propiedades ortogonales

Álgebra Lineal Ma1010 Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Departamento de Matemáti Matemáticas cas

ITESM

Introducción En esta lectura veremos conjuntos y matrices ortogonales. Primero veremos algunas definiciones alternativas a los productos internos.

´ Introduccion Producto Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad Ortogonalidad y ´ descomposicion Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal

Producto interno Un producto interno en Un producto interno en un espacio vectorial es una función • : V × V → F , donde F es es el conjunto de los escalares utilizados ( F = R ó F = C), y que tiene que cumplir los siguientes axiomas: Para todos los vectores x, y y z de V y para todo escalar c de F 1. (x + y) • z = x • z + y • z 2. (c · x) • y = c (x y) 3. x • y = y • x. = 0. 4. x • x > 0 para todo x 

´ Introduccion Producto Produc to interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad Ortogonalidad y ´ descomposicion Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal

En el axioma 3, la línea horizontal encima de una expresión indica que se debe tomar el conjugado complejo: El conjugado comple de un número se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria. Así  

3+ 3i = 3 3i 5 = 5 + 0 i = 5 0 i = 5, es decir: el conjugado

−

−

de un real es él mismo.



−3 i = 0 − 3 i = 0 + 3 i = 3 i


Ejemplo

Si V = Rn y x = (xi ) y y = (yi ) el producto punto estándar • es: n

x

•y =

 i=1

xi yi

·

Si n = 3, x =< 1, 2, −1 > y y =< 1, −1, 3 >, entonces x

• y = (1)(1) + (2)(−1) + (−1)(3) = −4


Figura 1: El producto interno estándar de R en la TI. n


Ejemplo

Mientras que si V = Cn con escalares C el producto punto estándar • es n



•y = x ·y Si n = 3, x =< 1, 2 + 2 i, −i > y y =< 1, −1 + i, 3 i >, entonces x • y = (1)( )(11) + (2 + 2 i)(−1 + i) + (−i)(3 i) = (1)( )(11) + (2 + 2 i)(−1 − i) + (−i)(−3 i) = 1 − 2 − 2i − 2i − 2i +3i = −1 − 4 i + i = −1 − 4 i + (−1) = −2 − 4 i x

i

i

i=1

2

2

2

Es importante comentar que este producto interno estándar en Cn esta implementado en la calculadora TI y coincide con el producto estándar en Rn . Esto se ilustra en la figura 2 figura 2.. Note la diferencia entre el número imaginario i y el símbolo i en su calculadora; en la voyage 200 i se obtitien ob enee co conn la co comb mbin inac ació iónn 2N 2ND D i mi mien entr tras as qu quee catalog og . No en la la TI 89 89 con con la comb combina inació ciónn 2ND catal notar la diferencia le puede traer verdaderos dolores de cabeza.


Figura 2: El producto interno estándar de C en la TI. n


Ejemplo

Si V = C [a, b] es el conjunto de las funciones continuas de valor real el producto interno estándar es: b

f g =

• •



f (t) g (t) dt

a

·

Si [a, b] = [0, 1], f (x) = x + 1 y g (x) = x2 − 1 entonces f g =

• •

= =

1

 

2 x x ( + 1) ( 0 1

·

3 2 x x ( + 0

−11/12

− 1) dx − x − 1) dx


Ejemplo

Si Si V = C [0, 2 π ] es el conjunto de las funciones continuas complejas un producto interno es: 1 f g = 2π

• •

2π

 0

f (t) g (t) dt

·


Ejemplo Si Mn m es el conjunto de las matrices reales con ×

n renglones y m columnas el producto interno

estándar es:

A

• B = tr (B · A) ′

donde B representa la transpuesta de la matriz B y tr(X) representa la traza de la matriz cuadrada X que es la suma de los elementos de la diagonal. ′


