y=
2
x + ... + x
Álgeb ra
3
5to grado – II Bimestre
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Pág
Historia de los números enteros
125
Conjunto de los números enteros
127
Expresiones algebraicas
133
Términos semejantes
143
= Términos semejantes con coeficiente fraccionario
147
Repaso
153
Propiedades de Potenciación I
155
Propiedades de Potenciación II
159
Propiedades de Radicación
163
Repaso
167
Conexión con la Historia Desde hace mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de maderas para representar los números y realizar en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran cantidades positivas o negativas. Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números negativos. Para tratar este tipo de problema, los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números. En Europa medieval, los árabes dieron a conocer a los números negativos de los hindúes: que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción en las matemáticas. La notación muy difundida para los números positivos y negativos fue gracias a Stifel. La difusión de los símbolos germánicos (+) y (-), se popularizó con el matemático alemán Stifel (1487 - 1567) en el siglo XV, antes de ello se utilizaba la abreviatura de "p" para los positivos y "m" para los negativos. Con todo, la consideración de las cantidades negativas como correspondientes a números matemáticamente legítimos alcanzó aceptación general hasta el siglo XVIII, cuando los números negativos empezaron a ser entendidos como opuestos de los positivos. En la Matemática actual el conjunto de los números enteros abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el "cero".
Álgebra - 5to. grado
125
Conjunto de los Números Enteros (Z) El conjunto formado por los números positivos, los números negativos y el cero se llama conjunto de números enteros. Z = {. . . -4; -3; -2; -1; 0; +1; +2; +3; +4; . . .} +
-4
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
+4
Para indicar si un objeto se encuentra a la derecha o a la izquierda de un punto de refe- rencia, podemos indicar con un signo "+" si está hacia la derecha y con el signo "-" si se ubica hacia la izquierda. De esta forma obtenemos dos conjuntos: Z+
Conjunto de números positivos
Z-
+
0 neutro
+1
+2
Conjunto de números negativos +
-
+3
-3
-2
-1
0 neutro
Relación de Orden en Z Z es un conjunto ordenado. Esto quiere decir que hay números enteros mayores o menores que otros. Un número entero es menor que otro, si está colocado a la izquierda de él en la recta numérica; y es mayor, cuando está a su derecha. Analicemos los siguientes ejemplos: Ordenaremos de menor a mayor +7; -6; +4 y -2 en la recta numérica, a partir del
=• 0.
Así, tenemos que: +
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
+8
El número menor es -6, porque es el que está más a la izquierda; luego viene el -2, el +4 Álgebra - 5to. grado
127
y el +7. En símbolos queda: -6 < -2 < +4 < +7.
•
En el siguiente ejemplo, ordenaremos de mayor a menor: -1; +2; +5; 0 y -3. Tenemos:
-1
0
+1
+2 +3 +4
+5
• Representa: -3 -3
-4
128
-3
-2
+ -1
0
1
Álgebra – 5to. grado
2
+
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
+8
El número mayor es +5 y el menor es -3. Nos queda: +5 > +2 > 0 > -1 > -3 Analizando los ejemplos anteriores, podemos deducir: -Todo número entero positivo es mayor que cero. -Todo número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo. -Todo número entero negativo es menor que cero. -Todo número entero negativo es menor que cualquier número entero positivo. Ejemplos:
• +7 > -12
• +88 > 33
• -4 > -10
• -45 > -72
• +57 > 0
• 0 > -4
RepResentación GeométRica enteRo
de un
númeRo
Todo número entero se puede representar por una flecha que parte del cero y luego al punto correspondiente a dicho número. Ejemplos:
• Representa: +5
-
+5
+
• Representa:
2
-2 +
-3
-2
-1
-0
+1
+2
+3
¡Listos, a trabajar! 1. Representa en la recta numérica los siguientes números: +3; -2; 0; -4; -8; +6 +
-
2. Representa en la recta numérica los siguientes números: +7: -10; -8; -7; +1; -3; -9; +11 +
-
a. ¿Cuál de ellos está más próximo al cero? b. ¿Cuál de ellos está más alejado al cero?
3. Ordena de mayor a menor los siguientes números: -8; +7; -3; 0; -11; +9; +5
4. Ordena de menor a mayor los siguientes números: +12; +15; -13; -15; +20; -31; 0; +1
2
5. Indica mayor (>) o menor (<) en cada
:
-4
-8
-7
+9
+5
+7
+5
-2
6. Escribe los números enteros mayores a -7 y menores a +5.
7. Escribe los números enteros menores a +7 y mayores a -10.
8. Representa geométricamente al número: +7
9. Representa geométricamente al número: -8
10. Representa geométricamente al número: +10
Demuestra lo aprendido 1. Representa en la recta numérica los siguientes números: -17; +8; -10; +15; -12; 0; -1 +
-
2. Representa en la recta numérica los siguientes números: +15; -8; +12; +10; -15; -7; -1; +3 -
130
+
Álgebra – 5to. grado
a. ¿Cuál de ellos está más próximo al +2?
