Algebra II Bimestre

Colegios TRILCE

La INTELIGENCIA como primera opción

Línea de Tiempo Tiempo 1546

Nace en Brujas, Bélgica, Simón Stevin.

Stevin publica L’Arithmetique Arithmetique en el que presenta un tratamiento impecable de la Teoría de ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado.

1548

1585 EnAppendiceAlgebraique,Stevinpresentó un método general para el cálculo aproximado de las soluciones reales de una ecuación de cualquier grado.

1594 Muere en La Haya, Simón Stevin.

1586

Blasco Núñez de Vela, quien fuese primer virrey del Perú, es capturado y decapitado por los pizarristas el 18 de enero.

Nace Isabel Flores de Oliva, más conocida como Santa Rosa de Lima.

1620

1625 La Catedral de Lima es consagrada el 19 de octubre por Gonzalo Campo.

San Miguel - Faucett - Pershing - Escardó

II Bim. / ÁLGEBRA / 1ER. AÑO

93


Colegios TRILC TRILCEE

Multiplicación Algebraica Conocimientos Previos

b) Potenciación

MULTIPLICAC IÓN DE POTENCIAS DE BAS ES IGUALES

(+)PAR = (+) ( - )PAR = (+) (+)IMPAR = (+) ( - )IMPAR = ( - )

am . an = am+n * *

33 . 32 = 33+2 = 35 7

6

7+6

5 . 5 = 5

* * * *

13

= 5

(ab)m = am . bn (2x)4 = 24 x4 = 16x4

*

(3m)5 = 35 m5 = 243m5

*

(x3)6 = x3(6) = x18

-15

y4+2

Aplicando la propiedad distributiva: (-5x4)(3x5) + (-5x4)(-4x7) = = = =


+30 +28 -12 -45

-15x9

+

20x11

De donde: -5x4(3x5 - 4x7) = -15x9 + 20x11

1. Determina la suma de coeficientes del producto, al multiplicar: (3x3 - 2x2)(-5x + 4x4) Resolución: Aplicando la propiedad distributiva: (3xx3)(-5x + 4x4) + (-2x2)(-5x + 4x4) (3 -15x4 + 12x7 + 10x3 - 8x6

Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad distributiva y luego se procede efectuando sus coeficientes y partes literales, así tenemos: -5x4 (3x5 - 4x7)

(+) (+) = (+) ( - ) ( - ) = (+) (+) ( - ) = ( - ) ( - ) (+) = ( - )

94

x3+6

-10x10 + 40x7 + 6x11 - 24x8

DE

MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO

a) Multiplicación

(+5 +5))(+6 +6)) (-7)(-4) (+4)(-3) (-5)(+9)

Aplicand o la propiedad distributiva: (5x4)(-2x6 + 8x3) + (-3x5)(-2x6 + 8x3)

De donde: -15x9y6

LEY DE SIGNOS

* * * *

+16 +81 +125 -216

Aplicandolapropiedadconmutativa: propiedadconmutativa: (3)(-5)(x3)(x6)(y4)(y2)

(am)n = amn (34)5 = 34(5) = 320

= = = =

(5x4 - 3x5)(-2x6 + 8x3)

Para multiplicar monomios, primero se multiplica los coeficientes y luego se efectúan sus partes literales, así tenemos: (3x3y4)(-5x6y2)

POTENCIA DE POTENCIA

*

(+4)2 (-3)4 (+5)3 (-6)3

DE

Paramultiplicar polinomios se aplica la propiedad distributiva, así tenemos:

MULTIPLICAC IÓN MONOMIOS

POTENCIA DE UN PRODUCTO

*

MULTIPLICACIÓN POLINOMIOS

Suma de coeficientes del producto:

\

-15 + 12 + 10 - 8 = -1 2. Determina el mayor coeficient coeficientee del producto, al multiplicar: (5x3 - 2x5)(-3x2 - 4x) Resolución: Aplicando la propiedad distributiva: (5x3)(-3x2 - 4x) + (-2x5)(-3x2 - 4x) -15x5 - 20x4 + 6x7 + 8x6 \

Mayor coeficiente: 8

San Miguel - Fauc Faucett ett - Pershing - Escardó

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3. Determina la cantidad de términos del producto, al multiplicar: (3x5 + 6x4)(2x4 - 4x3) Resolución: Aplicando la propiedad distributiva: (3x5)(2x4 - 4x3) + (6x4)(2x4 - 4x3) 6x9 - 12x8 + 12x8 - 24x7 Reduciendo términos semejantes, tenemos: 6x9 - 24x7 \ # de términos = 2 4. Determi na el coeficie nte del término de mayor exponente, al multiplicar: (5m2 - 3m)(-2m3 + 7m4) Resolución: Aplicando la propiedad distributiva: 5m2(-2m3 +7m4)+(-3m)(-2m3 +7m4) -10m5 + 35m6 + 6m4 - 21m5 Reduciendo términos tenemos: 35m6 - 31m5 + 6m4 \

Coef. del término de mayor exponente es 35.

Nivel I 1) Multiplica: 1) -2m2n(-3mn + 4m3n2) y determina el coeficiente de mayor valor del producto. a) -8 d) -6

a) -2 d) 28

b) -14 e) 0

c) 14

3) Multiplica: 3) -5m4(2m3 - 3m5) y determina el coeficiente del término de mayor exponente. b) 15 e) -5

c) 10

4) Multiplica: 4) 3x5(-2x3 + 5x4) y determina el coeficiente de mayor valor. a) -6 d) 8

b) -3 e) 15

c) -5

5) Multiplica: 5) -4y4(-7y3 + 3x3) y determina el coeficiente del término que contiene a “x”. “x”. a) 28 d) 12

b) -28 e) 16


b) -6 e) 3

b) -7x e) -20

c) 6x2

8) Multiplica: 8) (6x - 5)(-3x - 4) y determina el coeficiente del término de exponente par. a) -18x2 d) 9x

b) 18x2 e) 20

c) -9x

9) Multiplica: 9) (x2 - 2x + 3)(-x + 3) y determina la suma de coeficientes del producto. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

10) Multiplica: 10) (-3x + 5)(-2x - 4) y determina el coeficiente del término que no contiene a “x” en el producto. a) 6 d) -2

b) -6 e) -20

c) 2

c) -12

6) Multiplica: 6) -3x4(-x3 + y3 + z3) y determina la suma de coeficientes del producto. a) -9 d) -3

a) 10 d) -10

c) 6

2) Multiplica: 2) 14xy2(-2xy3 + 2x4y3) y calcula la suma de coeficiente coeficientess del producto.

a) -15 d) -10

Fue tan famoso el libro Kitab al-jabr wa al-muqabalah, la obra más importante del matemático árabe Al'Khwarizmi, que parte de su título dio nombre a toda una disciplina matemática: el álgebra. Al-jabr quiere decir así como “restitución”, que es lo que se intenta hacer cuando se resuelve una ecuación, restituir el valor de la incógnita. Si buscas esta palabra en el diccionario, encontrarás que junto junt o a su sign signific ificado ado mate matemáti mático co aparece otro desusado, el de “arte “arte de restituir a su lugar los huesos dislocados” dislocad os”.. Por eso algebrista algebrist a era tanto el matemático dedicado al álgebra como el cirujano que se dedicaba a colocar los huesos en su sitio. Una tercera acepción de algebrista algebri sta es la de “alcahuete”. “alcahuete”. Algo tendrá que ver ver..

b) 8 e) -12

7) Multiplica: 7) (3x + 4)(2x - 5) y determina el valor que no contiene a “x” en el producto.

c) 0

11) Multiplica: 11) (-5x + 3)(2x - 6) y determina el coeficiente del término de menor exponente en el producto. a) -10 d) 24

b) -18 e) 28

c) 36


95


12) Multiplica: (3m3 - 6m)(-2m4 - 4m2) y determina la cantidad de términos del producto. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

13) Multiplica: (5m2 - 7m)(-2m4 + 3m2) y determina la suma de coeficientes del producto. a) -9 d) -12

b) -10 e) -13

c) -11

14) Multiplica: (3m2 - 5m + 1)(-m + 4) y determina el coeficiente del término de exponente uno al obtener su producto. a) -20 d) -23

b) -21 e) -24

c) -22

15) Multiplica: (2m - m2 + 3)(2 - m2) y determina la cantidad de términos de su producto. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

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18) Multiplica: (7x + 3x2)(-2x5 - x3) y determina el coeficiente de menor valor. a) -14 d) -16

b) -7 e) -3

a) 2 d) 5

c) -6

19) Multiplica: (8x3 - 5x)(-3x + 2) ydeterminalasumadecoeficientes de los términos positivos. a) -3 d) 24

b) 3 e) 28

c) 31

b) -4 e) 32

c) 12

21) Multiplica: (-3x3 + 5x)(4x - 3x4) y determina la suma de coeficientes de los términos de exponente par. a) 8 d) -2

b) -8 e) -27

Nivel II 16) Multiplica: (3x2 - 2)(6x + 7) e identifica que término no se encuentra en su producto. a) 18x3 d) -12x

b) 21x2 e) -14

c) 12x

a) -15x5 d) x

b) 3x4 e) 5x5

c) 5x2


96

b) 20 e) 0

c) -20

27) Multiplica: (2x + 1)(x + 2) - 2(x + 1)(x + 1) a) 5x d) 2x

b) 4x e) x

c) 3x

28) Multiplica: (3x + 1)(x + 3) - (3x + 2)(x + 2) a) 2x + 1 b) 2x - 1 c) 2x d) 3x + 2 e) 3x - 2

a) 5x d) 2x

c) 3x

30) Efectúa: 2(x + 1)(x + 5) - (2x + 5)(x + 2) a) x d) 4x

c) 20

b) 4x e) x

b) 2x e) 5x

c) 3x

23) Multiplica: (9x - 2x2)(-5x + 6x3) y señala el coeficiente de mayor valor. a) 54 d) 17

17) Multiplica: (5x2 + x)(3x3 - 1) e identifica un término del producto.

b) 19 e) 22

c) 4

29) Efectúa: (3x + 1)(x + 4) - (3x + 2)(x + 2)

c) 2

22) Multiplica: (-7x + 2x3)(-3x4 - x2) ydeterminalasumadecoeficientes de los términos de exponente impar en el producto. a) 18 d) 21

b) 3 e) 6

26) Multiplica: (3x2 - 5x)(-2x3 + 2) y determina la suma de coeficientes del producto. a) -12 d) 12

20) Multiplica: (5x4 - 3x)(6x - 4x3) ydeterminalasumadecoeficientes de los términos negativos. a) 4 d) 42

25) Multiplica: (2xy - 3x - 2y)(xy - x + y) e indica la cantidad de términos del producto.

b) 64 e) 8

c) 10

24) Multiplica: (3mn - 2n)(-5m - 3mn) y determina el coeficiente de mayor valor en el producto. a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6


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38) Multiplica: (5x + 2)(x + 3) - (5x + 1)(x + 6)

Nivel III 31) Al multiplicar: 4x 2 (3 x 2 - x + 5) se obtuvo 12 x a - bx c + 20x 2 . Calcula a + b + c. a) 10 d) 13

b) 11 e) 15

c) 12

32) Al multiplicar (x2 + 5)(x2 + 3) se obtuvo xm + nx2 + p. Calcula m + n + p. a) 25 d) 31

b) 26 e) 32

c) 27

33) Luego de multiplicar: (2x 2 + 3)(2x2 + 1) se obtuvo ax4 + bx2 + c. Calcula a + b + c. a) 10 d) 14

b) 11 e) 15

b) 2 e) 5

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

b) -4 e) 3

a) y6 d) y9

b) 2y6 e) x9

a) 4x + 2 b) 6x + 18 c) 6x + 2

b) -8x e) 0

c) -x

a) 8x - 4 b) -2x + 7 c) 2x - 5

a) x4 b) x2 c) x2 + 1 d) x4 + 1 e) x4 + 2x2

b) 15x e) 40x

(

c) 20x

b) 3 e) 6

(

a) 2 d) y/x

b) 4x e) 4

(

(

a) 1 d) b/a

b) 2 e) 2b/a

(

c) 2y

((b1 + a c) 0

(

a) 2 d) 5

b) 3 e) 7

c) 4

c) 4

44) Efectúa: (3x + 1)(4x + 2) - (2x - 1)(6x + 8) a) 6 d) 12

b) 2 e) 4

c) 10

45) Indica el número de términos que se obtiene al multiplicar: (xy - x + 2)(xy - y + 1)

c) x6


a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

(

50) Al efectuar (mx + 3)(x + 2n) se obtuvo 5x2 + ax + 12. Calcula el valor de a + 2.

