GUÍA 4 - CIENCIAS
9
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN SUSTRACCIÓN : Se procede reduciendo las partes reales en una sola, lo mismo que las partes imaginarias. Ejemplo:
DEFINICIÓN. Un número complejo es toda expresión de la forma –
z = a + bi, en donde a y b son números reales e i es Ejemplos: z1=3
–
1 .
z1=1 + 4i y z2=2 – =2 – 2i 2i z1+z2 = (1+2) + (4-2)i = 3+2i.
MULTIPLICACION : Se procede procede considerando con a los complejos como binomios. Ejemplo:
7i; z2 = 2 + i;
z1=1 + 4i y z2=2 2i z1. z2= (1 + 4i)(2 2i) = 10 + 6i.
–
z3= 1/2 + 8i;
z4 = -5i;
z5= 1/4.
Designamos escribimos:
al conjunto
de los números complejos
–
C y
–
DIVISION.- Para dividir números complejos, se multiplica dividendo y divisor por la conjugada del divisor.
C = {Z = a+bi/ a R , b R , i2=-1}
NOTA.- Asimismo, .- Asimismo, se puede definir mediante pares ordenados: “Se “Se
Ejemplo: dividir z1=1 + 4i entre z2=2 – =2 – 2i 2i
llama número complejo a todo par (a;b) de (a;b) de números reales reales tomados en cierto orden ”. ”. Si: z = (a;b) C, al número número “a” que se escribe primero, se llama primer componente o parte real y al segundo, “b” parte imaginaria. Es decir: a = Re (z) y b = Im(z). Im(z).
1 4i
1 4i
2 2i
2 2i
2 2i
2 2i
6 10i
3 5i
8
4
.
POTENCIACION .- Se aplica el desarrollo del binomio de newton. Ejemplo:
Ejemplos:
z1=(1 + 4i)
2
2
2
2
z1 = 1 + 2(1)(4i) + (4i) = 15+8i. –
z1= (3, 7); z2 = ( 2,1); z3=(1/2,8); z4=(0, 5); z5= (1/4,0) –
–
–
RADICACION.- Se puede utilizar la fórmula fórmula de los radicales dobles. Ejemplo: halle la raíz cuadrada de 15 8i.
2 Teorema: i =-1
–
15
Teorema: Respecto de la Unidad Imaginaria 1.
i4
2.
i4
3. i
i2
15
8
1
15
2
1 ( 16)
1; r
8i
16
1
16
1
4i
(1)( 16)
EL PLANO COMPLEJO O DE GAUSS .- De la misma manera que ir ;
i3
r
los números reales se pueden representar como puntos de una línea, los números complejos se pueden representar como puntos de un plano.
Z
i 4r 0;
r
Z
El número complejo z = a + bi es aquel punto del plano con coordenada x igual igual a la parte real a, y a, y coordenada y igual igual a la parte imaginaria b.
CLASES DE NUMEROS COMPLEJOS COMPLEJO REAL.- Si la parte imaginaria es cero. Si: b 0 z a. a. COMPLEJO PURO.- Si la parte real es nula. Si: a
0
z
bi bi .
COMPLEJO NULO.- Si la parte real y parte imaginaria son nulos. z 0 Si:. a b 0 COMPLEJO IGUALES.- Dados:
Dado que los puntos del plano se pueden definir en función de sus coordenadas polares r y , todo número complejo z se puede escribir de la forma: z = r (cos + i sen ) . donde: r es el módulo de z o distancia del punto al origen r
z
a2
b2 y es el argumento de z o o ángulo entre z y y el
eje de las x. tan
b a
Ejemplo: Expresar en forma polar el número complejo: z 9 12i .
z1 = a+ bi y z2 = c +di, si: z1 = z2
–
a = c y b=d.
COMPLEJOS CONJUGADOS.Si z = a + bi entonces
z a bi Conjugado de z.
r
a2
b2
92
12 122
15 ; tan
b
12
4
a
9
3
θ
53º
Luego: z = r (cos + i sen )= 5 (cos 530 + i sen 530). 9 12i = 15 (cos 530 + i sen 530). z
COMPLEJOS OPUESTOS.Si: z1 = a+ bi, bi, su opuesto será z2 = – = – a a – – bi. bi.
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10
a) 1
EJERCICIOS 1
1.
2.
