×R

n×n

(z, M ) Si en

C

×R

n×n

= 0. Esto nos induce a definir − zI ) zI ) 

→ →

C

− zI ) − zI )

Φ(z, Φ(z, M ) = det(M det( M

consideramos la norma del máximo aximo

(z, M ) = max{|z |, M } entonces Φ es continua en su dominio. Como observamos anteriormente, si z si z D V  entonces Φ(z, Φ( z, A) = 0, por la continuidad de Φ existe δ z > 0 tal que si w z < δ z y M A˜ < δ z entonces det(M det(M wI ) = Φ(w, Φ(w, M ) = 0, es decir w decir w / Σ(M Σ( M ). ). Por otro lado, es claro que

∈ ∈ − − −

| − | 

D

− V ⊆







 −−  ∈

Dδz (z )

z ∈D−V 

−

∈

y como D como D V  es compacto, se tienen que existen z existen z 1 , z 2 , . . . , zr D V  tal que

−

− V ⊆ D (z ) ∪ · · · ∪ D (z ) Tomando δ dado B ∈ R tal tal que que δ = min{δ , . . . , δ , 1}, dado B − A < δ , tene tenemo moss que que si µ ∈ D − V entonces entonces existe existe j ∈ {1, 2, . . . , r} tal que µ ∈ D (z ) y como B − A < δ de lo anterior tenemos que µ que µ ∈ Σ( B ), es decir D decir D − V ⊆ D − Σ(B Σ(B ) / Σ(B y desde que Σ(B Σ(B ) ⊆ D, Σ( B ) ⊆ V .  D , se tiene Σ(B D



δz1

z1

1

δzr

r

n×n

zr



δzj

j

zj






81

Teorema 3.6.1 Hip(Rn ) es un subconjunto abierto y denso de Rn×n . Demostraci´ on. on. Probemos primeramente que Hip( Rn) es abierto en Rn×n . Sea A Hip(Rn) y tomemos 0 < 0 <  < min Re Re((λ) ; λ Rn×n y Σ(A Σ(A) . Por el Lem Lemaa 3.6.1 3.6.1,, δ > 0 tal que si B B A < δ entonces

}  − 

∈

{|

∃

Σ(B Σ(B )

⊆



| ∈

∈

D 2 (λ)

λ∈Σ(A Σ(A)

 ∈ Σ(A Σ( A) tal que |µ − λ| < . 2

∈

Si µ Σ(B Σ( B ) entonces existe un λ Como

|Re Re((λ)| = |Re Re((λ − µ) + Re Re((µ)| ≤ |Re Re((µ − λ)| + |Re Re((µ)|, se tiene   |Re Re((µ)| ≥ |Re Re((λ)| − |Re Re((µ − λ)| ≥ |Re Re((λ)| − |µ − λ| >  − = 2 2 De esta manera ningún un autovalor de B de B tiene parte real distinta Rn×n y de cero. cero. Hemos Hemos probado probado que δ > 0 tal que si B B A < δ entonces B Hip(Rn ).

 − 

∃

∈

∈

Probemos ahora que Hip(Rn) es denso en Rn×n . Sean B Sean B Rn×n y  > 0. Debem Debemos os proba probarr que que exis existe te A Hip(Rn ) tal que B A < . Para ello, defino los conjuntos

∈

∈

 −  Σ = {λ ∈ Σ(B Σ( B ); Re Σ( B ); Re = 0} Re((λ) = 0} y Σ = {λ ∈ Σ(B Re((λ)  Es claro que Σ(B Σ(B ) = Σ ∪ Σ . Sea δ = = min{|Re Re((λ)|; λ ∈ Σ }, consideremos 0 < 0 < r < min{, δ } y A = B = B + + rI . Es claro que Σ(B ) ⇔ λ + r ∈ Σ(B Σ(B + rI ) = Σ(A Σ(A) λ ∈ Σ(B 1

2

1

2

2


∈ Σ(A Σ( A) entonces λ − r ∈ Σ(B Σ(B ). Existen dos alternativas: Si λ Si λ − r ∈ Σ entonces Re entonces Re((λ − r) = 0, luego Re Re((λ) = r > 0.  0, luego |Re Si λ Si λ − r ∈ Σ entonces Re entonces Re((λ − r ) = Re((λ − r)| ≥ δ . Se Si λ Si λ

1

2

sigue que

|Re Re((λ)| = |Re Re((λ − r) + r| ≥ |Re Re((λ − r)| − r ≥ δ − r > 0 En cualquiera de los dos casos, tenemos que Re = 0. Luego Re((λ)   B − A = r = r <  y A ∈ Hip(R ). n

Del resultado anterior se desprende que el conjunto de las matrices que no son hiperbólicas olicas forman un subconjunto “muy n×n fino” de R puesto que su complemento (o sea Hip( Rn )) es abierto y denso en el espacio de las matrices cuadradas. Una idea geom´ geométrica etrica de este comportamien comportamiento to esta dada en la siguiente siguiente n figura, en donde do nde las l as l´ıneas ıneas representa Hip(R ). Definimos a continuación on el importante concepto de matriz estructuralmente estable.

