Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. 1. Establezca el orden de la ecuación diferencial ordinaria dada. Determine si la ecuación es lineal o no, comparando con la siguiente ecuación:
La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado. Todos los coeficientes coeficient es están en función de la variable independiente
La La Solución:
anterior ecuación es una ecuación lineal ordinaria de orden 3.
2. construya una ecuación diferencial que no tenga ninguna solución real.
Esta ecuación tiene solución imaginaria. Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
Esta ecuación no tiene solución.
3. Construya una ecuación diferencial que usted asegure tenga solo la solución trivial y=0. Explique su razonamiento.
y´=y Razonamiento:
;
Condición inicial: y (0) = 0
Ln l y l= x + c Y=
Y (0)=0 0=c
0=c
0=c
Y=0
Y=0
4. ¿Qué función conoce de cálculo tal que su primera derivada sea ella misma? ¿Que su primera derivada sea un múltiplo Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
Esta ecuación no tiene solución.
3. Construya una ecuación diferencial que usted asegure tenga solo la solución trivial y=0. Explique su razonamiento.
y´=y Razonamiento:
;
Condición inicial: y (0) = 0
Ln l y l= x + c Y=
Y (0)=0 0=c
0=c
0=c
Y=0
Y=0
4. ¿Qué función conoce de cálculo tal que su primera derivada sea ella misma? ¿Que su primera derivada sea un múltiplo Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
constante K de ella misma? Escriba cada respuesta en la forma de una ecuación diferencial de primer orden de solución.
Y(x)=
Y´(x)=
Y(x)=
Y´(x)=
5. Una taza de café se enfría de acuerdo con la ley de enfriamiento de newton. Utilice los datos de de la gráfica de la temperatura T(t)para estimar las constantes T m , To y K en un modelo de la forma de un problema con valores iniciales de primer orden:
T (0) = T˳
Aplicación de la ley de enfriamiento enfriamiento de Newton: Newton:
De acuerdo con la grafica estimamos la temperatura inicial (T˳) y la temperatura del medio
Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
De la gráfica obtuvimos:
y
Debemos resolver el problema con valores iníciales por el método de variables separables.
.9≈ -
= Kt +c
Obteniendo esta expresión: Y cuando T= 25, T=
= 25k
K= -
-0.1
6. Suponga que un tanque grande de mezclado contiene inicialmente 300 galones de agua en los que se disolvieron 50 libras de sal. Entra agua pura a una razón de 3 gal/ min y cuando Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
la solución está bien revuelta, sale a la misma razón. Determine una ecuación diferencial que exprese la cantidad A (t) de sal que hay en el tanque al tiempo t. ¿cuánto vale A (0)?
X=Agua A=Sal
Xo=300 Galones Ao=50 Lb
Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
Cantidad de agua pura que entra
----
Salida solución
-----
) Cantidad que sale de sal = . + = 0 Cantidad que entra de sal = (0) (
Haciendo variables separables
DT
Ln lAl =
A(t)= C
A(0)=50 lb
7. suponga que en un principio un gran depósito de mezclado contiene 300 galones de agua en la que se han disuelto 50 libras de sal. Otra solución de salmuera se bombea hacia el depósito a razón de 3 galones por minuto, y cuando la solución está bien Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
agitada, se bombea hacia afuera sólo 2 galones por minuto. Si la concentración de la solución entrante es 2 libras por galón, determine una ecuación diferencial para la cantidad de sal A (t) que se encuentra en el tanque en el instante t. Flujo de entrada 3 gal/min de solución 2 lb/ gal de concentración 300 gal de agua + 50 lb de sal
Flujo de
¿Cuál es la cantidad
Salida
de sal (A) en el tanque
3 gal/min de solución
en un tiempo t?
Solución:
Sabemos que la cantidad de sal (A) que se encuentra en el tanque en un tiempo t, está dado por la cantidad de sal que entra al recipiente y la cantidad de sal que sale de este; matemáticamente esto es expresado como:
= R R Donde la cantidad de sal que entra (R R = 3 2 = 6 entrada –
salida
entrada)
entrada
está dada por:
*
Donde el primer término de esta expresión es la velocidad de entrada de la solución, y el segundo es la concentración de este flujo. Y la cantidad de sal que sale es: R salida = (
) (2 ) =
Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
En esta expresión el primer término es la concentración de sal en el flujo de salida, la concentración de esta, está dada por la cantidad de soluto (sal) sobre la cantidad de solvente (agua), y está última varía con el tiempo porque el flujo de salida es menor que el de entrada. Retomando tenemos que:
= R R = 6 - Para resolver está ecuación diferencial, entonces tenemos que: = 6 - entrada –
salida
Llevando la ecuación a la forme estándar:
+ = 6
Entonces:
f(x)=6 P(x)= = = (300+ t)
Factor Integrante:
2
Extrapolando con la solución estándar encontramos que:
+ dt A (t) = + A (t) =
Simplificando: A (t) =
+ 2(300+t)
Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
=
8. Suponga que está saliendo agua de un tanque a través de un agujero circular de área Ao que está en el fondo. Cuando el agua sale a través del agujero, la fricción y la contracción de la corriente cerca del agujero reducen el volumen de agua que sale del tanque por segundo a , donde c es una constante empírica. Determine una ecuación diferencial para la altura h del agua al tiempo t para el tanque cubico que se muestra en la figura. El radio del agujero es de 2 pulg y
9 9 Partimos de:
En primer lugar podemos obtener el volumen del tanque:
Como la altura y el volumen varían con respecto al tiempo, tenemos
Pero
Sustituyendo
Pero como el nivel del agua está disminuyendo concluimos. Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
9. un circuito en serie tiene un resistor y un inductor como se muestra en la figura. Determine la ecuación diferencial para la corriente i(t) si la resistencia es R, la inductancia es L y el voltaje aplicado es E(t).