Por ejemplo, si A=



1 2 1 2

−

−

3 3



yB=



1 0

−2 2

−

3 3



Entonces

     −  − −  − −    − −  •

BT A =

·

1 2 3

0 2 3

1 2 1 2

3 3

=

1 2 4 0 6 0

−

3 12 18

y por tanto A

B = tr

1 2 4 0 6 0

3 12 18

= 1 + 0 + 18 = 19

 

Para realizar esto en la calculadora TI debemos programar la función traza puesto que en la configuración inicial no viene tal función. Una implementación posible para esta función viene ilustrada en la figura 3 figura 3.. Una vez programada la función traza, la figura 4 figura 4 ilustra ilustra el cálculo del producto interno de dos matrices.

Figura 3: Programando la función traza en la TI.

Figura 4: Producto interno estándar de M

n×m

(R) en la TI.

Ejemplo Si Mn m es el conjunto de las matrices complejas ×

con n renglones y m columnas el producto interno estándar es: A

• B = tr (B · A) ∗

donde B representa la adjunta de la matriz B es decir la transpuesta conjugada o también conocida como transpuesta hermitiana, a veces también se utiliza la notación BH para la matriz conjugada compleja de B. Aquí tr(X) representa la traza de la matriz cuadrada X que es la suma de los elementos de la diagonal. ∗


Por ejemplo, si

 A=

1+ i

2 − 3 i

1

2−i

−

i

3i

−

   y B=

1+ 2i 0

2

3

−

2i

3+ i

−

y así A

∗

  = 

1−i 2+ 3i i

−

 1  2+ i  −

3i

y por tanto A

∗

·

  B= 

3+ i

2

4+ 7i

−

2−i

−

−

6 − 4 i

−

6 − 2 i 6+ 2i

1+ 8i

−

3 − 12 i

−

  

de donde B • A = (3 + i) + (−6 − 2 i) + (−3 − 12 i) =

6 − 13 i

−

 

Figura 5: Producto interno estándar de M

n×m

(C) en la TI.


Propiedades del producto interno Propiedades que satisfacen todos los productos internos: Teorema

Sea V es espacio vectorial con producto interno •, x, y y z vectores de V y c un escalar: 1. x • (y + z) = x • y + x • x 2. x • (c · y) = c · (x • y) 3. x • x = 0 si y sólo si x = 0. 4. x • y = 0 si y sólo si y • x = 0. 5. Si ∀ x ∈ V se cumple x • y = x • x, entonces y = z.


Norma de un vector Sea V un espacio vectorial con producto interior •, para todo vector x de definimos la norma la norma o o longitud de longitud de x como

√ x  = x • x

Propiedades que se deducen de la norma: Teorema

1. c x = |c| · x 2. x = 0 si y sólo si x = 0. En cualquier caso, x ≥ 0. 3. Desigaldad de Cauchy-Schwarz: | x • y | ≤  x  ·  y . 4. Desig Desiguald ualdad ad del triángu triángulo: lo: x + y ≤ x + y.


Distancia entre dos vectores Sea V un espacio vectorial con producto interior •, para cualesquier dos vectores x y y definimos la distancia de distancia de x a y como d(x, y) = x

 − y

Propiedades que se deducen de la función distancia: Teorema

1. d(x, y) = d(y, x) 2. d(x, y) = 0 si y sólo si x = y 3. Desig Desiguald ualdad ad del triángu triángulo: lo: d(x, y)

≤ d(x, z) + d(z, y)


Vectores ortogonales Dos vectores x y y en Rn se dicen ortogonales dicen ortogonales si si x • y = 0. Si esto pasa se expresará como x ⊥ y. Ejemplo

Indique si los vectores x =< 1, 0, 2 > y y =< −2, 2, 1 > son ortogonales. Directamente de la definición: requerimos hacer

• y = (1)(−2) + (0)(2) + (2)(1) = −2 + 0 + 2 = 0 Por tanto, x ⊥ y. x


Ejemplo

Determine el valor del parámetro a para que x =< 1, 1, 2 > y y =< −3, a, 1 > sean ortogonales. Directamente de la definición: requerimos hacer x y = (1)( 3)+(1)(a) + (2)(1) =

− −3 + a + 2 = a − 1 Por tanto, x ⊥ y si y sólo si x • y = 0 si y sólo si •

a = 1.