2
b. ¿Cuál de ellos está más alejado al +2?
3. Representa en la recta numérica los siguientes números: -13; +7; -8; -7; -5; +2; -15; +10; +17 +
-
a.¿Cuál de ellos está más próximo al -2? b.¿Cuál de ellos está más alejado al -2?
4. Ordena de mayor a menor los siguientes números: +200; -100; -80; +210; -500; +400; -50; +1
5. Ordena los siguientes números de menor a mayor: -8; -15; -3; -4; -18; -20; -1; 0; -14; -17
6. Indica mayor (>) o menor (<) en cada
:
-3
-2
-5
+7
+3
+2
+5
-7
7. Escribe los números enteros menores a +9 y mayores a -1. 8. Escribe los números enteros mayores a -5 y menores a +5. 9. Representa geométricamente al número -201.
Álgebra - 5to. grado
131
10. Representa geométricamente al número +507.
132
Álgebra – 5to. grado
2
Desafío Arianita sale de su casa y camina 30 pasos a la derecha; luego regresa a su izquierda, 15 pasos y vuelve avanzar hacia la derecha, 10 pasos, diga: ¿A cuántos pasos de su casa se encuentra Arianita?
Álgebra - 5to. grado
133
Expresiones algebraicas Notación: Es la representación que nos indica el nombre y las variables de la expresión matemática. R(x) = -3x
6
R(x;y) = -3x 4y 5z 4 notación
notación
Variable: x
Variables: x, y
Ejemplos:
•
• R(m;n;p) = am2 + bn2 + cp3
F(x;y;z) = 4x 9y 7 + x8z4 variables:
variables:
=• H(x) = ax3 + bx2 + ab variables:
téRmino aLGeBRaico Es el conjunto de números y letras que se encuentran relacionados por las operaciones de multiplicación, división, potenciación y/o radicación.
• Partes de un término algebraico: notación matemática
signo
M(x) = - 5 x 4 parte numérica (coeficiente)
exponente variable parte literal
Completa:
• M(x;y) = -7x3y4
134
Parte literal:
Parte numérica:
Variables:
Exponentes: Álgebra – 5to. grado
2
• R(x;y) = -4x6
11
y
Parte literal:
Parte numérica:
Variables:
Exponentes:
cLasiFicación de téRminos aLGeBRaicos El término algebraico se clasifica en:
1. Término racional: Es cuando todos los exponentes de sus variables son números enteros. a.
Término Racional Entero: Es cuando todos los exponentes de sus variables son enteros positivos o cero.
b.
Término Racional Fraccionario: Es cuando al menos un exponente de una de sus variables es entero negativo.
2. Término irracional: Es cuando al menos un exponente de una de sus variables es fraccionario. Ejemplos: Clasifica los siguientes términos algebraicos:
• P(x;y)
=
4x4
• F(x;y;z)
=
3x 9y 6z -2
• R(x;y)
=
-4x1/2
• A(a;b;x;y)
=
3
y
-3
y
4 3 5 4 3 x y a b 3
3
• B(m;n;x)
=
3 x 2 m2n4
Nota: Observa la recta numérica de números enteros números enteros positivos
números enteros negativos
-
..... -6
-5
-4
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
+4
+5
2 +
+6 .....
cero "El cero no es positivo ni negativo"
eXpResión aLGeBRaica Es el conjunto de números y letras, relacionados por los signos operativos de adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Ejemplo:
Ejemplo:
• P(x;y) = 3x2 + 4y3 + 2xy
tiene 3 términos
• R x 3x 2 2x 1 x 4 3
tiene
términos
• P(x;y) = 3 x 2 y3 5x 9
tiene
términos
P(x;y) = 3xy + 2x + 6
En esta operación algebraica existen tres términos algebraicos, donde:
• "3xy"
:
es el primer término, siendo "3xy" el producto de la constante 3 con las variables "x" e "y".
• "+ 2x"
:
es el segundo término, siendo "+ 2x" el producto de la constante + 2 por la variable "x".
• "+ 6"
:
es el tercer término, siendo "+ 6" una constante.
Además P(x;y) es la notación matemática.
2
Observación: Es importante aprender a leer correctamente las expresiones matemáticas; mostremos algunos ejemplos: a. x + 2x se lee: x más dos x. 2
3
b. 3x - x se lee: tres x elevado al cuadrado menos x elevado al cubo. Además recuerda que: 2x
2
2
: se puede escribir como +2x
3yz : se puede escribir como +3yz
¡Listos, a trabajar! 1. En cada una de las siguientes expresiones algebraicas, señala su respectiva parte literal.
