Maracaibo, 3 de junio de 2014 Universidad Rafael Urdaneta Estado Zulia Algebra Lineal
Esacio !ectorial
E"#UEMA
1$% Esacio !ectorial& 'efinici(n ) Eje*lo$ 2$% +roiedades bsicas de un esacio vectorial$ 3$% -o*binaci(n linear ) vectores lineal*ente indeendientes$ 4$% !ectores .ase& 'efinici(n ) Eje*lo$ /$% -a*bio de .ase& 'efinici(n ) Eje*lo$ $% .ases rtonor*ales& 'efinici(n ) Eje*los$
ESPACIO VECTORIAL Un esacio vectorial es una estructura algebraica creada a artir de conjunto no vaco, una oeraci(n interna lla*ada suma, definida ara ele*entos del conjunto ) una oeraci(n e5terna lla*ada producto por escalar , definida entre dic6o conjunto ) otro conjunto, con estructura cuero, con 7 roiedades funda*entales$
un los un de
A los ele*entos de un esacio vectorial se les lla*a vectores ) a los ele*entos del cuero, escalares$ +ara co*le*entar nuestra anterior definici(n ode*os decir 8ue& Un esacio vectorial sobre un cuero co*o el cuero de los n9*eros reales o los n9*eros co*lejos es un conjunto no vaco, dotado de dos oeraciones ara las cuales ser cerrado$
PROPIEDADES BÁSICAS DE UN ESPACIO VECTORIAL
1$ "i x : ! ) y : !, entonces x ; y : ! -erradura bajo la su*a$ 2$ +ara todo x , y , z en !, x ; y ; z < x ; y ; Le) asociativa de la su*a de vectores
z
3. E5iste un vector 0 : ! tal 8ue ara todo x : !, x ; 0 < 0 ; x < x 4. "i x : !, e5iste un vector = x en ! tal 8ue x ; = x < 0 = x se lla*a inverso aditivo de x 5. "i x ) y estn en !, entonces Le) con*utativa de la su*a de vectores$
x
;
y
<
$ "i x : ! ) > es un escalar, entonces -erradura bajo la *ultilicaci(n or un escalar$
y
> x
7. "i x ) y estn en ! ) > es un escalar, entonces > x ; y < > x ; >y
+ri*er le) distributiva
8. "i x : ! ) > ) ? son escalares, entonces > ; ? x < > x ; ? x "egunda le) distributiva
9. "i x : ! ) > ) ? son escalares, entonces >? x < >? x Le) asociativa de la *ultilicaci(n or escalares 10$+ara cada vector x : !, 1 x < x $
EJEMPLOS Ejempl !"# El esacio Rn es un esacio vectorial$
;
x $
:
!
-ada vector en Rn es una *atri@ de n 5 1$ "eg9n la definici(n de *atrices de secciones anteriores, x ; y es una *atri@ de n 5 1 si x ) y son *atrices de n51$
aciendo
Ejempl !$#
Ejempl !3#
COMBINACI%N LINEAL & VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES
Cm'()*+(,) L()e*l "ean -1, -2,B, -n vectores en un esacio vectorial !$ Entonces cual8uier vector de la for*a a1-1 ; a2-2 ;B ; an-n
'onde a1, a2,B, an son escalares, se lla*a una co*binaci(n lineal de -1, -2, B,-n$
I)epe)e)+(* L()e*l e Ve+/e1 "ean -1, -2, B, -n, n vectores en un esacio vectorial !$ Entonces se dice 8ue los vectores son lineal*ente deendientes si e5isten n escalares c 1, c2, B, cn no todos cero tales 8ue c1-1 ; c2-2 ;B ; cn-n < 0 "i los vectores no son lineal*ente deendientes, se dice 8ue son lineal*ente indeendientes$ Teorema 'os vectores -1 ) -2 en un esacio vectorial son lineal*ente deendientes si ) s(lo si uno es un *9ltilo escalar del otro$
Ejempl !"# Cm'()*+(,) l()e*l
'ados los vectores
, 6allar el -e+/ +m'()*+(,)
l()e*l $
Ejempl !$# Ve+/e1 L()e*lme)/e I)epe)(e)/e1. Determinar si son linealmente dependientes o independientes los vectores: = (3, 1) y
= (2, 3)
Como 9 distinto de 2, entonces son Linealmente independientes.
