An´alisis de Funciones de Variable Compleja Ing. Juan Sacerdoti
Facultad de Ingenier´ıa Departamento de Matem´atica Universidad de Buenos Aires 2005 V 1.011
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Agradecemos al Sr. Alejandro Quadrini por la transcripci´ on de este documento.
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´Indice general 1. N´ umeros Complejos 1.1. Definici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Igualdad de n´ umeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Estructuraci´on de C como cuerpo abeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Imposibilidad de estructurar C como cuerpo ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Estructuraci´on de C como estructura vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Estructuraci´on de C como estructura de espacio m´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Propiedades generales de la funci´on distancia en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2. Notaci´on para la funci´on distancia sobre C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3. M´odulo de z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Estructuraci´on de C como espacio normado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Forma bin´omica de los complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1. Isomorfismos entre estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2. Isomorfismo entre los reales y el conjunto de los complejos con segunda componente nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3. Forma bin´omica de los n´ umeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Representaci´on geom´etrica de los complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10. Forma Polar de un N´ umero Complejo. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.1. Forma Polar de un N´ umero Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.2. Igualdad en forma polar. Congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.3. Producto en forma polar. Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.4. Potencia en forma polar. Radicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.5. Interpretaci´on geom´etrica de las operaciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11. Forma exponencial de un n´ umero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.1. Expresi´on de la forma exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.2. Definici´on de la funci´on ez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.3. El producto, el cociente y la potencia de complejos en forma exponencial. . . . . . 1.12. Conjugado de un complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19 20 22 23 23 26 26 27 28 29 30 30 32 32
2. Elementos de Topolog´ıa en el Campo Complejo 2.1. Definici´ on de bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Entorno de un punto c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Vecinal de un punto c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Clasificaci´on de puntos: Interiores, exteriores y frontera 2.5. Adherencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Clasificaci´on de puntos de adherencia . . . . . . . . . . . 2.7. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados . . . . . . . . . 2.8. Conjunto acotado y conjunto compacto . . . . . . . . . 2.9. Infinito en el Campo Complejo . . . . . . . . . . . . . .
35 35 36 36 37 39 40 42 43 44
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9 9 10 10 11 13 14 14 15 16 17 18 18
´INDICE GENERAL
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2.9.1. 2.9.2. 2.9.3. 2.9.4.
Concepto de punto infinito en C Conjunto Complejo Extendido . Esfera de Riemann . . . . . . . . Diversas acepciones de “infinito”
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44 47 47 49
3. Funciones de Variable Compleja. Continuidad y L´ımite 3.1. Funciones de variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Interpretaci´on geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Funciones de variable compleja. Caracter´ısticas y ejemplos 3.3.1. Caracter´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Continuidad sobre un conjunto . . . . . . . . . . . 3.5. L´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Definici´on de l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Operaciones con l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Curvas en el campo complejo. Caminos y lazos . . . . . . 3.6.1. Continuidad por partes de funciones reales . . . . 3.6.2. Camino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3. Lazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.4. Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.5. Caminos opuestos y yuxtapuestos . . . . . . . . . 3.6.6. Ejemplos de caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.7. Camino simple. Lazo simple . . . . . . . . . . . . . 3.6.8. Caminos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Homotop´ıa de caminos y lazos . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1. Homotop´ıa de caminos . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.2. Homotop´ıa de lazos . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.3. Homotop´ıa a un punto . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Clasificaci´on de conjuntos conexos en C . . . . . . . . . . 3.9.1. Conjuntos simplemente conexos . . . . . . . . . . . 3.9.2. Conjuntos m´ ultiplemente conexos . . . . . . . . . . 3.9.3. Cortadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.4. Grado de multiplicidad . . . . . . . . . . . . . . .
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51 51 51 53 53 54 56 56 58 59 59 61 63 63 64 65 65 66 68 69 69 70 70 70 71 72 72 72 72 73 73
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75 75 76 78 80 80 82 82 82 84 87 94 95 95
4. Derivaci´ on en el Campo Complejo 4.1. Derivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Relaci´on entre derivada y diferencial. Existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Derivaci´on y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Funciones mon´ogenas y holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Reglas de derivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Holomorf´ıa y ecuaci´on de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1. Las componentes de una funci´on holomorfa como funciones arm´onicas . 4.7.2. Propiedades de funciones conjugadas arm´onicas . . . . . . . . . . . . . . 4.7.3. Obtenci´on de la conjugada arm´onica de una funci´on en el entorno de un 4.8. Holomorf´ıa en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Representaci´on conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 4.9.1. Angulo entre caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´INDICE GENERAL
4.9.2. 4.9.3. 4.9.4. 4.9.5. 4.9.6. 4.9.7. 4.9.8.
Transformaci´on de caminos . . . . . . . . . . Transformaci´on de vectores tangentes . . . . Aplicaci´on conforme . . . . . . . . . . . . . . Transformaci´on de ´areas e integrales dobles . Los problemas de la representaci´on conforme La inversi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La funci´on homogr´afica . . . . . . . . . . . .
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´INDICE GENERAL
´Indice de figuras 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7.
Representaci´on del complejo (x y) en el plano cartesiano. . . . Representaci´on del complejo z en coordenadas polares. . . . . Representaci´on geom´etrica de la suma de dos complejos. . . . Representaci´on geom´etrica de la diferencia de dos complejos. Representaci´on geom´etrica del producto de dos complejos. . . Ra´ıces quintas de un n´ umero complejo z. . . . . . . . . . . . Conjugado de un n´ umero complejo. . . . . . . . . . . . . . . .
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23 24 28 28 29 29 33
2.1. Bola de centro c y radio r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Entorno de un punto c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Vecinal de un punto c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Clasificaci´on de puntos en un espacio m´etrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Puntos aislados y puntos de acumulaci´on del conjunto A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Clasificaci´on de conjuntos seg´ un contengan o no a sus fronteras. . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. |z| > r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Diversos conjuntos transformados mediante la funci´on inversi´on. . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Esfera de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10. Proyecci´on estereogr´afica de una circunferencia que no pasa por el origen de coordenadas. 2.11. Proyecci´on estereogr´afica de una circunferencia que pasa por el origen de coordenadas. . .
35 36 37 38 41 42 44 46 48 48 48
3.1. Transformaci´on de regiones en R2 mediante una funci´on de variable compleja. 3.2. Transformaci´on de caminos mediante la funci´on f (z) = z 2 . . . . . . . . . . . . 3.3. Funci´on de una variable real discontinua en a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Funci´on de una variable compleja discontinua en a. . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Composici´on de funciones de una variable compleja. . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Camino en el campo complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Lazo en el campo complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Caminos yuxtapuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Camino poligonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10. Ejemplos de caminos y lazos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11. Ejemplo de conjuntos conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12. Ejemplo de conjuntos no conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13. Homotop´ıa de los caminos γ1 y γ2 en D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14. Homotop´ıa de los lazos γ1 y γ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.15. Conjunto simplemente conexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.16. Conjunto m´ ultiplemente conexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.17. Ejemplos de cortadura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.18. Conjunto con grado de multiplicidad=3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52 53 57 57 61 65 65 67 68 69 70 70 71 72 72 73 73 73
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´INDICE DE FIGURAS
4.1. Incremento de z a trav´es de un camino γ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Dominio restringido de una funci´on de variable compleja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Incremento de una funci´on a trav´es de caminos rectos paralelos a los ejes. . . . . . . . . . 4.4. Trayectorias ortogonales de un par de funciones conjugadas arm´onicas . . . . . . . . . . . 4.5. Integraci´on a trav´es de un camino poligonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Reemplazo de un camino γ por otro poligonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Dominio e imagen de Inv’ y f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Vector tangente a γ en el punto γ(c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 4.9. Angulo entre los caminos γ1 y γ2 en el punto zc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10. Transformaci´on de caminos por una funci´on de variable compleja. . . . . . . . . . . . . . . 4.11. Conservaci´on del ´angulo entre dos caminos mediante una aplicaci´on conforme f . . . . . . 4.12. Transformaci´on de ´angulos para aplicaciones con distintos valores de K. . . . . . . . . . . 4.13. L´ıneas de campo y equipotenciales para un problema inverso de representaci´on conforme. 4.14. Transformaci´on de vectores mediante una inversi´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.15. Construcci´on geom´etrica para obtener la rec´ıproca de un complejo. . . . . . . . . . . . . . 4.16. Construcci´on geom´etrica alternativa para hallar la rec´ıproca de un n´ umero complejo. . . .
75 77 79 87 89 90 94 95 96 97 100 102 105 106 106 107
Cap´ıtulo 1
N´ umeros Complejos 1.1.
Definici´ on
Se llama n´ umero complejo a todo par ordenado (x y) de n´ umeros reales. z := (x y) : x ∈ R , y ∈ R z := N´ umero complejo Al n´ umero real x (primera componente del par ordenado) se lo llama parte real o primera componente del n´ umero complejo. Asimismo, al n´ umero real y (segunda componente del par ordenado) se lo llama parte imaginaria o segunda componente del n´ umero complejo. Re(z) := x Im(z) := y Re(z) := parte real de z Im(z) := parte imaginaria de z Observaci´on: Conviene remarcar que tanto la parte real, como la parte imaginaria de un n´ umero complejo (a pesar de su denominaci´on), son ambos n´ umeros reales. Al conjunto de todos los n´ umeros complejos, se lo simboliza con C. C := {(x y) : x ∈ R , y ∈ R } C := Conjunto de todos los n´ umeros complejos Observaci´on: A partir de la definici´on de C es inmediato que: C=R×R
o sea que
C = R2
Sin embargo, la introducci´on del nuevo s´ımbolo C para representar al conjunto de los complejos, en vez de usar directamente R2 , es conveniente para destacar y recordar la diferencia existente entre R2 y los dem´as Rn . Todo Rn conforma estructura de espacio vectorial y tambi´en estructura de espacio eucl´ıdeo. En el caso particular de R2 , adem´as de las estructuras mencionadas, se agrega la estructuraci´on en cuerpo abeliano. (ver punto 1.3). Esta caracter´ıstica no se extiende a ning´ un Rn con n ≥ 3. La raz´on de esta diferencia es porque en C, adem´as de definirse la suma como en todo Rn , se establece tambi´en la multiplicaci´on, condici´on que le permite alcanzar la estructura de cuerpo abeliano.
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´ CAP´ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS
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1.2.
Igualdad de n´ umeros complejos
La igualdad de los n´ umeros complejos es una consecuencia de la igualdad definida entre conjuntos, y su aplicaci´on sobre los pares ordenados. Resulta entonces: ( x = x′ (x y) = (x′ y ′ ) ⇔ y = y′ Es decir, dos n´ umeros complejos son iguales, si y s´olo si simult´aneamente, las respectivas partes reales e imaginarias son iguales entre s´ı. Una igualdad en C representa entonces dos igualdades en R.
Estructuraci´ on de C como cuerpo abeliano
1.3.
Sobre el conjunto de los complejos C se definen dos leyes de composici´on interna: T :
C × C −→ C ((x y), (x′ y ′ )) 7−→ (x + x′ , y + y ′ ) C × C −→ C
P :
((x y), (x′ y ′ )) 7−→ (xx′ − yy ′ , xy ′ + yx′ ) T := Ley suma de n´ umeros complejos P := Ley producto de n´ umeros complejos Los signos ”+” y ”·” representan las leyes de composici´on interna, suma y producto de n´ umeros reales. El conjunto de los n´ umeros complejos C se estructura en cuerpo abeliano con respecto a las leyes de composici´ on interna suma de n´ umeros complejos ”T ” y producto de n´ umeros complejos ”P ”. T : C × C −→ C ((x y), (x′ y ′ )) 7−→ (x + x′ , y + y ′ ) =⇒ (C T P ) ∈ Cuerpo abeliano P : C × C −→ C ((xy) , (x′ y ′ )) 7−→ (xx′ − yy ′ , xy ′ + yx′ ) La demostraci´on de esta aseveraci´on es inmediata.
Algunos elementos destacables en el cuerpo C son: (0 , 0) (−x , −y)
(1 , 0) −y x , x2 + y 2 x2 + y 2
∈ neutro de C respecto de T ∈ sim´etrico de (x y) respecto de T ∈ neutro de C respecto de P
∈ sim´etrico de (x y) respecto de P , ∀(x y) 6= (0 0)
Los s´ımbolos con los cuales se identificar´an estos elementos son: s
:= (0 , 0) ∗
z u
z•
:= (−x , −y) := (1 , 0) x −y := , x2 + y 2 x2 + y 2
1.4. IMPOSIBILIDAD DE ESTRUCTURAR C COMO CUERPO ORDENADO
1.4.
11
Imposibilidad de estructurar C como cuerpo ordenado
El conjunto C no puede ser estructurado como cuerpo ordenado. Ello significa que no existe ninguna relaci´on sobre C × C que cumpla simult´aneamente: (a) Relaci´on de orden amplio sobre C. (b) Relaci´on de orden total. (c) Relaci´on de compatibilidad con las leyes de suma y producto complejo. Estas condiciones presentadas para el caso de un cuerpo gen´erico (E T P ), llamando RO a la relaci´ on de orden sobre E, pueden expresarse de la siguiente manera: ∀x ∈ E (x x) ∈ RO Reflexividad (x y) ∈ RO ⇒ x=y Antisimetr´ıa (y x) ∈ RO RO ∈ Relaci´on de orden amplio := (x y) ∈ RO ⇒ (x z) ∈ RO Transitividad (y z) ∈ RO n RO ∈ Relaci´on de orden total := ∀x ∈ E, ∀y ∈ E
{x y} =⇒ (x y) ∈ RO
o (y x) ∈ RO
(x y) ∈ RO =⇒ (xT z , yT z) ∈ RO ∀z ∈ E RO ∈ Rel. de comp. con suma y producto := (x y) ∈ RO (s z) ∈ RO =⇒ (xP z , yP z) ∈ RO s :=Neutro de (E , T )
A partir de estas definiciones se establece entonces: (E, T, P ) ∈ Cuerpo abeliano (E, T, P ) ∈ Cuerpo abeliano ordenado := RO ∈ Relaci´on de orden amplio RO ∈ Relaci´on de orden total RO ∈ Relaci´on compatible con la suma y el producto
Observaci´on 1: Al cumplirse simult´aneamente las condiciones de orden amplio y total sobre E, resulta superflua la condici´on de reflexividad, como se muestra a continuaci´on: A partir de la condici´on de orden total, tomando x = y se obtiene: ∀x ∈ E {x x} =⇒ (x x) ∈ RO o (x x) ∈ RO resultando entonces: ∀x ∈ E =⇒ (x x) ∈ RO Observaci´on 2: Las notaciones usuales para las relaciones de orden son x ≥ y o (x y) ∈ RO. En el texto se ha preferido el uso de ´esta u ´ ltima para evitar confusiones.
A continuaci´on se pasa a demostrar la tesis propuesta, que el cuerpo de los complejos no puede ser ordenado.
´ CAP´ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS
12
El esquema de prueba se basa en que para dos n´ umeros complejos, (0 0) (neutro de T ) y el (0 1) (m´ as adelante llamado unidad imaginaria), no puede establecerse ninguna relaci´on de orden que satisfaga las condiciones anteriores. (C, T, P ) ∈ Cuerpo abeliano =⇒ ∄ RO sobre C : (C, T, P ) ∈ Cuerpo ordenado 1. Orden total
{(0 0) , (s 1))} ⇒ ((0 0) , (0 1)) ∈ RO
o
((0 1) , (0 0)) ∈ RO Suponiendo la primera de las dos posibilidades:
2.
((0 0) (0 1)) ∈ RO
3. Compat. P
((0 0) (0 1)) ∈ RO
4. Compat. P
((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO ((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO
)
⇒ ((0 0) (1 , 0)) ∈ RO
5. Compat. T
((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO (1 , 0) ∈ C
)
⇒ ((1 0) (0 0)) ∈ RO
6. (4.), (5.) y antisim.
((0 0) (1 0)) ∈ RO
((0 0) (0 1)) ∈ RO
((1 0) (0 0)) ∈ RO
)
)
⇒ ((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO
⇒ (0 0) = (0 1)
(prop. falsa)
Como la primera posibilidad ha conducido a una proposici´ on falsa, se prueba con la segunda: 7.
((0 1) (0 0)) ∈ RO
8. Compat. T
((0 1)(0 0)) ∈ RO
9. Compat. P
((0 0)(0 , −1)) ∈ RO
(0 , −1) ∈ C
)
⇒ ((0 0)(0 , −1)) ∈ RO
((0 0)(0 , −1)) ∈ RO
)
⇒ ((0 0) (−1 , 0)) ∈ RO Este resultado es el mismo obtenido en (3.). Si se sigue un procedimiento igual al ya realizado, se obtiene tambi´en:
10.
=⇒ (0 0) = (1 0)
prop. falsa Se deben descartar entonces las dos posibilidades. De donde:
´ DE C COMO ESTRUCTURA VECTORIAL 1.5. ESTRUCTURACION
11. (1.), (6.) y (10.)
13
RO ∈ Relaci´on de orden amplio RO ∈ Relaci´on de orden total ∄ RO sobre C : RO ∈ Relaci´on de compatibilidad con la suma y producto complejo
Observaci´on 1: El hecho de que C no sea un cuerpo ordenado, deja como u ´ nico Rn que cumple tal condici´on al conjunto de los reales R. Este es el cuerpo ordenado por excelencia. Observaci´on 2: Conviene remarcar que en C carece totalmente de sentido la proposici´on: z > z′ Por lo tanto, en el caso de presentarse esta notaci´on, es sencillamente un grave error.
Estructuraci´ on de C como estructura vectorial
1.5.
El conjunto de los n´ umeros complejos C conforma una estructura vectorial, sobre un cuerpo K, respecto de las leyes de composici´on interna T (suma de n´ umeros complejos) y composici´on externa P oportunamente definida: P :
C × C −→ C (λ, (x y)) 7−→ (λx, λy)
P := Ley de composici´on externa de C sobre K. K := Cuerpo de apoyo de la estructura vectorial o conjunto de los escalares. La proposici´on mencionada es consecuencia inmediata de que C = R2 , es decir un caso particular de R . n
Tiene particular inter´es tomar a la terna (R + ·) como cuerpo K sobre el cual conforma C la estructura vectorial. C = { (xy) : x ∈ R , y ∈ R} (R + ·) ∈ Cuerpo de los Reales T : C×C → C =⇒ (C R + · T P ) ∈ Estructura vectorial ((x y) , (x′ y ′ )) 7→ (x + x′ , y + y ′ ) P : C×C → C ′ ′ ′ ′ ′ ′ ((x y) , (x y )) 7→ (xx − yy , xy + yx ) Observaci´on 1: Para no incurrir en confusiones de conceptos se debe tener presente siempre las diferencias que existen entre las leyes: - Producto de n´ umeros reales: · - Producto de n´ umeros complejos: p
´ CAP´ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS
14
- Producto de C sobre K: P Observaci´on 2: Para evitar interpretaciones err´oneas se hace notar que la convenci´on adoptada para la denominaci´on de la s´extupla (E K + · T P ) y el conjunto E es: (E K + · T P ) := Estructura de espacio vectorial o estructura vectorial E := Espacio vectorial
Estructuraci´ on de C como estructura de espacio m´ etrico
1.6.
El conjunto C conforma una estructura de espacio m´etrico, y en particular una estructura de espacio eucl´ıdeo, al definirse la funci´on distancia por la expresi´on pitag´orica: d:
C × C −→ R p (z , z ′ ) 7−→ (x − x′ )2 + (y − y ′ )2 = d(z z ′ )
d(z z ′ ) := distancia de z a z ′
Esta caracter´ıstica es una consecuencia inmediata de que C = R2 , es decir un caso particular de Rn . C = { (x y) : x ∈ R , y ∈ R } =⇒ (C , d) ∈ Estructura de espacio eucl´ıdeo d : C × C −→ R p (z , z ′ ) 7−→ (x − x′ )2 + (y − y ′ )2 = d(z z ′ ) Observaci´on 1: Para evitar confusiones se se˜ nala que las denominaciones adoptadas para el par (E , d) y para el conjunto E son: (E , d) := Estructura de espacio m´etrico o estructura m´etrica E := Espacio m´etrico El hecho de poder estructurar E como espacio m´etrico tiene enorme importancia. En efecto, se logra con ello la base (funci´on distancia) para construir una estructura topol´ ogica. De esta manera el conjunto de los complejos C conforma simult´aneamente una estructura algebraica de cuerpo, y una estructura topol´ogica, siendo ambas las dos condiciones esenciales para poder definir los conceptos que son fundamento del an´alisis matem´atico: la continuidad (la convergencia) y la diferencial.
1.6.1.
Propiedades generales de la funci´ on distancia en C
Las propiedades m´as importantes para destacar de la funci´ on distancia sobre el conjunto de los complejos, se desprenden directamente del caso m´as general, funci´on distancia sobre los espacios eucl´ıdeos. Para facilitar su presentaci´on es conveniente usar los s´ımbolos e := (0 0) z ∗ := (−x , −y)
respectivamente par el neutro de C respecto de la suma T , y el opuesto de z respecto de T . Tambi´en se agregar´a el nuevo s´ımbolo: z − z ′ := z T z ′∗ z − z ′ := Diferencia entre los n´ umeros complejos z y z ′
´ DE C COMO ESTRUCTURA DE ESPACIO METRICO ´ 1.6. ESTRUCTURACION
15
El detalle de las propiedades mencionadas es: I. d(z e) = 0 ⇔ z = e II. z − z ′ = w − w′ =⇒ d(z z ′ ) = d(w w′ ) III. d(z + z ′ , z) = d(z ′ e) IV. d(z − z ′ , e) = d(z z ′ ) V. d(z − z ′ , e) = d(z ′ − z , e)
λ∈R
VI. d(λz , λz ′ ) = |λ|d(z z ′ ) VII. d(z e) − d(z ′ e) 6 |d(z e) − d(z ′ e)| 6 d(z + z ′ , e) 6 d(z e) + d(z ′ e) VIII. d(z e) − d(z ′ e) 6 |d(z e) − d(z ′ e)| 6 d(z − z ′ , e) 6 d(z e) + d(z ′ e) IX. |Re(z)| 6 d(z, e) |Im(z)| 6 d(z, e) Es buen ejercicio demostrar estas f´ormulas en forma directa a partir de la definici´on de distancia sobre C.
1.6.2.
Notaci´ on para la funci´ on distancia sobre C
La notaci´on de la funci´on distancia sobre C, que por otra parte se emplea normalmente para cualquier Rn es: |z − z ′ | := d(z z ′ ) |z − z ′ | := Distancia de z a z ′ De acuerdo a esta u ´ ltima convenci´on resulta: d(z e) = |z| En efecto: d(z e) = |z − e|
= |z T e∗ | = |z T e| = |z|
La distancia d(z e) tiene una gran aplicaci´on e importancia, tanto como para adjudicarle una denominaci´on particular. Esto se tratar´a en el apartado 1.6.3. La introducci´on del nuevo s´ımbolo |z − z ′ | para representar la funci´on distancia, es justificada por el hecho de que ayuda a recordar todas las propiedades del p´arrafo anterior asimil´andolas a las an´alogas de la funci´on valor absoluto en el campo real. En efecto, si formalmente se opera d(z z ′ ) con las propiedades del valor absoluto real, se verifican sin dificultad las propiedades vistas en 1.6.1: I. |z − e| = 0 ⇔ z = e |z| = 0 ⇔ z = e
´ CAP´ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS
16
II. z − z ′ = w − w′ =⇒ |z − z ′ | = |w − w′ | III. |(z + z ′ ) − z| = |z ′ | IV. |(z − z ′ ) − e| = |z − z ′ | V. |z − z ′ | = |z ′ − z| VI. |λz − λz ′ | = |λ||z − z ′ | VII. |z| − |z ′ | 6 ||z| − |z ′ || 6 |z + z ′ | 6 |z| + |z ′ | VIII. |z| − |z ′ | 6 ||z| − |z ′ || 6 |z − z ′ | 6 |z| + |z ′ | IX. |Re(z)| 6 |z| |Im(z)| 6 |z| Observaci´on: El valor absoluto en el campo real por su parte estructura al conjunto R como espacio eucl´ıdeo, pues: p d(x y) = (x − y)2 = |x − y|
Entonces, la distancia del espacio eucl´ıdeo Rn puede entenderse como una generalizaci´on del valor absoluto definido para R.