2
• P(x;y) = x y
• P(z) = 5z
8
2 3
•
P
•
5 3 4 5 P x;y;z x y z 8
(x;y;z)
= 3xy z
2. En las siguientes expresiones algebraicas, escribe ¿cuáles son los exponentes de cada una de las variables?
• P(x) = x
•P
2
3 4
(x;y)
=x y
3
•
P
•
P
(y)
=y
(x;y;z)
= 7xyz
2
• P = -5x
2
•
(x)
• P(x;y) = 8x2
8 2 7 P x;y 3 x y
• P(x;y;z) = 4x 2y3z
3
y
4. En cada una de las siguientes expresiones, indica el significado de sus respectivos coeficientes: 2
2
2
Ejemplo: 3a = a + a + a
2
2
• 2x
•
4y
• 3xy
•
5x y
2 3
5. En cada una de las siguientes expresiones, indica el significado de sus respectivos exponentes:
2 3
Ejemplo: x y = xxyyy 3
•x
5
• x yz
7
•
z
•
x y z
4 5 2
6. En cada uno de los siguientes términos algebraicos, señala sus elementos: • P(x) = 7x
3
coeficiente:
2
• P(x;y) = 3xy z coeficiente:
variable:
variables:
10. Escribe un ejemplo en cada caso:
2
• P x;y;z x y z 3
• P(x;y) = -8x y • Término racional entero coeficiente:
coeficiente:
• variable: Término racional fraccionario
variables:
7. Clasifica los siguientes términos algebraicos: P
= -4x7 -3 y
(x;y)
9
D
(x;y;z)
F
(x;y)
Q
= -5x yz
= 7x
4
1/2 4
y
9 -2 1/2
(x;y;z)
= 3x y z
8. Señala el número de términos de las siguientes expresiones algebraicas: P
(x;y)
2
2
2 5
3
= 7x y + 3xy - 7
tiene 8
R
= 3x y + 7y + 3x
F
= 3x + 7x + 3x - 1
(x;y)
5
(x)
Q
2
2
(x;y)
tiene
= 7x - 1
tiene tiene
9. Señala cuál es término y cuál es expresión algebraica: P
2 5
(x;y)
= 3x y 2
5
R
= 3x + y
F
= 3x + 7x - 1
(x;y)
(x)
3
2
Q
(x;y)
= 4xy
2 3
2 2 3 5
• Término irracional • Polinomio
Demuestra lo aprendido 1. En cada uno de los siguientes términos algebraicos, señala su respectiva parte literal:
2 8
3
• P(x;y) = 7x y
• Q(x;y) = 9x y
• R(x) = -x
• F(x;y) = 5x y z
2 3
2. En los siguientes términos algebraicos, escribe cuáles son los exponentes en cada una de sus variables:
• P(x) = -x
•R
(x;y)
5
3 7 3
• Q(x;y) = 7x y z 2 3
= 5x y
• S
4 4 3
(x;y;z)
= -8x y z
2
3. En las siguientes expresiones algebraicas, señala cuáles son sus coeficientes:
• P(x) = -x
3
3
• R(x;y) = -8 y
•
Q
•
S
3 4
(x;y)
=x y
2 3
(x;y;z)
= -10x y z
4. En cada una de las siguientes expresiones, indica el significado de sus respectivos coeficientes:
• 3x
2
• 4x y
5
•
8x
•
7xyz
5. En cada una de las siguientes expresiones, indica el significado de sus respectivos exponentes: 4
•x
3 3 3
•xyz
2
•
x yz
•
8x z
4 2
6. En cada uno de los siguientes términos algebraicos, señala sus elementos: • P(x) = -5x
3
•
Q
2 3 4
(x;y)
= 3x y z
coeficiente:
coeficiente:
variable:
variables: 2 3
• R(x;y) = 8x y
•
S
2 3 4
(x;y;z)
= -7x y z
coeficiente:
coeficiente:
variables:
variables:
= 4xy2/3
S
(x;y)
8. Señala el número de términos de las siguientes expresiones algebraicas: P
= 3x + 5y + 7
R
= 5x y - 2xy + 7x - 1
(x;y)
2
(x;y)
2
tiene
3
5
tiene 2
G
= 15x - 7x + 3x - 10x + 11
tiene
S
= 4x + y
tiene
(x)
(x;y)
9. Señala cuál es término y cuál es expresión algebraica: P
(x;y)
R
(x;y)
Q
S
= 5xy = 5x + y 2
(x)
(x;y)
= 7x + 5x + 1
= 8xyz
2
10. Escribe un ejemplo en cada caso: •
Término racional entero
•
Término racional fraccionario
•
Término irracional
•
Polinomio
Desafío •
Calcula la suma de los dos menores valores que puede tomar "a", si la expresión:
7 6
a 2 a1
8 D x;y x y x 3 y 2 y
es un polinomio.
