Análisis Estructural de Marcos Planos Ortogonales en Excel

Universidad Autónoma de Zacatecas “Francisco García Salinas”

Unidad Académica de Ingeniería. Programa Académico Ingeniería Civil.

“Análisis Estructural de Marcos Planos En Excel”

Leonel Iván Miranda Méndez

Zacatecas, Zac. Julio 2008


CONTENIDO Introducción Capítulo 1 Análisis Estructural mediante el método de rigidez en formulación matricial 1.1 Método de la rigidez 1.2 Álgebra lineal 1.3 Método de la rigidez en formulación matricial Capítulo 2 Microsoft Excel® 2.1 Entorno de trabajo 2.2 Funciones matemáticas 2.3 Visual Basic para aplicaciones Capítulo 3 Análisis Estructural de un marco plano en Microsoft Excel® 3.1 Explicación del código fuente 3.2 Forma de introducir los datos 3.3 Forma de interpretar los resultados 3.4 Alcance del programa 3.4.1 Ventajas 3.4.2 Limitaciones Capítulo 4 Ejemplos 4.1 Marcos planos con miembros de sección constante 4.2 Marcos planos con miembros de sección variable Capítulo 5 Conclusiones Referencias

Leonel Iván Miranda Méndez – Análisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.1


Introducción Con el creciente y amplio uso de la tecnología digital que se ha dado recientemente es imposible que su influencia no llegue a la rama de la ingeniería civil y, de manera más específica, al campo de la ingeniería estructural, tanto así que existen en la actualidad infinidad de herramientas computacionales dirigidas a resolver problemas de análisis y diseño de estructuras. Existen aplicaciones como por ejemplo el SAP, Tricalc, uStatic, Etabs entre otras, de carácter comercial muy conocidas y bastante utilizadas por los ingenieros civiles, incluso dentro de las universidades del país ya se ha trabajado en este campo, de hecho en la Universidad Autónoma de Zacatecas existen programas computacionales para el análisis de estructuras. El análisis de estructuras mediante tecnologías digitales es muy recurrido ya que es de enorme utilidad al realizar cálculos laboriosos y extremadamente repetitivos, evitando así cometer posibles errores. Sin embargo, la parte importante y crucial de un problema de este tipo no es el realizar las operaciones requeridas por el método de análisis, sino plantear el problema en cuestión de forma correcta. La tarea que lleva a cabo una computadora en el análisis estructural es tan sólo una parte de un proceso donde el ingeniero observa el problema, lo plantea, introduce en la computadora los datos correctos y, finalmente, interpreta los resultados obtenidos, entonces, no es posible que una máquina detecte un error en el planteamiento del problema, por consiguiente sigue siendo responsabilidad del ingeniero el ofrecer resultados correctos. Es obvio que cuando un calculista hace uso de un programa computacional, debe de estar familiarizado con el procedimiento que la máquina está

realizando, consecuentemente cualquiera que desee

delegar el cálculo de una estructura a algoritmos computacionales, primero debe saber cómo se hacen a mano. Una vez que se ha ensayado



y se tiene cierta experiencia se puede hacer uso de un programa computacional como apoyo en el análisis, para esto se ha realizado un programa computacional que pueda servir de ayuda para el análisis de estructuras, dicho programa es una hoja de cálculo en Microsoft Office Excel ®, dicha hoja resuelve marcos planos mediante el método matricial, se desprecian las deformaciones axiales y el número máximo de grados de libertad debe ser como máximo de 60, el programa resuelve problemas con elementos de sección variable. Se eligió el tema para afianzar los conocimientos sobre análisis estructural, además para alentar a otros estudiantes a desarrollar sus propios programas, ya que es un método de autoaprendizaje, también para que al utilizar un programa comercial o cualquier otro programa se conozca –a grandes rasgos– la mecánica del mismo. El objetivo no es el competir con los programas de su ramo que existen en el mercado, ya que éstos son en su mayoría desarrollados no por una sola persona sino por equipo de profesionistas con estudios en leguajes de programación, sin embargo se contribuye en que el programa –como estudiante de ingeniería civil– está orientado no a un uso profesional sino a un uso didáctico que sirva a los intereses de los estudiantes de ingeniería civil. Asimismo, contrario a lo que se podría pensar, el programa computacional tiene ventajas sobre el resto de los que existen en el mercado en cuanto al hecho de que éste puede servir como un primer acercamiento

al

cálculo

estructural

mediante

herramientas

computacionales, ya que debido a su simplicidad será fácil para un estudiante comprender el mecanismo de operación.



CAPÍTULO 1 ANÁLISIS ESTRUCTURAL MEDIANTE EL MÉTODO DE RIGIDEZ EN FORMULACIÓN MATRICIAL 1.1 Método De La Rigidez Una de las definiciones fundamentales es la de estructura, concepto que Juan Tomás Celigüeta, en su Curso de Análisis Estructural, define de la siguiente forma: “Una estructura es, para un ingeniero, cualquier tipo de construcción formada por uno o varios elementos enlazados entre sí que están destinados a soportar la acción de una serie de fuerzas aplicadas sobre ellos.” (Celigüeta 1998: 1) Un concepto también definido por Roberto A. Falcón, aunque de manera más técnica: “Una estructura es una cadena elástica estable, compuesta por un número finito de elementos unidos entre si mediante un número finito de juntas…”. (Falconí 2004: 5) Consecuencia de lo anterior se dice que las estructuras están formadas por miembros unidos entre sí (en lo sucesivo, los miembros de la estructura se denominarán elementos y a las uniones y voladizos se les designará nudos), los cuales se encargan de mantener estable un estado de fuerzas (o una carga), lo que nos lleva a definir análisis estructural: Consiste en determinar los esfuerzos internos y las deformaciones que se originan en la estructura como consecuencia de las cargas actuantes. Para efectuar el análisis de una estructura es necesario proceder primero a su idealización, es decir a asimilarla a un modelo cuyo cálculo sea posible efectuar. Esta idealización se hace básicamente introduciendo algunas suposiciones sobre el comportamiento de los elementos que forman la estructura, sobre la forma en que éstos están unidos entre sí, y sobre la forma en que se sustenta. Una vez idealizada la estructura se procede a su análisis, calculando las deformaciones y esfuerzos que aparecen en ella, y utilizando para ello las técnicas propias del Análisis Estructural. Para este análisis siempre se dispone, como datos de partida, de los valores de las acciones exteriores y las dimensiones de la estructura… (Celigüeta 1998: 3)

Entonces el objetivo del análisis estructural es calcular las fuerzas y las deflexiones en un punto cualquiera de una estructura, para esto se



pueden seguir muchos métodos, algunos de los cuales se enumeran a continuación y se clasifican en cuatro grupos de acuerdo a su naturaleza. 1. Soluciones analíticas: consisten en resolver directamente las ecuaciones que controlan el problema, por lo que normalmente sólo se pueden aplicar a casos sencillos. o Integración de la ecuación de la elástica en v. o Teoremas de Mohr para vigas. o Método de la viga conjugada para vigas. 2. Empleo de las ecuaciones de la estática: sólo se pueden aplicar a estructuras isostáticas. o Método del equilibrio de los nudos para armaduras. o Método de las secciones para armaduras. o Método de la barra sustituida para armaduras. 3.

Métodos basados en la flexibilidad. o Principio del trabajo virtual complementario y principio del potencial complementario estacionario. o Segundo teorema de Castigliano y teorema de Crotti-Engesser. o Método general de flexibilidad, basado en el segundo teorema de Engesser. o Método de la compatibilidad de deformaciones en vigas. o Fórmula de los tres momentos para vigas. o Principio de Müller-Breslau para cargas móviles.

