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INDICE
INTRODUCCIÓN Método
de
Rigidez
Mé¡odo de Ri8i¿ez DiEclo
Méiodo de Compaübilidad BIBLIOGRAFiA
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'118
INTNODUCCION La ulil¡dad de las ¡natrlces en ¿l análisis de egtncrims las mdt.ices p¡oporcionan tr¡ medio matemático mry cómodo la reorfa.:-.
se
basa en qrle
p¡ra exp¡essr
La soluciún q\re €xpresa Ia teoría püede obte@rse más fác¡lmente operaciones mal¡iciales, pit¡ ias que es lotalrÉnle idón¿o una computado¡a- La fácilidad del estudio de la teoría de est¡uchu¡r, se8úD uD c@cepto mát.ictál, hace d¿ el alSo müy ¡nporlanre p¡ra el inSeniem de esr¡uctüi.s! asf mismo éste néto¡io m¡ficial re¡ ce 1os detalle de las operaclones ¡umóncas ¡úD prc.eso sislenático del n¡nejo de
nedidte üba secrencia d¿
e
Las
m¡yo¡es dilicultadés que pEse¡la¡ los eltudiantes ie e¡€ucDtrd
el estudió de la Resistencia de
Matenáles sur8en
a
reslle¡
Enesiú coDdiciones lesulla cDNeniente disponerde
u
los probleúas.
texto red¡cirlo q¡re
.o¡le¡r8a el balerial ft¡ndame¡tal de la asisnalura.
I 1
Esra obra tiene como obietilD aF¡Iar ¡ los edudianl¿s dc esta ¡si8¡rdhu" en IA ¡esolu.ió¡ de los p¡obl€nas qu¿ se presentrn. Esto lp pe.mitiiá asimila¡ nejor l¡s Uses teóri.¡s comprende¡ el método de
resoluc¡ó¡r de los p¡lblenas del üpo dado )' a¡lqujri¡ c./uoriDú-"¡rcs suficlentes pdaresolver con.iente e iDdependienleBenie ios problemas que sepmpoDen.
;1
De otro lado la aúsencia de texto en lascondiclon.s delos probl¿h¡s pernileD ¡\mentd considerabl€menle el nú¡ero de esqDemas d€ ril¿trlo y a¡alia un ¡umem s'firieole dp divÉrso. cntdos sin rroem"nid' el vohrmen ilel lib¡ó.
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ASPECTOS GENEBALES BásiGm¿¡to los método! ¡rat¡icial$ coúisted 6n Emplezar lá eslrüctm coDtüru real po¡ u modelo újtemático dé €toMtos 6structu.¿lB, cuyú propiéilades puedm e¡prcsaBe en fo¡lEa r¡atdcial.
El
pu$o
de ánátisis se p$odé
1. 2. 3. 4.
€l estudio de o.tatro erarEs.
Accló¡ soh6la 6st¡uctüra. Acció¡ sobr€ elsr¡e¡tos. Ropuedo de los etener¡tos. Repuesto de laEslrurtura.
Por aLcjoD s€ prEde
estruch¡n.
cGidsrar cmo
a su
ente¡d€r nna h'er¿¿
L¡ Elació¡ o,$terIe cDtE mátrlci¡lmente
¿D le
o
ü¡ DesplazanieDlo lhpúBros
vez¡ ésla Esponde
Iom¡:
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y
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Desplazan¡te¡tos
resp¡esta
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Marriz de
h ndibüdad
de la esinrctura
l,lauiz deRigidezde le ostruct Mabiz de Despl@oieÁlo Mabiz de carSes enerna¡
L¡ec{.ctón(a)co¡F.po
e a la
n
modalidad del héro¡to
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de
ls tuezd
lo! d6plaz¡irúolrús.
