RINGKASAN MATERI
ANALISIS TEGANGAN DAN REGANGAN
Sarwo Edhi
Program Magister Teknik Sipil Universitas Syiah Kuala 2015
1. KESEPAKATAN PENANDAAN Tegangan diperlihatkan pada Gambar 1 semua didefinisikan positif dalam sistem koordinat dipilah, dimana kesepakatan tanda mengikuti : •
Tegangan tarik atau tekan selalu didefinisikan positif dan negatif.
+
•
+
-
-
Tegangan geser positif didefinisikan sama dengan gaya geser positif.
+
+
-
-
-
+ 2. ANALISIS TEGANGAN
Dalam rancangan rekayasa, sebuah struktur biasanya diberikan kombinasi beberapa jenis beban yang menghasilkan beberapa jenis tegangan diantara struktur. Tapi titik tertentu pada sebuah struktur, tegangan di sebuah arah biasanya berbeda dengan tegangan pada arah lainnya.
σ yy
τ yz
y
τ yx
x
τ xy
z
σ xx
τ zy
τ xz τ zx
σ zz
Gambar 1
1
Perhatikan pada sebuah kubus sangat kecil diatas. Kubus ini memiliki tiga koordinat arah, tegangan normal bekerja pada dua sisi yang mana paralel sama dengan lainnya adalah sama tapi beda arahnya. Pada dua bidang lain yang saling tegak lurus, tegangan geser tegak lurus dengan titik potong dua bidang nilainya sama, dalam arti berlawanan dengan kata lain salah satu menuju atau berlawanan dari garis titik potong. Pada sebuah titik, maka hanya ada enam tegangan mandiri yaitu σxx, σyy, σzz, τxy (= τyx), τxz (= τxz), dan τyz (= τzy). Dimana σxx, tegangan normal , dA luas elemen kecil, dF gaya, dan τxy tegangan geser didefinisikan sebagai :
σ xx =
d Fx dA
τ xy =
d Fy dA
τ xz =
d Fz dA
Pada sebuah titik pada sebuah bahan, jika nilai dua tegangan geser bernilai nol pada sebuah bidang, bidang ini disebut dengan bidang utama (principal plane). Tegangan normal yang bekerja pada bidang utama disebut dengan tegangan utama, dan pula arahnya disebut arah utama. (a) Tegangan Utama dalam Dua Matra Elemen persegi pada Gambar 2 mempunyai tebal satuan dan mengalami aksi oleh sistem tegangan seperti tergambar. Elemen segitiga dalam gambar telah dibentuk dengan memotong elemen persegi tegak lurus pada bidang xy. Sekarang kita ingin mencari tegangan yang harus beraksi pada bidang AC untuk melakukannya ialah dengan menguraikan gaya-gaya itu sepanjang AC dan tegak lurus pada AC. σ yy σ yy
τ yx τ xy
σ xx
τ yx
A
B
τ
σ xx τ xy τ yx
σ xx
θ
y
τ xy
C
σ x
σ yy
z (b)
(a)
Gambar 2
2
Dari uraian dan turunan Gambar 2 (b), tegangan utama σ2 pada bidang AC adalah :
σ × AC= σ xx ×BC cos θ + σ xx × AB sin θ + τ xy × BC sin θ + τ yx × AB cos θ Sebagaimana kita ketahui diawal bahwa τxy (= τyx), dan fakta cos θ =BC/AC dan sin θ =AB/AC, dengan mengeleminasi BC akan didapati
σ = σ xx cos2 θ + σ xx sin2 θ + τ xy sin θ cos θ + τ yx sin θ cos θ dengan sedikit menggunakan analisa trigomometri, persamaan diatas bisa disederhanakan menjadi,
σ =1/2( σ xx + σ yy)+1/2( σ xx −σ yy )cos 2θ + τ xy sin 2θ Dengan cara yang sama, tegangan geser di bidang AC ialah :
τ =1/2( σ xx −σ yy) sin 2θ −τ xy cos 2θ jika gaya geser nol, maka arah tegangan utamanya adalah tan 2 θ
θ
2 τ xy = σ −σ xx yy 2τ 1 −1 = tan σ −xy xx σ yy 2
(2.1)
masukkan persamaan tersebut ke persamaan tegangan maka dihasilkan : (σ − σ xx) (σ − σ yy )−τ 2xy =0
(2.2)
yang mana merupakan persamaan kuadratik. Maka dari itu solusi pemecahannya ialah :
σ 1 , σ 2=
σ xx −σ yy ±1 /2 √ ( σ xx−σ yy )2+ 4 τ 2xy 2
(2.3)
Dua nilai ini disebut tegangan utama. Sedangkan nilai tegangan geser maksimum diperoleh :
τ maks =1/2 √ (σ xx−σ yy)2 + 4 τ 2xy
(2.4)
dari harga σ1, σ2 , kita mengetahui bahwa
τ maks =1/2(σ 1 −σ 2 )
(2.5)