1.6.3.
M´ odulo de z
Se define como m´ odulo de z, tambi´en llamado valor absoluto de z, a la distancia d(z e). |z| := d(z e) |z| := M´odulo de z Esta definici´on es complementaria de la notaci´on de distancia introducida en 1.6.2, ya que ambas no son independientes, como se demuestra acto seguido: Teorema 1.6.1. d(z z ′ ) = |z − z ′ | ⇐⇒ d(z e) = |z| Demostraci´ on. La demostraci´on de la condici´on necesaria es: d(z e) = |z − e| = |z|
La condici´on suficiente: d(z z ′ ) = d(z − z ′ , e) = |z − z ′ | La asignaci´on de una denominaci´on espec´ıfica dada a la distancia d(z e) se justifica no solamente por la frecuencia con que aparece en las f´ormulas anteriores, sino tambi´en para resaltar el papel muy importante que desempe˜ na en todo el ´algebra y an´alisis complejo. Basta para ello mencionar que su empleo permite:
´ DE C COMO ESPACIO NORMADO 1.7. ESTRUCTURACION
17
a. La definici´on de la forma polar del n´ umero complejo. b. El hallazgo de m´etodos operativos m´as sencillos, derivados de la forma polar, para la multiplicaci´ on, divisi´on, potencia, radicaci´on y logaritmaci´on. c. Establecer una norma sobre C Todos estos conceptos ser´an desarrollados m´as adelante. El m´odulo de z, de acuerdo con la definici´ on es una aplicaci´on del conjunto de los complejos sobre los reales. C −→ R p (x y) 7−→ x2 + y 2
||:
Las propiedades m´as importantes del m´odulo de z son las detalladas en el p´arrafo anterior. A ellas conviene agregar: |z| = |z ′ | ⇔ |z|2 = |z ′ |2 cuya demostraci´on es inmediata, y adem´as: Teorema 1.6.2. El m´ odulo del producto es igual al producto de los m´ odulos. (zz ′ ) ∈ C =⇒ |z P z ′ | = |z||z ′ | Demostraci´ on. |z P z ′ |2 = (xx′ − yy ′ )2 + (xy ′ + yx′ )2
= x2 x′2 + y 2 y ′2 + x2 y ′2 + y 2 x′2 = (x2 + y 2 )(x′2 + y ′2 ) = |z|2 |z ′ |2
1.7.
Estructuraci´ on de C como espacio normado
Se llama espacio normado a todo espacio vectorial provisto de una aplicaci´on sobre los reales no negativa, llamada norma, que cumple las condiciones que se mencionan a continuaci´on: (E K + · T P ) ∈ Estr. espacio vectorial) N : E −→ R (E K + · T P N ) := N (x) = 0 ⇔ x = e x 7−→ N (x) : N (λx) = |λ|N (x) N (xT y) 6 N (x) + N (y) N (x) := Norma del vector x
A partir de las propiedades I, V I y V II del p´ arrafo 1.6.2 se concluye de inmediato que la funci´on m´odulo de z es efectivamente una norma. ) | | : C −→ R p =⇒ (E K + · T P ) ∈ Estr. de espacio normado (x y) 7−→ x2 + y 2
´ CAP´ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS
18
En todo espacio normado, la funci´on distancia d(zz ′ ) = N (z − z ′ ) lo estructura como espacio m´etrico. d:
) C × C −→ R =⇒ (C d) ∈ Estructura de espacio m´etrico (z z ′ ) 7−→ N (z − z ′ )
La norma establece una elaci´on directa entre los espacios vectoriales y los espacios m´etricos. La importancia de este hecho reside en que con ello se asegura la continuidad de las operaciones vectoriales suma y producto externo.
1.8. 1.8.1.
Forma bin´ omica de los complejos Isomorfismos entre estructuras
Se dice que una aplicaci´on f del conjunto E sobre el conjunto E ′ establece un isomorfismo entre las estructuras (E T ) y (E ′ T ′ ), donde T y T ′ son leyes de composici´on interna definidas respectivamente sobre E y E ′ , cuando: a. f es biyectiva b. La composici´on interna T ′ de la aplicaci´on de dos elementos de E sobre E ′ es igual a la aplicaci´ on sobre E ′ de la composici´on interna T de dichos elementos de E, es decir: f (a T b) = f (a) T ′ f (b)
En resumen: E = {abc . . . } T : E × E −→ E E ′ = {a′ b′ c′ . . . } ′ ′ ((E T ) (E T ) f ) ∈ Estructuras isomorfas := T ′ : E ′ × E ′ −→ E ′ f : E −→ E ′ ( f ∈ biyectiva ′ a 7−→ a : a T b 7−→ a′ T ′ b′
Ejemplo: La funci´on logaritmo natural L:
R+ −→ R
x 7−→ L(x)
establece un isomorfismo entre las estructuras (R+ ·) y (R +).
´ 1.8. FORMA BINOMICA DE LOS COMPLEJOS
19
Generalizando, una funci´on f puede establecer un isomorfismo entre las estructuras (E T P ) y (E ′ T ′ P ′ ) dotadas cada una de ellas con dos leyes de composici´on interna, cuando: E = {abc . . . } T : E × E −→ E P : E × E −→ E E ′ = {a′ b′ c′ . . . } ′ T : E ′ × E ′ −→ E ′ ((E T ) (E ′ T ′ ) f ) ∈ Estructuras isomorfas := P ′ : E ′ × E ′ −→ E ′ f : E −→ E ′ f ∈ biyectiva ′ a 7−→ a : a T b 7−→ a′ T ′ b′ a P b 7−→ a′ P ′ b′
1.8.2.
Isomorfismo entre los reales y el conjunto de los complejos con segunda componente nula
Definimos como C1 al conjunto de los complejos con segunda componente nula. C1 := {(x, 0)} C1 := Conjunto de los complejos con segunda componente nula o conjunto de las primeras componentes La funci´on pr1 que se llamar´a primera proyecci´ on, pr1 :
C1 −→ R (x, 0) 7−→ x
establece un isomorfismo entre las estructuras (C1 T P ) y (R + ·).
Teorema 1.8.1.
C1 = {(x, 0)} (x (x, 0)) ∈ pr1
)
=⇒ ((R + ·) (C1 T P ) pr1 ) ∈ Estructuras isomorfas
Demostraci´ on. Se demuestra en primer lugar que la relaci´on pr1 es una aplicaci´on biyectiva. ∀x ∃ (x, 0) ( x = x′ ⇔
x = x′ 0=0
⇔ (x, 0) = (x′ , 0) Enseguida se ver´a como la aplicaci´on pr1 establece el isomorfismo. x 7−→ (x, 0)
y− 7 → (y, 0) x+y − 7 → (x, 0) T (y, 0) = (x + y, 0) x · y 7−→ (x, 0) P (y, 0) = (x · y, 0)
´ CAP´ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS
20
Observaci´on 1: El par (x, 0) no es un n´ umero real a pesar de que es frecuente denominarlo as´ı, en un evidente abuso de notaci´on. El complejo (x, 0) es el correspondiente al real x a trav´es del isomorfismo definido. Observaci´on 2: Es inmediato demostrar a partir del isomorfismo estudiado entre C1 y R que tambi´en puede establecerse otro isomorfismo entre los complejos con segunda componente nula y los reales a trav´es de la funci´on: pr2 :
{(0, y)} −→ R (0, y) 7−→ y
como se verifica considerando las leyes respectivas se suma pero no las leyes de multiplicaci´on.
1.8.3.
Forma bin´ omica de los n´ umeros complejos
Todo n´ umero complejo puede descomponerse en la suma de otros dos, con segunda y primera componente nula, respectivamente: (x y) = (x 0) T (0 y) Por el otro lado tambi´en se verifica (0 y) = (y 0) T (0 1) y entonces se concluye que un n´ umero complejo puede ser representado como: (x y) = (x 0) T ((y 0) P (0 1)) que es la llamada forma cartesiana o bin´omica de los n´ umeros complejos. Es conveniente tomar: i := (0 1)
i := Unidad imaginaria
Queda entonces: (x y) = (x 0) T ((y 0) P i) Este resultado, conjuntamente con el isomorfismo estudiado en 1.8.2 induce a pensar la posibilidad de la existencia de un isomorfismo entre el conjunto de los complejos C y el conjunto de los binomios x + iy operados formalmente con las reglas del ´algebra de los n´ umeros reales. En efecto, definiendo al conjunto de los nuevos entes x + iy, B := {x + iy : x ∈ R , y ∈ R} la funci´on f : C −→ B (x y) 7−→ x + iy establece un isomorfismo entre (B + ·) y (C + ·) donde + y · son las leyes de composici´on interna sobre el conjunto B, definidas en forma conveniente de acuerdo al ´algebra de los n´ umeros reales.
´ 1.8. FORMA BINOMICA DE LOS COMPLEJOS
21
Las definiciones de estas leyes se hallan en el enunciado del teorema siguiente, y merece se˜ nalarse u ´ nicamente que es necesario convenir que: i2 := −1 Observaci´on 1: Debe tenerse sumo cuidado de no entrar en confusiones con las dos definiciones hechas de i porque sin distintas. Se ha usado la misma letra solamente por razones tradicionales. En el primer caso se ha definido sobre el conjunto de los complejos i = (0 1) lo cual lleva a i2 = i P i = (−1, 0) y por lo tanto de acuerdo a la Observaci´ on 1 del p´arrafo 1.8.2 i2 6= −1 siendo i2 simplemente el correspondiente de −1 en el isomorfismo analizado entre C1 y R: pr1 :
i2 7−→ −1
En el segundo caso, que no es una definici´on operacional de elementos de C sino de entes de B, el s´ımbolo i2 representa a: i2 = i · i es decir, un producto con respecto a la ley · en B. Y se establece a “contrario sensu”: i2 = −1 El planteo del isomorfismo de las estructuras es: (C T P ) ∈ Cuerpo complejo +:
B × B −→ B ((x + iy), (x + iy ′ )) 7−→ (x + x′ ) + i(y + y ′ ) ′
·:
B × B −→ B ((x + iy), (x′ + iy ′ )) 7−→
xx′ + ixy ′ + iyx′ + yy ′ i2 =
(xx′ − yy ′ ) + i(xy ′ + yx′ )
i · i 7−→ −1 f:
C −→ B (x y) 7−→ x + iy
=⇒ ((B + ·) (C T P ) f ) ∈ Estr. isomorfas
La demostraci´on de este isomorfismo surge directamente de la definici´on de las leyes de composici´ on interna definidas sobre B. La denominaci´on de forma bin´omica del n´ umero complejo es justificada con claridad por el isomorfismo demostrado.
´ CAP´ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS
22
Se remarca que la importancia de este resultado reside en que la forma bin´omica permite operar con los n´ umeros complejos como simples n´ umeros reales, con la condici´on de sustituir en la multiplicaci´ on a i2 por −1. Observaci´on 2: No debe olvidarse que del mismo modo que el complejo (x 0) y el real x son nociones diferentes, tambi´en lo son el complejo (x y) y el binomio x + iy. Sin embargo es usual confundirlos en evidente abuso de notaci´on. Esto no produce dificultades al operar con complejos si se toman las precauciones del caso. Llegado a este punto del texto en el cual se han estudiado las diferencias y relaciones existentes entre las leyes de composici´on interna complejas y reales, se usar´an, por razones tradicionales, a partir de ahora los signos + y · tambi´en para las primeras siempre que ello no induzca a confusiones.
1.9.
Representaci´ on geom´ etrica de los complejos
De la misma manera que no puede establecerse diferencia entre el n´ umero real x y el punto x de una recta, tampoco existe ninguna diferencia entre el n´ umero complejo (x y) y el punto (x y) del plano R × R. Se comprende que a partir de este razonamiento, no puede hacerse ninguna distinci´on entre el “´ algebra”y la “geometr´ıa”. La representaci´on geom´etrica de un n´ umero complejo es sencillamente otra forma de simbolizarlos, es decir, otra forma de escribirlos o representarlos. Sin embargo, hist´oricamente ha sido, y todav´ıa es, un modelo muy conveniente para estudiar e interpretar las relaciones entre los complejos. Por lo tanto, es importante el manejo fluido de los complejos teniendo siempre presente su significado geom´etrico. La representaci´on m´as frecuente de R2 es en coordenadas cartesianas ortogonales, mediante un plano que se denominar´a plano complejo. Un n´ umero complejo z = (x y) es representado por un punto del plano de coordenadas: x = Re(z)
como abscisa
y = Im(z)
como ordenada
Observaci´on 1: Debe observarse que de acuerdo a las apreciaciones hechas m´as arriba, las palabras n´ umero complejo y punto del plano son sin´onimos. Tambi´en son equivalentes los t´erminos R×R y plano, primera componente y abscisa, segunda componente y ordenada, etc.; que se usar´an indistintamente a lo largo del texto. En el plano complejo a los ejes x e y se los denomina real e imaginario respectivamente. De acuerdo a las convenciones establecidas para la representaci´on en coordenadas cartesianas , el complejo (x 0) es representado por puntos del eje imaginario.
´ 1.10. FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO. PROPIEDADES
y
y
23
z (0 y)
(x y)
b
(0 0)
(x 0) x
x
Figura 1.1: Representaci´ on del complejo (x y) en el plano cartesiano.
Observaci´on 2: La denominaci´on de forma cartesiana como equivalente de la bin´omica surge evidentemente de la representaci´on gr´afica de los complejos. El origen de coordenadas representa al par (0 0) Otra interpretaci´on del complejo z puede ser la de segmento orientado con origen en (0 0) y v´ertice en el punto (x y). La representaci´on polar permitir´a estudiar en detalle este nuevo enfoque. Esta simple observaci´on destaca como la representaci´on geom´etrica ayuda a estudiar las propiedades del n´ umero complejo. En este caso, la relaci´on entre el conjunto C y los espacios vectoriales como segmentos orientados.
1.10.
Forma Polar de un N´ umero Complejo. Propiedades
Los n´ umeros complejos (x y) pueden ser representados de otras maneras, adem´as de las ya vistas. Dada una funci´on biyectiva f:
C −→ C
(x y) 7−→ (u v)
:
f ∈ biyectiva
Al establecer una correspondencia uno a uno entre los pares (x y) y (u v), permite interpretar al segundo par como una nueva forma o representaci´on del primer par. En particular adquieren importancia por su facilidad de operaci´on la forma polar, y su derivada, la forma exponencial.
1.10.1.
Forma Polar de un N´ umero Complejo
En el plano complejo puede observarse con ayuda de la representaci´on geom´etrica, que cualquier par (x y) 6= (0 0) puede ser definido por otro par (r θ) cuyos elementos son: r := Distancia al origen de coordenadas ´ w := Angulo formado entre el segmento o z y el eje x El par (r θ) define las llamadas coordenadas polares del n´ umero complejo. Al par (0 0), origen de coordenadas, se asignan convencionalmente los valores: ( r=0 θ = θ1
´ CAP´ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS
24
donde θ1 es un n´ umero real arbitrario. La primera coordenada polar, r, representa entonces la distancia d(z e), es decir el m´ odulo de z estudiado en 1.6.3.
y
z z
b
r
y θ x
x
Figura 1.2: Representaci´ on del complejo z en coordenadas polares.
r := |z| = d(z e) r := m´odulo de z El m´odulo de z est´a definido para cualquier n´ umero complejo, a´ un el (0 0), por la aplicaci´ on: || :
C −→ R
(x y) 7−→ |z| =
p x2 + y 2
ya estudiada anteriormente. La segunda coordenada polar θ, que como se dijo, representa el ´angulo entre el segmento o z y el eje x. Debe elegirse entonces anal´ıticamente, de manera que satisfaga el sistema: (
r cos(θ) = x r sen(θ) = y
A todos los valores de θ, ra´ıces del sistema, se los llama argumento de z. arg(z) := θ :
θ ∈ arctan
y x
arg(z) := argumento del complejo z La soluci´on de este sistema, no est´a un´ıvocamente determinada en θ, pues si θ1 es soluci´on, tambi´en lo es θ1 + 2kπ : k ∈ Z (´angulos congruentes entre s´ı). Por lo tanto, para establecer una relaci´on uno a uno entre las coordenadas cartesianas y las polares, debe
´ 1.10. FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO. PROPIEDADES
25
asignarse un s´olo valor de argumento a cada punto, por ejemplo de la siguiente manera: Arg :
C − {(0 0)}
(x y)
R
−→
y − π + Arctan x π − 2 y Arg(z) = Arctan x π 2 π + Arctan y x
7−→
x < 0, y < 0 x = 0, y < 0 x > 0, ∀ y x = 0, y > 0 x < 0, y > 0
Arg(z) := Determinaci´on principal del argumento de z o valor principal. Esta determinaci´on llamada principal del argumento de z se identifica por el s´ımbolo Arg(z), encabezado con A (may´ uscula). Observaci´on 1: La funci´on Arctan :
R −→ (−π/2 , π/2) x 7−→ Arctan(x)
escrita con A may´ uscula, es por convenci´on la determinaci´on principal de la funci´on multiforme (que por lo tanto no es una aplicaci´on) {x , arctan(x)}, relaci´ on inversa de la tangente: tan :
R − {(n + 1/2)π : n ∈ Z} x
−→ 7−→
R tan(x)
En resumen, la transformaci´on biyectiva f:
C −→ C
p x2 + y 2 , Arg(z) (x y) 7−→ (r θ) = (0 , θ ) 1
z 6= (0 0) z = (0 0) , θ1 ∈ R
es una de las posibilidades que define al nuevo par (r θ), cuyos elementos son las coordenadas polares de un punto del plano complejo. A su vez, la funci´on inversa de F es: F −1 :
C −→ C
(r θ) 7−→ (x y) = (r cos θ , r sen θ) a partir de la cual puede deducirse la forma bin´omica a: x + iy = r (cos θ + i sen θ) llamada forma polar o forma trigonom´etrica del n´ umero complejo. Observaci´on 2: Para definir las coordenadas polares, podr´ıa elegirse cualquier otra determinaci´on del argumento de z, en vez de la principal, obteni´endose resultados equivalentes. Las diferentes determinaciones tienen tambi´en su utilidad, como por ejemplo para el c´alculo de logaritmos y potencias complejas.
´ CAP´ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS
26
1.10.2.
Igualdad en forma polar. Congruencia
A partir de la igualdad entre pares ordenados se obtiene: ( r = r′ ′ ′ (r θ) = (r θ ) ⇔ θ = θ′ Es decir, la igualdad de dos n´ umeros complejos es condici´on necesaria y suficiente de la igualdad de sus respectivos m´odulos y argumentos. Un concepto que no debe confundirse con el de igualdad es el de congruencia. Se dice que dos complejos expresados en forma polar, son congruentes; con distinta o igual determinaci´ on del argumento, cuando son correspondientes de un mismo punto del plano complejo. Esto significa: (r θ) , (r′ θ′ ) := r(cos θ + i sen θ) = r′ (cos θ′ + i sen θ′ ) (r θ) , (r′ θ′ ) := (r θ) es congruente con (r′ θ′ ) La congruencia para z 6= (0 0) se reduce a la igualdad s´olo en el caso de la igualdad de los argumentos. Es decir que dos complejos expresados en forma polar con m´odulo no nulo (z 6= (0 0)) son congruentes, cuando tienen los m´odulos iguales y sus argumentos difieren en una cantidad entera de 2π. En el caso de que el m´odulo sea nulo, ´esta es condici´on suficiente para la igualdad de dos complejos; con independencia del valor de los respectivos argumentos. r 6= 0 ′
′
(r θ) , (r θ ) ⇔
(
r = r′ θ = θ′
r=0 (r θ) , (r′ θ′ ) ⇔ r = r′ = 0 Observaci´on 3: No debe perderse de vista la diferencia existente entre la igualdad y la congruencia. En algunos casos, donde debe destacarse esta diferencia, se han creado artificios especiales. Por ejemplo, puede suponerse que al plano polar de los complejos (r θ) se le hace corresponder uno o m´ as planos cartesianos (uno para cada determinaci´ on) que geom´etricamente se tienen por superpuestos. Estos planos se llaman de Riemann, y son una forma de establecer una correspondencia biun´ıvoca aplicable para trabajar con funciones multiformes.
1.10.3.
Producto en forma polar. Cociente
Una primera aplicaci´on donde la forma polar es particularmente eficaz es en el producto complejo: r(cos θ + i sen θ) · r′ (cos θ′ + i sen θ′ ) = r r′ ((cos θ cos θ′ − sen θ sen θ′ ) + i(cos θ sen θ′ + cos θ′ sen θ)) = r r′ (cos(θ + θ′ ) + i sen(θ + θ′ )) donde se comprueba que: I. El m´odulo del producto es igual al producto de los m´odulos, teorema ya demostrado en 1.6.3 II. Una de las determinaciones del argumento del producto es igual a la suma de los argumentos de los factores
´ 1.10. FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO. PROPIEDADES
27
Aqu´ı, la suma de los argumentos puede cambiar la determinaci´on elegida, pero no afecta los resultados en cartesianas. esto es un ejemplo de la ventaja de la creaci´on de artificios como los mencionados en la Observaci´on 3 de este apartado. En rigor, si se deseara mantener la determinaci´on principal para el argumento del producto, se debe convenir: ′ θ + θ′ > π θ +θ −π π > θ + θ′ > −π Arg(z · z ′ ) = θ + θ′ θ + θ′ + π −π > θ + θ′ La forma polar tambi´en es de sencilla aplicaci´on para la obtenci´on del cociente de dos complejos, con divisor no nulo, donde se generaliza la expresi´on del producto r′ 6= 0
1.10.4.
r(cos θ + i sen θ) r = ′ (cos(θ − θ′ ) + i sen(θ − θ′ )) r′ (cos θ′ + i sen θ′ ) r
Potencia en forma polar. Radicaci´ on
En el caso de potencia natural, aplicando la f´ormula del producto y el principio de inducci´on completa, se obtiene: (r(cos θ + i sen θ))n = rn (cos nθ + i sen nθ) expresi´on que puede generalizarse para todo n entero si se conviene: 1 z La f´ormula de la potencia se puede emplear tambi´en para la extracci´on de la ra´ız en´esima de un complejo no nulo. En efecto, si un complejo r′ (cos θ′ + i sen θ′ ) es ra´ız en´esima de otro complejo r(cos θ + i sen θ), estos satisfacen: z −1 :=
(r′ (cos θ′ + i sen θ′ ))n = r(cos θ + i sen θ) equivalente a un sistema en coordenadas polares, cuya soluci´on no es u ´ nica para n > 1 pues existen diversas determinaciones que lo satisfacen y que originan ra´ıces diferentes: ( r′n = r nθ′ = θ + 2kπ
k∈Z
se sigue ( r′ = r1/n θ′ =
θ+2kπ n
a partir de la cual se obtiene la expresi´on de la ra´ız, θ + 2kπ θ + 2kπ + i sen ) n n la cual produce n´ umeros complejos diferentes para todo k ∈ < 0, n − 1 >. Existen, por lo tanto, n ra´ıces diferentes para un complejo no nulo; y son solamente n como se puede comprobar analizando su congruencia. La u ´ ltima de las f´ormulas halladas, permite generalizar la expresi´on de la potencia, ahora tambi´en para exponentes fraccionarios. (r(cos θ + i sen θ))1/n = r1/n (cos
´ CAP´ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS
28
1.10.5.
Interpretaci´ on geom´ etrica de las operaciones complejas
Suma y diferencia Dados dos complejos z y z ′ , representados como segmentos orientados, su suma z + z ′ est´ a representada por la diagonal del paralelogramo de acuerdo con el diagrama anexo. La suma geom´etrica de dos n´ umeros complejos se reduce entonces a la ley del paralelogramo. La representaci´on de los complejos por medio de segmentos orientados permite observar claramente su caracter´ıstica de estructura vectorial. El significado geom´etrico de la diferencia de dos complejos es f´acil de interpretar a partir de la suma. En el segundo gr´afico se ha representado esta operaci´on. Un buen ejercicio es analizar los significados geom´etricos del neutro de la suma y del opuesto de un complejo.
y
y
z z+z
z
′
z′ y′ z
x
z′
y x
z′ − z
′
z x
Figura 1.3: Representaci´ on geom´etrica de la suma de dos complejos.
x Figura 1.4: Representaci´ on geom´etrica de la diferencia de dos complejos.
