Trayectorias Ortogonales Consideremos una familia de curvas planas ( , , ) = 0
… (Fam. 1)
donde cada valor del parámetro representa una curva. Los problemas que se presentan en los campos como Electrostática, Hidrodinámica y Termodinámica es de encontrar una familia de curvas que dependen de un parámetro . ( , , ) = 0
… (Fam. 2)
Con la propiedad que cualquier curva de (Fam. 1) al interceptar a cada curva de (Fam. 1) las rectas tangentes a las curvas sean perpendiculares. Observación: 1. En el campo campo Electrostático, a una familia de curvas se denomina curvas Equipotenciales y la otra familia de curvas denominan líneas denominan líneas de fuerza. 2. En el campo Hidrodinámico Hidrodinámico,, a una familia de curvas se denomina curvas de potencial de velocidad y velocidad y otra familia se denomina líneas de corriente o corriente o líneas de flujo.
Lic. Ysela Mariell Alva Ventura
Matemática III
3. En el campo Termodinámico Termodinámico a una familia de curvas se denomina líneas isotermas isotermas y a la otra familia de curvas denomina líneas de flujo de calor . Si se tiene la familia de curvas (Fam. 1), para encontrar la familia de curvas (Fam. 2), primero se encuentra la ecuación diferencial de (Fam. 1) y despejamos ′ obteniendo: …(EDO Fam. 1)
′ = ( , )
Como la pendiente de las trayectorias ortogonales debe ser la inversa negativa de la pendiente (EDO Fam. 1) es decir: ′ =
… (EDO Fam. 2)
(,)
Luego las trayectorias ortogonales de la Fam. 2 dada se obtienen resolviendo la EDO Fam. 2. Ejemplo
Encontrar las trayectorias ortogonales de todas las parábolas con vértice en el origen y foco sobre el eje . Solución: La ecuación de la familia de parábolas es de la forma: = 4 , ≠ 0 despejando
= 4 diferenciando se tiene:
Lic. Ysela Mariell Alva Ventura
−
= 0 entonces
Matemática III
de aquí
2 = 0
=
diferencial de las trayectorias ortogonales son:
y la ecuación
=
de
donde 2 + = 0 resolviendo esta ecuación ecuación diferencial se obtiene:
luego las trayectorias ortogonales a la familia de parábolas son las elipses de centro en el origen.
+
= , ≠0
Ejemplo
Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencias de centro en el origen de coordenadas Solución: La ecuación de la familia de circunferencias de centro en el origen es de la forma: + = , su ecuación diferencial se obtiene obtiene diferenciando y se tiene: + = 0 ⟹ = y la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales es resolviendo esta ecuación se obtiene:
=
=
⟹ ln = ln ⟹ =
luego las trayectorias ortogonales a la familia de circunferencias son la familia de rectas = .
Lic. Ysela Mariell Alva Ventura
Matemática III
AUTOEVALUACIÓN: Resolver los siguientes problemas: 1.- Encontrar la trayectoria ortogonal que pase por (1,2) de la familia + 3 = RPTA = (3 + 1) 2.- Encontrar la trayectoria ortogonal de + = . RPTA = ( + ) 3.- Encontrar la trayectoria ortogonal de + 2 + = 0. RPTA + 2 + = 0 4.- Encontrar la trayectoria ortogonal de + − = RPTA − = 5.- Encontrar la trayectoria ortogonal de = +