Caídas de voltaje: VR= iR ; VL=L
E(t): iR + L E(t):R
+ L
10. Un circuito en serie de contiene un resistor y un capacitor como se ilustra en la Figura. Determine una ecuación diferencial para la carga q (t) en el capacitor se la resistencia es R, la capacitancia es C y el voltaje impreso es E (t).
De acuerdo a la segunda ley de kirchhoff el voltaje aplicado E (t) a un circuito cerrado debe ser igual a la suma de las caídas respectivas de voltaje en el circuito. Como la corriente i (t) está relacionada con la carga q (t) en el capacitor mediante . Sumamos:
;
Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
Caída del resistor
Caída capacitor
11. Caída libre y resistencia del aire Para movimientos de gran rapidez en el aire, como el de un paracaidista, que está cayendo antes de que se abra el paracaídas la resistencia del aire es cercano a una potencia de la velocidad instantánea v(t). Determine una ecuación diferencial para la velocidad v(t) de un cuerpo de masa m que cae, si la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea.
2
Kv
Dirección ositiva
mg
El peso actúa sobre el cuerpo hacia abajo (dirección Positiva). La resistencia (k v2) con k>0 actúa para impedir el movimiento, va hacia arriba (dirección Negativa)
Utilizando la segunda ley de Newton
Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
Igualo sumatorias de fuerza
12. Un barril cilíndrico de s pies de diámetro y w lb de peso, está flotando en agua como se muestra en la figura 1.3.16a. Después de un hundimiento inicial el barril presenta un movimiento oscilatorio, hacia arriba y hacia abajo, a lo largo de la vertical. Utilizando la figura 1.3.16b, defina una ecuación diferencial para establecer el desplazamiento vertical y(t), si se supone que el origen está en el eje vertical y en la superficie del agua cuando el barril está en reposo. Use el Principio de Arquímedes: la fuerza de flotación o hacia arriba que ejerce el agua sobre el barril el igual al peso del agua desplazada. Suponga que la dirección hacia abajo es positiva, que la densidad de masa del agua es 62.4lb/pies3 y que no hay resistencia entre el barril y el agua.
Solución. Según el Principio de Arquímedes se tiene: La fuerza ascendente del agua sobre el barril = Peso del agua desplazada Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
= (62,4) x (Volumen de agua desplazada)
= (62,4) (s/2)2 y =15,6 s2y Utilizando la segunda ley de Newton tenemos:
+
= 0 ;
= - 15,6 s² y
= 32 pies/seg² y w= el peso del barril en libras
13. Después de que se fija una masa M a un resorte, este se estira S unidades y cuelga en reposo en la posición de equilibrio. Después el sistema masa-resorte se pone en movimiento, sea que X (t) denote la distancia dirigida del punto de equilibrio a la masa. Suponga que la dirección hacia abajo es positiva y que el movimiento se efectúa en una recta vertical que pasa por el centro de gravedad de la masa y que las únicas fuerzas son el peso de la masa y la fuerza restauradora del resorte estirado. Utilicé la ley de Hooke: la fuerza de restauración de un resorte es proporcional a su elongación total. Determine una ecuación diferencial del desplazamiento X (t) al tiempo t.
Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
Condición de equilibrio: Mg = k S
Aplicando la segunda ley de Newton
Obtenemos Mg k (x + S ) = M Mg kx kS = M ∑F = Ma ; donde a =
– –
–
Teniendo en cuenta la condición de equilibrio obtenemos la siguiente ecuación
Mg kx Mg = M -kx = M
–
–
+
= 0
Esta ecuación diferencial representa un movimiento armónico simple. Esta es una ecuación diferencial : 1. Ordinaria 2. De orden 2 3. lineal 4. Homogénea
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14. Segunda Ley de Newton y ley de Hooke.
Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
Después de que se fija una masa a un resorte, éste se estira unidades y cuelga en resorte en la posición de equilibrio como se muestra en la figura. Después el sistema resorte/ masa se pone en movimiento, sea que denote la distancia dirigida del punto de equilibrio de la masa. Suponga que la dirección hacia abajo es positiva y que el movimiento se efectúa en una recta vertical que pasa por el centro de gravedad de la masa y que las fuerzas que actúan sobre el sistema son el peso de la masa, la fuerza de restauración del resorte estirado y una fuerza de amortiguamiento sobre el sistema masa resorte que es proporcional a la velocidad instantánea de la masa y actúa en dirección contraria al movimiento. Utilice la Ley de Hooke: la fuerza de restauración de un resorte es proporcional a su elongación total. Determine una ecuación diferencial del desplazamiento .