Conjunto ortogonal de vectores Un conjunto de vectores {v1 , v2 , . . . , vm } se dice conjunto ortogonal o ortogonal o simplemente ortogonal si se cumple vi

•v

j

= 0 para i = j y i, j = 1, . . . , m




Ejemplo

Indique si el conjunto formado por los siguientes vectores es ortogonal v1 =

    1 0 2

, v2 =

−    2 2 1

, v3 =

 −  −  2 5/2 1


Ejemplo

Indique si el conjunto formado por los siguientes vectores es ortogonal v1 =

    1 0 2

´ Solucion

, v2 =

−    2 2 1

, v3 =

 −  −  2 5/2 1

Calculando todos los productos punto entre vectores diferente diferentess tenemos v1 v1 v2

(0)(2) + (2)(1) (2)(1) = 0 • v = (1)(−2) + (0)(2) • v = (1)(−2) + (0)(−5/2) + (2)(1) = 0 • v = (−2)(−2) + (2)(−5/2) + (1)(1) = 0 2 3 3

así concluimos que es conjunto es ortogonal.


Ortogonalidad Ortogonal idad e indep independenci endenciaa lineal Teorema

Cualquier conjunto ortogonal S = {v1 , ...., vk } de vectores distintos de cero es linealmente independiente.

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Ortogonalidad Ortogonal idad e indep independenci endenciaa lineal Teorema

Cualquier conjunto ortogonal S = {v1 , ...., vk } de vectores distintos de cero es linealmente independiente. ´ : Si suponemos que Demostracion c1 v1 + c2 v2 +

· · · + c

k

vk = 0

Entonces, haciendo producto punto por obtenemos que: c1 v1 vi + c2 v2 vi +

•

•

· · · + c

k

vk

•v

i

vi

= 0 vi

•

Observe que siendo el conjunto ortogonal todos los productos punto en el lado izquierdo se hacen cero, excepto uno: el correponiente a vi • vi . Mientras que en el segundo miembro el producto punto al ser uno de los vetores cero queda cero.

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Ortogonalidad y bases Teorema

Cualquier conjunto generador ortogonal S = {v1 , ...., vk } de vectores distintos de cero es base para Gen(S ).

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Ortogonalidad y bases Teorema

Cualquier conjunto generador ortogonal S = {v1 , ...., vk } de vectores distintos de cero es base para Gen(S ). ´ : Por definición de Gen (S ), S genera Demostracion genera a Gen(S ); y por el teorema anterior S es es linealmente independiente. Por tanto, S es es base para Gen(S ).

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rtogonalidad y descomposición de un vector Teorema

Sea S = {v1 ,..., vk } un conjunto ortogonal de vectores distintos de cero. Si u está en Gen(S ) y u = c1 v1 +

entonces ci =

• •

u vi vi vi

· · · + c

k

vk

para i = 1, . . . , k

A las expresiones u • vi /vi • vi se les llama los coeficientes de Fourier de Fourier de u respecto a S .

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´ : Si Demostracion u = c1 v1 +

· · · + c

k

vk

haciendo el producto punto con vi y considerando la ortogonalidad obtenemos:

•v =c v •v = 0, se tiene que v • v  =0 Al ser los vectores v  u

y por tanto se tiene:

i

i

i

i

ci =

i

i

• •

u vi vi vi

i


Nota:

Lo importante del teorema anterior es indica que paraa base par basess ortonormales no es necesario resolver resolver sistemas de ecuaciones lineales para determinar los coeficientes de cada vector es suficientes calcular los coeficientes de Fourier.