5.
b) 3i
i
a)
e2
d)
cis
b)
3 2
e)
i 3k 1 ; k
e) N.A.
a) 20º
b) 80º
d) 2 21
e) 2 22
c) 40º
w 4K 1 ; k
III)
i 444 w 333 2 b) VVV
Si el complejo:
2e 2 cis
14. Calcular “n+k” “n+k” a partir de: 2 3 10
i 2 i 3 i ... 10 i b) -2
i
c)
3 2
c) 0
n
a) 3/2
2
b) 5/2
a) 3
d) FVF
e) FFV
se lleva al plano de Gauss; nos
b) una circunferencia d) una recta
c) 250i
en
( 2 i) 3 8 i 9 4 i i a) 8 cis b)
2
18. Calcular
e) 250
a) 1 10. Si:
b) w
3
d) 2w
el
resto
b) 0
e) 2
e) -1
{x ;y ; y} R , simplificar.
c)
8
3 2
al
número
4 cis
c)
complejo:
2 cis
cis
I m ( ) 0
d)
2 de
la
3 4
e)
siguiente
4
división:
a) 7-24i
c) 2
d) i
e) i+2
(1 2i 2i) 12 4(1 2i 2 i) 8 4( i 2) 2) 4 (2 i) 8 4(2 i) 4 4
las tres raíces cubicas de la unidad:
c) – c) –w w
polar
2 3i 5
b)
a) 1
10 15 w 15 ... w 220 ) 1 ( 1 w 5 w 10
siendo: 1
(cos xsen) cosn xsenn x2 1
, es:
1 w w 2 w 3 ... w 25
Im { } , 1
e) 1
Arg() , si:
20. Simplifíquese:
simplificar.
d) 2
n
w w2
, si Z es un numero real donde:
e)
19. Calcular
d) -1/2
2
d) 16 cis
a)
El equivalente de:
Siendo 1,
e) 2
c) 3/221 d) 2/221 e) 1/21
forma 2 6
1 1 3
d) 250(i-1)
c) 0
b) 2
17. Expresar
….. ( )
2 3i ,
b) 1
d) -1
c) 1/2
16. Si 2 3i, 3i, halle Ud.
Reducir: E 2 3 4 ... 1001 i i2 i3 i 1000
a) -1
e) 10º
n ki
E 2n 3 ni 6 4i
15. Calcular:
….. ( )
c) VVF
b) 500
d) 5º
13. El equivalente de: ( 1 ) 4n3 ; n N es: a) 1 b) -1 c) i d) – d) –ii e) 2i
a) 1
…… ( )
II)
a) 500(1+i)
9.
c) 2 20
Marcar verdadero (V) o falso (F) :
representa: a) un radio vector c) un punto e) una recta e) N.A.
8.
b) 2 19
2
Si: i , su forma polar es: 3
a) FFF
7.
d) 5 3 i
c) 1-i
Si representa al conjugado de , con respecto a la adición , es correcto afirmar que: a) tiene modulo igual a 1 b) es un número imaginario puro c) es un número real d) es el complejo nulo
I)
6.
e) xyi
12. Proporcionar el argumento principal de: cos20ºº i sen20º sen20º 1 cos20
e) tiene argumento igual a: 4.
d) i
No es un numero complejo a) 2
3.
a) 2 18
1
e)
c) – c) –ii
11. Al reducir: (1 i) i) 41 (1 i)i) 41, se obtiene:
No representa una expresión imaginaria: a) 2 b) 98 5 c) 1992 1 d) 3 2
b) -1
b) 7+24i c) -7-24i d) -7+24i e) 24-7i
21. Si w es una de las tres raíces cubicas de la unidad reducir. a) 1
(x y ) i (x (x y ) (x y ) i (x (x y )
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E w7
71
b) w
7
71
w( 7 )
c) w
d) -1
e) 0
w (71) w 7 2
71
(w 1) ;
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3257
2638
i i 22. Si: i valores s e encuentra “n” a) -9
8193 11984 3 ; i ni
b) -8
entre
que
c) -4
a)
1 3 i 2 2
1 3 i 2 2
b)
d) i
c)
1 3 i 2 2
a bi es imaginario y 1 ci
c ai es real; calcular b i
" b2 a 2 c2 " a) 1
b) 3
c) 4
d) 8
b) 53º
c) 59º
d) 60º
b)
(Im{ } )
a) 2
a) 1
b) -1
27. A partir de:
c) 0
d) 2
e) 3
(1 i) 2 (1 i) 2 (1 i) 6 (1 i) 8 x yi yi ;
a) 1/2
b) 1/4
c) 1/5
b) 2
d) 1/6
d)
2 i
e) i
29. ¿Para
cuantos
valores
de
dos
i C1n i 2C2n i 3C3n ... i nCnn
2
n1
1 i 2
a) 10 30. Si:
n1
b) 11
la
expresión
se reduce reduce a:
son
d) 13
n
e) w+1
1 w
a 2i b 3i
y
b (a 8) i a bi
son respectivamente un numero
b) 5/2
c) 1/5
d) 5/3
e) 2/3
(x y Z)(x wy w 2Z) Z)(x w 2y wZ) 9xyZ) a) -1
raíces
e) 14 de
la
b) 1
c) 2
d) -2
e) 3
ecuación:
38. Al resolver el sistema en en C: Z 2 2 iZ 5 indicar cual no es la raíz de 2 ( 1 i) i ) Z 2 6 0 i ( 7 1 3 i ) Z las ecuaciones anteriores a) i-2
z aw a w 2 bw ;
39. Si
x 2 y 2 z 2 2ab x2 b) 0
e) 13
2
y a 2w b 2w 2
a) 1
d) 16
37. Siendo 1, w w las tres raíces cubicas de la unidad; simplificar: (x y Z) 3 (x wy w 2Z) 3 (x w 2y wZ) 3
w3 1 x ab
simplificar:
c) 15
? c) 12
1, w w 2 ,
cifras
b) 14
a) 2/5
3 2i
c)
se reduzca a
real y un imaginario puro; el valor del primero de ellos es:
[2(cos15º [2(cos15º isen1 isen15º)] 5º)] 7 [128(co 128(coss 4º isen4º)] isen4º)]
2( 3 i)
d) 5040 e) N.A.