Definici´ on on 3.6.1 Decimos que la matriz A Rn×n es estruces estructuralmente estable si si y sólo olo si existe δ > 0 tal que si B Rn×n con B A < δ entonces B entonces B top A. A .

∈

 − 

∈

≡

Observaci´ on: on: Intuitivamente una matriz es estructuralmente estable estable si al pertu p erturbarl rbarlaa un poco, po co, la configuraci configuraci´ on oń de sus órbitas orbitas no se altera, salvo homeomorfismos. En lo que resta de la sección, on, demostraremos que existe una estrecha relación on entre hiperbolicidad y estabilidad estructural. Sea A Rn×n y λ Σ(A Σ( A). El n´ umero umero entero positivo m = m(λ) denotará la multiplicidad algebraica del autovalor λ. Del Teorema de la Descomposición on Espectral se tiene que si λ Σ(A Σ(A) es tal que m( Nu((A λI )m) = m. m (λ) = m entonces m entonces dim Nu((A m .

∈

∈

−

∈

T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias opicos No es dif´ dif´ıcil probar que Nu((A Nu((A k m. m .

∀ ≥

83

k

− λI ) Nu((A − λI ) λI ) ) = Nu((A λI )

m

),

Σ(A) con m(λ) = m. ExLema 3.6.2 Sean A Rn×n y λ Σ(A Rn×n y isten constante constantess 0 > 0 y δ 0 > 0 tales que si B B A < δ 0 entonces

∈

∈

∈

 − 



m(µ)

µ∈Σ(B Σ(B )∩D0 (λ)

≤ m

Demostraci´ on. on. Procediendo por contradicción, on, supongamos n×n que  > 0 y δ > 0 existe Bδ R tal que Bδ A < δ y

∀

∀

∈



 − 

m(µ) > m

µ∈Σ(B Σ(Bδ )∩D (λ)

Tomando  = δ = 1/k (k 1 tal que Bk A < y k

 − 

n×n

∈ N) tenemos que existe B ∈ R k



m(µ) > m

µ∈Σ(B Σ(Bk )∩D 1 (λ) k

Rn×n De esta manera, hemos construido una sucesión on (Bk ) tal tal que que lim lim Bk = A y µk,1 Σ(B Σ(Bk ) D 1 (λ) k, 1 , µk,2 k, 2 , . . . , µk,mk

⊆ ∈ ∩ (repetidos de acuerdo a su multiplicidad) y m > m, ∀ k ∈ N. Sea m Sea m = min{m ; k ∈ N} > m. Para k Para k ∈ N, denotemos ( B − µ I ) · · · (B − µ I ) C = (B Podemos suponer que dim Nu(C Nu(C ) = m y consideramos {e , . . . , e } una base ortonormal de Nu(C Nu(C ). Desde que (e ( e ), . . . , ( e ) ⊆ k→∞

k

k



k

k

k

k,1 k,1

k

k

k

n−1

S

n−1

y S

k,m





k,1 k,1

k,1 k, 1

k,m



es compacto, entonces tomando subsucesiones si es

k,m



eor´ıa Cualitativa de d e las E.D.O.’s Lineales 84 Teor´ necesa necesario rio,, podemos podemos suponer que lim ek,j = e j , 1 j m . k→∞ Sea N Sea N el el subsepacio vectorial de Rn generado por e por e1 , e2 , . . . , em . Observe que lim C k = (A λI )m = C

∀ ≤ ≤





−

k→∞

⊆⊆ Nu(C Nu( C ), ), en efecto desde que |C e | ≤ |C e − C e | + |C e − C e | + |C e | ≤ C − − C  · |e | + C  · |e − e | Tomando oma ndo l´ımite ımi te cuando cuan do k → ∞ tenemos que C e = 0, ∀ 1 ≤ on. j ≤ m , esto prueba la afirmación. Afirmo que N que N j

j

k j

k

k j

j

k

k k,j j

k k,j

k,j

j



Finalmente, concluimos que

dim N m = dim N

m

≤ dim N ≤ dim N u(C ) = dim ((A ((A−λI )



) = dim ((A ((A λI )m ) = m

−

lo cual es una contradicción. on.