Términos semejantes Se dice que dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal. Ejemplo: 2 3 5
2 3 5
2 3 5
a.
3a b x ; 5a b x ; 2a b x
b.
9x m ; 6m x ; 3m x
c.
5x ; 7x ; x ; 4x
2
4
4
4 2
4
4
4 2
4
Tienen la misma parte literal a2 b3 x5 por lo tanto son términos semejantes. Tienen la misma parte literal x2 m4, por lo tanto son términos semejantes. Tienen la misma parte literal x4, por lo tanto son términos semejantes.
Reducción de téRminos semeJantes con coeFiciente enteRo Reducir dos o más términos semejantes, significa expresar a todos ellos en un solo término, mediante la suma algebraica de sus coeficientes.
•
Observa algunos ejemplos:
a.
+3x + 4x = (+3 + 4)x = +7x
c. e.
5z + z = (+5 + 1)z = +6z
b. d.
+y + 9y = (+1 +9)y = +10y -4m - 3m = (-4 - 3)m = -7m
-p - 7p = (-1 - 7)p = -8p
Ahora, completa los siguientes ejercicios:
• -2x - 3x = (...............)x = -5x
• +4z + 8z = (...............)z = .........
• -2p + 9p = (...............)p = ........
• 5q - 8q = (...............)q = .........
• -10pq -3pq = .......... = ........
2
REGLAS DE LA SUMA ALGEBRAICA: Regla 1: Para sumar dos cantidades algebraicas del mismo signo se suman sus valores absolutos y al resultado se antepone el signo común. Ejemplos:
• +4 + 3 = +7
• -9 - 2 = -11
• +5 + 1 = +6
• -3 - 6 = -9
• 3 + 10 = +13
• -1 - 9 = -10
Regla 2: Para sumar dos cantidades algebraicas de signos contrarios, se restan sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo de la cantidad con mayor valor absoluto. Ejemplos:
•
-2 + 5 = +3
•
-8 + 3 = -5
•
-7 + 9 = +2
•
-7 + 4 = -3
•
+9 - 2 = +7
•
-9 + 1 = -8
•
10 - 6 = +4
•
-5 + 2 = -3
¡Listos, a trabajar! Reduce los siguientes términos semejantes:
144
0
0
0
0
1.
x +x +x +x
2.
x+ x+ x+ x+ x
Álgebra – 5to. grado
3.
2x8 + 3x8 + 5x8 + x8
Álgebra - 5to. grado
145
2
4.DE LA REGLAS 3xSUMA + 7x ALGEBRAICA: + 2x + x
2
Regla 1: 5. +3x + 5x + 10x + 50x
6.
+x2 + 2x2 + 3x2 + x2
7.
+5x3 + x3 + x3 + x3 + 3x3
8.
x5 + 3x5 + x5 + 7x5
9.
100x6 + 200x6 + x6 + 2x6
10. 8m + 16m + 7m 11. x + 2x - x + 3x - 3x 12. 3x - 3x + x - 3x 13. 2x2 + 5x2 - 4x2 - x2 14. 5x2 - 4x2 + 7x2 - 6x2 15. 6x3 - 6x3 + 13x3 - 2x3 16. 5x + 3x2 - 3x2 + 3x 17. 7x3 + 3x + 7x - 3x3 - x3 18. 10x4 - 3x4 + 3x + x4 - x 19. 6x - 3x + 2x2 +3x + x2 20. 3m + 2p + m + 2p - m
Demuestra lo aprendido
146
1.
x5y3 + 2x5y3 + 4x5y3
2.
7ab + 6ab + 3ab
3.
8nb2 + 15nb2 + 6nb2 Álgebra – 5to. grado
2
4.
9q2t + 6q2t + 5q2t
5.
8xy + 2xy + xy
6.
8y2z4 + 2y2z4 + 5y2z4
7.
30ab + ab + ab + 8ab
8.
7xy2 + 18xy2 + xy2
9.
2a2b2 + a2b2 + 7a2b2 + a2b2
10. 28nb + 7nb + 12nb + nb 11. 3q + 5a + 10a - 2q - 3a 12. 17ab - 3ab + 5ab + 3x + aq 13. 28nb + 7nb - 12nb - 3nb 14. 2b2a - b2a + 3x2y - x2y 15. 7x + 2pq + 3pq - 7x 16. 4x2 + 3y2 + 5x2 + x2 - 3y2 17. z4 + z3 + 2z4 + 3z3 - z3 18. 30x8 + 3x - 26x8 + 3x - x8 19. axy + 3axy + 3xyz - axy 20. x2y2z2 + 3 x2y2z2 + 3x - 2x
146
Álgebra – 5to. grado
Términos semejantes con coeficiente fraccionario Para reducir términos semejantes (T.S.) con coeficiente fraccionario seguimos el mismo procedimiento que usamos para reducir términos semejantes con coeficiente entero, además debemos recordar la reducción de fracciones homogéneas y heterogéneas. Vamos a recordar: T.S. con coeficiente fraccionario homogéneo:
1.