Selain itu, kita dapat pula mencari tegangan utama dengan aljabar matriks. Dari Gambar 2 , kita definisikan AC sebagai bidang utama, yaitu bidang yang tegangan 3
gesernya nol. Uraian gaya dalam arah x dan y menghasilkan
σ xx BC+ τ yx AB=σ AC cos θ
σ yy AB+ τ xy BC=σ AC sin θ atau
σ xx cos θ + τ yx sinθ =σ cos θ
τ xy cos θ + σ yy sinθ =σ sin θ dalam bentuk matriks
[στ
xx xy
]{ }
{ }
{ }
τ yx cos θ =[ σ ] cos θ =[σ ][I] cos θ σ yy sin θ sin θ sin θ
(2.6)
matrik [σ ] merupakan matrik diagonal karena tidak ada tegangan geser. Ini merupakan persoalan nilai-eigen (eigen value) dan supaya terdapat solusi nontrivial determinan matriks itu harus nol 2
(σ xx−σ )( σ yy−σ )−τ xy=0
Yang berarti kembali ke persamaan (2.2). (b) Arah Tegangan Utama Sudah diperlihatkan pada Pers. (2.1) bahwa arah tegangan utama dengan sumbu utama x adalah 2τ 1 θ = tan−1 σ −xyσ xx yy 2 Karena dua tegangan utama ini saling tegak lurus, maka arah tegangan utama yang lain adalah θ+90º. σ1
σy
σ2
τ yx
σ1
σ2
τ xy
σx
σx τ xy
τ yx
σ2
σy
σ1
θ1
σ2
σ1
θ2
4
y σy
tarik
τ yx
τ xy
σx
σx
O
x
τ xy
τ yx tekan
σy
(a)
(b) Gambar 3
Dalam sebuah masalah bidang, ada dua tegangan utama dan dua arahnya (Pers 2.4). Untuk memudahkan memahami hubungan tegangan dengan arahnya bisa dilakukan dengan pengamatan sederhana berikut. Dalam Gambar 3, tegangan geser τxy menghasilkan tarikan di satu arah diagonal dan tekanan di arah lain, yang mana mengesankan gabungan aksi σx dan σy, tegangan normal dalam arah diagonal tarik lebih tertarik atau lebih daripada di arah diagonal tekan. Jadi dapat disimpulkan bahwa arah σ1 tergantung kepada dimana tegangan geser diambil. Pada sebuah titik material, tegangan normal adalah tegangan utama jika: •
Salah satu tegangan adalah tegangan tarik maksimum atau tegangan tekan maksimum pada suatu titik. Atau,
•
Bidang dimana tegangan normal bekerja bebas dari tegangan geser. Bidangnya adalah salah satu bidang utama.
3. ANALISIS REGANGAN Sebuah benda elastis dapat digeser dan meluas. Analisis perpindahan u, v, dan w memperlihatkan apakah adanya deformasi atau tidak. Perubahan ukuran elemen dan bentuknya dapat disifati dengan deformasi, perbedaan dalam perpindahan atau regangan. Regangan adalah adalah deformasi elemen dibagi dengan panjang awal elemen.
5
Dari pasal 2, dari sebuah titik diantara bahan 3 matra, ada enam tegangan independen yaitu tiga tegangan normal : σx, σy dan σz dan tiga tegangan geser : τxy, τxz dan τyz. Di titik yang sama pula diakibatkan aksi tegangan ini, ada enam regangan yang muncul yaitu •
Tiga regangan normal : εx, εy dan εz
•
Tiga regangan geser : γxy, γxz dan γyz γ xy εy
εx
Gambar 4
Persamaan matematisnya menjadi ∂u ∂x ∂v εy= ∂y ∂w εz= ∂z
εx =
∂u ∂v + ∂y ∂x ∂v ∂v γ yz = + ∂z ∂y ∂u ∂w γ zx = + ∂z ∂x
γ xy =
(3.1)
Dengan demikian pemuaian volume menjadi e = ε x + ε y +ε z
(3.2)
Secara elastis linear dan material isotropik, ada enam tegangan dan enam regangan memenuhi hukum Hooke diperlihatkan:
σx σ σ −ν y −ν z E E E 1 = [σ −ν ( σ y + σ z)] E x σy σ σ = −ν x −ν z E E E 1 = [ σ −ν ( σ x + σ z )] E y
εx =
εy
(3.3a)
(3.3b)
6
σz σ σ −ν x −ν y E E E 1 = [σ −ν (σ x + σ y )] E z
εz =
(3.3c)
dengan,
γ xy=
τ xy τ τ ; γ xz = xz ; γ yz= yz G G G
(3.4)
dimana E, G dan ν secara berurutan adalah modulus Young, modulus geser dan rasio Poisson terhadap material. Dalam kasus dua matra, yang berhubungan dengan arah z diabaikan sehingga berharga nol. Konstanta Poisson secara matematis dapat ditulis dengan (3.5)
ε yy = ε zz =−ν ε xx Untuk material jenis baja lunak nilai ν sebesar 0,3.