Producto y cociente El producto dedos complejos se puede representar recordando que: a. El m´odulo del producto es el producto del m´odulo de los factores.
b. El argumento del producto es la suma del argumento de los factores. A partir de esta construcci´on se obtiene tambi´en por analog´ıa la representaci´on del cociente. Un caso particular de inter´es es la construcci´on de la rec´ıproca de un complejo no nulo, que se deja a cargo del lector.
´ 1.11. FORMA EXPONENCIAL DE UN NUMERO COMPLEJO
29
y z z′ α rr
′
z′
θ θ′
z r θ
α x
1
Figura 1.5: Representaci´ on geom´etrica del producto de dos complejos.
Potencia y radicaci´ on entera La representaci´on gr´afica de la potencia es simplemente una aplicaci´on reiterada de la realizada para el producto. Es de mayor inter´es el an´alisis de la radicaci´on. Las n ra´ıces en´esimas no congruentes de un complejo (r θ) tienen: a. M´odulo: r1/n , igual para todas las ra´ıces; lo que significa que se hallan sobre una circunferencia de radio r1/n . b. Argumento:
θ+2kπ n
k ∈< 0, n − 1 >. Una ra´ız tiene argumento θ/n, el resto se ubica sobre la circunferencia en forma sucesiva con intervalos 2π/n.
En la figura 1.6 se han representado a t´ıtulo de ejemplo las ra´ıces quintas de un complejo (r θ) z1 (r θ) z0 2π/5
r
2π/5 θ
z2
θ/5 x r 1/n z4
z3 Figura 1.6: Ra´ıces quintas de un n´ umero complejo z.
1.11.
Forma exponencial de un n´ umero complejo
Una nueva expresi´on de la forma polar, llamada forma exponencial, tiene gran importancia debido a la simplicidad operativa que entra˜ na su empleo. Ejemplo de ello es que toda la trigonometr´ıa puede deducirse en forma inmediata de las propiedades de la forma exponencial. Otra aplicaci´on para destacar es la definici´on del logaritmo y de la potencia en el campo complejo, que se hace por medio de dicha forma exponencial.
´ CAP´ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS
30
1.11.1.
Expresi´ on de la forma exponencial
La base de la forma es la f´ormula de Euler: eiθ = cos θ + i sen θ la cual permite introducir a la forma exponencial de un n´ umero complejo como: r eiθ := r(cos θ + i sen θ) r eiθ := forma exponencial de un n´ umero complejo La validez de esta expresi´on se reduce a la discusi´on de la f´ormula de Euler, que se hace a continuaci´ on.
1.11.2.
Definici´ on de la funci´ on ez
Los caminos para llegar a la f´ormula de Euler son dos, basados ambos en la definici´on de la funci´ on compleja ez Primer m´ etodo de definici´ on de ez : El primer m´etodo consiste en la definici´on de la funci´on ez por medio de una serie: ez :=
+∞ k X z
k=0
k!
=1+
z z2 zn + + ··· + + ... 1! 2! n!
que se estudiar´a en el cap´ıtulo espec´ıfico. Esta serie es entera, es decir convergente para cualquier complejo z. A partir de la definici´on se pueden verificar las propiedades: z = x =⇒ ez = ex que muestra como la exponencial compleja se reduce a la real cuando z tambi´en lo es. Adem´ as ′
∀ (z z ′ ) =⇒ ez+z = ez · ez
′
que es la propiedad fundamental de la funci´on ez , llamada ley de los exponentes, que tambi´en es cumplida en el campo real por la funci´on ex . Ambas propiedades muestran como con esta definici´on de ez se obtiene un extensi´on de la funci´ on real ex al campo complejo, manteni´endose sus principales propiedades. Una tercera propiedad que se obtiene de la serie, tomando z = x + iy y recordando los desarrollos de las funciones reales cos y y sen y es la f´ ormula de Euler ∀ y =⇒ eiy = cos y + i sen y Observaci´on 1: La introducci´on de la f´ormula de Euler para obtener la forma exponencial, se justifica por la gran simplicidad que implica su empleo en el producto complejo; donde se reduce dicha operaci´ on al ´algebra de los exponentes: r(cos θ + i sen θ) · r′ (cos θ′ + i sen θ′ ) = r eiθ ·r′ eiθ
′
′
= r r′ ei(θ+θ ) = r r′ (cos(θ + θ′ ) + i sen(θ + θ′ ))
´ 1.11. FORMA EXPONENCIAL DE UN NUMERO COMPLEJO
31
Esta es la raz´on del porqu´e adelantar la definici´on de ez como una serie. No debe pensarse por ello, sin embargo, que se ha ca´ıdo en un c´ırculo vicioso, porque los desarrollos posteriores para llegar a dicha serie no son afectados por el uso que se har´a de la forma exponencial. Esta forma puede ser considerada sencillamente como una expresi´on formal (una forma de escribir) de la forma polar, para ser usada como regla mnemot´ecnica en el producto de dos complejos. El segundo m´etodo se basa en un enfoque de esta ´ındole para definir la f´ormula de Euler. Segundo m´ etodo de definici´ on de ez : Las dificultades de la introducci´on anticipada de una serie para definir ez se obvian con una definici´ on de tipo formal como la que sigue: ez := ex (cos y + i sen y) Las propiedades principales de ez deducidas anteriormente tambi´en se obtienen como corolario de esta definici´on: z=x
=⇒
ez = ex
∀ (z z ′ )
=⇒
ez+z = ez · ez
∀y
=⇒
′
′
eiy = cos y + i sen y
y adem´as es en el cap´ıtulo de series se podr´a demostrar que: ez = 1 +
z z2 zn + + ···+ + ... 1! 2! n!
Observaci´on 2: Hay otro razonamiento, de tipo heur´ıstico, para indicar la razonabilidad de este segundo m´etodo de definici´on de ez . Si se desea hacer una extensi´on de la funci´on real ez al campo complejo de modo tal que se mantengan las siguientes propiedades: a. Para z real la funci´on ez se reduce a ex . b. Se mantiene la validez de la ley de los exponentes. c. Se mantienen las propiedades formales de la derivaci´on del campo real en el campo complejo. el problema se reduce a la definici´on de la exponencial eiy (f´ormula de Euler) por ser: ex+iy = ex · eiy de acuerdo con la ley de los exponentes y sabiendo que ex es la funci´on de variable real conocida. Por ser eiy un n´ umero complejo se tiene: eiy = u(y) + iv(y) derivando como en el campo real, i eiy = u′ (y) + iv ′ (y) − eiy = u′′ (y) + iv ′′ (y) obteni´endose entonces el sistema ( u′′ + u = 0 v ′′ + v = 0
´ CAP´ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS
32
Como para y = 0 ez se reduce a ex , y aplicando la ley de los exponentes ex+i0 = ex ei 0 = 1 de donde se deducen las siguientes condiciones iniciales,
u(0) = 1 v(0) = 0
u′ (0) = 0 v ′ (0) = 1
que aseguran al sistema de ecuaciones anterior a una soluci´ on u ´ nica: (
u(y) = cos y v(y) = sen y
Este razonamiento por supuesto no es una demostraci´on, sino es una orientaci´on a la definici´ on de la exponencial eiy .
1.11.3.
El producto, el cociente y la potencia de complejos en forma exponencial.
Empleando la forma exponencial; el producto, el cociente y la potencia entera en el conjunto de los complejos, adquieren su expresi´on m´as reducida. ′
′
r eiθ ·r′ eiθ = r r′ ei(θ+θ )
r eiθ r i(θ−θ′ ) ·e ′ = ′ iθ r e r′ (r eiθ )n = rn ei nθ
(r eiθ ) n = r n ei( 1
1
θ+2kπ n
(r′ 6= 0) )
f´ormulas que se verifican f´acilmente por su reducci´on a la forma polar y que son ejemplo de la facilidad de operaci´on que entra˜ na la forma exponencial.
1.12.
Conjugado de un complejo
Se define como conjugado de un n´ umero complejo z a otro n´ umero complejo, simbolizado por z, de igual parte real y parte imaginaria opuesta. z := (x, −y) z := Conjugado de z La funci´on conjugado de z, definida por: −
:
C −→ C z 7−→ z = (x, −y) = x − iy
es biyectiva y adem´as cumple I. z1 + z2 = z1 + z2
33
1.12. CONJUGADO DE UN COMPLEJO
II. z1 · z2 = z1 · z2
con lo cual establece un isomorfismo entre el cuerpo (C + ·) y s´ı mismo. Otras propiedades para destacar del conjugado de un complejo son:
III. z = z IV. z + z = 2x V. z − z = i 2x VI. z z = |z|2 VII.
z′ z
=
z ′ ·z |z|2
VIII. Pn (x) =
Pn
k=0
ak z k
:
ak ∈ R =⇒ Pn (z) = Pn (z)
Gr´aficamente, el conjugado de un complejo z es el sim´etrico respecto del eje x.
Y z r
y
x r
X −y
z¯
Figura 1.7: Conjugado de un n´ umero complejo.
En coordenadas polares, el conjugado es el complejo de igual m´odulo y argumento opuesto. Por lo tanto para la forma exponencial resulta: z = r eiθ ⇔ z = r e−iθ La noci´on de complejo conjugado aparece en la resoluci´on de ecuaciones algebraicas con coeficientes reales, donde las ra´ıces o son reales, o son complejas conjugadas. Adem´as de esta aplicaci´on, el conjugado se introduce por la comodidad que implica su empleo en las operaciones de producto y cociente de acuerdo a las propiedades VI y VII.
34
´ CAP´ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS
Cap´ıtulo 2
Elementos de Topolog´ıa en el Campo Complejo Como ha sido desarrollado en el p´arrafo 1.6, el conjunto de los complejos C conforma estructura de espacio m´etrico. M´as en particular, es un espacio eucl´ıdeo; al definirse sobre ´el una distancia de acuerdo con la expresi´ on pitag´orica que caracteriza dichos espacios. De este hecho se arrastra entonces que en C puede construirse una estructura topol´ogica, que acoplada a la caracter´ıstica de cuerpo, permite llegar al desarrollo de los conceptos de continuidad y diferencial. Es conveniente, por lo tanto, analizar la aplicaci´on de los elementos b´asicos de topolog´ıa al campo complejo.
2.1.
Definici´ on de bola
En un espacio m´etrico general se define como bola de centro c y radio r, cuyo s´ımbolo es B(c r), a: r
B(c r) := {x : d(x c) < r
,
b
r > 0}
c
B(c r) := Bola de centro c y radio r d(x c) := Distancia del elemento x al elemento c
B(c r)
Figura 2.1: Bola de centro c y radio r.
En particular, en el campo complejo B(c r) = {z : |z − c| < r
,
r > 0}
se llama tambi´en disco, y desde el punto de vista geom´etrico representa un c´ırculo de centro en el complejo c y radio r, sin la circunferencia |z − c| = r. Observaci´on: Conviene se˜ nalar que en la definici´on de bola (tambi´en llamada bola abierta) es indispensable que las desigualdades sean estrictas (r > 0 y d(x c) < r), porque en caso contrario carecer´ıan de sentido las definiciones posteriores de puntos interiores, exteriores y fronteras, como as´ı tambi´en las definiciones de puntos de acumulaci´on y aislados, con todas las consecuencias resultantes.
35
CAP´ITULO 2. ELEMENTOS DE TOPOLOG´IA EN EL CAMPO COMPLEJO
36
De la definici´on de bola se implica inmediatamente que su centro siempre le pertenece y por lo tanto ella es un conjunto no vac´ıo. ∃ B(c r) =⇒ c ∈ B(c r)
=⇒ B(c r) 6= ∅
2.2.
Entorno de un punto c
Se llama entorno de un punto c a todo conjunto del espacio m´etrico (y en particular C) que contenga una bola de centro c.
r b
c
U (c) ∈ Entorno de c := ∃ B(c r) : B(c r) ⊂ U (c) U (c)
Figura 2.2: Entorno de un punto c.
De esta definici´on se extraen dos consecuencias inmediatas: a. Toda bola B(c r) es un entorno de c. ∃ B(c r) =⇒ B(c r) ∈ Entorno de c
b. La existencia de un entorno de c es condici´on necesaria y suficiente de la existencia de una bola de centro c. ∃ U (c) ⇔ ∃ B(c r)
2.3.
Vecinal de un punto c
Se llama vecinal (o tambi´en entorno reducido) de un punto c, en un espacio m´etrico (en particular C), a todo entorno de c al cual se le excluye el mismo punto c.
´ DE PUNTOS: INTERIORES, EXTERIORES Y FRONTERA 2.4. CLASIFICACION
r
V (c) := U (c)
bc
c
\
37
C ◦ {c}
V (c) := Vecinal de c C ◦ {c} := Conjunto complementario de {c}
V (c) Figura 2.3: Vecinal de un punto c.
Observaci´on 1: Es usual representar a A
T
C ◦ {c}, por la notaci´on de conjuntos
A − B := A con ella la notaci´on de vecinal se expresar´ıa:
\
C ◦ {c}
V (c) = U (c) − {c} Observaci´on 2: Se ha preferido el empleo del t´ermino vecinal (del franc´es “voisinage”), en vez del m´ as com´ un entorno reducido, porque este u ´ ltimo puede inducir a error. En efecto, cuando a un sustantivo se agrega un adjetivo, se establece una subclase particular de la clase general definida por dicho sustantivo. Ejemplo: Conjunto definido por el sustantivo: hombre. Subconjunto definido por el sustantivo y el adjetivo: hombres altos. Sin embargo, este no es el caso de los entornos reducidos, pues no son entornos. Observaci´on 3: A diferencia de los entornos que nunca pueden ser vac´ıos, los vecinales si pueden serlo
2.4.
Clasificaci´ on de puntos: Interiores, exteriores y frontera
Los puntos de un espacio m´etrico E pueden ser clasificados como: puntos interiores, puntos exteriores o puntos frontera de un conjunto A (incluido en E) seg´ un la relaci´on de inclusi´on que puede establecerse entre los entornos del punto y el conjunto A. Las definiciones son las siguientes: Un punto se dice que es interior a un conjunto, cuando existe un entorno suyo que es parte del conjunto. Es decir, existe un entorno del punto en el cual todos sus puntos pertenecen al conjunto. Un punto se dice que es exterior a un conjunto cuando existe un entorno suyo, que es parte del complemento de dicho conjunto en el espacio m´etrico considerado. Es decir, existe un entorno del punto que no contiene ning´ un punto del conjunto. Un punto se dice que es frontera de un conjunto (al cual puede o no pertenecer) cuando no existe ning´ un entorno del punto incluido totalmente en el conjunto o en su complemento. Esto quiere decir que
38
CAP´ITULO 2. ELEMENTOS DE TOPOLOG´IA EN EL CAMPO COMPLEJO
en todo entorno de un punto frontera, hay puntos del conjunto y puntos del complemento del conjunto.
(E d) ∈ Estr. Espacio M´etrico A⊂E a ∈ Punto interior de A a ∈ Punto exterior de A
:= :=
a ∈ Punto frontera de A :=
∃ U (a) : U (a) ⊂ A ∃ U (a) : U (a) ⊂ C ◦ A ( U (a) ⊂ A ∄ U (a) : U (a) ⊂ C ◦ A
b
En el esquema adjunto se han representado ejemplos de los distintos tipos de puntos en el plano complejo. Debe observarse que el conjunto A (representado en color) consta de tres “partes”, una de ellas reducida a un punto. Los centros de los entornos en los puntos considerados se han representado con punto negro en el caso de que pertenezcan a A, y con punto rojo en caso contrario.
A b
Pt. frontera
b b b
Pt. interior
Pt. exterior
Figura 2.4: Clasificaci´ on de puntos en un espacio m´etrico.
Observaci´on 1: La noci´on de interior establecida a trav´es de la definici´on de punto interior, es relativa al espacio dentro del cual se define. Por ejemplo, el centro de un c´ırculo plano (conjunto A) es un punto interior del mismo si se toma como espacio m´etrico de referencia al plano mencionado, pero no es un punto interior del conjunto A si se toma como espacio de referencia a R3 . Observaci´on 2: Conviene remarcar que un punto frontera puede o no pertenecer al conjunto del cual es frontera. La clasificaci´on de puntos introducida permite ahora definir: A los conjuntos formados por los puntos interiores, exteriores y frontera, se los llama respectivamente,
39
2.5. ADHERENCIA
Interior, Exterior y Frontera del conjunto A. IN T (A) := {a : a ∈ Pt. interior a A}
EXT (A) := {a : a ∈ Pt. exterior a A} F R(A) := {a : a ∈ Pt. frontera a A} IN T (A) := Conjunto de puntos interiores a A EXT (A) := Conjunto de puntos exteriores a A F R(A) := Conjunto de puntos frontera a A Estos tres conjuntos son una partici´on del conjunto E porque: IN T (A) ∩ EXT (A) = ∅ EXT (A) ∩ F R(A) = ∅ F R(A) ∩ IN T (A) = ∅ IN T (A) ∪ EXT (A) ∪ F R(a) = E
De esta manera se comprueba que la clasificaci´on de puntos de un espacio m´etrico en interiores, exteriores y frontera, es exhaustiva. Las propiedades resultantes de las anteriores definiciones son: I. II. III. IV.
V. VI.
2.5.
IN T (A) ⊂ A (a ∈ Pt. int. A =⇒ a ∈ A) EXT (A) = IN T (C ◦ A) EXT (A) ⊂ C ◦ A T A C ◦ (IN T (A)) = F R(A) ) a∈A =⇒ a ∈ Pt. fr. A a∈ / Pt. int. A F R(A) = F R(C ◦ A) F R(E) = ∅ F R(∅) = ∅
Adherencia
Un elemento de un espacio m´etrico E se dice que es punto de adherencia de un conjunto A ⊂ E cuando cualquier entorno suyo contiene puntos del conjunto A. (E d) ∈ Estr. Espacio M´etrico A⊂E
a ∈ Punto de adherencia de A
:=
∀ U (a) =⇒ U (a)
\
A 6= ∅
Al conjunto de los puntos de adherencia de un conjunto A se lo llama Adherencia de A. ADH(A) := {a : a ∈ Pt. de adherencia de A} ADH(A) := Conjunto de los puntos de adherencia de A
CAP´ITULO 2. ELEMENTOS DE TOPOLOG´IA EN EL CAMPO COMPLEJO
40
Algunas propiedades que se pueden extraer de las definiciones son: I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. X. XI. XII. XIII.
2.6.
A ⊂ ADH(a) IN T (A) ⊂ ADH(A) F R(A) ⊂ ADH(A) T EXT (A) ADH(A) = ∅ S EXT (A) ADH(A) = E S ADH(A) = IN T (A) F R(A)
F R(A) = F R(ADH(A)) T F R(A) = ADH(A) ADH(C ◦ A) ADH(A) = ADH(ADH(A)) ADH(E) = E ADH(∅) = ∅ A ⊂ B =⇒ ADH(A) ⊂ ADH(B) S S ADH(A B) = ADH(A) ADH(B) T T ADH(A B) = ADH(A) ADH(B)
Clasificaci´ on de puntos de adherencia
Los puntos de adherencia de un conjunto A ⊂ E se clasifican en dos tipos: puntos de acumulaci´ on y puntos aislados. Estos conceptos tienen particular importancia por su aplicaci´on en la definici´on de l´ımite y convergencia, como as´ı en otros temas que se tratar´an en el texto. Esta segunda clasificaci´on para los puntos de un espacio m´etrico (reducida a los puntos de adherencia) se caracteriza porque se realiza de acuerdo a la relaci´on de inclusi´on que puede establecerse entre los vecinales de un punto y el conjunto A. La clasificaci´on realizada en 2.4 ten´ıa en cuenta los entornos de un punto en vez de los vecinales. Un punto se dice que es de acumulaci´ on de un conjunto A, cuando la intersecci´on de cualquier vecinal suyo con el conjunto A no es vac´ıa. Es decir, en todo vecinal del punto de acumulaci´on hay puntos pertenecientes al conjunto A. Es claro que todo punto de acumulaci´on es de adherencia. Un punto perteneciente al conjunto A se dice que es aislado cuando existe un vecinal suyo cuya intersecci´on con A es vac´ıa. Esto significa que existe un vecinal del punto que no contiene ning´ un punto del conjunto A. (E d) ∈ Estr. Espacio M´etrico A⊂E a ∈ Pt. de acumulaci´on de A := a ∈ Pt. aislado de A
:=
∀ V (a) =⇒ V (a) ∩ A 6= ∅ ( a∈A ∃ V (a) : V (a) ∩ A = ∅
´ DE PUNTOS DE ADHERENCIA 2.6. CLASIFICACION
41
b
Observaci´on 1: La noci´on de punto de acumulaci´on nos es relativa al espacio dentro del cual se define (comparar con Observaci´on 1 del punto 2.4) Un punto que tiene esa cualidad, la mantiene si se extiende el espacio a un superconjunto del primero. Las definiciones que se han introducido de punto de acumulaci´on y punto aislado permiten ahora crear dos nuevos conjuntos:
b
b
A
b
Pt. aislado
b
Pt. acumulaci´ on Figura 2.5: Puntos aislados y puntos de acumulaci´ on del conjunto A.
ACU M (A) := {a : a ∈ Pt. acumulaci´on de A} AISL(A) := {a : a ∈ Pt. aislado de A}
ACU M (A) := Conjunto de puntos de acumulaci´on de A AISL(A) := Conjunto de puntos aislados de A
Observaci´on 2: El conjunto de puntos de acumulaci´on de A suele llamarse tambi´en derivado de A, o tambi´en clausura de A. Las propiedades que se desprenden de las definiciones son: I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII.
IN T (A) ⊂ ACU M (A) EXT (A) ⊂ ACU M (C ◦ A) T EXT (A) ACU M (A) = ∅ ACU M (A) ⊂ ADH(A) AISL(A) ⊂ F R(A) AISL(A) ⊂ ADH(A) T ACU M (A) AISL(A) = ∅ S ACU M (A) AISL(A) = ADH(A)
IX.
ACU M (E) = E
X.
ACU M (∅) = ∅
XI.
AISL(E) = ∅
XII.
AISL(∅) = ∅
Las propiedades VII a VIII aseguran que los conjuntos ACU M (A) y AISL(A) son una partici´on del conjunto ADH(A). Esto permite escribir el siguiente teorema: ( a ∈ Pt. adherencia de A a ∈ Pt. acumulaci´on de A ⇔ a ∈ / Pt. aislado de A De esta manera se verifica que la clasificaci´on de puntos de la adherencia en acumulaci´on y aislados es exhaustiva. Adem´as de esto, no debe olvidarse que los puntos de adherencia se pueden dividir en interiores y frontera.
CAP´ITULO 2. ELEMENTOS DE TOPOLOG´IA EN EL CAMPO COMPLEJO
42
2.7.
Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados
La condici´on de abierto y/o cerrado de un conjunto definido en un espacio m´etrico, se introduce para establecer una caracter´ıstica de su frontera. En el primer caso, ning´ un punto de la frontera pertenece al conjunto, en el segundo caso le pertenecen todos. Se define entonces: Un conjunto se llama abierto si ning´ un punto de su frontera le pertenece. Un conjunto se llama cerrado si todos los puntos de su frontera le pertenecen.
A ∈ Ab := F R(A) ∩ A = ∅
A ∈ Cr := F R(A) ∩ A = F R(A) A ∈ Ab := A es un conjunto abierto
A ∈ Cr := A es un conjunto cerrado
Observaci´on 1: Esta clasificaci´on no es exhaustiva, ni debe pensarse que ambas caracter´ısticas no pueden cumplirse simult´aneamente. En efecto, si un conjunto no es abierto, no significa que sea cerrado, y viceversa, A∈ / Ab ; A ∈ Cr
A∈ / Cr ; A ∈ Ab
Abierto
Cerrado
No abierto y no cerrado Figura 2.6: Clasificaci´ on de conjuntos seg´ un contengan o no a sus fronteras.
Basta analizar para ello que si la frontera est´a compuesta por puntos del conjunto y por puntos del complemento, no es ni abierto ni cerrado el conjunto en cuesti´on. En la figura 2.6 se muestra un ejemplo de conjunto abierto, otro cerrado y un tercero que no es ni lo uno ni lo otro. Por otro lado, existen conjuntos que son abiertos y cerrados simult´aneamente. Son los que no tienen frontera: el universo E y el conjunto vac´ıo ∅. Observaci´on 2: Los conceptos de conjunto abierto y cerrado dependen del espacio m´etrico E, pues de acuerdo con la Observaci´on 1 realizada en 2.4 la noci´on de interior es relativa al espacio de referencia E. Por ejemplo, en una extensi´on del espacio E, un punto interior se puede transformar en frontera, seg´ un el caso mencionado en 2.4. Observaci´on 3: La terminolog´ıa usada por los textos en toda esta tem´atica es todav´ıa muy diversificada. En cada caso se aconseja precisarla para evitar confusiones. Un sin´onimo de conjunto cerrado es conjunto completo.
