“AÑO DE LA CONSOLIDACION CONSOLIDACION DEL MAR DE GRAU”
ELECTRÓNICA Y AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL LABORATORIO N°10
“Análisis de Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli con Matlab” Curso: Matemática
Aplicada a la Electrónica Docente:
Julio Martin Romero Morante Integrantes:
Huaman Chipana Elio
2016- II
Índice general 1. Introducción ................................................. ..................................................... .... Error! Bookmark not defined. 2. Objetivos generales ......................................... ......................................... Error! Bookmark not defined. 3. Objetivos específicos. es pecíficos. ..................................... Error! Bookmark not defined. 4. Fundamento teórico:........................................ ........................................ Error! Bookmark not defined. 4.2. Ecuaciones diferenciales Ordinarias Exactas: Error! Bookmark not defined. 4.3. Factor Integración Integración ....................................... ....................................... Error! Bookmark not defined. 4.4. Grado de una ecuación diferencial ............. Error! Bookmark not defined. 4.5. Ecuación Diferencial Lineales de Primer Orden Error!
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defined. 4.6. Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli ........ Error! Bookmark not defined.
5. Problemas propuestos propues tos .................................... .................................... Error! Bookmark not defined. 6. CONCLUSIONES .............................................. .............................................. Error! Bookmark not defined. 7. BIBLIOGRAFÍA ................................................. ................................................. Error! Bookmark not defined. Introducción: En este trabajo se verifica cómo las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales pueden ser útiles en las soluciones de variados tipos de problemas de la situación del mundo real, en particular se muestra cómo al traducir problemas de un lenguaje de ecuaciones diferenciales ordinarias, esto es, establecer la formulación matemática de problemas y realización del modelo matemático. matemático . Mediante el análisis Matemático se resuelve ecuaciones diferenciales ordinarias lineales sujeta a condiciones, así mismo con el apoyo del software antes descrito se acelera significativamente los cálculos. El presente trabajo está distribuido en cuatro capítulos, en los tres primeros capítulos se presenta el estudio de las vigas, las ecuaciones diferenciales ordinarias, la modelación de las ecuaciones diferenciales y en el último capítulo se describe los softwares científicos Matlab y Matemática.
Objetivo general:
Aplicar los conceptos y los procedimientos que debemos seguir para resolver Ecuaciones diferenciales Ordinales.
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Objetivos específicos:
Entender el concepto de una EDO lineal de primer orden. Reconocer a una EDO de Bernoulli. Aprender a diferenciar el orden y el frado de las ecuaciones diferenciales. Las cuales se caracterizan por poseer en su estructura, derivadas ordinarias de la variable dependiente. Se cocerá a una ecuación exacta a una expresión diferencial.
Fundamento Teórico: 4.2. Ecuaciones diferenciales Ordinarias Exactas: Se conoce como una ecuación exacta a una expresión diferencial M (x, y)dx+N(x,y)dy en una región R del plano xy si corresponde al diferencial de alguna función f(x,y). Si decimos que M(x,y) y N(x,y) son continuos y tienen primeras derivadas parciales continuas en una región rectangular R definida por a
N x
Asumimos que M(x,y) y N(x,y) se tienen primeras derivadas parciales continuas para todo (x,y). Ahora, si la expresión M(x,y)dx+N(x,y)dy es exacta, existe alguna función f de forma tal que para toda x en R, M(x, y)dx + N(x, N(x, y)dy
f ax
dx
f ay
dy
Por _ lo _ tan to
2 f N M ( x; y ) , N ( x; y ) x x M f 2 f f N y y x x y x y x
Método de Solución Dada una excusión de la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 determina si se cumple la igualdad de las derivadas parciales. Si lo hace, entonces existe una función f para la cual,
2
M y
M ( x, y )
Podemos encontrar f al integrar M(x,y) con respecto a x, mientras y se mantiene constante.
f ( x; y ) M ( x; y )dx g ( y ) (1)
Donde la función arbitraria g(y) es la “constante” de integración. A hora al derivar f (1) Con respecto a “y” y asumir N ( x; y ) . y f M ( x; y)dx g ' ( y) N ( x; y) y y
Esto _ d g ' ( y) N ( x; y)
M ( x; y)dx g ' ( y) (2) y
Por último, integramos (2) con respecto a “Y” y sustituimos el resultado en (1). La solución implícita de la ecuación es f (x; y) =c. También podríamos comenzar el procedimiento anterior con el supuesto de que f N ( x; y ) . Después de integrar N con respecto a “Y” y diferentes entonces ese y resultado, encontraríamos los análogos de (1) y (2), respectivamente, como
f ( x; y) N 8 x; y )dx h( x9 y K ( x) M ( x; y )
N ( x; y)dy x
4.3. Factor Integración Si una ecuación diferencial no es exacta, pudiera llegar a serlo si se la multiplica por una función especial llamada factor integrante, tal que:
Sea exacta. Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor fa ctor integrante siempre existe, pero per o sólo para algunas formas de ecuaciones diferenciales es posible facilmente encontrar un factor integrante:
Factor integrante solo en función de x.
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Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x (es decir, u(x)), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:
Factor integrante solo en función de y . Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a y (es decir, entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente.
