Contrastes ortogonales: Un contraste en estadística es una combinación lineal de las medias de los tratamientos definida por la suma de productos de las medias de tratamiento por un coeficiente. Estos coeficientes deben cumplir con la característica de que su suma es igual a cero, de tal manera que para algunas medias sus coeficientes asociados son positivos positivos y para otras son negativos. Las reglas de asignación de los coeficientes va a depender de la tendencia que se desee encontrar o de la comparación comparación de medias que se desee hacer. Cada contraste tendr asociado un grado de libertad, debido a que la comparación que se lleva a cabo es entre dos grupos de tratamientos, lo que llevan el signo positivo contra los que llevan el signo negativo. !e esta manera el numero de posibles contrastes ortogonales en un con"unto de datos corresponde e#actamente a los grados de libertad para los tratamientos. !os !os cont contra rast stes es ser sern n orto ortogo gona nale less si la suma suma de los los prod produc ucto toss de sus sus correspondientes coeficientes es igual a cero. Esto implica que la covarian$a entre los dos contrastes es igual a cero, y por lo tanto los contrastes van a ser independientes. En este sentido la ortogonalidad implica independencia. %i todos los contrastes formulados son ortogonales entre si, entonces esto llevara a que la suma de cuadrados acumulada en todos los contrastes ortogonales corresp corresponda onda e#actam e#actament ente e a la suma de cuadrados cuadrados de los tratami tratamient entos. os. La suma de cuadrados asociada a un contraste se calcula por el cuadrado de la combinación lineal de las medias multiplicada por el numero de repeticiones y dividida por la suma de los cuadrados de los coeficientes de la combinación lineal. Esta suma de cuadraos siempre lleva asociada un solo grado de libertad. %i se aplican aplican contrastes contrastes no ortogonales, ortogonales, entonces entonces e#istir e#istir covarian$a covarian$a entre ellos y esto implica que la información contenida en ellos esta relacionada en un cierto grado, con lo cual se considera que la información contenida en los datos esta siendo sobreutili$ada. Esto se va a refle"ar en el hecho de que el acumulado de la suma de cuadrados de los contrastes no ortogonales no cerrara a la suma de cuadrados de los tratamientos.
Contrastes ortogonales para el calculo de tendencias: Los contrastes ortogonales pueden ser usados para estimar las sumas de cuadrados asociadas a los diferentes componentes de un modelo polinomial, siempre y cuando los datos e#perimentales tengan las siguientes dos características: & E#perimento balanceado, lo que es un requisito general para aplicar contrastes. ' Los niveles del factor deben estar igualmente espaciados %i alguna de estas características no se da en el con"unto de datos, se recomienda aplicar la t(cnica de la regresión para llevar a cabo la separación de la suma de cuadrados de tratamientos en las diferentes tendencias. La siguiente tabla muestra los coeficientes de las combinaciones lineales para cada una de las diferentes tendencias que se pueden a"ustar a un con"unto de datos de acuerdo al n)mero de niveles del factor. Los coeficientes estn en orden creciente del factor. *umero +rats ' / 1 2
+endencia Lineal Lineal Cuadrtica Lineal Cuadrtica C)bica Lineal Cuadrtica C)bica Cuarto
rimer *ivel
%egndo *ivel & & & / & & ' ' & &
Cuarto +ercer *ivel *ivel & 0 ' & & / & & ' 1
& & & & / 0 ' 0 3
-uinto *ivel
/ & & & & ' 1
' ' & &
E"emplo num(rico 2. 4plicar contrastes ortogonales al e"emplo num(rico &. 5amos a llevar a cabo los clculos en E#cel y mostrarlos en la siguiente tabla. Como puede ser observado los niveles se acomodan en orden creciente y así tambi(n las medias por nivel. !e la tabla de coeficientes se seleccionan los correspondientes a 1 tratamientos. *ivel medias Lineal
&20 66.1////// /
'00 '20 /00 71.& 78.'333336 82.&////// & & /
Cuadrtica C)bica Contr Lin Contr Cuadr Contr Cubico
& & '/'./ 66.1////// 66.1//////
& & & / / & 71.& 78.'333336 '72.1 27.'333336 71.& 78.'333336 82.&////// 0.7 '2'./
'36.7 82.&//////
'.'