2.8. CONJUNTO ACOTADO Y CONJUNTO COMPACTO
43
Algunos teoremas que el lector puede demostrar como ejercicio son: A ∈ Ab ⇔ A = IN T (A)
⇔ F R(A) ⊂ C ◦ A
A ∈ Cr ⇔ A = ADH(A)
⇔ A = ACU M (A) ⇔ F R(A) ⊂ A
) A ∈ Ab =⇒ A ∪ B ∈ Ab B ∈ Ab =⇒ A ∩ B ∈ Ab A ∈ Cr
B ∈ Cr
)
=⇒ A ∪ B ∈ Cr =⇒ A ∩ B ∈ Cr
A ∈ Ab ⇔ C ◦ A ∈ Cr Es interesante ver tambi´en como se caracterizan, de acuerdo con las definiciones de conjunto abierto y cerrado, algunos de los conjuntos creados en los p´arrafos precedentes B(c r) ∈ Ab
IN T (A) ∈ Ab EXT (A) ∈ Ab
F R(A) ∈ Cr
ADH(A) ∈ Cr ACU M (A) ∈ Cr AISL(A ∈ Cr
Observaci´on 4: Como se ha visto, toda bola de un espacio m´etrico es un conjunto abierto. Esta es la raz´ on por la cual tambi´en suele designarse como bola abierta.
2.8.
Conjunto acotado y conjunto compacto
Un conjunto de un espacio m´etrico se llama acotado si existe una bola B(c r), de radio finito, que lo contenga. Visto de otra manera, un conjunto es acotado cuando el supremo de la distancia entre dos cualesquiera de sus puntos est´a acotado. A ∈ Acotado := ∃ B(c r) :
(
r
A ∈ Acotado ⇔ sup[ d(z z ′ ) ] < r : (z z ′ ) ∈ A2
CAP´ITULO 2. ELEMENTOS DE TOPOLOG´IA EN EL CAMPO COMPLEJO
44
Los conjuntos cerrados y acotados juegan un papel muy importante por sus propiedades particulares. Por esta raz´on se los designa con el nombre de compactos. ( A ∈ Cr A ∈ Compacto := A ∈ Acot Si un conjunto es compacto y est´a incluido en un abierto, entonces para todo punto del compacto puede construirse una bola con centro en ese punto y que est´e contenida en el abierto A ∈ Compacto D ∈ Ab =⇒ ∀ x ∈ A ∃ B(x r) ⊂ D A⊂D
Este teorema no es cierto para los conjuntos no acotados y tampoco para los conjuntos que no son cerrados. En los conjuntos compactos se pueden generalizar los teoremas de funciones continuas de una variable real definidas sobre un intervalo determinado, a funciones reales de varas variables y continuas, definidas sobre un compacto. Por ejemplo, una funci´on f real y continua definida sobre un compacto A cumple: f est´a acotada f alcanza su m´aximo y su m´ınimo absoluto en el compacto A. f es uniformemente continua en A.
2.9. 2.9.1.
Infinito en el Campo Complejo Concepto de punto infinito en C
Para analizar el comportamiento de funciones de variable compleja en el l´ımite, para valores no acotados de la variable, resulta conveniente introducir dos nuevas definiciones: el infinito complejo y el entorno de infinito.
b
r |z| > r
Con ellas se pueden generalizar, en primer lugar, las definiciones conjuntistas de l´ımite y continuidad, y posteriormente se aprovechan tambi´en para la extensi´on de otros conceptos de variable compleja.
Figura 2.7: |z| > r.
La base del razonamiento para crear los nuevos conceptos, es que el conjunto {z : |z| > r} puede ser asimilado y tratado como una bola del conjunto C por medio del artificio de crear un nuevo ente llamado infinito complejo o punto infinito, que no es un elemento de C.
2.9. INFINITO EN EL CAMPO COMPLEJO
45
Uno de los medios para definir el punto infinito es a trav´es de la funci´on inversi´on:
inv :
C −{0} −→ C −{0} z 7−→ 1/z
definida sobre todo el campo complejo excepto el origen de coordenadas. Esta funci´on es una biyecci´on de C −{0} a C −{0}, y tiene la propiedad de transformar a:
C´ırculos del plano z en c´ırculos del plano w cuando el origen de coordenadas es exterior al primero.
C´ırculos del plano z en conjuntos exteriores a un c´ırculo en el plano w, cuando el origen de coordenadas es interior al primero.
En la figura 2.8 se han representado dos ejemplos de la transformaci´on que produce la inversi´on. En particular, el segundo caso muestra como el c´ırculo |z| < a se convierte en el conjunto |z| > 1/a, por supuesto que hacemos excepci´on del origen.
A −→ A′ F R(A) −→ F R(A′ ) B −→ B ′
CAP´ITULO 2. ELEMENTOS DE TOPOLOG´IA EN EL CAMPO COMPLEJO
46
y
z
v
w
A B
u
x A′
y
z
B′
v
w
|z| > 1/a |z| < a B′
A
u
x B
A′
Figura 2.8: Diversos conjuntos transformados mediante la funci´ on inversi´ on.
El an´alisis geom´etrico indica que un medio de interpretar a |z| > r como un c´ırculo (bola del plano complejo) es introduciendo dos definiciones: a. Se introduce un nuevo ente ideal, no representable, llamado punto infinito que es el correspondiente del origen de coordenadas a trav´es de la funci´on inversi´on. b. Se considera que la parte “exterior”de un c´ırculo es tambi´en un c´ırculo. De esta manera, la funci´on inversi´on se generaliza, pudiendo enunciarse entonces: “Todo c´ırculo que no tiene por frontera el origen se transforma en otro c´ırculo”. Adem´as, la inversi´on da el medio de reducir el estudio de las funciones para valores no acotados de la variable al entorno de 0. Desde el punto de los espacios m´etricos, la idea anterior significa una extensi´on de los conceptos de bola y de entorno para el campo complejo. El planteo anal´ıtico es:
47
2.9. INFINITO EN EL CAMPO COMPLEJO
1o Se define un nuevo ente (que no es un elemento de C) simbolizado por ∞, y llamado punto infinito, de manera tal que generalice la inversi´on de la siguiente forma: ∃∞ :
Inv : C ∪ {∞} −→ C ∪ {∞} 1/z z 7−→ ∞ 0
z= 6 0, z 6= ∞ z=0 z=∞
∞ := Punto infinito o punto impropio Esta funci´on tambi´en es biyectiva 2o Se define bola de centro en ∞: B(∞ r) := {z : |z| > r} Con esta definici´on se extienden autom´ aticamente los conceptos de entorno y de vecinal al punto infinito, siempre en el conjunto C ∪ {∞}. Cabe se˜ nalar, sin embargo, que V (∞) est´a compuesto totalmente por puntos de C y por ende es una noci´on aplicable en ese conjunto.
2.9.2.
Conjunto Complejo Extendido
Se llama conjunto complejo extendido a: ˆ := C ∪ {∞} C ˆ := Conjunto complejo extendido C ˆ postulando: Algebraicamente, se puede intentar extender las definiciones de suma y producto a C, ∀a∈C b 6= 0
∞+a= a+∞= ∞ ∞·b= b·∞ =∞
z/∞ = 0 z/0 = ∞
Quedan sin definir ∞ + ∞ y 0 · ∞, porque se vulnerar´ıan las leyes de la aritm´etica. De todos modos, ˆ no alcanza ni la estructura de espacio estas definiciones son de relativa eficacia porque el conjunto C vectorial ni la estructura de cuerpo.
2.9.3.
Esfera de Riemann
Los conceptos de punto infinito, conjunto complejo extendido, entorno y vecinal de infinito pueden ser concebidos a trav´es de una equivalencia que puede establecerse entre el plano complejo y una esfera tangente a ´el, llamada esfera de Riemann. La equivalencia se establece en lo siguientes t´erminos:
CAP´ITULO 2. ELEMENTOS DE TOPOLOG´IA EN EL CAMPO COMPLEJO
48
N
Si se proyectan, con centro en N , los puntos de la esfera sobre el plano, se define una aplicaci´on biyectiva entre los puntos de la esfera (exceptuando el punto N ) y los puntos del plano.
b
Z
y
x
f : Esf −{N } −→ C
bz
Z 7−→ z
Figura 2.9: Esfera de Riemann.
Esta aplicaci´on puede extenderse tambi´en a N si se define un nuevo elemento arbitrario que le corresponde, es decir, el punto infinito. ˆ f : Esf −→ C z Z 6= N Z 7−→ ∞ Z=N Las caracter´ısticas m´as destacadas de esta correspondencia son: I. La esfera tambi´en es un espacio m´etrico, provisto de una distancia definida por la geod´esica entre dos puntos (m´ınima distancia). II. A circunferencias en el plano C le corresponden circunferencias sobre la esfera que no pasan por N . ˆ le corresponde un entorno del punto Z (aplicaci´ III. A un entorno del punto z del plano C, on de z) de la esfera de Riemann.
N
N
b
y
y
b
b
x
x
b
Figura 2.10: Proyecci´ on estereogr´ afica de una circunferencia que no pasa por el origen de coordenadas.
Figura 2.11: Proyecci´ on estereogr´ afica de una circunferencia que pasa por el origen de coordenadas.
Esta u ´ ltima es la propiedad m´as importante y se hace una de ella cuando se desea interpretar a un entorno del punto infinito a trav´es de la equivalencia plano complejo - esfera de Riemann. En la figura 2.11 se muestra como un casquete esf´erico con centro en el punto N (bola del espacio m´etrico constituido por la esfera) se transforma en una bola del plano complejo con centro en el punto infinito.
49
2.9. INFINITO EN EL CAMPO COMPLEJO
Si el casquete esf´erico no contiene a N se transforma en un c´ırculo plano. Observaci´on 1: La proyecci´on usada se llama estereogr´ afica, y por esta raz´on a la esfera de Riemann se la suele llamar tambi´en esfera estereogr´ afica.
2.9.4.
Diversas acepciones de “infinito”
La palabra “infinito”tiene una gran variedad de acepciones en el lenguaje matem´atico y en el lenguaje corriente. El infinito complejo no debe ser confundido po lo tanto con otros significados dados de “infinito”. Algunos de los diferentes sentidos que se le atribuyen son: 1o Dado un conjunto D incluido en R, se dice que tiene cota superior k si: D⊂R
k ∈ cota sup. D := ∃ k ∈ R : ∀ x ∈ D =⇒ x 6 k Se dice que el conjunto D tiene extremo superior infinito cuando no est´a acotado. Esta primera acepci´on de infinito se refiere a una propiedad de un conjunto real, la de no estar acotado. Este concepto puede ser generalizado a cualquier conjunto ordenado y por lo tanto no puede serlo en el campo complejo. An´alogamente, puede decirse que un conjunto D real tiene por extremo inferior a menos infinito cuando no existe cota inferior. 2o Una segunda definici´on de infinito se emplea al agregar al conjunto de los reales des elementos nuevos llamados m´ as infinito (+∞ )y menos infinito (−∞), para conformar el conjunto de los ˆ reales extendidos, simbolizado por R. ˆ Se establece convencionalmente la extensi´on de la suma y el producto a R. ∀x∈R
−∞ < x < +∞
∀x∈R
x + (+∞) = (+∞) + x = +∞ x + (−∞) = (−∞) + x = −∞ x − (+∞) = −(+∞) + x = −∞
x − (−∞) = −(−∞) + x = +∞ x x = =0 +∞ −∞ x>0
x · (+∞) = (+∞) · x = +∞
x · (−∞) = (−∞) · x = −∞ x<0
x · (+∞) = (+∞) · x = −∞ x · (−∞) = (−∞) · x = +∞
Quedan sin definir entre otros +∞ + (−∞) y 0 · (+∞).
Esta interpretaci´on de “infinito”tiene un paralelo con la vista en 2.9.2 pero son concepciones disˆ se crea un solo elemento, el infinito complejo, tintas. Basta ver para ello que para pasar del C al C ˆ se crean dos: m´as infinito y menos infinito. mientras que en el caso de extender R a R ˆ se alcanza la estructura de cuerpo. Tampoco en el caso de R
50
CAP´ITULO 2. ELEMENTOS DE TOPOLOG´IA EN EL CAMPO COMPLEJO
3o Un tercer empleo de la palabra infinito se hace en la frase “x tiende a +∞”, la cual no tiene de por s´ı ning´ un significado particular. En el contexto de “f (x) tiende al l´ımite L cuando x tiende a +∞”quiere decir que los valores para los cuales se analiza la variable independiente, pertenecen a conjuntos del tipo x > k. Como corolario de ´este p´arrafo se aconseja no usar desprejuiciadamente el t´ermino “infinito”, y es conveniente precisar en cada caso su significado.
Cap´ıtulo 3
Funciones de Variable Compleja. Continuidad y L´ımite 3.1.
Funciones de variable compleja
Se llama funci´ on de variable compleja a una aplicaci´on cuyo dominio D y rango R son subconjuntos de C. La notaci´on habitual para este tipo de funciones es z = (x y) para representar a un elemento de D y w = (u v) para un elemento de R. D ⊂ C R ⊂ C f ∈ func. var. compleja := f: D −→ R z = (x y) 7−→ w = (u v) = f (z)
Se desprende de la definici´on que u y v, partes real e imaginaria de w, son sendas funciones reales de dos variables. f:
z 7−→ f (z) = u(x y) + i v(x y)
Observaci´on 1: Para designar a las funciones de variable compleja es usual tambi´en emplear el t´ermino “funci´on compleja”.
3.2.
Interpretaci´ on geom´ etrica
El an´alisis geom´etrico de las funciones de variable compleja requiere de cuatro dimensiones: dos para la variable z y dos para la variable w. Una soluci´on para ello es representar los elementos del dominio de la funci´on sobre un plano (llamado |z ) y los elementos del rango sobre otro plano (llamado |w ).
51
CAP´ITULO 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CONTINUIDAD Y L´IMITE
52
y
v
z
w
Γ f (z) b
A
z
b
γ
w
A′
x
u
Figura 3.1: Transformaci´ on de regiones en R2 mediante una funci´ on de variable compleja.
De esta manera puede decirse que una funci´on de variable compleja establece una relaci´ on entre un punto z del plano |z y un punto w del plano |w . Una forma de caracterizar geom´etricamente a las funciones de variable compleja es a trav´es de la representaci´on de las transformaciones que produce a curvas y conjuntos en general, de un plano a otro. Esta representaci´on es u ´ til para resolver diversos problemas f´ısicos de campos y potenciales. Ejemplo: Para analizar un caso determinado, se elige la funci´on: f:
C −→ C
z 7−→ z 2 = x2 −y 2 + i 2xy
que define el sistema: ( u = x2 −y 2 v = 2xy Para caracterizar la transformaci´on se eligen dos familias de rectas, la primera de las paralelas al eje y (familia γ1 ), y la segunda de las paralelas al eje x (familia γ2 ). La funci´on z 2 transforma las familias γ1 y γ2 del plano |z en las familias Γ1 y Γ2 , respectivamente, del plano |w , que representan familias de par´abolas como se demuestra a continuaci´on. x = k γ1 y = y y∈R
2 2 u = k −y 2 z −→ Γ1 v = 2ky y∈R
x = x γ2 y = k x∈R
2 2 u = x −k z2 −→ Γ2 v = 2kx x∈R
v2 2 u = k − 4k 2 ( =⇒ u60 v=0
v2 2 u = 4k 2 − k ( =⇒ u>0 v=0
k 6= 0 k=0
k 6= 0 k=0
La funci´on z 2 transforma rect´angulos del plano |z en rect´angulos de lados parab´olicos en el plano |w. Se mantienen los ´angulos salvo en el caso cuando z = 0.
3.3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CARACTER´ISTICAS Y EJEMPLOS
53
Este hecho no es casual, es una propiedad general de ciertas funciones complejas que se estudiar´ an en los pr´oximos cap´ıtulos. El lector puede verificar que las familias Γ1 y Γ2 son ortogonales entre s´ı.
y
v
z
w
Γ2 b
A′
b
γ2
A
x
u
γ1 Γ1
Figura 3.2: Transformaci´ on de caminos mediante la funci´ on f (z) = z 2 .
3.3. 3.3.1.
Funciones de variable compleja. Caracter´ısticas y ejemplos Caracter´ısticas
Se definen algunas propiedades de las funciones complejas. Sea una de estas, f:
D −→ R
z 7−→ f (z)
entonces se define como funci´ on acotada a aquella cuyo m´odulo tiene cota superior. f ∈ Acotada := ∃ k ∈ R : ∀ z ∈ D =⇒ |f (z)| < k k := Cota del m´odulo de la funci´on Se llama funci´ on peri´ odica de per´ıodo T a aquella que cumple: f ∈ Peri´odica := ∃ T ∈ C : f (z + T ) = f (z)
CAP´ITULO 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CONTINUIDAD Y L´IMITE
54
3.3.2.
Ejemplos
En el transcurso del texto ya se han visto diversas funciones complejas como: Parte real Parte imaginaria M´odulo de z Argumento de z Conjugado de z Inversi´on las que se completar´an con algunas otras de empleo frecuente: Constante
Cte :
C −→ C
z 7−→ k = w
Polinomio complejo de grado n
Pn :
C −→ C n X z 7−→ ak z k = Pn (z)
n ∈ N0 , an 6= 0
k=0
Esta definici´on es una extensi´on de los polinomios reales. Como en ese caso n se llama grado del polinomio. Funci´ on racional
Rac :
C−{r : Qm (r) = 0} −→ C z 7−→
Pn (z) Qn z
La funci´on racional est´a definida entonces por el cociente de dos polinomios con dominio v´ alida s´ olo para aquellos complejos que no anulan el denominador. Exponencial La definici´on de la funci´on exponencial ha sido discutida detalladamente en el apartado 1.11.2. Si se sigue la segunda orientaci´on all´ı presentada, se tiene: exp :
C −→ C
z 7−→ ez = ex cos y + i sen y
3.3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CARACTER´ISTICAS Y EJEMPLOS
55
definici´on v´alida sobre todo el campo complejo, como extensi´on de la funci´on exponencial real. Algunas de las propiedades para destacar son: Re(ez ) = ex cos y Im(ez ) = ex sen y | ez | = ex
arg(ez ) = y
ez = ez 1 = e−z ez ∄ z : ez = 0 ez = 1 =⇒ z = i 2kπ
k∈Z
La exponencial compleja es peri´odica con per´ıodo T = 2πi Funciones trigonom´ etricas A partir de la funci´on exponencial pueden extenderse al campo complejo las funciones trigonom´etricas reales: C −→ C
sen :
eiz − e−iz z− 7 → 2i
C −→ C
cos :
eiz + e−iz z− 7 → 2
Las dem´as funciones trigonom´etricas, tangente, cotangente, secante y cosecante se definen a partir de las anteriores, formalmente igual a sus hom´onimas reales. El desarrollo de la funci´on sen en forma bin´omica es: e−y ey (cos x + i sen x) − (cos x − i sen x) 2i 2i = sen(x) cosh(y) + i cos(x) senh(y)
sen z =
de donde se implica que es una funci´on no acotada. Para estas funciones se prueba: sen2 z + cos2 z = 1 sen(z + z ′ ) = sen(z) cos(z ′ ) + cos(z) sen(z ′ ) cos(z + z ′ ) = cos(z) cos(z ′ ) − sen(z) sen(z ′ ) adem´as, tanto sen z como cos z tienen per´ıodo real 2π.
CAP´ITULO 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CONTINUIDAD Y L´IMITE
56
Funciones hiperb´ olicas Como extensi´on de las funciones hom´onimas reales se define en el plano complejo a las funciones seno hiperb´ olico y coseno hiperb´ olico: senh :
C −→ C z 7−→
cosh :
(ez − e−z ) 2
C −→ C z 7−→
(ez + e−z ) 2
Las restantes funciones hiperb´olicas se definen tambi´en de la manera habitual. Estas funciones se relacionan con las trigonom´etricas a trav´es de: sen z = −i senh(iz) cos z = cosh(iz) y son evidentemente peri´odicas con per´ıodo 2πi. Queda a cargo del lector el an´alisis de las propiedades semejante a las de las funciones trigonom´etricas y exponencial.
3.4. 3.4.1.
Continuidad Definici´ on
Para dotar de rigor al tratamiento del c´alculo integral, diferencial, sucesiones, series, etc. es necesario precisar la noci´on de continuidad. Esta, es una de las ideas m´as importantes y fascinantes del an´alisis matem´atico, que ha abierto la necesidad y el camino para nuevos cursos de estudio y creaci´on, entre ellos por ejemplo los espacios m´etricos y los espacios topol´ogicos en general. Para introducirse en la concepci´on de la noci´on de continuidad es m´as sencillo pasar por el significado de su opuesto l´ogico: la falta de continuidad. Un primer acercamiento a la idea podr´ıa ser : “Los puntos x pr´oximos al punto a no tienen una aplicaci´on f (x) pr´oxima a f (a)”.
57
3.4. CONTINUIDAD
b b
D U(f (a))
U(a)
b
b
a
f (a)
U(f (a))
R b f (a)
c b
a
Imagen de U (a)
x
U(a)
Figura 3.3: Funci´ on de una variable real discontinua en a.
Figura 3.4: Funci´ on de una variable compleja discontinua en a.
Sin embargo, esta expresi´on carece de sentido porque la palabra “proximidad”es indefinida, y tiene en el lenguaje corriente un significado relativo al contexto de referencia. Lo que puede ser pr´oximo en un caso, puede no serlo en otro. La noci´on de distancia con la consiguiente definici´on de entorno es la que permite dotar de rigor a las definiciones buscadas. Se puede decir con precisi´on entonces para una funci´on f:
D −→ R X 7−→ Y = f (X)
donde D y R son subconjuntos de los espacios m´etricos E y E ′ , si dado un entorno de f (a), U (f (a)), no puede encontrarse ning´ un entorno de a, U (a), de modo tal que todos los elementos de U (a) ∩ D, tengan aplicaci´on en U (f (a)), entonces la funci´on f es discontinua en a. Simb´olicamente: f∈ / C/a
:=
∃ U (f (a)), ∄ U (a) : ∀ x ∈ U (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U (f (a))
f∈ / C/a
:=
La funci´on f no es continua en a
En el gr´afico anterior se han representado dos ejemplos de discontinuidad, uno para una funci´on de variable real, y otro para una funci´on de variable compleja. Sobre el rango de cada una de las aplicaciones se ha coloreado la imagen de U (a), que como se observa no est´a incluida en U (f (a)). El opuesto l´ogico de esta definici´on nos asegura que no hay “salto”, es decir que la funci´on es continua. La definici´on es v´alida para cualquier funci´on f entre dos espacios m´etricos o subconjuntos de dichos espacios m´etricos. Se incluye como caso particular, por supuesto, a los casos de funciones reales de una o varias variables y a las funciones complejas. ( D⊂E f : D −→ R : R ⊂ E′ X 7−→ f (X) f ∈ C/a
:=
∀ U (f (a)) , ∃ U (a) : ∀ X ∈ U (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U (f (a))
CAP´ITULO 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CONTINUIDAD Y L´IMITE
58
Observaci´on 1: Debe observarse que en la definici´on no se exige ninguna condici´on especial al punto a, salvo que pertenezca al dominio de la funci´on para que exista f (a). Observaci´on 2: En la definici´on se interseca a U (a) con D, dominio de la funci´on, para asegurar que para los puntos X considerados exista imagen f (X). En particular, el conjunto U (a) ∩ D nunca es vac´ıo porque por lo menos contiene al punto a. A partir de la definici´on de continuidad se extrae el siguiente teorema: Teorema 3.4.1. Toda funci´ on es continua en los puntos aislados de su dominio. a ∈ Pt. aislado D =⇒ f ∈ C/a Demostraci´ on. Por definici´on de Pt. aisl: ∀ U (f (a)) ∃ U (a) : U (a) ∩ D = {a} Luego ∀ X ∈ U (a) ∩ D ∀ X ∈ {a}
=⇒ =⇒ f (a) ∈ U (f (a))
Observaci´on 3: Se ha introducido la noci´on de continuidad precediendo al concepto de l´ımite por dos razones: 1o Porque desde un punto de vista heur´ıstico el l´ımite es una extensi´on de la noci´on de continuidad, y tambi´en por ello desde el punto de vista pedag´ogico se puede explicar y entender mejor dicho concepto. 2o Hay funciones continuas que no tienen l´ımite, las definidas sobre un punto aislado. Para el caso particular de funciones de variable compleja, la definici´on de continuidad se puede reducir a una forma operativa, tomando como entornos a bolas con centro a y f (a) respectivamente en los planos |z y |w. U (a) = {z : |z − a| < δ}
U (f (a)) = {w : |w − f (a)| < ǫ} resultando: f ∈ C/a
3.4.2.
