Álgebraa Álgebr l
b
2d
ñ i d d 23
24/02/2014 05 12 56
l
b
2d
ñ i dd 24
24/02/2014 05 12 56
1 Ecuación de primer grado (resolución) Marco teórico 1. Definición La forma general de una ecuación de primer grado, también llamada ecuación lineal, es: ax + b = 0 Dónde: x: variable o incógnita a; b: constantes; a ≠ 0; a, b ∈
3. Resolución de las ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios Para resolver ecuaciones de primer grado con coeficientes fraccionarios se debe: a) Calcular el mínimo común múltiplo de todos los denominadores. b) Multiplicar a todos los términos de la ecuación con el mínimo común múltiplo. De esta manera los denominadores se simplificarán.
2. Transposición de términos Al transportar términos se busca despejar la variable de la ecuación. Este efecto hace que los términos pasen de un miembro al otro, efectuando la operación inversa respectiva. Se representa los siguientes casos: a) x + 3 = 12 x = 12 – 3 = 9 Restando b) x – 7 = 2
Ejemplo: Resuelve: x − x = 2 5
6
5
1. Calculamos el M.C.M de todos los denominadores. 5–6–5 2 5–3–5 3 5–1–5 5 1–1–1 M.C.M. (5; 6; 5) = 30
x = 2 + 7 =9 2. Multiplicamos por el M.C.M. a todos los términos.
Sumando
6
x=
c) -3 x = 15
6
x 5 x 2 30 − 30 = 30 5 6 5 1 1 1
15 = −5 −3
Dividendo d) x = 6 7
6x – 5x = 12 X = 12
x = 6(7) = 42
Multiplicando
25 l
b
2d
ñ i dd 25
Conjunto solución = {12} (C.S.)
ÁLGEBRA
1
24/02/2014 05 13 00
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO (RESOLUCIÓN)
2.o año
Trabajando en Clase Integral
UNMSM 8. Resuelve:
1. Resuelve: a) 2x + 3 = x + 1 b) -3x + 5 = 7 c) 2x + 5x = 12 d) 3x = 8
x +2 3 = x +1 5
5(x + 2) = 3(x + 1)
2
5x + 10 = 3x + 3
2. Resuelve: 15 −
5x – 3x = 3 – 10 2x = -7 x = − 7
x =7 2
2
3. Resuelve: 3(x – 1) + 2(x – 2) = 4(x + 2) Católica
C.S. =
9. Resuelve: x +1 3 = x −1 4
4. Resuelve: x −3 x −2 x +5 − = 2 3 4
Resolución: M.C.M. (2;3;4) = 12 Todo por «12» 6 4 3 x −3 x −2 − 12 = 12 x + 5 12 2 4 3
{ − 72 }
10. Resuelve: x−4 x−5 − = −(x − 7) 3 2
11. Resuelve: x + 3 x + 4 x + 2 x +1 + = + 4 5 3 2
6(x – 3) – 4(x – 2) = 3(x + 5) 6x – 18 – 4x + 8 = 3x + 15 2x – 10 = 3x + 15
UNI 12. Resuelve: (3x + 2)2 = (x – 1) (9x + 1)
-15 – 10 = 3x – 2x -25 = x (3x + 2)2 = (x – 1) (9x + 1)
C.S. = {-25} 5. Resuelve: x + 2 x + 3 x +5 − = 3 2 6
(3x)2 + 2(3x)(2) + (2) 2 = (x)(9x) + x(1) – (9x) – 1(1) 9x2 + 12x + 4 = 9x 2 - 8x - 1
6. Resuelve:
x x 1 − + = 3 4 4
12x + 4 = -8x – 1
7. Resuelve:
12x + 8x = –4 – 1 20x = –5
2x − 1 x − 3 = 3 2
x=−
1 l
b
2d
ÁLGEBRA
ñ i dd 26
5 =−1 20 4
C. S. =
{− 14}
26 24/02/2014 05 13 01
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO (RESOLUCIÓN)
2.o año
13. Resuelve: (x – 2)2 = (x – 1) (x – 2)
NOTA: • A toda ecuación de primer grado se le
14. Resuelve:
conoce como ecuación lineal.