Rn×n y Σ(A Σ(A) = λ1 , . . . , λk con Teorema 3.6.2 Sean A m(λ j ) = m j . Dado  > 0, existe un δ > 0 tal que si B Rn×n con B A < δ entonces

∈

{

∈

 − 



m(µ) = m j ,

µ∈Σ(B Σ(B )∩D (λj )

}

∀ 1 ≤ j ≤ k

Demostraci´ on. on. Procediendo por contradicción, on, supongamos que existe existe  1 > 0 todo δ > 0 existe Bδ Rn×n con > 0 tal que para todo δ y existe j existe j0 1, . . . , k tal que Bδ A < δ y m(µ) =

 − 

∈ {

}

 ∈

µ∈Σ(B Σ(Bδ )∩D1 (λj0 )

Aux.). Por el Lema 3.6.2, 3.6.2, existen existen constantes constantes 0 > 0 m j0 (Hip. Aux.). n×n y δ 0 > 0 y B A < δ 0 entonces > 0 tales que si B R

∈



µ∈Σ(B Σ(B )∩D0 (λj )

 −  m(µ) ≤ m , ∀ 1 ≤ j ≤ k j




{

}



Tomando  = min 0 , 1 tenemos

m(µ) < m j0 ,

µ∈Σ(B Σ(Bδ )∩D (λj0 )

adem´ as por el Lema 3.6.1 existe un δ > 0 tal que si B as k

 ⊆

y B

k

 ⊆

entonces Σ(B Σ( B )  − A < δ entonces D (λ ) el B el B ∈ R de la hipótesis otesis auxiliar tenemos 

j

j=1 j =1

n×n

δ

85

n×n

∈ R

D1 (λ j ). Para

j=1 j =1

          ≤ k

n =

m(µ) =

m(µ)

j=1 j =1

µ∈Σ(B Σ(Bδ )

µ∈Σ(B Σ(Bδ )∩D (λj )

k

k

< m j0 +

m(µ)

j=1 j =1,j ,j  = j0

µ∈Σ(B Σ(Bδ )∩D0 (λj )

m j = n

j=1 j =1

lo cual es una contradicción. on.



n

Corolario. Si A B Rn×n con B

∈ Hip(R ) entonces existe δ > 0 tal que si ∈  − A < δ entonces i entonces i((B ) = i( i (A). Σ(A) con m(λ ) = m , orDemostraci´ on. on. Sean λ , . . . , λ ∈ Σ(A denados de tal manera que los r los r primeros tienen parte real negativa. ativa. Tomando 0 <  < min{|Re Re((λ )|; 1 ≤ j ≤ k }, observe que para esta elección on del  se tiene que si z ∈ ∈ D (λ ) entonces +1 < j ≤ k. as Re((z ) < 0 Re < 0 para 1 ≤ j ≤ r y r y Re Re((z ) > 0, > 0, ∀ r +1 < k . Además por el Teorema anterior, existe δ > 0 tal que si B − A < δ 1

k

j

j

j



j

entonces



m(µ) = m j

µ∈Σ(B Σ(B )∩D (λj )

Se sigue que i(B ) = i( i (A).



olo si A si A es es estructuralmente Teorema 3.6.3 A Hip(Rn) si y sólo estable.

∈

eor´ıa Cualitativa de d e las E.D.O.’s Lineales 86 Teor´ Demostraci´ on. on. ( ) Se sigue del Corolario anterior y el Teorema 3.5.1.

⇒

( ) Sea A Sea A / Hip(Rn ), consideremos los conjuntos

⇐

∈

{ ∈

} y Σ = {λ ∈ Σ(A Σ( A); R ); Ree(λ)  = 0} y sea δ entonces las δ = min{|Re Re((λ)|; λ ∈ Σ }. Si 0 < r < δ entonces matrices A + rI + rI y A − rI son olicas y de ´ındices ındices distinrI son hiperbólicas Σ1 = λ Σ(A Σ( A); Re Re((λ) = 0

2

2

tos, tos, por lo tanto tanto no son conjugad conjugadas. as. Se sigue que en cualqu cualquier ier vecindad abierta de A podemos encontrar matrices que no son conjugadas conjugadas a A, decir A no es estructuralmente estable.  A , es decir A

165247509-Edo-r-benazic

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