1 2w 3w 3w 2 4w 3 ... nw n 1 ; n N * n 2n a) w-1 b) c) w 1 1 w
e) 1/3
[4(cos23º isen2 isen23º)] 3º)] 5 [8(co [8(cos12º s12º isen1 isen12º)] 2º)] 2
b)
c) 720
i (n 1) ! i n ! 0
w C / w n 1 w 1 ; reducir:
28. Mostrar el equivalente de:
2 3i
2
34 4i) (5 3i) 3i) (1 4i) c) 4 d) -1 e) 1
la unidad es:
36. Si:
a)
1 3 i 2 2
C n0 C 1n w C n2 w 2 C n3 w 3 ... C nn w n ;
d)
xy xy
calcular:
c)
34. El numero de valores enteros y positivos de “n” de dos cifras que hacen que la expresión:
entonces
debe ser:
1 2
1 3 i 2 2
33. Calcular el mínimo valor de (n!)! a partir de:
35. Si:
2 , si:
b) -4
a) 17
para que el numero: 1
, es:
e) 67º
C / x yi y 0, 1 2 0 ;
26. Si:
217
e) N.A.
a) 1
e) 2
25. Proporcionar el argumento del siguiente número complejo: (3 4i) 4i)2(3 3 3i) 3i) Z 5 5i a) 37º
d)
32. Calcular
e) -1
24. Si
3 1 i 2 2 3 1 i 2 2
a)
3 (2w 1) i 0 , proporcionar el equivalente de: w10
23. Si:
3 1 31. El equivalente de: i 2 2
11
c) 2ab
c) 7-2i
d) – d) –i-2 i-2
e) – e) –i+2 i+2
I w m Z w w Z
I { ;w} C, calcular: m Z
a) 0 d) 3
b) 3+5i
b) 1
c) -1
d) 1/2
e) 2
e) ab
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12
40. Si:
n N * , halle el equivalente de:
a) -1 41. Si:
b) n
c) – c) –n n
d)
(1 itg) n (1 (1 itgn itgn ) (1 itgn itgn )(1 )(1 itg itg) n n2
e) 1
a) e
w 2 w 1 0, 0, simplificar: 3
2 3
2
(a b) b) ( aw bw bw ) ( aw bw) 3
a b
1
x 1 1 e x 50. Una solución de la ecuación: x , es: e
51. Resolver:
3
3 a)
a) 1
b) 2
42. Hallar
el
c) 3
menor
d) 4
valor
e) 6
de
k,
tal
43. Si:
b) 2
d)
c) 1/9
d) 1
e) 1/2
Z 1 Z 2 Z 3 0 Z 1 Z 2 Z 3 1; 1 ; luego:
Z 1 ; Z 2 Z 3 son los vértices de un triangulo: a) equilátero d) obtusángulo
b) rectángulo e) N.A.
c) escaleno
44. Hallar la suma de todos los números complejos que sean conjugados con su cubo a) 0 b) 1 c) 2i+1 d) 2i e) i
1 3 45. El equivalente de: i 2 2 a) 0
b) -1
c)
46. Si: Z C / Z 5; calcular: a) 52
b) 50
12 5 47. Hallar Z de: Z 12 Z 8i 3 a) 6+17i
b) 4+9i
c) 48
3
e
E 1 Z
e) F.D.