2
(3x − 1) = (3x + 1)(x + 2) 3
• Para resolver una ecuación lineal se
despeja «x» y no «–x»
27 l
b
2d
ñ i dd 27
ÁLGEBRA
1
24/02/2014 05 13 01
2
Ecuaciones de primer grado (análisis de compatibilidad)
Marco teórico 1. Ecuación literal de primer grado
Es aquella donde al menos uno de sus coeficientes es una letra. Ejemplo: ax + b = bx + a variable: x coeficientes: a, b
Pasos a seguir para resolver una ecuación literal. A. Agrupa en un solo miembro de la ecuación, los términos que contengan la variable, en el otro, los que no la contengan.
C. Despeja: x = a − b → x = 1 a−b Si a ≠ b
2. Análisis de compatibilidad Sea: ax + b = 0 A. Ecuación compatible determinada Tiene solución única. Cumple: a ≠ 0 ∧ b ∈
B. Ecuación compatible indeterminada Tiene infinitas soluciones; C.S. = Cumple: a = 0 ∧ b = 0
ax + b = bx + a ax – bx = a – b con la variable
B. Factoriza: x ( a − b ) = a − b
C. Ecuación incompatible No tiene solución; C.S. = ∅ a= 0∧b ≠ 0
sin variable
Trabajando en Clase Católica
Integral
4. Si bx + 7 = 3x + 6 es una ecuación compatible determinada, ¿qué valor no puede tomar “b”?
1. Resuelve:
mx + 5n = nx + 5m; m ≠ n
bx + 7 = 3x + 6 bx – 3x + 7 – 6 = 0 (b – 3)x + 1 = 0 (compatible determinada) b–3≠0 b ≠ 3 Luego, el valor que no puede tomar “b” es 3.
2. Resuelve:
2 ( x + 2 ) + 3 ( x + 4 ) = 4 ( x + 4 ) + x +2
3. Resuelve:
5. Si: mx + 3 = 2x + 12 es una ecuación compatible determinada, ¿qué valor no puede tomar “m”?
5 ( x + 4 ) − 4 ( x + 3) = 3 ( x + 2 ) − 2 ( x −1)
2 l
b
2d
ÁLGEBRA
ñ i dd 28
28 24/02/2014 05 13 02
ECUACIONES DE PRIMER GRADO (ANÁLISIS DE COMPATIBILIDAD)
2.o año
6. Si b(x + 5) – 3(x + 2) = 5(b + 10) + x es una ecuación compatible determinada, ¿qué valor no puede tomar “b”?
UNI 12. Si: b(x + 2) + 3(x + 3) = 4(x + 1), es una ecuación incompatible, calcula “b” Resolución: b ( x + 2 ) + 3( x + 3 ) = 4 ( x + 1)
7. Resuelve: x(a + c) = c(x + 1); a ≠ 0
bx + 2b + 3x + 9 = 4x + 4 bx + 3x − 4x + 2b + 9 − 4 = 0
UNMSM
bx − x + 2b + 5 = 0
8. Si bx + 3 + 2x = x + a + 4 es una ecuación compatible indeterminada, calcula “a.b”
− 1) x +2b + 5 = 0 (�b��� � �����
bx + 2x − x = a + 4 − 3 bx + x = a + 1
()
(Ecuación incompatible) b −1 = 0
x b + 1 −a −1 = 0 0
b =1
0
(compatible indeterminada)
13. Si: a(x + 3) + 2(x + 1) = 4(x + 5), es una ecuación incompatible, calcula “a”
b + 1 = 0 ∧ − a −1 = 0 b = −1
−1 = a
9. Si: b + 3x = 5x – ax + 3 , es una ecuación compatible indeterminada, calcula “a.b”
3 =5→x ≠2 x −2
11. Resuelve: a(x –b) + b(x + a) =a 2 – b2; a + b ≠ 0
29 2d
ñ i dd 29
Recuerda que El denominador en una ecuación debe ser diferente de cero. Asi:
10. Resuelve: (x + 6)(x + 3) = (x + 5)(x + 4)
b
7 2 = x −9 x −9
14. Resuelve:
Luego : ab = ( −1)( −1 ) = 1
l
≠0
0
ÁLGEBRA
2
24/02/2014 05 13 02