4. Métodos basados en la rigidez. o Principio del Trabajo Virtual y principio del potencial total estacionario. o Primer teorema de Castigliano.



o Método de rigidez en formulación matricial, para estructuras de cualquier tipo. o Método de la distribución de momentos, o de Cross,

para

pórticos planos. De todos los métodos anteriores, para este trabajo el que nos interesa es el método de rigidez en formulación matricial, debido a su fácil implementación y sistematización en computadoras. Para explicar el método de la rigidez hace falta definir ciertos conceptos e hipótesis necesarios. Se dice que un modelo matemático es más exacto mientras más variables se involucren en el mismo; en el caso del análisis estructural intervienen muchísimas variables como son la naturaleza de los elementos de la estructura y de la forma en que están unidas, también intervienen los procedimientos de construcción, los cambios de temperatura, la calidad de los materiales, etc. En lo que atañe a nuestro caso muchas de estas variables se despreciarán, suponiendo comportamientos que, si bien no son los reales, se acercan muy bien a la realidad. A continuación se enumeran las hipótesis: 1.-Comportamiento lineal de la estructura y de los materiales. 2.-Movimientos pequeños comparados con las dimensiones de la estructura. 3.-Se desprecian los fenómenos que afectan y varían la rigidez. 4.-Los materiales son homogéneos e isótropos 5.-Las uniones de los elementos y de la estructura son ortogonales. 6.-Los desplazamientos y el sistema de cargas están sobre un plano (estructura en dos dimensiones). 7.-Se desprecian las deformaciones axiales y las torsiones en el eje longitudinal de los elementos. 8.-No necesariamente la sección de los elementos debe ser constante, sin embargo debe ser rectangular. Las hipótesis uno, dos y siete son de vital importancia, ya que son condiciones que debe cumplir una estructura para que se aplique el



principio de superposición. Dicho principio establece que los efectos que produce un sistema de fuerzas aplicado a una estructura, son equivalentes a la suma de los efectos producidos por cada una de las fuerzas del sistema actuando independientemente. Dentro de la estructura, en cualquier elemento, sección o nudo, la suma de las fuerzas y momentos será cero, en este caso, como es una estructura plana, se debe cumplir que:

F

x

0

F

y

0

M  0

Para analizar una estructura primero se debe evaluar su estabilidad, se dice que una estructura es estable cuando la estructura mantiene el equilibro para cualquier caso posible de cargas. Si una estructura resulta ser inestable entonces no tiene caso seguir con el análisis y deberá replantearse una nueva estructura. En el caso de que se trate de una estructura estable, entonces se procede a determinar su grado de indeterminación. Como se mencionó anteriormente, se dispone de tres ecuaciones de equilibrio, entonces, el grado de indeterminación será el número de incógnitas que excedan el número de ecuaciones disponibles. Las incógnitas en el método de la rigidez son los desplazamientos en los nudos, ya sean traslaciones verticales, traslaciones horizontales o giros. Esto lleva a definir el término grado de indeterminación cinemática, que no es otra cosa que la suma de todos los desplazamientos independientes en los nudos. Ahora bien, ya que se han definido las hipótesis y las condiciones de la estructura, se debe hablar del método que se usará, a saber, el método de la rigidez (o de los desplazamientos). Dicho método se llama así porque parte de la definición de rigidez, la cual nos dice que la fuerza que actúa sobre un cuerpo es igual a la rigidez del mismo multiplicada por la deformación que sufre debido a dicha acción. En este método se utilizan acciones producidas por desplazamientos unitarios, éstas son traslaciones o rotaciones unitarias, y las acciones serán fuerzas o momentos.



Las acciones causadas por desplazamientos unitarios se conocen como “rigideces”. Para plantear lo anterior se procede a aislar un elemento y determinar sus rigideces.

 1 Mj

Mk

L

Figura 1.1-1

En la figura anterior se dice que en el extremo j (izquierdo) del elemento se produce un desplazamiento giratorio unitario. Si la fuerza necesaria para producir dicho desplazamiento es igual a la rigidez del elemento multiplicada por el mismo desplazamiento F  k   y   1 , entonces F  k . Por el método de la viga conjugada:

Mk EI Mj EI L Figura 1.1-2

M

j

0

M j L 1 2 EI 3

L

MkL 2 L  0 ;  M j  2M k 2 EI 3



Al provocar un giro unitario en el extremo

Mk 

Mj 2

j con M j se genera

, es decir, existe un factor de transporte de

1 . 2

Rk

Rj V  

Mk EI Mj EI L Figura 1.1-3

El cortante en j es el valor del giro en ese punto R j  

M

k

 0;  

Como M k  

M j  L  2L M k  L  1      L  LR j  0 EI  2  3 EI  2  3

Mj 2

M j  L  2L 1 M j  L  1      L  LR j  0 EI  2  3 2 EI  2  3

Mj 

4 EI R j ; Como R j    1 L



Mj 



2 2 2 M jL 1 M jL   LR j  0 6 EI 12 EI

4 EI 2 EI ; Mk  ; L L

De manera similar se obtienen las rigideces para cuando el giro se aplica en el extremo izquierdo y en el derecho, también cuando se aplica una traslación en el extremo izquierdo y en el derecho y las rigideces correspondientes se muestran en las figuras 1.1-4, 1.1-5, 1.1-6 y 1.1-7.



4 EI L

 j 1

2 EI L

j

k

6 EI L2



6 EI L2

Figura 1.1-4

2 EI L

4 EI L k

j

k 1 6 EI L2

6 EI  2 L Figura 1.1-5

6 EI L2

 j 1

6 EI L2

j

k 

12EI L3

12 EI L3

Figura 1.1-6



6 EI L2



6 EI L2

j

k  1 k

12 EI  3 L

12 EI L3 Figura 1.1-7



Como se trata de un elemento doblemente empotrado se necesita conocer los momentos y los cortantes producidos por las cargas reales, por ejemplo, si fuera una carga uniformemente distribuida entonces las cargas de empotramiento serían: wL2 12

wL 2

wL2 12

wL 2 Figura 1.1-8



1.2 Álgebra Lineal El álgebra lineal incluye la teoría y la aplicación de sistemas lineales de ecuaciones, para esto se hace uso de diferentes conceptos y notaciones de las cuales, para el propósito de este trabajo, bastarán los siguientes: El primer concepto a definir es el de matriz, que es un arreglo rectangular de elementos – en nuestro caso números – escritos entre corchetes, por ejemplo la matriz A siguiente representa las ventas de 3 sucursales en un trimestre: Enero Febrero Marzo Sucursal  1 $1500 $1600 $1650 Sucursal  2 $1400 $1550 $1600 Sucursal  3  $750 $800 $1000 Como puede verse la matriz anterior tiene 3 renglones y 3 columnas, entonces se dice que la matriz es de orden de 3x3 siendo el primer término el número de renglones, el cual se denominará m y el segundo término será el número de columnas y se le denominará con la letra n. De manera genérica una matriz cualquiera de m  n será:  a11 a A  a ij   21     a m1

 

a12 a 22  am2

a1n  a 2 n      ... a mn  ... ...

Para designar un elemento de la matriz se recurre primero al renglón y luego a la columna, por ejemplo el elemento a 23 de la matriz de ventas será $1600 que corresponde a la sucursal – 2, en el mes de marzo. Cuando en una matriz m o n es igual a 1 se dice que es un vector, si m = 1 entonces es un vector renglón y si n  1 será un vector columna. Matrices especiales Existen ciertas matrices que deberán mencionarse debido a su utilidad en el método de le rigidez:



Matrices cuadradas.- m  n Matriz simétrica.- aij  a ji Matriz diagonal.-

aij  a ji  0 excepto cuando i  j

Matriz identidad.- aij  a ji  0 excepto cuando i  j entonces aij  1

Adición de Matrices

 

La adición se define únicamente para matrices A  aij

 

y B  bij

del mismo tamaño y su suma –denotada por A+B– se obtiene sumando los elementos correspondientes. Las matrices de orden diferente no pueden sumarse. Multiplicación por escalares

 

El producto de cualquier matriz A  aij

de m  n y cualquier

escalar (un escalar es un número o también es una matriz de orden

  de

1  1) c denotado por cA es la matriz cA  caij

m  n obtenida al

multiplicar cada elemento de A por c. Multiplicación de matrices

 

El producto C=AB (en este orden) de una matriz A  a ij de m A  n A

  de

y una matriz B  bij

m B  n B está definido si y sólo si n A  m B , es

decir, el número de renglones del segundo factor B debe ser igual al número de columnas del primer factor A y entonces se define como la

 

matriz C  cij de m A  n B con elementos: nA

cij   aik bkj  ai1b1 j  ai 2 b2 j    ain A bn A j k 1

Transpuesta de una matriz

  como

Resulta útil definir la transpuesta de una matriz A  a ij

 

AT  a ji .