Sin una fuerza de amortiguamiento, la ecuación diferencial es:
Con una fuerza de amortiguamiento proporcional a la velocidad, la
ecuación diferencial viene ser La ecuación diferencial es:
15. Segunda ley de newton y la ley de la gravitación universal. De acuerdo con la ley de la gravitación universal de Newton, la aceleración de caída libre a de un cuerpo, tal como el satélite que se muestra en la figura, que está cayendo desde una gran distancia hacia la superficie no es la constante g. Mas bien, la aceleración a es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde el centro de la tierra a=k/r 2 donde K es la constante de proporcionalidad. Utilice el hecho de que en la Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
superficie de la tierra, r=R y a=g, para determinar K. Si la dirección positiva se considera hacia arriba, utilice la segunda ley de Newton y la ley de la gravitación universal para encontrar, una ecuación diferencial para la distancia r.
Según la ley de la gravitación universal, la aceleración de caída libre es a Si
Si
donde, K= Constante de proporcionalidad r= Distancia desde el centro de la tierra (En la superficie de la tierra)
Para la superficie de la tierra (La dirección vertical hacia arriba es el eje positivo y el contrario sería el negativo)
Si
Despejando a K 2
Constante de Proporcionalidad en la superficie de la
tierra
Según la Segunda Ley de Newton F = ma
Si la fuerza neta del objeto es igual a la fuerza que ejerce el peso del objeto
(La fuerza del peso del objeto es negativa porque el objeto va cayendo, es decir, va en dirección contraria a nuestro eje positivo) Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
Pero como
2
La Ecuación diferencial para la distancia r es:
16. Modelo de población. La ecuación diferencial
, donde k es una constante positiva, modela la población humana, P (t), de cierta comunidad. Analice e interprete la solución de esta ecuación. En otras palabras, ¿Qué tipo de población piensa que describe esta ecuación diferencial? Solución:
Para la solución del ejercicio podemos observar que la ecuación diferencial es de primer orden y de variables separables, debido a que sus dos variables P (población) y t (tiempo) se pueden factorizar como el producto de una función de t por una función de P así: Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
.
Separamos las variables:
Integramos:
1
(Propiedades de exponentes)
Haciendo C igual a
se obtiene:
Condiciones iníciales:
En la desarrollo de una dinámica poblacional se supone que para el tiempo en el cual se aplica el modelo (t=0), la población presente va a ser una población inicial puesto que es necesario partir con una cantidad establecida. t=0;
P(o)=P o
Aplicamos las C.I:
Po: población inicial
Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
Gráficamente, el comportamiento de la población que describe esta solución es el siguiente:
Análisis e interpretación:
Mediante la gráfica podemos observar que la solución de la ecuación diferencial representa a una población con comportamiento periódico, es decir que crece y decrece en intervalos de tiempo. Este tipo de comportamiento en los seres vivos describe algunos fenómenos como la actividad del corazón, respiración, ciclos circadianos, mestruación etc cuyas representaciones gráficas son del tipo sinusoidal. Un tipo de población que describiría esta ecuación diferencial seria la población que padece de tiempos de hambrunas, ya que mientras tengan una cantidad de alimentos suficientes para satisfacer sus necesidades van a encontrarse con buena salud, pero en el momento en que estos comienzan a escacear, gran parte de la población comenzará a sufrir enfermedades hasta el punto en el que algunas personas mueren. Otro tipo de población de seres vivos que describiría sería por ejemplo una población de conejos al acecho de zorros depredadores.
Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
17. Crecimiento poblacional: Se sabe que la población de una comunidad crece con una razón proporcional al número de personas presentes en el tiempo t. Si la población inicial P 0 se duplicó en 5 años, ¿En cuántos años se triplicará y cuadruplicará? Solución:
Para responder a estas preguntas lo primero que se debe es plantear una ecuación diferencial de crecimiento poblacional como la siguiente:
F(x)= en la cual se sustituye x por P: F(p) = P en donde reagrupando términos obtenemos una ecuación diferencial separable de primer orden como se muestra: F(x)− =0 Forma estándar de la E.D De la cual tenemos P (t)=-k y F(t)=0 donde el Factor integrante para esta ED es:
=
(F.I):
Obteniéndose una familia uniparamétrica de soluciones: P= C
Ahora haciendo uso de las condiciones iníciales t=0 y P puede obtener C
Po=C
Donde C=P0
(0)=Po,
se
P(t)=
Sabiendo que la población se duplicó en cinco años se puede despejar K como sigue: P=2Po, t=5
2Po=Po
Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
ln(2)=5k k=
La solución de la ecuación diferencial original viene dada por:
P(t)=
a) P(t)=3Po, t=?
≈
3Po=
ln(3)= t= t
7,9 años
b) P(t)=4Po , t=?
4Po=
ln(4)= t=
t=10 años
18. Inicialmente había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas la masa disminuyó 3%. Si la razón de decaimiento, en cualquier momento, es proporcional a la cantidad de la sustancia presente al tiempo t, determine la cantidad que queda después de 24 horas. Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
Ln l c l= kt+c-------------- c(t)= T=0--------- c=100mg
T=6H-------C=0,97(100)
C(T)=100 Y T=0
100=C
100= c
C(t)=100 97=100 Ln
=6k
K=-5,076* C(t)=100
*
t
Si c(t) C=co
C(t)=Co T=? C(t)=
/Co=
Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
Ln( =kt -Ln2=kt T =-
T=-
T=136,55 h
19. Los arqueólogos utilizan piezas de madera quemada o carbón vegetal, encontradas en un lugar para datar pinturas prehistóricas de paredes y techos de una caverna en lascaux, Francia. Precise la edad aproximada de una pieza de madera quemada, si se determino que 85.5% de su C-14 encontrado en los arboles vivos del mismo tipo se había desintegrado. El método se basa en que se sabe que la vida media del C-14 radiactivo es aproximadamente 5600 años.