3 Sistema de ecuaciones lineales Marco teórico 1. Definición Los sistemas de ecuaciones son conjuntos de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. Un sistema de ecuaciones lineales consta de dos ecuaciones y dos incógnitas; cuya solución se verifica simultáneamente. Sea el siguiente sistema: 1 2 x + 2y = 13 3 x+y=8 Cumple para: x = 3 y=5
2. Conjunto solución (C.S.) Conjunto de todos los valores de las incógnitas con que se verifica el sistema. Del sistema anterior, el conjunto solución es:
Para calcular «y» reemplazamos x = 8 en cualquiera de las dos ecuaciones. Así: En (a): 4(8) – y =24 32 – y = 24 8 = y Luego el conjunto solución es: C.S. = {(8 ; 8)}
4. Análisis de compatibilidad Sea el sistema
1 2a1x + b1y = C1 3a x + b y = C 2 2 2
4.1. Sistema compatible determinado Tiene solución única. Se cumple: a1 b1 ≠ a 2 b2
C.S. = {(3 ; 5)} x y
3. Método de reducción Este método es el más rápido para resolver un sistema lineal, también llamado sistema de primer grado. Ejemplo: Resuelve: 1 24x – y = 24 … (a) 3 5x + y = 48 … ( b) Tratemos de eliminar la variable que se encuentra en igual cantidad, para lo cual usaremos operaciones en las ecuaciones. Sumando miembro a miembro 1 24x − y = 24 ↓ (+) 3 5x + y = 48 9x = 72 x=8
3 l
b
2d
ÁLGEBRA
ñ i dd 30
4.2. Sistema compatible indeterminado Tiene infinitas soluciones. Se cumple: a1 b1 c1 = = a 2 b2 c2
4.3. Sistema incompatible Se cumple: a1 b1 c1 = ≠ a 2 b2 c2
NOTA En un sistema lineal el conjunto solución está dado por pares ordenados. C.S. = {(x ; y)}
30 24/02/2014 05 13 02
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
2.o año
Trabajando en Clase Integral 1. Resuelve: 1 2 3x + y = 7 3 x + y = 13 2. Calcula «x» en el siguiente sistema de ecuaciones lineales. 1 22x – y = 5 3 y – x = –1 3. Resuelve: 1 24x – 3y = 6 3 2x – y = 2 Católica
4. Si
(a − 2) a ≠ → 3a − 6 ≠ 5a 5 3 → −6 ≠ 2a
−3 ≠ a
5. Si: 2x + ay = 7 3x + (a + 3)y = 11
1 23x – (a – 2)y = 13 3 4x + ay = 5
Es compatible determinado, calcula el valor que no puede tomar «a». Calcula «x + y» en el siguiente sistema de ecuaciones: 7. 1 23x + 2y = 9 3 5x + 3y = 14
UNMSM
2d
ñ i dd 31
9. Si
10. Si
a=4
(a – 5)x + 3y = 6 2x – (b – 4)y = 2 Es compatible indeterminado, calcula «a + b». (a – 2)x + 9y = 12 2x + 3y = b – 2 Es compatible indeterminado, calcula «a.b».
UNI (a + 2)x – (a – 3)y = 18 12. Si 3x + 12y = 8 Es incompatible, calcula «a» Resolución: Como el sistema es incompatible entonces: 4a + 8 = –a + 3 (9 − 3) 9+2 a + 4a = 3 – 8 =− 3 12 5a = –5 a = –1 13. Si
(5 – a)x + 6y = 7 (a + 1)x + 2y = 5 Es incompatible, calcula «a».
x 4 5 x 5 6
31 b
2 6 = −(a − 5) 3 2 =2 −a + 5
14. Calcula «xy» en el siguiente sistema de ecuaciones.
(b – 3)x + 2y = 6 4x – (a – 5)y = 3 Es compatible indeterminado Calcula «a.b»
l
b−3 6 = 4 3 b−3 =2 4
Es un sistema compatible determinada, calcula el valor que no puede tomar «a».
8. Si:
Luego:
11. Calcula «x» en el siguiente sistema de ecuaciones: 4(x + 3) + 3(y + 4) = 36 5(x + 4) + 4(y + 5) = 60
Luego «a» no puede tomar el valor de –3.
