05 Penyederhanaan Fungsi Boole

Penyederhanaan Fungsi Boolean

Penyederhanaan Fungsi Boolean Contoh. f (x , y ) = x ’y + y + x’y ’ + y ’ dised diseder erha hana nakan kan me menj njad adii f (x , y ) = x ’ + y ’ Peny Penyed eder erha hana naan an fu fung ngsi si Bool Boolea ean n da dapa patt dila dilaku kuka kan n deng de ngan an 3 cara cara:: 1. Seca Secara ra alja aljaba barr 2. Men Mengg ggun unak akan an Peta Peta Karn Karnau augh gh 3. Me Meng nggu guna naka kan n me meto tode de Qui Quine Mc Cl Clus uske key y (met (metod ode e Tabu Tabula lasi si))

Penyederhanaan secara Aljabar 1. f (x , y )

= x + x + x ’y = (x (x + + x ’)(x ’)(x + + y ) = 1 ⋅ (x + x + y ) y ) = x + x + y

2. f (x , y , z ) = x ’y ’z + z + x ’yz + yz + xy ’ = x ’z (y ’ + y ) + xy ’ = x ’z + z + xy ’ 3.f (x , y , z ) = xy + xy + x ’z + z + yz = xy + xy + x ’z + z + yz (x + x + x ’) ’) = xy + xy + x ’z + z + xyz + xyz + x ’yz = xy (1 (1 + z ) + x ’z (1 (1 + y ) = xy + xy + x ’z

Peta Karnaugh a. Peta Karnaugh dengan dua peubah

b. Peta Karnough dengan tiga peubah

Peta Karnaugh Contoh.

Diberikan tabel kebenaran, gambarkan Peta Karnaugh.

Peta Karnaugh c. Peta dengan empat peubah

Peta Karnaugh Contoh . Diberikan tabel kebenaran, gambarkan Peta Karnaugh.

Teknik Minimasi Fungsi Boolean dengan Peta Karnough

1. Pasa Pasang nga an 1 bu buah ah be bert rtet eta ang ngga ga

Sebelum disederhanakan : f (w , x , y , z ) = wxyz + wxyz + wxyz ’ Hasil Penyederhanaan : f (w , x , y , z ) = wxy


Bukti seca secarra aljabar: f (w , x , y , z ) = wxyz + wxyz + wxyz ’ = wxy (z + z + z ’) ’) = wxy (1) (1) = wxy


2. Kuad : em empa patt bu buah ah 1 yang yang be bert rtet etan angg gga a

Sebelum disederhanakan : f (w , x , y , z ) = wxy ’z ’ + wxy ’z + z + wxyz + wxyz + wxyz ’ Hasil penyederhanaan : f (w , x , y , z ) = wx


Bukti kti sec secara aljabar: f (w , x , y , z ) = wxy ’ + wxy = wx (y ’ + y ) = wx (1) (1) = wx


Con Co ntoh lain:

Sebe Sebelum lum dised diseder erha hana nakan kan:: f (w , x , y , z ) = wxy ’z ’ + wxy ’z + z + wx ’y ’z ’ + wx ’y ’z ’z Hasil penyederhanaan :

f (w , x , y , z ) = wy ’


3. Oktet : del delap apan an bu buah ah 1 yan yang g ber berte teta tang ngga ga

Sebelum disederhanakan : f (a , b , c , d ) = wxy ’z ’ + wxy ’z + z + wxyz + wxyz + wxyz ’ + wx ’y ’z ’ + wx ’y ’z + z + wx ’yz + yz + wx ’yz ’ Hasil penyederhanaan : f (w , x , y , z ) = w


Bukti seca secarra aljabar: f (w , x , y , z ) = wy ’ + wy = w (y ’ + y ) = w


Contoh Sede Sederh rhan anak akan an fu fung ngsi si Boo oole lean an f (x , y , z ) = x ’yz + yz + xy ’z ’ + xyz + xyz + xyz ’. ’. Jawab: Peta Karnaugh untuk fungsi tersebut adalah:

Hasil Ha sil pe peny nyed eder erha hana naan an:: f (x , y , z ) = yz + yz + xz ’


Contoh Andaikan suatu tabel kebenaran telah diterjemahkan ke dalam Peta Karnaugh. Sederhanakan fungsi Bool Boolea ean n yan yang g bers bersesu esuai aian an sesed seseder erha hana na mu mung ngkin kin

Jawab: (lihat Peta Karnaugh) f (w , x , y , z ) = wy ’ + yz ’ + w ’x ’z


Contoh Minimisasi fungsi Boolean yang bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini.

Jawab: (lihat Peta Karnaugh) f (w , x , y , z ) = w w + + xy ’z


Jika penyelesaian Contoh seperti di bawah ini:

sebelumnya

adalah

maka fungsi Boolean hasil sil penyederhanaan adalah f (w , x , y , z ) = w w + + w ’xy ’z (jum (jumla lah h lite litera rall = 5) yan yang tern ernyata masih belum sederhana dibandingkan f (w , x , y , z ) = w w + + xy ’z (jum (jumla lah h lite litera rall = 4). 4).


Contoh. (Penggulungan/ rolling rolling ) Sederhanakan fungsi Boolean ya yang be bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini.

Jawab: f (w , x , y , z ) = xy ’z ’ + xyz ’ ==> be belum sederhana


Peny Penyel eles esai aian an yang yang lebi lebih h mini minima mal: l:

f(w f(w , x , y , z ) = xz ’

===> lebih sederhana


Contoh: Contoh: (Kel (Kelom ompo pok k be berl rleb ebih ihan an)) Sederhanakan fungsi Boolean yang bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini.

Jawab: f (w , x , y , z ) = xy ’z + wxz + wyz sederhana.

→

masih belum


Peny Penyel eles esai aian an yang yang lebi lebih h mini minima mal: l:

f (w , x , y , z ) = xy ’z + z + wyz

===> ===> lebi lebih h sede sederh rhan ana a


Contoh Sederhanakan fungsi Boolean ya yang be bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini.

Jawab: (li (lihat Peta Karnaugh di atas) f (a , b , c , d ) = ab ab + + ad ad + + ac + ac + bcd


Contoh Mini Minimi misa sasi si fu fung ngsi si Boo oole lean an f (x , y , z ) = x ’z + z + x ’y + y + xy ’z + z + yz Jawab: x’z = x’z = x ’z (y + y + y ’) ’) = x ’yz + yz + x ’y ’z x ’y = y = x ’y (z + z + z ’) ’) = x ’yz + yz + x ’yz ’ yz = yz = yz (x + x + x ’) ’) = xyz + xyz + x ’yz f (x , y , z ) = x ’z + z + x ’y + y + xy ’z + z + yz = x ’yz + yz + x ’y ’z + z + x ’yz + yz + x ’yz ’ + xy ’z + z + xyz + xyz + x ’yz = x ’yz + yz + x ’y ’z + z + x ’yz ’ + xyz + xyz + xy ’z


Peta Karnaugh untuk fungsi tersebut adalah:

Hasil Hasil pe penye nyede derh rhan anaa aan: n: f (x , y , z ) = z + z + x ’yz ’


4. Peta Karnaugh untuk lima peubah


Contoh (Contoh penggunaan Peta 5 peubah) Carilah fungsi sederhana dari f (v , w , x , y , z ) = Σ (0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 29, 31) Jawab: Peta Karnaugh dari fungsi tersebut adalah: Jadi f (v , w , x , y , z ) = wz + wz + v ’w ’z ’ + vy ’z

Teknik Minimasi Fungsi Boolean dengan Peta Karnough Keadaan Don’t Care


Contoh. Diberikan Tabel dibawah ini. Mini Minimi misa sasi si fu fung ngsi si f se f sesed seder erha hana na mu mung ngkin kin..