Inversa de una matriz Para el método de las rigideces únicamente se utilizarán inversas

  de

de matrices cuadradas, así pues la inversa de una matriz A  a ij

n  n se denota por A 1 y es una matriz de n  n tal que AA 1  A 1 A  I donde I es una matriz identidad de orden n  n Si A tiene inversa, entonces A se llama matriz no singular. Si A no tiene inversa, entonces A se llama matriz singular. Determinante de una matriz Un determinante es un escalar asociado a una matriz. Sea una aplicación uno a uno 



del conjunto 1,2,3,4,  , n  sobre sí misma, en

este caso el número de permutaciones será n! . Se dice que  es par o impar si hay un número par o impar de parejas ij  tal que i  j , si  es par, la permutación es positiva, si 

es impar, la permutación es

negativa. 123  1,2 1,3 2,3  0 

231  2,3 2,1 3,1  2 

312  3,1 3,2 1,2  2 

321  3,2 3,1 2,1  3 

132  1,3 1,2 3,2  1 

213  2,1 2,3 1,3  1 

 

Sea el determinante de la matriz cuadrada A  aij que se denota por A , la suma calculada de todas las permutaciones  a11 A  a 21  a31

a12 a 22 a 32

a13  a a a  a13 a 23 a 31  a13 a 21 a32 a 23   A  11 22 33  a13 a12 a 31  a12 a 21 a33  a11a 23 a 32 a33 

Menores y cofactores Si de considera una matriz cuadrada de 3x3 como la anterior



 a11 A  a 21 a31

a13  a 23  a33 

a12 a 22 a 32

Los menores son:

M 11 

a 22 a32

a 23 a33

M 12 

a 21 a31

a 23 a33

M 13 

a 21 a31

a 22 a32

M 21 

a12 a32

a13 a33

M 22 

a11 a31

a13 a33

M 23 

a11 a31

a12 a32

M 31 

a12 a 22

a13 a 23

M 32 

a11 a 21

a13 a 23

M 33 

a11 a 21

a12 a 22

Y los cofactores son: C11   M 11

C12   M 12

C13   M 13

C 21   M 21 C 22   M 22

C 23   M 23

C 31   M 31

C 33   M 33

C 32   M 32

Inversión de una matriz por el método de la matriz adjunta Sea una matriz cuadrada A en donde cada elemento aij se remplaza por el cofactor C ij , a esta matriz se le llama matriz de cofactores. A la transpuesta de la matriz de cofactores se le llama matriz

 

adjunta y se denota así adjA  C ij

T

. Si cada elemento de la matriz

adjunta se divide entre el determinante, entonces resulta la inversa de la matriz, siempre y cuando el determinante sea diferente de cero.  C11  A   C12 adjA A 1   A A     C1n  A

C 21 A C 22 A  C2n A

C n1  A   C 32   A      C nm   A  



En este breve repaso de álgebra lineal se ha definido las herramientas necesarias que servirán para relacionar los elementos de una estructura, así como sus cargas, deformaciones y reacciones en una

forma

matricial,

lo

anterior

para

poder

sistematizar

un

procedimiento que lleve a la solución del problema particular que se busca. 1.3 Método De Rigidez En Formulación Matricial Matriz de rigidez de un miembro o elemento Como se ha visto ya en la primera parte de este capítulo, para aplicar el método de las rigideces es necesario aislar un elemento y suponer desplazamientos unitarios de traslación y de rotación en cada extremo de dicho elemento, para así determinar las rigideces. Al considerar dos traslaciones y dos rotaciones tenemos cuatro diferentes formas en que se puede deformar un elemento y para cada situación se obtendrán cuatro reacciones a saber, dos momentos y dos cortantes. Se puede relacionar todo esto en una matriz denominada K para cada elemento así:

 j 1 k 1  j 1 M j  4 EI  L  M k  2 EI  L K  6 EI Vj  2 L  6 EI  Vk  L2

2 EI L 4 EI L 6 EI L2 6 EI  2 L

6 EI L2 6 EI L2 12 EI L3 12 EI  3 L

k  1 6 EI  L2  6 EI   2  L  12 EI   3  L 12 EI   L3  

La matriz anterior recibe el nombre de matriz de rigidez del elemento y, como se puede observar, es simétrica. Cuando un elemento es de sección variable conviene expresarla de la siguiente manera:



 j 1 Mj k11   Mk  k 21  K  k11  k12 Vj  L  k k 11 21  Vk  L

k  1 k12 k 22 k 22  k12 L k 22  k 21  L

 j 1 k11  k12 L k 22  k12 L k11  k 22  k12  k 21 L2 k  k 22  k12  k 21  11 L2

k  1 k11  k 21   L  k 22  k 21   L  k11  k 22  k12  k 21    L2 k11  k 22  k12  k 21   L2  

La matriz de rigidez queda en función de la longitud del elemento y de los elementos k11 , k12 , k 21 , k 22 . Para calcular la matriz de rigidez de un miembro o elemento de sección variable se recurre a la definición de flexibilidad que no es otra cosa que el inverso de la rigidez. Si se toman los elementos k11 , k12 , k 21 , k 22 de la matriz de rigidez

K

EI L

 k11 k  21

k12  k 22 

La flexibilidad será:

F  K 1 

L EI

 f11 f  21

f12  f 22 

Y los desplazamientos serán:

 i  L  f 11      j  EI  f 21

f 12   M i    f 22   M j 

Al invertir la matriz de flexibilidad se obtiene la siguiente ecuación de rigidez:

 M i  EI  f 22 1 M   2   j  L f 11 f 22  f 12  f 12

 f 12   i    f 11   j 

Por lo tanto los coeficientes de rigidez para una sección variable serán: k11 

EI i f 22 L f 11 f 22  f 12 2



k12   k 22 

EI i f 12 L f 11 f 22  f 12 2

EI i f 11 L f 11 f 22  f 12 2

De donde f11 , f12 , f 22 son:

f 11  f 12  f 22 

Ii L3

H

Ii L3

H

Ii L3

H

 0

 0

 L  x 2 Ix

dx

x L  x  dx Ix

x2 0 I x dx

Vector de cargas del miembro o elemento En el caso de las cargas que actúan sobre un elemento también se puede asignar una matriz o más específicamente un vector cuyo nombre será vector de cargas Q. Por ejemplo para el caso de un elemento sometido a una carga uniformemente distribuida, el vector de cargas será:  wL2   12   2   wL  Q   12   wL    2   wL    2  Matriz de rigidez de la estructura La matriz de rigidez de la estructura se obtiene relacionando las matrices de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que estén involucrados. La nueva matriz será una matriz cuadrada de orden igual al grado de indeterminación cinemática de la estructura y se denotará por la letra S.



Vector de cargas de la estructura Este vector es el resultado de relacionar los vectores de cargas de cada uno de los elementos de acuerdo al desplazamiento en que estén involucrados y se representará por la letra J. Deformaciones en los nudos Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura y el vector de

cargas

de

la

estructura se

pueden

obtener

fácilmente

las

deformaciones en los nudos así:

Deformaciones  Matriz

de rigidez de la estructura  Vector de c arg as  1

D  S 1 J  Reacciones finales en los nudos Para conocer las reacciones finales se multiplica la matriz de rigidez de cada elemento por su deformación real y se suma la carga expresada en su vector de carga correspondiente.  i  Mi    M   j   Matriz rigidez elemento  j   Vector de c arg as elemento  i   Vi        j   V j  R  K Di  Q 





CAPÍTULO 2 MICROSOFT EXCEL® 2.1 Entorno de Trabajo Para el propósito que se persigue, se partirá del hecho de que la mayoría conoce los aspectos más básicos de Excel y sólo se limitará a describir los componentes que serán de especial utilidad en el programa a desarrollar. Un archivo de Excel es en realidad un libro de cálculo que consta de una o más hojas, cada hoja contiene 16, 777, 216 campos llamados celdas ordenados en 65, 536 filas y 256 columnas; estas celdas pueden contener texto, números, fechas y fórmulas. En la siguiente figura se muestra un libro abierto en Excel

Figura 2.1-1

Como puede verse, las filas o renglones están numeradas en forma sucesiva 1, 2, 3…etc., mientras las columnas están nombradas con letras del abecedario A, B, C…etc. En el ejemplo anterior la celda seleccionada es la de la fila 3, columna 2, o en notación propia del



Excel, es la celda B3. En el entorno de trabajo de Excel pueden seleccionarse varias celdas a la vez, a un conjunto de celdas se le llama rango y su notación consiste en escribir la primera celda arriba a la izquierda, luego separar con dos puntos y escribir la última celda abajo a la derecha, por ejemplo, si seleccionamos las celdas A1, A2, A3, B1, B2 y B3 se dice que hemos seleccionado el rango A1:B3. Abajo en la izquierda pueden observarse tres fichas tituladas “Hoja 1”, “Hoja 2” y “Hoja 3”, que son las hojas que conforman el libro. 2.2 Funciones Matemáticas Como ya se mencionó, las celdas pueden contener fórmulas y para que una fórmula no sea confundida con texto simple, éstas siempre deben empezar con el signo igual (=), las fórmulas están compuestas de una o más funciones. Haré hincapié en algunas funciones que si bien no son todas las disponibles serán las necesarias para resolver un problema de análisis estructural. A continuación se presenta una tabla con dichas funciones:

FUNCIÓN

SINTAXIS

SUMA

SUMA(número1;número2; ...)