),
Factor integrante solo en función de x +y . Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x+y (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente: con
Factor integrante solo en función de x · y . Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x·y (es (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente: con Donde
M·x
Cabe mencionar que:
4.4. Grado de una ecuación diferencial Se denomina ecuación diferencial a una relación entre una función (suficientemente derivable), sus variables y una o varias derivadas sucesivas de la función.
Orden
4
El orden de una excusión diferencial (ordinaria o en derivadas parciales). Es el de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.
Se denomina orden de la ecuación al de la derivada de mayor orden que interviene en la ecuación. d 2 y
d 2 y
dy
5 x 3 y 0.......... .......... ....orden _ 2 _ por dx dx 2 dx 2 y' ' ' y' ' y' y sen3 x.......... .......... ......orden _ 3 _ por _ y' ' '
Grado
Se denomina grado de la ecuación al exponente de la derivada de mayor orden.
El grado de una ecuación diferencial. – Es la potencia a la que elevada la derivada más alta. Siempre y cuando la ecuación diferencial este en forma polinómica. x
e
d 2 y dx
2
senx
dy dx
x.......... .......... .......... 2 do orden....1er grado
4
d 2 y dy 2 2 xy 0.......... .......... ...3er orden.....2 do grado dx dx
4.5. Ecuación Diferencial Lineales de Primer Orden Una EDO será lineal de primer orden si tiene la siguiente forma. dy p ( x ) y q ( x) dx Donde p(x) y q(x) son funciones de x o constantes Método de Solución de Una EDO lineal de primer orden. 1) Ordenar la EDO de la siguiente forma dy p ( x ) y q ( x ) dx 2) Encontrar el factor integrante u e
p ( x ) dx
5
3) Encontrar la solución general
y u 1 uq ( x)dx c
Ejemplo: Resolver la siguiente EDO lineal de primer orden: dy
2
y x 2 cos( x)
dx x Solución 2
ue
x dx
e 2 ln( x ) e ln( x
2
cos xdx xd x c
)
y x 2 x 2 ( x 2 cos x )dx c y x 2
x 2
y x 2 sen( x) c Solución _ General
4.6. Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli Una EDO será de Bernoulli si tiene la siguiente forma. dy dx
p( x) y q( x) y n
Donde p(x) y q(x) son funciones de x o constantes
Método de solución de una EDO de Bernoulli 1. Ordenar la EDO de la siguiente forma. y ' p( x) y
q( x) y
n
y
n
y ' p( x) y
1 n
q( x)
2. Realizar el cambio de variable. y 1
n
z (1 n) n y ' z y n y '
z ¡
1 n
3. Reemplazar el cambio de variable en la EDO, luego simplificar hasta obtener una EDO lineal de primer orden, la cual se tiene que resolver aplicando el método correspondiente. 6
Ejemplo: dy
dx
2 y
x
5 y
3
x 2
Solución: Multiplicando a la EDO por
y
3
y´
2 y
2
5
x
x
2
y
3
y´
y
3
2 y
2
5x
2
x
Cambio de variable y
2
z
2 y
3
y´ z ' y
3
y
z '
2
Remplazando en la Edo y se obtiene una lineal 4 z ' 2 2 z 5 x 2 z ´ z 10 x 2 2 x x 4
Factor _ de _ Integracion _ u e
x dx
4
e 4 ln x e ln x x 4
Solución _ General
z ( x 4 ) 1 x 4 (10 x 2 )dx c z x 4 10 x 6 dx c
x 5 c z x 10 5 y 2 x 4 2 x 5 c 2 x 1 cx 4 4
y 2
1 2 x
1
cx 2
Problemas propuestos: Resolver la siguiente EDO exacta: ( y y cos( xy))dx ( x x cos( xy))dy
0
7
Resolver las siguientes EDOS no exactas
8
(1 x 2 y)dx x 2 ( y x))dy 0
y x
dx ( y 3
ln( x))dy
0
9
( xy x 2 y y 3 )dx ( x 2
2 y 2 )dy 0
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2 ydx
xdy xy 3 dy
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Resolver la siguiente EDO lineal: ( x 5
3 y)dx xdy 0
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Resolver la siguiente EDO de Bernoulli: dy dx
y x 1
1 2
( x 1) 3 y 2
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Conclusiones:
La EDO se debe ordenar según la definición. definición . Calcular el factor integrante, considerar considerar la siguiente identidad e ln( 9 x . Encontrar la solución general. La EDO se debe ordenar según la definición. definición . La EDO se convierte en una EDO lineal mediante un cambio de variable adecuado. Encontrar la solución general aplicando el método de la EDO lineal de primer orden. La solución general debe estar expresada en términos de los variables originales. x
Bibliografías: Recuperado de: https://prezi.com/52unn9vrxsbh/ecuaciones-exactas/ Recuperado de: http://eiceti.tripod.com/sitebuildercontent/sitebuilderfiles/ecdif7.pdf Recuperado de: http://www.matematicasypoesia.com.es/EDO/Edo0302.htm Recuperadode: Recuperadode :https://prezi.com/prdld5_xnnkl/orden-y-grado-de-ecuacionesdiferenciales/ Recuperadode: Recuperadode :https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursoslinea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap2-geo/node7.html Recuperado de: http://www.matematicasypoesia.com.es/EDO/Edo0302.htm
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