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Atókris Manickl
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Esb¿ch¡tus
Mat¡j, de Ftexlbiüdad e3 muy útil s¡ el astu¿io d€ la dhÁnica de ta 'sspue3la estNctuB, dc áil s impore¡c¡¡. Despeia¡do el vFcto! de tuerzas lpl en la ecu.ció¡ fa l. eeoblféN: La
lpl=lc["]¡.1 Y si se
compdu esla ecuación con la ecrEcióD {bj
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se obliga á la
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EsurEtür¡ adquirir una pos¡c¡ón .lefomada ral ¡2 = ¡3. ,,-."'1.¡ á 0, Res lla
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P.iine¡a colDrnrE ropresenta Ias fue.za! nec€sadas para Droduc b nr¡\ en el nudo r , sir qne se ñueva¡ los !'tos nr,tos. Sidilddnénl€ columa 2 Bp¡esenta i¡s nrerz¡s decesar¡as p@ q@ et orJo z ttu,ga ura
denexióo
u¡irül¡
l¡ dcflenór unitdia y todos los demás pemanezcsn sn su rt¡ol
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DE RIGIDEZ Matrtz de RiCidez de elemebto vigs . Cotulfu fzDj de eje Rc¿to de Seocióü Co¡srdnr€Refúid6 á tGDLJ orien16dos resu¡ ejes locates.
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ad¡c¡ e¡ c¡m d?bido al Désplaartrie¡ro (eD Ere el 56¡lido ds D$prarmicdro (sier¡r!l
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si ¡nnld¡¡os lr4 cr¡dús {l-" Liberlail (2,3,5,61 o sea Las CútL,onas y F¡las 12,3,5.61 (!e¡ €Fs loc¿le, se tenibá üna Mariz de Rigidez pa¡a llr1.r!.tqr¡-s$!ne1i.l_ár solo i,
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MATRIZ GENERAI DEL ELEMENTO fA¡}
Clobotee
Lasanbtoftas to Ma¡ri¿ de kl)dp¿.te losElenentos:
Ht, = ¿eoo EAu¡ = 69966¡
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366.7
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20s333,3
0
0
-1100 -366,7
0
440D
1100 366.7
-1100 --366_7
0
1100
0
-208333,3
-1100
o
0 2200
0
-204333 0
3
0
I
0
22llt 4
0 20a333.3
1100
-1100
0
5 6
6
b. Si¡..ilañüts
Ensanbtomos ld Mdtriz d6
niidcz
r¡ó¡rr, det EteñentolEDl
d¿
¡dn¡'b¡o¡
^robtiol
f"
'c\o k-" lu ,=n@d=asn,o c¡= 2
E(h--'
I
I 4
-1100 -366,7
5
0
6
208333,3
0
0
-208333.3
0
0
4400
1100
22AO
0
1100
0 0
1100
0
-208333.3
0
208333 3
-1100
0
0
1100
0
MATRIZ GENERAL DEL ELNMENTO {BC]
-1100
0
366,7
RcemDlaz"mos lo\ !alo,es en la Vauiz deRi8irlezCpnFtulLl_sr ! coüide¡a¡do o. o, qe tenúá la s:S ieDto Mar¡iz
.s)
-1100 -366.7
22AO
cora
4.,
0 0
.0.94
Cr=-t¿=03s=send
MATRIZ GENERAI, DEL ET,EMENTO {ED)
366.7
7
;fl; 1;id
4400 .1.4
1
82095.3
30747 200.1
-r5
200.1
1217.2
75
-32095.3
-30767
75
a2095.3
-1156r.6
-75
2l}4.7
5
-8?095,3
30?6?
-30761
5
4 4
2
200.1 608.6
30767
-11587.6 204.1 -200.1 200.1
30147 75
75
3A767
-
200.1
7277.2
Eñsonbldmos lo Mottiz de Rieide del el-"me.to (CD¡
K
a, =:jr.r
Esplicacíón pracüca patu ensam¡Jat la Matriz de Rieitlez de
Ia
i ,=
fi
",=
n
+
a," = o.se
*
EsttDctüm (t3
Kr3
=
Kr 36r) + Kr3€O + K¡3(crt + K13(ED
K¡3 = 1100+(75F(No extsto)+ (No exisre)
=
=0.e4 =coso
= 1100-7s=1025
Kr3
"-.1a
-Au-3 !y= 7- = _=-0.3s=seno
t¡1
Noto: La
Matíz .le la Esb|ucntm se Ensañblo
los GDLEstnct¡tu
5:."#f f $i ¿"ttli:ii:
tili#iii""tf -*"n*,, "".''
