Análisis de Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli Con Matlab

“AÑO DE LA CONSOLIDACION DEL MAR DE GRAU” ELECTRÓ ELECTRÓNICA NICA Y AUTOMAT AUTOMATIZACIÓN IZACIÓN INDUSTRIAL LABORATORIO LABORATORIO N°10 N°1 0

“Análisis de Ecuacines Di!e"enciales de #e"nulli cn Ma$la%” Cu"s& Ma$e'á$ica A(licada A(licada a

Elec$")nica Docente:

*uli Ma"$in R'e" M"an$e Integrantes:

+ua'an C,i(ana Eli

2016- II Índice general

la

1. Introducción...................................................................................................ii 2. Objetivos generales......................................................................................ii 3. Objetivos específicos....................................................................................ii 4. Fundamento teórico:.....................................................................................1 4.2. Ecuaciones diferenciales Ordinarias Exactas:.............................................1 4.3. Factor Integración........................................................................................1 4.4. Grado de una ecuación diferencial..............................................................2 4.5. Ecuación Diferencial Lineales de ri!er Orden..........................................2 4.". Ecuaciones Diferenciales de #ernoulli.........................................................3

. !roblemas propuestos..................................................................................4 ". #O$#%&'IO$('..........................................................................................13 ). *I*%IO+,-F-.............................................................................................13 Introducción: En este tra$a%o se &erifica có!o las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales 'ueden ser (tiles en las soluciones de &ariados ti'os de 'ro$le!as de la situación del !undo real) en 'articular se !uestra có!o al traducir 'ro$le!as de un lengua%e de ecuaciones diferenciales ordinarias) esto es) esta$lecer la for!ulación !ate!*tica de 'ro$le!as + reali,ación del !odelo !ate!*tico. -ediante el an*lisis -ate!*tico se resuel&e ecuaciones diferenciales ordinarias lineales su%eta a condiciones) as !is!o con el a'o+o del soft/are antes descrito se acelera significati&a!ente los c*lculos.   El 'resente tra$a%o est* distri$uido en cuatro ca'tulos) en los tres 'ri!eros ca'tulos se 'resenta el estudio de las &igas) las ecuaciones diferenciales ordinarias) la !odelación de las ecuaciones diferenciales + en el (lti!o ca'tulo se descri$e los soft/ares cientficos -atla$ + -at0e!atica.

Objetivo general: 

 'licar los conce'tos + los 'rocedi!ientos ue de$e!os seguir 'ara resol&er Ecuaciones diferenciales Ordinales.

Objetivos específicos:

-

    

Entender el conce'to de una EDO lineal de 'ri!er orden. econocer a una EDO de #ernoulli.  'render a diferenciar el orden + el frado de las ecuaciones diferenciales. Las cuales se caracteri,an 'or 'oseer en su estructura) deri&adas ordinarias de la &aria$le de'endiente. e cocer* a una ecuación exacta a una ex'resión diferencial.

Fundamento /eórico: 4.2. Ecuaciones diferenciales Ordinarias Exactas: e conoce co!o una ecuación exacta a una ex'resión diferencial - x) +6dx78x)+6d+ en una región  del 'lano x+ si corres'onde al diferencial de alguna función fx)+6. i deci!os ue -x)+6 + 8x)+6 son continuos + tienen 'ri!eras deri&adas 'arciales continuas en una región rectangular  definida 'or a9x9$) c9+9d. Entonces) una condición necesaria + suficiente 'ara ue -x)+6dx78x)+6d+ sea una diferencial exacta es :

∂ M  ∂ N  = ∂ y ∂ x  su!i!os ue -x)+6 + 8x)+6 se tienen 'ri!eras deri&adas 'arciales continuas 'ara todo x)+6. 0ora) si la ex'resión -x)+6dx78x)+6d+ es exacta) existe alguna función f de for!a tal ue 'ara toda x en ) M142 5/d4 6  N142 5/d5