Hubungan tegangan sebagai fungsi regangan dalam kasus dua matra dapat dicari sehingga menghasilkan persamaan : E [ε x +ν ε y ] 1− ν 2 E = [ε y +ν ε x ] 1− ν 2 = G γ xy
σx = σx τ xy
(3.6)
(a) Transformasi regangan εy
y 'ε y '
γ xy
εy'x' εx ' θ
εx
εx
εy
εy Gambar 5
7
Dua kondisi diambil pada titik yang sama diambil pada satu titik bahan (Gambar 5). Dengan membandingkan gambar dengan , regangan dalam koordinat sistem xy dan x'-y' harus memiliki hubungan sama dengan tegangan. Anggap bahwa regangan geser γxy adalah berhubungan dengan sepasang tegangan geser; τxy dan τyx, hanya γxy/2 yang muncul dalam persamaan sebagai ekivalen untuk tegangan geser τxy . Maka:
ε θ =ε x '
γ θ γ x ' y' = 2 2
γ xy sin 2 θ 2 ε +ε ε +ε γ = x y + x y cos 2θ − xy sin2 θ 2 2 2 ε x −ε y γ xy = sin 2θ + cos 2 θ 2 2 2
2
= ε x cos θ + ε y sin θ −
(3.9)
atau
γ θ =γ x' y ' =( ε x −ε y ) sin 2θ + γ xy cos 2 θ
(3.10)
(b) Regangan utama dan arahnya Bedasarkan argumen sama untuk transformasi regangan, regangan utama dan arahnya dapat ditarik dari persamaan tegangan utama:
ε 1,2=1/2[( ε x +ε y )]±√ ( ε x −ε y )2 + γ 2xy
(3.11)
dan arahnya ditentukan −γ tan 2 θ = ε x−εxyy
(3.9)
Untuk hubungan tegangan utama dan regangan utama, bedasarkan hukum Hooke lagi, persamaan ini disederhakan menjadi •
Regangan dalam kaitan tegangan
σ1 σ −ν 2 E E 1 = [σ −ν σ 2 ] E 1 σ2 σ = −ν 1 E E 1 = [σ −ν σ 1 ] E 2
ε1 =
ε2
(3.7a)
(3.7b)
8
•
Tegangan dalam kaitan regangan
σ1 = σ2 =
E [ε 1 + ν ε 2 ] 1 −ν 2 E [ε 2 + ν ε 1 ] 1 −ν 2
(3.8)
(c) Regangan geser maksimum Dengan argumen sama juga dengan persamaan tegangan, akan diperoleh :
γ max= √( ε x−ε y )2 + γ 2xy
(3.10)
(d) Syarat Keserasian Regangan (Strain Compatibilty) Dari medan bidang perpindahan yang diberikan, tiga persamaan mengutarakan u, v, dan w adalah fungsi daripada x, y, z, bidang regangan khusus dapat dicari dengan Pers. (3.1). Bagaimanapun, sebuah bidang regangan berubah-rubah mungkin menghasilkan bidang perpindahan yang mustahil. Sebuah bidang perpindahan yang sahih dapat dipastikan hanya jika benda dianggap tersambung sederhana dan jika bidang regangan memenuhi sejumlah persamaan yang dikenal dengan hubungan keserasian. Enam persamaan yang musti terpenuhi tersebut yaitu ∂2 γ xy ∂x∂ y ∂2 γ yz ∂ y∂z ∂2 γ zx ∂z∂x ∂2 ε xx 2 ∂ y∂z ∂ 2 ε yy 2 ∂z∂x ∂2 ε zz 2 ∂x∂ y
= = =
∂2 ε xx 2
∂y ∂2 ε yy 2
∂z ∂2 ε zz 2
∂x
+ + +
∂2 ε yy 2
∂x ∂ 2 ε zz 2
∂ y ∂2 ε xx 2
∂z ∂ γ yz ∂ γ zx ∂ γ xy = ∂ (− + + ) ∂x ∂x ∂ y ∂z ∂ ( ∂ γ yz − ∂ γ zx + ∂ γ xy ) = ∂x ∂x ∂y ∂z ∂ ( ∂ γ yz + ∂ γ zx − ∂ γ xy ) = ∂x ∂x ∂y ∂z
9