6. Si:
b−3 2 6 = = −(a − 5) 3 4
b–3=8 1 = –a + 5 b = 11 a=5–1 ; Por lo tanto a×b = 44
1 2(a – 2)x + ay = 3 3 5x + 3y = 11
Es un sistema compatible determinado, determina el valor que no puede tomar «a». Resolución: El sistema es compatible determinado Entonces:
Resolución: Como el sistema es compatible indeterminado, entonces:
y 5 4 y 6 5
ÁLGEBRA
3
24/02/2014 05 13 02
4
Leyes de exponentes (Potenciación y ecuaciones exponenciales)
Marco teórico 1. Exponente Natural a n = a.a.a
Potencia de potencia
a ;n ∈ �
an
( )
n veces
Ejemplos: • a 3 = a.a.a
−2
• ( a 3 ) = a −6
(a− ) 2
a° = 1 ; ∀a ≠ 0 Observación: 0° → No definido.
3. Exponente Negativo 1 a −n = ; ∀a ≠ 0 a
(
• x 3.y
2
2
) = ( x ) .( y ) 3
2
= x 6.y 2
x
• 5x.6 x = ( 5.6 ) = 30 x
Ejemplos: 1 • 3
−2
= 32
3 • 5
−2
5 = 3
2
4. Leyes de Exponentes
E. Potencia de una división n
a = an b bn
;
xa x = y a y
a
Ejemplos:
A. Productos de bases iguales
2
3 32 9 • = 2= 5 25 5 x 10 x 10 • x = = 2x 5 5
a n ⋅ a m ⋅ a p = a n+ m + p
Ejemplos: • x 3 ⋅ x 2 ⋅ x = x 3 +2 +1 = x 6 • x 5 ⋅ x −7 ⋅ x 3 = x 5−7 + 3 = x1 = x
5. Ecuación exponencial
Es aquella ecuación que lleva la incógnita en el exponente. Ejemplo: 32x = 81 → 32x = 34 → 2x = 4 x=2
B. División de bases iguales an = a n −m ; ∀a ≠ 0 m a
( a.b ) = a n.bn También a x a .y a = ( x.y ) Ejemplos:
n
2
−2 −3
n
Ejemplos:
• ( −3 ) ° = 1
−3
= a ( )( ) = a 6 D. Potencia de un producto
50veces
2. Exponente Cero
1 • 5−2 = 5
p
= a n⋅m⋅p
Ejemplos:
• x50 = x.x... x
3veces
• 30° = 1
m
Ejemplos:
6. Ecuación Trascendente
3
La incógnita aparece en la base y el exponente a la vez. Ejemplo: x −2 xx = 4 ; ( x − 2)( ) = 256 xx = 22 x −2 ( x − 2)( ) = 4 4 → ( x − 2 ) = 4 x=2
• x 2 = x 3−2 = x x 5− −3 x5 • −3 = x ( ) = x 5 +3 = x 8 x
x=6
4 l
b
2d
ÁLGEBRA
ñ i dd 32
32 24/02/2014 05 13 03
LEYES DE EXPONENTES (POTENCIACIÓN Y ECUACIONES EXPONENCIALES)
2.o año
Trabajando en Clase Resolución:
Integral
1 243
1. Reduce: 3
( x .y ) . ( x .y ) (. x.y ) H= 3 3 ( x 4.y 5 ) . ( x2.y ) 2 5
4 3
B=
3
5
x.x...x
4
2
3
( 2n−3 ) veces ( n +15) veces
B=
x.x...x x.x...x
4
( 243) = −3 2 3 1 ( 27 ) . (81)
1 . 27 81
(3 ) B= ( 3 ) .(3 )
2. Reduce: B=
−2
−4
4
3
=
320 36.312
320 = 32 = 9 18 3
( 3n−2 )veces
9. Calcula:
3. Reduce: 2
2
2
N=
Católica
10. Calcula:
2
( ) .x( −4) .x −4 . (x −4 )
A = x4
4. Resuelve: 9 x +2 = 27 x −3 Resolución:
(3 )
( )
= 3
3
x −3
P=
32x + 4 = 33x −9
B=
32 x −1 = 8 x + 3
. 4
B=
= 16
B=
7. Resuelve: x −3 ) = 81 3 ( x − 3 )(
A=
8. Calcula: 1 243 1 27
−2
−4
b
2d
ñ i dd 33
2x +1 + 2x +2 + 2x +3 2 x −1 + 2x −2 + 2x −3
1 81
x +1
x +2
x +3
2 x +1 1 + 21 + 22
( (
+2 +2 = x −1 x −2 x −3 2 +2 +2 2 x −3 2 2 + 21 +1
2
2 x +1
2 x −3
) )
= 2 x +1− x +3 = 24 = 16
3x + 4 + 3 x + 3 + 3 x + 2 3 x −2 + 3 x − 3 + 3 x − 4
14. Resuelve: −3
2 x +1 + 2 x +2 + 2 x + 3 = 448
33 l
302.353.6 4
13. Reduce: UNMSM
B=
155.143.24
Resolución:
6. Resuelve: 2
−2
12. Reduce:
5. Resuelve:
x +3
1 16
UNI
→ 2x + 4 = 3x − 9 13 = x
x +1
−3
11. Reduce:
9 x +2 = 27 x −3 x +2
1 8
−4
1 −3 27 −1 3 −3 A = + + 10 5 3
9 x +2 = 27 x −3
2
1 32
ÁLGEBRA
4
24/02/2014 05 13 03
5 Radicación y ecuación exponencial Marco teórico 1. Radicación
Ejemplos:
Es la operación en la que, dados dos números llamados cantidad subradical e índice, se requiere hallar otro número llamado raíz.