1 2
x
2 2
x
1 2
x
(como los términos son semejantes se reduce solo los coeficientes)
1 2 1 x 2 2 2
2 x 2
2.
3.
1 2 1 x
2
(se suman o restan solo los
numeradores y se coloca el mismo denominador)
1x
6 2 2 7 y x y2 x y 2x 4 4 4
6 2 7 2 y x 4 4 4
6 2 7 2 y x 4
11 2 y x 4
7 3 2 3 10 3 z p z p z p 5 5 5
Álgebra - 5to. grado
z3p
147
4.
9q2t + 6q2t + 2 5q t 5
3
z p
3
z p Rpta.:
148
Álgebra – 5to. grado
T.S. con coeficiente fraccionario heterogéneo:
2
2 1 y y3 3 2
2 1 3 3 2 y
2.2 1.3
4 3
1.
y
3
6
y3
6
Homogenización de fracciones
6
62 4 x 4
8 4 4 x 2x 4
4
148
1
6 1.2 4 x 4 2.2
4.
3
6 4 1 4 x x 4 2
2.
3.
3.2
y
Multiplicación en aspa
2 4 x 4
1 6 3 6 x x 9 15
1
5.1 3.3 6 x 45
59 6 x 45
3 3 6 3 y y 2 7
9
3 6 x 15
Hallando el M.C.M. de los denominadores 9 - 15
3
3 - 5 1 - 5 1 - 1
3 5
M.C.M. = 32 x 5 M.C.M. = 45
14 6 x 45
Ahora tú elige cualquiera de los tres procedimientos anteriores. Estás aplicando:
Álgebra – 5to. grado
¡Listos, a trabajar! Reduce los siguientes términos semejantes en tu cuaderno:
B
3 2 1 2 x x 8 4
P
I
1 3 x x 2 2
2 1 1 3 x x x x 10 10 10 10
B=
P=
I=
D
3 2 1 2 x x 5 10
D=
N
3 2 2 2 1 2 x x x 7 7 7
N=
A
1 1 x x 5 6
A=
L
E
1 2 5 2 6 2 x x x 9 9 9 5 10
3
x
2 3 x 6
L=
E=
R
5 3 2 3 3 3 1 3 x x x x 11 11 11 11
R=
S
7 3 3 3 x x 2 4
S=
2
2
• Ahora, completa la frase y coméntala con tus compañeros.
o 0
1 X 30
5 X3 1 X3 11 6
t
11 X 3 1 X2 4 8
2 X2 11 X 3 1 X 30 7 4
H 1 3 X 6
2x
3 X 10
0
3 10
X
1 2 1 X X 30 2
1 2 X 2
G 5 3 1 1 X X X 30 11 30
5 3 1 2 2 1 2 X X X 2 X 11 30 7
1 3 X
6
La frase es: "
"
¿Qué significa para ti este valor?
Demuestra lo aprendido Resuelve o reduce los siguientes términos semejantes en tu cuaderno:
150
Q
1 1 x x 2 3
Q=
M
2 4 1 4 3 4 1 4 x x x x 6 6 6 6
M=
I
5 3 1 3 x x 3 9
I=
S
3 1 5 x x x 10 10 10
S=
Álgebra – 5to. grado
1 1 U x4 x4 2 4
U=
R
16 3 7 x x x 8 8 8
R=
E
2 4 3 4 x x 3 8
E=
P
4 7 1 x x x 5 5 5
P=
A
1 4 1 4 x x 8 4
A=
Z
1 3 7 3 7 3 3 3 x x x x 12 12 12 12
Z=
• Ahora, completa las frase y coméntala con tus compañeros.
L 3 x4 8
3 x 2
9 x 10
16 3 x 9
5 x 6
3 4 7 4 x x 4 24
3 x
3 x4 8
3 x 2
d 7 4 x 24
1 4 16 3 x x 2 9
Responde:
1. ¿Qué valor reforzamos el mes de julio?
12 x 5
7 4 x 24
3 4 x
4
9 10 x
2
2
2. ¿Qué significa para ti el Perú y cuáles son sus riquezas?
Desafío •
152
¿Cuántos cubos hay en la siguiente figura?
Álgebra – 5to. grado
Repas o 1. Grafica el desplazamiento de la recta numérica en cada ejercicio propuesto. (Resuelve en tu cuaderno.) a.
+6 + -4
b.
-8 +10
c.
-4 + -1
d.
+6 + 4
e.
+7 + -3
f.