Q) MoE¡z de tuerzo tle
las
Elenentf
MATRIZ OENSML DEL ILEMENTO (CD) .l
{
8¿095.3
-30767 75
-82095.J
I
6
30767
-82095.3 11587.6
200,\
200.1
1277_2
30767
-
200.1
3076t
30767
¿15920.1
1025
1025 200,1
-3A767
.34767
11587t .200.1t
@
-34767
-30767
11587.6 -200. t - 200.\ 1277.2
200.10
608.60
iH
10767 0
75
r50 0
0
30767
:i;ti; 200.10
75
0
.82095 34767
7t 11537.6f Z00.7ct
.75
-200.10
603.6
82462
-30767
1025
1025
-2u0.1¡\
Pn
-I.FE
tP=P"l
0 0
100.10 -3016? 219920.0 200.1( 608.6
P
0
0 0
=
o
{No eyjsren Momenios de
Emopt¡amiento perfeclo en ios elementos)
Ensoñblot lo Moniz de Fuena de Ia es¡¡uctüro lPl
6
0
-11587.6 Z'D.1ll
23175.20 150
I
6 .75
-200.10
-820S5.3
0 0
.J4767
0
0
0
-3¡767
200.1rr 5617.2t
920953
-75
.ü10s5.3
lh"l
2001 60a.a
Ensanblanos la Marri, de la esrJtcirrn 82462
lp"ol=
.
82095,3
30767 -11587,6 -200,1 200,7 608.6
=
75
-115a7.¿
-75
le"l
lp^"1=
€
617.2t
I
0
P= -10 0 0 0
0
!,40hm3d MeÁdi Eó¿i M.
@
Aróllttt Moticial d? ntucútos
Calcula de Desplozonien¡o de Ia Estrüctxm (n, ¡ad)
0,021594
-0.03793
fco
-0.00002155
=
lxcol '[,col = lrc¡l
-0.003244
o,002235
'
0,035713
-0,00002645
lPl(,,,) =
Podeinos
0,035713
-0.005697
0
10
o.a29
1
0
2lt
4,49
2
0
30 47 52
1,08
3
0.829
4
-0.003244 0 0
lr¡¡1.1r,¡¡l=
0
lrml'
-G005697 o,00747
=
irscl 'l¡scl
=
lr¡cl
'
-4.49
5
-6.!6
6
10 2q 30
0,035713
-0,00002645
f¡c
-0,00002156 -0,003244
'
-9.39 -6,81s
4
5.504
5
-74.21A
6
3
0,021594
-0,03793 0.002235
y Axiales de
los
,
DeEc4bJBC)
l
-0.00002155
=
Arerzas Co¡tant€s
en tas Elenentos
f¡¡ =lr^¡i'
f¡o
aprcdd qre las
r'll
o.
"lu^"1 =
1
2
Elem€ntos {BC)y (CDl están en Ejes clobales, y hay qre llev¡rlos a Ejes Locales.
-o.oDoii2645
f¿u;dlul.lr^"1
6,815
-5.505
-0,03793 0.002235
@ Cat.ula de ruano
58
0.005697
0,021594 F = lKl(gl,o) "
14 25 3ti
-6.329
1
2
26,75
3
6,829
58 69
-5,51
5
14.27A
6
71 22
6-8S
1
4.513
2
6.06
3
-6,89
4
44 55
4.513 9.39
5
-6
Nl
=
6.89rcr
=
6.89.0,94 = 6,48
N2 = 4.513 rcy = 4,513*0,35 r1.58
NBc
*f¡i +N,
= s.o6
Tn (conprenllón)
Na = 6.89rcx
=
6,48
N3 = 4,513 rcy = 1,58
Nc€
= lü-N5=-8.06
Tn (compe¡sión)
Nato: IAs nleaas Axioles octúan
@
a
lo
loleo d¿t Eteñentó.
tueras cortanles: Las hr¿rzas
Co¡t!¡tes a€túan pe¡pendicular al E]ém€nto.