MAX

MAX(número1;número2; ...)

MMULT

MMULT(matriz1;matriz2)

MINVERSA

MINVERSA(matriz)

DESCRIPCIÓN Suma todos los números en los rangos indicados Devuelve el valor máximo de un conjunto de valores. Devuelve la matriz producto de dos matrices. El resultado es una matriz con el mismo número de filas que matriz1 y el mismo número de columnas que matriz2. Devuelve la matriz inversa de la matriz almacenada en una matriz.

Además de las funciones anteriores, también en una celda se pueden realizar operaciones directas, por ejemplo si escribimos en cualquier celda “=5*8+1” la celda mostrará el resultado de esta operación, o sea “41”, de igual forma si en otra celda escribimos “=A1+3” entonces se sumará el valor de la celda “A1” más tres.



2.3 Visual Basic para aplicaciones. Excel cuenta con un lenguaje de programación como una extensión de Visual Basic denominado Visual Basic para Aplicaciones, dicho lenguaje se ajusta a los elementos de Excel que se mencionaron anteriormente, es decir, libros, hojas, celdas, funciones, etc., esto permite realizar rutinas automatizadas para simplificar trabajo. A continuación se explica como hacer uso de esta característica de Excel.

Figura 2.1-2

En el menú Herramientas>Macro>Editor de Visual Basic, o bien pulsando Alt+F11, se abre una ventana como ésta:



Figura 2.1-3

El espacio a la derecha sirve para escribir el código que deseemos ejecutar, es decir, aquí escribiremos todas las instrucciones que deseamos que el programa ejecute, en este entorno se le llama macro. Una

macro

está

constituida

de

uno

o

más

bloques

de

instrucciones llamados procedimientos. Veamos el siguiente ejemplo:

Sub Ejemplo1 Application.WorkBooks(1).WorkSheets(1).Range("A1").Value = 2 + 3 End Sub Para dar de alta un procedimiento se debe asignarle un nombre anteponiendo la instrucción Sub. A continuación se escribe la lista de tareas que llevará a cabo dicho procedimiento. En el ejemplo anterior, el procedimiento se llama “Ejemplo1” y la tarea que va a realizar es llamar a Excel “Application” llamar al libro 1 “WorkBooks(1)”, llamar a la hoja 1 “WorkSheets(1)”, y al rango A1 asignarle el valor “2+3” y se mostrará



el resultado “5”, finalmente se termina el procedimiento con la instrucción End Sub. En la mayoría de los casos, Application no será necesario especificarlo, ya que en todo momento se estará trabajando en la misma aplicación, o sea Excel. A menos que sucediera lo contrario, Workbook tampoco será necesario porque se trabajará con un solo libro. Worksheets sí será necesario especificarlo, ya que se trabajarán con diferentes hojas y, obviamente, Range también deberá estar definido. Variables Como en todo lenguaje de programación existen datos variables que nos sirven para almacenar diferentes valores según lo requiera el programa. Para ilustrar lo anterior véase el siguiente ejemplo: Sub Ejemplo2 i=0 i =WorkSheets(1).Range("A1").Value End Sub En este ejemplo la variable i toma el valor contenido en la celda A1. En VBA también se pueden definir variables del tipo matriz como se hace en el siguiente ejemplo: Sub Ejemplo3 Dim m(0,3) m(0,0) =WorkSheets(1).Range("A1").Value m(0,1) =3.15 m(0,2) =WorkSheets(1).Range("A1").Value+3.15 m(0,0) = m(0,0) End Sub En el ejemplo3 se declara una matriz de un renglón y cuatro columnas (a menos que se especifique lo contrario, el número de renglones y columnas se cuenta desde cero, o sea la matriz m tiene el renglón 0 y las columnas 0, 1, 2, 3). Obviamente las matrices pueden contener diferentes tipos de datos, por ejemplo números, texto, etc. Pero en VBA si no se les indica un tipo de datos específico se toma un tipo



variable, pero hay que ser congruente en el momento de realizar operaciones ya que si se multiplica un número por un texto, devolverá un error. Instrucciones lógicas Existen determinadas sentencias o instrucciones lógicas que son de gran utilidad para evaluar datos, una de las más importantes es la sentencia If que significa una condicionante Si y su sintaxis es: If condición Then [instrucciones]-[Else instrucciones_else] Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque: If condición Then [instrucciones] [ElseIf condición-n Then [instrucciones_elseif] ... [Else [instrucciones_else]] End If A modo de ejemplo veamos el siguiente procedimiento: Sub ejemplo4 Dim m(0, 3) m(0, 0) = 1 m(0, 1) = 5 m(0, 2) = 3 valor1 = m(0, 1) valor2 = m(0, 2) If valor1 > valor2 Then m(0, 3) = valor1 Else m(0, 3) = valor2 End If End Sub



En el ejemplo4 se declara una matriz de 1x4 y se asignan valores a los tres primeros elementos, después se almacena en la variable valor1 el valor del elemento dos y en la variable valor2 el valor del elemento tres. A continuación se evalúa si la variable valor1 es mayor que valor2, en caso de que sea verdadero entonces el elemento cuatro de la matriz m será igual a la variable valor1, si no entonces será igual a la variable valor2 y se termina la instrucción con End If. Instrucciones cíclicas Cuando se trata de repetir una serie de tareas es cuando intervienen este tipo de instrucciones, una instrucción muy utilizada, será la instrucción For, a continuación se indicará su sintaxis y se dará un ejemplo de su utilización. For contador = principio To fin [Step incremento] [instrucciones] [Exit For] [instrucciones] Next [contador] En el siguiente ejemplo se escribirán los números del 1 al 10 en las primeras 10 celdas de la columna uno. Sub Ejemplo5 For i = 1 to 10 Step 1 WorkSheets(1).Cells(i,1) = i Next i End Sub



CAPÍTULO 3 ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE UN MARCO PLANO EN MICROSOFT EXCEL® 3.1 Explicación Del Código Fuente Para explicar el código fuente es necesario mencionar algunos detalles acerca de cómo se van a ordenar los datos en el libro de Excel. El

libro

va

a

contener

seis

hojas,

la

hoja

uno

se

llamará

“CONFIGURACIÓN”, en ésta se van a escribir los datos necesarios para el cálculo, las hojas dos, tres, cuatro y cinco, llamadas “PASO_1”, “PASO_2”, “PASO_3” y “PASO_4”, respectivamente se escribirán los resultados y en la hoja seis titulada “SECCIONES” se almacenarán los tipos de secciones de los elementos de la estructura disponibles para el cálculo. A continuación se explica el procedimiento llamado “PASO_1”, el cual calcula y escribe en la hoja “PASO_1” las matrices de rigidez de los elementos de la estructura. (El texto color negro es el código fuente, el texto color verde son comentarios explicativos) Sub PASO_1() Worksheets("PASO_1").Select 'Selecciona la Hoja llamada "PASO_1" Dim mrei(4, 4) 'Declara matriz de elementos de 4 x 4 numel = Application.WorksheetFunction.Max(Worksheets("CONFIG").Range("a:a")) 'Se obtiene el numero de elementos Worksheets("PASO_1").Cells.Clear 'Se limpian los datos existentes en la hoja "PASO_1" RENGLON = 1 'Se establece un contador para renglones For i = 1 To numel 'Ciclo para obtener las matrices de rigideces por elemento L = Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 2).Value ‘Se guarda en la variable L la longitud del elemento iner = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 3).Value ‘Se guarda en la variable iner el momento de inercia del elemento elas = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 2).Value ‘Se guarda en la variable elas el módulo de elasticidad del elemento tipo = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 8).Value ‘Se guarda en la variable tipo el tipo de sección del elemento