( a + 1a ((a + 1a +(( a - 1a ((1a - a b) 2a e) a2

(

c) 4

43) Efectúa:

a) 2 d) 4a

(

49) Efectúa: 1 1 1+ b ( - a (b a b a

42) Luego de multiplicar: (2x2 - 3)(9 + 6x2 + 4x4) indica el número de términos del producto. a) 2 d) 5

d) 13x + 23 e) -x - 9

48) Efectúa: x y x y - x - y x - y + + y x (y x ( y x (y x

41) Efectúa: (2x + 5)(2x + 5) - (2x - 5)(2x - 5) a) 10x d) 8x

d) 3x + 8 e) 4x + 6

47) Efectúa: A =(2x+1)(x+ 3) B = (x - 5)(x + 2) y calcula A - 2B.

(x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + (x + 1)(x - 1)

c) 2

37) Multiplica: (x3 + y2)(x6 + y4 - x3y2) - y6

c) -8x

40) Efectúa:

c) 4

36) Si al multiplicar (x + 2)(x + 5) se obtuvo 1, calcula: E = x2 + 7x + 5 a) -2 d) 6

a) -6x d) -2x

c) 3

35) Al multiplicar: (m 5 + 2)[m 10 + 4 - 2m 5 ] se obtuvo ma + b. Calcula: a+b+2

b) -6x e) -14x

(x+1)(x+2)(x+3)-(x-1)(x+3)(x+4)

39) Efectúa: 5(x + 1)(x + 3) - (5x + 3)(x + 5)

c) 12

34) Si (ax+1)(x+b)= 3x2 + mx + 2, calcula el valor de: a+m+b 4 a) 1 d) 4

a) -2x d) -12x

46) Efectúa:

c) 4


97

(


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Productos Notables I Son aquellos productos que se obtiene en forma directa sin la necesidad de aplicar la propiedad distributiva. BINOMIO AL CUADRADO 2

2

2

(a + b) = a + 2ab + b (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Por multiplicación distributiva: (a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b) Eliminando paréntesis: (a + b)(a - b) = a2 - ab + ab - b2 Reduciendo términos semejantes: (a + b)(a - b) = a2 - b2

Demostración: A) (a + b)2 = (a + b)(a + b) Por multiplicación distributiva: (a + b)2 = a(a + b) + b(a + b) Eliminando paréntesis: (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2 Reduciendo términos semejantes: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 B) (a - b)2 = (a - b)(a - b) Por multiplicación distributiva: (a - b)2 = a(a - b) - b(a - b) Eliminando paréntesis: (a - b)2 = a2 - ab - ab + b2 Reduciendo términos semejantes: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 MULTIPLICACIÓ N DE BINO MIOS SUMA P OR (a + b)(a - b) = a2 - b2 Demostración: (a + b)(a - b) = (a + b)(a - b)


98

1. Efectúa: (x + 5)2 Resolución: Aplicando la identidad: (x + 5)2 = x2 + 2x(5) + (5)2 (x + 5)2 = x2 + 10x + 25 2. Reduce: E = (x + 3)2 - x(x + 6) Resolución: Aplicando la identidad y multiplicación de expresiones, tenemos: E = x2 + 2(3)x + (3)2 - x2 - 6x Reduciendo términos semejantes \ E = 9 3. Efectúa: M = (x - 5)2 - x(x - 5) + 5x Resolución: Aplicando la identidad y multiplicando las expresiones, tenemos: M = x2 - 2(x)(5) + (5)2 -x2 + 5x + 5x M = x2 - 10x + 25 - x2 + 5x + 5x Reduciendo términos semejantes

Federico Villarreal, insigne hombre peruano, nació en Túcume, Lambayeque el 31 de agosto de 1850. Sus padres fueron Ruperto Villarreal y Manuela Villarreal. El primer trabajo de investigación realizado por Villarreal, a la edad de 23 años, según propias declaraciones, fue su método de elevar un polinomio a una potencia como eldescubrimientocapitaldelsabio y uno de los que le ha dado mayor prestigio como matemático. Otrostrabajosdeinvestigación que consagran a Villarreal como el más grande matemático de su época son sus estudios sobre los efectos de refracción, sobre el disco de los astros, su clasificación de las curvas de tercer orden, sus estudios sobre los volúmenes de poliedros regulares, su método de integración por traspasos y sus trabajos acerca de la teoría de la flexión de las vigas y la resistencia de las columnas. Todos ellos representan sus más importantes contribuciones al álgebra, la geometría, el cálculo infinitesimal y la resistencia de materiales. En el campo de la geografía matemática se han hecho clásicos sus trabajos acerca de la determinación de meridianos y de coordenadas y altitudes, así como en la astronomía, sus esfuerzos por difundir en el Perú las hipótesis de Wronski.


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6) Efectúa: (2x + 1)2 - 4(x2 + x + 1)

Nivel I 1)

Efectúa las multiplicaciones indicadas: * * * * * *

(a + b)(a + b) (x + y)(x + y) (x + 1)(x + 1) (a - b)(a - b) (x - y)(x - y) (x - 2)(x - 2)

3)

a) -1 d) -4

(x + a)2 (m + 1)2 (2x + 1)2 (y - a)2 (n - 1)2 (3x - 1)2

a) 2 d) 8

5)

(a + b)(a - b) (x + y)(x - y) (x + 1)(x - 1) (a + 2)(a - 2) (m - 3)(m + 3) (b - 5)(b + 5)

a) 2 d) 16

a) 2 d) 16

b) 4 e) 32

c) 8

15) Efectúa: (x - 3)2 - (x - 2)2 + 2x

c) -3 a) 3 d) 6

c) 6

b) 4 e) 32

c) 8

b) 5x e) -x

c) 3x

11) Efectúa: (x + 4)2 - 8(x + 1) - x2 a) 2 d) 8

b) 4 e) 7

c) 5

b) 4 e) 10

c) 6

Nivel II 16) Efectúa: (x + 4)2 - (x - 3)2 - 7 a) 10x d) 13x

b) 11x e) 14x

c) 12x

17) Efectúa: (x + 5)2 - (x - 2)2 - 14x a) 20 d) 23

b) 21 e) 24

c) 22

18) Efectúa: (x + 6)2 - (x - 4)2 - 20(x + 1) a) -2 d) 1

b) -1 e) 2

c) 0

12) Efectúa: (x - 5)2 + 10(x - 3) - x2 a) -5 d) -2

Efectúa: (x + 2)2 - 4(x + 1) b) 2x2 e) x2

b) 4 e) 10

10) Reduce: (x + 1)2 - (x - 1)2 + 3x a) 7x d) x

(2x + 1)(2x - 1) (3m - 2)(3m + 2) (2x + 5)(2x - 5) (x2 + 2)(x2 - 2) (m3 - 1)(m3 + 1) (p5 + 2)(p5 - 2)

a) 2x d) -2x

b) -2 e) -5

9) Efectúa: (2x + 3)(2x - 3) - (2x + 5)(2x - 5)

4) Efectúa: * * * * * *

c) -3

8) Efectúa: (x + 1)(x - 1) - (x + 3)(x - 3)

Efectúa las multiplicaciones indicadas: * * * * * *

b) -4 e) -1

7) Efectúa: 4x(x - 1) - (2x - 1)2

2) Efectúa: * * * * * *

a) -5 d) -2

14) Efectúa: (x + 5)2 - (x + 3)2 - 4x

b) -4 e) -1

c) -3

13) Efectúa: (3x + 1)2 - 9x(x + 1) + 3x

c) 0


a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3


99


19) Efectúa: (x + 3)2 - (x - 2)2 - 5(x + 1) a) x d) 4x

b) 2x e) 5x

b) -2 e) -5

a) 7 d) 4

c) -3

21) Efectúa: (2x + 1)(2x - 1) - 4(x + 2)(x - 2) a) 11 d) 17

b) 13 e) 19

c) 15

22) Efectúa: (2x - 1)(2x + 1) - 4(x + 3)(x - 3) a) 15 d) 30

b) 20 e) 35

28) Si a2 + b2 = 13 y a + b = 5, calcula ab.

35) Si a2 + b2 = 22 y a - b = 2, calcula: P = ab

c) 3x

20) Efectúa: (2x + 3)(2x - 3) - 4(x + 1)(x - 1) a) -1 d) -4

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c) 25

b) 6 e) 3

c) 5

2

b) -2 e) -5

c) -3

b) 4 e) 7

c) 5

a) 1 d) 16

b) 4 e) 25

c) 9

b) 2x2 e) 5x2

c) 3x2

25) Efectúa: (4x + 1)(4x - 1) - 16(x + 1)(x - 1) a) 15 d) 12

b) 14 e) 11

b) 4 e) 7

b) 44 e) 77

c) 5

31) Si a + b = 5 y ab = 8, calcula M = a2 + b2 a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

32) Si a - b = 5 y ab = 12, calcula: Q = a2 + b2 a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

a) x d) 2x2

b) 18 e) 35

c) 21

b) x2 e) 4x

c) 2x

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 55

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

8

(b-1)(b2+1)(b4+1)(b+1)+1

a) b d) b+1

b) b2 e) b-1

c) b2-1

40) Efectúa: 4

(x+y)(x-y)(x4+y4)(x2+y2)+y8

a) x2 d) xy

b) y2 c) y4 e) x2 + y2

41) Si x - y = 5 y x2 - y2 = 40, calcula el valor de x + y. c) 3

34) Si a + b = 7 y a2 + b2 = 17, calcula: N = ab


100

a) 15 d) 31

(x+1)(x-1)(x2+1)(x4+1)+1

33) Si a - b = 6 y ab = 14, a2 + b2 calcula: R = 16

27) Si a - b = 7 y ab = 3, calcula a2 + b2. a) 33 d) 66

c) 6

4

c) 13

26) Si a + b = 3 y ab = 2, calcula a2 + b2. a) 3 d) 6

b) 4 e) 12

39) Efectúa:

24) Efectúa: (2x + 3)(2x - 3) - (x + 3)(x - 3) a) x2 d) 4x2

a) 2 d) 8

38) Efectúa: Nivel III

23) Efectúa: (x + 4)(x - 4) - (x + 5)(x - 5)

c) 3

37) Si m - n = 3 y mn = 2m - 2n, calcula m2 + n2.