=

∂!  a4

dx +

∂ f   ay

dy

 Por  3 lo 3  $an to

∂ .  f   ∂ N   M 1 x0  y / = 2 N 1 x0  y / = ∂ x ∂ x ∂ M  ∂  ∂ f     ∂ .  f   ∂   ∂ f    ∂ N  =   = =    = ∂ y ∂ y  ∂ x   ∂ x∂ y ∂ x  ∂ y     ∂ x 0todo de 'olución Dada una excusión de la for!a -x)+6dx78x)+6d+; deter!ina si se cu!'le la igualdad de las deri&adas 'arciales. i lo 0ace) entonces existe una función f 'ara la cual)

∂ M  =  M 1 x2 y / ∂ y

.

ode!os encontrar f al integrar -x)+6 con res'ecto a x) !ientras + se !antiene constante.  f  1 x0  y / =  M 1 x0  y /dx +  g 1 y / − − − − − − − −1-/

∫ 

Donde la función ar$itraria g+6 es la on res'ecto a <+= + asu!ir .

∂ f   ∂  M 1 x0 y / dx +  g 7 1 y / =  N 1 x0 y / = ∂ y ∂ y ∫ 

 Esto 3 d   g 7 1 y / =  N 1 x0 y / −

∂  M 1 x0 y / dx +  g 7 1 y / − − − 1 ./ ∂ y ∫ 

or (lti!o) integra!os 26 con res'ecto a
∫ 

 f  1 x0 y / =  N 9 x0 y / dx + h1 x8  y  K 1 x / =  M 1 x0 y / −

∂  N 1 x0 y /dy ∂ x ∫ 

4.3. Factor Integración i una ecuación diferencial no es exacta) 'udiera llegar a serlo si se la !ulti'lica 'or una función es'ecial lla!ada factor integrante) tal ue:

ea exacta. >a$e destacar ue $a%o ciertas condiciones el factor integrante sie!'re existe) 'ero sólo 'ara algunas for!as de ecuaciones diferenciales es 'osi$le facil!ente encontrar un factor integrante:

Factor integrante solo en función de . i la ecuación diferencial 'osee un factor integrante res'ecto a x es decir) ux66) entonces se 'uede encontrar 'or !edio de la fór!ula siguiente:

:

Factor integrante solo en función de y. i la ecuación diferencial 'osee un factor integrante res'ecto a y  es decir) entonces se 'uede encontrar 'or !edio de la fór!ula siguiente.

6)

Factor integrante solo en función de  x+y. i la ecuación diferencial 'osee un factor integrante res'ecto a  x+y   es decir) 6) entonces se 'uede encontrar 'or !edio de la fór!ula siguiente: con

Factor integrante solo en función de  x·y. i la ecuación diferencial 'osee un factor integrante res'ecto a  x·y  es decir) 6) entonces se 'uede encontrar 'or !edio de la fór!ula siguiente: con Donde

-Cx

>a$e !encionar ue:

4.4. Grado de una ecuación diferencial e deno!ina ecuación diferencial a una relación entre una función suficiente!ente deri&a$le6) sus &aria$les + una o &arias deri&adas sucesi&as de la función.

Orden

;



El orden de una excusión diferencial ordinaria o en deri&adas 'arciales6.  Es el de la deri&ada de !a+or orden ue a'arece en la ecuación.



e deno!ina orden de la ecuación al de la deri&ada de !a+or orden ue inter&iene en la ecuación. d . y

d . y

dy

+ > x + + : y = =<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
+rado



e deno!ina grado de la ecuación al ex'onente de la deri&ada de !a+or  orden.



El grado de una ecuación diferencial.  Es la 'otencia a la ue ele&ada la deri&ada !*s alta. ie!'re + cuando la ecuación diferencial este en for!a 'olinó!ica. .

e

 x

d   y dx

.

+  senx

dy dx

=  x<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<. do orden<<<<-er  grado

 d . y    dy  ;  .   − .   +  xy = =<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<:er  orden<<<<<. do grado    dx    dx   4.5. Ecuación Diferencial Lineales de ri!er Orden na EDO ser* lineal de 'ri!er orden si tiene la siguiente for!a. dy +  p 1 x/ y = q1 x/ dx Donde 'x6 + x6 son funciones de x o constantes -Btodo de olución de na EDO lineal de 'ri!er orden. 16 Ordenar la EDO de la siguiente for!a dy +  p1 x/ y = q1 x/ dx 26 Encontrar el factor integrante u

= e ∫ 

 p 1 x / dx

>

36 Encontrar la solución general  y

= u −- ∫ uq1 x/dx + c

(jemplo: esol&er la siguiente EDO lineal de 'ri!er orden: dy

−

.

 y

dx  x Solución

=  x . cs1 x/

−.