Universidad Autónoma de Zacatecas “Francisco García Salinas” Select Case tipo ‘Se evalúa el tipo de sección y de acuerdo a ésta se calculan los coeficientes de rigidez Case 1 ’Caso uno la sección es constante mrei(1, 1) = (4 * iner * elas) / L mrei(1, 2) = (2 * iner * elas) / L mrei(2, 1) = (2 * iner * elas) / L mrei(2, 2) = (4 * iner * elas) / L Case 2 ’Caso dos la sección es varía de una altura en j a otra altura en k hj = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 4).Value hk = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 5).Value If hj < hk Then hmin = hj If hj > hk Then hmin = hk If hj = hk Then hmin = hk a=1 f11 = Integral(1, 0, L, hj, hk, hmin, L, a) f12 = Integral(2, 0, L, hj, hk, hmin, L, a) f22 = Integral(3, 0, L, hj, hk, hmin, L, a) mrei(1, 1) = iner * elas * f22 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2)) mrei(1, 2) = iner * elas * f12 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2)) mrei(2, 1) = mrei(1, 2) mrei(2, 2) = iner * elas * f11 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2)) Case 3 ‘La sección varia de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L hj = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 4).Value hk = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 5).Value a = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 7).Value If hj < hk Then hmin = hj If hj > hk Then hmin = hk If hj = hk Then hmin = hk f11 = Integral(1, 0, L * a, hj, hk, hmin, L, a) + Integral(1, L * a, L - L * a, hk, hk, hk, L, 1) + Integral(1, L - L * a, L, hk, hj, hmin, L, a) f12 = Integral(2, 0, L * a, hj, hk, hmin, L, a) + Integral(2, L * a, L - L * a, hk, hk, hk, L, 1) + Integral(2, L - L * a, L, hk, hj, hmin, L, a) f22 = Integral(3, 0, L * a, hj, hk, hmin, L, a) + Integral(3, L * a, L - L * a, hk, hk, hk, L, 1) + Integral(3, L - L * a, L, hk, hj, hmin, L, a) mrei(1, 1) = iner * elas * f22 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2))


Universidad Autónoma de Zacatecas “Francisco García Salinas” mrei(1, 2) = iner * elas * f12 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2)) mrei(2, 1) = mrei(1, 2) mrei(2, 2) = iner * elas * f11 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2)) Case 4 ‘La sección varia de hj a hk, luego h a h y de hk a hj a lo largo de L hj = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 4).Value hk = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 5).Value h = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 6).Value a = Worksheets("SECCIONES").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, 3).Value + 1, 7).Value If hj < hk Then hmin = hj If hj > hk Then hmin = hk If hj = hk Then hmin = hk If h < hmin Then hmin = h If hj = hk = h Then hmin = h f11 = Integral(1, 0, L * a, hj, hk, hk, L, a) + Integral(1, L * a, L - L * a, h, h, h, L, 1) + Integral(1, L - L * a, L, hk, hj, hk, L, a) f12 = Integral(2, 0, L * a, hj, hk, hk, L, a) + Integral(2, L * a, L - L * a, h, h, h, L, 1) + Integral(2, L - L * a, L, hk, hj, hk, L, a) f22 = Integral(3, 0, L * a, hj, hk, hk, L, a) + Integral(3, L * a, L - L * a, h, h, h, L, 1) + Integral(3, L - L * a, L, hk, hj, hk, L, a) mrei(1, 1) = iner * elas * f22 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2)) mrei(1, 2) = iner * elas * f12 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2)) mrei(2, 1) = mrei(1, 2) mrei(2, 2) = iner * elas * f11 / (L * (f11 * f22 - f12 ^ 2)) End Select ‘Termina el cálculo de los coeficientes de rigidez y ahora se calcularán los demás elementos de la matriz de rigidez mrei(1, 3) = (mrei(1, 1) + mrei(2, 1)) / L mrei(1, 4) = -(mrei(1, 1) + mrei(2, 1)) / L mrei(2, 3) = (mrei(2, 2) + mrei(1, 2)) / L mrei(2, 4) = -(mrei(2, 2) + mrei(1, 2)) / L mrei(3, 1) = mrei(1, 3) mrei(3, 2) = mrei(2, 3) mrei(3, 3) = (mrei(1, 1) + mrei(2, 2) + mrei(2, 1) + mrei(1, 2)) / (L ^ 2) mrei(3, 4) = -(mrei(1, 1) + mrei(2, 2) + mrei(2, 1) + mrei(1, 2)) / (L ^ 2) mrei(4, 1) = mrei(1, 4) mrei(4, 2) = mrei(2, 4) mrei(4, 3) = mrei(3, 4)


Universidad Autónoma de Zacatecas “Francisco García Salinas” mrei(4, 4) = mrei(3, 3) 'Una vez obtenida la matriz del elemento "i" llamada mrei se escribe en la Hoja "PASO_1" Worksheets("PASO_1").Cells(1, 1) = "MATRICES DE ELEMENTOS" titulo (Worksheets("PASO_1").Range(Cells(1, 1), Cells(1, 4))) For r = 1 To 4 'Ciclo para contar los Renglones por matriz For c = 1 To 4 ' Ciclo para contar las columnas por matriz Worksheets("PASO_1").Cells(RENGLON + 1, c).Value = mrei(r, c) 'Se escribe la matriz "mrei" en la hoja "PASO_1" dar_formato (Worksheets("PASO_1").Cells(RENGLON + 1, c)) Next c RENGLON = RENGLON + 1 'Se aumenta el renglón Next r Worksheets("PASO_1").Cells(RENGLON - 3, 5) = "ELEMENTO" & i 'Se enumeran las matrices titulo (Worksheets("PASO_1").Range(Cells(RENGLON - 3, 5), Cells(RENGLON, 5))) Next i error: End Sub ‘Termina el Prodecimiento “PASO_1”

Como ya se tienen las matrices de rigidez de los elementos se procede a ensamblar la matriz de rigidez y el vector de cargas de la estructura en lo que será el procedimiento “PASO_2”

Sub PASO_2() Worksheets("PASO_2").Select 'Se selecciona la Hoja "PASO_2" gdl = Application.WorksheetFunction.Max(Worksheets("CONFIG").Range("d:g")) 'Se obtiene número de direcciones de desplazamientos numel = Application.WorksheetFunction.Max(Worksheets("CONFIG").Range("a:a")) 'Se obtiene el numero de elementos Worksheets("PASO_2").Cells.Clear ' Se limpian los datos existentes en la hoja "PASO_2" RENGLON = 1 'Se establece un contador para renglones Worksheets("PASO_2").Cells(1, 1) = "MATRIZ DE RIGIDEZ" & "DE " & gdl & " X " & gdl titulo (Worksheets("PASO_2").Range(Cells(1, 1), Cells(1, gdl))) '****** CICLO PARA PONER EN CEROS LA MATRIZ ****** For r = 2 To gdl + 1 For c = 1 To gdl Worksheets("PASO_2").Cells(r, c) = 0 Next c Next r '****** CICLO PARA ENSAMBLAR LA MATRIZ ****** For i = 1 To numel


Universidad Autónoma de Zacatecas “Francisco García Salinas” For r = 1 To 4 For c = 1 To 4 With Worksheets("PASO_2") If Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, r + 3).Value = "" Or Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c + 3).Value = "" Then Else .Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, r + 3).Value + 1, Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c + 3).Value) = .Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, r + 3).Value + 1, Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c + 3).Value) + Worksheets("PASO_1").Cells(RENGLON + 1, c).Value End If End With

Next c RENGLON = RENGLON + 1 Next r Next i Worksheets("PASO_2").Cells(1, gdl + 2) = "VECTOR DE CARGAS" & "DE " & gdl & " X " & 1 titulo (Worksheets("PASO_2").Cells(1, gdl + 2)) '****** CICLO PARA ENSAMBLAR EL VECTOR JL ****** RENGLON = 1 For i = 1 To numel For c = 4 To 5 If Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c).Value = "" Then Else Worksheets("PASO_2").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c) + 1, gdl + 2) = Worksheets("PASO_2").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c) + 1, gdl + 2) + Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c + 4) * -1 'JLu End If If Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c + 2).Value = "" Then Else Worksheets("PASO_2").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c + 2) + 1, gdl + 2) = Worksheets("PASO_2").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c + 2) + 1, gdl + 2) + Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, c + 6) * -1 'JLr End If Next Next dar_formato (Worksheets("PASO_2").Range(Cells(2, 1), Cells(gdl + 1, gdl))) dar_formato (Worksheets("PASO_2").Range(Cells(2, gdl + 2), Cells(gdl + 1, gdl + 2))) End Sub ‘Termina procedimiento “PASO_2”



Ahora ya se dispone de la matriz de rigidez de todos los elementos, la matriz de rigidez de la estructura y el vector de cargas de la estructura, ahora se calculan las deformaciones en los nudos como se puede observar en el procedimiento “PASO_3”