2

30) Si a + b = 15 y a - b = 3, calcula ab. a) 3 d) 6

b) 2 e) 5

36) Si a - b = 2 y a = 2/b, calcula a2 + b2.

29) Si a2 + b2 = 10 y a - b = 4, calcula ab. a) -1 d) -4

a) 1 d) 4

a) 6 d) 4

b) 2 e) 4 2

c) 8

42) Efectúa: (m + n)(n - m)(m2 + n2) + m4 c) 4

a) n d) n2

b) m e) m2

c) n + m


Colegios TRILCE


43) Si x + y = 3n y x2 - y2 = 12n, calcula x - y. a) n d) 4

b) 4n e) 2

c) 8n

44) Si m + 3n = 2a y m2 - 9n2 = 8a2, calcula 2m. a) a d) 4a2

b) 2a e) 6a2

45) Si m = n + 1, reduce: 4

(m+n)(m2+n2)(m4+n4)+n8

a) m d) n2

b) 2m e) m2

c) 2m2

46) Calcula: 4

1 + 8(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)

a) 81 d) 33

b) 27 e) 243

c) 9

47) Efectúa: 1 + 15(42 + 1)(44 + 1) a) 16 d) 128

b) 64 e) 1024

c) 256

48) Si a + b = 7 y ab = 1, calcula a - b. a) 1 d) 5

b) 2 e) 6

LA CALCULADORA POLINÓMICA

c) 3a

c) 3

El objetivo de esta calculadora es proporcionar a los alumnos una herramienta que les permita comprobar por sí mismos los cálculos con polinomios que previamente han efectuado a mano. Ésta puede ser especialmente útil cuando se aborda el aprendizaje de la factorización de polinomios, ya que aunque los alumnos aprenden pronto la técnica (método de Ruffini, cálculo de raíces enteras, etc.), no acaban de creerse que esa factorización que han hallado sea realmente igual al polinomio de partida; de hecho es muy habitual que el alumno no escriba el signo de igualdad entre el polinomio y su factorización. La manera de evitar esta duda sería que el alumno comprobase siempre la factorización obtenida, efectuando las operaciones hasta obtener el polinomio propuesto, pero la mayoría se desalienta ante esta tarea ya que, aunque saben multiplicar polinomios, es fácil que cometan algún error en las operaciones con lo que el resultado no será el esperado. La calculadora realiza las cuatro operaciones y la elevación a potencias, pero sólo trabaja con polinomios en una indeterminada (la x), con coeficientes enteros y de grado menor que diez. Además la longitud de los polinomios no pueden exceder de 30 caracteres que es la longitud de la pantalla de visualización. La calculadora ha sido desarrollada en Java Script y puede ser utilizada fácilmente como complemento en páginas web que incluyan unidades didácticas sobre polinomios o cualquier otro tema relacionado; para ello simplemente hay que incorporar en un marco o en una ventana el archivo “calculadora.html” con todas las imágenes utilizadas en ella.

0


7

8

9

DEL

AC

Min

4

5

6

x

÷

MR

1

2

3

+

-

Mx

0

x

+ -

=

Pot

Ans


101


Colegios TRILCE

Productos Notables II IDENTIDAD DE STEVIN (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

x + (9)(-1)]

A = x2 + 8x + 16 - (x2 + 8x + 15) Eliminando el paréntesis: A = x2 + 8x + 16 - x 2 - 8x - 15

Eliminando signos de colección: x2 + 8x + 16 - x2 - 8x + 9

Reduciendo términos, tenemos: \ A = 1

Reduciendo términos, tenemos: 25 \

Demostración: * Partiremos de la igualdad: (x + a)(x + b) = (x + a)(x + b) * Aplicando multiplicación en el segundo miembro: (x + a)(x + b) = x(x + b) + a(x + b) * Eliminando los paréntesis en el segundo miembro: (x + a)(x + b) = x2 + bx + ax + ab * Asociando convenientemente: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab Ejemplos: * (x+2)(x+3)=x2 +(2+3)x+(2)(3) = x2 + 5x + 6 * (x + 5)(x - 1) = x2 + (5 - 1)x + (5)(-1) = x2 + 4x - 5

2. Reduce: (x + 3)(x + 2) - (x + 1)(x + 4) Resolución: Aplicando propiedad: x 2 + (3 + 2)x + (3)(2) - [x 2 + (1 + 4)x + (1)(4)] Eliminando signos de colección: x2 + 5x + 6 - x2 - 5x - 4 Reduciendo términos, tenemos: 2 \ 3. Reduce: (x + 3)(x + 4) - x(x + 7) Resolución:

* (x-8)(x+3) =x2 +(-8+3)x+(-8)(3) = x2 - 5x - 24

Aplicando propiedad: x2 + (3 + 4)x + (3)(4) - x2 - 7x

* (x - 3)(x - 4) = x2 + (-3 - 4)x + (-3)(-4) = x2 - 7x + 12

Eliminando paréntesis: x2 + 7x + 12 - x2 - 7x Reduciendo términos, tenemos: 12 \

1. Reduce: A = (x + 4)2 - (x + 3)(x + 5) Resolución: Aplicando identidades: II Bim. / ÁLGEBRA / 1ER. AÑO

102

4. Reduce: (x + 4)2 - (x + 9)(x - 1) Resolución:

El poeta algebrista Una vez más, la memoria de las ecuaciones se remonta al Oriente, a la mística ciudad de Samarcan-da, a la que Omar Khayyam llega en 1070 procedente de Nishapur, al norte del actual Irán. Poeta, astrónomo y matemático, su obra Tratado sobre las demostracionesen álgebraestudia geométricamente las ecuaciones cúbicas, proponiendo métodos para su resolución. Pero sus sistemas necesitaban, para llegar a ser efectivos, de herramientas matemáticas de las que desafortunadamente no se disponía entonces. En cualquier caso, sus soluciones, además de correctas, son herederas de la más fascinante tradición geométrica de los griegos y aúnan álgebra y geometría.

Aplicando identidad: x2 + 2(x)(4) + (4)2 - [x2 + (9 - 1) San Miguel - Faucett - Pershing - Escardó

Colegios TRILCE


8) Reduce: (x - 5)(x + 3) - (x + 5)(x - 7)

Nivel I 1)

Efectúa las siguie ntes multiplicaciones: * * * *

(x + 3)(x + 1) (x + 5)(x - 2) (x - 7)(x + 4) (x - 1)(x - 6)

a) 10 d) 25

b) 2 e) 5

a) -20 d) -50

c) 3

b) 2 e) 5

a) 4 d) 25

b) -10 e) -7

b) 7 e) 4

b) 7 e) 10

b) -40 e) -10

a) -2 d) 1

b) -1 e) 2

c) 0

12) Reduce: 4(x + 1)2 - (2x + 5)(2x - 1) a) 6 d) 9

c) 6

b) 7 e) 10

c) 8

13) Efectúa: (x + 7)(x + 2) - (x + 6)(x + 3) a) 5 d) 2

c) 8

7) Efectúa: (x + 12)(x - 5) - (x + 10)(x - 3) a) -50 d) -20

c) 16

a) 2 d) 16

b) 4 e) 32

c) 8

Nivel II 16) Efectúa: (x - 7)(x + 2) - (x - 9)(x + 4) a) 20 d) 26

b) 22 e) 28

c) 24

17) Reduce: (x - 5)(x - 3) - (x + 2)(x - 10) a) 35 d) 20

b) 30 e) 15

c) 25

18) Efectúa: (x + 15)(x + 5) - (x + 17)(x + 3)

c) -9

6) Efectúa: (x + 7)(x - 1) - (x + 8)(x - 2) a) 6 d) 9

b) 9 e) 36

11) Efectúa: 4(x + 1)2 - (2x + 1)(2x + 3)

5) Reduce: (x - 8)(x - 2) - (x - 9)(x - 1) a) 8 d) 5

c) -40

c) 3

4) Reduce: (x + 6)(x - 1) - 5(x + 1) - x2 a) -11 d) -8

b) -30 e) -60

10) Reduce: (x + 3)2 - (x + 8)(x - 2)

3) Efectúa: (x + 7)(x + 3) - 5(2x + 4) - x2 a) 1 d) 4

c) 20

9) Efectúa: (x + 11)(x - 8) - (x - 7)(x + 4)

2) Efectúa: (x + 5)(x - 2) - x2 - 3(x - 4) a) 1 d) 4

b) 15 e) 30

15) Reduce: (x - 6)(x - 2) - (x - 10)(x + 2)

b) 4 e) 1

a) 50 d) 53

b) 51 e) 54

c) 52

19) Reduce: (2x + 5)(2x + 3) - 4x(x + 4) a) 13 d) 19

b) 15 e) 21

c) 17

c) 3

14) Reduce: (x + 5)(x + 2) - (x + 9)(x - 2)

c) -30


a) 22 d) 28

b) 24 e) 30

c) 26


103


20) Efectúa: (3x + 1)(3x + 5) - 9x(x + 2) a) 5 d) 2

b) 4 e) 1

c) 3

21) Reduce: (x + 4)2 - (x + 6)(x + 2) a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

22) Efectúa: (x + 3)(x + 6) - (x - 3)(x - 6) a) 12x d) 18x

b) 14x e) 20x

c) 16x

23) Reduce: (x + 5)(x - 3) - (x - 5)(x + 3) a) 2x d) 5x

b) 3x e) 6x

c) 4x

24) Efectúa: (x + 6)(x + 4) - (x + 7)(x + 3) a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

25) Reduce: (x + 11)(x - 5) - (x + 12)(x - 6) a) 15 d) 21

b) 17 e) 23

c) 19

b) 10x e) 16x

c) 12x

27) Reduce: (x + 9)(x - 5) - (x + 2)2 + 49 a) -2 d) 1

b) -1 e) 2

c) 0

28) Efectúa: (2x + 5)(2x - 1) - 4(x + 1)2 + 10 a) -2 d) 1

b) -1 e) 2

c) 0


104

29) Reduce: (x + 8)(x - 5) - (x + 7)(x - 4) + 15 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

30) Efectúa: (x + 15)(x - 6) - (x + 13)(x - 4) + 40 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

31) Reduce: (x + 16)(x - 6) - (x + 5)2 + 112 a) -2 d) 1

b) -1 e) 2

c) 0

32) Efectúa: (2x + 7)(2x - 3) - 4(x + 1)2 + 27 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