2
d) 2
1 Z
2
i
e) – e) –ii
1 e 1 e
b)
2k i 1 e n
e)
2k i n 1e
2k i 1 e n 2k i 1 e n
1 e 2ki
c)
1 e 2ki
2k i 1 e n 2k i n 1 e
52. Si el cuadrado de un número complejo es igual a la semisuma de su complejo conjugado y su complejo opuesto; opuesto; este número complejo: a) tiene parte real igual a 1 b) no tiene parte real c) el cuadrado de su parte real es igual al cuadrado de su imaginaria d) no existe tal numero e) N.A.
a)
8 ( i 3)
b)
4(1 3 i) i)
d)
1 3i
e)
8(1 3 i) i)
54. Si
e)A B
48. ¿Cuando el modulo de la suma de dos números complejos es igual a la diferencia de los módulos de los sumandos? a) cuando la diferencia de los argumentos es igual a: (2k ) /k / k es entero b) cuando la suma de los argumentos es igual a
d)
(Z 1) 1) n (Z 1) 1) n 0; Z C n N *
e) 32
Z4 1 Z 8
c) 6+10i d) 6+8i
c) i
53. Halle un número complejo cuyas cuatro raíces cuartas se encuentran sobre la circunferencia de radio: R ₧2, con centro en el origen. Una de estas raíces tiene argumento igual a: 7 / 1 2
i i e 2 , es: d) 1
e2
que:
Z w k... { Z;w} ;w} C k.. 1 Zw a) 4
b)
2
d) cuando la suma de los argumentos es igual a (2 k ) / k
2
es entero e) N. A. 49. La suma de dos números complejos es: (-2-6i) la parte real de uno de ellos es: -4 y el cociente es imaginario puro. Halle la diferencia de las partes imaginarias de los números complejos a) 2i b) -6i c) -8i d) 16i e) i
reducir:
obtenemos, a) 8
8(1 3 i) i)
n (1 i) 5n (1 i) 5n 5 (1 i) 5 1 , n 10 5 n 1 0 5 n (1 i) ... (1 i) (1 i) 2
2 33 cos 11 ¿Qué valor asume “n”? b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
55. Halle el equivalente de:
1 x co cos x 2 co cos 2 x 3 cos 3 ...
(2k ) /k /k
es entero c) cuando la diferencia de los argumentos es igual a (2 k ) / k es entero
al
c)
xsen x 2sen2 x 3sen3 ... c)
csc ctg x se sen ctg
d)
x 1 csc ctg
a)
b)
x cs csc ctg
e) N.A
56. ¿Cuál es el lugar geométrico de la siguiente igualdad:
Z i Z 1 ? a) parábola d) recta
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b) circunferencia e) N.A.
c) punto
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a) 1
EJERCICIOS PARA LA LA CASA
b) 2001 5
1.
1 i i 2 i 3 ... i 1999 Calcular: 2 1ii a) 2
2.
b) 0
1 i 1 i
b) 0
b) – b) –ii
b) 0
b) 4
Calcular: P
9
d) 32
d) 8
d) -2
d) 4
real a) 2
e) 16
1
22. Calcular: i a) 0
e) 2
e) 16
a) 64
c) -1 2
d) 6
e) 0 m 2i
3i
s un numero
e) 10
d) i
e) – e) –ii
(1 i)4 (1 i)6 (1 i)8 a bi c) 2/3
b) 128
c) 256
b) 12
c) 10
c) 2 3i
d) 4/3
e) 1/5
d) 8
e) 16
d) 5
e) 16
15
1 i 1 i 1 i 1 i
26. Efectuar:
d) i-1
e) i+1
b) 2
27. Efectuar:
d) -2i
2 3i 2 3i
50
c) – c) –ii
3 2i
3 2i
b) 2i 343
28. Simplificar: M i a) i b) – b) –ii
e) -1
c) 25i
201
302
i
403
i c) i
d) 12i
e) -25i
500
i
d) 1+i
e) 2+i
3
2
i
2
i
4
2
... i
(1 i)101
a) 1
15 d) 2 i
e) 0
2i 13
c) 3i
d) 4i
e) – e) –ii
250 b) 2
i522 i1000 c) 1
d) -2i
e) -1
d) 3
e) -1
1 i c) 0
30. Determinar “a” para que “z” sea un numero imaginario puro z
13. Efectuar: 1
200
24. Calcular: z (1 i)8 (1 i)8
4 25 12i siendo “i” la unidad
i
2
b) 1
b) 3
a) 6
c) -2
b) 2 2
d) 2
i2 i3 i4 ... i2003
a) 1/3
2 1 2i
b) i
12. Calcular: i a) 1
c) 8
23. Si se cumple: (1 i)
29. Efectuar:
100
e) 4
25. Calcule el menor valor que verifica: (1 i)n 64 si: nN
c) i
36
imaginaria a) 13i
c) 2
b) 4
a) 1
b) 0
11. Efectuar:
d) 3
5
i
a) 1
e) 4
(1 i)400 (1 i)400
a) i 10. Calcular:
c) 2
b) -1
60
b) 1
d) 3
21. Determinar el valor de “m” si la división:
i 4n3) 2
b) 3 2i e) 0
a) 0
c) 2
e) 256
Reducir:
1 3i Calcular: 1 3i
(1 i)2 3i4n
b) 1
a) 1
4
5
2
b) 1
20. Calcular:
c) -1
1 i 1 i 1 i 1 i
e) 4+2i
e) 1
5
i 85
c) -4
2 3 4 16. Calcular el valor de: 2i4 3i2 4i3 a) 6+i b) 3+3i c) 5+6i d) 5+4i
a) 0 d) 0
b) 0
e) -2
e) 2+3i
a) 0
i725 i342 i928
4
d) 2
15. Hallar el valor de: 4i4043 3i1080 2i1050 a) 3i b) 3-2i c) 5+3i d) -5-4i
17. Efectuar: (1 i)
i243 i4331 i3642 i6876
Hallar: (1 i) (1 i)
c) 2i
19. Efectuar: ( 4 i)(3 i)(1 i)(3 i)(4 i)(1 i) 1
c) 1
b) -3
a) 1+2i d) i-1
9.