Ejemplo

Utilizando el conjunto ortogonal S del del primer ejemplo de esta lectura y el vector u = (1, 2, 3) , determine los coeficientes de Fourier u respecto a S y y compruebe que se obtienen los mismos valores resolviendo el sistema de ecuaciones lineales correspondiente correspondientes. s. ′


Ejemplo

Utilizando el conjunto ortogonal S del del primer ejemplo de esta lectura y el vector u = (1, 2, 3) , determine los coeficientes de Fourier u respecto a S y y compruebe que se obtienen los mismos valores resolviendo el sistema de ecuaciones lineales correspondiente correspondientes. s. ´ : Calculemos Solucion ′

• v = (1)(1) + (2)(0) + (3)(2) = 7 u • v = (1)(−2) + (2)(2) (2)(2) + (3)(1) (3)(1) = 5 u • v = (1)(−2) + (2)(−5/2) + (3)(1) (3)(1) = −4 v • v = (1)(1) + (0)(0) + (2)(2) = 5 v • v = (−2)(−2) + (2)(2) (2)(2) + (1)(1) (1)(1) = 9 v • v = (−2)(−2) + (−5/2)(−5/2) + (1)(1) = 45/4 u

1 2 3

1

1

2

2

3

3


y al aplicar las fórmulas obtenermos: c1 = 7/5, c2 = 5/9, c3 =

−16/45


y al aplicar las fórmulas obtenermos: c1 = 7/5, c2 = 5/9, c3 =

−16/45

Si por otro lado armamos la matriz aumentada [v1 , v2 , v3 |u] y la reducimos:

 

1 0 2

−2 2 1

−

−2

1 5/2 2 1 3

   → 

1 0 0 0 1 0 0 0 1

−

7 /5 5 /9 16/45

 

de donde observamos que los valores de las constantes ci coinciden con los valores dados por los coeficientes de Fourier.


Conjunto ortonormal de vectores Un conjunto de vectores {v1 , v2 , . . . , vm } se dice conjunto conju nto ortonormal ortonormal o o simplemente ortonormal si se cumple vi

•v

j

= 0 para i = j y vi vi = 1 para i, j =



•

´ Introduccion Producto Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto 1, . . . , m Ortogonal Ortogonalidad Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad Ortogonalidad y ´ descomposicion Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal

Note que en caso de una base ortonormal S para para un espacio las fórmulas de Fourier para un u simplifican a ci = u • vi , por ello es que es deseable tener una base ortonormal a un espacio. Si ya se posee una base ortogonal dividiendo cada vector entre su norma se obtiene una ortonormal:

{v , . . . , v } ortogonal 1

m

 →

1

||v || 1

v1 , . . . ,

1

||v || m

vm



ortonormal

Ejemplo

Or tonormaliz Ortono rmalizee el conj conjunto unto ortogo or togonal nal ejemplo de esta lectura: v1 =

    1 0 2

, v2 =

−    2 2 1

, v3 =

 −  −  2 5/2 1


Ejemplo

Or tonormaliz Ortono rmalizee el conj conjunto unto ortogo or togonal nal ejemplo de esta lectura: v1 =

    1 0 2

, v2 =

−    2 2 1

, v3 =

 −  −  2 5/2 1

´ : Tenemos ya realizados los siguientes Solucion

cálculos

v1 v2 v3

•v •v •v

1 2 3

=5 =9 = 45/4

√ → ||v || = 5 → ||v || = 3√ → ||v || = 45/2 1 1 1


Por tanto, el conjunto ortonormalizado queda

  −   −       √  √ −       1 5

1 0 2

1 , 3

2 2 1

,

2 45

2 5/2 1


Matriz ortogon or togonal al Una matriz A se dice matriz dice matriz ortogonal o ortogonal o simplemente or simplemente ortogo togonal nal si si es una matriz cuadrada y las columnas de A forman un conju conjunto nto ortono or tonormal. rmal.