33) Reduce: (x + 13)(x - 5) - (x + 4)2 + 34 a) -2 d) 1

b) -1 e) 2

c) 0

34) Efectúa: (x + 15)(x - 3) - (x + 6)2 + 92 b) 1 e) 4

c) 2

35) Reduce: (x + 2)2 - (x + 8)(x - 4) a) 4 d) 36

b) 9 e) 49

c) 25

36) Reduce: (x + 9)(x - 1) - (x + 3)(x - 3) a) 2x d) 8x

b) 3x e) 5x

c) 6x

37) Reduce: (x + 2)(x + 8) - (x + 4)2 a) 2x d) 3x

38) Reduce: (x + 1)(x - 4) + (2 + x)(2 - x) a) 3x d) -x

b) 4x e) -4x

c) -3x

39) Reduce: (3x + 5)(3x - 4) + 9(2 + x)(2 - x) - 42 a) 2 d) 16

b) 0 e) 24

c) 6

40) Reduce: (m2 + 4)(m + 1)(m - 1) - (m2 + 2)(m2 - 2)

Nivel III

a) 0 d) 3

26) Efectúa: (4x + 1)(4x + 2) - (4x)2 - 2 a) 8x d) 14x

Colegios TRILCE

b) 4x e) 5x

c) 6x

a) 3m d) 2m2

b) 3m2 e) m4

c) 2m

41) Reduce: (a2 + 3)2 - (a2 + 7)(a2 - 1) a) 8 d) 16

b) 10 e) 24

c) 12

42) Reduce: (t5 + 3)(t5 + 5) - (t5 + 9)(t5 - 1) a) 12 d) 22

b) 16 e) 24

c) 20

43) Reduce: (a2 +a+1)(a2 +a+5)-(a2 +a+4)(a2 +a+2) a) -3 d) 2

b) -4 e) 1

c) -2

44) Reduce: (m 3 + m + 5)(m 3 + m - 2) - (m3 + m)(m3 + m + 3) a) -5 d) -4

b) -2 e) -8

c) -10

45) Reduce: (n 2 + 3n + 5)(n 2 + 3n + 2) (n2 + 3n + 3)(n2 + 3n + 4) a) 2 d) 4

b) 6 e) -4

c) -2

46) Reduce: (a 2 + 2a + 7)(a 2 + 2a - 1) (a2 + 2a + 9)(a + 3)(a - 1) a) 10 d) 15

b) 12 e) 20

c) 14


Colegios TRILCE


Productos Notables III VALOR NUMÉRICO

Resolución:

Resolución:

Es el número resultante de reemplazar las letras o expresiones algebraicas por cantidades específicas.

Sabemos que: (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy

Reduciendo la expresión “M”: M = x2 - xy + xy + y2 M = x2 + y2

Reemplazando: (6)2 = N + 2(-2) \ N = 40

Ejemplo: Si a + b = 3 y ab = 2, calcula M = a2 + b2. Sabemos que: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

2. Si x2 + y2 = 13 x - y = 5, calcula P = xy. Resolución:

Reemplazando: (3)2 = M + 2(2) \ M = 5

Sabemos que: (x - y)2 = x2 + y2 - 2xy

EQUIVALENCIA ALGEBRAICA

Reemplazando: (5)2 = 13 - 2P \ P = -6

Son aquellas expresiones que se puedenreducirbajociertascondiciones indicadas. Ejemplo: Si a - b = n y ab = n2, calcula Q = a2 + b2.

3. Si x2 + y2 = 52 xy = 4(3) calcula R = x + y (x > y > 0)

Sabemos que: (x - y)2 = x2 + y2 - 2xy Reemplazando: 52 = M - 2(12) \ M = 49

5. Si x + y = m(1 + 1/m) xy = m2/2 + m, determina E = x2 + y2. Resolución: Sabemos que: (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy {m(1 + 1/m)}2 = E + 2(m2/2 + m) (m + 1)2 = E + m2 + 2m m2 + 2m + 1 = E + m2 + 2m \ E = 1

Resolución:

Sabemos que: (a - b)2 = a2 + b2 - 2ab

Sabemos que: (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy

Reemplazando: (n)2 = Q - 2(n2) 2 \ Q = 3n

Reemplazando: R2 = 25 + 2(12) R2 = 49 Por condición (x > y > 0) \ R = 7

1. Si x + y = 6 xy = -2, calcula N = x2 + y2.

4. Si x - y = 5 xy = 12, calcula M = x(x - y) + y(x + y)



105


Nivel I 1)

7)

Si x + y = 4 y xy = 3, calcula x2 + y2. a) 9 d) 13

2)

Colegios TRILCE

b) 10 e) 15

a) -2 d) 18 c) 11

8)

9) b) 2 e) 6

c) 4

Si a + b = 7 y ab = (4)(6), calcula a2 + b2. a) 1 d) 5

4)

c) 4

b) 22 e) 50

c) 4

b) 5 e) 10

c) 26

c) -4

a) -40 d) -48

b) -45 e) -44

c) -42

a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

c) 12

a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

Aunque se siga contando, la historia que explica que no hay premio Nobel de matemáticas porque el Sr. Nobel estaba enfadado con los matemáticos a causa de las relaciones algo ilícitas que mantuvo su mujer con uno de ellos (Mittag - Leffler) parece ser apócrifa. La teoría con más visos de ser cierta dice que Nobel tenía un carácter eminentemente práctico y que, simplemente, no pensó en algo tan abstracto como las matemáticas. Sea como fuere, la Academia Noruega de Ciencias y Letras ha enmendado el entuerto instituyendo, en honor del matemático Niels Henrik Abel, el premio Abel de matemáticas, dotado con la nada despreciable suma de 760 000 euros. El primero en recibirlo ha sido Jean - Pierre Serre, del Collège de France, París, “por su papel central en la elaboración de la forma moderna de numerosas partes de las matemáticas, en particular la topología, la geometría algebraica y la teoría de números”.

c) 10

13) Si a - b = 5 y ab = 6, calcula N = a2 + b2 c) 7


106

b) 2 e) 5

12) Si a + b = (2)(3) y ab = (3)(4), calcula M = a2 + b2

Si x - y = 5 xy = 10, 2 2 calcula x + y 9 a) 3 d) 8

c) 8

11) Si a + b = 4 y ab = 4, calcula S = a2 + b2 + 4.

Si x - y = 4 xy = 2, calcula x2 + y2. a) 20 d) 30

6)

b) 2 e) 6

b) -10 e) 0

10) Si x2 + 5x + 1 = 0, calcula: (x - 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7)

Si r + t = 2 y rt = 1, calcula r2 + t2. a) 1 d) 5

5)

b) 2 e) 6

c) 12

Si m2 + 5m + 3 = 0, calcula: (m - 1)(m + 6) + (m + 2)(m + 3) a) 0 d) -6

3)

b) -10 e) 4

Si x2 + 2x + 4 = 0, calcula: (x + 3)(x - 1) + (x + 1)2 a) 4 d) 9

Si m + n = 3 y m . n = 4, calcula m2 + n2. a) 1 d) 5

Si x2 + 6x = 1, calcula: (x + 2)(x + 4) + (x + 8)(x - 2)

a) 33 d) 39

b) 35 e) 41

c) 37


Colegios TRILCE


14) Si a - b = 7 y ab = -20, calcula P = a2 + b2. a) 9 d) 6

b) 8 e) 5 2

2

2

b) -4 e) -16

c) -6

b) 4 e) 10

2

b) -1 e) 2 2

a) 2 d) 25 2

b) 2 e) 26 2

b) 3 e) 9

b) 2 e) 5

a) 2 d) 8

4

c) 2

b) 4 e) 10


a) 11 d) 44

b) 22 e) 55

a) -2 d) 1

a) 4 d) 7

c) 42

b) -1 e) 2

c) 0

b) 5 e) 8

c) 6

Nivel III 31) Si x + y = m + 1 y xy = m + 1/2, determina S = x2 + y2. a) -m2 d) -m

c) 5

b) m2 e) 1

c) m

32) Si x2 - y2 = 4mn y x - y = 2m, determina P = x + y. a) n d) 4n

c) 3

b) 2n e) mn

c) 4m

33) Si x = m + 1 y y = m - 1, determina R = x2 - y2. a) m d) -2m

c) 6

b) 2m e) -4m

c) 4m

n+1 y 2 n-1 y= , 2

34) Si x =

27) Si a - b = 34 y a2 + b2 = 53, calcula T = ab. c) 5

c) 12

30) Si a2 + b2 = 4(5) y ab = 8 calcula D = a + b

26) Si a2 + b2 = 43 y ab = 2(7), calcula B = a - b (a > b)

3

b) 4 e) 7

a) 1 d) 4

c) 0

20) Si a + b = 3 + 1 y ab = 22, calcula E = a + b. a) 3 d) 6

b) 41 e) 44

b) 11 e) 14

29) Si a - b = 112 y a2 + b2 = 53, calcula C = ab.

c) 3

25) Si a + b = (2)(5) y ab = (6)(8), calcula A = a2 + b2.

2

3

a) 1 d) 7

c) 6

19) Si a + b = 6 y a + b = (2)(5), calcula R = ab. 2

b) 2 e) 5

24) Si a2 + b2 = 34 y ab = 24, calcula L = a - b.

18) Si a + b = 2 y ab = 2, calcula P = aa+b + bab a) -2 d) 1

a) 40 d) 43

c) 3

17) Si a2 + b2 = 62 y ab = 26, calcula T = a + b. a) 2 d) 8

a) 1 d) 4

a) 10 d) 13

c) 14

23) Si a - b = 5 y ab = 8, calcula N = a2 + b2.

16) Si a + b = 3 y ab = 2, calcula Q = aab + bab. b) 2 e) 5

b) 12 e) 18

22) Si a + b = 3 y ab = 4, calcula F = a(a + 1) + b(b + 1).

Nivel II

a) 1 d) 4

a) 10 d) 16

c) 7

15) Si a + b = 5 y a + b = 3, calcula C = ab. a) -2 d) -8

28) Si a2 + b2 = 27 y ab = 23 calcula M = a + b (a > b > 0)

21) Si a - b = 1 y a2 + b2 = 52, calcula S = ab.

c) 33

determina: E = (x + y)2 + (x - y)2 - 1 a) n2 d) -n2

b) 2n e) 0

c) 4n


107


35) Si a + b = ab = 2, calcula: aab + bab M= a+b a) 1/4 d) 2

b) 1/2 e) 4

c) 0

b) 4 e) -6

c) 6

38) Si

b) 2 e) 5

c) 3

calcula N = ab. a) 21 d) 27

b) 23 e) 29

c) 25

a) m2 d) m2/2

b) 2m2 e) m2/3

b) 3a e) 6a

c) 3m2

c) 4a

b) m/2 e) 4m

c) m


108

c) 3m

b) 3m e) 6m

a) 3 d) 3 2

b) 2 e) 4 3

c) 2 3

c) 4m

x2 + y2 = 2

x+y = 4, 3 xy calcula R = 2

45) Si

b) 35 e) 41

c) 37

a) 23 d) 27

b) 21 e) 29

c) 20

47) Si x + y = 2 xy = 5, calcula xx . xy + yx . yy a) -2 d) 8

b) 4 e) -10

c) -6

48) Si x - y = 2 xy = -1, xx yx calcula y + y x y

41) Si a + b = 2 m y a2 + b2 = 2m, determina E = ab. a) m/4 d) 2m

b) 2m e) 5m

c) 4

50) Si a + b = 6 y a2 + b2 = 4, calcula aab - bab.