-6 + 4
2. Copia en tu cuaderno los siguientes términos e identifica cada uno de sus elementos: a.
M(x) = -8x3
b.
P(y) = 64y6
3. Reduce en tu cuaderno los siguientes términos y relaciona correctamente: a.
2x3 + 6y - 4x3 - 12y + 6x3 + y
(
)
2ab2 - 3b3 - 3ab3
b.
ab2 - 4b3 + ab2 + b3 - 3ab3
(
)
6y
c.
6pm - 4m + 4p - 10p + 4m
(
)
34 x 5
13 x 2
d.
1 x 6x 4y 10y 2
(
)
-2x - 2
e.
2 2 4 1 y x y2 3 3 3
(
)
6pm - 6p
f.
-5x + -2 + 3x
(
)
4x3 - 5y
1
Álgebra - 5to. grado
3
5
6
11
1 2
4
153
2
154
significa para ti el Perú y cuáles son sus riquezas? 2. ¿Qué y g. x x x x x ( ) 2
6
2
5
2
3
3
x
Álgebra – 5to. grado
2
154
4. Ayuda a nuestro amigo a encontrar el camino hacia su alimento favorito.
Álgebra – 5to. grado
Propiedades de la Potenciación I Producto de Potencias de Bases Iguales
m
n
a .a a
m n
Ejemplos: 4
3
7
4 + 3 + 7+ 1
a.
x .x .x .x= x
b.
m .m .m =
c.
y .y .y =
d.
z .z .z =
2
4
=x
15
3
5
7
8
a
a
a
Cociente de Potencias de Igual Base
am a
n
mn
a
m
a a
m
0
a 1
Ejemplos:
a.
7
8x
2x
7
8x 2x
7
7
6x
b.
3x ÷ 3x = 3x - x = 30 = 1
c.
a7x ÷ ax =
Álgebra - 5to. grado
155
2
156
amigo a encontrar el camino hacia su alimento favorito. 4. Ayuda a4mnuestro 4m d.
b
÷b
=
Álgebra – 5to. grado
2
¡Listos, a trabajar! 1. Completa los espacios en blanco: x
a) m . m = m
x+ 3
2x
4
5
c) x . x . x = x
2x
4+
m 2
m
b) a . a = a
15
m 4
d) (x ) . (x ) = (x )
2. Indica con una (V) si la proposición es verdadera o (F), si es falsa: 2b
a. x
3m
2b + 3m
.x
= x
4
12
3
b. x . x = x 5a
c. x
8a
d. x
2
5a + 2
8a
x
)
.................................................................................. (
x = x
...................................................................... (
)
......................................................................... (
= 1 ............................................................................... (
) )
3. Reduce: 4
7
a. x . x +x
8
11
2
3
2
6
+ x .x .x
6
3
b. (3m)
2a
. (3m)
5a
. (3m)
a
5
c. 3(x + x . x + x . x )
156
Álgebra – 5to. grado
4. Resuelve: a. (m
8x
3x
m ) + (m
7x
2x
÷m )
4
3
b. a . a . a
a
2
2
5. Simplifica: x
6a
x
9a
12a
x
x
3a
a. 5a 8a 11a 2a x x x x
c.
b. (x7 . x4 . x) : (x2 . x)
x12b .x 9b x12b .x 3b 8b 4b x8b .x 5b x .x
Demuestra lo aprendido 1. Completa los cuadrados para que se cumpla la igualdad: a.
x . x4m . x2m = x9m
b.
ap + m = a . a
c.
ya . yb = y
d.
z2m . z = z2m + 2a
Álgebra - 5to. grado
157
2
2. Indica con una (V) si la proposición es verdadera o (F) si es falsa: a.
x6a
x3a = x9a
(
)
b.
b4 . b5 . b . b2 = b12
(
)
c.
xa + xb + x c = xa + b + c
(
)
d.
x8m
xm = x7m
(
)
3. Reduce: a.
m4 . m5 . m + m3 . m5 . m2
c.
6(x4 . x3 . x2 + x9)
b.
(4x)2m . (4x)m . (4x)4m
4. Resuelve aplicando propiedades de potencia. a.
(a7x
a2x) + (a8x
a3x)
b.
m5 . m4 . m . m9
b.
(m8 . m4 . m3)
m2 . m8
5. Simplifica: 12x
b
a.
c.
b
5x
11x
b
b
4x
b
3x
14x
b
7x
b
(m2 . m5)
a8x .a5 x a6 x .a x 2x
a
Desafío
10x
b
a
x
1. Simplifica la siguiente expresión: 3 2 3
3 33 3
3
2. "Los bomberos". El diagrama indica la ubicación de los 35 barrios de una ciudad. Los círculos son barrios y las líneas carreteras. La distancia entre barrios es 5 km. El intendente decide que ningún barrio debe estar a más de 5 km de un cuartel de bomberos. ¿Cuál es la mínima cantidad de cuarteles necesarios? Indica sus ubicaciones.