e) 256
d) 2003 e) 2002
18. Calcular: (2 3i) 3i)(3 2i) 2i) (1 2i) 2i)(2 i) 18i 3 a) 1 b) 2i c) 3i d) 4 e) 0
c) -2
(1 44
Hallar el valor de:
a) 8
8.
4
a) 4 7.
e) 2
2000
c) i
a) 2
6.
d) i
Calcular: (1 i) i) 2 (1 i) i) 2 a) 1
5.
c) 2
1 i Simplificar: R 1 i 1 1 1 i 1 i a) 2/i
4.
d) 4
9
1 i 1 i
Calcular: a) 2i
3.
5
c) 1
c) 1000
10
4 4 14. Efectuar: i3 i5 a) 0 b) -2i
2
13
2003
a) 2
6 8ai 2 3i
; i 1 b) -2
c) -1/2
d) 1/2
e) 1/4
Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación
GUÍA 4 - CIENCIAS
14
EJERCICIOS 2
1.
Si
DEFINICIÓN: Se llama logaritmo de un número en una base dada,
E (a log c a 2 b 4 log c b 2 )l )log b c 4
positiva y distinta de la unidad, el exponente a que debe elevarse la base para obtener una potencia igual al número dado.
NOTACIÓN: Número Log
N
b
=
x
b) 64b 4
a) 4b 4 2.
a) -1
bx
N
PROPIEDADES Logbbn
3. 4.
b b LogA ogAB B
5.
Lo g
Logb 1 Log n
A B
6.
Log An
7.
L og n A B
8.
Logb x
3.
4.
b) 1
d) a/b
e) N.A.
b) 3/2
c) 5/2
d) 4/5
e) 3/5
logx a loga lo logb x loga lo logc x
n LogA LogB ogB Log A
b) a bc c) b 4 d) a b e) a 1
a) abc
L Lo ogB
5.
n Lo Log A 1
LogB A n 1
Simplificar:
P
a) x
Logx b
6.
11. 12.
bLoga x
Log b x Loga b
Co lo logb a
Lo g b a
Antilo ilogb a
ba
7.
Antilo tilogb (lo (log g b x)
d) 1
e) xy
4
b) 1
c) 4
d) 1/8
log log 2 (lo (log g 2 100) 100) 3
Calcular el valor de:
log 2 lo log 2 10 100 b) 6
c) 1
d) 2
e) 5/2
log log 2 log log 2 1000 10000 0 1 log 2 lo log 2 10 100 e) 4
x
x
8.
a)
naturales o hiperbólicos tienen como base el número trascendente “e” donde:
e = 2.718281 . . .
9.
Log e A = LnA = LA
x (x y) log (xy) y Si: 1 2 hallar: E log(xy) log x (x 4 y 1 2log x y y y
LOGARITMO NEPERIANO Logaritmo Neperiano. El sistema de logaritmos neperianos,
3 2
b)
1 5 7 c) d) e) 1 2 2 2
Si se sabe que: log n 4 [ n( 5 2 6 ) 3] 2 1, 5 hallar el valor de: R l og n 3 [ n ( 5 2 6 )] 2
PROPIEDADES x
A = x e = A e= 1 A + Ln B = Ln AB 1=0 A
6. Ln A –L –Ln B=Ln A B
7. pLn A = Ln A
c) z
50 log 50 10 co log2 5 2 (log4 8 )l )log8 4 co llo og16 4
a) 5
Logb (An (Antilo ilog b x)
log logy x
x
logx y x logy x y
log Simplificar: a) 5/4
1
lo gx y
x
b) y
Log a
Logab.Lo b.Logb a
5. eLnA
c) ab
Si se cumple que:
0
10.
Ln Ln Ln Ln
1 calcular:
loga loga logc cb loga loga logb bc 1 resolver:
Logb a
1. 2. 3. 4.
e) b 4
243(log (logx z) 5 32(l 32(log ogy z) 5 determinar: log y x Si: 243
n
9.