46) Si x + y = 5 xy = 2, calcula (xx)y + (yy)x

x2 + y2 2 40) Si = 8a 2 2xy = 9a2, determina C = x + y. a) 2a d) 5a

c) 5n

b) 2 e) 7

determina S = x2 + y2

a) 33 d) 39

39) Si x + y = 5m x2 + y2 = (3m)2, xy determina B = 8

b) 4n e) 7n

a) 3 d) 5

44) Si x - y = 5m xy = -8m2,

a) 2m d) 5m

a + b a2 + b2 = = 2, 4 5

49) Si a - b = 5 y a2 + b2 = 7, calcula a + b.

43) Si x2 + y2 = 27m2 xy = m2, determina Q = x - y a) m d) 4m

37) Si 2(a + b) = 3(ab) = 6, calcula: a2 + b2 R= 5 a) 1 d) 4

x+y = n 4 x2 + y2 = n, 4 xy determina F = 2

42) Si

a) 3n d) 6n

36) Si a + b = 2 y ab = 3, calcula P = abab + baab. a) 2 d) 8

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a) 2 d) -2

b) 8 e) 9

c) 6

El cero fue el big bang de la inteligencia humana ya que su descubrimiento permitió que el hombre representara la ausencia, el vacío, la nada… El cero es uno de los símbolos más abstractos de los existentes, gracias a él se lograron abrir todas las puertas al desarrollo de las ciencias. Nació el álgebra, el hombre pasó de unas limitadas teorías basadas en 9 cifras a otras mucho más amplias y generales. Parece mentira pero se necesitó una gran cantidad de pruebas y descubrimientos para al final conseguir el más sencillo de todos los métodos numéricos. El cero además permitió al hombre renacentista la posibilidad de desarrollar la aritmética y ganar la batalla que se libró durante la Edad Media en Europa por los abacistas o numerólogos, defensores de la vieja tradición, y los algoristas, que representaban el futuro de las matemáticas.


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Línea de Tiempo 1550

Nace John Napier, en Escocia.

Napier desarrolla un sistema para expresar cualquier número en forma exponencial.

Napier publica su obra Mirifici logarithmorum canonis descriptio, en la que da a conocer los logaritmos que él llamó números artificiales.

1551

1594 Fundación de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.

Fundación de la ciudad de San Luis en Argentina.

1614 Napier creó una máquina de cálculos, llamada ábaco neperiano.

Fundación de Albany, Nueva York.

1617 Publicación póstuma de Historia General del Perú del Inca Garcilaso de la Vega.



109


Colegios TRILCE

Factorización I Concepto Se denomina así, al proceso inverso a la multiplicación algebraica. Consiste en expresar un polinomio en la multiplicación indicada de factores primos. Multiplicación

(x + 3)(x + 2) = x2 + 5x + 6 Factorización

Métodos para Factorizar Polinomios 1. FACTOR COMÚN Se aplica cuando se identifica que existen variables (o expresiones) comunes en cada término.

x + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

E = 2m x + 3n x - 4p x letra común De donde: E = x(2m + 3n - 4p)

Factor Primo Es aquel polinomio de grado no nulo, que no se puede expresar como la multiplicación de polinomios.

E(x) = (x + 3)4(x + 5)6(x - 1)8 Factores Primos

* (x + 3) * (x + 5) * (x - 1)

E = 2x3 + 3x2 - 5x4 letra común de menor exponente De donde: E = x2(2x + 3 - 5x2)

Es aquel polinomio de grado no nulo, que divide exactamente a otro polinomio. Expresión factorizada

E(x) = (x + 1)(x - 1) Factores o Divisores

* (x + 1) * (x - 1) * (x + 1)(x - 1)


110

letra común letra común

Agrupamos convenientemente: E = (ax + ay) + (bx + by) E = a(x + y) + b(x + y)

Ejemplo: letra común 2

P = x + xz - xy - yz letra común

Agrupamos convenientemente: P = (x2 - xy) + (xz - yz) P = x(x - y) + z(x - y)

Ejemplo: letra común E = 6 m n + 8 m p - 10 m q

Factor o Divisor

Ejemplo:

Extraemos el factor común: E = (x + y)(a + b)

Ejemplo:

Expresión factorizada

Se aplica cuando existe una característica común en una cantidad de términos y por grupos.

E = ax + ay + bx + by

Ejemplo:

2

2. AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Extraemos el factor común: P = (x - y)(x + z)

“2” es divisor común de los coeficientes De donde: E = 2m(3n + 4p - 5q) Ejemplo: E = 3x2(x + 2) - 5y(x + 2) factor común E = (x + 2)(3x2 - 5y) San Miguel - Faucett - Pershing - Escardó

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5. Factoriza: 6xy - 10 + 4y - 15x 1. Luego de factorizar: P(x, y) = 15x3y6 - 20x5y5 + 25x7y3, indica el número de factores primos. Resolución: P(x, y) = 5x3y3

(

factor común

15x3y6 20x5y5 25x7y3 + 5x3y3 5x3y3 5x3y3

(

x y 3y3 - 4x2y2 + 5x4 # de factores primos = 3

2. Factoriza e indica el número de factores primos: P(x, y) = x2(x + 1) + 2y2(x + 1) + xy(x + 1) Resolución:

Resolución: Reservamos el factor común: 2p[6mn - 10m + 9n - 15] Agrupamos en el corchete: 2p[(6mn - 10m) + (9n - 15)] 2p[2m(3n - 5) + 3(3n - 5)] Reservamos el factor común del polinomio: 2p[(3n - 5)(2m + 3)]

P(x, y) = (x + 1)[x2 + 2y2 + xy] Factores primos

Agrupando convenientemente: 6xy - 15x + 4y - 10 3x(2y - 5) + 2(2y - 5) (2y - 5)(3x + 2)

6. Factoriza: 12mnp - 20mp + 18np - 30p

P(x, y) = 5x 3y3(3y3 - 4x2y2 + 5x4) Factores primos

Resolución:

x+1 x2 + 2y2 + xy

3. Luego de factorizar: P(x) = x3 + x2 + x + 1, indica la suma de coeficientes del factor cuadrático. Resolución:

El suizo universal

Agrupando convenientemente: 3

2

P(x) = x + x + x + 1 P(x) = x2(x + 1) + (x + 1) P(x) = (x + 1)[x2 + 1] Factor cuadrático : x2 + 1 Suma de coeficientes : 1 + 1 = 2 4. Factoriza: M = ax + ay + az + bx + by + bz Resolución: Agrupando convenientemente: M = ax + ay + az + bx + by + bz M = a(x + y + x) + b(x + y + z) M = (x + y + z)(a + b) San Miguel - Faucett - Pershing - Escardó

Los cuadrados latinos son una invención del suizo Euler. Son creaciones ligeramente más sencillas que los cuadrados mágicos, ya que en ellos, si bien también se parte de una configuración cuadrada dividida en casillas, sólo se exige que en cada fila y en cada columna exista un elemento tomando de entre dos categorías sin que se repita ninguna. El primer problema propuesto al respecto proviene de Euler, quien propuso en 1782 el problema de los oficiales.


111


En cada caso señala un factor primo. 1) Factoriza: A = x2m + x2n + x2q a) x2 d) nx

b) x e) xq

b) x - y c) xy + 1 e) x2 + 1

3) Factoriza: C = 3x2 + 6xy + 9xz a) x b) x + 2y + z c) x + y + 3z

d) 3x e) x + y

4) Factoriza: D = x3 - 3x2 + 4x5 a) x2 d) x2 - 3

b) x3 c) x e) x - 3 + 4x4

5) Factoriza: E = m(x + 1) + p(x + 1) a) m + x b) p + x c) x - 1 d) m + p e) x + m + p 6) Factoriza: F = xyz + xyp - xy a) xy d) xy2

b) xp c) xz e) z + p - 1

7) Factoriza: G = x2yz + xy2z + xyz2 a) xyz d) z

b) xy c) xz e) x + y + 1


112

a) x + y d) x

b) x - y e) y + 1

a) x2 + y2 b) x + y c) x2 + 1

c) xy

9) Factoriza: E = a2b - ab2 + abc a) ab b) a + b - c c) a - b + c

d) a - b - c e) a + b

16) Factoriza: x3z + x2z2 + xz3 a) x b) z2 + x c) x2 + z

10) Factoriza: A = 3amc + 6anc - 3ac a) b) c) d) e)

m + 2n + 1 m - 2n - 1 ac m + 2n - 1 a+c

a) xy b) y c) x + y d) 2x + z e) 2y + z

a) 2m - n b) 2m + a c) m + 1 d)2m + n e) a - n 12) Factoriza: C = x(z + 1) + y(z + 1) + (z + 1) d) x + y + 1 e) x + y + z

13) Factoriza: x(y + z) + y(y + z) + z(y + z) a) x + y b) x + z c) x - y

d) x + y + z e) x - y + z

14) Factoriza: x2(x + y) + z2(x + y) + y2(x + y) a) x2 + z2 b) x + z c) y + z

d) x2 + z2 e) x2 + z2 + 1

17) Factoriza: 2x2y + 2xy2 + xyz

11) Factoriza: B = 2m(m + 1) - n(m + 1) + a(m + 1)

a) z + x b) z + y c) x + y

d) y2 + 1 e) x + y2

Nivel II

c) mx

2) Factoriza: B = x2y + xy2 a) xy d) x

15) Factoriza: x(x2 + y) + y2(x2 + y)