Sea Ao la muestra de C-14 encontrada en la pieza de madera.
Sea la cantidad de C-14 presente en la madera que quedo a través del tiempo. Se soluciona el problema con valores iniciales.
.
Si se sabe que 5600 es la vida media del C-14, entonces tenemos.
(1)
Partiendo de Necesitamos hallar el valor de la constante. Usamos el hecho de la ecuación (1).
Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
Como se desintegro el 85,5% del C-14, entonces resta un 14,5%, de donde
99
Al reemplazar se obtiene:
Respuesta: la madera hallada en la caverna data de hace 15600 años.
20. Muchos creen que la Sábana Santa de Turín, que muestra el negativo del cuerpo de un hombre que al parecer fue crucificado, es la mortaja de Jesús de Nazareth. En 1988 el Vaticano otorgó el permiso para fecharlo con carbono. Tres laboratorios independientes analizaron la tela y concluyeron que el sudario tenía alrededor de 660 años de antigüedad, una edad consistente con su aparición histórica. Con esta edad determine qué porcentaje de C-14original permanecía en la tela en 1988.
Solución:
La cantidad de carbono presente en la tela depende de la cantidad original de este, matemáticamente:
αx
Para llevar esta expresión a una igualdad es necesario agregar una constante de proporcionalidad, en este caso es la constante de desintegración, entonces tenemos: Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
= kx Llevando la ecuación diferencial a la forma estándar: kx = 0 –
Donde: P(x)= -k
f(x)=0 Factor Integrante:
=
=
Extrapolando de la solución estándar tenemos: X (t)= c
Para hallar el valor de C, utilizamos la siguiente condición inicial: X (0) = Xo C = Xo La ecuación queda del siguiente modo: X (t) = X o
Para nuestro problema esta será la ecuación que vamos a emplear: Vamos a hallar primero el valor de la constante de desintegración del carbono, para esto conocemos un dato importante, el tiempo de vida media del carbono es de 5600 años. El tiempo de vida media es el tiempo necesario para que una determinada sustancia se desintegre hasta la mitad de la cantidad original. Trasladando esto a términos matemáticos:
= X e o
5600k
Simplificando y despejando tenemos que k:
Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
K =
K=1.23*10-4 Volviendo a nuestra ecuación y reemplazando el valor de k, tenemos: X (t) = X o
.
La cantidad inicial de C-14 en la tela era el 100% y el tiempo t=660 años, reemplazando los datos: X (t)=100*
.
X (t)= 92.20%
21. Un termómetro se lleva de una habitación hasta el ambiente exterior, donde la temperatura del aire es 5° F y después de 5min indica 30° F ¿Cuál era la temperatura inicial de la habitación?
= K(T - Tm)
t min T °F
=
[ Ln (T-5) = Kt + C ]* e T-5=
1. T=
+5
Si t=5 y T=30° Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
0
1
5
55
30
30= 2.
+5
=
Si t=1 y T=55°
55=
+5
50=
(
)
[
= ]*ln
3. K=-0.1733 3 en 2
. . =
= 59.5
T=
TO =
+5 * 59.5 +5
TO =64.5
22. Al tiempo t=0 un tubo de ensayo sellado que contiene una sustancia química está inmerso en un baño liquido. La temperatura inicial de la sustancia química en el tubo de ensayo es de 80 °F. El baño liquido tiene un temperatura controlada (medida en grados Fahrenheit) dada por , t≥0, donde t se mide en minutos.
.
a) Suponga que k=-0.1 en la ecuación (2). Antes de resolver el PVI, describa con palabras como espera que sea la temperatura T (t) de la sustancia química a corto plazo. Y a largo plazo. Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
b) Resuelva el problema con valores iníciales. Use un programa grafico para trazar la grafica de T (t) en diferentes intervalos de tiempo. ¿las graficas concuerdan con sus predicciones del inciso a)?
Según la ley de enfriamiento de Newton se tiene que:
Separando diferenciales e integrando tenemos:
.
Dado que la Tm está dada por: ; para t≥0
Podemos concluir la formula de esta manera:
a) Para k=-0.1 la formula queda:
Dado que el problema presenta en su desarrollo funciones exponenciales se esperaría que la temperatura a corto plazo varié notablemente. Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
Y partiendo del planteamiento anterior de las funciones exponenciales, podemos afirmar que la temperatura a largo plazo casi no varía o tiende a estabilizarse. Porque tiende a cero cuando el tiempo aumenta, por ende la temperatura de la sustancia tiende a 100 para este caso. b) Resolviendo el problema con valores iníciales podemos concluir:
.
Entonces la ecuación queda:
T=
. . .
Grafica general
En el intervalo t=0s a t=40s
Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
Grafica en el intervalo t=0 a t=200
23. Un cadáver se encontró dentro de un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante a 70 °F. Al tiempo del descubrimiento la temperatura del corazón del cadáver se determinó de 85 °F. Una hora después una segunda medición mostro que la temperatura del corazón era de 80 °F. Suponga que el tiempo de la muerte corresponde a t = 0 y que la temperatura del corazón era en ese momento de 98.6 °F. Determine cuantas horas pasaron antes de que se encontrara el cadáver.
Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
Según el modelo de enfriamiento de NEWTON, la variación de la temperatura con respecto al tiempo, es directamente proporcional al diferencial de temperaturas (TEMP del medio y TEMP del objeto en estudio) por una constante.
= K ( - )
Teniendo en cuenta que la
= 70°F se tiene que:
=
Resolviendo las integrales:
= K t + C
Aplicando
obtenemos:
T – 70 =
→ T- 70 =
; donde
=
Así pues:
T(t) = 70 +
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales : T(0) = 98,6°F ; entonces
T(0)= 98,6 = 70 + 98,6 = 70 +
→
, como
= 1 ; se tienes que:
= 28,6
→T(t) = 70 +
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Como la temperatura a la hora del descubrimiento T( )= 85°F y una hora después del descubrimiento la temperatura T( +1)= 80°F, tenemos las dos siguientes ecuaciones: →
(1)
85= 70 + 28,6
(2) 80 = 70 + 28,6
De la ecuación (1)
= = K Aplicando y despejando K tenemos que: K=- →
Reemplazo K en la ecuación (2):
80 = 70 + 28,6 Entonces: = ; al aplicar ln obtenemos: →
=
→
=
≡ 1,6
Entonces, pasaron aproximadamente 1,6 horas antes de que se encontrara al cadáver.
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24. LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO /CALENTAMIENTO
La razón con la que un cuerpo se enfría también depende de su área superficial expuesta S. Si S es una constante, entonces una modificación a la ecuación de la ley de enfriamiento/calentamiento es
Donde k<0 y Tm es una constante. Suponga que dos tazas A y B están llenas de café al mismo tiempo. Inicialmente la temperatura del café es de 150 F. El área superficial del café en la taza B es el doble del área superficial del café en la taza A. Después de 30 minutos la temperatura del café de la taza A es de 100F. Si Tm=70 F, entonces ¿Cuál es la temperatura del café de la taza B después de 30 minutos?
Se identifica que con valores iniciales:
. Por lo tanto se debe resolver el problema
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Taza de café A:
.9 Y determinar el valor de de modo que
La ecuación es tanto lineal como separable.
Se obtiene
Y por consecuencia,
cuando
Así
Por consiguiente
Por último, la medición de
conduce a
Ahora bien, siendo k una constante de proporcionalidad, podemos utilizar este valor para encontrar el valor de para el café de la taza B La ecuación es tanto lineal como separable.
Se obtiene
Y por consecuencia,
cuando
Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
Así
. .9 Por tanto obtenemos
RTA: La temperatura del café de la taza B, después de 30 minutos, es
de 81.2529 .
25. Un tanque contiene 200 litros de un líquido en el que se han disuelto 30g de sal que tiene 1g de sal por litro entra al tanque con una razón de 4Lt/min; la solución bien mezclada sale del tanque con la misma razón. Encuentre la cantidad A(t)de gramos de sal que hay en el tanque al tiempo t.
Por la ecuación
Concentración de sal en el efluente
Razón de entrada de la salmuera
Razón de entrada de la sal
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Concentración de sal en el efluente
Razón de salida de la salmuera
Razón de salida de la sal
Entonces
Si la cantidad inicial de sal en el tanque es A(0)=30g
Entonces el factor integrante de esta ecuación es:
Derivando
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Integrando
dt
Si se divide entre el Factor Integrante
Si t=0
A=30
Entonces:
26. Mezcla de dos soluciones. Un tanque contiene 200L de un líquido en el que se han disuelto 30g de sal. Agua pura entra al tanque con una razón de 4L/min; la solución bien mezclada sale del tanque con la misma razón. Encuentre la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque al tiempo t. Solución:
Para el desarrollo de este ejercicio debemos establecer una ecuación diferencial cuya solución me permita determinar la cantidad A(t) de sal en el tanque a un tiempo establecido, por lo cual las variables en juego son el tiempo t, y la cantidad de sal A(t). Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
Como el flujo de salida de la solución final es igual al que está entrando, se supone que el volumen dentro del tanque va a ser siempre el mismo pero va a haber una variación de la cantidad de sal en este con el paso del tiempo. Esta variación es igual a la diferencia entre la razón de entrada y la razón de salida de la sal. Tenemos entonces:
La razón de entrada de la sal al tanque es el producto de la concentración de entrada de la sal por la razón de entrada del fluido. Tenemos entonces:
Rentra= (0 g/L).(4 L/min) = 0 g/min de sal
Ahora, como el volumen del tanque se mantiene constante debido a que la solución sale de este con la misma razón con la que entra, la concentración de sal en el tanque así como en el flujo de salida es:
Por lo tanto la razón de salida es:
. Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
La ecuación queda entonces:
Separamos las variables:
Integramos:
.