Jawab: Peta Karnaugh dari fungsi tersebut adalah:

Hasil Ha sil pe peny nyed eder erha hana naan an:: f (a , b , c , d ) = bd bd + + c ’d ’ + cd


Contoh Mini Minimi misa sasi si fun ungs gsii Boo oole lean an f (x , y , z ) = x ’yz + yz + x ’yz ’ + xy ’z ’ + xy ’z . Gamb Gambar arka kan n rang rangka kaia ian n logi logika kany nya. a.


Jawab: Rangkaian logika fungsi f (x , y , z ) sebelum diminimisasikan adalah seperti di bawah ini:



Contoh Berbagai sistem digital menggunakan kode binary coded decimal ( decimal (BCD). Dib Diberikan Tabel dibawah untuk konversi BCD ke kode Excess -3 -3 seba sebaga gaii be beri riku kut: t:

Teknik Minimasi Fungsi Boolean dengan Peta Karnough (a) f 1(w 1(w , x , y , z )

f 1(w 1(w , x , y , z ) = w w + + xz + xz + xy = xy = w w + + x (y + y + z )

(b) f 2(w 2(w , x , y , z )

f 2(w 2(w , x , y , z ) = xy ’z ’ + x ’z + z + x ’y = y = xy ’z ’ + x ’(y ’(y + + z )

Teknik Minimasi Fungsi Boolean dengan Peta Karnough (c) f 3(w 3(w , x , y , z )

f 3(w 3(w , x , y , z ) = y ’z ’ + yz

(d) f 4(w 4(w , x , y , z )

f 4(w 4(w , x , y , z ) = z ’


Metode Tabulasi

Pendekatan otomatis untuk menyederhanakan ekspresi Boolean biasa digunakan pada fungsi dengan keluaran tunggal atau jamak. Metode tabulasi atau juga dikenal dengan metode Qui Quine ne-M -McC cClu lusk skey ey,, me memb mben entu tuk k pe perk rkal alia ian n yang yang be berrbeda pada 1 variabel secara berturut-turut, dan kemudian dihasilkan himpunan suku terreduksi yang dapat mencakup semua fungsi keluaran. Proses ini lebih mudah diimplementasikan pada komputer daripada metode peta, da dan hasil sukusuku reduksinya dapat digunakan oleh lebih dari 1 fungsi.

Menyederhanakan Menyederhanakan fungsi tunggal

Tabel kebenaran pada Gambar 5.1 menggambarkan F yang merupakan fungsi 4 variabel A,B,C, dan D, yang menyer menyertak takan an 3 don’ don’tt care. care. Proses reduksi secara tabel dimulai dengan mengelompokkan minterm berdasarkan jumlah nilai 1-nya. Minterm 0000, titidak mempunyai nilai 1, se sehingga dija dijadi dika kan n grup grup terse ersend ndir iri. i. Mint Minter erm m 00 0001 01,, 00 0010 10,, 01 0100 00,, da dan n 10 1000 00 me memp mpun unya yaii ninilai 1 tunggal, tetapi hanya minterm 0001 yang me men nghasilkan 1, sehingga minterm ini dijadikan grup lain.


Gamb Gambar ar 5.1 5.1 Tabe Tabell kebe kebena nara ran n suat suatu u fung fungsi si de deng ngan an do don’ n’tt care care


Grup berikutnya adalah minterm dengan dua nilai 1, dan ada 6 ke kemungkinan minterm yang me mempunyai dua nilai 1, ya yang da dapat masuk dalam grup ini. Hanya minterm 0011, 0101, 0110, dan 1010 yang menghasilkan keluaran 1, sehingga minterm inilah yang mas masuk dalam grup. Ada 3 minterm yang menghasilkan keluaran 1 dan mempunyai tiga nilai 1, ya yaitu 0111, 10 1011, da dan 1110. Akhirnya grup yang beranggotakan empat nilai 1 ada sat satu minterm, dan merupakan grup terakhir.