:=
∀ ǫ > 0 , ∃ δ > 0 : ∀ z ∈ {z : |z − a| < δ} ∩ D =⇒ |f (z) − f (a)| < ǫ
Continuidad sobre un conjunto
La definici´on de continuidad se refer´ıa a un punto espec´ıfico a del dominio de la funci´on. Si esta propiedad se puede extender a un conjunto de puntos, se dice que la funci´on es continua sobre ´el, y se escribe: f ∈ C/A := ∀ a ∈ A =⇒ f ∈ C/a f ∈ C/A := La funci´on f es continua sobre el conjunto A.
3.5. L´IMITE
3.5.
59
L´ımite
3.5.1.
Definici´ on de l´ımite
Puede hacerse una extensi´on del concepto de continuidad a los puntos de acumulaci´on del dominio de una funci´on f (pertenezcan o no a ´el), cuando existe un elemento L del espacio E ′ (donde se aplica f ), que pueda hacer las veces de f (a) en la definici´on de continuidad. No se toma en cuenta lo que sucede en a, punto para el cual puede existir o no la funci´on. Es decir, el l´ımite L es el valor hipot´etico que habr´ıa que asignarle al punto a para que la funci´ on fuera en ´el continua. Por supuesto esto no siempre es posible y en ese caso se dice que no existe el l´ımite. La terminolog´ıa usada para expresar la existencia de tal n´ umero L es: “f (X) tiende a L cuando X tiende a a”. La frase “X tiende a a”no tiene significado propio sino como parte de la expresi´on anterior. Simb´olicamente se define entonces: f:
D −→ R
X 7−→ f (X)
:
(
D⊂E R ⊂ E′
a ∈ Pt. acumulaci´on de D f (X) −−−−→ L := ∀ U (L) , ∃ V (a) : ∀ X ∈ V (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U (L) X−→a
f (X) −−−−→ L := f tiende a L cuando X tiende a a. X−→a
Otra notaci´on usual para representar a la definici´on de l´ımite es: l´ım f (X) = L
X→ a
Observaci´on 1: La diferencia formal de esta definici´on con respecto a la de continuidad es que se ha empleado el s´ımbolo V (a) en lugar de U (a). Es decir, el uso de vecinales de a es obligado porque no debe tenerse en cuenta si existe o no la funci´on en a y tampoco, en caso afirmativo, cual es ese valor f (a). Observaci´on 2: Para asegurar el sentido de la definici´on de l´ımite, es necesario que V (a) ∩ D 6= ∅. Esta es la raz´on para postular que el punto a debe ser de acumulaci´on de D. De acuerdo a la Observaci´on 2 del p´arrafo 3.4.1 esto no era necesario en la definici´on de continuidad. Observaci´on 3: La definici´on del l´ımite de una funci´on no permite su obtenci´on, sino simplemente su verificaci´on. El llamado “c´alculo de l´ımites”se reduce a la aplicaci´on de teoremas que ligan l´ımites de funciones conocidas y tabuladas. La definici´on de vecinal de infinito en el plano complejo permite la extensi´on de la definici´on de l´ımite a ese caso sin necesidad de modificaciones. En particular, si la definici´on de l´ımite se expresa para funciones de variable compleja tomando como
CAP´ITULO 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CONTINUIDAD Y L´IMITE
60
entorno a bolas del plano, resulta: f (z) −−−→ L := ∀ ǫ > 0 , ∃ δ > 0 : ∀ z ∈ {0 < |z − a| < δ} ∩ D =⇒ |f (z) − L| < ǫ z→a
f (z) −−−→ L := ∀ ǫ > 0 , ∃ r : ∀ z ∈ {|z| > r} ∩ D =⇒ |f (z) − L| < ǫ z→∞
f (z) −−−→ ∞ := ∀ M , ∃ δ > 0 : ∀ z ∈ {0 < |z − a| < δ} ∩ D =⇒ |f (z)| > M z→a
La u ´ ltima expresi´on significa que en el vecinal del punto a la funci´on no est´a acotada. La relaci´on entre las definiciones de continuidad y l´ımite est´a dado por el siguiente teorema: Teorema 3.5.1. Para que una funci´ on f : D −→ R sea continua en un punto a de acumulaci´ on de D, es condici´ on necesaria y suficiente que exista l´ımite de la funci´ on para X tendiendo a a, que exista f (a) y tambi´en que el l´ımite sea igual al valor de la funci´ on f (a). H1 f (X) −−−→ L ( X→a a ∈ Pt. acum D H2 f : a 7−→ f (a) ⇐⇒ f ∈ C/a H L = f (a) 3
Demostraci´ on. En primer lugar se encara la condici´on necesaria ( a 7−→ f (a) f ∈ C/a =⇒ ∀ U (f (a)) , ∃ U (a) : ∀ X ∈ U (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U (f (a)) Eligiendo V (a) V (a) = U (a) − {a}
a ∈ ACU M (D) =⇒ V (a) ∩ D 6= ∅ Resulta entonces: ∀ U (f (a)) , ∃ V (a) : ∀ X ∈ V (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U ((f (a))) Aplicando la definici´on de l´ımite, se observa que existe y es f(a) L = f (a) Se pasa a la condici´on suficiente H1 =⇒ ∀ U (L) , ∃ V (a) : ∀ X ∈ V (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U (L) H3 =⇒ ∀ U (f (a)) , ∃ V (a) : ∀ X ∈ V (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U (f (a)) H2 =⇒ {a} = {a} ∩ D =⇒ f (a) ∈ U (f (a)) Eligiendo entonces U (a) = V (a) ∪ {a}
3.5. L´IMITE
61
Resulta ∀ U (f (a)) , ∃ U (a) : ∀X ∈ U (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U (f (a)) Con lo cual queda probado que la funci´on es continua. Que a es un punto de acumulaci´on est´a impl´ıcito en la definici´on de l´ımite. H1 =⇒ a ∈ Pt. acumulaci´on de D
3.5.2.
Operaciones con l´ımites
El enfoque hecho en los conceptos de l´ımite y continuidad por medio de las estructuras de los espacios m´etricos permite demostrar una sola vez propiedades que son comunes a determinados conjuntos. Esto tambi´en significa que si dos conjuntos tienen leyes de composici´on formalmente iguales, las propiedades y teoremas demostrados para uno son v´alidos para el otro. Muchas de las propiedades estudiadas en las funciones reales pueden ser extendidas. En el caso de las funciones compuestas en cualquier espacio m´etrico, el l´ımite de una funci´on compuesta es igual a la composici´on de los l´ımites. En cuanto a la continuidad, la composici´on de dos funciones continuas es continua, como lo expresa el siguiente teorema: Teorema 3.5.2. f:
D −→R
D′ −→R′ : R ⊂ D′ ) f ∈ C/a =⇒ g ◦ f ∈ C/a g ∈ C/f (a)
g:
R′ R
f D X a
b
b
U(a)
g
D′ Y = f (X)
g(Y )
b
b
b
f (a)
U(f (a))
g(f (a))
U(g(f (a)))
Figura 3.5: Composici´ on de funciones de una variable compleja.
Demostraci´ on. La existencia de la funci´on compuesta est´a asegurada porque R ⊂ D′ . H2 =⇒ ∀ U (g(f (a)) , ∃U (f (a)) : ∀ Y ∈ U (f (a)) ∩ D′ =⇒ g(Y ) ∈ U (g(f (a))) H1 =⇒ ∀ U (f (a)) , ∃ U (a) : ∀ X ∈ U (a) ∩ D =⇒ f (X) ∈ U (f (a))
b
62
CAP´ITULO 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CONTINUIDAD Y L´IMITE
Eligiendo en la segunda expresi´on un U (f (a)) conveniente ∀ U (g(f (a))) , ∃U (a) : ∀ X ∈ U (a) ∩ D =⇒ g ◦ f (X) ∈ U (g(f (a))) La continuidad y el c´alculo de l´ımites para las operaciones vectoriales se extiende a todos los espacios normados. Esta es la relaci´on esencial entre las dos estructuras del espacio normado, la m´etrica y la vectorial. ) f (X) −→ F =⇒ f + g −→ F + G g(X) −→ G f (X) −→ F
=⇒
λf −→ λF
λ −→ Λ
=⇒
λf −→ Λf
La prueba de estas propiedades de la suma y producto vectorial, es inmediata aplicando la definici´ on de l´ımite y teniendo en cuenta que N ((f + g) − (F + G)) 6 N (f − F ) + N (g − G) N (λf − λF ) = |λ| N (f − F ) N (λf − Λf ) = |λ − Λ| N (f )
Todas las propiedades vistas hasta el momento pueden ser aplicadas a funciones complejas. Pero, adem´as, como las definiciones de continuidad y de l´ımite hechas para dichas funciones, coinciden formalmente con las correspondientes a las funciones reales de una variable. La consecuencia de este an´alisis es que la continuidad y el c´alculo de l´ımite de las operaciones del cuerpo de los reales se extienden al cuerpo de los complejos. En concreto, suponiendo que los l´ımites existan, la suma, diferencia, producto y cociente (exceptuando el caso de denominador cero) de l´ımites es igual al l´ımite de la suma, diferencia, producto y cociente de las funciones complejas, siempre suponiendo que los l´ımites son finitos. Para el caso de continuidad, el resultado de la extensi´on de las funciones reales de una variable es an´alogo. Un teorema relativo al l´ımite de la parte real e imaginaria de una funci´on de variable compleja es: Teorema 3.5.3. Una funci´ on de variable compleja tiende a un l´ımite si y s´ olo si su parte real tiende a la parte real del l´ımite, como as´ı tambi´en la parte imaginaria tiende a la parte imaginaria del l´ımite. u(x y) −−−→ U z→a ⇐⇒ u(x y) + i v(x y) −−−→ U + i V z→a v(x y) −−−→ V z→a
Demostraci´ on. La condici´on suficiente se puede demostrar directamente a partir del teorema del l´ımite de la suma, pero adem´as se puede demostrar directamente a partir de |(u + i v) − (U + i V )| 6 |u − U | + |v − V | Como puede acotarse el segundo miembro por la suma de dos n´ umeros arbitrarios, reales no negativos, el primer miembro tambi´en est´a acotado arbitrariamente, y por lo tanto hay l´ımite.
63
3.6. CURVAS EN EL CAMPO COMPLEJO. CAMINOS Y LAZOS
Del mimo modo la condici´on necesaria: |Re(z)| 6 |z|
∧
|Im(z)| 6 |z|
de acuerdo con las propiedades de 1.6.2 |u − U | 6 |(u + i v) − (U + i V )|
|v − V | 6 |(u + i v) − (U + i V )|
entonces por razonamiento an´alogo al anterior existen los l´ımites de la parte real e imaginaria de la funci´on compleja y son U y V , respectivamente. Una consecuencia inmediata de este teorema es la siguiente: Corolario 3.5.3.1. Una funci´ on compleja es continua si y s´ olo si son continuas sus partes real e imaginaria. ) u ∈ C/a ⇐⇒ u + i v ∈ C/a v ∈ C/a
3.6.
Curvas en el campo complejo. Caminos y lazos
Para el desarrollo de la derivaci´on e integraci´on en el campo complejo, se trabaja con conjuntos tales como curvas, caminos, lazos,etc. conceptos que conviene precisar y analizar con detenimiento.
3.6.1.
Continuidad por partes de funciones reales
Una funci´on de variable real, se dice que es continua por partes sobre un intervalo cerrado y acotado (compacto) [a b] cuando salvo para un n´ umero finito de puntos es continua sobre dicho intervalo, y adem´as en los puntos de discontinuidad existen los l´ımites de la funci´on por la derecha y por la izquierda. No es necesario para esta definici´on que la funci´on tome valores en los puntos de discontinuidad. Simb´olicamente:
f ∈ CP [a b] := f : I = [a, b] − {ak } −→ Rn :
k ∈ < 0, n >
a = a0 < a1 < a2 < · · · < an = b
f ∈ C I ∀ k , ∃ f (a+ ım f (x) k ) = l´ x→ak x>ak
∃ f (a− ım f (x) k ) = l´ x→ak x
f ∈ CP [a b] := La funci´on f es continua por partes sobre el intervalo [a b]
Observaci´on: De acuerdo con la definici´on, el intervalo I se puede descomponer en un n´ umero finito de intervalos [a0 , a1 ], [a1 , a2 ], . . . , [an−1 , an ]
CAP´ITULO 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CONTINUIDAD Y L´IMITE
64
donde para cada uno de ellos se puede definir [ak , ak+1 ] −→ Rn f (a+ k) x 7−→ f (x) f (a− k)
fk
x = ak x ∈ (ak , ak+1 ) x = ak+1
y a partir de all´ı la integral definida seg´ un Cauchy se extiende como suma de un n´ umero finito de integrales definidas (las funciones fk son continuas sobre un compacto): Z
n−1 X
b
f (x) dx =
a
k=0
3.6.2.
Z
ak+1
fk (t) dt
ak
Camino
Se llama camino a toda aplicaci´on continua de un intervalo real cerrado y acotado (compacto) [a b] sobre el conjunto de los complejos C, con la condici´on adicional de que la aplicaci´on tenga derivada continua por partes. γ ∈ Camino
:=
γ : I = [a b] −→ C
a 6= b t 7−→ x(t) + i y(t) : γ ∈ C [a b] ′ γ ∈ CP [a b]
Observaci´on: Por ser γ ′ ∈ CP entonces γ(t) = C +
Z
b
γ ′ (s) ds
a
La terminolog´ıa usada con relaci´on a los caminos es la siguiente: γ(a) := Origen del camino o extremo inicial. γ(b) := Extremo final del camino. t := Par´ametro Tambi´en se suele expresar que γ es un camino que une los puntos origen γ(a) y el extremo γ(b). Desde el punto de vista geom´etrico γ(t) describe una trayectoria γ(I) (imagen de I) con las caracter´ısticas: I. γ ′ ∈ C c
∧
γ′ ∈ / C d
II. ∃ γ ′ (d+ ) ′
−
∃ γ (d )
γ ′ 6= 0
=⇒ ∃ puntos angulosos con dos tangentes
III. La trayectoria puede tener puntos m´ ultiples, es decir, para diferentes valores de t puede corresponderle el mismo par (x y). Ejemplo el punto m.
65
3.6. CURVAS EN EL CAMPO COMPLEJO. CAMINOS Y LAZOS
γ(a) b
b
b
c = γ(t0 )
m
b
|
|b
|
a
t0
b
b
γ(b)
d
Figura 3.6: Camino en el campo complejo.
Otra definici´on u ´ til para los desarrollos posteriores es: γ ∈ Camino contenido en D := γ ∈ Camino : γ(I) ⊂ D
3.6.3.
Lazo
Se dice que un camino es un lazo cuando los extremos son iguales: γ ∈ Lazo := γ ∈ Camino : γ(a) = γ(b) Es usual decir tambi´en que el lazo γ tiene origen en γ(a). γ(a) = γ(b)
b
b
|
|b
|
a
t0
b
γ(t0 )
Figura 3.7: Lazo en el campo complejo.
3.6.4.
Curva
Se llama curva a la imagen de γ, γ(I). No deben confundirse los conceptos de camino y curva, pues entre ambos existe la misma diferencia que entre funci´on e imagen de la funci´on. Puede haber varios caminos con la misma curva. Si un camino pasa varias veces por un mismo punto (para diferentes valores del par´ametro t), corresponden un s´olo elemento de la curva (un s´olo elemento de γ(I)).
CAP´ITULO 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CONTINUIDAD Y L´IMITE
66
Ejemplo: Los tres caminos cf1 :
[0 2π] −→ C
t 7−→ cos t + i sen t = eit
cf2 :
[0 2π] −→ C
t 7−→ e2it
cf2 :
[0 2π] −→ C
t 7−→ i eit
tienen por imagen a una misma curva, la circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1, |z| = 1. Sin embargo son caminos diferentes, basta para ellos comparar:
origen extremo no de vueltas sentido giro longitud
cf1 (1; 0) (1; 0) 1 + 2π
cf2 (1; 0) (1; 0) 2 + 2π
cf3 0; 1 0; 1 1 2π
Nota: Se ha designado con signo positivo al sentido de giro contrario al de las agujas del reloj y negativo al opuesto.
Observaci´on: La diferencia de las nociones de camino y curva es importante y debe ser tenida en cuenta en el c´alculo de integrales complejas. Caminos diferentes con igual imagen pueden dar resultados diferentes.
3.6.5.
Caminos opuestos y yuxtapuestos
Camino opuesto Un camino se llama opuesto de otro γ definido sobre I, y simbolizado por γ ∗ , a: γ: ∗ γ∗ : γ ∈ Camino opuesto de γ :=
I = [a b] −→ C
I = [a b] −→ C t 7−→ γ(a + b − t)
El origen y el extremo de γ ∗ son respectivamente γ(b) y γ(a). Desde el punto de vista geom´etrico, la curva que representa al camino γ y a su opuesto es la misma, pero “recorrida en sentido inverso”.
67
3.6. CURVAS EN EL CAMPO COMPLEJO. CAMINOS Y LAZOS
Caminos yuxtapuestos Un camino es la yuxtaposici´ on de otros dos γ1 y γ2 cuando al extremo del primero es el origen del segundo y se define de acuerdo a las condiciones siguientes. I1 = [a b] −→ C I1 = [c d] −→ C
γ1 : γ2 :
γ1 (b) = γ2 (c)
[a, b + d − c] −→ C
γ1 ∨ γ2 :
t 7−→ γ(t) =
(
t ∈ [a b]
γ1 (t) γ2 (t + c − b)
t ∈ [b, b + d − c]
γ1 ∨ γ2 := Camino yuxtaposici´on de γ1 y γ2 γ2 (d) b
γ1 (I1 )
b
γ1 (a)
γ2 (I2 ) b
γ1 (b) = γ2 (c) I1
I2
|
|
|
|
|
a
b
b+d−c
c
d
Figura 3.8: Caminos yuxtapuestos.
Se deduce inmediatamente de la definici´on que si γ := γ1 ∨ γ2 entonces se cumple γ(a) = γ1 (a) γ(b) = γ1 (b) = γ2 (c) γ(b + d − c) = γ2 (d) Un camino puede ser considerado como la yuxtaposici´on de otros dos, obtenidos dividiendo el intervalo de la siguiente manera: γ : [a b] −→ C ∀ c : a < c < b =⇒ γ = γ1 ∨ γ2 γ1 : [a c] −→ C γ2 : [c b] −→ C
Eligiendo un punto c de este modo, se puede considerar un lazo tambi´en como yuxtaposici´on de dos caminos, γ1 ∨ γ2 . El camino γ2 ∨ γ1 tambi´en es un lazo, pero de origen en el punto γ(c).
CAP´ITULO 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CONTINUIDAD Y L´IMITE
68
3.6.6.
Ejemplos de caminos
Algunos casos de inter´es particular son: Camino constante Se dice que un camino es constante si su imagen se reduce a un solo punto. γ ∈ Camino constante := γ(I) = {a} Arco de circunferencia unidad Esta funci´on es: cf (α) :
[0 1] −→ C
t 7−→ e2πiαt : α ∈ R
y es un camino cuya imagen es parte (o todo) de la circunferencia de radio unitario |z| = 1. Si α es entero no nulo, la imagen γ(I) es la circunferencia unidad recorrida α veces (ver ejemplo del p´arrafo 3.6.4). Si α = 0 la funci´on se reduce a un camino constante. Segmento El cl´asico segmento de recta se representa anal´ıticamente por: Sgm :
I = [a b] −→ C t 7−→ ct + d
:
c ∈ C, d ∈ C
Poligonal o l´ınea quebrada Toda yuxtaposici´on de segmentos se llama poligonal. a = a0 < a1 < · · · < an = b P = S1 ∨ S2 ∨ · · · ∨ Sn Sk : [ak−1 , ak ] −→ C P : I = [a b] −→ C : t 7−→ ck t + dk ck ak + dk = ck+1 ak+1 + dk+1
b
P (a)
b
P (b)
a |
a0
I1
k ∈ < 1, n >
I2 |
a1
b |
a2
Figura 3.9: Camino poligonal.
La u ´ ltima condici´on es la de yuxtaposici´on, pues Sk (ak ) = Sk+1 (ak ).
|
an
69
3.6. CURVAS EN EL CAMPO COMPLEJO. CAMINOS Y LAZOS
3.6.7.
Camino simple. Lazo simple
Un tipo de camino particularmente importante es el que se llamar´a camino simple o arco de Jordan. As´ı se designa a todo camino γ determinado por una funci´on inyectiva, esto significa geom´etricamente que no hay puntos m´ ultiples, hecha excepci´on de los extremos del camino. Si γ es un lazo y camino simple, se dice que es un lazo simple.
b
b b
b b
b
Camino simple
Caminos no simples
b b
Lazo simple
Lazos no simples
Figura 3.10: Ejemplos de caminos y lazos.
Anal´ıticamente: γ : I = [a b] −→ C γ ∈ Camino simple := ∀ (t s) ∈ I × I − {(a b)} =⇒ (γ(t) = γ(a) ⇔ t = a)
3.6.8.
Caminos equivalentes
Des caminos se dicen equivalentes cuando puede establecerse una biyecci´on creciente entre los respectivos intervalos de definici´on, de acuerdo con las condiciones γ1 : I1 = [a b] −→ C γ2 : I2 = [c d] −→ C ϕ ∈ biyectiva (γ1 γ2 ) ∈ Caminos equiv. := ϕ ∈ creciente ϕ ∈ C/I2 ∃ ϕ : I2 −→ I1 : ϕ′ ∈ CP/I2 γ2 (t) = γ1 (ϕ(t))
CAP´ITULO 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CONTINUIDAD Y L´IMITE
70
Los caminos equivalentes, tienen igual imagen, origen y extremo. γ1 (I) = γ2 (I) (γ1 γ2 ) ∈ Caminos equiv. =⇒ γ1 (a) = γ2 (c) γ1 (b) = γ2 (d)
Un camino γ2 :
t 7−→ γ1 (λt + µ) : λ > 0
es siempre equivalente al camino γ1 . Este resultado permite reducir todo camino a un equivalente con intervalo de definici´on I = [0 1].
3.7.
Conjuntos conexos
Un conjunto D de un espacio Rn se dice conexo, cuando todo par de puntos de D puede ser unido por un camino contenido en D. D ⊂ Rn γ(a) = x D ∈ Conexo := n ∀ (x y) ∈ D × D =⇒ ∃ γ : I = [a b] −→ R : γ(b) = y γ(I) ⊂ D En particular, el camino γ puede ser una poligonal.
Un c´ırculo en el plano complejo |z − a| < r (bola en el campo complejo) es conexo. Geom´etricamente algunos ejemplos son:
A E
B
C
D
F
Figura 3.11: Ejemplo de conjuntos conexos.
3.8. 3.8.1.
Figura 3.12: Ejemplo de conjuntos no conexos.
Homotop´ıa de caminos y lazos Homotop´ıa de caminos
La idea de homotop´ıa entre dos caminos significa intuitivamente que puede pasarse de uno a otro a trav´es de una deformaci´on continua.