Matriz ortogon or togonal al Una matriz A se dice matriz dice matriz ortogonal o ortogonal o simplemente or simplemente ortogo togonal nal si si es una matriz cuadrada y las columnas de A forman un conju conjunto nto ortono or tonormal. rmal. Teorema An

× n: A es ortogonal ssi AT · A = I.


Matriz ortogon or togonal al Una matriz A se dice matriz dice matriz ortogonal o ortogonal o simplemente or simplemente ortogo togonal nal si si es una matriz cuadrada y las columnas de A forman un conju conjunto nto ortono or tonormal. rmal. Teorema An

× n: A es ortogonal ssi AT · A = I.


Observe que el teorema anterior se deduce de que para dos vectores x y y en Rn , x y = x y: ′

•

    

x1 x2

.. . xn

·

    

•

    

y1 y2

.. . yn

   = x  

1 ·

y1 + · · · + + x xn · yn =



x1

x2

· · ·

xn

      ·

y1 y2

.. . yn

    

Con lo anterior se deduce que cuando que cuando se hace AT v se calcula un vector donde cada componente es el producto punto de la columna correspondiente de A con el vector v. Con lo anterior se deduce que cuando se calcula AT A la matriz (i, i, j ) justo ai aj es decir, el producto punto de la resultante tiene en la posición ( columna i de A con la columna j de A. De esta forma: AT A = I si y sólo si se tiene que las columnas de A son ortogon or togonales ales y que tiene tienenn norma 1. ·

·

•

·

Ejemplo

Indique si el conjunto formado por los siguientes vectores es ortogonal v

   1 =

1 0 2

   ,

   2 = 

v

−2 2 1

   ,

   3 = 

v

−2 −5/2 1

   

Ejemplo

Indique si el conjunto formado por los siguientes vectores es ortogonal v

   1 =

1 0 2

   ,

   2 = 

−2

v

2 1

   ,

   3 = 

v

−2 −5/2 1

   

´ Solucion

Formamos la matriz A cuyas columnas son los vectores: A

Y calculamos AT

·

= [v1

  3] = 

v2 v

1

−2

−2

0

2

−5/2

2

1

1

  

A:

T·

A

A

  =  

5

0

0

0

9

0

0

0

45/4

  

que sean cero los elementos que están fuera de la diagonal principal indica que el conjunto es ortogonal.

Ejemplo

Determina los valores de x , y y z para que el conjunto de vectores     

sea ortogonal.

v

   1 =

4 6 z

   ,

   2 =

v

x 6 4

   ,

   3 =

v

2 y 3

      

Ejemplo


v

   1 =

4 6 z

   ,

   2 =

v

   ,

x 6 4

   3 =

v

2 y 3

      

sea ortogonal. Formamos la matriz A cuyas columnas son los vectores: A

Y calculamos AT

·

= [v1

  3] = 

v2 v

4

x

2

6

6

y

z

4

3

  

A: T ·A

A

  =  

52 + z 2 4 x + 36 + 4 z

4 x + 36 + 4 z x2 + 52

8+6y +3z

2 x + 6 y + 12

8+6y +3z 2 x + 6 y + 12 13 + y 2

  

Ejemplo


v

   1 =

4 6 z

   ,

   2 =

v

   ,

x 6 4

   3 =

v

2 y 3

      

sea ortogonal. Formamos la matriz A cuyas columnas son los vectores: A

Y calculamos AT

·

= [v1

  3] = 

v2 v

4

x

2

6

6

y

z

4

3

  

A: T ·A

A

  =  

52 + z 2 4 x + 36 + 4 z

4 x + 36 + 4 z x2 + 52

8+6y +3z

2 x + 6 y + 12

4 x + 36 + 4 z

=

0

8 + 6y + 3z

=

0

2 x + 6 y + 12

=

0

8+6y +3z 2 x + 6 y + 12 13 + y 2

  

31/ /5, de donde, los únicos valores que hacen ortogonal al conjunto son x = 31 y = 1/15 y z = 14 14/ /5 −