Untuk tabel kebenaran yang le lebih besar, proses dapat berl be rlan anju jutt te teru rus. s. Grup dikelompokkan lagi sehingga grup yang berbeda tepat 1 jumlah nilai 1-nya dapat digabung, seperti Gambar 5.2a ber berikut ini. Langkah berikutnya dalam proses reduksi adalah membentuk sebuah konsensus antara setiap pasang grup bertetangga untuk semua suku dengan beda nilai tepat 1 variabel saja. Bentuk umum teorema adalah:


Gamb Gambar ar 5.2 5.2 Pros Proses es Re Redu duks ksii tabu tabula lasi si


Suku Y Z adalah tidak perlu karena sudah tercakup oleh suku yang lai lain, seh sehingga dapat dieliminasi. Secara aljabar, teorema tersebut dapat dibuktikan seba sebaga gaii be beri riku kut: t:


Teorema konsensus dualitasnya:

j ug a

mempunyai

bentuk


Ide dari penerapan konsensus pada reduksi tabulasi adalah untuk mengambil keuntungan dari sifat invers dari aljabar Boole, mirip seperti yang dipergunakan pada peta Karnaugh. Misa isalnya, ya, 0000 dan 0001 berbeda nil nilainya pada variabel D, se sehingga 000_ di dimasukkan dalam daftar pada bagian atas tabel reduksi seperti terlihat pada Gambar 5.2b di atas. Tanda garis bawah menunjukkan posisi variabel yan yang die dieliminasi, dal dalam contoh ini D.


Minterm 0000 dan 0001 pada Gambar a diatas ditandai dengan cek () untuk menunjukkan kan bahwa entri ini sudah tercakup pada tabel reduksi. Setelah semua suku pada grup pertama disilangkan dengan semua suku pada grup kedua, kemudian beralih untuk membentuk konsensus antara grup kedua dan ketiga. Ada kemungkinan bahwa beberapa suku tidak dapat dikombinasi menjadi suku yang lebih kecil kare-na berbeda pada lebih dari 1 variabel.


Contoh Cont ohny nya, a, suku suku 00 0001 01 da dan n 00 0011 11 da dapa patt diko dikomb mbin inas asii menjadi suku lebih kecil 00_1 namun 0001 dan 0110 tidak dapat dikombinasi karena berbeda pada 3 variabel. Sekali suku sudah ditandai dengan , suku tersebut masih dapat dipergunakan untuk proses reduksi kar karena sifat idempotens. Tujuan dari langkah dalam proses ini adalah untuk menemukan semua kemungkinan suku terreduksi, sehingga kita dapat menemukan himpunan terkecil suku yang masuk dalam fungsi pada langkah


Proses berlanjut untuk grup-grup sisan sanya. Setiap suku yang tidak tercakup dalam pengelompokkan konsensus ditandai dengan asteris (*) untuk menunjukkan bahwa ini adalah suku suku prim prime e impli implican cant. t. Pada Gambar 5.2a diatas terlihat bahwa setelah reduksi pertama semua minterm sudah terpakai seh sehingga tidak ada prime imp implicant.


Setelah reduksi pertama, kita dapat melanjutkan untu un tuk k iter iteras asii berik erikut utny nya. a. Dua suku dapat dikombinasi jika keduanya hanya berbeda 1 va variabel saja. Garis bawah harus pada posisi yang sa sama. Entri pertama pada Gambar 5.2b diatas mempunyai garis bawah pada kolom paling kanan, sehingga tidak ada entri pada grup kedua yang co cocok.


Dalam penyusunan tabel reduksi pada Gambar 5.2c, prime implicant dari tabel sebelumnya (Gam (Gamba barr 5. 5.2b 2b)) tida tidak k diik diikut utka kan. n. Proses berlanjut sampai hanya tersisa prime implicant. Pada contoh ini, proses berhenti setelah reduksi kedua dan menghasilkan 3 su suku tersisa sebagai prime imp mpllican cant sep seperti pada Gambar 5.2c. Setiap prime im implicant dikumpulkan untuk menyusun sun fun fungs gsi, i, wa wala laup upun un be belu lum m mini minima mal. l.