8) Factoriza: H = x2y2 + xy

Nivel I *

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d) x2 +y2 +z2 e) x2 + y

18) Factoriza: (x + z)(x - y + z) - z(x + z) a) x - z b) x - y c) x + y

d) x + y + z e) x - y + z

19) Factoriza: ax - ay + bx - by a) a - b d) x - y

b) a+ x e) x - a

c) b + y

20) Factoriza: mn + mb + an + ab a) m + n b) a + b d) b + m e) a + n

c) m + a

21) Factoriza: ac - a - bc + b a) a + 1 d) c - 1

b) b + 1 e) c + 1

c) a + b


Colegios TRILCE


22) Factoriza: ab + ax + bc + cx a) a + b d) x + c

b) a + x e) a + c

c) b + c

23) Factoriza: ab + 2a + 3b + 6 a) a + 2 d) a + b

b) b + 2 e) a + 1

c) b + 3

31) Factoriza: a2 - ab + ac - bc a) a + b d) b - c

b) a - c e) a + c

c) b + d

a) m - 2n b) 2m - n c) m - n

d) x + y + z e) a + b + x

b) c + m c) a + 3 e) a - m

a) m2 - n2 b) m + n c) m2 + n

b) y2 + b c) x2 + y2 e) x2 - y2

a) m2 + a b) m2 + b c) n2 + a

a) m3 d) p2

b) m3 + 1 c) m3 + 2 e) p2 + 1

37) Factoriza: 6m2t5 + 4t5 + 3m2 + 6 a) t5 + 1 b) t5 + 2 c) m2 + 6

a) a d) x + y

b) b e) a - b

c) x

40) Factoriza: 2m2n + m2 + 6mn + 3m a) n + 1 b) n - 1 c) 2n - 1 d) 2n + 1 e) 2n + m 41) Factoriza: 15xy + 20x + 6y + 8 a) 5x + 2 b) 3y + 2 c) 5x + 4 d) 6y + 8 e) 5x + y 42) Factoriza: 2t5 + 5t3 + 6t2 + 15 a) t3 + 3 b) t2 + 2 c) 2t2 + 5 d) t3 + 1 e) t2 + t3 43) Factoriza: 2a2 + 4ab + 6ac + ab + 2b2 + 3bc a) a + b + c b) a + 2b + c c) 2a + b

d) a2 + b + c e) a - 2b + 3c

44) Factoriza: m2n - m2 + 3mn - 3m a) n d) m - 1

b) m e) n + 1

c) m - 3

45) Factoriza: x3y - 2x2y + 3xy - 6y a) x + 3 d) y

b) x + 2 e) x

c) y + 2

d) m2 + 3 e) 2t5 + 1

38) Factoriza: 2x2y2 +6x2 + 5xy2 + 15x + y2 + 3

30) Factoriza: 4mp + 2mq + 2np + nq a) 2m + p b) 2q + p c) 2m + n

d) m2 + n2 e) a + b

36) Factoriza: m3p2 + 2m3 + p2 + 2

29) Factoriza: ac - b2c + am2 - b2m2 a) a + b2 b) c - m2 c) a - b2 d) a + c e) m2 + b2

d) m + n2 e) m - n

35) Factoriza: m2n2 + an2 + bm2 + ab

28) Factoriza: x2y2 - ay2 + ab - bx2 a) x2 - a d) a - b

d) x2 + y2 e) 2x2 + y

34) Factoriza: m3 + mn2 - m2n - n3

27) Factoriza: ax2 + ay + bx2 + by a) x2 + a b) a + y c) b + x d) y2 + b e) x2 + y

d) 2m - 3n e) 2m + 3n

a) x2 + y b) x2 + 2y c) x + y2

26) Factoriza: ac - 3m + 3c - am a) a - 3 d) a + c

c) b + c

33) Factoriza: x2y2 + 2x3 + 2y3 + 4xy

25) Factoriza: ax + bx + ay + by + az + bz a) a + c b) b + c c) x + y

b) a - c e) a - b

32) Factoriza: 2am - 3an + 2mb - 3bn

24) Factoriza: ac - ad + bd - bc a) a - b d) b - d

39) Factoriza: ax3y + bx3y + ax2y2 + bx2y2

Nivel III

d) m + q e) n + p


a) b) c) d) e)

2x2 + 5x + 1 2x2 - 5x + 1 x2 + 5x + 1 x2 + 5x + 3 x2 - 5x + 1 II Bim. / ÁLGEBRA / 1ER. AÑO

113


*

Colegios TRILCE

En los siguientes ejercicios, luego de factorizar, señala la suma de los factores primos.

46) xy + 3x - 3y - 9 a) x + y b) x - y c) 2x d) 2x - y e) 2x + 2y

47) m2n + mn - mn2 - n2 a) 2m b) 2m + 1 c) 2m + n

d) n + m e) n + m2

El profesor dejó como tarea que sumaran del 1 al 100.

48) xyz - 5xy + 3xz - 15x + 2yz - 10y + 6z - 30 a) b) c) d) e)

x+y x + y + 15 x+y+z x - y + 10 x - z + 15

El profesor debió pensar: ¡Qué idea más buena he tenido! ¡Durante un buen rato me dejarán todos estos mocosos en paz! A los pocos minutos, nuestro pequeño genio se levantó del pupitre, y entregó la respuesta correcta: 5050. El profesor, asombrado, debió pensar que había puesto un número al azar, y se dispuso él mismo a hacer la interminable suma. Al cabo de un buen rato, comprobó que, efectivamente, la suma pedida era 5050.

49) x2 + 9x + 20 a) x + 20 b) 2x + 5 c) x + 6

Una anécdota del precoz niño Gauss

d) x + 29 e) 2x + 9

No es que Gauss fuera un calculador extraordinario, capaz de hacer sumas a la velocidad de un ordenador moderno. Gauss llegaría a ser uno de los mejores matemáticos de la historia, y los matemáticos no calculan, piensan.

50) x2 - 4 a) 2x d) x - 4

b) 2x - 2 c) 2x - 4 e) x + 4

Gauss tenía que sumar los siguientes números: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 Pero nadie le obligaba a sumarlos por orden. Gauss se percató de un hecho singular: si agrupaba los números por parejas, tomando el primero y el último, el segundo y el penúltimo, etc., tenía lo siguiente: (1 + 100) = 101 ; (2 + 99) = 101 ; (3 + 98) = 101 ; (4 + 97) = 101 ; etc. Es decir, todos los pares de números sumaban 101. Como entre el uno y el 100 podía hacer 50 pares con esa propiedad, entonces 50 x 101 = 5050. Más tarde, aplicaría este mismo principio para hallar la suma de la serie geométrica y muchas otras series.


114


Colegios TRILCE


Repaso Nivel I 1)

Multiplica (6x - 5)(5x + 4) y determina la suma de coeficientes del producto. a) 3 d) 9

2)

b) 5 e) 11

b) -8 e) -5

b) 4 e) 10

c) 6

4) Multiplica: (2x3 + x - 1)(x2 - x - 3) y determina la suma de coeficientes de los términos de exponente impar. a) -1 d) -4

b) -2 e) -5

a) -2x d) x

b) -x e) 2x

c) 6

7) Multiplica: (-2x2 + 5)(-x3 - 3) y determina el coeficiente de la variable de exponente tres. a) 2 d) 5

b) 6 e) -6

c) -5

8) Efectúa: (x + 7)(x - 7) - (x + 9)(x - 9) a) 22 d) 25

b) 23 e) 26

c) 24

9) Efectúa: (5x + 3)(5x - 3) - (4x + 3)(4x - 3) a) 2x2 d) 16x2

b) 5x2 e) 25x2

c) 9x2

10) Efectúa: (x + 5)2 - (x - 4)2 - 9

c) -3

5) Multiplica: (2x + 3)(x + 4) - 2(x + 3)(x + 2)

b) 4 e) 10

12) Efectúa: (2x + 1)2 - (x + 2)2 - 3x2 a) -5 d) -2

b) -4 e) -1

c) -3

13) Efectúa: (x + 3)2 - 6(x + 3) + 9

c) -7

3) Multiplica: (2x + y + 3)(x + 2y) y determina el mayor coeficiente del producto. a) 2 d) 8

a) 2 d) 8

c) 7

Multiplica (3x + 2y)(5x - 3y) y determina el menor coeficiente del producto. a) -9 d) -6

6) Multiplica: (3m - 2n)(5m + n) y determina la suma del mayor y menor coeficiente del producto.

a) 10x d) 18x

b) 12x e) 22x

c) 16x

11) Efectúa: (3x - 1)2 - 3x(3x - 2)

c) 0


a) -2 d) 1

b) -1 e) 2

c) 0

a) x2 d) -6x

b) -x2 e) 18

c) 6x

14) Efectúa: (x + 6)2 - 12(x + 3) + x2 a) x2 d) 4x2

b) 2x2 e) 5x2

c) 3x2

15) Efectúa: (x - 1)2 - (x - 7)(x + 5) a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

Nivel II 16) Efectúa: (x + 9)2 - (x + 12)(x + 6) a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

17) Efectúa: (x + 12)(x + 4) - (x + 13)(x + 3) a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3


115


18) Efectúa: (x + 8)2 - (x + 13)(x + 3) R= 5 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

19) Efectúa: (x + 6)2 - (x + 14)(x - 2) T= 16 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

20) Efectúa: (x + 3)2 - (x + 8)(x - 2) a) 1 d) 16

b) 4 e) 25

c) 9

21) Efectúa: (x + 5)2 - (x + 14)(x - 4) a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

22) Efectúa: (2m - 1)2 - 4m(m - 1) a) 1 d) m2

b) -1 e) 4m

c) 2

23) Efectúa: (x + 3)2 - (x - 1)(x + 7) a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

24) Efectúa: (x2 + 2x + 2)(x2 - 2x + 2) a) x4 b) x4 + 2 c) x2 + 2 d) x2 + 4 e) x4 + 4 25) Efectúa: (y + 3)(y2 - 3y + 9) a) y3 + 9 b) y3 - 27 c) y3 + 27

d) y3 + y + 9 e) 2y3


116

Colegios TRILCE

26) Efectúa: (x2 +4)(x2 +1)-(x2 +2)(x2 -2)-5(x2 +1) a) 2 d) 8

b) 4 e) -10

c) -5

33) Si a2 + b2 = 132 ab = -72, calcula a + b. a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

27) Si a + b = (2)(3) y ab = -(3)(4), 2 2 calcula a + b 6 a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

28) Si a - b = 32 y ab = 23, calcula

a2 + b2.

a) 5 d) 3

b) 2 e) 1

c) 4

29) Si a2 + b2 = 52 y a + b = 32, calcula: ab 7 a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

30) Si a - b = 3 m y a2 + b2 = 5m, calcula: ab m a) -2 d) 1

b) -1 e) 2

c) 0

Nivel III 31) Si a - b = 4 n y ab = -n/2, 2 2 calcula: a + b 3 a) 3n b) 4n d) 6n e) 7n

La velocidad con la que Euler elaboraba trabajos matemáticos es legendaria. Cuando finalizaba un artículo se lo enviaba al editor de las actas de la Academia de San Petersburgo. Este lo colocaba en lo alto de un montón al que despuésacudíacuandonecesitaba material para llenar las actas, de modo que los artículos de Euler muchas veces se publicaron en orden inverso al de elaboración. Lo peor es que su afán de perfeccionar sus resultados hacía que Euler volviese varias veces sobre un mismo tema y escribiese distintos artículos en orden creciente de perfección y complejidad sobre el asunto. Al publicarse algunos de estos trabajos en orden cronológicamente inverso, es fácil imaginar la confusión en la que se ve sumido el pobre investigador que se sumerge en dichas actas.

c) 5n

32) Si a2 + b2 = 72 y a + b = 11, calcula ab. a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6


Colegios TRILCE


34) Si x(x + 7) = 2, calcula: (x + 2)(x + 5) + (x + 8)(x - 1) a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

42) Factoriza: ab - ac + bc - b2 y señala la suma de sus factores primos. a) a - c b) a - b c) b - c d) 2a + b e) a - 2b

35) Si x2 - 2x + 2 = 0, calcula: (x - 1)2 + (x - 5)(x + 3) a) -16 d) -20

b) -18 e) -25

c) -19

43) Factoriza: a(b + c) - b(b + c) - c(b + c) y determina la suma de sus factores primos.

