ALGEBRA LINEAL TAREA 2 DETERMINANTES RANGO INVERSA Xavier Salazar B Departamento de Ciencias Exactas ESPE 24 de septiembre de 2013
DETERMINANTES 1.
Usand Usando o las las prop propie ieda dade dess de de los los det deter ermi mina nate tes: s:
1.1. Sabiendo que AA T = A T A = I , D es un arreglo diagonal y B = A T DA , demostrar que det(B ) = det (D ) 1.2. Sean A,B arreglos; tales que: det (A) = −1 − 1 + 2i, det (B ) = −8. − 8. Encuentre: 3 det(AB ) =?, det det(5B ) =?,det(A ) =? 1.3. Si AT .B T =
3 1+i −2 − i −2
,det(B ) = 3 + 3 i .Cual es el det(A) =?
1.4. Si C C + = I .Demostrar que el det(C ) = +1 y det(C ) = −1. − 1. 1.5. Sea C una matriz compleja idemportente. Demostrar que el det(C ) = 1 y det(C ) = 0
1
1.6. Demostrar que el determinate: a) de una Matriz Herm´ıtica es un n´umero Real positivo o Cero, y b) de una Matriz Antiherm´ıtica es un n´umero Real negativo o Cero
2.
Usar propiedades, para calcular los siguientes determinantes:
2.1. Hallar para que valor de cero. 1 1 det(B ) = 1 1
2.2.
´angulos U , X , Y , Z el determinante es igual a sen(U ) sen(2U ) sen(3U ) sen(X ) sen(2X ) sen(3X ) sen(Y ) sen(2Y ) sen(3Y ) sen(Z ) sen(2Z ) sen(3Z )
Hallar para que valor x el determinante es igual a cero.
det(C ) =
3.
(x + a1 )n (x + a2 )n (x + a3 )n (x + a4 )n
(x + a1)n−1 (x + a2)n−1 (x + a3)n−1 (x + a4)n−1
(x + a1 )n−2 (x + a2 )n−2 (x + a3 )n−2 (x + a4 )n−2
(x + a1 )n−3 (x + a2 )n−3 (x + a3 )n−3 (x + a4 )n−3
Usar el m´ etodo de menores
det(A) =
1+i 1−i 1
−1 + i −1 − i −1 − i −1 + i i 1 −i i i 1 −i −1 + i −1 − i 1 + i −1 − i
det(B ) =
1−i 1+i
4−α 5 0 0 0 2−α 0 0 0 0 2−α 1 0 0 1 3−α
0 0 1 1 i
Hallar el valor de α para que el determinante sera igual a cero.
2
4.
Usar las operaciones elementales para calcular el determinantes de:
A =
2 3 1 −1 2 −3 5 −1 −2
Adem´as comprobar si existe alg´un arreglo L triangular inferior cuyos elementos de la diagonal principal es igual a 1 y un arreglo U triangular superior cualquiera, tal que cumpla con | A| = | L · U |, y comprobar que det(A) = det (LU ) = det (L)det(U ) = det (U )det(L) = det (U L)
RANGO 5.
Usando Operaciones Elementales. Para las matrices cuadrada de 5x 5, demostrar que:
5.1. Si A cumple con aij = min (i, j ) entonces A Es de rango m´aximo si y su determinate es uno, det(A) = 1. 5.2. Si B cumple con bij = |i − j | (valor absoluto) entonces A es de rango m´aximo y cumple con det(A) = (−1)n−1 2n−2 (n − 1) 5.3. No es de rango m´aximo y su determinante es cero, det(A) = 0.
C =
1 2 3 4 6 7 8 9 11 12 13 14 16 17 18 19 21 22 23 24
3
5 10 15 20 25
6.
Si para los numerales anteriores la matrices A, B,C ; demuestre que
6.1. rango(A + B ) ≤ rango(A) + rango(B ) 6.2. rango(A + C ) ≤ rango(A) + rango(C ) 6.3. rango(C + B ) ≤ rango(C ) + rango(B )
7.
Si A es una matriz de rango 1, demostrar que A + I y A − I es de rango maximo.
8.
Determine valores para los parametros escalares, para que matriz A, no tenga rango maximo; y determinar el valor de los rangos, m´ aximo y no m´ aximo
8.1.
A =
4−α 5 0 0 0 2−α 0 0 0 0 2−α 1 0 0 1 3−α
8.2.
A =
1 + k2 −k 0 2 −k 1+k −k 0 −k 1 + k2
4
INVERSA 9.
Calcular la inversa usando el m´ etodo de GaussJordan
9.1. Para A una matriz tridiagonal de dimension 7x7„ sabiendo que: aij =
−1 si i = j ; 1 si i = j .
9.2. Para la matriz A =
2 3 1 −1 2 −3 5 −1 −2
Usando los obtenido en el ejercicio 4, comprobar que si la matriz cumple con A = LU , entonces su inversa es A−1 = U −1 L−1
10.
Usando el m´ etodo de la MATRIZ ADJUNTA calcular las INVERSAS, y Realizar el an´ alisis de singularidad para los numerales: 8.1 y 8.2.
11.
Dada la matriz B .
B =
3 2 −5 2 6 10 1 2 −3
11.1. Hallar P (x) = det (B − xI ). 11.2. Demuestre que P (B ) = φ 11.3. Usando a´lgebra de matrices, calcule A−1 , usando el numeral 11.2
5
11.4. Compruebe la veracidad del numeral 11.3; hallando la inversa de B, con el m´etodo de Gauss.Jordan
12. C =
Dado la matriz C .
2 −1 2 4
2 0 0 5 0 0 0 −1 0 0 −8 3
12.1. Hallar P (x) = det (C − xI ). 12.2. Demuestre que P (C ) = φ 12.3. Usando a´lgebra de matrices, calcule A−1 , usando el numeral 12.2 12.4. Compruebe la veracidad del numeral 12.3; hallando la inversa de C, con el m´etodo de Gauss.Jordan
6
13.
Si A es idempotente, entonces demuestre que I − 2A = (I − 2A)−1
14.
Si B 2 = kB , donde B es de rango 1. Demostrar que (I + B )−1 = I − 1+1 k B . Para k =1
15.
Sea A una matriz antisimetrica; y B = (I + A)(I − A)−1 . Demostrar que BB T = B T B = I
16.
Sabiendo que C es una matriz unitaria y D es una matriz diagonal, demostrar que B k = C +Dk C
17.
Sabiendo que A es una matriz ortogonal y D es una matriz diagonal, demostrar que B k = AT Dk A
18.
Demostrar que si A es una matriz no singular, y B es una matriz cualquiera. Cumple con la identidad ( A + B )A−1 (A − B ) = (A − B )A−1 (A + B )
7