2 2 64 3 = 3 64 = 4 2 = 16 5 3 5 x =x3
Y Y
Índice n
x = y
4. Teoremas 4.1. Raíz de un producto
; n ∈ ; n ≥ 2; x ≥ 0
Raíz
n
Radicando o cantidad subradical n
Si
x = y →
x ⋅n y = n x ⋅y
También = n x ⋅n y
n x⋅y
x = y n
Ejemplos:
Ejemplos:
•
Y
2 64 = 8 pues 64 = 8
3
•
−8 = −2 pues –8 = (–2)3
8 = 4 ⋅2 = 4 ⋅ 2 = 2 2 3
Y
3 ⋅ 3 9 = 3 27 = 3 27 = 3
2. Ley de signos •
Par
•
Impar
•
Par
+ =+
n x
y
− = No existe en �
Impar
•
4.2. Raíz de una división
+ =+
− =−
x
=
n
n x También x = n x n y n y y
Ejemplo: 9 = 4
3. Exponente fraccionario m n
=
9 3 = 4 2
4.3. Raíz de raíz
n m
x
npm
x =
También
n n n x =xn
l
b
2d
ÁLGEBRA
ñ i dd 34
x
Ejemplo: 3
5
n.p.m
x =
3(2)
x =6x
34 24/02/2014 05 13 03
2.o año
RADICACIÓN Y ECUACIÓN EXPONENCIAL Ejemplo:
4.4. Raíces sucesivas 3 22
x
x
24
x =
=
3 x −3 = 5 x −3
3⋅2⋅4 (2.2+ 2)4+1
x
→ x −3 = 0
24 25
x
x =3
5. Ecuación exponencial
x =9
Teorema ax = bx ; ∀ a ≠ b x=0
Trabajando en Clase Integral
5. Resuelve: 5 4+ 3m
1. Calcula 6 4 48
A=
= 52+ m 3
5
−
2
3
324 − 5 −243
6. Resuelve:
2. Resuelve:
x
B = 4 27 ⋅ 5 2 ⋅ 4 3 ⋅ 5 16
7. Resuelve: 5 x −2
3. Reduce: C= x
27 = x +2 81
3
x
y señala el exponente final de «x».