158
Álgebra – 5to. grado
Propiedades de la Potenciación II Potencia de otra Potencia
m
n p
a
m.n.p
a
Ejemplos: 234
a.
[(x ) ] = x
b.
(a ) =
c.
{[(x ) ] }
d.
[(m ) ] =
2×3×4
=x
24
25
3 7 0 12
=
472
Potencia de un Producto
a.b n
n n
a .b
Ejemplos:
2
2
2
a.
(x.y) = x . y
b.
(2ab) = 2 . a . b = 8a b
c.
(3mp) =
d.
(5xy) =
3
2
3
3
3
3
3 3
2
¡Listos, a 1. Resuelve, indicando el exponente: 245
a.
[(x ) ] =
b.
{[(y ) ] } =
c.
{[(a ) ] } =
325 4
390 8
2. Indica con una (V) si la proposición es verdadera o (F) si es falsa: 3 12
15
a.
(x )
=x
b.
[(m ) ] = 1
c.
[(y ) ] = [(y ) ]
d.
(a . b) = a . b
580
382 7
624
2
7
2
(
)
(
)
(
)
(
)
3. Simplifica cada una de las siguientes expresiones:
160
50 8
8
4 2
a.
A = {[(240) ] } + (x) + (x )
c.
(x ) + (x ) + [(x ) ]
e.
[(m ) ] + [(m ) ] - [(m ) ]
4 6
526
3 8
243
15 2 2
345
b.
2 7 10
B = [(x ) ] 740
+ 5x
140
20 7
- (x )
280 5
20
d.
[(a ) ] + {[(a ) ] } + (a )
f.
(x y ) + (x.y ) + 3(x .y )
2 43
26
2 43
Álgebra – 5to. grado
Demuestra lo aprendido2 1. Resuelve dejando indicado el exponente: 457
a.
(m ) ) =
b.
[(x ) ] =
c.
{[(m ) ] } =
839
607 4
2. Indica con una (V) si la proposición es verdadera o (F) si es falsa: 4 5
20
a.
(x ) = x
b.
(a .b ) = a .b
c.
(x .y ) = x .y
4
32
5 34
6
5
20 12
(
)
(
)
(
)
3. Simplifica cada una de las siguientes expresiones: 340 7
5 0 12
- x0
a.
{[(x ) ] } + [(x ) ]
c.
8(x )
e.
[(m ) ] + [(m ) ] - {[(m ) ] }
2 12
370
Álgebra - 5to. grado
64
+ 3(x ) - x
24
12 0 9
10 8 2 0
43
62
12
b.
(a ) + 4(a ) - a
d.
[(x ) ] + 5[(x ) ] - 3(x )
f.
542
4 36
85
4 10
12 9 2
8 63
(a b ) + 6(a b ) - 2(a b )
161
2
Desafío a
b
1. Si: 3 = 2 ; halla el valor de:
a 3
3
2
b
2
5 b2
2. Averigua la cifra que falta en el último cuadrado. 8
6
9
3
2
1 4
162
6
8
7
7
8
7
9
8
8
2
5 ? 6
Álgebra – 5to. grado
Propiedades de Radicación ¿Sabías que . . . ...las paradojas han tenido un papel crucial en la historia intelectual, a menudo presentando los desarrollos revolucionarios de las ciencias, de las matemáticas y de la lógica. Cada vez que, en cualquier disciplina, aparece un problema que no puede resolverse en el interior del cuadro conceptual susceptible de aplicarse, experimentamos un choque, choque que puede constreñirnos a rechazar la antigua estructura inadecuada y a adoptar una nueva. Es a este proceso de mutación intelectual al que se le debe el nacimiento de la mayor parte de las ideas matemáticas y científicas.
Anatol Rapoport
eL eXponente FRaccionaRio La representación de un exponente fraccionario m xn
m xn
tiene un equivalente como:
n m
x
donde: m, n IN; n > 2 Ejemplos: a. b. c. d. e.
x
3 4
4 3
x
x
2m x 2m
4 4
4 4
x
2m 2m
x
x
1 83
8
16
1
x
1
3
1 2
1
16
f. Álgebra - 5to. grado
50 100
3
163
2
Desafío
100
3 50
1.
164
2
3 9 a b Si: 3 = 2 ; halla el valor de:
Álgebra – 5to. grado
2
¡Listos, a 1. Resuelve: a.
c.
5 5
x
b.
2m 8m
x
6 6
x
d.
x
12
2. Simplifica:
a.
4 16
x
18
x
b.
4 4
c.
x .x
d.
4
x 24 x
4
9 10
x .x .x
3. Halla el número que debe ir dentro de cada paréntesis:
a.
c.
