Algèbre de BOOLE Système binaire:
+5V
Un système binaire (signal, circuit, etc…) est un système qui ne peut exister que dans deux états autorisés. fermé : v0 = 0v ouvert: v0 = 5v Notations:
R
V0
numérique :
1 et et 0 (b (bit it : bina binary ry digi digit) t)
logique :
Vrai Vrai et Faux Faux (True (True et Fals False) e) Oui et Non (Yes (Yes et No No))
électronique :
ON et OFF Haut et Bas (HI et LO, H et L, H et B)
S
Algè Al gèbr bre e de de BOO BOOLE LE - Op Opér érat ateu eurs rs
La porte OU (inclusif) (OR (OR)) - Ad Addi ditition on log logiq ique ue not noté é«+ » A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y=A+B 0 1 1 1
La porte ET (AND AND)) - Pr Prod odui uitt logi logiqu que e noté noté « • » A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y=A•B 0 0 0 1
Algè Al gèbr bre e de BO BOOL OLE E - Op Opér érat ateu eurs rs
Inverseur : porte NON (NOT NOT)op )opér érate ateur ur unai unaire re not noté é « ¯ « ¯ » A
Y= A
0 1
1 0
A partir des définitions des fonctions NON, OU et ET nous pouvons déduire : A = A A + A = 1 A • A = 0 A + ( A • B ) = A + B
Algè Al gèbr bre e de BO BOOL OLE E - Op Opér érat ateu eurs rs
Porte NON ET (NAND (NAND)) et Porte NON OU (NOR (NOR))
Ce sont les portes de base: base: tout système binaire peut être obtenu en utilisant uniquement les portes NAND ou NOR A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y = A•B 1 1 1 0
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y = A+B 1 0 0 0
Algè Al gèbr bre e de BO BOOL OLE E - Op Opér érat ateu eurs rs
Porte OU exclusif (XOR) (XOR)-opérateur -opérateur binaire notée «⊕» A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y = A⊕B 0 1 1 0
Algè Al gèbr bre e de de BO BOOL OLE E - Op Opér érat ateu eurs rs
Différentes formulations du XOR: Y=A ⊕
B est est ég égal al à 1 si et se seul ulem emen entt si si A = 1 ou ou B = 1 mai maiss pas pas simultanément: A ⊕ B = ( A + B ) • ( A • B ) Y=A ⊕
B égal à 1 si A = 1 et B = 0 ou si B = 1 et A = 0. Soit :
A ⊕ B = ( A • B ) + ( B • A) Y=A ⊕
B égal à 0 si A et B sont égaux à 1 ou si A et B sont égaux à 0 :
A ⊕ B = ( A • B ) + ( A • B ) Y=A ⊕
B correspond à un détecteur d'égalité:
A ⊕ B = ( A + B ) • ( A + B )
Algè Al gèbr bre e de BO BOOL OLE E - Op Opér érat ateu eurs rs Axiomes et théorèmes de l’Algèbre de Boole OU
ET
Distributivité NON
(A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C A+B=B+A A+A=A A+0=A A+1=1 (A • B) • C = A • (B • C) = A • B • C A•B=B•A A•A=A A•1=A A•0=0 A • (B + C) = (A • B) + (A • C) A + (B • C) = (A ( A + B) • (A + C)
A=A A + A =1 A•A = 0
Associativité Commutativité Idempotence Elément Elément neutre Elément absorbant Associativité Commutativité Idempotence Elément Elément neutre Elément absorbant
Axiomes et théorème de l’algèbre de BOOLE
Axiomes et théorèmes de l’Algèbre de Boole (suite) S i m p li f ic a ti o n
A + (A • B ) = A A • (A + B) = A ( A + B) • ( A + B) = A A + ( A • B) = A + B
Théorème De Morgan
A • B • C • ... = A + B + C + ...
OU exclusif
A⊕B
=
( A + B ) • ( A • B)
A⊕B
=
( A • B) + ( B • A )
A⊕B
=
( A • B) + ( A • B)
A⊕B
=
( A + B) • ( A + B)
A + B + C + ... = A • B • C • ...
Usages de l’algèbre de Boole 1.
formalisation du raisonnement sur les propositions logiques (= qui a un résultat vrai ou faux).
2.
faire des opérations sur des valeurs quelconques codées. Exemples: 1.
fonction tourne_gauche sur les axes cardinaux (4 valeurs différentes donc un codage sur 2 bits) E: 00 - N: 01 - S:11 S:11 - O:10 O:10
2.
fonctions logiques sur des nombres
Fonctions booléennes Définition : Une fonction booléenne est une application de {0, 1}n vers {0, 1}
(x1, x2, x3 ,..., xn )→ f(x1, x2, x3 ,..., xn ) ∈ {0, 1} Elle peut être définie de deux manières différentes : 1.
par une table de vérité
2.
par une équation logique
Fonctions booléennes Table de vérité Exemple: F(x,y,z) F est une fonction booléennes à 3 variables (x,y,z) La table de vérité donne la valeur de F pour les 8 différentes combinaisons possibles
Exemples: F(0,0,1)=1 F(0,1,1)=0 F(1,0,1)=0 …..