(Propiedades de exponentes)
Haciendo C igual a
se obtiene:
Condiciones iníciales: Definimos el instante t=0 como el tiempo en el cual empieza a entrar agua pura al tanque para lo cual la cantidad de sal que hay en este es aquella presente en la solución inicial, es decir 30 g. Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
t=0;
A(o)=30 g
Aplicamos las C.I:
Gráficamente se tiene:
27. Se aplica una fuerza electromotriz de 30v a un circuito en serie LR con 0,1 henrys de inductancia y 50 ohms de resistencia. Determinar la corriente i(t), si i(o)=o .Determine la corriente conforme
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Condiciones iníciales
Voltaje de caída en el inductor y en el resistor
Por leyes de Kirchhoff
Forma estándar
Donde
Factor integrante
. . Resolviendo por la ecuación lineal Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
. . . Siendo y=i
Reemplazando las condiciones iníciales, i(o)=o, obtengo el valor de C
Reemplazando en la ecuación lineal
Cuando
28. Resuelva la ecuación (7) suponiendo que que o. Ecuación (7)
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=
y
Reemplazando
=
Se lleva la ecuación a la forma
Entonces
Donde
Se determina el factor de integración
De lo anterior se tiene
+
+
Se desarrolla la integral y se tiene Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
=
Realizando de nuevo la integración por partes se tiene:
=
Finalmente se reducen términos y se halla la integral:
+
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Reemplazando condiciones iníciales
0+
Entonces:
0
29. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 voltios a un circuito en serie RC, en el que la resistencia es de 200 Ohmnios y la capacitancia es de 0.0001 Faradios. Determine la carga q(t) del capacitor, si q(0)=0. Encuentre la corriente i (t).
R=200 (Ω)
E(t)=100(V)
C=0.0001 (F)
Para plantear el modelo matemático usaremos la segunda ley de Kirchhoff donde establece que “El voltaje aplicado a un circuito en serie es igual a la suma de las caídas de voltaje en el circuito”
Caída de voltaje en un resistor:
Caída de voltaje en un capacitor:
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Donde hemos utilizado
Llevamos la ecuación diferencial a la forma estándar al dividir entre
Se reconoce que
Entonces el factor integrante es igual
.
. y
La solución como tal es
En particular indefinida se obtiene:
es una constante y al solucionar la integral
Como se puede apreciar es una familia de soluciones de un parámetro para conocer el valor de este ( ) utilizamos la condición inicial
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En general se obtiene la siguiente solución como respuesta al problema
Al derivar la carga con respecto al tiempo podemos hallar la corriente
Al reemplazar los distintos valores de las constantes finalmente se obtiene:
. .
y
.
30. Ecuación diferencial que describe la velocidad v de una masa sujeta que cae sujeta a una resistencia del aire proporcional a la velocidad instantánea es:
Donde es una constante de proporcionalidad. La dirección positiva se toma hacia abajo.
a. Resuelva la ecuación sujeta a la condición inicial . b. Utilice la solución anterior para determinar la velocidad limite o terminal de la masa. c. Si la distancia s, medida desde el punto en el que se suelta la masa se relaciona con la velocidad v por , determine una expresion explicita para s(t) si
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Solución:
Analizamos la ecuación.
1
2
a. Entonces, igualando 1 y 2
Resolviendo:
Reemplazando:
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b. Tenemos que:
c. Ahora si s(0)=0, entonces.
Integrando tenemos que.
31. Marcapasos de corazón : En la figura 3.1.12 se muestra un marcapasos de corazón, que consiste en un interruptor, una batería, un capacitos y el corazón como un resistor. Cuando el interruptor S esta en P, el capacitor se carga; cuando S esta en Q el capacitor de descarga, enviando estímulos eléctricos al corazón. En el problema 47 de los ejercicios 2.3 vimos que durante este tiempo que se están aplicando estímulos eléctricos al corazón, el voltaje E a través del corazón satisface la ED lineal
a) Suponga que el intervalo de tiempo de duración , el interruptor S está en la posición P como se muestra en la figura 3.1.12 y el capacitor se está cargando. Cuando el interruptor se mueve a la posición Q al tiempo el Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
capacitor se descarga, enviando un impulso al corazón durante el intervalo de tiempo de duración Por lo que el intervalo inicial de carga descarga el voltaje en el corazón se modela realmente por la ecuación diferencial definida por tramos.
.
Al moverse S entre P y Q, los intervalos de carga y descarga de duraciones y , se repiten indefinidamente. Suponga que s, etc. Determine para b) Suponga para ilustrar que . Utilice un programa de graficación para trazar la grafica de la solución del PVI del inicio a) para
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S ol u c ión p a rt e a :
Para , , y voltaje no está siendo aplicado en el corazón y
Para los otros tiempos , 10 , la ecuación diferencial está dada por:
, el
.
y
Por medio de separación de variables tenemos:
Entonces tenemos:
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S ol u c ión p ar te b :
32. Con base en la hipótesis de modelado de la ecuación (1), determine una ecuación diferencial que describa la población, P(t), de un país, cuando se permite una inmigración de tasa constante r. Ecuación (1):
De acuerdo a la ecuación (1), la tasa de crecimiento de la población de un país crece en forma proporcional a la población total, P(t), de ese país en cualquier momento t. Donde K es constante de proporcionalidad. Teniendo en cuenta las condiciones dadas para el problema como la inmigración de tasa constante r, se tiene:
Una medicina se inyecta en el torrente sanguíneo de un paciente a flujo constante r g/s. Al mismo tiempo, esa medicina desaparece con un razón proporcional a la cantidad X(t) presente en cualquier Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
momento t. Formule una ecuación diferencial que describa la cantidad X(t). El modelo a emplear es:
) –
Con los datos del problema:
Donde r = flujo constante en g/s de entrada de la medicina, y la medicina desaparece con una razón proporcional a la cantidad x(t) presente en cualquier momento t. En el momento t=0, se introduce una innovación tecnológica en una comunidad de n personas, cantidad fija. Proponga una ecuación diferencial que describa la cantidad de individuos, X(t) presente en cualquier momento t que hayan adoptado la innovación.