13. 14. 15.
d) 40b 4
P log a lo l og b N log a lo l og c N
a) 2/3
1. 2.
c) 10b 10b 4
Si: log a log a b log a log c
x Base
LogbN
logb a 4 , hallar:
a) 28 45
b) 14
45
c) 28
15
d) 28
5
e) 14
45
10. Calcular con dos cifras de aproximación: l o g 12 4 a) 0,55 11. Si:
P
b) 0,57
c) 0,54
d) 0,56
log 12 2 7 a calcular: log log 6 16
a)
12 4 a 2 3a
b)
12 4 a 3 2a
d)
12 4 a 3 a
e)
12 4 a 3 a
Alexander Fleming… 20 años años insuperables en tu preparación
e) 0,50
c)
3a a2
GUÍA 4 - CIENCIAS
12. Calcular: log(Ab), log(Ab), sabiendo que: loga=B logB=A a) A+B
b) 1
13. Calcular
el
c) AB
valor
d) A/B 3
de:
3
( x 4)
2(x
2
24. Sabiendo que: progresión
e) absurdo
2
si
“x”
verifica:
243
logx x x5 8 logx 9 a) 2 b) 1
14. Resolver:
a 2
c) 0,25
d) 0,2
a 1
e) 0,5
a0 ;
b) 6
16. Resolver:
e)
a2
8 x2 3 dando una de sus raíces:
log8
(log (log 8 x)2 a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
e) 2
17. Resolver y dar como solución uno de los exponentes de “a” en la ecuación: log a log a log a 3 x x a a)
3 2
b) 3 5 2
d) 3 5 2
c) 5 2
2
a) 12
c) 3
b) -1/2
c) 6
d) 3
a)
nnnn
d)
nn
2 n
de
2
4
b) 72 7
log log x 7 ) 2 lo log 7 x
c) 344 49
log log a 21. Si: x 2 3 calcular: a) 9
b) 4
22. Calcular
e) 8
log7 (x
20. Hallar la suma de raíces en:
d) 591 64
loga x
K (3
c) 2 el
d) 0
e) N.A.
lo g 3 7 x a )1/2 e) 1/4
valor
de
“x”
log 2 log 2log 4 log 2log 64 (x 3) 0 2 a) 259 23. Si
se
b) 19 sabe
c) 67 que
una 2 log (x (x 1) log(x g(x 1) 15n 2
e) 4
las
están en progresión
d) -14
soluciones
e) -2 de
la
ecuación:
2
b)
nn n
e)
nn(1n)
c)
n1n
d) 3 2
e)
28. Resolver:
2 log 3 b b2
2
log ctg x log tg x 3 1log 3 1log 8 0
a) arc tg 5 d) arc tg 12
b) arc tg 10 e) arc tg 8
c) arc tg 15
loga x loga 2y m ... ...(I) dar log 2 x log 3 y n ...(II)
a a como soluciones, el producto de raíces: 5m9n 10m a) a b) a 10m18n 2m3n d) a e) a
c)
a 2n
30. Citar una de las soluciones de: 2a8x log 2ax log x2 ( a 1) 2 2a log 2 a a a)
a2 1
b)
a a 1
d)
2a a 1
e)
a a
c)
2 a1
31. Dar el producto de las raíces de la siguiente ecuación: (logm (logm)lo )log g6 x (logn (logn)lo )log g3 x (logp (logp)lo )log g2 x
logq)lo logx gx logr logr 0 (logq) si mnr=p=q
d) 1027 e) 515 de
de:
(n2 n 1)logx(nxn) es:
29. Resolver el sistema:
a) 23
d) 5
c) 2 las
e) 1
x 19. Resolver: log x 3 log 32 32 log 2 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7
valor
27. Señale una raíz de: log log4 x2 2log a x loga x log3 x lo a log22 a logb a 1 4 log [ ] b b4 a) a b) b c) 2
e) N.A.
5x 6 b) 9
a) -4
b2
18. Resolver y dar como solución el producto de las raíces en:
10logx
b) 1
producto 3 logn (xnn )
x en: log x 8log 2 2 3 2 x c) 3 d) 4 e) 2
15. Hallar un valor de a) 5
d) a
el
(log 2 1 z)(logx ( yx yx 2 ) 2log(zy 1 )) x z
26. El
c) 1
forman una
geométrica y si además se toma el logaritmo de su producto con base igual a una de ellas, resulta 1,5; calcular el 1 cologaritmo de cdb en la misma misma base. Dato: b=0,25c
1 log log a (ax (ax) log log x (ax) (ax) log log 2 ; a 2 b)
determinar
25. Si las raíces de x3 bx2 cx d 0
a 1 dando una de sus raíces a)
2log 2log x y, 2log 4logz x 2log y z, 4log
aritmética,
a) 2
19)
15
raíces
de:
es el triple de la otra,
calcular el producto de la suma y el producto de las dos raíces. a) 4 (43 b) 1 (43 31 194) 194) 9 c) 4 (43 31 192 d) 2 e) 3 192) 9
a) 0,1 32. ¿Para
ln
qué
b) 0,01
c) 0,001
valores
de
x
d) -1
está
e) -0,1
definida
la
expresión
ln x
a)
x ee
b)
d)
x e2
e) x e
x e 2e
c)
x 2e
Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación
GUÍA 4 - CIENCIAS
16
33. Si
log 4 y 2 ; hallar el valor que debe tener “x” para que
x2 y3 5 16 a) 1 b) 2
m n log 5 2
P log
log4
c) 3
d) 4
34. ¿Cuántas
soluciones reales log log ( 2x) ln x x2 9 4 2
a) 2
b) 3
x 2 10x 10 100 0 calcular
44. Si “m” y “n” son las raíces de
c) 4
e) 5
posee
d) 6
la
a) 5 ecuación?