53 2
= 7 x −2 5
3
UNMSM
x
Católica 8. Calcula:
4. Resuelve: 6 4m + 5
4 2m+ 3
( )
1 A= 4
= 3
9
Resolución: MCM (4; 6) = 12
(
6
9 4m+5 2
( 94m+5 )
)
( 4 32m+3 )
= ( 32m +3 )
( )
1 A= 4
12
1 A = 42
3
98m +10 = 36m +9 8m+10
( 32 )
−2−2
1 + 27 3 3
( )
1 + 27
−3−1
( )
1 + 625
−2−2
2
()
1 + 625 2
1 27 + 625 4
A = 10
9. Calcula:
11 m=− 10
B = 273
35 ñ i dd 35
( )
1 + 625
A = 5+5
10m = −11
2d
−3−1
A = 2 + 3 + 4 625
= 36m+9
16m + 20 = 6m + 9
b
−2−1
A= 4+
316m +20 = 36m+9
l
( )
1 + 27
Resolución:
12
=
−2−1
−1
+ 162
−2
−1212
−1
ÁLGEBRA
5
24/02/2014 05 13 03
2.o año
RADICACIÓN Y ECUACIÓN EXPONENCIAL
10. Calcula:
(5 3 ) 5
3
S= 7⋅ 7⋅ 3
1 1 1 1 B = 64 2 ⇒ B = 2 ⇒ B = 2
−
5
64
B=
64
1 8
11. Calcula el exponente final de «x» en: A=
13. Calcula:
5 3 5 7 5 11
x ⋅ x ⋅ x
B = 27
5 2 5 4
x ⋅ x
UNI
−1
14. Calcula: m m + 4 m m +1 m m −2
12. Calcula: B = 64
−81−4
2
⋅
4
⋅ 8
−1 −32−5
Resolución: 1 −32 5
−
B = 64
5 l
b
2d
ÁLGEBRA
ñ i dd 36
1
5 1 − 1 5 32 → 64 ⇒ 64 32
36 24/02/2014 05 13 06
6 Polinomios I Marco teórico 1. TÉRMINO ALGEBRAICO
4. VALOR NUMÉRICO �V. N.�
Es una expresión algebraica reducida a un solo término. Se compone de las siguientes partes:
Exponentes
P ( x; y ) =
− 5 x3
y 2
Coeficiente (incluye al signo)
Variable
El valor numérico (V.N) es el número que resulta de reemplazar la (s) variable (s) por cantidades específicas llamadas números. Ejemplos: Y
P ( x ) = 5x 2 + 3x − 7
Y
P ( 3 ) = 5 ( 3 ) + 3 ( 3 ) − 7 = 47
2
Parte literal
2. TÉRMINO SEMEJANTE �T. S.� Dos términos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal (mismas variables ele vadas o los mismos exponentes respectivamente).
A. Aplicación de valor numérico a la notación polinómica P ( 3x − 2 ) = 2x −1 Sea: Calcula:
Se reemplaza:
Un polinomio es aquella expresión algebraica en donde los exponentes de sus variables son enteros positivos. Ejemplos:
B. Suma de coeficientes de un polinomio S.C. = P(1) Ejemplo: Calcula la suma de coeficientes de: P ( x − 1) = 2x − 3 X −1 = 1 → x = 2
⇒ P (1) = 2 ( 2 ) − 3 = 1
Es polinomio, por sus exponentes enteros positivos.
Luego: S.C.= 1
Q ( x; y ) = 3x −4y − 2x 3 3
x + 1 = 0 → x = −1 P ( 0 ) = 2 ( − 1) − 3 = −5
variables nombre del polinomio
Luego: T.I = - 5
37 ñ i dd 37
T.I = P(0) Ejemplo: Calcula el término independiente de P ( x + 1) = 2x − 3
P ( x; y ) = 3x 5 − 3x2
2d
C. Término independiente
A. Notación Polinómica
b
P ( 7 ) = 2 (3 ) −1 P (7 ) = 5
P ( x; y ) = 5x 3y 2 + 3xy 3
l
3x = 9 x=3
3. POLINOMIO
No es polinomio porque los exponentes – 4; no son enteros positivos.
3x − 2 = 7
Se iguala:
−7x 6y 9 términos semejantes −3x6y 9
P(7)
ÁLGEBRA
6
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2.o año
POLINOMIOS I
Trabajando en Clase Integral 1. Si
m +3 n +3 4 9 2 3x y ∧ 5x y 5
son semejantes.
9. Si: P ( 3x − 1) = x2 − 5x + 1 ; calcula la suma de coeficientes. 10. Si: P ( 2x + 1) = x 2 − x + 1 ; calcula su término independiente.
Calcula “m.n” m P ( x ) = 2x 5
+ 4x m −8 − 3x11−m es un polino2. Si mio, calcula “m”