Q1 =
6.88*Cy = 6.89'o 35 = 2,{1
Q,
4.s13'Cx =4.513'0.94
=
Qa=6.89'Cy=2:1 Qs =
4.513'c,
= 4.2a
QBc = Q,
-Ql=_1.8s
QcB = Qa
-Qr = -1
s3
= 4.24
Q1=6.315*C,
= 2.g9
Q?=5,505*Cr=5,10 Q5 =
Q{
s.sos'C: =s.18
= 6,8151Cy
QcD
=2.39
=Q1-Q, =-2.2e
QDc = Q5
-Q¡
= 2.2e
,
@
Se defrne tol cDL de
ta Estrxctüo
Elúento ED 0 0
P¡¡ =
10 20
0
3 0 {No bay car8as actuant€s a Z sob¡e el elemento ED)
0
5B
0
69
0
l.)
'
(Seguinos los nisños pas de! eJañpto anl€no¡) ,os
'
In Maniz
anteiü.
de RiCi¿te2
¿te
la Est!üctüm 4la ñisma
¿tet
ejemplo Elemento BC
@ Ahon
Detetnínanos la Mottiz tle tuenos de tos Eteñentos: 0 0
0 0 0
0
10 20
r o {No h¡y cargas achr¡¡ies 41 sohe €l elemento AB)
1t 22 44 55
52 63
'it=16q
,Aió¡ilii Moúacid
d¿ Es,Ju.htús
Anólisi.
@
Elaterto
Cotcúla de Dasptazañiento de
Estrúctüto (tn, md)
CD
0 '12
16
14 25 3tt ,,
0
= lKl
-1'lll
=
-o,0419 -0.000:115 o.000794
1
0
4 5
0
0
0.0419
-0,000115 -0.00Q794
@
-it
)i=
= 16 Li
-ts
f*
=
lt¡íf* F¡ul 'lr,^¡ l = lr¡¡l'[,¡ul
lpl
16
I
0
3
-12 -16
0
0
24
-24
0
6
1
n.d6
2
0
'¡o
-44.34
=
IKA!]'
3
-14.4S
4
-0.0419 -0,000115 0.000794
P /n :FE--:FE 0
10 20
74,4g
0
0
fA¡ la Motdz de rüe¿a de 10 estuctuú
0
I
Colculo de tuetzo en las Etenetros
i=t2
12
2
- 0.7\22A
58 6S
t2
@ E,sanbtú
lo
f-
=l&61*lr"ol'l¡-l 0
.0
.0
0
0
0,041s
72
-72
-0.000115
-16
16
-0,ó00794
=
52 63
lr-l' 10 20 30 5B 6S
Md
-23.96
5
42.60
6
ipuo
-14.49
1
23.96
2
44.34
3
14.49
4
-23.96 .6
etnt dd
t€bDc¡n|
Anón¿¡t
@ tua¡tas
Axialee:
f¡c = l&cl+ l<¡cl-J¡¡cl r3
!
-0.000115
22.74
z
0.000794
42.60
I
1.26
ó
-0,0419
fa.
=
l4qlr¡1".¡'
0
-0.11228 0
¡-
=
11
11,
44 55 66
t0,o?
I
lr"ojr¡r.1,lu*l
¡
N2,22.74'q
= 22-7 4. O-35 = 7.96
N. .11.1s'Cx
=11.13
N5 =
14
0
-o.1 fco
= 116o1
1r*¡"
228
0
0,0419
0,000¡15
-0,000794
'Similarmsnie Axiales
a.
t0 47 58 60
11,13
I
1,.26
2
-10.D7
3
-11.13
4
22.?4
5
- 42.60
6
al elemplo alterjor, Dele¡ftin¡mos Las ff¡arrás
] Cortdts8 en E és Locslos
Eleñéhb tacl
.