36) Si m + 1/m = 3, calcula: m2 + 1/m2 a) 5 d) 8

b) 6 e) 10

b) 3 e) 8

44) Factoriza: a - b + ab - 1 y determina la suma de sus factores primos.

b) 2 e) 9

b) 2ac e) c

a) a - b d) a - 1 c) 5

c) 2bc

40) Factoriza: ac + ab2 + b2c2 + c3 y señala un factor primo.

41) Factoriza: a(a + b)2 - b(a + b)2 e indica la suma de sus factores primos. b) a - b e) 0

2(m + n) 2(m + n - 1) 2(m + n + 1) 3(m + n) m+n+2

50) Factoriza: 6a2b3 - 2a3b3 + a3b4 - 3a2b4 y señala la suma de sus factores primos. a) b) c) d) e)

2a + 3b 2a - 3b 2a + 3b + 5 5 a+b-5

c) a + 1

b) a - c e) c - b

c) a + b

46) Factoriza: mn + 15 + 3m + 5n e indica un factor primo. a) m + 3 b) m + 5 c) n + 5 d) m + n e) m + 5n 47) Factoriza: 10xy + 42 + 12y + 35x e indica un factor primo. a) 2x + 7 b) 2x + 6 c) 5x + 6

a) c + a2 b) a + b2 c) a + b d) a + c e) c + b2

a) a + b d) 2a

b) a + b e) a + 2

a) b) c) d) e)

45) Factoriza: ac + bc - ab - b2 e indica un factor primo.

39) Factoriza: 2a3b + 2ab4 + 2abc4 e indica un factor primo. a) 2ab d) b

a) a - b d) b + 1

c) 4

2b 38) Si x + y = 3a 9a x-y= b calcula x2 - y2 a) 4 d) 6

b) a - b c) a e) a - b + c

c) 7

37) Si x + y = 2a x2 - y2 = 8a, calcula x - y. a) 2 d) 6

a) a + c d) b

49) Factoriza: mn + m2n2 - mn2 - m2n y señala la suma de sus factores primos.

d) 5y + 6 e) 2y + 6

48) Factoriza: x9y6 - x9y5 + x8y6 - x8y5 y señala la suma de sus factores primos.

c) 2b


a) 2(x + y) b) x + y + 1 c) x8 + y5

Luca Pacioli, el protagonistadel Cuadro, fue un afortunado monje franciscano que pudo dedicarse toda su vida a las matemáticas. Su amistad, traducida habitualmente en intereses comunes, con artistas renovadores e influyentes en su época como Piero della Francesca –uno de los primeros estudiosos de la perspectiva- enriqueció la teoría del arte y la estética y reflejó un proceder de la época. A la vez, las matemáticas le inundaron de nuevas ideas y se interesaron por nuevos temas que preocupaban a los artistas. Nunca antes la conexión entre ambas disciplinas había sucedido en el mundo cristiano de un modo tan intenso. Alberto Durero, Leonardo da Vinci, Alberti o Ghirlandaio son sólo unos ejemplos de lo que decimos.

d) 2(x - y) e) x - y


117


Colegios TRILCE

Factorización II Métodos para Factorizar Polinomios (continuación)

4. ASPA SIMPLE Se aplica para trinomios de la forma: Ax2 + Bx + C

3. IDENTIDADES Se aplica cuando los polinomios a factorizar presentan una de las siguientes formas: a2 - b2 = (a + b)(a - b) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 Ejemplo: E = x2 - 16

Nivel I

Procedimiento:

* Se identifica la forma general. * Se descomponen el término cuadrático y el término independiente en dos divisores. * Semultiplicanlosdivisoresobtenidos en aspa y los productos obtenidos en suma deben comprobar el tercer término. * Se eligen los factores en forma horizontal.

*

En cada caso, identifica un factor primo. 1)

a) x + 36 b) x + 6 d) x + 3 e) x - 9 2)

Identifiquemos la forma: E = x2 - 42 De donde: Ejemplo: E = 4x2 - 25 Identifiquemos la forma: E = (2x)2 - 52

M = x2 + 11x + 30 x 6 → 6x + x 5 → 5x 11x “comprueba”

4) Ejemplo:

Ejemplo: E = 4m2 - 9n2

M = 2x2 - 5x + 2 2x -1 → -x + x -2 → -4x -5x “comprueba”

Identifiquemos la forma: E = (2m)2 - (3n)2

De donde: E = (2m + 3n)(2m - 3n)

en factores: M = (2x - 1)(x - 2)

118

d) 4m - 25 e) 4m + 25

Factoriza: 100x2 - y2 a) 4x + y b) 25x - y c) 10x + y

5)

d) 2m - 9 e) 2m + 3

Factoriza: 4m2 - 25n2 a) 2m + 5 b) 4m + 5 c) 4m - 5

en factores: M = (x + 6)(x + 5)

De donde: E = (2x + 5)(2x - 5)


3)

c) x - 36

Factoriza: 4m2 - 9 a) 4m + 3 b) 4m - 3 c) 2m + 9

Ejemplo: E = (x + 4)(x - 4)

Factoriza: x2 - 36

d) 4x - y e) 25x + y

Factoriza: 8x2 - 18y2 a) 2x + 9 b) 2x - 3 c) 2x - 9

d) 4x - 3 e) 4x + 3


Colegios TRILCE

6)

Factoriza: 27m2 - 3 a) 3m - 1 b) m + 3 c) m - 3

7)

d) 9m + 1 e) 9m - 1

a) x + 2 d) x + 8

d) m - 3a e) 7m + 3a

d) x + y - m2 e) x + y

16) Factoriza:

10) Factoriza: (2x + 5m)2 - 4m2 a) 2x + m b) 2x + 3m c) 2x - 3m

11) Factoriza: 3x(x2 - 4) + (x2 - 4)

a) 4x + 3 b) 4x - 3 c) 2x + 9 d) 2x - 3 e) 2x + 3 18) Factoriza: x2(2x + 1) + 4x(2x + 1) + 4(2x + 1) a) x + 4 d) x + 2

a) 3x - 1 d) x - 4

a) x + 2 d) x + 3

b) x - 2 e) x - 3

a) x + 5 d) x + 2

b) x - 5 e) x - 2

b) 3x - 1 c) x + 3 e) x - 3

a) m + 2 b) m + 1 c) 2m + 1

a) 3x - 1 b) 3x + 1 c) 3x - 4 d) 3x + 4 e) 3x - 2

6x2 + 5x - 4

a) 2x + 1 b) 3x - 2 c) 3x + 2 d) 3x + 4 e) 2x - 3

25) Factoriza: 6x2 + 13x - 5 a) 3x - 1 b) 2x - 5 c) 3x - 5 d) 3x + 5 e) 2x + 1

26) Factoriza: 10x2 - 9xy + 2y2 a) 2x + y b) 5x + 2y c) 5x + y

d) 2x - y e) 5x - y

27) Factoriza: 3a2c + 5abc + 2b 2c a) 3a + c b) 3a + b c) a + c

d) a + b e) 3a + 2c

d) 4m + 1 e) m + 8

21) Factoriza: x2 + 7x + 12 a) x + 2 d) x + 1

c) 3x - 1

14) Factoriza: 25x2(4x2 - 1) - (4x2 - 1)

c) 2x - 1

3x2 - 8x + 4

20) Factoriza: 8m2 + 2 + 8m

a) x - 2 b) 3x + 1 c) 3x - 1 d) 2x + 1 e) 2x - 1 13) Factoriza: 9x2(x2 - 1) - (x2 - 1)

b) x - 4 e) x - 2

19) Factoriza: x2(x + 4) - 6x(x + 4) + 9(x + 4)

a) 3x - 1 b) x + 2 c) 3x + 2 d) 2x + 1 e) 2x - 1 12) Factoriza: x2(x2 - 9) - 4(x2 - 9)

4x2 - 4x + 1

17) Factoriza: 4x2 + 12xy + 9y2

d) 2x - 7m e) 2x + 5m

23) Factoriza:

24) Factoriza:

a) 4x - 1 b) x + 4 c) x - 4 d) 4x + 1 e) 2x + 1

Factoriza: (x + 3y)2 - 4y2 a) x - y b) x + y c) x + 2y d) x + 3y e) x + 4y

b) x - 2 c) x + 4 e) x + 16

Nivel II

Factoriza: (x + m)2 - y2 a) x + m + y b) x - m + y c) x - m - y

9)

15) Factoriza: x2 + 8x + 16

Factoriza: 98m2 - 18a2 a) 3m + 7a b) 3m - 7a c) m + 3a

8)


b) x + 12 c) x + 6 e) x + 4

22) Factoriza: x2 - 11x + 24

c) 2x - 1


a) x - 3 b) x - 6 d) x - 12 e) x - 2

c) x - 4

La estrella de cinco puntas obtenidaapartirdeun pentágono, el pentángulo, fue el símbolo de los pitagóricos. Los adeptos a dicha escuela filosófica lo llevaban colgado del cuello. Irónicamente, esta figura contiene múltiples veces un famoso número irracional: FI = 1,618…, que relaciona el lado del pentágono con el de la estrella.


119


28) Factoriza: 10x2 - 9xy - 9y2 a) 5x + y b) 2x - 3y c) 2x + 3y

d) 5x - 3y e) 2x + 3

29) Factoriza: m2 + 2m - 24 a) m - 6 d) m - 4 30) Factoriza:

b) m + 8 c) m + 4 e) m + 12

m2 - m - 30

32) Factoriza: a) 4x + 1 b) 2x - 1 c) 2x + 1 33) Factoriza:

x2 + 4x - 32 b) x - 4 e) x + 2

a) x - 2 d) x - 6 35) Factoriza:

c) x - 6

8x2 + 2x - 1 d) 8x + 1 e) 8x - 1

x2 + 8x - 20 c) x - 2

a) 4x + 5 b) 3x + 20 c) 4x + 23

d) 4x + 9 e) 4x + 19

37) Factoriza: 6x2 + 13x + 5

38) Factoriza:

4y2 + 5y - 6

39) Factoriza: 2m2 - 3m - 18 a) 3m - 1 b) 3m - 3 c) 3m + 9

d) 3m - 5 e) 3m - 7

40) Factoriza: 3x2 + 4xy - 4y2 a) 4x b) 2y c) 3x d) 4x - y e) 4x - 5y

a) 2a2 b) 4a c) 2a2 - 18

d) 2a2 + 13 e) 4a + 7

42) Factoriza: m4 - 5m2 + 1 x2 + 8x - 48 b) x - 4 c) x + 8 e) x - 12

a) 2m b) 3m + 1 c) 4m

d) 4m + 1 e) 4m + 3

43) Factoriza: 10r2 + 21m2 + 29mr x2 - 4x - 60

a) x + 6 b) x + 4 c) x + 2 d) x + 10 e) x + 30 II Bim. / ÁLGEBRA / 1ER. AÑO

120

36) Factoriza: 3x2 + 17x + 20

41) Factoriza: a4 - 13a2 + 36

a) x - 10 b) x + 2 d) x + 4 e) x + 5 34) Factoriza:

En los siguientes ejercicios, luego de factorizar, señala la suma de factores primos.