11. Silasumadecoeficientesde P ( x − 3 ) = x 2 + mx + 4 es 9, calcula “m”.
2 3. Si P ( x ) = 3x − 3x + 1 , calcula P(–2)
Católica 4. Si P ( x + 2 ) = 2x 2 − 3x + 5 , calcula P(0) Resolución: Como P ( x + 2 ) = 2x 2 − 3x + 5 , calcula P(0) x+2 = 0 → x = –2
UNI 12. Si ax b−3y 4 + cx 3y d− 5 = 12x 3y 4 ; calcula “a – b + c - d” Resolución: b−3 4 Términos ax y semejantes 3 d −5
cx .y
2
12x3y 4
P ( 0 ) = 2 ( −2 ) − 3 ( −2 ) + 5 P ( 0 ) = 2 ( 4 ) + 6 + 5 =19
• a + c = 12 • b −3 = 3 → b = 6 • d −5 = 4 → d = 9
5. Si P ( x + 4 ) = x 2 − 3x +1; , calcula P(3)
Piden:
6. Si P x − 3 = −2x + 7; calcula P(0) 2
(+)
a −b +c −d
2
a +c −b −d
7. Si P ( 2x − 1) = 4x + x − 1 ; calcula P(2)
12 − 6 − 9 = −3
UNMSM
8. Si P 3x − 2 = x 2 + x + 1 ; calcula la suma de 2 coeficientes. Resolución:
3x − 2 = x2 + x + 1 2
P
3x − 2 =1 2 x=
4 3
13. Si ax 3y b−2 + 7x c−2y 4 = 13x 3y 4 . Halla “a + b + c” 14. Sea el polinomio: P(x + 2) = (x + 2) 3 – 3(x – 1) + mx + 5 Se cumple que la suma de coeficientes y el término independiente suman 200. Hallar “M”
2
4 4 S.C. = P (1) = + + 1 3 3
P ( 1) =
16 12 9 + + 9 9 9
37 Luego S.C = P ( 1) = 9
6 l
b
2d
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ñ i dd 38
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7 Polinomios II Marco teórico POLINOMIOS ESPECIALES 1. Polinomio completo
4. Polinomios idénticos Dos polinomios son idénticos si se cumple: mx2 + nx + p = kx 2 + rx + 5 m=k;n=r ;p=s Ejemplo: Determina «a» y «b» si se cumple: (a + 5)x3 + 2bx2 + a = 7x 3 + 4x2 + 2 Y a+5=7 ⇒ a=2 Y 2b = 4 ⇒ b=2
Es el polinomio que incluye todos los exponentes de la variable seleccionada, desde el mayor grado hasta el término independiente. Ejemplo: 5 F(x) = 3x 4 + 10 − x + 7x 3 + 2x 2 4
2. Polinomio ordenado
Es aquel polinomio donde los exponentes de la variable están ordenados en forma creciente o decreciente. Ejemplo: R(x) = 8x3 + 5x2 – 2x + 3
5. Polinomios idénticamente nulo Es aquel polinomio que tiene sus coeficientes nulos, es decir, si mx2 + nx + p es idénticamente nulo, se cumple: m=0;n=0;p=0 Ejemplo: Determina «a» y «b» si (a + 3)x + (b + 2) es idénticamente nulo. Y a+3=0 ⇒ a = –3 Y b+2=0 ⇒ b = –2
R(x) es ordenado de forma decreciente respecto a «x»
3. Polinomio homogéneo Es aquel polinomio en el que cada uno de sus términos tiene el mismo grado absoluto. Ejemplo:
6. Polinomio mónico
2 M(x; y) = 9x 2y 6 − x 5y 3 − 4x 7y 5 8 8 GA → 8
Y Y
El polinomio es homogéneo de grado 8. Grado, de homogeneidad = 8
Es aquel polinomio cuyo coeficiente principal (el término de mayor grado) es igual a uno. Ejemplo: P(x) = 7x + 2x8 + 3x2 + x9 Coeficiente principal P(x): Es mónico
39 l
b
2d
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POLINOMIO II
2.o año
Trabajando en Clase (m + 1 + 2m)x 2 + 7x – n + 1 ≡ 7x2 + (2 + p) x + 7 – 2n
Integral 1. Si P(x) = 8 + x + x 4 – 5x3 – 2xa-5 Es un polinomio completo; calcula el valor de «a».