3.8. HOMOTOP´IA DE CAMINOS Y LAZOS
71
Matem´aticamente puede definirse:
(γ1 γ2 ) ∈ h(D ϕ) :=
D ∈ abierto D⊂C γ1 : I = [a b] −→ C : γ2 : I = [a b] −→ C :
∃ ϕ : I × J −→ D :
γ1 (I) ⊂ D γ2 (I) ⊂ D
J = [c d] ϕ ∈ C/I × J ϕ(t c) = γ1 (t) ϕ(t d) = γ2 (t)
(γ1 γ2 ) ∈ h(D ϕ) := γ1 y γ2 son caminos hom´otopos en D por la homotop´ıa ϕ ϕ := Homotop´ıa de γ1 y γ2 en D
b
γ1 (I)
b
b
b
b
γ2 (I) b
b
b
b
b
Figura 3.13: Homotop´ıa de los caminos γ1 y γ2 en D
Observaci´on: Se destacan algunas particularidades de la definici´on de caminos hom´otopos: γ1 y γ2 est´an definidos sobre el mismo intervalo I. ϕ es continua respecto de dos variables, (t s) ∈ I × J. No se exigen condiciones de derivaci´on para ϕ salvo las impuestas a γ1 y γ2 .
3.8.2.
Homotop´ıa de lazos
Se llama homotop´ıa de lazos a aquella que para todo elemento de J da un lazo. Esto significa que todos los caminos de la homotop´ıa son lazos. (γ1 γ2 ) ∈ h⊙ (D ϕ) := (γ1 γ2 ) ∈ h(D ϕ) : ∀ s ∈ J =⇒ ϕ(a s) = ϕ(b s) (γ1 γ2 ) ∈ h⊙ (D ϕ) := γ1 y γ2 son hom´ otopos por la homotop´ıa de lazos ϕ en el conjunto D.
CAP´ITULO 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CONTINUIDAD Y L´IMITE
72
Observaci´on: Si D ⊂ D′ puede no existir homotop´ıa en D, pero si en D′ . Tanto la homotop´ıa de caminos como la de lazos son relaciones de equivalencia. Su verificaci´on es inmediata
γ1 (I)
γ2 (I)
Figura 3.14: Homotop´ıa de los lazos γ1 y γ2 .
3.8.3.
Homotop´ıa a un punto
Se dice que un lazo es hom´ otopo a un punto en D si existe una homotop´ıa de lazos ϕ de dicho lazo al lazo constante (cuya imagen es un punto). (γ1 γ2 ) ∈ h• (D ϕ) := (γ1 γ2 ) ∈ h⊙ (D ϕ) : γ2 (I) = {P }
3.9. 3.9.1.
Clasificaci´ on de conjuntos conexos en C Conjuntos simplemente conexos
Un conjunto D del plano complejo, abierto y conexo se dice que es simplemente conexo cuando todo lazo contenido en ´el es hom´otopo a un punto. Es decir, sobre D existe una sola clase de equivalencia de homotop´ıa de lazos, que adem´as es homotop´ıa a un punto. En forma intuitiva, el conjunto simplemente conexo es aquel que no tiene “agujeros”.
b
Una propiedad de estos conjuntos que puede ser empleada para definirlos es: D ∈ Abierto y conexo
ˆ ∈ Conexo D ∈ Simplemente conexo =⇒ C ⊙ (D/C)
3.9.2.
Figura 3.15: Conjunto simplemente conexo.
Conjuntos m´ ultiplemente conexos
Un conjunto se llama m´ ultiplemente conexo cuando no es simplemente conexo.
´ DE CONJUNTOS CONEXOS EN C 3.9. CLASIFICACION
73
Desde el punto de vista intuitivo significa que tiene uno o m´as “agujeros”. Ejemplos: Un anillo en el campo complejo. Una bola en el campo complejo sin su centro. Figura 3.16: Conjunto m´ ultiplemente conexo.
La definici´on de conjuntos m´ ultiplemente conexos es el contrario l´ogico de la definici´on de simplemente conexo. Esto quiere decir que tiene que haber m´as de una clase de equivalencia de lazos hom´otopos. Tal observaci´on permitir´a una clasificaci´on de los conjuntos m´ ultiplemente conexos. Otro m´etodo para ello es por medio de cortaduras, que se ver´ a a continuaci´on.
3.9.3.
Cortadura
Se llama cortadura en un conjunto abierto y conexo, a la exclusi´on del mismo de un camino simple (arco de Jordan) cuyos puntos deben ser todos interiores con excepci´on de los extremos, que pueden no serlo. En otras palabras, como D es abierto, los puntos no extremos del camino deben ser de D.
γ ∈ Cortadura de D
3.9.4.
:=
γ : [a b] −→ C :
(
Figura 3.17: Ejemplos de cortadura.
γ ∈ Camino simple ∀ t ∈ (a b) =⇒ γ(t) ∈ IN T (D)
Grado de multiplicidad
Se llama grado de multiplicidad de un conjunto m´ ultiplemente conexo a la m´ınima cantidad de cortaduras que deben hacerse para transformarlo en simplemente conexo. El grado de multiplicidad tambi´en es llamado orden de conexi´ on. La cantidad de clases de lazos hom´otopos est´a relacionada con el grado de multiplicidad.
Figura 3.18: Conjunto con grado de multiplicidad=3
CAP´ITULO 3. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. CONTINUIDAD Y L´IMITE
74
En efecto, q = 2n q := Cantidad de clases de lazos hom´otopos n := Grado de multiplicidad de conexi´on Esta relaci´on puede usarse para definir el grado de multiplicidad sin introducir el concepto de cortadura. Observaci´on: Algunos textos definen como orden de conexi´on a n − 1. Intuitivamente, el grado de multiplicidad representa la cantidad de “agujeros”que tiene un conjunto m´ ultiplemente conexo.
Cap´ıtulo 4
Derivaci´ on en el Campo Complejo 4.1.
Derivaci´ on
Dada una funci´on de variable compleja, ( D⊂C f : D −→ R : R⊂C se define como derivada de la funci´on f en un punto a del dominio D, simbolizada por f ′ (a), a: f ′ (a) :=
l´ım
∆z→0
f (a + ∆z) − f (a) ∆z
f ′ (a) := Derivada de f en el punto a Cuando existe la derivada, es decir el l´ımite del cociente incremental, se suele decir que la funci´ on f es derivable en el punto: f ∈ DER/a := ∃ f ′ (a) f ∈ DER/a := La funci´on f es derivable en el punto a Observaci´on: La definici´on anterior de derivada es formalmente igual a la de funci´on de una variable real. Sin embargo, a pesar de que se aprovechar´ a la semejanza formal para extraer conclusiones sobre algunas propiedades de la derivada de las funciones de variable compleja, no debe caerse en un an´alisis superficial.
γ
D
b
∆z a b
V (a) V (a) ∩ D
Figura 4.1: Incremento de z a trav´es de un camino γ.
La definici´on de derivada para variable compleja lleva impl´ıcito que el l´ımite es doble, es decir, el incremento ∆z debe tomarse sobre todo un vecinal V (a) en su intersecci´on con el dominio.
75
´ EN EL CAMPO COMPLEJO CAP´ITULO 4. DERIVACION
76
Por lo tanto si se incrementa z sobre un camino cualquiera γ, el l´ımite del cociente incremental es constante. En particular, el l´ımite del cociente incremental es el mismo (e igual a la derivada en el punto) a lo largo de cualquier recta que pase por a. Esta es una condici´on necesaria pero no suficiente, como se verifica en la funci´on, 3 2 2 x y +i x y z 6= 0 4 2 4 x + y2 f : z 7−→ f (z) = x + y 0 z=0
que tiene derivada nula en el origen seg´ un cualquier direcci´on, pero no por un camino parab´olico y = kx2 , y entonces se asegura que no es derivable en modo complejo.
4.2.
Diferencial
Se dice que una funci´on de variable compleja f es diferenciable cuando su incremento ∆f puede escribirse: ( A∈C f ∈ DIF/a := ∆f = A ∆z + δ(∆z)∆z : δ(∆z) −−−−→ 0 ∆z→0
f ∈ DIF/a
:=
La funci´on f es diferenciable en el punto a
La definici´on de diferenciabilidad significa que el incremento de una funci´on puede escribirse como la suma de: Producto de una constante A por el incremento de la variable z. Producto de un infinit´esimo δ(∆z) por el incremento de la variable z. y por lo tanto la diferenciabilidad asegura la aproximaci´on lineal de la funci´on f . Esta es la importancia del diferencial, que se define como df := A ∆z df := Diferencial de f Observaci´on: La definici´on de diferenciabilidad de THOMAE para funciones de varias variables reales, particularizando el ejemplo a dos dimensiones, es: u:
D −→ R
(x y) 7−→ u(x y) : D ⊂ C
u ∈ DIF/(a b)
u ∈ DIF/(a b)
:=
:=
∆u = A ∆x + B ∆y + δ1 ∆x + δ2 ∆y :
A∈R B∈R δ1 −−−−→ 0 ∆z→0
δ2 −−−−→ 0
La funci´on u es diferenciable en el punto (a b)
∆z→0
77
4.2. DIFERENCIAL
Este enunciado pone en evidencia que la diferenciabilidad asegura la aproximaci´on lineal de la funci´ on u. Desde el punto de vista geom´etrico, dicha aproximaci´on lineal se materializa en la existencia de plano tangente para varias variables y recta tangente para una. La derivabilidad en variable real significa geom´etricamente que existe la tangente en una sola direcci´ on, mientras que el diferencial asegura la existencia de todas las tangentes (en las direcciones donde puede incrementarse) y adem´as ligadas todas entre s´ı, por pertenecer a un mismo plano. Por esta raz´on, el segundo concepto tiene mucha m´as importancia que el primero. Las propiedades que se enuncian a continuaci´on marcan algunas de las diferencias existentes entre ambos conceptos. Teorema 4.2.1. f ∈ DIF/P =⇒ f ∈ C/P Demostraci´ on. La demostraci´on es inmediata aplicando la definici´on de diferencial. La derivabilidad no arrastra la continuidad. Pueden existir funciones diferenciables no derivables (sin derivadas parciales) y tambi´en funciones derivables, a´ un en todas las direcciones sin ser diferenciables. y
El primer caso se presenta cuando el dominio de la funci´on est´a restringido, y no puede incrementarse en la direcci´on de los ejes, sin embargo en todas las dem´as direcciones las tangentes definen un plano. Este caso s´olo puede presentarse en puntos de frontera.
∆y
P
z
D
∆x
x
Figura 4.2: Dominio restringido de una funci´ on de variable compleja.
El segundo caso es aquel en el cual las tangentes no est´an en un plano, por ejemplo en el v´ertice de un cono. Si se obvian los problemas de frontera, la diferenciabilidad implica la derivabilidad. Esta es la raz´ on por la cual se postula que el punto P es interior y se trabaja con conjuntos abiertos m´as adelante. (a b) ∈ Pt. interior de D ( A = fx′ f ∈ DIF/(a b) =⇒ B = fy′ No es cierto que una funci´on de varias variables reales, continua y derivable sea diferenciable. Basta analizar el caso del v´ertice del cono. Pero si es v´alido, ) fx′ ∈ C =⇒ f ∈ DIF fy′ ∈ C
´ EN EL CAMPO COMPLEJO CAP´ITULO 4. DERIVACION
78
es decir, si una funci´on admite derivadas continuas es diferenciable (en rigor es suficiente la continuidad de una sola derivada y la existencia de ambas). En funciones de una variable real, el concepto de derivada y diferencial se confunden, porque hay una sola tangente. Lo mismo se produce en funciones de variable compleja como se ver´a a continuaci´ on, pero debe tenerse en cuenta que son conceptos diferentes. En resumen, para un punto interior del dominio: recta tg ⇔ f ∈ DIF ⇔ f ∈ DER plano tg ⇔ f ∈ DIF ⇒ f ∈ DER f ∈ DIF ⇔ f ∈ DER
func. 1 var. real func. n var. reales (n 6= 2) func. var. compleja
4.3.
Relaci´ on entre derivada y diferencial. Existencia
Teorema 4.3.1. Dada una funci´ on de variable compleja f , condici´ on necesaria y suficiente de derivabilidad es la diferenciabilidad. f ∈ DER/a ⇐⇒ f ∈ DIF/a Demostraci´ on. Se demuestra la condici´ on suficiente: ∆f − f ′ (a) = δ(∆z) ∆z ) |δ(∆z)| < ǫ =⇒ ∆f = f ′ (a)∆z + δ(∆z)∆z f ′ (a) ∈ C con lo cual se cumple la definici´on de diferencial. La condici´on necesaria: ∆f = A∆z + δ(∆z)∆z
:
(
A∈C δ −−−−→ 0 ∆z→0
∆f − A −−−−→ 0 ∆z→0 ∆z Por lo tanto existe derivada, que adem´ as es igual a la constante A f ′ (a) = A
Observaci´on 1: En la demostraci´on anterior no es necesario que el punto a sea interior al dominio D. Condici´on necesaria y suficiente de diferenciabilidad es que las funciones u y v (parte real e imaginaria de f ) sean diferenciables y que se verifiquen las igualdades siguientes: ( ux = vy uy = −vx
´ ENTRE DERIVADA Y DIFERENCIAL. EXISTENCIA 4.3. RELACION
79
llamadas com´ unmente de Cauchy-Riemann. En este caso es necesario que se asegure la posibilidad de incrementar la funci´on en direcciones paralelas al eje x y al eje y. Seg´ un la observaci´on realizada en 4.2 es condici´on suficiente que el punto sea interior a D. Esto da paso al siguiente teorema: Teorema 4.3.2.
f ∈ DIF/c ⇐⇒
u ∈ DIF/c v ∈ DIF/c ux = vy uy = −vx
Demostraci´ on. Por ser f ∈ DIF y tomando A = a + ib: ∆f = A ∆z + δ∆z ⇐⇒
⇐⇒ ∆u + i∆v = (a + ib)(∆x + i∆y) + (δ1 + iδ2 )(∆x + i∆y) ( ∆u = a∆x − b∆y + δ1 ∆x − δ2 ∆y ⇐⇒ ∆v = b∆x + a∆y + δ2 ∆x + δ1 ∆y u ∈ DIF/c v ∈ DIF/c ⇐⇒ a = ux = vy b = vx = −uy
Esta condici´ on es necesaria y suficiente como resulta de observar la doble implicaci´on entre todas las proposiciones. Este teorema demuestra entonces que la diferenciabilidad (o derivabilidad) de f no s´olo implica la diferenciabilidad de u y de v sino adem´as una estrecha relaci´on entre ellas dada por las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Observaci´on 2: Las condiciones que ligan las derivadas de la parte real e imaginaria de una funci´on compleja, son llamadas tradicionalmente de Cauchy-Riemann pero son originalmente de D’Alembert-Euler. Es interesante interpretar el significado de las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Ellas representan la igualdad de los l´ımites de los cocientes incrementales seg´ un caminos rectos paralelos a los ejes coordenados. γ2
En efecto, seg´ un la observaci´on hecha en el p´arrafo 4.1, una funci´on compleja que es derivable (diferenciable) implica que el l´ımite del cociente incremental sobre las infinitas rectas que pasan por el punto, es invariable.
∆y
a
b
∆x
γ1
Figura 4.3: Incremento de una funci´ on a trav´es de caminos rectos paralelos a los ejes.
´ EN EL CAMPO COMPLEJO CAP´ITULO 4. DERIVACION
80
En particular, seg´ un los dos caminos γ1 , γ2 paralelos a los ejes: ∆f ∆u + i∆v = ∆z ∆x + i∆y γ1 { ∆y = 0 γ2 { ∆x = 0
∆f ∆u + i∆v = −−−−→ ux + ivx = fx′ = f ′ (a) ∆x→0 ∆z γ1 ∆x ∆f ∆u + i∆v 1 = −−−−→ (uy + ivy ) = fy′ = f ′ (a) ∆y→0 i ∆z γ2 i ∆y
De la igualdad de estas dos derivadas direccionales, resulta: (
ux vx
= vy = −uy
Las condiciones de Cauchy-Riemann son entonces necesarias pero no suficientes. Sin embargo, si se agrega la hip´otesis de continuidad de las derivadas parciales de u y de v de acuerdo a la observaci´on del p´arrafo 4.2, entonces u y v son diferenciables, y por lo tanto: ux = vy vx = −uy =⇒ f ∈ DIF ux ∈ C Observaci´on 3: De acuerdo a lo mencionado en 4.2 es suficiente la continuidad de una sola derivada parcial.
4.4.
Derivaci´ on y continuidad
Teorema 4.4.1. Toda funci´ on de variable compleja f derivable, es continua. f ∈ DER/a =⇒ f ∈ C/a Demostraci´ on. La demostraci´on es consecuencia inmediata de la diferenciabilidad. f ∈ DER =⇒ |∆f | < |A ∆z| + |δ ∆z|
Este teorema es semejante al de una variable real. Para funciones de varias variables reales no es cierto. La diferenciabilidad en todos los casos, funciones de uno o varias variables reales y complejas, implica la continuidad.
4.5.
Funciones mon´ ogenas y holomorfas
Todas las propiedades y conceptos desarrollados hasta el momento son de car´acter local o puntual. Para entender el an´alisis diferencial a conjunto conviene precisar nuevas definiciones.
´ 4.5. FUNCIONES MONOGENAS Y HOLOMORFAS
81
Las funciones derivables en un punto y en un entorno del mismo tienen especial inter´es en la teor´ıa de las funciones potenciales y en la teor´ıa de integrales complejas de Cauchy. Se dice que una funci´on es mon´ ogena en un punto a si tiene derivada en ese punto. La monogeneidad es sin´onimo de derivabilidad. f ∈ mon´ogena/a := f ∈ DER/a Se dice que una funci´on de variable compleja es holomorfa si tiene derivada en todos los puntos de un entorno de a. f ∈ H/a := ∃ U (a) : ∀ z ∈ U (a) =⇒ f ∈ DER/z f ∈ H/a := f es holomorfa en el punto a A partir de las definiciones es evidente que: f ∈ H/a =⇒ f ∈ mon´ogena/a Hay funciones que son mon´ogenas pero no holomorfas Ejemplo I f:
C −→ C
z 7−→ |z|2 = x2 + y 2 ) u = x2 + y 2 son diferenciables pero las condiciones de Cauchy-Riemann s´olo valen para z = (0 0) pues: v=0 ux = 2x uy = 2y
vx = 0 vy = 0
Ejemplo II f:
C −→ C
z− 7 → x2 + iy 2 ) u = x2 son diferenciables y las condiciones de Cauchy-Riemann s´olo valen para v = y 2 la recta y = x porque: ux = 2x uy = 0 vx = 0
vy = 2y
Una funci´on f es mon´ogena sobre un conjunto D cuando es mon´ogena en todos sus puntos. f ∈ M ON/D := ∀ z ∈ D =⇒ f ∈ mon´ ogena/z f ∈ M ON/D := f es mon´ogena sobre el conjunto D Una funci´on f es holomorfa sobre un conjunto D cuando es holomorfa en todos sus puntos. f ∈ H/D := ∀ z ∈ D =⇒ f ∈ H/z Observaci´on 1: La monogeneidad sobre un conjunto D exige la derivabilidad sobre cada uno de sus puntos, incluso los frontera que pertenecen a ´el.
´ EN EL CAMPO COMPLEJO CAP´ITULO 4. DERIVACION
82
Para los abiertos ambos conceptos coinciden. Observaci´on 2: Muchos autores no diferencian los conceptos de monogeneidad y holomorf´ıa. En otros textos se confunde holomorf´ıa con analiticidad. Se llama funci´ on anal´ıtica a la desarrollable en serie de Taylor. Es claro que en principio las funciones anal´ıticas son conceptos diferentes de las funciones holomorfas. Sin embargo, uno de los grandes resultados de Cauchy fue probar la equivalencia de los conceptos de holomorf´ıa y analiticidad sobre conjuntos abiertos y conexos en el campo complejo. Observaci´on 3: El origen de la palabra mon´ogena hace referencia a la propiedad que todas las derivadas direccionales son iguales (mono=uno, gena=generada). La palabra holomorfa significa “de forma entera”, en contraposici´on de las funciones meromorfas, que se estudiar´an m´as adelante. Sin´onimo de holomorfa es regular. Se dice tambi´en que una funci´on de variable compleja tiene un punto singular, cuando en ´el no es holomorfa.
4.6.
Reglas de derivaci´ on
Como la definici´on de derivada para las funciones complejas es formalmente igual a la de funciones de una variable real, se implica que las reglas de la suma, multiplicaci´on, divisi´on (denominador no nulo), funci´on de funci´on, funci´on inversa, etc. se extienden en forma an´aloga al campo complejo. Por lo tanto, la suma, diferencia, producto o cociente (excepto el caso de denominador nulo) de funciones holomorfas sobre un abierto es tambi´en holomorfo. En particular, los polinomios son holomorfos sobre todo el plano. Las funciones racionales, sobre todo su dominio, es decir el conjunto complementario de los ceros del denominador.
4.7. 4.7.1.
Holomorf´ıa y ecuaci´ on de Laplace Las componentes de una funci´ on holomorfa como funciones arm´ onicas
Sea f una funci´on holomorfa en un punto a, si se hace la hip´otesis suplementaria de la existencia y continuidad de las derivadas segundas de la parte real e imaginaria de f en el entorno de a (las funciones reales u y v respectivamente), entonces se verifica: ( uxx + uyy = 0 vxx + vyy = 0 es decir, tanto u como v satisfacen la ecuaci´on de Laplace. La ecuaci´on de Laplace es la que aparece en el estudio de los potenciales gravitatorios, el´ectricos, magn´eticos, de velocidades en fluidos, de la transmisi´on del calor (r´egimen estacionario), etc. Esta relaci´on permite vislumbrar, la importancia de las funciones holomorfas en el an´alisis de problemas bidimensionales de potencial.
´ DE LAPLACE 4.7. HOLOMORF´IA Y ECUACION
83
Observaci´on 1: Los an´alisis realizados hasta el momento son de car´acter puntual, pues han requerido solamente de la hip´otesis de la monogeneidad de la funci´on en un punto. Sin embargo, para el estudio de las relaciones existentes entre las componentes de una funci´on compleja y las funciones que satisfacen la ecuaci´on de Laplace, es necesario imponer condiciones de derivabilidad en el punto y tambi´en en su entorno. Esto es, porque en primer lugar, para la existencia de las derivadas segundas en el punto es necesario que ux y uy puedan ser incrementadas en el entorno del punto. En segundo lugar, porque como se ver´a es fundamental en la teor´ıa de Cauchy, a trav´es de la introducci´on de la integral curvil´ınea en el campo complejo, el uso de conjuntos abiertos y conexos. Entre otras propiedades de las funciones derivables sobre tales conjuntos (abiertos y conexos) se destaca su desarrollabilidad en series de Taylor (analiticidad). De aqu´ı la importancia del concepto de holomorf´ıa. Observaci´on 2: La hip´otesis de continuidad de las derivadas segundas de u y v (o de alguna de ellas) hecha al comienzo del p´arrafo es superflua, porque como se demostrar´a en el pr´oximo cap´ıtulo, toda funci´ on holomorfa tiene derivadas de todos los ´ordenes. Para llegar a este resultado, que una funci´ on holomorfa tiene derivadas de cualquier orden, y por ende continuas, no se usa en absoluto los desarrollos que siguen en este p´arrafo. Por lo tanto, no se entra en un c´ırculo vicioso, si se obvia la continuidad de las derivadas segundas en el siguiente teorema: Teorema 4.7.1. f ∈ H/a ⇐⇒
(
∇2 u = 0 ∇2 v = 0
Demostraci´ on. Derivando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, la primera respecto de x y la segunda respecto de y, se obtiene: ( uxx = vyx uyy = −vxy sumando, teniendo en cuenta el teorema de Schwarz sobre la igualdad de las derivadas cruzadas, ∇2 u = 0 y an´alogamente ∇2 v = 0 Una funci´on real de dos variables, con derivadas parciales de segundo orden continuas, que satisface la ecuaci´on de Laplace, se llama arm´ onica. C −→ R u : uxx ∈ C/a u ∈ Arm´onica/a := (x y) 7−→ u(x y) : uyy ∈ C/a 2 ∇ u=0
´ EN EL CAMPO COMPLEJO CAP´ITULO 4. DERIVACION
84
Si una funci´on es arm´onica sobre todos los puntos de un conjunto D, se dice que es arm´onica en D. u ∈ Arm´onica/D := ∀ z ∈ D =⇒ u ∈ Arm´onica/z Si dos funciones reales u y v son arm´onicas y satisfacen en D las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces se dice que v es conjugada arm´ onica de u. u ∈ Arm´onica/D v ∈ Arm´onica/D (u v) ∈ Conjugadas arm´onicas/D := ( ux = vy uy = −vx
Teorema 4.7.2. Condici´ on necesaria y suficiente para que una funci´ on sea holomorfa sobre un conjunto D es que su parte real e imaginaria sean conjugadas arm´ onicas en D. f ∈ H/D ⇐⇒ (u v) ∈ Conjugadas Arm´ onicas/D Demostraci´ on. Que una funci´on holomorfa tiene partes real e imaginaria (u v) conjugadas arm´ onicas ya ha sido demostrado. Adem´as, si u y v son arm´onicas tienen derivadas primeras continuas ux , uy , vx , vy , que aseguran la diferenciabilidad de dichas funciones. Por lo tanto, de acuerdo al teorema 4.3.1, se implica que f es holomorfa. Es cierto entonces que las partes real e imaginaria de una funci´on holomorfa no pueden ser arbitrarias, llevan una estrecha relaci´on entre s´ı, establecido por el concepto de conjugadas arm´onicas.