b) 4
c) 3
e) 1
45. Resolver: log (3x 1) log (3x 1 3) 6 3 3 a) l og og 3 5
e) 8
d) 2
b) log log 3 10 e) l og og 3 4
d) log log 3 7
c) lo g 6 3
35. Hallar los valores de “x” que cumplen la desigualdad:
log 1 x log 1 x 2 a) 1
46. Resolver:
3 b) 0
c) 2
36. Hallar el producto de las soluciones en: 3x 8 a) log 2 39 4 d) log 23
b) log log 3 2
c)
a) a/b x x 2
6
log 54
c) {4,5}
c) 4
d) 2
el C.S. de 1 log (x (x 9) log (3 (3x 8) 2 l og og 5 2 b) {12,19} e) {19,10}
41. Indicar
b) 50/30 e) 49/69 el
la
ecuación:
c) {19,12}
de
b) 2
42. Si: log x2 m y
c) 5
x
d) 4
a) 1/3
d)
que
verifica:
c) 1/4
n n2
d) 1/5
ba
xlogy ; n ylogx mn 2
e) mn
d) 9x
e) x
c) 2
d) 3
e) 5
b) 3
c) 2/3
5
d) 1/2
9) e) 4
log x log 3 log 2 log 2 3 5 2 7 3 7 3 5 b) 4
c) 3
d) 2
b) 13
c) 14
2
e) 1
4
d) 15
e) 10
a) 3x x 1
b)
d) 2x 1 x
e) 3x 1 x
x
c)
x 1
x x 1
e) 1
e) 1/6
54. Si: log 303 x
y
log 305 y calcular “z” en términos de x e
y, siendo 30 z 8 a) 2(x-y+1) d) 3(x+y-1)
b) 3(x-y+1) e) 2(x-y-1)
c) 3(x-y)
e) m+n
m 4 x n x 0 indicar: log log n m b) 1/2
e)
53. Si: log 14 28 x 1 calcule: log 49 1 6
y
c) m-n
a) 2
a) 12
positivos, log y2 n siendo x, y números positivos,
b) n-m
d)
52. Calcular: S ant antilog ilog3 2 ant antilog ilog
x calcular: E 20 lo log 10 a) m+n 43. Si: 2 x
c) 2
c) 1/2
b) 1
a) 1/2
log x log 3 x log 6 x co log 1 a) 3
b) 4
51. Resolver:
c) 30/40
valor
si: m
50. Efectuar: E (log log3 2) 2) (log2 5) (log
5 x y 40. Si: l og xy x 5 calcular: P log xy 3 y a) 49/30 d) 59/49
b) 1/2
a) 0
e) 1
39. Indicar
a) {11,19} d) {11,12}
m n 2 47. Calcular: E logm logm logn logn
d) ab
49. Calcular: P log 2 log 25 l og 9 3 3 5
3 log a2b3 ab log b a 2 log a b2 2a ab
b) 5
c) 1
log
a) 2
38. Reducir: K
a) 3
1
48. Calcular el valor de: E (log 4)(log log 4 x)( x)(log log x 9x2 ) 3x
37. Resolver la ecuación: log 2 log 2 log x x x 2 16 64 b) {4,6} e) {4,8}
b) b/a
a) 0
e) 2log 2log3 4
a) {4,2} d) {8,16}
(1loga b)
logx a
55. Hallar:
log 9 x 4 siendo:
logx 3x
x 3
a) 1 5
b) 1 3
d) 1 7
e) 4 7
Alexander Fleming… 20 años años insuperables en tu preparación
c) 1 2
GUÍA 4 - CIENCIAS
EJERCICIOS PARA LA CASA
1.
2.
3.
a) 32
b) 2
Calcular “x” en:
3 log[2 log2 {log4 (x 4) }] 0 2
a) 12
b) 14
Calcular “x” al resolver:
a) 1/4
4.