En la tabla estn contenidos los clculos del coeficiente por la media y en la ultima columna su correspondiente suma. 4 partir de estos clculos podemos determinar la suma de cuadrados correspondientes a cada uno de los contrastes: ara la tendencia lineal: %.C.+end. Lineal 9 /;27.'333336< '='0 9 208.'20336 ara la tendencia cuadrtica: %.C.+end Cuadr 9 /;0.7<'=1 9 0.17 ara la tendencia C)bica: %.C.+end Cubica 9 /;'.'< '='0 9 0.6'3 Como puede ser comprobado, las sumas de cuadros para la tendencia lineal coincide con la suma de cuadrados de la regresión lineal, y el acumulado de la suma de cuadrados de la regresión cuadrtica y c)bica coincide con la suma de cuadrados de la falta de a"uste. %e pudiera hacer el cuestionamiento acerca de la importancia de tener diferentes m(todos para reali$ar un mismo calculo. 4parte de la simplicidad de los contrastes, otra gran venta"a es que puede ser utili$ado para anali$ar los arreglos factoriales de tratamientos que se vern posteriormente. >ediante la t(cnica de contrastes ortogonales van a poder ser separadas las sumas de cuadrados en componentes con un solo grado de libertad, sin importar la naturale$a de los factores que se estn investigando. Contrastes ortogonales para comparación de medias: ara factores cualitativos, la aplicación de los contrastes ortogonales es mas especifica para cada problema. %e requiere de un conocimiento mas o menos profundo de lo que son los tratamientos para poderlos agrupar. La idea de los contrastes para factores cualitativos es ir formando dos grupos de comparación, cada uno de los cuales va estar formado por uno o ms tratamientos con alguna característica com)n. Cada uno de los grupos se irn separando en otros dos grupos de comparación, en
base a otra característica de los tratamientos, y este proceso continuara hasta que al final los contrastes comparen un tratamiento contra otro. E"emplo de aplicación conceptual &: %uponga que se esta llevando a cabo una investigación para seleccionar un ingrediente proteico en la elaboración de un alimento para mascotas. %e prueban tres fuentes de proteína: Carne de res, carne de cerdo y soya. Lleve a cabo la comparación de los tratamientos por contrastes ortogonales: Los contrastes ortogonales que pueden planearse para estas tres fuentes son: &
roteína de origen animal ;cerdo y res< contra proteína de origen vegetal ;soya<.
'
roteína de origen animal ;res< contra proteína de origen animal ;cerdo<.
E"emplo de aplicación conceptual ': %upóngase que se esta llevando a cabo una investigación en la que se desea evaluar diferentes fuentes de carnes no convencionales en la elaboración de un producto carnico de ba"o costo. El producto tradicional se elabora con carne de cerdo, y se desea investigar fuentes no convencionales que incluyen: Caballo, burro, gallina y pavo. lanear las comparaciones demedias por contrastes ortogonales. Los contrastes ortogonales que pueden planearse para estos tratamientos son: &
+estigo ;cerdo< contra el promedio de los tratamientos ;caballo, burro, gallina y pavo<.
'
Carnes de mamíferos ;caballo y burro< contra carnes de aves ;gallina y pavo<.
/
Caballo contra burro.
1
?allina contra pavo.
Una ve$ que los contrastes ortogonales han sido planeados, debemos checar el requisito de que el e#perimento este balanceado, y si es así debemos obtener los coeficientes para cada uno de los contrastes. La mecnica para el calculo de los coeficientes es la siguiente: &
Los coeficientes de un grupo llevaran signo positivo y los del grupo contrastante llevaran signo completamente arbitraria.
negativo.
Esta
es una
selección
'
El valor del coeficiente de un grupo ser igual al numero de tratamientos que tiene el grupo contrastante.
E"emplo num(rico 3. 4nalice el e"emplo num(rico ' usando contrastes ortogonales. El e"emplo de los lubricantes y desgaste de las pie$as consiste de tres tratamientos, cada uno con 7 repeticiones. El 4 y @ son lubricantes nuevos y disponibles que se pueden usar en el proceso, y el lubricante C que es el que convencionalmente se utili$a en el proceso. Entonces podemos generar los siguientes contrastes con sus coeficientes y clculos requeridos para determinar las pruebas de significancia: Lubricante >edia C vs ;4 @< 4 vs. @
4
C vs ;4 @< 4 vs. @
@
C
8./2 & &
&&.1'2 & &
8./2 8./2
&&.1'2 &&.1'2
&3.6&'2 %uma ' &'.32 0 '.062 //.1'2 0
4 partir de las cantidades en la tabla podemos calcular las sumas de cuadrados correspondientes a cada contraste: Contraste convencional vs. *uevas alternativas: %.C. 9 7;&'.32<'=3 9 '&/./3// Contraste alternativa 4 vs. 4lternativa @: %.C. 9 7;'.062< '=' 9 &6.'''2 Estas sumas de cuadrados pueden ser agregadas a la tabla de anlisis de varian$a para completar las pruebas de significancia: 4*ALB%B% !E 54B4*D4 Origen de las variaciones
Suma de cuadrados
Grados de libertad
Promedio de los cuadrados
Entre grupos C vs. 4 @ 4 vs. @ !entro de los grupos
'/0.2727// '&/./3//// &6.'''200 '63.70/62
' & & '&
+otal
206./7827/
'/
F
&&2.'8'8&6 7.6137&2'& '&/./3//// &3.&76'66/ &6.'''200 &./0330'3 &/.&7&&/&
El valor de para el contraste C vs. 4 @ resulto en 0.0003&116 que es menor del 0.02, por lo que se concluye que este contraste es significativo, es decir, e#iste diferencia entre el lubricante convencional y las nuevas alternativas. El valor de para el contraste C vs. 4 @ resulto en 0.'32762'' que es mayor del 0.02, por lo que se concluye que este contraste no es significativo, es decir, no e#iste diferencia entre el lubricante las nuevas alternativas. ara la selección del aceite entre las nuevas alternativas, se requiere de un criterio adicional, pues en cuanto a la variable medida, el desgaste de las pie$as, no e#iste una diferencia. El criterio adicional puede ser el económico, ecológico, o alg)n otro en el que uno de ellos tuviera venta"a.