, depende de las personas que hayan adoptado la innovación y de las que no lo hayan hecho. Denotamos: X= número de personas en la población que han adoptado la inovación Y= número de personas en la población que no han adoptado la innovación n= Total de personas en la comunidad = X+Y
Donde Y = n –X, entonces:
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– 33.
Un tanque tiene la forma de cilindro circular recto, de 2ft de
radio y 10ft de altura, parado sobre una de sus bases. Al principio, el tanque está lleno de agua y ésta sale por un agujero circular de ½ in de radio en el fondo. Con la información del problema anterior, formula una ecuación diferencial que exprese la altura del agua en cualquier momento t.
La velocidad de salida del agua por el agujero= A0=area del agujero=
r=(1/2)x0,083= 4,166x10-2
A0=1,735x10-3
Volumen de agua que sale del tanque: v(t)= A0
Teniendo en cuenta la fricción y la contracción de la corriente cerca al agujero, tenemos: 1)
; 0
Como el cilindro es circular recto entonces el volumen de agua en cualquier momento t, se expresa como: 2)
;
Derivando 2,
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3)
Reemplazando 3 en 1, entonces
Donde A0= 4,16x10-2 Aw=4π g= 32ft/s2 t=0 cuando h=10 34.
Una persona P parte del origen y se mueve en la dirección
positiva del eje x, tirando de una carga que se mueve a lo largo de la curva C. Esa curva se llama ¨tractriz¨. La carga que al principio se hallaba en el eje y, en (0,S) está en el extremo de la cuerda de longitud constante s, que se mantiene tensa durante el movimiento. Deduzca la ecuación diferencial para definir la trayectoria del movimiento ( la ecuación de la ¨tractriz¨). Suponga que la cuerda siempre es tangente a C.
De acuerdo con la grafica tenemos que:
tan(
también se tiene que:
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Pero , puesto que tan es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P(X,Y), reemplazando obtenemos finalmente:
35. Suponga que se perfora un agujero que pasa por el centro de la Tierra y que por él se deja car un objeto de masa m. Describa el posible movimiento de la masa. Formule un modelo matemático que lo describa. Sea r la distancia del centro de la Tierra a la masa en el momento t, y M la masa de la Tierra. Sea M r la masa de la parte de la Tierra que está dentro de un radio r, sea δ la densidad constante de la Tierra.
Al dejar caer la masa dentro del agujero será atraída por la masa de la Tierra y éste fenómeno se describe con la siguiente ecuación: 1.
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Al caer la masa tendrá una velocidad y por ende una aceleración, aceleración, entonces, según la segunda ley de Newton,
2.
Teniendo en cuenta la masa de la Tierra, ; donde δ es constante
Reemplazando 2 en 1 se obtiene
Que nos describe un movimiento armónico simple debido a que la masa es atraída por la Tierra de la siguiente forma: La máxima elongación va a ser r. r
La partícula al llegar a –r va a ser atraída por la gravedad de la tierra y regresa a r con una velocidad. El anterior movimiento se repite indefinidamente. indefinidamente.
36. En hidrodinámica, la ley de Torricelli establece que la velocidad de salida del agua a través de un agujero en el fondo de un tanque lleno con agua hasta alguna altura h es igual a la velocidad de un objeto que cae libremente desde una altura h:
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Donde g es la aceleración de la gravedad. Como la velocidad del agua que sale del tanque es
Entonces el volumen de agua que sale del tanque es
Pero como en este ejercicio se tiene en cuenta la fricción y la contracción de la corriente cerca del agujero, entonces el flujo de agua por segundo será:
Donde
0
Como el cilindro es circular recto, entonces, el volumen de agua en cualquier momento t, se expresa como:
Donde Aw es el área constante de la superficie superior de agua:
37. Una tasa de café se enfría obedeciendo a la Ley de newton del enfriamiento. Con los datos obtenidos de la grafica de la temperatura T(t), calcular Tm, To y K Con un modelo de la forma:
1
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T(0)=To
Solución: Según la Ley empírica de Newton acerca del enfriamiento,
la rapidez con que se enfria un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio que le rodea. Si T(t) representa la temperatura del objeto en el momento t>0, Tm es la temperatura constante del medio que lo rodea y es la rapidez con que se enfria el objeto.