j
Nr = 11,13 rC,
11,13
0.94 = 10,46
i 0.94 10.46 =
r.26"Cr - t.?6'0.3s
NEc 1Nr +Ne =
18-42
=
0.4t
{Cotnplesión,
Nc! - Nr -N¡.-10.02 (ConpL€sión)
b. El.neñto
@
taD):
ntetzdi Ariotesl
Matnkl d. Ee1tu)ñt
Anútr¡E Mot)¿io) .]e
Nl
r = 11,13 Cx = 10,46
Elementó cp:
Nr=1.26rCy=0,44 N{
r = 11.13
Cr
= 10,48
N5 = 22,74' Cy = 7.96 NcD = N1-N? = 10 NDc
@
=
N, -Nr
02
(ConPresiónl
= -18.a2 (Comprestótr]
n)eno Conanb lltanento BC): Q1 = 11.13!Cy =3.90
ElenÉnto BC:
Q, CY=
o's¡
Cr= 0.94
=
1.2€'Cx =1.16
Qa = 11.13*9, = 3.90 Qs = 22 7 4" Cx = 27,38 QcD = Qt+ Qr = s.oe QDc = Q5 -Q4 = 17 48
Q1=11.13'Cy =3,90 Q2 = 22,7
4'
Cx = 27,3A
Qa = 11.13'Cy =3,90 Q5 =
1.26'c, =1.18
Q¡c
= Qr
-Q1-17
a0
QcB=Q!+Q4=s.08
Edrurtor5
Anóltsk nia,i.iol d6
'
Se deJine 1os
'
Mottiz de Nqídez del Elenento ttpica (e"
GDLde ta Estrtrctutu:
ejes
dobales)
4 EA .. ÁC)=
L
ci c,c,
-c| c,c"
@ r"* tu t'r.'"t,"" -osrrada, calcula. tos EsfuePos É=2*7a7 T/m2 l\nidr ó rrr llli*iLridid
(\i,{ d! t$
¡N
(ioDfúd¡
e¡ cada Elene¡ro.
cr
Cí
c" -crcn
-C,co
ci
c"c"
-c
c,cu
Cí
C,
c*c"
1: 2
,l @ :1.i
Estu.ñrls
,4t ól;Eis Mdtñcb¡ ¿e
@
Ensa¡¡bla¡,os la Mabi2 d Bjctete de tas Eleñentos
a.
Ed
Se tend¡ál
Elemento tAa)
Ko=
Matiz
1
2
10000
0
0
12 0
-10000
0
10000
0
0
0
0
0
45
de Figjdez del Eleñenta tAC):
o=0 c,=Coso=r
I
Cr
)
=seFq o
lReempt¡zamos en L Mal¡iz Ls
0
0 1
2
10000
0
0
0
0
-10000
0
0
0
0 4 0 0
10 20
10000
0
3l
0
0
10000
2
1
K¡c
=
0
0
0
10000
o
0
0
-10000
0
0
0
Mdtriz de Rigidez del Eleneñto tBD)
b.
Mdtti2
dé
niertez det Etenerro
tcpl
l
o=0 c,=cosa=1- l ' Cv=Se¡d=o
2
0
|n"".prr-.os
J
en lá
vaui2 I 8
3
0
0
1
0
10000
0
-10000
2
0
0
0
0
3
10000
4
0
r¡t¡a.
Arákns Modciol d. Etu¡ct¿ms
c
El!nÉ!-AJ!D)
Reenllazainos
eD
{'),
se
renüá: ¡'z" + ¡'?,
=s.esogn
0 1
K.cD =
4
3
3535,5
3535.5
3535
3535.5
5
-3535.5 3535.5 3535,5
-3s35,5
-3535.5 3535.5
C, =::L =A
1 .1.9.. 2 ?.9. 3
\' j=
li
3535.5
70?
o zoz
3535.5 4 45
6
I
É#á"-lt"*", t"
Marriz .le la Estnrctua: fsegLrn los CDL de la
'I
2
13535.5
-3535
-3535
-3535.S 3535.5
,=
fi
*o1
=
o 0
r osoe-
.t 0
3
3535.5
5
5
-10000.o
,3535.5
13535.5
0
o
-10000,0
0
13535.5
3535.5
0
0
3535,5
13535.5
c,=l=o.toz @ calculo Cy
Fnsanblonos lo Mat¡iz de ñ¡ena de
lo
l1
H,,
Eleme¡to tCBt:
loln l0l5
Reeñpl¡zaDos ¿n ('), se teDd!á:
I 1
ca¿aEleme¡to
=-!=0.7a2
o.
i
de los Esfuepos en
2
3
0 4
-3535.1 3535.5 3535 5 3535.5 3535.5 Kl-E= 3535,5 3535.s -3535.5 31 3535 s -3535.5 -3535: 3535 5
b.
Colcplo dé DeEplozoni"ñt6: 1
2
¡.