Ci
x
y
z
F
0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 1 0 1 0 0 0
Fonctions booléennes Problème: Taille de la table si le nombre de variables est grand (>4)
nombre de lignes de la table= 2n (n étan étantt le nombre nombre de de variable variables) s) A n’utiliser n’utiliser que que si le nombre de variables variables est inféri inférieur eur ou égal égal à 4
Fonctions booléennes Equ qua atio ion n log ogiq ique ue:: Expression faisant intervenir les variables de la fonction. Deux types de termes peuvent être utilis és: 1.
minterme (ou monôme monôme)) : produit de variables, chaque variable
intervenant au plus une fois sous sa forme normale ou complémentée. Exemples: Fonctions Fonctions à 3 variables x, y et z
x y 2.
xy z (monome complet )
maxterme : somme de variables, chaque variable intervenant
au plus une fois sous sa forme normale ou complémentée . Exemples: x+ y+ z ( maxterme complet ) x + z
Fonctions booléennes Equ qua atio ion n lo logi giqu que e 1ère forme canonique : somme des monômes (mintermes) complets pour lesquels la fonction vaut 1 P0
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
F
x yz 0 0 0 0 0 0 0 1
P0+P1+P2+P4
Ci
x
y
z
xyz
xyz
xyz
xyz
xyz
x yz
xyz
0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
F = x y z + x y z + x y z + x y z
1 1 1 0 1 0 0 0
Fonctions booléennes Equation logique 2 ème forme canonique : produit des maxtermes complets pour lesquels la fonction vaut 0. S0
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
Ci
x
y
z
x + y+z
x +y+z
x +y+z
x + y+z
x +y+z
x +y+z
x +y+z
x + y+z
0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 1 1
1 1 1 0 1 1 1 1
1 1 1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 1 0 1 1
1 1 1 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 0
F = ( x + y + z ) • ( x + y + z ) • ( x + y + z ) • ( x + y + z )
Simplification des équations logiques But : Obtenir une forme simplifiée de l’équation logique (expression équivalente et plus facile à utiliser)
Exemple: x( y+ z t )+ x( y+ z t )
x( y+ z t )+ x( y z +t )
xy+ x z t + x y z + x t
Simplification des équations logiques Deux méthodes: 1. utilisation des règles de simplification
2. utilisation des tableaux de Karnaugh
Utilisation des règles de simplification Exemple: F
=
x y z + x y z + x y z + x y z
=
( x y z + x y z ) + ( x y z + x y z ) + ( x y z + x y z )
=
y z ( x
=
x y
+
+ x ) + x
z ( y
+
y ) + x y ( z + z )
y z + z x
Problèmes: •Trouver la bonne règle de simplification •on n ’e ’est st pas sû sûrr d ’a ’avo voir ir la « meil ille leur ure e » so solu luttio ion n
Tableaux de de Karnaugh La méthode repose sur l'identité suivante: ( A • B ) + ( A • B ) = A • ( B + B ) = A
Utilisation d’un code de GRAY ♦Tableau
à 3 variables : C
AB
0 0 1 1
0 1 1 0
0
1
Tableaux de de Karnaugh ♦ Tableau
à 4 variables : CD
0 0
0 1
1 1
1 0
AB
0 0 1 1 ♦ Tableau
CDE AB 0 0 1 1
0 1 1 0
000
0 1 1 0
à 5 variables : 001
011
010
110
111
101
100
Tableaux de de Karnaugh Règles : 1.
2. 3. 4. 5.
Constitue Consti tuerr des des pav pavés és de « 1 » avec avec de dess cases cases ‘’v ‘’vois oisine iness ’ (att (a tten enti tion on,, le le nom nombr bre e de « 1 » dan danss un pa pavé vé es estt un une e puissance de deux). Reco Re couv uvri rirr tou touss les les « 1 » du du tab table leau au.. A chaque pavé correspond un monôme. Les monômes sont constitués de variables qui ne changent pas dans le pavé. Les valeurs interdites sont notées ∅ et sont considérées égales éga les à « 1 » dans dans le cas où où elles elles sont sont intér intéress essan antes tes..
Remarques : 1. 2.
on peu peutt reco recouvr uvrir ir plu plusie sieurs urs foi foiss un un « 1 » les paves constitués doivent être les plus grands possibles.
Tableaux de de Karnaugh Cases voisines A l’intérieur zt
xy
00
01
11
A un coin 10
zt
xy
00
00
01
01
11
11
10
Sur un bord zt
xy
00 01 11 10
00
01
11
10
10
00
01
11
10
Tableaux de de Karnaugh Exemples: Fonction à 3 variables t
xy
00
01
1
1
zt
10 xy
1
0 1
11
Fonction à 4 variables
1
xt
xy
00
00
01
F = x y + y z + z x
10
11
1
10 1
1
11
yt
01
1
1 1
1
1
F = x y + y t + y z t
Tableaux de de Karnaugh Table de vérité correspondante
F = x y + y t + y z t
x 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
y 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
z 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
t 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
F 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0
Tableaux de de Karnaugh
Exemples Fonctions à 5 variables xyz
000
0 1 1 0
1
001
011
010
110
111
101
100
tu
0 0 1 1
1
1 1
1 1 1
1
1
1
1