− ∫  dx . ln1 x / u = e  x = e − = e ln1 x / =  x −.  y =  x . [∫  x − . 1 x . cs x/ dx + c ] .

 y

=  x . [∫ cs xdx + c ]

 y

=  x . [ sen1 x/ + c]

Solución  3 General 

4.". Ecuaciones Diferenciales de #ernoulli na EDO ser* de #ernoulli si tiene la siguiente for!a. dy dx

+  p 1 x/ y = q1 x/ y n

Donde 'x6 + x6 son funciones de x o constantes

0todo de solución de una (O de *ernoulli 1. Ordenar la EDO de la siguiente for!a.  y 7+ p1 x / y

= q1 x/ y n ⇒  y − n y 7+ p1 x/ y -−n = q1 x/

2. eali,ar el ca!$io de &aria$le.  y -− n

=  z  ⇒ 1- − n/ − n  y7 =  z  ⇒  y − n y7 =

 z ? -− n

3. ee!'la,ar el ca!$io de &aria$le en la EDO) luego si!'lificar 0asta o$tener una EDO lineal de 'ri!er orden) la cual se tiene ue resol&er  a'licando el !Btodo corres'ondiente.

(jemplo: @

dy dx

+

. y  x

> y :

=

 x .

'olución: −: -ulti'licando a la EDO 'or  y

−:

 y  yA+

. y −.  x

=

>  x

.

⇒  y −: yA+

.  x

 y − .

= >x −.

>a!$io de &aria$le  y − .

=  z  ⇒ −. y −: yA=  z 7 ⇒  y −: y = −

z 7

. e!'la,ando en la Edo + se o$tiene una lineal ; −  z 7 . + .  z > x −. =⇒  z A−  z  = −-= x −. .  x  x −;

∫  dx ; ln ln − ;  Factor  3 de 3  Integracio n 3 u = e  x = e −  x = e  x =  x − ;

Solución  3 General 

[∫ 

 z  = 1 x −; / −-  x −; 1 −-= x −. /dx + c

] ⇒  z  =  x [− -=∫  x − dx + c ] ;

   x −>       z  =  x − -=  + c  > −        y −. =  x ; [ . x −> + c ] = . x −- + cx ; ;

 y .

=

. x −-

+ cx .

!roblemas propuestos: ,esolver la siguiente (O eacta: 1 y +  y cs1 xy // dx + 1 x +  x cs1 xy //dy

==

B

@

,esolver las siguientes (O' no eactas 1- −  x . y / dx +  x . 1 y −  x//dy

==

9

 y  x

dx + 1 y :

+ ln1 x//dy = =

8

1 xy +  x . y +  y : /dx + 1 x .

+ . y . /dy = =

-=

. ydx −  xdy

=  xy : dy

--

,esolver la siguiente (O lineal: 1 x >

+ : y /dx − xdy = =

-.

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

 La solución general de$e estar ex'resada en tBr!inos de los &aria$les originales.

*ibliografías: ecu'erado de: 0tt's:'re,i.co!52unnH&rxs$0ecuacionesexactas ecu'erado de: 0tt':eiceti.tri'od.co!site$uildercontentsite$uilderfilesecdif.'df  ecu'erado de: 0tt':///.!ate!aticas+'oesia.co!.esEDOEdo;3;2.0t! ecu'eradode:0tt's:'re,i.co!'rdld5JxnnKlorden+gradodeecuaciones diferenciales ecu'eradode:0tt's:tecdigital.tec.ac.crre&ista!ate!aticacursos lineaEcuacionesDiferencialesEDOGeoedoca'2geonode.0t!l ,ecu'erado de: 0tt':///.!ate!aticas+'oesia.co!.esEDOEdo;3;2.0t!

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