=lKf"lPl=
3 5
la
Es'}úctúro
3
Anól;sis Moticiol .]a E
hcb)tut
c. Eleñento (AC): P^c =iK^cl-lÉ^cl
I o l1o I o I n i',, ..n l, 11
P¡c
@ cotcun ae zsJuarzos en
=lx¡cl'l
o.ooo"
i
o.oot
caato Eteñento
lrr=l o l, ln, I 'o l.
r¡i a.
EjpBrÁtaJABI
d.
r^" =lx¡¡l.lrarl
Elemeñtó EDI:
NAc =10 Tn pBD
[-l--lro
*= -"il+*j.,l:l=l;l: t f¡-1no fin +q_______--]!, N,r¡ f-19]l
=
b.
= IKED1'lpBDl
P"o =
lKs¡l'
10Tn fTracción)
Eleñektb (CD):
r{
NBD = -10Tn (Compresión)
r"o =lr6ol,Jecol Eléñ¿nto tAD)
r-
=
J<¡¡l
P¡¡
=
lK¡ol'
'llanl
Análin' Modiriol de Es6üct
I
ñt
Elementa tCBl:
pc' iKGl"ll c¡l {D.FÁ)
lo¡o¡sl r:
7
,*=r"*r.F.#l;l= l- o--lqn
? 3
4
@
Cdhulo de Esfudzos.¡ losEtcnentos tncliDados
a.
Elenento IAD:
nnsdlii'btar la
vat'i"
d€ Risidez de la
esr
ctura, se8ún
10
D
NAD = (cx -10)Nz
Nar, = 14
14
Tn
(rracción)
NDA = (c,. 1o)"2= 14.l aTn {T¡¿.ciónl
Viga coluM
=0.30 x 0.60m =0,30 x o,6om
Placa Cicula¡ fD)=2m
b. Eleñerto taBl:
c=0.40'Els4oonnT/ñ¿
NcB = G! , 1o). 2
Ncs =-1414Tn (Complesiónl
N¡c =_14.14Tn fComp¡esió¡)
cDL
mDsr.ados:
A'ó)ld' Mohc'ol Placa
r=lg 64
9l'¡
\101
72'El
203342.a1
=z
n¡.p
203342.01 406685.62
-406685.62
72'21'16,o.7ss
Reemplazs¡ros d5ros e¡ ]a Mahiz
-406635.62
(¡
-7), Etinindndo
-203342.A7
4066¡5.62
2D3342.47
406685.62
-406635.62
407D37,21
406685.b2
7225705.2a
.ip,
jos
(cDL)
{2 y 51.
Ast:
L'= L¡a_b
É..
L'= s-0.85,0,1s
Y. I
I
T t__, ts¡d¡á ]a sigüiente Matriz:
:D
2
22
a=;_u=1_g!9=o ss44
tr
22 b =
b-¡:lel = 0.30, lIg 44
t"" =.rrtt. t,r, a',¡
=
=
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en GL¡ debido al siro eD GL¡)
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Ahtithk Maúcid da Eúuctu)as
METODO DE COMPATIBILTDAD
l,h compalibilidad aplicada e¡ el método de los desllazamienlos es la que la $'o,netrla de la defo¡mación deb€ se¡ lal $e los elenentos de la esbuctlDá se rr nlengantuidos enlos puntos nodales.
'
Se llana la mtriz de rigidez por compatjbilidad de .lefo¡úacioDes a la relación existe¡ie e¡he los desplazani€nios global€s de la €sl¡uctrua r las defornacio¡esiocales delos elenentos.
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,r",
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Mat¡iz de Rigide¿
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mal¡iz equivalente d€ compatibiilidad
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EIEMPLOS
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l" uig" -orruaa construi¡ D.M.F por el método de compatjbilidad. M=3
@Defrniendo los GDL GI, ,W* O
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@
€:)
(Ír
Análisir Moúicidt
de
L.Úüdrra
3rd coltrmtu de Ia ño1ri2 de caüootibilidod ¿. Colocanos los e¡ados d6Ubéfad(3süos) b. Nuneranosldélen¿niñ.
C lndicand cq¡ tldchas el inicio v tinat
elená¡i.
Ac¿htna
de
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to üabiz de cóüpaübilídad
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