a) 4y - 3 b) 4y + 3 c) 5y - 1 d) 5y + 2 e) 5y - 6

Nivel III

a) x - 2 d) x - 8

*

a) 5x + 3 b) 5x + 1 c) 5x + 6 d) 5x + 7 e) 7x + 6

a) m - 5 b) m + 6 c) m - 15 d) m + 5 e) m + 2

31) Factoriza:

Colegios TRILCE

a) 7r + m b) 7m + 3r c) 7r + 10m

d) 7r + 5m e) 11m + 3r

44) Factoriza: 16 - 65a2 + 4a4 a) 4a b) 6a c) 6a - 2 d) 6a - 3 e) 4a + 5 45) Factoriza: (a - b)3 - (a - b)2 - 2(a - b) a) b) c) d) e)

3(a - b) 3(a - b) - 1 3(a - b) + 1 2(a - b) + 3 2(a - b) - 1

46) Factoriza: (x - y)3 - 5(x - y)2 + 4x - 4y a) 3a - 5 b) 2a - 7 c) 3a + 4 d) 3a - 2 e) 4a - 5 47) Factoriza: (m2 +8)2 + 15m(m2 + 8) + 54m2 a) 4m + 15 b) 2m + 15 c) 4m - 3

d) 2m - 5 e) 4m2 - 3

48) Factoriza: 100x2 + 91xy + 12y2 a) 21x + 5y b) 9x + 21y c) 23x + 5y 49) Factoriza:

d) 21x + 7y e) 29x + 7y

x4 + x2 + 1

a) 2(x2 + 1) b) 2(x2 - 1) c) 4x

d) 3x + 1 e) 4x - 2

50) Factoriza: x2a+1 + 6xa+1 - 7x y señala la suma de términos independientes de sus factores primos. a) -6 d) 8

b) 6 e) 5

c) 7


Colegios TRILCE


Repaso 7) Factoriza: G = x2wy + xw2y + xwy2 *

En cada caso identifica un factor primo. 1) Factoriza: A = x3p + x3m + x3n a) p d) x3

b) m e) x

c) xp

a) xw d) x + y

a) x d) x

4

b) x e) x3

a) x d) 2x

b) x e) x3

5

c) x

9) Factoriza: A = a2(m + n) + b2(m + n)+ c2(m + n) a) b) c) d) e)

c) 3x

4) Factoriza: D = m(x + 2) + n(x + 2)

5) Factoriza: E = p(x + 3) + n(x + 3) + (x + 3)

a) z + y d) z - y

a) r d) s - q

a) a + d d) c + d

14) Factoriza: ac + 4a + 2c + 8 a) c - 2 d) c - 4

c) b + d

12) Factoriza: ay2 + ax + by2 + bx

b) qs c) pq e) r + s - 1


b) c + 2 e) a + c

c) c + 4

15) Factoriza: a2x2 + b2y2 + a2y2 + b2x2 a) a + x b) a - x d) x2 + y2 e) x2 - y

*

b) z + 2y c) x + z e) x - y

b) a - d e) c - d

b) a - m c) m + n e) a + 2p

c) a2 + x

Nivel II

11) Factoriza: ac + ad + bc + bd

b) 2x c) 3x - 1 e) p + n + 1

6) Factoriza: F = pqr + pqs - pq

a2 - b2 m2 + n2 m-n a2 + b2 + c2 a2 - b2 + c2

10) Factoriza: B = (x + y)(x + z - y) - x(x + y)

a) m b) m + n c) m - n d) 2m + n e) 2m - n

a) x - n d) x + n

a) a d) a + p

a) m2 b) n2 c) mn d) m + n e) m - n + p

3) Factoriza: C = 3x4 - 2x2 + x3 2

b) xwy c) xy e) x + y + w

8) Factoriza: H = m2n - mn2 + mnp

2) Factoriza: B = x5 - x4 + x2 2

13) Factoriza: am - an + pm - pn

a) y2 b) y2 - x c) a - b d) y2 + x e) 2a + b

En cada caso identifica un factor primo.

16) Factoriza: x2 - 49 a) x + 49 b) x + 7 d) x - 9 e) x - 4

c) x + 9

17) Factoriza: 4x2 - 1 a) 2x + 1 b) 2x - 3 c) 2x - 5 d) x - 4 e) 2x - 4 18) Factoriza: 4x2 - 36 a) 2x + 3 b) 2x - 6 c) 2x - 3 d) 4x + 6 e) 4x - 6 19) Factoriza: 16x2 - y2 a) 4x + 2y b) 4x - 2y c) 4x - y

d) 2x + y e) 16x - y


121


20) Factoriza: 64x2 - 25y2 a) 8x + y b) 8x - y c) 8x + 5y

Colegios TRILCE

29) Factoriza: x2 + 11x + 24

d) 8x - 4y e) 8x + 25y

b) x + 3 e) x - 4

c) x + 5

a) 5x - 4 b) 6x + 2 c) 6x - 11

d) 6x + 14 e) 6x + 10

30) Factoriza: x2 - 7x + 10

21) Factoriza: 4 - x2 a) 2 + 2x b) 2 + x c) 2 + 3x

a) x + 2 d) x + 4

38) Factoriza: 5x2 - 14x - 24

a) x + 2 b) x - 2 d) x + 10 e) x + 5

d) 4 + x e) 2 + 4x

39) Factoriza: 10x2 - 17x - 6

c) x + 7

a) 11x + 1 b) 7x + 5 c) 7x - 1

Nivel III

2

d) 7x - 3 e) 7x - 2

22) Factoriza: 32m - 2 a) 2m + 1 b) 2m - 2 c) 4m + 3

d) 4m - 1 e) 2m - 1

23) Factoriza: (x + 3)2 - y2 a) x + 3 + 2y b) x - 3 + 2y c) x - 3 + y

b) x - 6 e) x - 2

40) Factoriza: x3 - 5x2 + 4x

c) x - 8

a) 2x - 5 b) 3x - 5 c) 3x - 3

d) 3x + 3 e) 2x - 1

32) Factoriza: x2 + 12x + 11 a) x - 1 d) x + 4

b) x - 2 e) x + 6

41) Factoriza: x4 + 2x3 + x2

c) x - 3

a) 3x + 2 b) 4x + 2 c) 2x + 2

33) Factoriza: x2 - 2x - 15

d) 2x - m e) 2x - 2m

25) Factoriza: 4x2 + 20x + 25 a) 2x - 5 b) 2x + 25 c) 2x - 25

a) x - 7 d) x - 4

d) x - 3 - y e) x + 3 - y

24) Factoriza: (2x + 3m)2 - 4m2 a) 2x + m b) 2x - m c) 2x + 4m

31) Factoriza: x2 - 4x - 32

a) x - 3 d) x + 2

b) x - 1 e) x - 5

c) x + 1

42) Factoriza: x5 + 2x4 - 8x3 + 2(x2 + 2x 8) a) x2 + 5x + 10 b) 2x2 + 3x + 10 c) 2x2 + 2x + 8 d) x3 + x2 + 2x + 10 e) x3 + 3x2 + 2x + 6

34) Factoriza: x2 - 13x + 40 a) x + 2 d) x + 8

d) 2x + 5 e) 4x - 5

d) 2x + 1 e) 3x + 3

b) x + 3 c) x - 5 e) x - 10

35) Factoriza: x2 + 15x + 54 26) Factoriza: 9x2 + 42x + 49 a) 3x + 1 b) 3x - 1 c) 3x - 2

a) x - 6 d) x + 3

d) 3x + 4 e) 3x + 7 *

b) x - 9 c) x + 6 e) x + 15

Luego de factorizar, calcula la suma de factores primos.

27) Factoriza: 16x2 - 24x + 9 a) 2x + 3 b) 2x + 1 c) 2x - 3

d) 4x - 3 e) 4x + 3

28) Factoriza: 25x2 - 20xy + 4y2 a) 5x + y b) 5x - 2y c) 5x + 3y

d) 25 + 2y e) 25 - 2y


122

43) Factoriza: x2 + (2a + 5)x + a2 + 5a + 6 a) b) c) d) e)

2x + 2a + 6 2x + 2a + 5 2x + a + 3 2x + 5 2x+ 6

36) Factoriza: 3x2 - 14x - 15 a) 4x - 1 b) 4x - 6 c) 4x - 3 d) 2x - 5 e) 2x - 15 37) Factoriza: 2x2 + 13x - 24 a) 2x + 3 b) 3x - 2 c) 3x + 5 d) 4x - 1 e) 4x - 13

44) Factoriza: a2 + 2ab + b2 + 5(a + b) + 4 a) b) c) d) e)

2a + 2b 2a + b + 4 2a + 2b + 5 2a + 2b - 3 2a + 2b + 4


Colegios TRILCE


45) Factoriza: x2 - 6x + 9 - y2 a) 2x + 3 b) 2x + 6 c) 2x - 6

d) 2x + y e) 2x + 2y

46) Factoriza: x2 + 10x + (5 + y)(5 - y) a) 2x + 2y d) 2x - 10 b) 2x + 10 e) 2y + 10 c) 2x + 10 - 2y 47) Factoriza: x2 + 2ax + a2 - 9 a) 2x + 6 b) 2x - 6 c) 2x + 2a

d) 2x + a e) 2x

48) Factoriza: a2 + 2ab + b2 - c2 + 2cd - d2 a) b) c) d) e)

2a + 2b a +b +c +d 2a - 2b 2a - 2c 2a - 2b + 2c - 2d

49) Factoriza: x2 + (2a - 1)x + a2 - a - 12 a) b) c) d) e)

2x + 4 2x - 3 2x + 2a 2x + 2a - 1 2x + 2a + 1

50) Factoriza: (a+3)(a+2)(a+1)+(a+2)(a+1)+(a+1) a) 2a + 4 b) 3a + 6 c) 2a + 3

Historia del ajedrez Muchas son las leyendas levantadas en torno al origen del ajedrez y varios los países que se atribuyen su procedencia; hoy se cree que el ajedrez procede de la India (200 - 700 d.C.) con el nombre de chatrng, y que su creador lo ideó para entretener al rey, a quien le pidió como recompensa un grano de trigo por la primera casilla, dos por la segunda, cuatro por la tercera y así sucesivamente, hasta cubrir los 64 escaques de que consta el tablero. Hecho el cálculo se descubrió que los graneros del imperio de 16 384 ciudades de 4 080 ganaderos no hubieran bastado para contener la cantidad de trigo perdida, pues equivalía a un cubo de más de un kilómetro de lado o a sembrar 77 veces toda la superficie terrestre del planeta. También se cree que el inventor fue el griego Palamedes, que lo creó durante el sitio de Troya, para distraer a los guerreros durante los días de inacción. Los árabes lo aprendieron de los persas con el nombre de as-satrany y lo enseñaron a su vez a los españoles. El primer experto del ajedrez fue el árabe Al-Dali. A España cabe, pues, la honra de haber introducido el noble juego en Europa y de ser cuna del primer teórico del ajedrez, Ruy López, creador de una famosa apertura, quién escribió un libro de la invención liberal y arte del juego de ajedrez. En América se difundió rápidamente, y el general José de San Martín lo jugaba entre batalla y batalla, mientras iba liderando países.

d) 3a + 5 e) 3a + 8



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Algebra II Bimestre

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