4.7.2.
Propiedades de funciones conjugadas arm´ onicas
1o Conviene remarcar en primer t´ermino que si un par de funciones reales (u v) son conjugadas arm´ onicas, el par (v u) no lo es. (u v) ∈ Conjugadas arm´onicas/a =⇒ (v u) ∈ / Conjugadas arm´onicas/a es decir que no existe la simetr´ıa en la relaci´on de conjugadas arm´onicas y en la expresi´on “v es conjugada arm´onica de u”no debe trastocarse el orden de las funciones. Pero por otra parte s´ı se cumple el siguiente teorema: Teorema 4.7.3. (u v) ∈ Conjugadas arm´ onicas/a ⇐⇒ (−v u) ∈ Conjugadas arm´ onicas/a Demostraci´ on. La demostraci´on es inmediata, teniendo en cuenta que, f ∈ H/a ⇐⇒ if ∈ H/a (u + iv) ∈ H/a ⇐⇒ (−v + iu) ∈ H/a Otra demostraci´on es por verificaci´on directa de las condiciones de Cauchy-Riemann.
´ DE LAPLACE 4.7. HOLOMORF´IA Y ECUACION
85
2o Teorema 4.7.4. una funci´ on de variable compleja es constante si y s´ olo si su derivada compleja es nula, en un entorno de un punto. ) U (a) ⊂ D =⇒ ∀ z ∈ U (a) , f (z) = k ⇐⇒ f ′ (z) = 0 k∈C Demostraci´ on. La condici´on suficiente es inmediata, la condici´on necesaria se demuestra, ∀ z ∈ U (a) =⇒ f ′ (z) = 0 ( ux = 0 =⇒ uy = 0 Aplicando el teorema del valor medio ∆u = ux (a + ξ ∆z)∆x + uy (a + ξ ∆z)∆y
ξ ∈ [0 1]
El complejo a + ξ ∆z pertenece al entorno de a, y como en todo punto de dicho entorno las derivadas parciales se anulan, resulta: ∆u = 0 =⇒ u = k1
k1 ∈ R
an´alogamente, v = k2
k2 ∈ R
luego, f (z) = k = k1 + ik2
Es claro entonces que la conjugada arm´onica de una constante es otra constante, arbitraria. 3o Teorema 4.7.5. La funci´ on v, conjugada arm´ onica de u, es u ´nica salvo constante. ) ∃ v : (u v) ∈ Conj. arm./D =⇒ v − V = k k∈C ∃V : (u V ) ∈ Conj. arm./D Demostraci´ on. Por definici´on de conjugadas arm´onicas: ( ux = vy = Vy −uy = vx = Vx De acuerdo con el teorema 4.7.4, v−V =k
k∈C
´ EN EL CAMPO COMPLEJO CAP´ITULO 4. DERIVACION
86
4o Teorema 4.7.6. Una funci´ on holomorfa f , cuyas partes real e imaginara son respectivamente u y v, con derivada no nula, asegura que las familias (
u(x y) = k1 v(x y) = k2
son trayectorias ortogonales entre s´ı.
f (z) = u + iv ∈ H/a f ′ (z) 6= 0
)
=⇒ (u(x y) = k1 , v(x y) = k2 ) ∈ Trayectorias ortogonales
Demostraci´ on. Basta verificar que a partir de las ecuaciones de Cauchy-Riemann: ∇u • ∇v = ux vx + uy vy = 0 Expresi´on que demuestra la ortogonalidad salvo en el caso de derivada nula1 .
Por lo tanto, si una funci´on arm´onica v es conjugada arm´onica de otra u, en los campos vectoriales ∇u, ∇v, las l´ıneas equipotenciales de uno son l´ıneas de campo del otro y viceversa. Ejemplo f:
C −→ C
z 7−→ z 2 = x2 − y 2 + i2xy
Entonces, son trayectorias ortogonales:
(
1 El
u = x2 − y 2 = k1 v = 2xy = k2
s´ımbolo • se utiliza para representar el producto interno entre vectores
´ DE LAPLACE 4.7. HOLOMORF´IA Y ECUACION
y
87
v
z
x
w
u
Figura 4.4: Trayectorias ortogonales de un par de funciones conjugadas arm´ onicas
En el gr´afico se han representado las dos familias que son ortogonales entre s´ı, salvo en z = 0. Este an´alisis est´a relacionado con las propiedades de las funciones complejas mencionado en 3.2 (ver ejemplo) y se explicar´a en detalle en el estudio de la representaci´on conforme en 4.9.
4.7.3.
Obtenci´ on de la conjugada arm´ onica de una funci´ on en el entorno de un punto
Un problema que se plantea es, dado un u (funci´on real de dos variables y arm´onica sobre un determinado conjunto), hallar otra funci´on v que sea conjugada arm´onica de u. Este problema, como veremos, siempre tiene soluci´on sobre conjuntos abiertos conexos. Adem´as, la soluci´on es u ´ nica (salvo constante) para el entorno de un punto, como se desprende del teorema 4.7.5. Este resultado se puede generalizar tambi´en para conjuntos simplemente conexos. Con esta conclusi´on se puede aseverar que cualquiera sea el m´etodo empleado para obtener la conjugada arm´onica, ´esta solo puede diferir en una constante. El problema planteado, de hallar la conjugada arm´onica de una funci´on u, es equivalente a cualquiera de estos planteos: a. Hallar una funci´on potencial v, conocido su gradiente, ∇v = (vx , vy ) = (−uy , ux ) b. Hallar la familia de funciones ortogonales de la familia u(x y) = k Estos problemas significan, en todos los casos, resolver la ecuaci´on diferencial exacta dv = vx dx + vy dy que de acuerdo a las condiciones de Cauchy-Riemann, se transforma en: dv = −uy dx + ux dy
´ EN EL CAMPO COMPLEJO CAP´ITULO 4. DERIVACION
88
Para la resoluci´on de esta ecuaci´on diferencial, pueden encararse diferentes m´etodos que se desarrollan a continuaci´on. Primer m´ etodo Con este m´etodo se resuelve la ecuaci´on diferencial en forma general, expresando v como integral curvil´ınea a lo largo de un camino contenido en un conjunto D, para el cual u es arm´onica. Este an´alisis, se reduce en primer lugar al caso de que D sea una bola en el campo complejo, pudiendo extenderse sin dificultad a conjuntos simplemente conexos y abiertos. El caso de conjuntos m´ ultiplemente conexos se estudiar´a una vez analizada la integral en el campo complejo, sobre las cuales v puede no ser u ´ nica. Sea una bola B(c r) del plano complejo, sobre la cual u es arm´onica, entonces, existe una funci´ on de variable real que es conjugada arm´onica de u. En primer t´ermino conviene investigar, por medio de una discusi´on heur´ıstica, las caracter´ısticas que puede tener v; suponiendo que exista. Partiendo de las condiciones de Cauchy-Riemann ( ux = vy uy = −vx Partiendo de la primera de ellas e integrando respecto de y: Z y v(x y) = vy (x t) dt + ϕ(x) b Z y = ux (x t) dt + ϕ(x) b
donde b es un n´ umero real, de manera tal que (x b) ∈ B y ϕ es una funci´on de x que hace las veces de constante de integraci´on. Derivando bajo el signo integral, posible porque las derivadas primera y segunda de u son continuas al ser arm´onica, a efectos de aplicar la segunda condici´on de Cauchy-Riemann: Z y vx (x y) = uxx (x t) dt + ϕ′ (x) b
recordando adem´as que uyy = −uxx −uy (x y) = −
Z
y
uyy (x t) dt + ϕ′ (x)
b
= −uy (x y) + uy (x b) + ϕ′ (x) Por lo tanto ϕ′ (x) = −ux (x b) Z x ϕ(x) = −uy (t b) dt + C a
´ DE LAPLACE 4.7. HOLOMORF´IA Y ECUACION
89
donde a es un real tal que (a b) ∈ B y C es una constante de integraci´on. Se llega entonces a: Z y Z x v(x y) = −uy (t b) dt + ux (x t) dt + C a
b
Esta es la soluci´on del problema de hallar la funci´on v, conjugada arm´onica de u, sobre B(c r). La integral obtenida, puede ser considerada como una integral curvil´ınea a lo largo del camino γ (poligonal) contenido en B: Z v(x y) = −uy dx + ux dy
(x y)
r
γ
b
b
γ
c
que es tambi´en la circulaci´on del vector b
∇v = (vx , vy ) = (−uy , ux )
(a b) B(c r)
a lo largo de dicha poligonal Z v(x y) = (−uy , ux ) • dγ
Figura 4.5: Integraci´ on a trav´es de un camino poligonal.
dγ = (dx, dy)
γ
Este estudio de orientaci´on permite justificar la definici´ on de una funci´on v(x y) como la integral curvil´ınea anterior, y a partir de all´ı probar que sobre una bola del campo complejo, v es conjugada arm´onica de u(x y) y por lo tanto existe y es u ´ nica, de acuerdo a 4.7.5 (salvo constante). Esta proposici´ on se demuestra a continuaci´on. Teorema 4.7.7. u ∈ Arm´ onica/B(c r) γ ∈ Poligonal contenida en B =⇒ (u v) ∈ Conjugadas arm´ onicas/B Z x Z y v(x y) := −uy (t b) dt + ux (x t) dt a
b
Demostraci´ on. Derivando v respecto de y: vy (x y) = ux (x y) y tambi´en respecto de x vx (x y) = −uy (x b) + = −uy (x b) +
Z
b
Z
b
y
uxx (x t) dt y
−uyy (x t) dt
= −uy (x b) − uy (x y) + uy (x b) = −uy (x y)
por lo tanto, se cumplen las dos condiciones de Cauchy-Riemann y siendo las derivadas de v continuas, el par (u v) son conjugadas arm´onicas. Este resultado puede generalizarse extendiendo la validez de v como integral curvil´ınea a lo largo de un camino gen´erico γ contenido en conjuntos abiertos y simplemente conexos.
´ EN EL CAMPO COMPLEJO CAP´ITULO 4. DERIVACION
90
Para ello basta recordar que una integral curvil´ınea no depende del camino sino solamente de los extremos cuando: D ∈ Abierto y simplemente conexo ( γ(a) = A Z γ ∈ Camino contenido en D : =⇒ ∃ V (x y) : P dx + Q dy = V (B) − V (A) γ(b) = B γ Px , Py , Qx , Qy ∈ C Py = Qx b
B
D
γ
Esto significa que existe una funci´on potencial V (x y). Es esencial que D sea simplemente conexo, pues en caso contrario no puede asegurarse la independencia del camino.
b
A
Figura 4.6: Reemplazo de un camino γ por otro poligonal.
Aplicando este teorema a nuestro caso, se obtiene: Teorema 4.7.8. D ∈ Abierto y simplemente conexo γ ∈ Camino contenido en D u ∈ Arm´ onica/D Z v(x y) := −uy dx + ux dy
γ
=⇒ (u v) ∈ Conjugadas arm´ onicas/D
Demostraci´ on. En primer t´ermino se cumplen las hip´otesis del teorema anterior, pues: ( uxx , uxy , uyx , uyy ∈ C/D u ∈ Arm´onica/D =⇒ −uyy = uxx y entonces, como la integral curvil´ınea es independiente del camino γ, puede elegirse una poligonal P tal como lo muestra la figura 4.6. La poligonal formada por un n´ umero finito de segmentos paralelos a los ejes existe siempre porque, por hip´otesis, D es abierto y conexo, y γ es cerrado y acotado (compacto). Z Z D ∈ Ab. Conexo =⇒ ∃P : = γ
P
A partir de aqu´ı puede aplicarse el resultado anterior del estudio sobre una bola (u v) ∈ Conjugadas arm´onicas/D Este an´alisis se retomar´a una vez estudiada la integral en el campo complejo. En particular se estudiar´a el caso de los conjuntos m´ ultiplemente conexos.
´ DE LAPLACE 4.7. HOLOMORF´IA Y ECUACION
91
Segundo m´ etodo Conociendo el resultado del m´etodo anterior, que asegura la existencia de v, conjugada arm´onica de u, sobre un conjunto abierto y simplemente conexo, puede aplicarse el procedimiento visto al comienzo del p´arrafo anterior. Este m´etodo, que suele convenir en la resoluci´on de ejercicios, consiste en resolver el sistema de ecuaciones diferenciales: uy = −vx
ux = vy
por c´alculo de primitivas (integraci´on indefinida), por ejemplo: Z v(x y) = ux dy + ϕ(x) derivando ∂ vx = −uy = ∂x
Z
ux dy + ϕ′ (x)
de donde puede despejarse ϕ′ (x), y por lo tanto calcular ϕ(x) y v(x y) Z ∂ ϕ′ (x) = −uy − ux dy ∂x o tambi´en, de acuerdo a lo visto en el primer m´etodo: ϕ′ (x) = −uy (x b) Llegando al resultado final: Z v(x y) = ux (x y) dy + ϕ(x) Z Z v(x y) = ux (x y) dy + −uy (x b) dx Tercer m´ etodo. Milne-Thomson. El m´etodo de Milne-Thomson permite resolver en forma elegante y directa casos que con los m´etodos anteriores son dificultosos. La demostraci´on es una modificaci´on de la original, y no es simple, pero la aplicaci´on del m´etodo, como se ver´a, es muy sencilla. Como hip´otesis se toma un conjunto abierto y simplemente conexo, que contenga el origen (0 0), para simplificar. Si no lo contuviera, el problema se reduce al primero con una traslaci´on. Teorema 4.7.9 (Milne-Thomson). D ∈ Abierto y simplemente conexo (0 0) ∈ D U (x y) ∈ Arm´ onica/D U (x) = l´ım U (x y) y→0 Z V (x) = l´ım Uy (x y) dx y→0
=⇒
(
U (z) + iV (z) ∈ H/D (U, V ) ∈ Conjugadas arm´ onicas/D
´ EN EL CAMPO COMPLEJO CAP´ITULO 4. DERIVACION
92
Demostraci´ on. En base al estudio realizado para el primer m´etodo se asegura que sobre D existe conjugada arm´onica de u, que se llamar´a v. De acuerdo entonces al teorema 4.7.1, u + iv es holomorfa sobre D. ∃ f (z) = u + iv : f ∈ H/D un primer paso de la demostraci´on es el siguiente lema: Una funci´ on f de imagen f (z) tiende a f (x) para y → 0. Esto significa que el l´ımite para y → 0 se obtiene reemplazando formalmente x por z. Si f es holomorfa en el entorno de (0 0) se asegura la existencia de dicho l´ımite. f (z) = f (x + iy) −−−→ f (x) y→0
Viceversa, este resultado dice que si se conoce f (x) puede obtenerse f (z) reemplazando formalmente x por z. ( sen x −→ sen z Ejemplos: ex −→ ez El l´ımite para y → 0 adquiere entonces, para el caso de una funci´on holomorfa, la siguiente forma: f (x + iy) = u(x y) + i v(x y) y→0
U (x)
=
f (x)
y→0
+
i V (x)
Donde U (x) y V (x) representan respectivamente los l´ımites de u(x y) y de v(x y) que existen por la continuidad de f en (0 0), debida a la holomorf´ıa. En nuestro caso, la U (x) se obtiene f´acilmente y entonces el problema se reduce a la b´ usqueda de V (x). Para ello se demuestra que: l´ım
y→0
∂ ∂ v= l´ım v ∂x ∂x y→0
es decir: ∂ ∂x
v(x y) y→0
V (x)
/ vx (x y) y→0
/ V ′ (x) = V1 (x)
∂ ∂x
En efecto, como v es arm´onica tiene derivadas continuas, y por el teorema de Heine-Cantor de la continuidad uniforme 2 se asegura que V ′ (x) = V1 (x). Aplicando, por lo tanto, las condiciones de Cauchy-Riemann: Z V (x) = l´ım vx (x y) dx y→0 Z = l´ım uy (x y) dx y→0
2
El teorema de Heine-Cantor, aplicado a una funci´ on f : Rn −→ R, afirma que si f est´ a definida sobre un compacto D: ∀ǫ>0, ∃δ >0
:
∀ x′ , x′′ ∈ D : ||x′ − x′′ || < δ =⇒ |f (x′ ) − f (x′′ )| < ǫ
Esto quiere decir que se puede elegir un ǫ tal que toda la imagen de f en D este contenida en una banda uniforme [f (x − ǫ), f (x + ǫ)].
´ DE LAPLACE 4.7. HOLOMORF´IA Y ECUACION
93
Puede formarse entonces f (x) = U (x) + iV (x) y de acuerdo al resultado del lema analizado al comienzo f (z) = U (z) + iV (z) Esta funci´on, de acuerdo con lo visto, es holomorfa y sus partes real e imaginaria son: (
u(x y) = Re(U + iV ) v(x y) = Im(U + iV )
Que son arm´onicas conjugadas. La practicidad del m´etodo lo prueba el ejemplo siguiente: u=
x+1 (x + 1)2 + y 2
u verifica la ecuaci´on de Laplace para todo z 6= (−1, 0) y adem´as tiene las derivadas segundas continuas, siendo por lo tanto arm´onica. Eligiendo entonces, un conjunto D abierto y simplemente conexo que no contenga a (-1,0): u −−−→ U (x) = y→0
1 x+1
Por otra parte uy =
−2y(x + 1) −−−→ 0 = V ′ (x) ((x + 1)2 + y 2 )2 y→0
V (x) = k
k∈R
resultando entonces f (z) = U (z) + iV (z) 1 = + ik z+1 cuyas partes real e imaginaria son conjugadas arm´onicas: x+1 (x + 1)2 + y 2 −y v= +k (x + 1)2 + y 2
u=
Observaci´on: Si se deseara plantear el problema de obtener u, conocida la funci´on v de manera tal que (u v) sean conjugadas arm´onicas, basta recordar que (−v u) son conjugadas arm´onicas, y por lo tanto son de aplicaci´on los m´etodos anteriores.
´ EN EL CAMPO COMPLEJO CAP´ITULO 4. DERIVACION
94
4.8.
Holomorf´ıa en el infinito
ˆ aunque no se conserva la esCuando se trabaja con funciones definidas en el complejo extendido C, tructura de espacio vectorial, es posible dar un sentido al concepto de funci´on holomorfa en ∞. Esta definici´on es de especial utilidad para el c´alculo de integrales en el campo complejo. Sea una funci´on f definida en el complejo extendido: ˆ f : D −→ C : D ⊂ Cˆ , ∞ ∈ D z 7−→ f (z) de acuerdo a lo visto en 2.9.1, el 0 es imagen del punto ∞ por la inversi´on: ˆ −→ C ˆ Inv : C z 6= 0, z 6= ∞ 1/z z=0 z 7−→ ∞ 0 z=∞ o tambi´en por una restricci´on de la inversi´on al entorno de ∞: ˆ Inv’ : U (∞) −→ C 1/z ∀ z ∈ U (∞) − {∞} z 7−→ 0 z=∞
y entonces el problema del estudio de la funci´on f en ∞ se reduce a un problema en el entorno de 0 de la funci´on compuesta ˆ f ◦ Inv’ : U (∞) −→ C f (1/z) z 6= ∞ z 7−→ f (0) z=∞
Observaci´on: La necesidad de restringir la inversi´on surge de asegurar la existencia de la funci´ on compuesta f ◦ Inv’, pues debe cumplirse que el rango de la Inv’ debe estar incluido en el dominio D de la funci´on f . Esto se muestra en la figura 4.7. f
Inv’
b
ˆ C D
∞
R U(∞)
Figura 4.7: Dominio e imagen de Inv’ y f
El an´alisis anterior permite definir: D ∈ abierto y conexo ˆ : ∞∈D f : D −→ C
f ∈ H/∞ := f ◦ Inv’ ∈ H/D Ejemplo: sen(1/z) ∈ H/∞ ⇐= sen(z) ∈ H/D
´ CONFORME 4.9. REPRESENTACION
4.9.
95
Representaci´ on conforme
La transformaci´on de caminos por medio de funciones holomorfas tiene caracter´ısticas tales como para merecer un estudio particular. La aplicaci´on de estas propiedades permite resolver, en dos dimensiones, problemas de potencial en campos gravitatorios, el´ectricos, magn´eticos, de temperatura, etc. y en general para cualquier campo conservativo, adem´as de problemas se ingenier´ıa el´ectrica: diagramas de impedancia-admitancia y problemas de cartograf´ıa.
4.9.1.
´ Angulo entre caminos
Vector tangente a un camino Para definir el ´angulo orientado entre dos caminos, conviene establecer previamente el concepto de vector tangente a un camino. Se llama vector tangente al camino γ, en el punto γ(c), a: ′ x (c) T (γ, γ(c)) := : (x′ (c), y ′ (c)) 6= (0 0) y ′ (c) T (γ, γ(c)) := Vector tangente al camino γ en el punto γ(c) El vector tangente T (γ, γ(c),) no es m´as que γ ′ (c) expresado en notaci´on matricial. T (γ, γ(c))
b
γ(c)
|
a
|
c
|
b
Figura 4.8: Vector tangente a γ en el punto γ(c).
La condici´on impuesta, que γ ′ (c) 6= (0 0), equivalente a que el vector tangente es no nulo, es indispensable para definir la recta tangente en el punto γ(c): Tg : R −→ C
t 7−→ γ(c) + t γ ′ (c)
Tg := Recta tangente al camino γ en el punto γ(c) Es usual tambi´en introducir la siguiente terminolog´ıa: Se dice que un camino es regular en el punto γ(c) si γ ′ (c) 6= 0, es decir, si existe vector tangente en ese punto. Asimismo, un camino se dice que es regular a secas, si lo es en todos sus puntos. γ ∈ Camino regular/γ(c)
:= γ ′ (c) 6= 0
γ ∈ Camino regular
:= ∀ c ∈ [a b] =⇒ γ ′ (c) 6= 0
´ EN EL CAMPO COMPLEJO CAP´ITULO 4. DERIVACION
96
´ Angulo entre dos caminos Dados dos caminos γ2
γ1 : [a1 b1 ] −→ C γ2 : [a2 b2 ] −→ C que se cortan en el punto zc , es decir: ) ∃ c1 ∈ [a1 b1 ] : γ1 (c1 ) = γ2 (c2 ) ∃ c2 ∈ [a2 b2 ]
T (γ2 , zc )
b zc
γ1 α
T (γ1 , zc )
´ Figura 4.9: Angulo entre los caminos γ1 y γ2 en el punto zc .
zc := γ1 (c1 ) entonces se llama a ´ngulo orientado de γ1 a γ2 , designado en la figura 4.9 por α, al a´ngulo orientado entre los respectivos vectores tangentes en el punto de corte zc . Anal´ıticamente, el ´angulo orientado de γ1 a γ2 es el n´ umero real definido por: Ang(γ1 , γ2 ) := Arg(γ2′ (c2 )) − Arg(γ1′ (c1 )) ´ Ang(γ1 , γ2 ) := Angulo orientado entre los caminos γ1 y γ2 Observaci´on 1: Conviene remarcar que en la definici´on anterior se ha empleado la funci´on valor principal del argumento, que establece una u ´ nica determinaci´on del mismo. Una propiedad del ´angulo entre dos caminos, que destaca el concepto de orientaci´on intr´ınseco a la definici´on, es: Ang(γ1 , γ2 ) = −Ang(γ2 , γ1 ) Una cota superior para el ´angulo orientado α est´a dada por: |Ang(γ1 , γ2 )| 6 |Arg(γ2′ (c2 ))| + |Arg(γ1′ (c1 ))| 6π+π 6 2π Observaci´on 2: El m´odulo del ´angulo entre los caminos γ1 y γ2 puede ser expresado bajo forma vectorial a partir de: cos(α) =
4.9.2.