−

Ejemplo

Determine el vector de coordenadas de v =< 2, 2, 4 > respecto a la base ortonormal          1/3 2/3 2/3 −

B

=

   

u1

=

  

2/3 2/3

  ,

u2

=

  

−2/3 1/3

  ,

u3

=

  

1/3

−2/3

     

Ejemplo


B

=

   

u1

=

  

2/3 2/3

  ,

u2

=

  

−2/3 1/3

  ,

u3

=

  

1/3

−2/3

     

Recordemos que el vector de coordenadas de un vector respecto a una base son los coeficientes de la combinación lineal de la base que da tal vector. Si la base es ortonormal entonces los coeficientes de la combinación lineal son los coeficientes de Fourier, es decir los productos punto del vector con cada uno de los elementos de la base.

Ejemplo


B

=

   

u1

=

  

  ,

2/3 2/3

u2

=

  

−2/3 1/3

  ,

u3

=

  

1/3

−2/3

     

Recordemos que el vector de coordenadas de un vector respecto a una base son los coeficientes de la combinación lineal de la base que da tal vector. Si la base es ortonormal entonces los coeficientes de la combinación lineal son los coeficientes de Fourier, es decir los productos punto del vector con cada uno de los elementos de la base. Verifiquemos primero que el conjunto conjunto es ortonormal. Para ello, ello, formamos la matriz A cuyas columnas son los vectores de B : A

y calculamos AT

·

= [u1

  3] = 

u2 u

1/3

2/3

2/3

2/3

−2/3

1/3

2/3

1/3

−2/3

  

A:

T·

A

A

  = 

1

0

0

0

1

0

0

0

1

  

Por tanto, dando la matriz diagonal el conjunto es ortogonal; dando la identidad el conjunto es ortonormal.

Para calcular los productos punto de los elemento de producto:

  T A v= 

1/3 2/3 2/3

2/3

2/3

2/3

1/3

−

1/3

2/3

−

  

·

  

2 2 4

−

B con

v recurrimos al

   =   

2/3

−

4/3

−

14/ 14 /3

  

Por tanto, c1 = v u1 = 2/3, c 2 = v u2 = 4/3, y c3 = v u3 = 14 14/ /3 y el vector de coordenadas de v respecto a la base B es < 2/3, 4/3, 14 14/ / 3 >. •

−

•

−

•

−

−

Teorema

Sea A una matriz n × n, y u y v dos vectores en Rn . Entonces (Au) v = u

•

AT v

• 


Teorema

Sea A una matriz n × n, y u y v dos vectores en Rn . Entonces (Au) v = u

•

´ Demostracion

AT v

• 

(Au) v = (Au)T v = uT AT v = uT AT v = u AT v

•

   • 


Teorema

Sea A una matriz n × n. Son equivalentes las siguientes afirmaciones: (1) A es ortogonal. (2) A preserva los productos punto : (Au) (Au) = u v

•

(3) A preserva norma :

• ∀u, v

||Av|| = ||v|| ∀v


Teorema


Sea A una matriz n × n. Son equivalentes las siguientes afirmaciones: (1) A es ortogonal. (2) A preserva los productos punto : (Au) (Au) = u v

•

(3) A preserva norma :

• ∀u, v

||Av|| = ||v|| ∀v ´ Demostracion (1) implica (2) Si A es ortogonal, AT A = I. Así

(A u) (A v) = (A u)T A v = uT AT A v = uT (AT A)v = uT I v = uT

•

·

·

·

·

··

·

(2) implica (3)

Se tiene

||A v||

2

= (A v ) (A v ) = v v= v 2

•

•

|| ||

tomando raíz cuadrada se tiene la igualdad de (3).


(2) implica (3)

Se tiene

||A v||

2

= (A v ) (A v ) = v v= v 2

•

•

|| ||

tomando raíz cuadrada se tiene la igualdad de (3). (3) implica (1)


propiedades ortogonales

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