Sub PASO_3() '*********PASO #3, OBTENER LA INVERSA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA Y MULTIPLICARLA POR EL VECTOR DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA ********* Worksheets("PASO_3").Select ' Se selecciona la Hoja "PASO_3" Worksheets("PASO_3").Cells.Clear 'Se borran los Datos existentes en la hoja "PASO_3" gdl = Application.WorksheetFunction.Max(Worksheets("CONFIG").Range("D:G")) 'Se obtiene el número de desplazamientos Worksheets("PASO_3").Cells(1, 1) = "INVERSA MATRIZ DE RIGIDEZ" & "DE " & gdl & " X " & gdl titulo (Worksheets("PASO_3").Range(Cells(1, 1), Cells(1, gdl))) Worksheets("PASO_3").Range(Cells(2, 1), Cells(gdl + 1, gdl)).Select ' Se selecciona el rango en donde se escribirá la inversa de la matriz de rigidez de la estructura Selection.FormulaArray = "=MINVERSE(PASO_2!R2C1:R" & gdl + 1 & "C" & gdl & ")" ' Se obtiene la inversa de de la matriz de rigidez de la estructura Worksheets("PASO_3").Cells(1, gdl + 2) = "VECTOR DE CARGAS" & "DE " & gdl & " X " & 1 titulo (Worksheets("PASO_3").Cells(1, gdl + 2)) '***** CICLO PARA ESCRIBIR EL VECTOR DE CARGAS ****** For r = 1 To gdl For c = 1 To gdl Worksheets("PASO_3").Cells(r + 1, gdl + 2) = Worksheets("PASO_2").Cells(r + 1, gdl + 2) Next c Next r Worksheets("PASO_3").Cells(1, gdl + 4) = "DEFORMACIONES EN LOS NUDOS" titulo (Worksheets("PASO_3").Cells(1, gdl + 4)) Worksheets("PASO_3").Range(Cells(1 + 1, gdl + 4), Cells(gdl + 1, gdl + 4)).Select 'Se selecciona el rango donde se escribirá el producto Selection.FormulaArray = "=MMULT(R2C1:R" & gdl + 1 & "C" & gdl & "," & "R2" & "C" & gdl + 2 & ":R" & gdl + 1 & "C" & gdl + 2 & ")" 'Se multiplica Suu^-1 * JLr dar_formato (Worksheets("PASO_3").Range(Cells(2, 1), Cells(gdl + 1, gdl))) dar_formato (Worksheets("PASO_3").Range(Cells(2, gdl + 2), Cells(gdl + 1, gdl + 2))) dar_formato (Worksheets("PASO_3").Range(Cells(2, gdl + 4), Cells(gdl + 1, gdl + 4))) End Sub



Para finalizar resta calcular las reacciones de cada elemento, las cuales se obtienen en procedimiento “PASO_4” Sub PASO_4() '*********PASO #4, ENCONTRAR LAS REACCIONES DE CADA ELEMENTO EN CADA EXTREMO********* Worksheets("PASO_4").Select ' Se selecciona la Hoja "PASO_4" numel = Application.WorksheetFunction.Max(Worksheets("CONFIG").Range("a:a")) 'Se obtiene el numero de elementos gdl = Application.WorksheetFunction.Max(Worksheets("CONFIG").Range("D:G")) 'Se obtiene número de direcciones de desplazamientos Worksheets("PASO_4").Cells.Clear ' Se borran los datos existentes en la hoja "PASO_4" Worksheets("PASO_4").Cells(1, 1) = "MATRICES DE ELEMENTOS" titulo (Worksheets("PASO_4").Range(Cells(1, 1), Cells(1, 4))) '****** CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS MATRICES DE ELEMENTOS DE LA HOJA "PASO_1" EN LA HOJA "PASO_4" For r = 1 To numel * 4 For c = 1 To 4 Worksheets("PASO_4").Cells(r + 1, c) = Worksheets("PASO_1").Cells(r + 1, c) dar_formato (Worksheets("PASO_4").Cells(r + 1, c)) Next

Next For r = 1 To numel Worksheets("PASO_4").Cells(r * 4 - 2, 11) = "ELEMENTO" & r titulo (Worksheets("PASO_4").Range(Cells(r * 4 - 2, 11), Cells(r * 4 + 1, 11))) Next r Worksheets("PASO_4").Cells(1, 6) = "REACCIONES EN LOS NUDOS" titulo (Worksheets("PASO_4").Cells(1, 6)) Worksheets("PASO_4").Cells(1, 8) = "VECTOR DE CARGAS" titulo (Worksheets("PASO_4").Cells(1, 8)) Worksheets("PASO_4").Cells(1, 10) = "REACCIONES FINALES" titulo (Worksheets("PASO_4").Cells(1, 10)) '****** CICLO PARA TRANSCRIBIR LAS REACCIONES DE LA ESTRUCTURA DE LA HOJA "PASO_3" A LA "PASO_4" Y ORDENARLOS DE ACUERDO A CADA DIRECCION DE CADA ELEMENTO RENGLON = 1 For i = 1 To numel For r = 1 To 4


Universidad Autónoma de Zacatecas “Francisco García Salinas” If Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, r + 3).Value = "" Then Worksheets("PASO_4").Cells(RENGLON + 1, 6).Value = Worksheets("PASO_4").Cells(RENGLON + 1, 6).Value + 0 dar_formato (Worksheets("PASO_4").Cells(RENGLON + 1, 6)) Else Worksheets("PASO_4").Cells(RENGLON + 1, 6).Value = Worksheets("PASO_3").Cells(Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, r + 3).Value + 1, gdl + 4).Value + 0 dar_formato (Worksheets("PASO_4").Cells(RENGLON + 1, 6)) End If RENGLON = RENGLON + 1 Next Next '****** CICLO PARA ESCRIBIR LAS REACCIONES DE EMPOTRAMIENTO DE LOS ELEMENTOS EN LA HOJA "PASO_4" RENGLON = 1 For i = 1 To numel For r = 1 To 4 If Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, r + 7).Value = "" Then Worksheets("PASO_4").Cells(RENGLON + 1, 8).Value = 0 dar_formato (Worksheets("PASO_4").Cells(RENGLON + 1, 8)) Else Worksheets("PASO_4").Cells(RENGLON + 1, 8).Value = Worksheets("CONFIG").Cells(i + 1, r + 7).Value + 0

End If RENGLON = RENGLON + 1 Next Next '****** CICLO PARA EFECTUAR LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES Y OBTENER LAS REACCIONES POR CADA ELEMENTO RENGLON = 1 For i = 1 To numel Worksheets("PASO_4").Range(Cells(RENGLON + 1, 10), Cells(RENGLON + 4, 10)).Select Selection.FormulaArray = "=MMULT(R" & RENGLON + 1 & "C1:R" & RENGLON + 4 & "C4,R" & RENGLON + 1 & "C6" & ":R" & RENGLON + 4 & "C6)+R" & RENGLON + 1 & "C8:R" & RENGLON + 4 & "C8" dar_formato (Worksheets("PASO_4").Range(Cells(RENGLON + 1, 10), Cells(RENGLON + 4, 10))) RENGLON = RENGLON + 4


Universidad Autónoma de Zacatecas “Francisco García Salinas” Next End Sub

En esencia el procedimiento para el cálculo de una estructura se realiza con los procedimientos anteriores, sin embargo se han omitido detalles menores del código original de este trabajo por la sencilla razón de que sería inútil saturar de funciones y procedimientos que, si bien son útiles, no son necesarios para resolver el problema en cuestión; entonces podría decirse que este código fuente es una versión simplificada del programa original, sin embargo en los capítulos siguientes se explicará la forma de introducir los datos con base al programa original.



3.2 Forma De Introducir Los Datos En este capítulo se explica la forma en que el usuario puede introducir los datos en la hoja de cálculo, el proceso es bastante sencillo, sin embargo es aquí donde se ponen en práctica los conocimientos y la capacidad

por

parte

del

usuario

de

plantear

el

problema

adecuadamente, en especial en detectar los grados de libertad de la estructura. En el capítulo anterior para fines de explicar el código fuente se mencionó que el libro de Excel contiene seis hojas de cálculo, la primera hoja “CONFIGURACIÓN” es donde se ha de introducir la información, necesaria para el cálculo, que se puede hacer de forma manual o haciendo uso de el cuadro de diálogo de configuración haciendo clic en botón CONFIGURACIÓN de la barra de herramientas adjunta al libro de Excel. En la figura 2.1-4 se muestra dicha hoja.