T1 • T2 ||T1 || ||T2 ||
Transformaci´ on de caminos
Teorema 4.9.1. Una funci´ on f : D −→ R de variable compleja, cuyas partes real e imaginaria tienen derivadas primeras continuas, transforma un camino γ : [a b] −→ C, contenido en D, en otro camino f ◦ γ contenido en R.
´ CONFORME 4.9. REPRESENTACION
97
R
b
D γ
b
f f ◦γ
b
b
Figura 4.10: Transformaci´ on de caminos por una funci´ on de variable compleja.
γ : [a b] −→ D
t 7−→ x(t) + iy(t)
γ ∈ Camino contenido en D f : D −→ R
z 7−→ (u v) :
(
ux , uy ∈ C/D vx , vy ∈ C/D
Demostraci´ on. Sea la composici´on
=⇒ f ◦ γ ∈ Camino contenido en R
f ◦ γ : [a b] −→ R t 7−→ u(x(t), y(t)) + iv(x(t), y(t)) γ es un camino, y por lo tanto es continua. γ ′ es continua por partes: ) γ ∈ C/[a b] =⇒ f ◦ γ ∈ C/[a b] f ∈ C/D (f ◦ γ)′ = (ux xt + uy yt ) + i(vx xt + vy yt ) que es continua por partes porque las derivadas primeras de u y de v son continuas (f ◦ γ)′ ∈ CP/[a b]
Con las mismas hip´otesis del teorema anterior, si f es adem´as inyectiva, transforma un camino simple (arco de Jordan) en otro camino simple: Teorema 4.9.2. γ ∈ Camino simple contenido en D ( f : D −→ R ux , uy ∈ C/D =⇒ f ◦ γ ∈ Camino simple contenido en R z 7−→ (u v) : vx , vy ∈ C/D f ∈ Inyectiva
´ EN EL CAMPO COMPLEJO CAP´ITULO 4. DERIVACION
98
Demostraci´ on. De acuerdo al teorema 4.9.1, f ◦ γ es un camino, pero adem´as: γ ∈ Camino simple =⇒ γ ∈ Inyectiva por lo tanto: ) γ ∈ Inyectiva
f ∈ Inyectiva
=⇒ f ◦ γ ∈ inyectiva
entonces f ◦ γ es un camino simple. Las transformaciones de lazos se rigen por los mismos teoremas anteriores. Si f es una funci´ on de las caracter´ısticas indicadas, todo lazo se transforma en lazo y adem´as, se f es inyectiva, todo lazo simple se transforma en un lazo simple. Corolario 4.9.2.1. γ ∈ Lazo contenido en D f : D −→ R
z 7−→ (u v) :
(
ux , uy ∈ C/D vx , vy ∈ C/D
Corolario 4.9.2.2. γ ∈ Lazo simple contenido en D f : D −→ R
z 7−→ (u v) :
f ∈ Inyectiva
4.9.3.
(
ux , uy ∈ C/D vx , vy ∈ C/D
=⇒ f ◦ γ ∈ Lazo contenido en R
=⇒ f ◦ γ ∈ Lazo simple contenido en R
Transformaci´ on de vectores tangentes
Dada la funci´on f : D −→ R de variable compleja, cuyas partes real e imaginaria tienen derivadas primeras continuas, como se ha visto transforma un camino γ en otro f ◦γ por medio de una transformaci´ on que se puede caracterizar por: ( ut = ux xt + uy yt vt = vx xt + vy yt sistema que escrito en notaci´on matricial toma la forma: ut ux uy xt = vt vx vy yt que representa la aplicaci´on lineal que transforma los vectores tangentes al camino γ en el punto γ(c) en los vectores tangentes a f ◦ γ, en el punto (f ◦ γ)(c); siempre y cuando se cumplan las condiciones detalladas al final de este p´arrafo. La aplicaci´on anterior es llamada aplicaci´ on lineal tangente a f en el punto γ(c) y se caracteriza como sigue: J(f, γ(c)) : T (γ, γ(c)) 7−→ J(f, γ(c)) · T (γ, γ(c)) J(f, γ(c)) := Aplicaci´on lineal tangente a f en el punto γ(c)
´ CONFORME 4.9. REPRESENTACION
99
donde la matriz ux J(f, γ(c)) = vx
uy vy
no es otra que la matriz jacobiana del sistema (
u = u(x y) v = v(x y)
y por lo tanto, si el determinante de J no es nulo (|J| = 6 0), se asegura la existencia y unicidad de la funci´on inversa f −1 continua y con derivadas primeras continuas para sus partes real e imaginaria, es decir: (
x = x(u v) y = y(u v)
Se deduce directamente de la definici´on de la aplicaci´on J(f, γ(c)) que: Condici´on necesaria y suficiente para que una aplicaci´on lineal tangente J(f, γ(c)) transforme el vector tangente al camino γ en el punto γ(c) en el vector tangente al camino f ◦ γ en el punto f ◦ γ(c), es que la matriz J sea regular (|J| = 6 0) y que γ tenga vector tangente γ ′ (c) 6= 0. f : D −→ R
z 7−→ (u v) : ux , uy , vx , vy ∈ C/D
γ ∈ Camino contenido en D ) γ ′ (c) 6= 0 =⇒ (f ◦ γ)′ 6= 0 |J(f, γ(c))| = 6 0
4.9.4.
Aplicaci´ on conforme
Se dice que una funci´on f : D −→ R de variable compleja, cuyas partes real e imaginaria tienen derivadas primeras continuas, es una aplicaci´ on conforme en el punto zc ; si la matriz J(f, γ(c)) conserva los ´angulos orientados de los vectores tangentes a dos caminos. Esto significa que el ´angulo orientado entre dos caminos γ1 y γ2 es igual al ´angulo orientado entre los caminos transformados f ◦ γ1 y f ◦ γ2 . f : D −→ R z 7−→ (u v) : ux , uy , vx , vy ∈ C/D f ∈ Aplicaci´on conforme/zc := ∀ (γ1 γ2 ) : zc = γ1 (c1 ) = γ2 (c2 ) =⇒ Ang(γ1 , γ2 ) = Ang(f ◦ γ1 , f ◦ γ2 )
´ EN EL CAMPO COMPLEJO CAP´ITULO 4. DERIVACION
100
γ2 f ◦ γ1 γ1 α
f ◦ γ2
α
b
b zc
f (zc )
Figura 4.11: Conservaci´ on del ´ angulo entre dos caminos mediante una aplicaci´ on conforme f .
En particular, una aplicaci´on conforme transforma caminos ortogonales α = ± π2 en caminos ortogonales, caso de inter´es para el estudio de las l´ıneas equipotenciales de un campo y sus trayectorias ortogonales: las l´ıneas de campo. Observaci´on 1: Una aplicaci´on f se dice que es isogonal cuando en su transformaci´on conserva los a´ngulos de dos caminos en m´odulo, es decir sin especificar la orientaci´on. Es decir, la aplicaci´on isogonal asegura la conservaci´on del valor absoluto del ´angulo en la transformaci´ on, pero no asegura la conservaci´on del signo. Es condici´on necesaria entonces, para que una aplicaci´on sea conforme, que sea isogonal. Condici´on necesaria y suficiente, desde el punto de vista vectorial, para que una transformaci´ on sea isogonal es que para todo par de vectores (x1 x2 ) se cumpla: ∀ (x1 x2 )
x1 • x2 X1 • X2 = |X1 ||X2 | |x1 ||x2 |
donde con X may´ usculas se has simbolizado los transformados de x min´ usculas, es decir: A : x 7−→ A x = X
Antes de estudiar las condiciones generales que debe cumplir una funci´on f de variable compleja para ser una aplicaci´on conforme es inmediato observar que: Condici´on necesaria para que f sea una aplicaci´on conforme en zc es que el jacobiano sea distinto de cero: f ∈ Aplicaci´on conforme/zc =⇒ |J(f, zc )| = 6 0 Es obvio que para que existan los ´ angulos orientados entre caminos, tanto γ como f ◦ γ deben ser regulares. Por lo tanto, (f ◦ γ)′ 6= 0 implica que el jacobiano no es nulo de acuerdo con el resultado obtenido en la secci´on anterior “in fine”.
´ CONFORME 4.9. REPRESENTACION
101
Observaci´on 2: A los efectos posteriores de estudiar las caracter´ısticas generales de la aplicaci´on lineal J(f, zc ) : T −→ J · T : |J| = 6 0 cuyo determinante no es nulo, conviene recordar las propiedades que debe tener una aplicaci´on lineal de dos dimensiones: A : x −→ A x = X para que conserve los ´angulos entre dos vectores de la transformaci´on. Para ello es condici´on necesaria (no suficiente) que se conserve el producto interno, salvo constante positiva, para cualquier par de vectores (x1 x2 )3 : ∀ (x1 x2 )
X1 • X2 = k x1 • x2
xT1 AT
xT1
· A x2 = k
:
k>0
· x2
Como esta igualdad debe cumplirse para cualquier par (x1 x2 ) debe ser: AT · A = k I Es decir, A es ortogonal salvo constante AT = k A−1 La forma general de A se deduce de esta u ´ ltima igualdad haciendo: a b A= |A| = 6 0 c d k a c d −b = b d ad − bc −c a Llamando K =
k ad−bc
resulta =
Kd −Kb −Kc Ka
De la igualdad de matrices se obtiene como u ´ nica posibilidad: K = ±1 Por lo tanto, las dos matrices que mantienen el producto interno, salvo constante son: a −b cos(α) − sen(α) K = 1 =⇒ A = =R b a sen(α) cos(α) a b cos(α) sen(α) K = −1 =⇒ A = =R b −a sen(α) − cos(α)
3 En el desarrollo siguiente se expresa el producto interno de dos vectores cualesquiera x, y ∈ R2 como x • y = xT · y, donde xT representa el vector transpuesto de x, y · representa el producto usual de matrices.
´ EN EL CAMPO COMPLEJO CAP´ITULO 4. DERIVACION
102
donde (
√ R = a2 + b 2 α = Arg(a, b)
sin embargo, una sola de ellas conserva los ´angulos orientados, pues: cos(α) − sen(α) r cos(θ) cos(α) cos(θ) − sen(α) sen(θ) =r sen(α) cos(α) r sen(θ) sen(α) cos(θ) + cos(α) sen(θ) = r ei(α+θ) representando entonces la primera de las dos matrices una rotaci´on para R = 1 o una rotaci´ on con dilataci´on para R 6= 1 (homotecia), y por lo tanto conservando los ´angulos orientados, mientras que: cos(α) sen(α) r cos(θ) cos(α) cos(θ) + sen(α) sen(θ) = sen(α) − cos(α) r sen(θ) sen(α) cos(θ) − cos(α) sen(θ) = r ei(α−θ) la aplicaci´on de la segunda matriz es una simetr´ıa respecto de la recta que pasa por el origen, de pendiente α ıa y una dilataci´on si R 6= 1, no conserv´andose por lo tanto los ´angulos orientados. 2 . Si R = 1 es una simetr´
y
X2
y
z
X2
z X1
X1 x2
x1
x1
K=1
α 2
x
x2
K = −1
x
Figura 4.12: Transformaci´ on de ´ angulos para aplicaciones con distintos valores de K. Para K = 1 es conforme, mientras que para K = −1 es s´ olo isogonal.
En resumen: Teorema 4.9.3. Para que una aplicaci´ on lineal en dos dimensiones A : x 7−→ A x conserve los a ´ngulos orientados, es condici´ on necesaria y suficiente que la matriz A sea regular y del tipo: a −b A= b a Es decir: A : R2 −→ R2 x 7−→ A x ∀ (x1 x2 )
Ang(x1 , x2 ) = Ang(A x1 , A x2 ) ⇐⇒
A =
a b
|A| = 6 0
! −b a
´ CONFORME 4.9. REPRESENTACION
103
Analizando las caracter´ısticas que debe cumplir una funci´on de variable compleja, para que sea una aplicaci´on conforme se llega a: Teorema 4.9.4. Condici´ on necesaria y suficiente para que una funci´ on f : D −→ R de partes real e imaginaria con derivadas primeras continuas, sea aplicaci´ on conforme en zc , es que f sea holomorfa y de derivada primera no nula en ese punto. ) f ∈ H/zc ⇐⇒ f ∈ Aplicaci´ on conforme/zc f ′ (zc ) 6= 0 Demostraci´ on. De acuerdo al an´alisis hecho en la Observaci´on 2 anterior, para que la aplicaci´on lineal tangente conserve los ´angulos orientados debe ser del tipo a −b J(f, zc ) = b a |J(f, zc )| = 6 0
Como por definici´on, J tiene como elementos las derivadas parciales de u y de v, que son continuas, resulta: ux uy J(f, zc ) = vx vy ux = vy uy = −vx
ux , uy , vx , vy ∈ C/zc |J| = ux vy − uy vx =
u2x
+
vx2
6= 0
⇐⇒ f ∈ H/zc
⇐⇒ f ′ (zc ) 6= 0
La doble implicaci´on del teorema surge inmediatamente de la reversibilidad de la demostraci´on. De acuerdo con el resultado obtenido, se desprende: Corolario 4.9.4.1. Condici´ on necesaria y suficiente para que un camino transformado por una funci´ on holomorfa sea regular, es que el camino original sea regular y que la derivada primera sea no nula. γ ∈ Camino contenido en D f ∈ H/zc ) f ′ (zc ) 6= 0 ⇐⇒ (f ◦ γ)′ 6= 0 γ ′ (c) 6= 0 Bajo las hip´otesis anteriores, f es holomorfa en zc y con derivada no nula, resulta: (f ◦ γ)′ = f ′ · γ ′ por lo tanto, la aplicaci´on lineal tangente J(f, γ(c)) puede ser expresada por: z 7−→ f ′ (zc ) · z que representa una homotecia compleja (rotaci´on y dilataci´on) de γ sobre s´ı mismo. El coeficiente de dilataci´on es |f ′ (zc )| y el ´angulo de rotaci´on es Arg(f ′ (zc )).
´ EN EL CAMPO COMPLEJO CAP´ITULO 4. DERIVACION
104
En el caso de que f ′ (zc ) = 0, siendo f una funci´on no constante, no se mantiene el ´angulo orientado. Se puede demostrar que el ´angulo entre dos caminos, en este caso, se transforma de un valor α a un valor nα, donde n es el orden de la menor derivada no nula en zc . Si la funci´on f : D −→ R es una aplicaci´on conforme sobre todos los puntos del domino D, se dice que f es una representaci´ on conforme de D sobre f (D). f ∈ Representaci´on conforme/D, f (D) := ∀ z ∈ D,
f ∈ Aplicaci´on conforme/z
f ∈ Representaci´on conforme/D, f (D) := La funci´on f es una representaci´on conforme de D sobre f (D) La existencia de f ′ (z) 6= 0 asegura la no nulidad del jacobiano |J(f, z)|; lo cual, de acuerdo a lo ya mencionado en 4.9.3, implica la existencia de la funci´on inversa de f f −1 : f (D) −→ D w 7−→ z : w = f (z) Existe tambi´en la derivada de la funci´on inversa, seg´ un las reglas normales (f −1 )′ =
1 f ′ (z)
En este caso, entonces, la funci´on f es biyectiva. La funci´on inversa tambi´en es una representaci´on conforme de f (D) sobre D. Quedan explicadas, a la luz de la representaci´on conforme, las propiedades de las transformaciones complejas dadas como ejemplo en 3.2 y 4.7.2.
4.9.5.
Transformaci´ on de ´ areas e integrales dobles
Sea f una representaci´on conforme de D sobre f (D). Para estas funciones se puede llegar a una f´ormula particular de c´alculo de ´areas. Si f (D) es un conjunto sobre el cual puede calcularse la integral que define el ´area, entonces se acuerdo a las reglas de cambio de variables: ZZ ZZ A= du dv = |J| dx dy D
f (D)
pero como |J| = u2x + vx2 = |f ′ (z)|2
Resulta entonces: ZZ ZZ du dv = |f ′ (z)|2 dx dy f (D)
D
f´ormula que establece la relaci´on de ´areas en una transformaci´on conforme.
´ CONFORME 4.9. REPRESENTACION
4.9.6.
105
Los problemas de la representaci´ on conforme
Sea una funci´on de variable compleja f que transforma un conjunto D en otro f (D). Se pueden plantear entonces dos problemas llamados directo e inverso de representaci´on conforme. I. Problema directo de la representaci´on conforme. Dado el conjunto D y la funci´on f , hallar la imagen f (D). La funci´on f tiene que ser holomorfa y no constante. II. Problema Inverso de la representaci´on conforme. Dados dos conjuntos D y D′ , hallar la funci´on f holomorfa que sea una representaci´on conforme de D sobre D′ . El problema inverso no siempre tiene soluci´on y existen teoremas generales que se ocupan del tema, pero tampoco dan soluci´on en todos los casos. En la pr´actica se suelen emplear soluciones aproximadas que dan origen a dif´ıciles problemas de c´alculo num´erico. Otro m´etodo importante para resolver el problema inverso es la tabulaci´on de representaciones conformes seg´ un el problema directo. El problema inverso tiene especial´ısimo inter´es en las cuestiones relacionadas con los campos potenciales, es decir, los conjuntos abiertos sobre los cuales se cumple la ecuaci´on de Laplace: ∇2 u = uxx + uyy = 0 que rige en campos el´ectricos, magn´eticos, gravitatorios, hidrodin´amicos y teor´ıa del calor. Un problema tipo es el siguiente: Conocido el potencial sobre la frontera de un conjunto abierto D (representada por el lazo γ) que en particular puede ser una l´ınea equipotencial, hallar la distribuci´on de potencial en el interior de D. Este puede encararse (no siempre tiene soluci´on) hallando una funci´on f que sea una representaci´ on conforme de D sobre un conjunto D′ de geometr´ıa sencilla (por ejemplo un c´ırculo) sobre el cual se conozca el potencial en todos sus puntos. Invirtiendo la funci´on f , el problema planteado queda resuelto. En particular pueden hallarse las l´ıneas equipotenciales y las l´ıneas de campo en el conjunto D.
γ
γ′ f D
D′
Figura 4.13: L´ıneas de campo y equipotenciales para un problema inverso de representaci´ on conforme.
´ EN EL CAMPO COMPLEJO CAP´ITULO 4. DERIVACION
106
4.9.7.
La inversi´ on
El estudio de la funci´on inversi´on tiene particular importancia en las aplicaciones de representaci´ on conforme. ˆ −→ C ˆ inv : C 1/z z 7−→ 0 ∞
z 6= 0, z 6= ∞ z=∞ z=0
ˆ sobre s´ı mismo. Es f´acil verificar que la inversi´on es una biyecci´on de C En coordenadas cartesianas las inversi´on, para z 6= 0 y z 6= ∞ puede presentarse como la transformaci´on que sigue, y su inversa: x −y , ) x2 + y 2 x2 + y 2 u −v (u v) 7−→ (x y) = ( 2 , ) u + v 2 u2 + v 2
(x y) 7−→ (u v) = (
o tambi´en en coordenadas polares (r θ) 7−→ (R Θ) = ( 1r , −θ)
(R Θ) 7−→ (r θ) = ( R1 , −Θ)
Las expresiones en coordenadas polares permiten una interpretaci´on sencilla de la inversi´ on de un complejo z = (r θ). El complejo z1 tiene por m´odulo al rec´ıproco del m´odulo de z, y por argumento el opuesto del argumento de z, es decir z1 = ( r1 , −θ). Geom´etricamente: b
z
r θ
x
u
−θ 1 r
b
1 z
Figura 4.14: Transformaci´ on de vectores mediante una inversi´ on.
Las construcciones geom´etricas m´as sencillas para obtener la rec´ıproca de un complejo son: β
Construyendo dos tri´angulos semejantes, como muestra la figura 4.15, se obtiene que R = 1r , pues: r 1 = sen(α) sen(θ) 1 =⇒ R = R 1 r = sen(θ) sen(α)
z
r
θ θ
R α
α β
1
x
1
Figura 4.15: Construcci´ on geom´etrica para z obtener la rec´ıproca de un complejo.
´ CONFORME 4.9. REPRESENTACION
107
z r
b
b
θ 1 1 r
x
θ
Un segundo m´etodo, mostrado en la figura 4.16, se basa en un m´etodo semejante al anterior con apoyo en la circunferencia de radio unitario.
1 z
Figura 4.16: Construcci´ on geom´etrica alternativa para hallar la rec´ıproca de un n´ umero complejo.
Una aplicaci´ on de utilidad es la inversi´on de la familia γ γ a(x2 + y 2 ) + bx + cy + d = 0
que representa a todas las circunferencias del plano para a 6= 0 y a todas las rectas del plano para a = 0. Si se aplica la inversi´on a la familia anterior, resulta: f ◦γ a + bu − cv + d(u2 + v 2 ) = 0
que es una ecuaci´on de las mismas caracter´ısticas de la anterior, representando todas las circunferencias del plano para d 6= 0 y a todas las rectas del plano para d = 0. En el cuadro 4.1, preparado al efecto, se muestran todos los casos posibles de transformaci´on de circunferencias y rectas por medio de la inversi´on. En los respectivos gr´aficos se presentan las construcciones geom´etricas convenientes para obtener la inversi´on propuesta. Para ello debe recordarse que el punto z, perteneciente a γ de m´aximo m´odulo, se transforma en el punto w, perteneciente a f ◦ γ de m´ınimo m´odulo; y que tambi´en la transformaci´ on es conforme, es decir, mantiene los ´angulos orientados.
4.9.8.
La funci´ on homogr´ afica
Se llama funci´ on homogr´ afica no degenerada u homograf´ıa a la funci´on racional: ˆ −→ C ˆ Hom : C az + b cz + d z 7−→ a c ∞
d z= 6 − c z=∞ d z=− c
z 6= ∞
:
(
a, b, c, d ∈ C ad − bc 6= 0
´ EN EL CAMPO COMPLEJO CAP´ITULO 4. DERIVACION
108
|z
γ
f ◦γ
y
z
|w
v
w
(0 0) ∈ f ◦ γ
(0 0) ∈ γ γ α
α
x
u f ◦γ
a=0 d=0
Recta que pasa por (0 0)
Recta que pasa por (0 0) y
z
v
w
(0 0) ∈ f ◦ γ (0 0) ∈ /γ b
A
α γ
α
x
f ◦γ b
a=0 d 6= 0
A′
Recta que no pasa por (0 0) y
z
(0 0) ∈ γ
Circunf. que pasa por (0 0) v
w
(0 0) ∈ / f ◦γ b
A f ◦γ
γ
α
α
x
a 6= 0 d=0
u
A
Circunf. que pasa por (0 0) y
z A b
(0 0) ∈ /γ
u
b
′
Recta que no pasa por (0 0) v
w
(0 0) ∈ / f ◦γ γ
b
B
α α
x A′
a 6= 0 d 6= 0
f ◦γ
b
b
Circunf. que no pasa por (0 0)
u
B′
Circunf. que no pasa por (0 0)
Cuadro 4.1: Diversas transformaciones mediante la funci´ on inversi´ on.
´ CONFORME 4.9. REPRESENTACION
109
Si se supusiera que ad − bc = 0, la funci´on homogr´afica se reducir´ıa a una constante. Si c = 0, la homograf´ıa se reduce a la funci´on lineal z 7−→
a b z+ d d
Si c 6= 0, la homograf´ıa puede llevarse a la forma w−α=
β z−δ
que representa sucesivamente: z1 = z − δ
I. Desplazamiento II. Inversi´on III. Homotecia
z2 = z11 z3 = β z2
IV. Desplazamiento
w = α + z3
y que permite interpretar f´acilmente la transformaci´on de circunferencias y rectas por medio de la tabla hecha para la inversi´on. Recta que pasa por δ Recta que no pasa por δ Circunf. que pasa por δ Circunf. que no pasa por δ
←→
Recta que pasa por α
←→
Circunf. que no pasa por α
←→ ←→
Circunf. que pasa por α Recta que no pasa por α
La homotecia est´a caracterizada por un giro definido por el Arg(β) y una dilataci´on definida por el |β|. La homograf´ıa permite tambi´en estudiar la representaci´ on conforme de c´ırculos en semiplanos, o c´ırculos en c´ırculos, u otras combinaciones de conjuntos del plano limitados por circunferencias y rectas.