10. Resolver:
log log2 x log log2x antilo ilogx 5
c) 18
a) 16
e) 16
d) 20
c) 2
a) 512
e) 16
antil ntilog ogx anti antilo logg4x
b) 1/2
Calcular “x”:
d) 8
d) 4
2 x4
c)
d) 2 5
5
11. La
(log (log 8 x)2 b) 10
c) 64
d) 4
e) 400
e) 8
relación: log (a+b)=log a+log b, se cumple:
a) solo si a y b valen 1
b) solo solo si a y b valen valen 0
c) solo si a b b 1
d) solo si a b b 1
5 x y el valor de: log xy 3 12. Si log xy x 5, y
e) 8
3 log2 5 400 logx 2 5 3logx 20 2 b) 20
8 x2 3
log 8
Calcular “x” en:
c) 4
17
a) 1/15 13. El
b) 2/15
c) 14/15
e) nunca
es:
d) 1
e) 29/15
valor simplificado de:
E log3 9.lo .log9 27.lo .log27 81...l ..log n1 3n , es: 5.
Calcular “x”
log( x 1 1) 3
3
3
log x 40 a) 16
6.
Resolver:
b) 35
c) 48
d) 42
b) 5
c) 4
14. El
d) 3
b)
15. El
b) 2
Resolver:
1 100
c)
a) 1/100
e) n-1
2 log 5 log 14 14 7 5 7
2
E
log log 2 5 7
c) 3
d) 4
es:
e) 5
b) 76
c) 77
d) 78
e) 79
e) 100
2(log 2 1) log(5
a) 27
Resolver:
d) n
1 10000
x
1) lo log(5
1 x
valor de la expresión:
b) 4
5
log x
3
c) 9
log x1
3
d) 3
e) 16
log x1
log x1
b) 1000 c) 1/10
5
d) 100
e) 10
log log 4 3.lo 3.logg 5 4.lo 4.logg 6 5... 5...lo logg x (x1) 1)
x
, es:
5) a) x
9.
3n
1 1 1 log x log 1 log 1 ... log 1 2 x x 1 x 23
16. El 8.
c)
valor de “x” que satisface a la siguiente relación:
a) 75 d) 10
3 n 1
valor de la expresión:
a) 1
e) 2
6 logx 10 Resolver: x x5
a) 1/10
b)
e) 50
log 22(x 1) 1)2 log 0,5(x 1) 1) 5
a) 6
7.
a) 3
17. Si
2
b) X
3
c) X
d) 2
e) 3
x 2log 3 a, a, el valor de: E 3loga x 7.xloga 3 , es:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación
GUÍA 4 - CIENCIAS
18
18. El
producto
de
las
raíces
de
la
ecuación:
log22 x 6log2 x 8, es:
1 2log (4 x) 1 4 26. La solución de la ecuación: 1, log 6(3 x) log 2 (3 x) es:
a) 16
b) 4
c) 1
d) 1/4
e) 64
log 2 log log (x2 7x21) 2 7 3 7 tiene como 19. La ecuación:
a) x=-2
b) x= 3
d) x=3; x=-2
e) x=3; x=2
soluciones a: 27. Las
a) 1 y 2 20. Las
b) 2 y 3 c) 3 y 4
d) 4 y 5 e) 5 y 6
raíces de la ecuación:
logx ( x2 10 x 25)
7
soluciones de la ecuación:
2logx x 1
11
a) 1 y 2
b) 2 y 3
d) 1 y 3
e) 2 y 4
b) 4 y 6 c) 3 y 4
el valor de “X” si:
valor de:
E
a) 1 22. La
x logx
log 3 3
b) 2 suma
de
d) 1/2
raíces
de
la
a) 5 y 2
e) 1/3 siguiente
ecuación:
x 2 6 log 5 25x log 5 x 7, es: 125
23. El
valor
b) 125 de
c) 130
“x”
d) 135
que
30. Resolver
a) 16
e) 140
verifica
la
ecuación:
log 31(x 1) 2 log 3(x 1) 1, es: a) 1 24. La
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
solución de la ecuación:
1 2log x 2x 2x lo log 4 (5 x) log 4 1 x es: a) x= 1; x= 4
b) x=2; x= 4
d) x= 2
e) x= 4
25. El
valor
de
“x”
que
satisface
c) x= 1
a
la
ecuación:
log(x1)(x2 x 6)2 4 es: a) -7
b) -3
c) 2
b) 3
29. Resolver:
log 52
a) 120
logx log(x g(x 3) 1 c) 5
d) 7
e) 9
, es:
c) 3
las
c) 3 y 4
d) 6 y 8 e) 4 y 5 a) 1
21. El
log( log(3 35 x3 ) 3 son: log(5 log(5 x)
, son: 28. Hallar
a) 2 y 3
c) x=2
d) 1
e) ningún valor
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log 2(x2 3x 6) log 2(x 1) 2 b) 1 y 6 c) 3 y 4
la ecuación:
b) 17
d) 1 y 3 e) 6 y -1
logx logx log35 log354 4 log69 log69 log13 log1357 57 c) 18
d) 19
e) 20