Figura 2.1-4

En la columna A titulada ELEMENTOS se escribirán los elementos con números consecutivos 1, 2, 3, 4, etc..., lo cual se puede hacer en Leonel Iván Miranda Méndez – Análisis Estructural de Marcos Planos en Excel. p.36


forma manual o mediante el cuadro de diálogo Configuración del Marco, como se muestra en la siguiente figura.

Figura 3.2-1

En este ejemplo se supone que la estructura tiene tres elementos, al pulsar el botón Aceptar automáticamente se escribirán los números 1, 2 y 3 en la hoja de configuración. La segunda columna sirve para introducir las longitudes de cada elemento. En este programa se ha limitado el número de secciones disponibles para el análisis a diez, en la tercera columna llamada SECCIÓN se escribe un número del uno al diez y en el cuadro de diálogo Configuración del Marco se editarán dichas secciones. Se considera que los elementos de la estructura pueden ser de un solo material y las secciones pueden caer dentro de cuatro tipos.



Tipo 1.- La sección es constante.

h L Figura 3.2-2

Figura 3.2-3

Tal como se muestra en la figura 3.2-2 la altura es uniforme a lo largo del elemento, por lo que al introducir los datos sólo es necesario escribir el momento de inercia y el módulo de elasticidad.



Tipo 2.- La altura varía de hj a hk a lo largo de L

hj > hk

hk

hj L

Figura 3.2-4

hk > hj

hj

hk L

Figura 3.2-5



Figura 3.2-6

Para este tipo de secciones se pide que se escriba el momento de inercia constante y que se escriba en el campo hj la altura en el extremo j y en el campo hk la altura en el extremo k. Como se observa en las figuras 3.2-4 y 3.2-5 pueden existir dos casos: que hj sea mayor que hk o que hk sea mayor que hj. Tipo 3.-La altura varía de hj a hk y de hk a hj a lo largo de L

hj > hk

hk

hj a

hk L

hj a

Figura 3.2-7



hk > hj

hj

hk a

hj

hk L

a

Figura 3.2-8

Figura 3.2-9

El procedimiento es similar al tipo de sección anterior, pero con un nuevo dato, la distancia a, la cual debe considerarse como un factor de la longitud L, por ejemplo si la longitud del miembro es de seis metros y la distancia a es de dos metros, entonces se debe escribir en el campo distancia a 2/6 o 0.3333. Tipo 4.- La altura varía de hj a hk, luego de h a h y de hk a hj, a lo largo de L



hj > hk > h hk

hj a

h

hk

hj a

L

Figura 3.2-10

h > hk > hj hj

hk a

h L

hj

hk a

Figura 3.2-11

Figura 3.2-12



Por último se considera el caso en que existan tres alturas diferentes y para definirlo se llenan los campos hj, hk, h y distancia a, tal como se explicó anteriormente. Cabe recalcar que para secciones constantes se pueden utilizar secciones de diferentes tipos, como por ejemplo perfiles estructurales, pero para secciones variables tienen que ser forzosamente rectangulares. En las columnas D, F, G y H, tituladas  j ,  k ,  j y  k , se escribe la dirección de desplazamiento. Si es una rotación en el extremo j se escribe en la columna  j , si se trata de una traslación en j entonces de escribe en la columna  j y así para cada dirección, dejando en blanco las celdas que no tengan una dirección. En las columnas I, J, K y L, tituladas Rm j , Rmk , Rd j y Rd j , se escriben las cargas de empotramiento de cada elemento aislado y se puede hacer uso del cuadro de diálogo Configuración del Marco el cual contempla seis casos diferentes de condiciones de carga. A continuación se muestra cómo hacer uso de esta característica.

Figura 3.2-13



En la figura 3.2-13 se observa una lista en la cual se puede seleccionar el elemento que se desea cargar, después se marca la configuración de carga deseada. A continuación se muestra los datos necesarios para cada tipo de carga. Carga uniformemente distribuida

Carga

Figura 3.2-14

Carga triangular simétrica

Carga

Figura 3.2-15

Carga trapezoidal simétrica

Carga

a

Figura 3.2-16



Carga puntual al centro del miembro Carga L/2

Figura 3.2-17

Carga puntual descentrada Carga a

Figura 3.2-18

Carga triangular asimétrica Carga

Extremo cargado 1

Figura 3.2-19

Carga triangular asimétrica Carga

Extremo cargado 2 Figura 3.2-20



Una vez elegida la configuración y después de haber introducido los datos necesarios para ésta, se hace clic en añadir cargas y se sumarán las nuevas cargas a las que se hallan almacenadas; para borrar todas las cargas del elemento se hace clic en quitar cargas.



3.3 Forma De Interpretar Los Resultados Mientras que la configuración del marco se presenta en una sola hoja de cálculo, los resultados obtenidos se presentan en cuatro hojas diferentes, esto porque, como se ha dicho, se muestra paso a paso el desarrollo del cálculo. Para explicar los datos arrojados por el programa se debe recordar el método del cálculo como se presentó en el capítulo uno. La precisión que se maneja es de cuatro dígitos y los valores positivos se muestran con letra negra, los negativos en rojo y los valores cero en azul. En el paso uno se obtiene la matriz de rigidez K de cada elemento, como se muestra en la siguiente figura.

Figura 3.3-1

El segundo paso es ensamblar la matriz de rigidez S de la estructura y el vector general de cargas J, los cuales estarán separados entre sí por una columna vacía y obviamente tendrán el mismo número



de

renglones

igual

al

grado

de

indeterminación

cinemática.

A

continuación se muestra un ejemplo.

Figura 3.3-2

Luego se obtiene la matriz inversa de S y se multiplica por el vector J para así obtener el vector de deformaciones, escrito en forma matricial D   S  J  1



Figura 3.3-3

Por último se obtienen las reacciones, dos momentos y dos cortantes por cada elemento y será el resultado de multiplicar la matriz de rigidez K de cada elemento por el vector de deformaciones Di que le corresponde

y

sumarle

las

cargas

de

empotramiento

Q

así

R  K Di  Q . Si en la figura 3.3-4 se localiza el elemento tres se puede ver que tiene un momento positivo en el extremo i de 11.2886 Ton/m² y un cortante positivo de 20.6046 Ton, en el extremo j un momento negativo de 14.0561 Ton/m² y un cortante de 21.3953 Ton.



Figura 3.3-4



3.4 Alcance Del Programa Hasta ahora se tiene ya una idea de cual es el alcance del programa, pero para dejarlo de una manera clara se han preparado los siguientes apartados. 3.4.1 Ventajas Para los estudiantes de análisis estructural será cómodo disponer de una herramienta que haga los mismos cálculos que se hacen en clase en una forma automática, pero sobre todo será útil para revisar y detectar errores sin tener que verificar los cálculos repetitivos, de esta manera el problema se centrará en el planteamiento y razonamiento de la estructura y no en las tediosas operaciones matriciales. No se desea restarle importancia a realizar un cálculo de manera manual porque sería inapropiado omitir este tipo de aprendizaje, señalamiento con el que se quiere dejar claro que un estudiante que no haya efectuado un cálculo manual no está en condiciones de utilizar un programa computacional para resolver dicho cálculo. Una ventaja importante es el entorno tan conocido y accesible como es Excel, que resultará fácil de asimilar para alguien que se inicia en el cálculo de estructuras asistido por computadora, además de la ventaja de que no necesita instalación. 3.4.2 Limitaciones En contraparte a lo dicho anteriormente, el entorno en que se ha desarrollado el programa, además de ser una ventaja, también es una desventaja porque Excel no está concebido para realizar cálculos de índole estructural, esto lleva a imponer una limitante bastante importante al programa. Excel no puede almacenar matrices mayores de sesenta renglones y columnas, lo cual limita a calcular estructuras con un número máximo de grados de libertad de sesenta. Otra de las dificultades con que se ha enfrentado es el problema de graficar los resultados, es posible hacer esta tarea en Excel, pero sería demasiado



laborioso y de haber emprendido dicha tarea probablemente aún no se habría concluido con este trabajo.



CAPÍTULO 4 EJEMPLOS 4.1 Marcos Plano Con Miembros De Sección Constante Ejemplo 1 EI=cte=1

4 Ton/m

I

II

III

6.00

4.00

3.00

Figura 4.1-1

En la figura anterior (4.1-1) se observa que el número de elementos son 3, el grado de indeterminación cinemática es de 4, se considera un módulo de elasticidad y un momento de inercia constante igual a la unidad para todos los elementos.

Figura 4.1-2



Figura 4.1-3

Figura 4.1-4



Figura 4.1-5

Figura 4.1-6



Las reacciones finales en cada elemento son:

0 Ton-m

w = 4 Ton/m

13.4697 Ton-m

6 mts.