La ley de Newton de enfriamiento se traduce en l ecuación 1 lineal de primer orden. En donde K es una constante de proporcionalidad. Como se supone que el objeto se enfria entonces se debe cumplir: T>Tm. En concordancia es lógico que K<0. Tomando como base ésta ecuación y la grafica mostrada tenemos: Gráficamente se ve que: T(0)= 180⁰c y Tm=75⁰c
Utilizando la ecuación 1 resolvemos el problema de valor inicial Haciendo una tabla de datos de la grafica se tiene:
T(t)⁰c
t( min)
180
0
160
2.5
140
5
120
7.5
Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
75.5
50
Desarrollando:
, T(0)=180 c modo que T(10)=110 c ⁰
y determinando el valor de K de tal
⁰
Como la ecuación es lineal y separable a la vez, entonces:
Integrando a ambos lados se tiene:
Por ultimo T(10)=110 ⁰c, Conduce a :
Tenemos que:
9
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38. Explique por que la ecuación diferencial
No tiene soluciones reales cuando lxl<2,lyl>2 ¿Hay otras regiones en el plano XY donde no tenga solución?
Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
Mediante el procedimiento anterior se puede demostrar que la ecuación
no tiene solución dentro de los reales cuando lxl<2, lyl>2, pues en estos intervalos se obtiene una cantidad subradical negativa, la cual no tiene valor en los reales. LA ECUACION NO TIENE SOLUCION EN LOS INTERVALOS:
lxl
, lyl>2
y lxl <2, lyl
39. Un peso de 96lb resbala pendiente debajo de un plano inclinado que forma un ángulo de 30 con la horizontal. Sí el coeficiente de fricción dinámica es μ, deduzca la ecuación diferencial para la velocidad, V(t), del cuerpo en cualquier momento. Aplique el hecho de que la fuerza de fricción que se opone al movimiento es μN, donde N es la componente del peso normal al plano. Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
SOLUCION:
Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son el peso, la normal y la fricción; el movimiento es producido por la componente del peso en el eje X. Vamos a trabajar el problema por vectores con el fin de disminuir el numero de componentes de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, rotaremos el plano cartesiano 30 ⁰ en sentido anti horario. De ésta forma vemos que la fricción y la normal tienen una única componente mientras que el peso dos.
Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
Estas componentes son: -mgsen30 en el eje x` -mgcos30 en el eje y`
Analizando el movimiento en cada eje tenemos: En X` →∑Fx`=ma
-mgsen30-μN=ma
1
En Y`→∑Fy`=0
N-mgcos30=0 2
Despejando N tenemos: N= mgcos30
3
Reemplazando 3 en 1 tenemos: -mgsen30-μ mgcos30=ma -mg(sen30-μ cos30)=ma
Dividiendo entre m a ambos lados se tiene:
Como
-g(sen30- μ cos30)=a
4
, para hallar la velocidad integramos a ambos lados 4,
5
Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
Si tenemos condiciones iniciales V(0)=0, entonces c=0. C depende de las condiciones iniciales dadas. La ecuación 5 es la ecuación para la velocidad en cualquier tiempo.
Resolviendo 5 por variables separables tenemos:
6
6 es la solución general a la ecuación 5.
40. PROBLEMA DEL QUITANIEVES.
En esta sección proponemos y resolvemos un problema que ilustra la forma en la cual se utilizan las ecuaciones diferenciales. No es un problema matemático puro, es decir, uno que provea todas las hipótesis necesarias para obtener una respuesta, sin embargo es del tipo más frecuente encontrado por los matemáticos. Para resolverlos, es necesario hacer lo que puede ser una asunción física. Para cualquiera que pueda objetar la realización de asunciones o presunciones le podemos decir que mucho en el progreso de la ciencia es debido a hombres que tienen el coraje de asumir situaciones, el buen sentido para asumir razonablemente y la capacidad de dibujar correctas soluciones a partir de estas asunciones. Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
Un día comenzó a nevar a una tasa pesada y constante. Una máquina quitanieves comenzó a trabajar a medio día, avanzando a 2 millas la primera hora y a una milla la segunda hora. ¿A que hora comenzó a nevar? Nuestra primera meta es tratar de recobrarnos del choque de que nos pidan que tratemos de resolver semejante problema. En primer lugar, los datos del problema están de acuerdo con la idea de que el quitanieves se moverá más lentamente a medida que la capa de nieve se engruese. Esta idea sin embargo no es suficientemente precisa para permitirnos resolver el problema; debemos realizar alguna asunción envolviendo la tasa en la cual el quitanieves limpia la nieve de la calle. Sin pretender determinar cuales asunciones puedan ser igualmente buenas o se desempeñen mejor, asumimos que el quitanieves quita la nieve a una tasa constante de K metros cúbicos por hora. Luego t será el tiempo medido en horas a partir del medio dia, y x denotará la profundidad en mm de nieve en un tiempo t. Además y denotará la distancia que se mueve el quitanieves con respecto al tiempo.
Luego
es
la velocidad del quitanieves y nuestra asunción será:
Donde w es la anchura que da el quitanieves.
Para encontrar como x depende del tiempo, `to´ será el numero de horas antes del medio día cuando comenzó a nevar, y S será la tasa constante en mm en la cual la profundidad de la nieve se incrementa. Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
Luego usando t> -to, X=S(t+to)
Y obtenemos la ecuación diferencial:
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
Y vemos que:
Donde C es una constante.
Se puede sospechar o especular que el conocimiento de muchos pares de valores de Y y t deben permitirnos determinar to y así obtener una solución para el problema. En Y=0 cuando t=0 encontramos que en la ecuación anterior C=-Log to
Entonces:
Luego usamos el hecho de que Y=2 cuando t=1, y Y=3 cuando t=2 para obtener:
Fuente: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede socorro Ejercicios de clase del Profesor Jorge Villamizar