Oleh karena itu entri ini ditandai dengan *,yang menunjukkan bahwa suku ini adalah prime implicant dan tidak dapat direduksi lagi. Kita beralih ke grup kedua dan ketiga pada Gambar 5.2 b. Suku 00_1 dan 01_1 dikombinasi menjadi suku 0__1 sep seperti tertera pada 5.2c. Proses terus lengkap.

terlanjut

hingga

reduksi

k e dua


Untuk meminimalkan suku-suku yang di digunakan, disusun tabel pilihan seperti pada Gambar dibawah ini. Setiap prime im implicant dibuat 1 ba baris dalam table pilihan dan kolom berisi minterm dari fungsi asli yang yang h har arus us dica dicaku kup. p. Kondisi don’t care tidak perlu dicakup sehingga tidak dimasukkan dalam daftar. Setiap kotak yang se sesuai dengan prime iim mplicant dan mintermnya ditandai dengan *.


Misalnya, pr prime im implicant 000_ ta tandai pada kolom mint minter erm m 00 0001 01.. Beberapa prime im implicant mencakup beberapa mint minter erm, m, sepe sepert rtii 0_ 0__1 _1 akan akan me menc ncak akup up 4 mint minter erm. m. Setelah semua kotak dicek, maka cari kolom yang hanya berisi 1 ta tanda cek. Tanda cek tunggal pada kolom berarti hanya ada 1 prime implicant yang mencakup minterm tersebut, dan prime implicant yang mencakup minterm tersebut di tandai dengan yang menunjukkan bahwa prime implicant ini adalah esensial dan harus digunakan atau masuk dalam pers pe rsam amaa aan n akhi akhir. r.



Contoh prime implicant esensial adalah 011_ , 10 101_ , dan _1_1. Prime imp implicant esensial dapat mencakup lebih dari satu satu min minte term rm.. Untuk itu dibuatlah tabel pilihan terreduksi yang tid tidak menyertakan prime implicant esensial d an mintermnya, seperti pada Gambar di bawah. Tabel pilihan terreduksi dapat berisi prime implicant esensial yang kemudian dikenai proses reduksi lagi, sampai tabel pilihan terreduksi hanya berisi prime impl implica icant nt no none nesen sensia sial. l.



Sisa prime implicant dalam tabel pilihan terreduksi memb me mben entu tuk k himp himpun unan an pili piliha han, n, yang yang digu diguna naka kan n un untu tuk k mend me ndap apat atka kan n himp himpun unan an mini minima mal. l. Seperti pada Gambar diatas, ada 2 himpunan prime impl implic ica ant yang yang me mena namp mpun ung g 2 mint minter erm m sisa sisa.. Karena himpunan 2 ad adalah suku paling se sederhana, maka suku inilah yang dipilih untuk membentuk persamaan minimal un untuk F, y ya ang te terdiri atas prime implicant esensial dan prime implicant pilihan pada himp himpun unan an 2 (Per (Persa sama maan an be beri riku kut) t)..


Selain menggunakan cara visual untuk mendapatkan himpunan dari himpunan pilihan, dapat juga dilakukan proses sec secara algoritmis. Proses dimulai dengan menyatakan persamaan yang mencakup semua prime implicant dalam himpunan pilihan pada Gambar di atas. Ekspresi logis ditulis untuk setiap kolom pada tabel pilihan terreduksi ksi seperti berikut kut:


Untuk mencari himpunan yang mencakup semua kolom, pr prime im implicant dikelompokkan sehingga paling tidak setiap kol kolom ditandai sekali. Ini berarti bahwa relasi berikut harus terpenuhi, dengan G adalah adalah suku dalam tabel pilihan terreduksi:


Dengan menerapkan sif sifat-sifat aljabar Boole didapat:

Setiap suku dalam persamaan ini menyatakan himpunan prime implicant yang mencakup suku-suku dalam tabel pilihan terreduksi. si. Suku terkecil (Y ) merupakan himpunan prime implicant (0 1) terkecil yang mencakup suku-suku tersisa. Hasil akhir yang didapat sama seperti cara sebelumnya:

Menyederhanakan Menyederhanakan fungsi Jamak

Metode reduksi tabel digunakan untuk mereduksi fung fu ngsi si Bool Boolea ean n tungg tunggal al.. Namun demikian cara ini juga dapat dipergunakan untuk mereduksi fungsi jamak yang menggunakan var variabel yang sama ma,, untuk menghasilkan kan persam samaan kolek kolekti tiff yang yang keci kecil. l. Metode berikut menggunakan cara dengan mencari irisan dari semua kemungkinan kombinasi dari sukusuk suku yan yang dapat digunakan kan bersama, dan kemudian memilih himpunan terkecil yang mencakup seluruh fungsi.


Sebagai contoh kita gunakan tabel kebenaran yang ada pada Gambar dibawah yang menunjukkan 3 fung fu ngsi si de deng ngan an 3 vari variab abel el.. Notasi ini menunjukkan minterm yang indeksnya i menu me nuru rutt tab abel el kebe kebena nara ran. n. Bentuk lengkap persamaan Boolean dari kasus ini adalah:


Irisan dibentuk dengan membuat semua kombinasi fungsi seperti berikut:


Dengan me men nggunakan metode reduksi ksi yang dijelaskan sebelumnya, da dapat disusun prime iim mplicant untu un tuk k ma masi sing ng-m -mas asin ing g fu fung ngsi si::


Daftar prime implicant direduksi dengan mengeliminasi prime implicant yang sudah tercantum pada fungsi dengan orde yang lebih tinggi. Misalnya, _11 muncul di F0,1,2, s se ehingga tidak perlu dicantumkan dalam fungsi yang lai lain. Demikian juga, 11_ muncul di F1,2, dan tidak perlu dimunculkan di F1ataupun F2. Demi De mikia kian n sete seteru rusn snya, ya, sehin sehingg gga a dida didapa pat: t:


Kemudian dapat disusun tabel pilihan keluaran jamak seperti pada Gambar dibawah. Baris berisi prime implicant dan kolom menunjukkan minterm yang harus tercantum pada masing-masing fungsi.


Baris akan diisi dengan × jika prime implicant yang bersangkutan tidak dapat digunakan pada fungsi di kolomkolom-kol kolom om yang yang bers bersang angkut kutan. an. Misa Misaln lnya ya,, pri prime me impl implic ican antt 00 000 0 digu digun nakan akan oleh oleh fu fung ngsi si F0 tetapi tidak digunakan oleh fungsi F1 maupun F2, sehingga daerah perpotongan baris 000 dan kolom F1 dan F2 diisi ×.


Bentuk minimal dari persamaan keluaran didapat dengan cara yang mirip dengan proses reduksi tabular. Kita Kita mul mulai ai de deng ngan an prime rime imp implilica cant nt esen esensi sial al..


Misalnya, ya, minterm m0 pada fungsi F0 hanya dicakup oleh prime im implicant 000, se sehingga 000 ad adalah esensial. Baris yang berisi 000 kemudian dihapus dari tabel, demikian juga kolom yang berisi tanda cek pada bari ba ris s te ters rseb ebut ut.. Proses berlanjut sampai semua fungsi sudah tercakup atau tinggal prime im implicant nonesensial yang tersisa.


Cara menentukan himpunan terkecil dari prime implicant yang me mencakup semua fungsi adalah dengan cara yang sudah dijelaskan pada bagian sebelumnya. Tanda asterisk pa pada Gambar di atas adalah prime impl implic ican antt esen esensi sial al.. Pada kasus ini, hanya ada satu prime implicant nonesensial (11_) yang tersisa, tetapi semua mintermnya sudah terwakili oleh prime implicant esensial, sehingga tidak perlu dibuat tabel reduksi. Pers Persam amaa aan n te terr rred eduk uksi siny nya a me menj njad adi: i:


05 Penyederhanaan Fungsi Boole

Recommend Documents