4 2
3
x .x x
3
x 23
5 6
e.
164
4
x
b.
2
2 3
x .x .x x 8 6
x .x
x
d.
f.
15
8 93
x .x . x 7 21
x . x
3 9 3 x6
x
5 5
x
x
4
x
6 6
x
7 7
x
3x
Álgebra – 5to. grado
Demuestra lo aprendido2 1. Resuelve: a.
c.
x
24
20
y y
. x
20
. x
20
b.
72 48
4 12
x
d.
4 20 16
b.
3
x
.x
2. Simplifica:
a.
c.
36
9
12 x 3 x 24 6 x x
2. x
4
3
6
4
3. x 4. x
8
d.
x x
72
4
a.
x
a 4
5 6 5
x .x .x 6
4
x . x . x
2
4 24 4 32 9 36 x . x . x
b.
x
c.
10(x2.x3 + x4.x + x5) = 30xa
x.x
3
x
60 28
2
x . x . x 6
x . x
3. Halla el valor de "a" en cada uno de los siguientes casos:
a 1
x
24
2
4
2
Desafío Con los números a veces suceden cosas muy curiosas . . . ¿Lista para jugar? ¿Listo para jugar?
•
Piensa una fecha, la que tú quieras, por ejemplo 28 de julio de 1997.
•
Ahora hay que escribir esta fecha como si fuera un solo número como julio es el mes 7, escribimos la fecha como: 28071997
•
Ordena las cifras de este número de la más grande a las más chica. 99877210
•
Ahora, ordénalas al revés, de las más chica a la más grande. 01277899
•
Resta los dos números que te quedaron al ordenar las cifras (resta siempre "el mayor menos el menor") 99877210 01277899 98599311
•
Suma las cifras del número que quedó como resultado de la resta: 9+ 8+5+ 9+9+ 3+1+ 1= 45
•
Ahora, suma las cifras del número que quedó como resultado de la suma: 4+ 5=9 El resultado es 9 ¡Lo sorprendente de este juego es que con cualquier fecha que escojas, el resultado siempre será 9!
• 166
Ahora inténtalo tú con la fecha de tu nacimiento, y con las fechas de tus seres Álgebra – 5to. grado
queridos.
Álgebra - 5to. grado
167
2
Desafío
Repas o
Con los números a veces suceden cosas muy curiosas . . . ¿Lista para jugar? ¿Listo para jugar?
¡Listos, a trabajar!
1. Escribe dentro de cada paréntesis (V), si la proposición es verdadera; o (F), si es falsa:
2m 3m m
a.
x
b.
x .x = x
c.
x
d.
x
e.
.x
2a 5
5b
6m
.x = x
2a + 5
3
x =x
2a + 3
=x
10a
5b - 3
(
3+ a+ a
(
)
(
) )
(
)
(
)
8a
7a x 3a x a x x 2x
2. Usa las propiedades de la potenciación y radicación para simplificar las siguientes expresiones:
a.
b.
c.
3z
a
a
5
z
x
10
x
5
8 32
x
a a
8z
6z
3
12
x
x
9
7 28
x
a
13z
a
11z
4
x
a
18z
16z
16 12
x
9 36
x
a
x
5
x
20 15
6
x
24 18
x
11 44
x
3. Indica el valor de "a" en cada caso:
a.
168
8
x 10 x
2
x
a
b.
13x b7x b18x b10x 4x 15 x b a b b b
Álgebra – 5to. grado
c.
3 15
x
Álgebra - 5to. grado
. x
10
x
2a
169
2
Demuestra lo aprendido
1.
Escribe dentro de cada paréntesis (V), si la proposición es verdadera o (F) si es x
8
16 10
.x
a.
x
b.
{[(2x) ] }
c.
x
14
b.
c.
= 2x
345 2
= {[(x ) ] }
x
16
x 6
x
8
12
4
6
16
. 6 . 6
10
6
10
6 .6 .6
2. Resuelve:
a.
x
3 0 35
d.
e.
16
10
13
0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
16
8 x 7 x 6 x 2 6 10 x x x
13x
b
10x
b
9 27
10x
b
7x
b
6 18
x
x
7x
b
b
4x
7 21
x
b
4x
b
x
11 33
x
3. Indica el valor de "a" en cada caso: a.
b. 168
2x
2a
3 6
x
10
x
5 6
.x .x
6
4 8
x
x .x
x
3a Álgebra – 5to. grado
Desafio I.
2
Expresa como potencia o como operaciones con potencias las siguientes expresiones. Primero observa algunos ejemplos: a.
3
5
8 × 32 = 2 × 2 = 2
¡Ahora, hazlo tú!
•
27 × 9 =
•
32 × 10 =
•
6 +8 =
2
2
8
b.
2
32
8 = (2 ) = 26