3m + 1 = 7 m=2
7=2+p 5=p –n + 1 = 7 – 2n n=6 Luego: m + n + p = 2 + 6 + 5 = 13
2. Si P(x) = x15 – 3x7 – 2xa-3 + 5xb+2 – 3x4 + 2x – 1 Es un polinomio ordenado; calcula el valor de «a + b» 3. Si P(x) = 3xa-1 + 5xb+1 + 3xc-2 + xd+4 + 6 Es un polinomio completo y ordenado; calcula «a + b + c + d»
9. Si (m + 3)x2 + 2x + mx2 – n ≡ 5x2 + 7x + 3 + px + 2n; calcula «m + n + p» 10. Si P(x;y) = (m – 6)x2y 3 + (4 – n)xy + nx 2y 3 + mxy «Es idénticamente nulo, calcular el valor de «m.n»
Católica 4. Si el siguiente polinomio es homogéneo: P(x; y) = 3xa+2+ y b + 3x4y 3 + x6y a-b Calcula el valor de «a × b» Resolución: Cada término posee el mismo grado absoluto a+2+b=4+3 =6+a–b
11. Si 5x + 7 ≡ (m + n)x + 2m – 1; calcula el valor «m – n» UNI 12. Si A(x – 2) + B(x + 3) ≡ 6x + B Determina el valor de «A × B» Resolución: Como en una identidad, se verifica para cualquier valor de x. Y Para x = 2 A(2 – 2) + B(2 + 3) ≡ 6(2)+ 3 0 5B ≡ 15 B ≡ 3
(+) ↓ a + b = 5...(I) a − b = 1...(II) 2a = 6 a=3
Reemplazando en (I) b=2 Luego «a . b» = 6
5. Si el siguiente polinomio es homogéneo: P(x,y) = 3xmy 3 – 6x5y 7 – 2x3y n-3 Halla «m×n»
Para x ≡–3 A(–3 –2) + B(–3 + 3) = 6(–3) + 3 –5A + 0 = –15 A=3 Luego «A × B» = 9 Y
6. Si: P(x) = (n-2)x6 – (m – 4)x 2 + p – 2 Es un polinomio nulo, calcula «n + m + p». 3
9
5
3
7. Si P(x) = 2x + (m – 3) x + 2x – 8mx Es un polinomio mónico, calcula el valor de «m».
UNMSM
13. Si A(x – 2) + B(x + 1) ≡ 2x + 5 Calcula el valor de «A . B» 14. Si P(x) = 7 + 2x a+b + x2a-b + 5x3c+d – x4c-d Es completo y ordenado, calcula el valor de «a + b + n + m»
8. Si: (m + 1)x2 + 7x + 2mx 2 – n + 1 ≡ 7x2 + 2x + 7 + px – 2n; calcula el valor de «m + n + p». Resolución: Reducimos los polinomios idénticos para poder comparar sus respectivos coeficientes:
7 l
b
2d
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ñ i dd 40
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8 Repaso Trabajando en Clase 1. Resuelve:
8. Reduce: M = (x5)2.(x-5)3.x2 a) x2 b) x3 d) x-2 e) x-3
x + 2 = 11 3
a) 29 d) 27
b) 21 e) 33
c) 18
9. Calcula:
2. Resuelve:
E = x4 x2 x3
x x − = −1 8 4
a) 10 d) 2
b) 3 e) 8
c) 4
3. Resuelve: b) 8 e) –8
c) 7
4. Resuelve: x −3 5 = x +2 4
a) 3 d) 12
b) –1 e) –22
c) 20
7. Si m x + 2 + 2x = x + n + 4 es una ecuación compatible indeterminada, calcula «m + n». a) –2 b) 2 c) 1 d) –3 e) 3
41 2d
ñ i dd 41
b)
8 32
d)
2 3
e)
8 25
x
x
c) x2
x
c) 2
c) 30
e) –2
6. Si ax + 2 = 3x + 1 es una ecuación compatible determinada, ¿qué valor no puede tomar «a»? a) 5 b) 1 c) 6 d) 3 e) 2
b
x
12. Si la suma de coeficientes de P(x) = x + (3 + m)x 2 + 5 + n; es 15. Calcula «m + n». a) 6 b) 5 c) 4 d) 1 e) 2
2
l
8 23
11. Si P(x – 4) = x 2 + 2x – 5 Calcula «P(1)» a) 15 b) 20 d) 10 e) 40
5. Resuelve: (x + 6) (x + 2) = (x + 2) (x + 4) a) 3 b) 2 c) d) 4
a)
10. Resuelve: m+n=5 3m + 2n = 19 Calcula «m + n» a) 6 b) –6 d) 5 e) 3
x +1 x + 2 x +2 + = x +1− 2 3 4
a) 6 d) –7
c) x5
Claves 01. 02. 03. 04. 05. 06.
d e e e e d
07. 08. 09. 10. 11. 12.
d e a d c a
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