9.7551 Ton

14.2449 Ton Figura 4.1-7

13.4697 Ton-m

w = 4 Ton/m

2.6515 Ton-m

4 mts.

10.7045 Ton

2.6515 Ton Figura 4.1-8

2.6515 Ton-m

w = 4 Ton/m

0 Ton-m

3 mts.

6.8838 Ton

5.1162 Ton Figura 4.1-9



Ejemplo 2

w = 4 Ton/m

2.00

2.00

I 3.50

III

2 Ton.

w = 4.5 Ton/m

4.00

II

2.00 3.00

IV

3.50

2.00

V

VI

3.00

9.00 1.00

Figura 4.1-10

En la siguiente tabla se describen las cinco secciones existentes para el análisis.

Sección

Dimensiones (m x m)

Elasticidad (Ton/m²) Inercia (m^4)

1

0.30 x 0.60

2,213,594.36

0.0054

2

0.35 x 0.65

2,213,594.36

0.0080

3

0.30 x 0.30

2,213,594.36

0.0007

4

0.35 x 0.35

2,213,594.36

0.0013

5

0.35 x 0.40

2,213,594.36

0.0019



En la figura 4.1-11 se muestra la configuración del marco y en la figura 4.1-12 se muestran los resultados obtenidos

ELEMENTOS LONGITUD 1 2 3 4 5 6

qj

SECCIÓN

9 9 3.5 3.5 3 4

1 2 3 3 4 5

qK 1 3 1 2 3 4

Dj 2 4 3 4 5

Dk

Rmj

Rmk

Rdj

Rdk

24.62963 -24.6296 14 14 30.17747 -29.6836 16.91598 16.58402 6 6 7 7

7 7

Figura 4.1-11

MATRICES DE ELEMENTOS 5312.62647 2656.31323 885.43774 -885.43774 2656.31323 5312.62647 885.43774 -885.43774 885.43774 885.43774 196.76394 -196.76394 -885.43774 -885.43774 -196.76394 196.76394 7880.29345 3940.14672 1313.38224 -1313.38224 3940.14672 7880.29345 1313.38224 -1313.38224 1313.38224 1313.38224 291.86272 -291.86272 -1313.38224 -1313.38224 -291.86272 291.86272 1707.62994 853.81497 731.8414 -731.8414 853.81497 1707.62994 731.8414 -731.8414 731.8414 731.8414 418.19509 -418.19509 -731.8414 -731.8414 -418.19509 418.19509 1707.62994 853.81497 731.8414 -731.8414 853.81497 1707.62994 731.8414 -731.8414 731.8414 731.8414 418.19509 -418.19509 -731.8414 -731.8414 -418.19509 418.19509 3690.86116 1845.43058 1845.43058 -1845.43058 1845.43058 3690.86116 1845.43058 -1845.43058 1845.43058 1845.43058 1230.28705 -1230.28705 -1845.43058 -1845.43058 -1230.28705 1230.28705 4132.04281 2066.0214 1549.51605 -1549.51605 2066.0214 4132.04281 1549.51605 -1549.51605 1549.51605 1549.51605 774.75803 -774.75803 -1549.51605 -1549.51605 -774.75803 774.75803

REACCION ES EN LOS NUDOS -0.00507 0.00505 0 0 -0.00315 0.0028 0 0 -0.00507 -0.00315 0.00288 0.00256 0.00505 0.0028 0.00288 0.00256 -0.00315 0 0.00256 0 0.0028 -0.00236 0.00256 0

VECTOR DE CARGAS 24.6296296 -24.6296296 14 14 30.1774691 -29.683642 16.9159808 16.5840192 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

REACCION ES FINALES 11.11478 -11.25582 13.98433 14.01567 16.38717 -20.00775 16.45882 17.04118 -11.11478 -9.47695 -5.88335 5.88335 11.25582 9.33591 5.88335 -5.88335 -6.91022 -1.09366 -2.66796 2.66796 10.67184 0.0 2.66796 -2.66796

ELEMENTO 1

ELEMENTO 2

ELEMENTO 3

ELEMENTO 4

ELEMENTO 5

ELEMENTO 6

Figura 4.1-12



4.2 Marcos Planos Con Miembros De Sección Variable Considérese el ejemplo anterior y tómense las mismas cargas, dimensiones, materiales, etc. Ahora supóngase las secciones variables que se muestran en la siguiente figura.

0.30x0.40

0.30x0.60

0.30x0.60

0.30 x 0.30 0.35x0.65

0.30 x 0.30

0.35x0.45

0.35x0.65

0.35 x 0.35

0.35 x 0.40

Figura 4.2-1

MATRICES DE ELEMENTOS 2521.44434 1540.64111 451.34283 -451.34283 1540.64111 2521.44434 451.34283 -451.34283 451.34283 451.34283 100.29841 -100.29841 -451.34283 -451.34283 -100.29841 100.29841 4024.86186 2422.4607 716.36917 -716.36917 2422.4607 4024.86186 716.36917 -716.36917 716.36917 716.36917 159.19315 -159.19315 -716.36917 -716.36917 -159.19315 159.19315 1707.62994 853.81497 731.8414 -731.8414 853.81497 1707.62994 731.8414 -731.8414 731.8414 731.8414 418.19509 -418.19509 -731.8414 -731.8414 -418.19509 418.19509 1707.62994 853.81497 731.8414 -731.8414 853.81497 1707.62994 731.8414 -731.8414 731.8414 731.8414 418.19509 -418.19509 -731.8414 -731.8414 -418.19509 418.19509 3690.86116 1845.43058 1845.43058 -1845.43058 1845.43058 3690.86116 1845.43058 -1845.43058 1845.43058 1845.43058 1230.28705 -1230.28705 -1845.43058 -1845.43058 -1230.28705 1230.28705 4132.04281 2066.0214 1549.51605 -1549.51605 2066.0214 4132.04281 1549.51605 -1549.51605 1549.51605 1549.51605 774.75803 -774.75803 -1549.51605 -1549.51605 -774.75803 774.75803

REACCION ES EN LOS NUDOS -0.00802 0.00795 0 0 -0.00406 0.00335 0 0 -0.00802 -0.00406 0.00413 0.00345 0.00795 0.00335 0.00413 0.00345 -0.00406 0 0.00345 0 0.00335 -0.00297 0.00345 0

VECTOR DE CARGAS 24.6296296 -24.6296296 14 14 30.1774691 -29.683642 16.9159808 16.5840192 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

REACCION ES FINALES 16.66031 -16.93715 13.96924 14.03076 21.92795 -26.05436 16.40262 17.09738 -16.66031 -13.28486 -8.55576 8.55576 16.93715 13.00802 8.55576 -8.55576 -8.64309 -1.14166 -3.26158 3.26158 13.04634 -0.0 3.26158 -3.26158

ELEMENTO 1

ELEMENTO 2

ELEMENTO 3

ELEMENTO 4

ELEMENTO 5

ELEMENTO 6

Figura 4.2-2



CAPÍTULO 5 CONCLUSIONES Como se ha visto en los capítulos anteriores, hay mucho potencial en análisis estructural asistido por computadoras, cálculos que en el pasado se realizaban en días, hoy se ejecutan en al instante, asimismo, modelos que resultaban extremadamente complejos por la cantidad de variables que había que evaluar, ahora se llevan a cabo con hacer un solo clic. Sin embargo todo viene partiendo de un mismo punto: la creatividad y la lógica del calculista. Se espera que este trabajo acarree beneficios al estudiante en el sentido de hacer comprensible el análisis de estructuras, se ha dado solamente

una

idea

de

la

implementación

en

programas

de

computación, pero obviamente queda en la imaginación del lector la gama de posibilidades para crear un programa más fácil, más completo, en un lenguaje más apropiado, etc.



REFERENCIAS CAMBA C., José Luis, Francisco Chacón G. y Francisco Pérez A., Apuntes de Análisis Estructural, UNAM, México. CELIGÜETA, Juan Tomás, Curso de Análisis Estructural, EUNSA, San Sebastián, 1998. FALCONÍ, Roberto Aguilar, Análisis Matricial de Estructuras, ESPE, Ecuador, 2004. KREYSZIG, Edwin, Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Vol. 1, Limusa, México, 2003. MORA F., Walter y José Luis Espinoza B., Programación en Visual Basic (VBA) para Excel y Análisis Numérico, Escuela de Matemáticas del Instituto Tecnológico de Costa Rica, Costa Rica, 2005.


Análisis Estructural de Marcos Planos Ortogonales en Excel

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