VECTORES BASE Un conjunto finito de vectores v 1, v 2, B, v n es una base ara un esacio vectorial ! si 1$ C v 1, v 2, B, v n D es lineal*ente indeendiente$ 2$ C v 1, v 2, B, v n D genera !$
El conjunto de n vectores e 8ue se define co*o
es una base ara Rn$ Esta base recibe el no*bre de base can(nica ara Rn$
EJEMPLO 'e*uestre 8ue el conjunto C1, 0, =1, 1, 1, 1, 1, 2, 4D es una base ara R3$
"oluci(n& "ea x 1, x 2, x 3 un ele*ento cual8uiera de R3, se buscan escalares a1, a2 ) a3, tales 8ue x 1, x 2, x 3 < a11, 0, =1 ; a21, 1, 1 ; a31, 2, 4 Esta igualdad lleva al siguiente siste*a de ecuaciones a1 ; a2 ; a3 < x 1 a2 ; 2a3 < x 2 =a1 ; a2 ; 4a3 < x 3
Este siste*a de ecuaciones tiene la soluci(n a1 < 2 x 1 = 3 x 2 ; x 3, a2 < =2 x 1 ; / x 2 = 2 x 3 , a3 < x 1 = 2 x 2 ; x 3
As, el conjunto genera el esacio$ A6ora se de*uestra 8ue el conjunto es lineal*ente indeendiente$ -onsidere la siguiente igualdad b11, 0, =1 ; b21, 1, 1 ; b31, 2, 4 < 0, 0, 0 Esto da co*o resultado el siguiente siste*a de ecuaciones b1 ; b2 ; b3 < 0 b2 ; 2b3 < 0 =b1 ; b2 ; 4b3 < 0
Este siste*a tiene una soluci(n 9nica, b1 < 0, b2 < 0 ) b3 < 0$ +or lo tanto, el conjunto es lineal*ente indeendiente$ "e 6a de*ostrado 8ue el conjunto C1, 0, =1, 1, 1, 1, 1, 2, 4D genera a R3 ) es lineal*ente indeendiente$ +or lo tanto, es una base ara R3$
NOTA& +ode*os ane5ar los siguientes teore*as, 8ue odran llegar a ser 9tiles ara el trabajo con esacios vectoriales& Teorema "i C-1, -2, B, -nD es una base ara ! ) si - : !, entonces e5iste un conjunto 9nico de escalares c 1, c2, B, cn tales 8ue
c1v1 ; c2v2 ; B ; cnvn Teorema "i C21, 22, B, 2*D ) C-1, -2, B, -nD son bases ara un esacio vectorial !, entonces * < n es decir, cuales8uiera dos bases en un esacio vectorial ! tienen el *is*o n9*ero de vectores$
CAMBIO DE BASE
EJEMPLO
BASES ORTONORMALES
Esta base for*ada or los vectores
)
se deno*ina '*1e +*),)(+*$
Es la base 8ue se utili@a 6abitual*ente, de *odo 8ue si no se advierte nada se suone 8ue se est trabajando en esa base$ Los dos vectores de la base son erendiculares entre s, ) ade*s tienen *(dulo 1$ "e reresentan or las letras i ) j$
EJEMPLO
Sean los vectores orto%onal&
u =
(1, 2, 1),
v =
(4, , !4) y
w =
(1, !1, 1), "son #n con$#nto
'l realiar los prod#ctos p#nto
u v
=
,
u w
= ,
v w
=
*os damos c#enta de +#e todos son i%#ales a cero, por lo +#e el con$#nto de vectores es orto%onal.
